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第八章 实数全章题型总结【7 个知识点 13 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 平方根的概念及性质】
1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
3.开平方的定义
(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
4.被开方数
正数a的正的平方根记为“❑√a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.
【知识点2 算术平方根的概念及性质】
1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根❑√a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用❑√a来表示.
2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0
(2)算术平方根❑√a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即 a≥0；②非负数a的算术平方根为非负
数，即❑√a≥0.【知识点3 立方根的概念及性质】
1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类
似于平方根，一个数a的立方根记为“√3 a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.
②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【题型1 平方根与立方根的定义理解】
【例1】下列说法正确的有（ ）
①5是25的算术平方根；②±4是64的立方根；③❑√25的平方根是±❑√5；④0的平方根和算术平方
根都是它本身．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案．
【解答】解：①❑√25=5，即5是25的算术平方根，故①正确；
②√364=4，即4是64的立方根，故②错误；
③❑√25=5，即❑√25的平方根是±❑√5，故③正确；
④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：B．
【变式1】下列语句，写成式子正确的是（ ）
A．3是9的算术平方根，即❑√9=±3
B．﹣3是﹣27的立方根，即√3−27=±3
C．❑√2是2的算术平方根，即❑√2=2
D．﹣27的立方根是﹣3，即√3−27=−3
【分析】利用立方根及算术平方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：3是9的算术平方根，即❑√9=3，则A不符合题意；
﹣3是﹣27的立方根，即√3−27=−3，则B不符合题意；
❑√2是2的算术平方根，即2的算术平方根是❑√2，则C不符合题意；
﹣27的立方根是﹣3，即√3−27=−3，则D符合题意；
故选：D．
【变式2】学完平方根后，当堂检测环节刘老师布置了5道填空题，下面是丛丛的完成情况：①16的平方
√ 1 1
根是±4；②0的平方根是0；③9的算术平方根是3；④❑ 的算术平方根是是 ；⑤1的立方根是
16 2±1．若每做对一道题得20分，则该次检测丛丛应得分（ ）
A．100分 B．80分 C．60分 D．20分
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个计算判断即可．
【解答】解：①16的平方根是±4，正确；
②0的平方根是0，正确；
③9的算术平方根是3，正确；
√ 1 1 1 1
④❑ = ， 的算术平方根是是 ，正确；
16 4 4 2
⑤1的立方根是1，原计算错误；
所以丛丛做对了4道题，
若每做对一道题得20分，
则该次检测丛丛应得分20×4＝80（分），
故选：B．
【变式3】某同学在作业本上做的五道题：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为❑√4=±2；②
√ 25 5
−√3 −23=2；③❑√16的算术平方根是2；④❑1 =1 ；⑤±3都是27的立方根．请你帮他检查一
144 12
下，他做错了（ ）
A．2道 B．3道 C．4道 D．5道
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为±❑√4=±2，①符合题意；
②−√3 −23=2，②不符合题意；
③∵❑√16=4，
∴❑√16的算术平方根是❑√4=2，
∴③不符合题意；
√ 25 1
④❑1 =1 ，选项④符合题意；
144 12
⑤3是27的立方根，﹣3不是27的立方根，选项⑤符合题意，
综上，可得他做错了3道：①、④、⑤．
故选：B．
【题型2 算术平方根的非负性求值】
【例1】已知（a﹣1）2+|b+1|+❑√b+c−a=0，则a+b+c＝ ．【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．
