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第八章 实数
01 思维导图
02 知识速记
知识点一：平方根和立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有一个正的立方
一个正数有两个平方根，且互 根；
性质 为相反数；零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方
负数没有平方根； 根；
零的立方根是零；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
知识点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按与0的大小关系分：
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学科网（北京）股份有限公司有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数 实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和
无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结
构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2．实数与数轴上的点一 一对应．
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3．实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4．实数的运算：
数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值
是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，
最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5．实数的大小的比较：
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学科网（北京）股份有限公司有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
03 题型归纳
题型一 平方根、算术平方根、立方根
例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ；
【答案】 1 1
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了求平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的意义，逐个计算即可．
【详解】解：1的平方根是 ，1的算术平方根是1，1的立方根是1，
故答案为： ，1，1．
巩固训练
1．（22-23七年级下·重庆江津·期末） 的平方根是 ， 的立方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键．
本题根据立方根和平方根的定义可知 ， 的平方根是 ， 的立方根是 ，由此就求出．
【详解】解： ， 的平方根是 ；
的立方根是 ；
故答案为： ；
2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3）
；（4） ．
【答案】 3 2 /
【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，绝对值化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据运算法则逐题计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
故答案为：（1）3；（2）2；（3） ；（4） ．
题型二 非负数的性质:算术平方根
例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查了平方的非负性、算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，求出x、
y的值，代入计算，即可求解；理解平方与算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：由题意得
， ，
解得： ， ，
，
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数 ， 满足 ，则 的值是 ．
【答案】1
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得
， ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果 和 互为相反数，那么 的平方根是 ．
【答案】 ；
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，且 和 互为相反数，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是： ，
故答案为： ．
题型三 利用平方根与立方根的定义解方程
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程
(1) ；
(2) ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 或
(2)
【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用
【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程；
（1）根据平方根的定义解方程即可求解；
（2）根据立方根的定义解方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴
解得： 或
（2）解：
∴
解得：
巩固训练
1．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或 ；
(2) ．
【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用
【分析】本题考查了平方根和立方根解方程．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·全国·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程
【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握利用平方根解方
程和立方根的实际应用是解题的关键： 利用平方根解方程的方法：一个正数有两个平方根，它们互
为相反数， 只有一个平方根，负数没有平方根；在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出
未知数的值； 利用立方根的概念解方程的方法：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负
数， 的立方根是 ；在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值；在求立方根
时，常需转化为 的形式，也常常将 中的 看作一个整体来处理．
（1）在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；
（2）在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值．
【详解】（1）解： ，
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学科网（北京）股份有限公司整理，得： ，
开平方，得： ，
，
， ；
（2）解： ，
整理，得： ，
开立方，得： ，
．
3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的 值
(1)
(2)
(3)
(4) ．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
(4)
【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用
【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程，
（1）将方程变形为 ，然后利用平方根的定义求出 的值，再求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用立方根的定义求出 的值，再求 的值；
（3）将方程变形为 ，然后利用平方根的定义求出 的值；
（4）将方程变形为 ，然后利用立方根的定义求出 的值，再求 的值；
解题的关键是明确平方根和立方根的定义．
【详解】（1）解：
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 的值为 或 ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（3） ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 的值为 或 ；
（4） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 的值为 ．
题型四 平方根与立方根综合
例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知 的算术平方根是1， 的立方根是 ，
的平方根是 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可.
