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第八章实数单元测试（能力提升卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
1
A．√3 8 B．❑√2 C．0 D．−
3
【答案】B
【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握无理数、有理数、整数等的意义和特征是解题关键 .．
无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．根据无理数的定义，进行判断即可．
【详解】A：√3 8=2是有理数，故不符题意；
B：❑√2是无限不循环小数，故符合题意；
C：0是有理数，故不符题意；
1
D：− 是有理数，故不符题意
3
故选：B
2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）36的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6 C．±4 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求算术平方根，熟练掌握实数平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义计算即可得到答案．
【详解】解：❑√36=6，
故选：B．
3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）实数❑√2的相反数是（ ）
❑√2 ❑√2
A．❑√2 B．−❑√2 C． D．−
2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的基本定义，根据相反数的定义解答，只有符号不同的两个数，称互为相反
数．
【详解】解：❑√2的相反数是−❑√2．
故选：B．
4．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列有关❑√7的说法中，错误的是（ ）
A．7的平方根是❑√7 B．❑√7是无理数
C．2<❑√7<3 D．❑√7的相反数是−❑√7
【答案】A【分析】本题考查了平方根，无理数的定义，无理数的估算，相反数的定义，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
根据平方根，无理数的定义，无理数的估算，相反数的定义逐项判断即可.
【详解】解：A. 7的平方根是±❑√7，故A说法错误，符合题意；
B. ❑√7是无理数， ，故B说法正确，不符合题意；
C.∵22<7<32，∴2<❑√7<3，故C说法正确，不符合题意；
D. ❑√7的相反数是−❑√7，故D说法正确，不符合题意；
故选：A ．
5．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．❑√−9=−3 B．算术平方根和立方根等于本身的数是1
C．−❑√2的相反数为❑√2 D．−π没有倒数
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可．
【详解】解：A、❑√−9没有意义，故选项不正确；
B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确；
C、−❑√2的相反数为❑√2，故选项正确；
1
D、−π的倒数是− ，故选项错误；
π
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．
6．（24-25七年级下·四川眉山·期末）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a−π)+|❑√2−a)的
结果为（ ）
A．π+❑√2 B．π−❑√2 C．❑√2−π D．π−2
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数
轴可知，2<a<3，即π>a，a>❑√2，再计算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知，2<a<3，即π>a，a>❑√2，
∴|a−π)+|❑√2−a)=π−a+a−❑√2=π−❑√2．
故选：B．
7．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）已知4x2=49，y3=−8，且x>0，则x+ y的计算结果为（ ）
3 3 11 11
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
【答案】A【分析】此题考查平方根定义，立方根定义，已知字母的值求代数式的值，先求出x，y的值，再代入计算
即可
【详解】解：∵4x2=49，y3=−8，且x>0，
7
∴x= ，y=−2，
2
7 3
∴x+ y= −2= ，
2 2
故选：A．
8．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）若❑√3的整数部分为a，小数部分为b，4−❑√3的整数部分为c，
b+d
小数部分为d，则 的值为（ ）
ac
1 1 ❑√3−1 ❑√3+1
A． B． C． D．
2 4 2 2
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，通过估算❑√3在哪两个整数之间，从而确定a=1，b=❑√3−1，通
过估算4−❑√3在哪两个整数之间，从而确定c=2，d=2−❑√3，然后把a、b、c、d代入求得数值．
【详解】解：∵❑√3的整数部分为a，小数部分为b，1<❑√3<2，
∴a=1，b=❑√3−1，
∵1<❑√3<2，
∴−2<−❑√3<−1，
∴2<4−❑√3<3，
∵4−❑√3的整数部分为c，小数部分为d，
∴c=2，d=4−❑√3−2=2−❑√3，
b+d ❑√3−1+2−❑√3 1
∴ = = ．
ac 1×2 2
故选：A．
9．（24-25七年级下·山西太原·期末）王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的x>0，流程如下：