【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|+❑√b+c−a=0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．
∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．
故答案为：2．
【例2】代数式3−❑√4−x2的最大值是 ．
【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．
【解答】解：∵❑√4−x2≥0，
∴3−❑√4−x2≤3，
即代数式3−❑√4−x2的最大值是3．
故答案为：3．
【变式1】如果❑√1−3x和❑√y−27互为相反数，那么❑√xy的平方根是 ．
【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵❑√1−3x和❑√y−27互为相反数，
∴1﹣3x＝0，y﹣27＝0，
1
解得：x= ，y＝27，
3
∴xy＝9，
∴❑√xy的平方根是：±❑√3．
故答案为：±❑√3．
【变式2】代数式−3−❑√a+b的最大值为 ，这时a、b满足的关系式是 ．
【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵❑√a+b有意义，
∴❑√a+b≥0，
∴﹣3−❑√a+b的最大值为﹣3；
此时❑√a+b=0，即a+b＝0．
故答案为：﹣3，a+b＝0．
【变式3】已知实数a，b，c满足(1−a) 2+❑√a2+b+c+|c+3|=0，且ax2+bx+c＝0，则3x2+6x+5的值为．
【分析】根据非负数性质求出a，b，c的值，代入ax2+bx+c＝0得x2+2x＝3，再把3x2+6x+5变形代入求
值即可．
【解答】解：∵(1−a) 2+❑√a2+b+c+|c+3|=0，
{
1−a=0
)
∴ a2+b+c=0 ，
c+3=0
{
a=1
)
解得， b=2 ，
c=−3
代入ax2+bx+c＝0，得，x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3，
∴3x2+6x+5＝3（x2+2x）+5＝3×3+5＝14
故答案为：14．
【变式4】已知非零实数a，b 满足 |2a−4|+|b+2|+❑√(a−3)b2+4=2a，则a﹣b等于（ ）
A．3 B．﹣2 C．1 D．5
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（a﹣3）b2≥0，
∴a﹣3≥0，
∴a≥3，
∴2a﹣4＞0，
∴原式变形为|b+2|+❑√(a−3)b2=0，
∴b+2＝0，（a﹣3）b2＝0，
∴b＝﹣2，a＝3，
∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5．
故选：D．
【题型3 立方根的性质求值】
【例1】已知：√32a−3+√37−3a=0，则❑√a+5= ．
【分析】由题意可得2a﹣3与7﹣3a互为相反数，解出a的值，代入运算即可．【解答】解：由题意得，2a﹣3+7﹣3a＝0，
解得：a＝4，
∴a+5＝9，
∴❑√a+5=3．
故答案为：3．
【变式1】已知√3 x−1+1＝x，则x＝ ．
【分析】根据√3 x−1+1＝x，可得√3 x−1=x﹣1，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵√3 x−1+1＝x，
∴√3 x−1=x﹣1，
∴x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，或x﹣1＝0，
解得x＝0，1或2．
故答案为：0，1或2．
【变式2】已知x为有理数，且√3 x−3−√32x+1=0，求x2+x﹣3的平方根．
【分析】根据题意得：x﹣3＝2x+1，解出x，代入x2+x﹣3，求出平方根．
【解答】解：∵√3 x−3−√32x+1=0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得x＝﹣4，
∴±❑√x2+x−3=±❑√16−4−3=±3．
【变式3】（1）已知√3 y−1和√33−2y互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根．
（2）已知x，y是实数，且❑√1+x−(y−1)❑√1−y=0，求x2023﹣y2023的值．
【分析】（1）由相反数的性质可得√3 y−1+√33−2y=0，进而得到y﹣1＝﹣（3﹣2y），求出y＝2，
又根据平方根等于本身的数只有0，可得到x＝5，求出x+y的值，即可得到x+y的平方根；
（2）由❑√1+x−(y−1)❑√1−y=0可得❑√1+x+(1−y)❑√1−y=0，根据算式平方根的非负性可得1+x
＝0，1﹣y＝0，求出x、y的值，代入代数式计算即可求解．
【解答】解：（1）√3 y−1和√33−2y互为相反数，
∴√3 y−1+√33−2y=0，
∴y﹣1＝﹣（3﹣2y），
∴y＝2，
