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第八章 实数章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：实数（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−❑√9与√327 B．√3−8与−√38 C．|−❑√2|与❑√2 D．❑√2与√3−8
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：A、∵−❑√9=−3，√327=3，
∴−❑√9与√327互为相反数，A选项符合题意；
∵√3−8=−2，−√38=−2，
∴√3−8=−√38，B选项不符合题意；
|−❑√2|=❑√2，C选项不符合题意；
∵√3−8=−2，
∴❑√2与√3−8不是互为相反数，D不符合题意．
故选：A．
1 1
2．（3分）下列说法：① 的立方根是± ；②−❑√17是17的平方根；③﹣27没有立方根；④比❑√2大且
27 3
比❑√3小的实数有无数个．错误的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】分别判断每个选项，注意立方根只有一个．
1 1
【解答】解：① 的立方根为 ，故错误；
27 3
②−❑√17是17的平方根，正确；
③﹣27有立方根，故错误；④比❑√2大且比❑√3小的实数有无数个，正确．
综上可得①③正确．
故选：A．
1
3．（3分）在实数0，π， ，3.1415926，√35，0.2 ⋅
5
⋅ ，❑√(−4) 2，1.3470136…中，无理数的个数有（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：❑√(−4) 2=4，
无理数有： ，√35，1.3470136…，共3个，
故选：B．
π
4．（3分）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形
ABCD的边长可能是（ ）
A．1 B．❑√3 C．❑√5 D．3
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为s，则其范围为1＜s＜5，
那么其边长在1到❑√5之间，
则其边长为❑√3，
故选：B．
5．（3分）若a＜6−❑√18＜b，其中a，b为两个连续的整数，则ab的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解．
【解答】解：∵4＜❑√18＜5，
∴﹣5＜−❑√18＜−4，
∴1＜6−❑√18＜2，
∴a＝1，b＝2，
∴ab＝12＝1，
故选：B．
6．（3分）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．3.2 B．❑√5−1 C．❑√5+1 D．❑√5
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE=❑√5，结合A点所表示的数及AE间距离可得点
E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE=❑√5，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为1+❑√5．
故选：C．
7．（3分）比较3，❑√10，√325的大小（ ）
A．3＜❑√10＜√325 B．3＜√325＜❑√10 C．√325＜3＜❑√10 D．❑√10＜√325＜3
【分析】根据算术平方根的性质、立方根的性质判断即可．
【解答】解：∵9＜10，
∴❑√9＜❑√10，即3＜❑√10，
∵25＜27，
∴√325＜√327，即√325＜3，
∴√325＜3＜❑√10，
故选：C．
8．（3分）把无理数√38，19，|−❑√6|，√3 48表示在数轴上，在这四个数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无
理数是（ ）
A．√38 B．❑√19 C．|−❑√6| D．√3 48
【分析】如图，可得被墨迹覆盖住的无理数在3到4之间，计算这四个数哪个符合．
【解答】解：√38=2＜3，19＞4，
|−❑√6|=❑√6，2＜❑√6＜3，
3=√327＜√3 48＜√364=4，
故选：D．
9．（3分）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
❑√n 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
A．❑√25.921=1.61
B．❑√263＜16.2
C．只有3个正整数n满足16.2＜❑√n＜16.3
D．❑√2755.6=166
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【解答】解：由表格可得：❑√259.21=16.1，
∴❑√2.5921=1.61，
故选项A不符合题意；
由表格可得：❑√262.44=16.2，
∴❑√263＞16.2，
故选项B不符合题意；
由表格可得❑√262.44=16.2，❑√265.69=16.3，
∴只有3个正整数n满足16.2＜❑√n＜16.3，分别是263；264；265，
故选项C符合题意；
由题意可得：❑√275.56=16.6，
∴❑√27556=166，
故选项D不符合题意，
故选：C．
10．（3分）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]＝2，[2]＝2，[❑√2]=1，则式子
[❑√2]−[❑√3]+[❑√4]−[❑√5]+⋯+[❑√2022]−[❑√2023]+[❑√2024] 的值为（ ）
（式子中的“+”，“﹣”依次相间）
A．22 B．﹣22 C．23 D．﹣23
【分析】根据[x]表示任意实数的整数部分，求出各个式子的值，然后进行计算即可．
【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，∴原式＝1﹣1+2﹣2+2﹣2+2﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣3+4﹣...﹣44+44
＝+2﹣2+2﹣2+2﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣3+4﹣...﹣44+44
∵从2到44，每个数不考虑符号都是奇数个，
∴原式＝+2﹣3+4﹣5+...﹣43+44
＝﹣21+44
