文档内容
第八章 实数
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 平方根、算术平方根、立方根概念的区别........................................................................................1
易错题型二 二重求一个数的平方根或算术平方根................................................................................................3
易错题型三 算术平方根的整数部分和小数部分....................................................................................................5
易错题型四 实数的大小比较.....................................................................................................................................7
易错题型五 程序设计与实数运算............................................................................................................................9
【压轴题型】...............................................................................................................................................................12
压轴题型一 实数与数轴...........................................................................................................................................12
压轴题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合..............................................................................................16
压轴题型三 算术平方根有关的规律探究问题......................................................................................................20
压轴题型四 新定义下的实数运算..........................................................................................................................25
压轴题型五 与实数运算相关的规律题..................................................................................................................33
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 平方根、算术平方根、立方根概念的区别
例题：下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 是9的平方根
C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】此题考查的是平方根、立方根、算术平方根，直接根据平方根、立方根、算术平方根的定义
解答即可．
【详解】解：A、 ，2的平方根是 ，故不符合题意；
B、 是9的平方根，正确，故符合题意；
C、25的算术平方根是5，故不符合题意；
D、负数有立方根，故不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
巩固训练
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．负数没有平方根 B．64的立方根是4
C．算术平方根等于它本身的数只有0和1D．9的平方根是 ，用式子表示的是
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
根据平方根、立方根、算术平方根的定义分别判断即可．
【详解】解∶A、负数没有平方根，说法正确，故此选项不符合题意；
B、64的立方根是4，说法正确，故此选项不符合题意；
C、算术平方根等于它本身的数只有0和1，说法正确，故此选项不符合题意；
D、9的平方根是 ，用式子表示的是 ，原说法错误，故此选项符合题意；
故选∶D
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根
C． 的立方根是 D． 的算术平方根是
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念
即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、10的平方根是 ，故选项符合题意；
B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意；
C、 的立方根是 ，说法正确，故选项不符合题意；
D、 的算术平方根是 ，说法正确，故选项不符合题意；
故选：A．
3．下列说法正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；
③平方根与立方根相等的数有0和1；
④ 的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念
是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根的概念可进行求解．
【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确；
②实数都有一个立方根，说法正确；
③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误；
④ ，3的算术平方根为 ，故原说法错误；
⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确；
故选D．
易错题型二 二重求一个数的平方根或算术平方根
例题： 的平方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
先求出 的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴3的平方根是 ，
故答案为： ．
巩固训练
1． 的算术平方根是 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
先计算 ，然后计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】 ，9的算术平方根为
的算术平方根为 ．
故答案为： ．
2．64的算术平方根是 ， 的平方根是 ．
【答案】 8
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，正的平方
根为算术平方根，即可作答．
【详解】解：依题意，64的算术平方根是 ；
∵
∴ 的平方根是
故答案为： ； ．
3．若 ，则 的算术平方根为 ．
【答案】2
【知识点】求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算、绝对值非负性
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非
负数的值都为0，据此得到 ，则 ；对于两个实数a、b若a为非负数且
满足 ，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
4 / 39
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 的算术平方根为2，
故答案为：2．
4． 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ．
【答案】 2
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足 ，那么a就叫做b