下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（ ）
A．若输入x的值是8，则输出y的值是❑√2B．若输出y的值是❑√3，则输入x的值是9
C．若输入x的值是64，则输出y的值是√32
D．若输入x的值是1，则输不出y的值
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题真假的判断、程序流程图与代数式求值等知识点，正确求得把x的值代入得
出输出y的值是解题的关键．
把x的值代入得出输出y的值，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、若输入x的值是8，则输出y的值是2❑√2，故该选项说法错误，不是真命题；
B、若输出y的值是❑√3，则输入x的值是3，故该选项说法错误，不是真命题；
C、若输入x的值是64，则输出y的值是❑√2，故该选项说法错误，不是真命题；
D、若输入x的值是1，则输不出y的值，说法正确，是真命题．
故选：D．
max{a,b)
10．（24-25七年级下·全国·单元测试） 对于实数a、b，定义 的含义为：当
a≥b时，max{a,b)=a；当a<b时，max{a,b)=b．例如：max{1,−2)=1．已知
max{❑√29,a)=❑√29,max{❑√29,b)=b，且a和b为两个连续正整数，则ab−(❑√29) 2 的立方根为（ ）
A．−1 B．1 C．−2 D．2
【答案】B
【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确
理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵max{❑√29，a)=❑√29，max{❑√29，b)=b，
∴❑√29≥a，❑√29≤b，
∵a和b为两个连续正整数，❑√29>❑√25=5，6=❑√36>❑√29，
∴即a=5，b=6，
∴ab=30，
∴ab−(❑√29) 2=30−29=1，
则ab−(❑√29) 2 的立方根为的1，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2025·陕西西安·一模）在实数−❑√3，0，−❑√2，π中，最小的一个数是 ．
【答案】−❑√3
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实
数，两个负实数绝对值大的反而小，据此即可求解．
【详解】解：|−❑√3)=❑√3>|−❑√2)=❑√2，
∴−❑√3<−❑√2<0<π，∴最小的数为−❑√3，
故答案为：−❑√3．
12．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）❑√81的平方根是
【答案】±3
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；
先求出❑√81的值，然后根据平方根的定义求解即可.
【详解】解：❑√81=9，
9的平方根是±3,
故答案为：±3.
13．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）设n为正整数，且n<❑√73<n+1，则n的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了无理数的估算，准确确定n的值是解题的关键．由64<73<81，结合算术平方根即可
确定n的值．
【详解】解：∵64<73<81，
∴8<❑√73<9，
∴n=8，
故答案为8．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知5x−1的算术平方根是3，2y+9的立方根是1，则4x−2y的
平方根是 ．
【答案】±4
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用，解此题的关键是求出x、y的值．
根据算术平方根、立方根的定义求出x、y的值，求出4x−2y的值，再根据平方根定义求出即可．
【详解】解：∵5x−1的算术平方根是3，
∴5x−1=32
解得：x=2，
∵2y+9的立方根是1，
∴2y+9=1
解得：y=−4，
∴4x−2y=4×2−2×(−4)=16
∴4x−2y的平方根是±4．
故答案为：±4．
y
15．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若y=❑√3−5x+❑√5x−3+15，则 的算术平方根为
x
．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可．
{3−5x≥0)
【详解】解：由题意可得 ，
5x−3≥0
3
解得：x= ，
5
∴y=❑√3−5x+❑√5x−3+15=15，
y
∴ =25，
x
y
∴ 的算术平方根是5．
x
故答案为：5．
16．（24-25七年级下·全国·课后作业）现定义一种运算，其规则为a∗b=a2−b2．根据此规则，如果x满
足(x+2)∗5=0，那么x的值为 ．
【答案】3或−7
【分析】此题主要考查了定义新运算，利用平方根解方程，解一元一次方程，要熟练掌握以上知识点．首
先根据题意，可得：(x+2) 2−52=0，所以x+2=−5或x+2=5；然后根据解一元一次方程的方法，求出x
的值是多少即可．
【详解】解：∵a∗b=a2−b2,(x+2)∗5=0，
∴(x+2) 2−52=0，即(x+2) 2=25
∴x+2=−5或x+2=5，
解得：x=−7或x=3．
故答案为：−7或3．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来．
1 √9
− ,−3,√3−8,|−2),❑ ．
2 4
1 √9
【答案】见解析，−3<√3−8<− <❑ <|−2).
2 4
【分析】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，先化简能够化简的各
数，再在数轴上表示即可．
√9 3
【详解】解：√3−8=−2，|−2)=2，❑ = .
4 2
各数在数轴上表示为：1 √9
−3<√3−8<− <❑ <|−2).
