文档内容
第 03 讲 平方根、立方根（5 个知识点+5 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“ ”，负的平方根表示为“﹣ ”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a
本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平
方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也
是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求
值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作： ．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、
负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或
向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
知识复习
一．平方根（共8小题）1．（2024•渝中区校级开学）一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数是
A．81 B．25 C．16 D．9
2．（2023春•涪城区期末）若 与 是同一个正数的两个平方根，则 的值为
A．3 B． C．1 D．
3．（2023春•西岗区期末）下列说法正确的是
A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10
C． 是100的一个平方根 D． 的平方根是
4．（2023春•沙河口区期末）9的平方根是
A．3 B． C． D．
5．（2023春•岳麓区校级期末）36的平方根是 ．
6．（2023春•黄石期末）已知一个正数的平方根是 和 ，则这个数是 ．
7．（2023春•秀山县校级月考）已知正数 有两个平方根，分别是 与 ．①求
的值；②求这个正数 ．
8．（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的 的平方根是 与 ，求 和 的值．
二．算术平方根（共11小题）
9．（2023春•石嘴山校级期末）81的算术平方根为
A． B．3 C． D．9
10．（2023春•泰来县校级期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
11．（2023春•邯郸期中）要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为
立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
12．（2023春•启东市期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的 的值是64，则输出的 的 值 是
A． B． C．2 D．3
13．（2024•渝中区校级开学）5的算术平方根是 ．
14．（2023春•江岸区期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是 ．
15．（2023春•孟村县期末）小明制作了一张面积为 的正方形贺卡想寄给朋友．现
有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为 ，面积为 ．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
16．（2023秋•秦都区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的 为16时，输出的 值是 ；
（2）若输入有效的 值后，始终输不出 值，请写出所有满足要求的 的值，并说明你的
理由；
（3）若输出的 是 ，请写出两个满足要求的 值： ．17．（2023秋•市南区校级期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投
资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成 800平方米的长方形场
地，且其长、宽的比为 ．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地
的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
18．（2023春•潼南区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 ，若 的
百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，则称 为“均衡数”．将“均衡数” 的
百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与 相加的和记为 ．若三位数 是
“均衡数”，满足百位数字小于十位数字， 整数，且 能被十位数字与百位数
字的差整除，则 的值为 ．
19．（2023春•顺庆区校级月考）设 ， ， ，
， ，则
的值为
A． B． C． D．
三．非负数的性质：算术平方根（共9小题）
20．（2023春•平桂区 期中）若 ，则 的值为
A． B． C．1 D．2
21．（2023春•祥云县期末）已知 ．那么 的值为
A． B．1 C． D．22．（2023春•西城区校级期中）若 ，则 的值是
A． B．2 C．4 D．
23．（2023 春•蜀山区校级月考）若 、 为实数，且满足 ，则
的算术平方根为
A．4 B． C．2 D．
24．（2023•巧家县一模）若 ，则 ．
25．（2023春•宣城期中）已知 ， 是实数， ，则 的值是
．
26．（2023春•泸州期末）已知实数 ， 满足 ，则 等于 ．
27．（2023春•开封期末）已知实数 ， 满足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
28．（2023春•永善县期中）已知：实数 ， 满足 ，
（1）求 ；
（2）当一个正实数 的两个平方根分别为 和 时，求 的值．
四．立方根（共10小题）
29．（2023春•讷河市期末）下列说法不正确的是
A．0.09的平方根是 B．
C．1的立方根是 D．0的立方根是0
30．（2023春•巴东县期末）已知 ， ，那么下列各式正确的是A． B． C． D．
31．（2023秋•新安县期末）已知 ， ，且 ，则 ．
32．（2023秋•碑林区校级期末） 的立方根是 ； 的平方根是 ．
33．（2023秋•句容市期末）求下列各式中 的值：
（1） ；
（2） ．
34．（2023春•五华区校级期中）求下列各式中实数 的值
（1） ；
（2） ．
35．（2023春•涵江区期中）如果一个正数 的两个平方根分别是 和 ， 是