的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，而 的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是2，
∵ ，而 的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案为：2； ．
5． 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的
定义即可求得答案．
【详解】解： ，其算术平方根为 ；
，其平方根是 ；
故答案为： ； ．
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学科网（北京）股份有限公司易错题型三 算术平方根的整数部分和小数部分
例题：已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 ， ．
【答案】
【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分
【分析】根据 的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解，
本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：∵ 的整数部分是 ，小数部分是 ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
巩固训练
1．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ， ．
【答案】
【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分
【分析】根据 首先确定 的值，则小数部分即可确定．
【详解】解： ，
，
则 ．
故答案是：3， ．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
2． 的整数部分是 ．小数部分是 ．
【答案】 3
【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、估计算术平方根的取值范围
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为3，
∴ 的小数部分为 ；
故答案为3， ．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
3．已知 是 的整数部分， ，则 的平方根是 ．
【答案】
【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的平方根
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易
得 ，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴9的平方根是 ；
故答案为 ．
4．已知 的算术平方根是5， 的平方根是 ，c是 的整数部分，求 的平方根．
【答案】
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根、算术平方根的实际应用、求算术平
方根的整数部分和小数部分
【分析】根据算术平方根及平方根确定 ， ，再由估算算术平方根的整数部分确定 ，将
其代入代数式，然后计算平方根即可．
【详解】解： 的算术平方根是5，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ．
∵ 的平方根是 ，
，
解得： ．
是 的整数部分，而 ，
，
，
的平方根为 ．
【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，
熟练掌握这些基本运算是解题关键．
易错题型四 实数的大小比较
例题：比较大小：
（1） （2） （3）
【答案】 ＜ ＜ ＜
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查无理数的估算及实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；因此
此题可根据无理数的估算分别求解（1）（2）（3）即可．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为＜，＜，＜．
巩固训练
1．比较大小： ．
【答案】 /小于
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根
据估算 和 的大小，推出结果．
【详解】解：因为
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
2．比较大小： （填“ ”，“ ”或“=”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可．
本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．比较大小： ．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查了实数大小的比较，不等式的性质，先利用算术平方根的性质得出 ，再利用
不等式的性质得出 ，即可得出结论.
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
易错题型五 程序设计与实数运算
例题：如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．
当输入的x值为 时，则输出的y值为 ．
【答案】
【知识点】程序设计与实数运算
【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：当输入的x值为 时： 为有理数，
输入3， 为无理数，输出；
故答案为： ．
巩固训练
1．如图，输入 ，则输出的值为 ．
【答案】
【知识点】程序设计与实数运算
【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算
的规则输入 ，逐步运算即可．
【详解】解：输入 ，可得 ，
∴ ，
再输入得： ，
∴此时输出 ，
故答案为： ．
2．如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为
后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ．
【答案】 625
【知识点】程序设计与实数运算
【分析】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．根据运算规则即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司根据三次取算术平方根运算；输出的y值为 ，返回运算三次平方可得y的值．
【详解】解：当 时， ， ，输出的y值为 ；
当经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 时，
则 ， ， ．
故答案为： ；625．
3．如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入 值后，经过两次取算术平方根运算，输出的 值为 时，输入的 值为 ；
（2）若输入有效的 值后，始终输不出 值，所有满足要求的 的值为 ．
【答案】 100 0或1/1或0
【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
（1）根据两次取算术平方根运算，输出的 值为 ，返回运算两次平方可得 的值；
（2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【详解】解：（1）当 时， ， ，则 ；
故答案为：100；
（2）当 ，1时，始终输不出 值，
，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
所有满足要求的 的值为0或1．
故答案为：0或1．
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学科网（北京）股份有限公司03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 实数与数轴
例题：实数 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、实数与数轴
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：先根据数轴得到 ，则