∵x﹣5的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有0，∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
∴x+y＝7，
x+y的平方根为±❑√7；
（2）∵❑√1+x−(y−1)❑√1−y=0，
∴❑√1+x+(1−y)❑√1−y=0，
∴1+x＝0，1﹣y＝0，
解得x＝﹣1，y＝1，
∴x2023﹣y2023＝（﹣1）2023﹣12023＝﹣1﹣1＝﹣2．
【题型4 平方根与立方根中综合求值】
【例1】已知M=n−√4 m+3是m+3的算术平方根，N=2m−4n+ √3 n−2是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的根指数列出方程，求出m＝12，n＝6，再代入计算即可．
【解答】解：∵M=n−√4 m+3是m+3的算术平方根，N=2m−4n+ √3 n−2是n﹣2的立方根，
∴n﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝12，n＝6，
∴M=❑√12+3=❑√15，N=√36−2=√3 4，
∴M−N=❑√15−√3 4．
【变式1】已知A=a−√2a+b+3是a+b+3的算术平方根，B=a−2b+ √3 a+2b是a+2b的立方根，求B﹣A的立
方根．
【分析】a−√2a+b+3是a+b+3的算术平方根，得a﹣2＝2，继而求出a的值，a−2b+ √3 a+2b是a+2b的立
方根，得a﹣2b+3＝3，继而求出b的值，从而求出A，B，进而求出A﹣B的值．
【解答】解：∵a−√2a+b+3是a+b+3的算术平方根，
∴a﹣2＝2，
∴a＝4．
∵a−2b+ √3 a+2b是a+2b的立方根，
∴a﹣2b+3＝3，
∴4﹣2b+3＝3，
∴b＝2，
∴A=❑√4+2+3=❑√9=3，B=√3 4+2×2=√38=2，
∴B﹣A＝2﹣3＝﹣1，∴√3 B−A=√32−3=−1．
1
【变式2】已知：4a﹣11的平方根为±3， 的算术平方根为它本身，3c+13的立方根是4．
3a+b−1
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根据平方根的运算可求出a的，算术平方根的运算及a的值可求出b的值，立方根的运
算可求出c的值；
（2）把（1）中的a，b，c的值代入，根据平方根的运算即可求解．
【解答】解：（1）∵4a﹣11的平方根为±3，
∴4a﹣11＝（±3）2，
即4a﹣11＝9，
解得a＝5，
1
∵ 的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且3a+b﹣1≠0，
3a+b−1
1
∴ =1，即3a+b﹣1＝1，且a＝5，
3a+b−1
∴3×5+b﹣1＝1，解得，b＝﹣13，
∵3c+13的立方根是4，
∴3c+13＝43，即3a+13＝64，解得，c＝17，
∴a＝5，b＝﹣13，c＝17．
（2）解：由（1）可知，a＝5，b＝﹣13，c＝17，
∴a﹣b+c＝5﹣（﹣13）+17＝5+13+17＝35，
∴35的平方根为±❑√35，
∴a﹣b+c的平方根为：±❑√35．
【变式3】已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，√3 n+√32m=0．
（1）求m和n的值：
（2）求3a﹣2m的平方根．
【分析】（1）根据平方根和立方根的性质列出算式，求出m和n的值即可；
（2）求出a的值，再代入计算3a﹣2m的值，根据平方根的概念求出答案即可．
【解答】解：（1）由平方根的性质得，2m+1+5n+7＝0，2m+n＝0，
解得：m＝1，n＝﹣2，
（2）这个正数a＝（2m+1）2＝32＝9；当a＝9，m＝1时，3a﹣2m＝27﹣2＝25，
∵25的平方根是±5，
∴3a﹣2m的平方根为±5．
【题型5 运用开平方或开立方解方程】
【例1】解下列方程：
125
（1）8（x﹣1）3=− ；
8
（2）4（2x﹣1）2﹣36＝0．
【分析】（1）先两边同除以8，再两边开立方，最后解方程可得答案；
（2）先移项，再两边开平方，最后解方程可得答案．
125
【解答】解：(1)8(x−1) 3=− ，
8
125
(x−1) 3=− ，
64
5
x−1=− ，
4
1
x=− ；
4
（2）4（2x﹣1）2﹣36＝0，
（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝±3，
x＝2或x＝﹣1．
【变式1】求下列各式中的x的值：
1
（1）(x−1) 2=2 ；
4
（2）2（x2﹣2）3﹣16＝0．
【分析】（1）两边开平方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后得出（x2﹣2）3＝8，开立方根得出x2﹣2＝2，求出即可．
1
【解答】解：（1））(x−1) 2=2 ，
4
3
开方得：x﹣1＝± ，
2
x ＝2.5，x ＝﹣0.5；
1 2（2）2（x2﹣2）3﹣16＝0，
（x2﹣2）3＝8，
x2﹣2＝2，
即x2＝4，
解得：x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