＝23，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
❑√7−1 5
11．（3分）估计大小关系： ＜ （填＞，＜或＝）．
2 6
【分析】于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
❑√7−1 5 3❑√7−3−5 3❑√7−8
【解答】解：由题可得： − = = ，
2 6 6 6
∵3❑√7=❑√63，8=❑√64，
∴3❑√7−8＜0，
❑√7−1 5
∴ − ＜0，
2 6
故答案为：＜．
12．（3分）已知√31+2b与√33b−5相等，则b的值为 6 ．
【分析】根据题意可得1+2b＝3b﹣5，再进行计算即可．
【解答】解：由题可知，
1+2b＝3b﹣5，
解得b＝6．
故答案为：6．
13．（3分）已知a是❑√13的整数部分，❑√b=3，则❑√ab+54的平方根是 ± 3 ．
【分析】由于3＜❑√13＜4，由此可得❑√13的整数a的值；由于❑√b=3，根据算术平方根的定义可求b，再
代入❑√ab+54计算，进一步求得平方根．
【解答】解：∵3＜❑√13＜4，
∴a＝3，
∵❑√b=3，
∴b＝9，
∴❑√ab+54=❑√3×9+54=9，
∴❑√ab+54的平方根是±3；故答案为：±3．
14．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+❑√a2+√3 b3的结果为 ﹣ 2 a ．
【分析】先利用数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再利用绝对值和立方根的性质得原式＝﹣（a+b）+（﹣
a）+b，然后去括号后合并即可．
【解答】解：根据题图可知：a＜0＜b，且|b|＜|a|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|+❑√a2+√3 b3
＝﹣（a+b）+（﹣a）+b
＝﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a，
故答案为：﹣2a．
15．（3分）把两个半径分别为1cm和√37cm的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 2
4
cm（球的体积公式V= πr3 ，其中r是球的半径）．
3
【分析】求出半径分别为1cm和√37cm的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果，进一步保留
一位小数即可．
4 4 32
【解答】解： π×13+ π×(√37) 3= π（cm3），
3 3 3
√32 3
大铅球的半径为：3 π× ÷π=2（cm）．
3 4
故答案为：2．
16．（3分）我们知道❑√42+32=5，付老师又用计算器求得：❑√442+332=55、❑√4442+3332=555，
❑√44442+33332=5555，则计算：❑√44⋯42+33⋯332（2024个3，2024个4）＝ 55 5 … 5 （ 202 4 个
5 ） ．
【分析】根据题意可得规律❑√44⋯42+33⋯332（n个3，n个4）的值为555…5（n个5），据此规律求
解即可．
【解答】解：❑√42+32=5，
❑√442+332=55，
❑√4442+3332=555，
❑√4442+3332=555，
……，以此类推可知，❑√44⋯42+33⋯332（n个3，n个4）的值为555…5（n个5），
∴❑√44⋯42+33⋯332（2024个3，2024个4）的值为555…5（2024个5），
故答案为：555…5（2024个5）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）−12024+❑√(−2) 2+23+|2−❑√5|；
√ 1
（2）❑√4+√3−27−❑ +(−1) 4．
16
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）−12024+❑√(−2) 2+23+|2−❑√5|
=−1+2+8+❑√5−2
=7+❑√5；
√ 1
（2）❑√4+√3−27−❑ +(−1) 4
16
1
=2−3− +1
4
1
=− ．
4
18．（8分）解下列方程：
（1）3（2x﹣1）2﹣27＝0；
61
（2）(1+2x) 3− =1．
64
【分析】（1）首先将原方程整理为（2x﹣1）2＝9，再根据平方根的性质可得2x﹣1＝±3，然后求解即可；
125 5
（2）首先将原方程整理为(1+2x) 3= ，再根据立方根的性质可得1+2x= ，然后求解即可．
64 4
【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣27＝0，
3（2x﹣1）2＝27，
（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝±3，
∴x＝2或x＝﹣1；
61
（2）(1+2x) 3− =1，
64125
(1+2x) 3= ，
64
5
∴1+2x= ，
4
1
∴x= ．
8
19．（8分）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是❑√5的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+2b﹣c+2的算术平方根．
【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得a和b的值，再根据❑√4＜❑√5＜❑√9可求得c的值；
（2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，
∴2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8，
∵❑√4＜❑√5＜❑√9，
∴2＜❑√5＜3，
∵c是❑√5的整数部分，
∴c＝2，
即a＝5，b＝2，c＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，c＝2，
所以a+2b﹣c+2＝5+2×2﹣2+2＝9，
那么9的算术平方根是3，
即a+2b﹣c+2的算术平方根是3．
20．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−❑√2，设点B所表示的
数为m．
（1）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与❑√d+4互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