，再计算立方根和算术平方根以及绝对值，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知 ，
∴ ，
∴
．
巩固训练
1．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点
C到原点O的距离相等．
(1)求点C所表示的数；
(2)若点C表示的数为m；求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的平方根、实数与数轴、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数与数轴、平方根等知识，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离求出的长即可得出答案；
（2）把m的值代入所求代数式进行计算，再由平方根的定义即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵表示1和 的对应点分别为A，B，
∴点B到点A的距离为 ，
∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，
∴点C到原点O的距离为 ，
∴点C在数轴的正半轴，
∴点C所表示的数为 ；
（2）解：由（1）得： ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
2．实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式
【答案】
【知识点】实数的混合运算、实数与数轴
【分析】本题考查实数和数轴，实数的混合运算，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化
简计算即可．
【详解】解：由图可知：
．
3．实数 在数轴上对应点 的位置如图所示，若 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【知识点】化简绝对值、求一个数的平方根、实数与数轴
【分析】本题考查的是实数与数轴，求平方根；
（1）根据数轴可得 ，进而化简绝对值，即可求解；
（2）根据（1）得出 ，再求平方根，即可求解．
【详解】（1）解：由所给数轴可知， ，
所以 ， ，
则 ．
（2）由（1）知，
所以 的平方根是 ．
4．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数为
m．
(1) ；
(2)求 的值；
(3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多 ，求点C表示的实数c．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)2
(3) 或2
【知识点】实数的混合运算、实数与数轴
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：
（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求推出 ，再化简绝对值后计算求解即可；
（3）先求出A与C的距离为 ，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根
据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴
；
（3）解：由题意得，点A到点B的距离为2，
∵A与C的距离比A与B的距离多 ，
∴A与C的距离为 ，
当点C在点A右边时，点C表示的数为 ，
当点C在点A左边时，点C表示的数为 ，
综上所述，点C表示的数为 或2，即 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司5．已知， ，
(1)若 ，则 ______， ______；
(2)根据如图所示的条件，化简 ；
(3)若 ，且m为整数，n为 的小数部分，求A的值．
【答案】(1) ，2
(2)
(3)
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求算术平方根的整数部分和小数部分、实数与数轴、无理
数的大小估算
【分析】本题考查了非负数的性质，无理数大小的估算，代数式化简求值．
（1）根据非负数的性质得 ， ，解方程即可；
（2）由图可得： ， ，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可；
（3）根据题意分别得出m、n的值，再代入化简求值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ， ，
解得： ， ，
故答案为： ，2；
（2）解：由图可得： ， ，
∴
；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：∵ ，且m为整数， ，
∴ ，
∵n为 的小数部分，
∴ ，
∴
．
压轴题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合
例题：已知 的算术平方根是3， 的立方根是 ，求：
(1) ， 的值；
(2) 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)平方根为
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识．
（1）由于 的算术平方根是3，则 ； 的立方根是 ，则 ，求出m、n的值即
可；
（2）根据（1）中 、 的值，代入 求值，然后求平方根即可．
【详解】（1）解： 的算术平方根是3，
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学科网（北京）股份有限公司，
解得： ；
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
解得： ，
， ；
（2）解：由（1） ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
巩固训练
1．已知 的立方根为3．
(1)求 的平方根；
(2)填空： 的算术平方根是________．
【答案】(1) 的平方根为 ；
(2)6
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根．
（1）先根据 的立方根是3求出x的值，利用平方根的定义求解即可；
（2）根据（1）的结果求出 的值，根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】（1）解：由题意知 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 的平方根为 ；
（2）解：所以 ，
因为 ，所以36的平方根是 ，
所以 的算术平方根是6．
故答案为：6．
2．已知 的算术平方根是3， 的立方根是4，求：
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学科网（北京）股份有限公司(1)a、b的值；
(2) 的平方根．
【答案】(1) ，
(2) 的平方根是
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，
准确计算．
（1）根据 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，得出 ， ，求出结果
即可；
（2）把 ， 代入 求出 ，然后求出 的平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
3．已知a的算术平方根为3，ab的立方根为 ，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；
(2)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根
【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键
（1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可；
（2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可．
【详解】（1）解： a的算术平方根为3，ab的立方根为 ，b和c是互为相反数，
， ， ，
， ；
（2）解：由（1）可知， ， ， ；
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学科网（北京）股份有限公司，
的平方根是 ．
4．已知 表示9的算术平方根， 的立方根是2，d是 的小数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ．