的立方根．
（1）求 和 的值．
（2）求 的算术平方根．
36．（2023春•南漳县期中）方程 的实数解的个数为
A．0 B．1 C．2 D．大于2
37．已知 ， ，则 ， ．
38．（2021春•天山区校级期中）已知甲数是 的平方根，乙数是 的立方根，则甲、
乙两个数的积是 ．
五．计算器—数的开方（共8小题）
39．（2023春•庐江县月考）下列计算结果正确的是
A． B． C． D．40．（2023春•确山县期中）某计算器中有 、 、 三个按键，以下是这三个按键的
功能．
① ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
② ；将荧幕显示的数变成它的倒数；
③ ：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．
若开始输入的数据为3，那么第2023步之后，显示的结果是 ．
41．（2023春•安达市期中）我们可以利用计算器求一个正数 的算术平方根，其操作方
法是按顺序进行按键输入： ．小明按键输入 显示结果
为4，则他按键 输入显示结果应为 ．
42．（2023•蕉岭县校级开学）用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：
1， ， ， ， ， 、如果从中选出若干个数，使它们的和大于
3，那么至少需要选 个数．
43．（2023春•江城区期中）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 的值为16时，输
出的数值为 ．（用科学计算器计算或笔算）．
44．（2023春•五华区校级期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利
用计算器计算得到下列数据：
0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180
（1）通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍；（2）已知 ，根据上述规律直接写出下列各式的值： ，
；
（3）已知 ， ， ，则 ， ；
（4）小明思考如果把平方根换成立方根，若 ， ，则 ，
．
45．（2023春•香洲区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
（1）分析发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大 倍；
（2）若一块长方形纸片的面积是 ，长与宽之比为 ，求这块长方形纸片的长与
宽（精确到0.1， ， ．
46．（2023春•乌鲁木齐期中）计算： （精确到
强化训练
一、单选题
1．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，则 的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
3．（2024下·全国·七年级假期作业）估算 的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
4．（2024下·全国·七年级专题练习）若 是 的算术平方根，则（ ）A． B． C． D．
5．（2024下·全国·七年级假期作业）给出下列各数： ， ，0， ， ，
， ．其中有平方根的数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2024下·七年级课时练习）求 的平方根，用式子来表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·山西晋城·七年级期末）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成
个大小相同的小正方体木块，则 的值可以是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
9．（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·西藏那曲·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．5是25的一个平方根 B．8的立方根是
C．9的平方根是3 D． 的平方根是
二、填空题
11．（2024下·全国·七年级专题练习）当 时，对于实数 ，代数式
的最小值为 ．
12．（2024下·全国·七年级专题练习）若a，b为实数，且 ，那么的值是 ．
13．（2024下·全国·七年级专题练习）已知 那么 ．
14．（2024下·全国·七年级专题练习）已知 、 、
…则第四个式子为 ．
15．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）（1） 的算术平方根是 ；（2）
的值为 ．
16．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）口算（1） （2）
（3） （4）
17．（2023下·山东滨州·七年级校考阶段练习）已知 的平方根是 ， 的立方根
是3，求 ．
18．（2023下·全国·七年级专题练习）某计算器上的三个按键 、 、 的功能分别是：
将屏幕显示的数变成它的算术平方根； 将屏幕显示的数变成它的倒数； 将屏幕显
示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，
若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ．
三、解答题
19．（2024下·全国·七年级专题练习）求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)
(2)(3)
20．（2024下·全国·七年级专题练习）已知± 是 的平方根，3是 的算术
平方根，求 的平方根．
21．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ，
是 的整数部分，求 的平方根．22．（2023下·河南信阳·七年级统考期中）（1）若 ，则 ；
（2）若 与 互为相反数，求m的值．
23．（2023下·广东广州·七年级西关外国语学校校考期中）求下列各数的算术平方根：
(1)121， ， ，1，900， ， ；
(2) ，7，29，106， ， ．
24．（2023下·湖北十堰·七年级校考期中）求下列各式中 的值．
(1)
(2)25．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）求下列各
式中x的值
(1)
(2)
26．（2023上·七年级课时练习）借助计算器计算下列各题．
（1） ________；
（2） ________．
（3） ________；
（4） ________；（5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求 的值．