【变式2】求下列各式中x的值．
（1）6（2x﹣3）2＝54；
216
（2）5（x﹣2）3=− ．
25
【分析】（1）根据平方根的意义，进行计算即可解答；
（2）根据立方根的意义，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）6（2x﹣3）2＝54，
（2x﹣3）2＝9，
2x﹣3＝±3，
2x﹣3＝3或2x﹣3＝﹣3，
x ＝3，x ＝0；
1 2
216
（2）5（x﹣2）3=− ，
25
216
（x﹣2）3=− ，
125
6
x﹣2=− ，
5
4
x= ．
5
【变式3】解方程
（1）3（8﹣x）3﹣（❑√3）2＝21；
21(x−3) 2 2
（2） + =3．
4 3
【分析】（1）根据立方根的定义即可求出答案．
（2）根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）3（8﹣x）3﹣（❑√3）2＝21，
3（8﹣x）3﹣3＝21，3（8﹣x）3＝24，
（8﹣x）3＝8，
8﹣x＝2，
x＝6．
21(x−3) 2 2
（2） + =3，
4 3
21(x−3) 2 7
= ，
4 3
4
（x﹣3）2= ，
9
2
x﹣3＝± ，
3
2 2
x﹣3= 或x﹣3=− ，
3 3
11 7
x= 或x= ．
3 3
【知识点4 实数的概念及分类】
1.有理数和无理数统称为实数.
2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.
常见的无理数形式：
①开方开不尽的数，如 ， 等；
②化简后含有π的数，如π， ；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…
3.实数的分类：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按定义分：实数
按符号分：实数【题型6 无理数的定义】
⋅ ⋅ 22
【例1】下面几个数：0.1237，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），−√30.064，3 ， ，❑√5，
7
❑ ❑
π
其中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用无理数定义即无限不循环小数判断即可．
【解答】解：−√30.064=−0.4，
无理数有：1.010010001…（两个1中间的0依次增多），3 ，❑√5，共有3个．
故选：C． π
【变式1】在实数❑√5、﹣3、0、√3−1、3.1415、 、❑√144、❑√6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次
加1个）中，无理数的个数为（ ） π
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：√3−1=−1，❑√144=12，
在❑√5，﹣3，0，√3−1，3.1415， ，❑√144，❑√6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1）中，无
理数有：❑√5， ，❑√6，2.1231223π12223…（1和3之间的2逐次加1），共4个．
故选：C． π
22
【变式2】在3.14， ，3.212212221，❑√3，− ，2❑√5，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐
7
π
次加1）中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数，常见的无理数的形式有： ，2 等；开方开不尽的数；像
0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）这样有规律的数．π π
22
【解答】解：无理数就是无限不循环小数，据此在 3.14， ，3.212212221，❑√3，− ，2❑√5，
7
π
2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，
其中 ，❑√3，2❑√5，2.1212212221………为无理数，共有4个．
故选：πD．
1
【变式3】在实数❑√8，1.732， ，❑√144，√3 9， ，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，
7
π
无理数个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数逐一分析即可．
【解答】解：∵❑√144=12，
1
∴在❑√8，1.732， ，❑√144，√3 9， ，2.123122312223•••（1和3之间的2逐次加1个）中，属于无理
7
π
数的有❑√8， ，√3 9，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）共4个．
故选：B． π
【知识点5 实数与数轴的关系】
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴
上的点是一一对应的.