2 4
18．（24-25七年级下·全国·期中）计算：
√1 5
(1) 3 − ×√3−125−√3−343+❑√9；
8 2
(2)−13+❑√(−2) 2−√327+|❑√3−2)．
【答案】(1)23
(2)−❑√3
【分析】本题考查实数的计算，解题的关键是掌握立方根和平方根化简，再根据有理数的加减运算，进行
计算，即可．
（1）先开平方根，立方根，然后根据有理数的计算，即可；
（2）根据平方根，立方根的知识，化简式子，然后进行计算，即可．
√1 5
【详解】（1）3 − ×√3−125−√3−343+❑√9
8 2
1 5
解：原式= − ×(−5)−(−7)+3
2 2
1 25
= + +7+3
2 2
=13+7+3
=23．
（2）−13+❑√(−2) 2−√327+|❑√3−2)
解：原式=−1+2−3+2−❑√3
=−❑√3．
19．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）解下列方程．
(1)(3x+2) 2=16；
1
(2) (2x−1) 3=−4
2
2
【答案】(1)x= 或x=−2
3
1
(2)x=−
2
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关
键．
（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：(3x+2) 2=16，3x+2=±4，
2
∴x= 或x=−2；
3
1
（2）∵ (2x−1) 3=−4，
2
∴(2x−1) 3=−8，
∴2x−1=−2，
1
∴x=− ．
2
20．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知实数a+5的算术平方根是2，a+3b的立方根是2．
(1)求a、b的值；
(2)求a+b的平方根．
【答案】(1)a=−1，b=3；
(2)±❑√2
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值；
（2）将a、b的值代入a+b中计算，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵a+5的算术平方根是2，
∴a+5=22=4，
∴a=−1，
∵a+3b的立方根是2，
∴a+3b=23=8，
∴b=3；
（2）解：∵a=−1，b=3，
∴a+b=−1+3=2，
∴a+b的平方根为±❑√2．
21．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为121cm2的正方形贺卡．现有一个长方形信封
如图所示，该信封的长、宽之比为3:2，面积为210cm2．
(1)求长方形信封的长和宽．(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【答案】(1)长方形信封的长为3❑√35cm，宽为2❑√35cm
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的实际应用：
（1）设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，利用面积公式列出方程进行求解即可；
（2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果．
【详解】（1）解：设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm．
由题意，得3x⋅2x=210，
∴x=❑√35，
∴3x=3❑√35，2x=2❑√35．
答：长方形信封的长为3❑√35cm，宽为2❑√35cm．
（2）能
理由：面积为121cm2的正方形贺卡的边长是11cm．
∵(2❑√35) 2=140，112=121，
∴2❑√35>11，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
22．（23-24七年级下·湖北宜昌·阶段练习）（1）填表：
a 0.001 1 1000 1000000
√3 a 1 10
由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位；
（2）根据你发现的规律填空：
①已知√33=1.442，则√30.003= ；
②已知√3 0.000456=0.07696，则√3 456= ．
（3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为0.125立方米，需要多大面积的铁皮？
【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①0.1442；②7.696；（3）需要大约1.5平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积
的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（2）①结合表格信息，对√33=1.442进行变形分析即可；②结合表格信息，对√30.000456=0.07696进行
变形分析即可；
（3）设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：填表：
a 0.001 1 1000 1000000√3 a 0.1 1 10 100
规律：数a的小数点每移动三位，它的立方根√3 a的小数点就向相同方向移动一位；
（2）解：①∵√33=1.442，
∴√3 0.003=0.1442；
②∵√3 0.000456=0.07696
∴√3 456=7.696；
（3）解：设正方体的棱长为a米，则a3=0.125，
∴a=0.5，
∴6a2=6×0.52=1.5（平方米），
答：需要大约1.5平方米的铁皮．
23．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若x2=a(a≥0)，则x叫a的二次方根；若x3=a，则x叫a的三次方根；若x4=a(a≥0)，则x叫a的四
次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；
(2)81的四次方根为______；−32的五次方根为______；
(3)若√4 a−1有意义，则a的取值范围是______；若√5 a有意义，则a的取值范围是______；
1
(4)求x的值： (2x−4) 4−8=0．
2
【答案】(1)若x5=a，则x叫a的五次方根
(2)±3,−2
(3)a≥1，a为任意实数
(4)x=3或x=1
【分析】（1）根据题意，进行作答即可；
（2）进行开方运算即可；
（3）根据定义，进行计算即可；
（4）利用四次方根解方程即可．
【详解】（1）解：五次方根的定义：若x5=a，则x叫a的五次方根；
（2）解：±√4 81=±3,√5−32=−2；
故答案为：3,−2；
（3）解：∵a−1是一个数的四次方，
∴a−1≥0，
∴a≥1；
∴若√4 a−1有意义，则a的取值范围是a≥1；∵√5 a中a是一个数的五次方，
∴a为任意实数．
故答案为：a≥1，a为任意实数；
1
（4）解： (2x−4) 4−8=0，
2
1
∴ (2x−4) 4=8，
2
∴(2x−4) 4=16，
∴2x−4=±√416=±2，
∴2x−4=2或2x−4=−2，
∴x=3或x=1．
【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