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、求算术平方根的整数部分和小数部
分
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的
估算方法，是解题的关键．
（1）根据平方根，立方根的定义，求出 的值，无理数的估算求出c的值；
（2）将 的值代入代数式，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ 表示9的算术平方根，
∴ ，
∴ ，
∵ 的立方根是2，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 的整数部分为3，
∴ ；
（2）解：由（1）
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 的平方根是 ．
压轴题型三 算术平方根有关的规律探究问题
例题：探究发散：
(1)完成下列填空
① 3 ，② 0.5 ，③ ______，
④ 0 ，⑤ ，⑥ ______．
(2)根据上述计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：
______．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：
【答案】(1)6；
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、与算术平方根有关的规律探索题、整
式的加减运算
【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性
质和运算法则是解题关键．．
（1）先计算平方，再计算算术平方根即可；
（2）结合（1）中计算可知， 不一定等于a，并发现其中规律即可；
（3）由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，进而判断式子正负，再结合（2）所得
规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ， ，
故答案为：6； ；
（2）解： 不一定等于a，
规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
（3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，
， ，
．
巩固训练
1．观察表格并回答下列问题．
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
(1)表格中 ________， ________．
(2)①已知 ，则 ________；
②已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)0.1，10
(2)①0.245；②600
【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解
题的关键．
（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；
（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为：0.1，10；
（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向
右移动一位，
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学科网（北京）股份有限公司∴由 可知 ，
故答案为：0.245；
②∵ ， ，
∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到 ，
∴由上述表格可知被开方数 小数点需要向右移动6个单位得到 ，
∴ ，
∴ ．
2．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
(1) _______；
(2)简便计算： ．
【答案】(1) ，21
(2)
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律
是解决问题的关键．
（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可．
【详解】（1）解： ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ，21；
（2）解：
．
3．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被
框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算：
，
，
不难发现，结果都是7．
(1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？
发现图2计算结果为______；图3计算结果为______．
(2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明．
【答案】(1)8，6
(2) ，证明见解析
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键．
（1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可；
（2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算：
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故计算结果为8；
图3中被框起来的3个数按以下方式计算：
，
，
故计算结果为6，
故答案为：8，6；
（2）解：根据（1）中计算，可猜想 ，
理由如下：
．
4．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 ；第二个等式
；第三个等式 ．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a， 表示不超过a的最大整数，如 ， ，计算：
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学科网（北京）股份有限公司的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2023
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
【详解】（1）∵第一个等式 ；
第二个等式 ；
第三个等式 ；
故根据规律可猜测第五个等式为 ；
（2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为 ；
（3）根据规律可化简
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学科网（北京）股份有限公司．
压轴题型四 新定义下的实数运算
例题：定义：若无理数 的被开方数（ 为正整数）满足 （其中 为正整数），则称
无理数 的“共同体区间”为 ．例如：因为 ，所以 的“共同体区间”为 ．
请回答下列问题：
(1) 的“共同体区间”为________；
(2)若无理数 的“共同体区间”为 ，求 的“共同体区间”；
(3)若整数 ， 满足关系式： ，求 的“共同体区间”．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、无理数的大小估算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点．
（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；
（2）先根据无理数 的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出 的取值范围，再根据“共同
体区间”的定义求解；
（3）先根据已知得 ，进而得出 或 或 ，分别代入 求值，
再根据“共同体区间”的定义即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的“共同体区间”是 ，
故答案为： ；
（2）解：∵无理数 的“共同体区间”为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的“共同体区间”为 ；
（3）解：∵整数 ， 满足关系式： ，
∴ 或 ，
解得 或 或 ，
分以下三种情况：
当 ， 时， ，
∵ ，
∴ 的“共同体区间”为 ；
当 ， 时， ，