【题型7 实数与数轴的关系】
【例1】实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a−π|+|❑√2−a|的结果为（ ）
A．π+❑√2−2a B．π−❑√2 C．❑√2−π D．2a−π−❑√2
【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则 ＞a，a＞❑√2，再运算绝对值即可求解．
【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3，π
∴a＜ ，a＞❑√2，
∴原式π＝ ﹣a﹣（❑√2−a）=π−❑√2．
故选：B．π
【变式1】如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正
方形的边长数值落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】先求小正方形的边长，再求出大正方形的边长，估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵面积为2的正方形的边长为❑√2，
∴向外等距扩0.5后边长为❑√2+1，
∵1＜2＜2.25，∴1＜❑√2＜1.5，
∴2＜❑√2+1＜2.5，
∴落在段④，
故选：D．
【变式2】如图，半径为0.5的圆周上有一点M落在数轴上﹣1点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点M
1
所处的位置在两个连续整数m，n之间（m＜n），则−2m− n的平方根是（ ）
2
A．±❑√3 B．−❑√3 C．−❑√12 D．±❑√12
【分析】根据圆的周长公式算出M点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到
点M新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案．
【解答】解：2 ×0.5＝ ，
∵﹣5＜﹣1﹣ π＜﹣4，π
∴﹣1﹣ 在﹣π4和﹣5之间，
∴m＝﹣π5，n＝﹣4，
1 1
∴−2m− n=−2×(−5)− ×(−4)=12，
2 2
12的平方根为±❑√12．
故选：D．
【变式3】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么❑√(b−a) 2+|a+b|−√3 b3化简的结果（
）
A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b
【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，b﹣a，a+b的符号，再根据平方根、
立方根以及绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
因此，b﹣a＜0，a+b＞0，所以，❑√(b−a) 2+|a+b|−√3 b3=a﹣b+a+b﹣b＝2a﹣b，
故选：C．
【知识点6 实数的运算】
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算
结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.
【题型8 实数的混合运算】
【例1】计算：
√1
（1）❑√36⋅❑ −❑√(−3) 2；
9
（2） √ 3 64 −√3 8+ √ 3 ( 7 −1) 2 ．
125 8
【分析】（1）首先计算开平方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可；
（2）首先计算开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
√1
【解答】解：（1）❑√36⋅❑ −❑√(−3) 2
9
1
＝6× −3
3
＝2﹣3
＝﹣1．
（2） √ 3 64 −√3 8+ √ 3 ( 7 −1) 2
125 8
4 1
= −2+
5 4
19
=− ．
20
【变式1】计算：（1）|2−❑√6|−❑√ (3−❑√6) 2；
√ 63
（2）√3 0.125+❑1− −❑√(−1) 2．
64
【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的性质分别计算即可；
（2）根据立方根，算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）|2−❑√6|−❑√ (3−❑√6) 2
=(❑√6−2)−(3−❑√6)
=❑√6−2−3+❑√6
=2❑√6−5；
√ 63