（1）根据1的算术平方根是1， 的立方根是 ， 的平方根是 ，即可求解；
（2）根据 即可求解；
【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1，
∴ ，
∴ ；
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ；
∵ 的平方根是 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
∵ 的平方根是 ，
∴ 的平方根是 ；
巩固训练
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知 的立方根是 ， 算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求 的平方根．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．
（1）根据立方根和算术平方根的定义得出 ， ，求解即可；
（2）先求出 的值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是 ， 算术平方根是3．
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）解：由（1）可得 ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
2．（22-23七年级下·广西钦州·阶段练习）已知x的两个平方根是 与 ，且 的算术平方根是
3．
(1)求 的值；
(2)求 的立方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、
求一个数的算术平方根
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得 ， 的值，再求解 的值即可；
（2）将 ， 的值代入 中计算后利用立方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解： 的两个平方根是 与 ，且 的算术平方根是3，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ， ；
∴ ；
（2）解： ， ，
，
的立方根是2．
3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知 的算术平方根是1， 的立方根是 ， 的平
方根是 ．
(1)求a，b，c的值：
(2)求 的平方根和立方根．
【答案】(1) ， ，
(2) ，
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、求一个数的平方根
【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出 、 、 即可；
（2）利用（1）的结论直接求值即可．
本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．
【详解】（1）解： 的算术平方根是1，
，
解得 ；
的立方根是 ，
，
；
的平方根是 ，
，
．
（2）解：由（1）知， ， ， ，
，
的平方根是 ；
的立方根是 ．
4．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知 的平方根是 ， 的立方根是2， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求a、b、c的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的
综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是
解题关键．
（1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可；
（2）根据（1）所得结果，求出 ，进而得出算术平方根即可．
【详解】（1）解： 的平方根是 ， 的立方根是2， ，
， ， ，
， ， ；
（2）解：由（1）可知， ， ， ，
，
的算术平方根是5．
题型五 实数和实数的性质
例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ．
【答案】
【知识点】实数的性质、化简绝对值
【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质 即可求解．
【详解】解： ， ，
故答案为： ， ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末） 的相反数是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 /
【知识点】实数的性质
【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根
据相反数的定义求解即可得．
【详解】解： 的相反数是 ，
故答案为： ．
2．（22-23七年级下·北京丰台·期中） 的相反数是 ； 的绝对值是 ．
【答案】
【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质
【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案．
【详解】解： 的相反数是 ，
的绝对值是 ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对
值是它的相反数，0的绝对值是0．
题型六 无理数
例题：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在下列数中，属于无理数的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题
的关键．
【详解】解： 、 ，是整数，不是无理数，该选项不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司、 是无理数，该选项符合题意；
、 是有限小数，不是无理数，该选项不合题意；
、 是分数，不是无理数，该选项不合题意；
故选： ．
巩固训练
1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在 （每两个1之间依次多1
个0）这几个数中，无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】无理数、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
【详解】解： ，
在 （每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有：
（每两个1之间依次多1个0）共3个，
故选：B．
2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数 ， ， ， ， ， ， ，
中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根与立方根，熟练掌握无理数的
定义是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据无理数的定义求解即可得．
【详解】解： ， ，
则 ， ， ，0.1010010001， ， 都是有理数， 和 是无理数，
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学科网（北京）股份有限公司所以无理数有2个，
故选：A．
3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数 ， ，0， ， ， ， ，
···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，平方根的知识；根据无理数是无限不循环小数即可得
出答案．
【详解】解： ，
无理数为： ， ， ···（两个“1”之间依次多个“0”）
无理数的个数是3个，
故选：B．
题型七 实数与数轴
例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无
理数可能是 ．（只填一个）
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】本题考查实数与数轴；根据数轴可以得到 的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：设点A在数轴上表示的数为 ，
由数轴可得， ，
∵
故答案为： (答案不唯一)．
巩固训练
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学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数 对应的可能
是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）．
【答案】D
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应
的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即 ，据此即可得出答案，解答此题的关键是熟
练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围．
【详解】设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴实数 对应的可能是点D，
故答案为：D．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为 的小正方形能拼成一个面积
为 的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正
方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ．
【答案】 /
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴
【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为 ，然后根据数轴上两点之间的距
离求解即可．
【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，
∴对角线的长为 ，
∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是
故答案为： ．
题型八 实数大小比较
例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：
巩固训练
1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的
运算及不等式的性质求解即可．
【详解】解： ，
，
18 / 22
学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为：
2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．作差法判断即可．
【详解】解： ，
∴ ，
故答案为： ．
题型九 实数的简单运算
例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减；
（2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减．
【详解】（1）
19 / 22
学科网（北京）股份有限公司；
（2）
．
巩固训练
1．（23-24八年级上·全国·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)6
(2)2
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题的关键
（1）依次算乘方、算术平方根和立方根，再算除法，最后算加减；
（2）依次算算术平方根、乘方、立方根，再算加减．
【详解】（1）
（2）
2．（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1) ；
20 / 22
学科网（北京）股份有限公司(2)
【答案】(1)
(2)8
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）
题型十 新定义下的实数运算
例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有
．例如 ，那么 ．
【答案】23
【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运
算，先计算算术平方根，再计算加法即可．
【详解】解： ，
故答案为：23．
巩固训练
1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数 ， ，新定义一种运算*如下：
那么 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解
题的关键．
根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：3．
2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数 ，定义一种新的运算如下，
如: ，那么 ．
【答案】 /0.4
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
22 / 22
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