∵ ，
∴ 的“共同体区间”为 ；
当 ， 时， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的“共同体区间”为 ；
综上， 的“共同体区间”为 或 ．
巩固训练
1．当 ， 都是实数，且满足 ，就称点 为“友好点”．
(1)判断点 是否为“友好点”，并说明理由；
(2)若点 是“友好点”，且 ， 为有理数，求 ， 的值．
【答案】(1)点 不是为“友好点”，理由见解析
(2) ，
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题考查新定义问题，点的坐标，
（1）根据“友好点”的定义判断即可；
（2）根据“友好点”的概念得到 ， ，得到 ， ，然后由
得到 ，然后根据 ， 为有理数求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴点 不是为“友好点”；
（2）∵点 是“友好点”，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
∵ ， 为有理数，
∴ 为有理数，
∴
∴ ．
2．我们规定用 表示一个数对，给出如下定义：记： ， ，将 和 称为
数对 的一对“开方对称数对”．
例：数对 的开方对称数对为 和
(1)数对 的开方对称数对为________和________；
(2)若数对 的一个开方对称数对是 ，则 ________；
(3)若数对 的一个开方对称数对是 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 或 ．
【知识点】新定义下的实数运算、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的立方根、求一个数的
算术平方根
【分析】（ ）根据新定义运算解答即可求解；
（ ）根据新定义即可求解；
（ ）根据新定义，分两种情况解答即可求解；
本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由题意得， ， ，
∴数对 的开方对称数对为 和 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（3）解：若 ， ，
则 ， ，
∴ ；
若 ， ，
则 ， ，
∴ ；
的值为 或 ．
3．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下： ，如 ，
，如 ．
请你计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键．
（1）把 ， 代入 求解；
（2）把 ， 代入 求解；
（3）先计算 ，再计算 ．
【详解】（1）解： ，
又 ，
故 ；
（2）解：∵ ，
故 ；
（3）解：∵ ，
故 ，
．
4．给出定义如下：若点 满足 ，（ ， ），则称这个点为“秀点”如：
，故点 是“秀点”．
(1)点 ，点 ，点 中，是“秀点“的是 ；
(2)若点 是“秀点”，求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司(3)是否存在点 ，使点 是“秀点”，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)0或
【知识点】算术平方根的实际应用、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键．
（1）根据“秀点”的定义，计算即可判断；
（2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解；
（3）根据“秀点”的定义，求得 的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
又∵ ，
∴点 不是 “秀点”；
∵ ， ，
又∵ ，
∴点 不是 “秀点”；
∵ ， ，
∴点 是“秀点”．
故答案为： ；
（2）∵点 是“秀点”，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ；
（3）∵点 是“秀点”，
∴ ，整理可得 ，
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ．
综上所述， 的值为0或 ．
5．定义：把形如 与 为有理数且 ， 为正整数且开方开不尽 的两个实数称为共
轭实数．
(1)请你举出一对共轭实数：_________________；
(2) 与 ______共轭实数， 与 ______共轭实数； 在横线上填“是”或“不是”
(3)共轭实数 ， 是有理数还是无理数？为什么？
(4)【变式】若有理数 ， 满足 ，则 ______．
(5)你发现共轭实数 与 的和、差有什么规律？
【答案】(1) 与
(2)不是；是
(3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析
(4)
(5)共轭实数 与 的和是一个有理数 ，它们的差是一个无理数
【知识点】新定义下的实数运算、实数的混合运算
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键．
（1）根据题意写出一对共轭实数即可；
（2）利用新定义判断即可；
（3）根据新定义得共轭实数是无理数；
（4）由 得 ，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案；
（5）根据实数的运算计算即可．
【详解】（1）解： 与 是一对共轭实数，
故答案为： 与 （答案不唯一）；
（2） 与 不是共轭实数， 与 是共轭实数，
故答案为：不是，是；
（3）解：共轭实数 ， 是无理数，理由如下：
∵ 是开方开不尽的数，
∴ 无理数，而 是不等于0的有理数，
∴ 是无理数，有理数 加上或减去一个无理数 ，其结果仍是无理数；
（4）解：由 得 ，
∵a、 为有理数，
∴ 为有理数，
∴ 必为有理数方能与 相等，而 为有理数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：4；
（5）解： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴共轭实数 与 的和是一个有理数 ，它们的差是一个无理数 ．
压轴题型五 与实数运算相关的规律题
例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数 ， ，3， ， ，… 按如图所示
的方法进行排列，若 的位置记为(1,4)， 的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记
为 ．
【答案】
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，
从而可以得出最大的有理数 所在的位置，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数，
的被开方数是 的被开方数3的30倍，
，
所以 位于第六行第五个数，记为 ．
故最大的有理数 位于第6行第2个数，记为 ．
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式：
① ；② ；③
(1)类比上述等式，写出第④个等式：
(2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示， 为正整数），并给出证
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学科网（北京）股份有限公司明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的
关键．
（1）由题意知，第④个等式为 ；
（2）由题意知，第 个等式为 ，证明左式 右式即可．
【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意知，第 个等式为 ，
证明：左式 ，
右式 ，
左式 右式，等式成立．
2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，猜想：
(1) ______；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ______（n为正整数）；
(3)利用上面的规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形
为和式子序列号 有关的形式，即可发现规律，即可解答．
【详解】（1）解：根据规律可得： ,
故答案为： ；
（2）解：根据规律可得： ，
故答案为： ；
（3）解： ．
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