【分析】（1）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可；
（2）根据互为相反数的两个数相加和为0，求出c，d即可．
【解答】解：（1）由题意得：m=−❑√2+2，
∴m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|
＝m+1+1﹣m＝2；
（2）由题意得：|2c+d|+❑√d+4=0，
∴2c+d＝0，d+4＝0，
∴d＝﹣4，c＝2，
∴2c﹣3d＝16，
∵16的平方根是±4，
∴2c﹣3d的平方根是±4．
21．（8分）小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为
1350cm2的桌面．
（1）求正方形木板的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和
宽；如果不能，说明理由．
【分析】（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）a，则a2＝1600，可得a＝40；
（2）设长方形的长、宽分别为3k，2k（k＞0），则3k⋅2k＝1350，可得3k＝15×3＝45＞40．故不能裁出符
合要求的长方形．
【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600，
∵402＝1600，
∴a＝40，即正边形边长为40cm．
（2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则：
3k⋅2k＝1350，k2＝225，
∴k＝15．
∴3k＝15×3＝45＞40．
∴不能裁出符合要求的长方形．
22．（10分）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一
个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果mx+n＝0，其中m，n为有理数，x为无
理数，那么m＝0，n＝0．运用上述知识解决下列问题：
（1）如果（m+1）❑√3+n−2＝0，其中m，n为有理数，求m和n的值；（2）若m，n均为有理数，且（m+1）❑√2+m−17＝2❑√2−n2，求|m+n|的算术平方根．
【分析】（1）根据材料可得m+1＝0，n﹣2＝0，解得m，n的值即可；
（2）将原式变形后根据题意求得m，n的值，将其代入|m+n|中计算后根据算术平方根的定义即可求得答
案．
【解答】解：（1）∵（m+1）❑√3+n−2＝0，其中m，n为有理数，
∴m+1＝0，n﹣2＝0，
解得：m＝﹣1，n＝2；
（2）将原式整理得（m+1﹣2）❑√2+m+n2﹣17＝0，
即（m﹣1）❑√2+m+n2﹣17＝0，
∵m，n均为有理数，
∴m﹣1＝0，m+n2﹣17＝0，
解得：m＝1，n＝±4，
当m＝1，n＝4时，|m+n|＝5，其算术平方根为❑√5；
当m＝1，n＝﹣4时，|m+n|＝3，其算术平方根为❑√3；
综上，|m+n|的算术平方根为❑√5或❑√3．
23．（10分）阅读材料：
❑√1和❑√4为整数，4﹣1＝3＝2×1+1；
❑√4和❑√9为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
❑√9和❑√16为整数，16﹣9＝7＝2×3+1；
…
小明发现结论：若❑√a和❑√b为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2❑√a+1．并给出了证明：
根据题意，得❑√a+1=❑√b．
等式两边同时 平方 ，得 a + 2❑√a+ 1 ＝b．
整理得b﹣a＝2❑√a+1．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若❑√a和❑√a+11 为两个相邻整数，则a＝ 2 5 ．
（3）若❑√a和❑√a+216 为相差4的两个整数，求a的值．
【分析】（1）利用等式的性质解答即可；
（2）利用（1）的结论列式解答即可；
（3）利用（1）的解答方法解答即可．
【解答】解：（1）∵❑√a和❑√b为相邻的两个整数，∴❑√a+1=❑√b，
等式两边同时平方得：
a+2❑√a+1＝b．
移项得：b﹣a＝2❑√a+1．
故答案为：平方；a+2❑√a+1；
（2）∵❑√a和❑√a+11 为两个相邻整数，
∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2❑√a+1，
∴❑√a=5，
∴a＝25．
故答案为：25；
（3）∵❑√a和❑√a+216 为相差4的两个整数，
∴❑√a+4=❑√a+216，
等式两边同时平方得：
a+8❑√a+16＝a+216，
∴❑√a=25，
∴a＝625．
24．（12分）阅读材料，完成下列任务：
材料一：我们可以用以下方法表示无理数❑√7的小数部分．
∵4＜7＜9，
∴❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3．
∴❑√7的整数部分为2．
∴❑√7的小数部分为❑√7−2．
材料二：我们可以用以下方法求无理数❑√107的近似值（保留两位小数）．
∵面积为107的正方形的边长是❑√107，且10＜❑√107＜11，
∴设❑√107=10+x，其中0＜x＜1．
画出边长为10+x的正方形，如图：
根据图中面积，得102+2×10x+x2＝107．
当x2较小时，忽略x2，得20x+100≈107．解得x≈0.35．
∴❑√107=10+x≈10.35．
任务：
（1）利用材料一中的方法，求❑√123的小数部分；
（2）利用材料二中的方法，探究❑√123的近似值（保留两位小数）．（备注：请画出示意图、标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可；
（2）根据材料二中的解题过程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵121＜123＜144，
∴❑√121＜❑√123＜❑√144，即11＜❑√123＜12，
∵❑√123的整数部分为9，
∴❑√123的小数部分为❑√123−11．
（2）解：∵面积为123的正方形的边长是❑√123，且11＜❑√123＜12，
∴设❑√123=11+x，其中0＜x＜1．
画出边长为2+x的正方形，如图：
根据图中面积，得112+2×11x+x2＝123，
当x2较小时，忽略x2，得22x+121≈123，
解得x≈0.09．
∴．