（2）√3 0.125+❑1− −❑√(−1) 2
64
√ 1
=√30.125+❑ −❑√1
64
1 1
= + −1
2 8
3
=− ．
8
【变式2】计算：
√64 2 √ 1
（1）❑ ×[(−2) 2+1]+√3−27+ ×❑20 ；
25 3 4
（2）❑√16+❑√(−3) 2+√38−❑√50+|7−5❑√2|．
1
【分析】（1）先把被开方数20 化为假分数，然后利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，
4
最后按照实数的运算法则计算即可；
（2）先估算7与5❑√2的大小关系，然后按照绝对值的意义去掉绝对值符号，其它的利用算术平方根的
定义、立方根的定义进行化简，即可得出结果．
√64 2 √ 1
【解答】解：（1）❑ ×[(−2) 2+1]+√3−27+ ×❑20
25 3 4
8 2 √81
= ×(4+1)−3+ ×❑
5 3 4
8 2 9
= ×5−3+ ×
5 3 2＝8﹣3+3
＝8；
（2）❑√16+❑√(−3) 2+√38−❑√50+|7−5❑√2|
=4+3+2−5❑√2+5❑√2−7
＝2．
【变式3】计算下列各题：
√ 1 √ 63
（1）❑2 −❑√0.25+31− ；
4 64
（2）|2−❑√3|+❑√(−4) 2−√3−8；
√ 3
（3）−❑√81+√3−1+√3512−3−2+ ．
64
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
3 1
【解答】解：（1）原式= −0.5+
2 4
5
= ；
4
（2）原式＝2−❑√3+4+2
＝8−❑√3；
5
（3）原式＝﹣9﹣1+8+
4
3
=− ．
4
【知识点7 实数大小比较】
1.利用数轴比较实数大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小。
2.无理数大小的比较
估算法：（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．例
如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【题型9 实数的大小比较】
【例1】比较2，❑√5，√37的大小，正确的是（ ）
A．2＜❑√5＜√37 B．2＜√37＜❑√5 C．√37＜2＜❑√5 D．√37＜❑√5＜2
【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．
【解答】解：∵26＝64，(❑√5) 6=[(❑√5) 2 ] 3=125，(√37) 6=[(√37) 3 ] 2=49，而49＜64＜125，
∴(√37) 6＜(❑√5) 6＜26，
∴√37＜2＜❑√5．
故选：C．
❑√5
【变式1】5−❑√2，2+ ，2+❑√2的大小关系是（ ）
2
❑√5 ❑√5
A．2+❑√2＞2+ ＞5−❑√2 B．5−❑√2＞2+ ＞2+❑√2
2 2
❑√5 ❑√5
C．2+ ＞5−❑√2＞2+❑√2 D．5−❑√2＞2+❑√2＞2+
2 2
❑√5
【分析】先根据 ＜❑√2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得
2
第一个数和第3个数的大小．
【解答】解：∵5＜8，
∴❑√5＜❑√8，
❑√5
∴ ＜❑√2，
2
❑√5
∴2+ ＜2+❑√2，
2
∵（5−❑√2）﹣（2+❑√2）＝3﹣2❑√2＞0，
❑√5
∴5−❑√2＞2+❑√2＞2+ ；
2故选：D．
【变式2】2❑√14、❑√226、15三个数的大小关系是（ ）
A．2❑√14＜15＜❑√226 B．❑√226＜15＜2❑√14
C．2❑√14＜❑√226＜15 D．❑√226＜2❑√14＜15
【分析】把2❑√14、❑√226、15三个数都变成算术平方根的形式，再比较被开方数的大小．
【解答】解：2❑√14=❑√56，15=❑√225，
∵56＜225＜226，
∴❑√56＜❑√225＜❑√226，
∴2❑√14＜15＜❑√226．
故选：A．
【变式3】已知甲、乙、丙三数，甲＝5+❑√15，乙＝3+❑√17，丙＝1+❑√23，则关于甲、乙、丙三个数的大
小关系，下列判断正确的是（ ）
A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
【分析】首先确定❑√15，❑√17，❑√23的范围，再比较大小即可．
【解答】解：∵3＜❑√15＜4，
∴8＜5+❑√15＜9，
∵4＜❑√17＜5，
∴7＜3+❑√17＜8，
∵4＜❑√23＜5，
∴5＜1+❑√23＜6，
∴丙＜乙＜甲，
故选：A．
【题型10 无理数的整数与小数部分】
【例1】阅读材料：我们知道❑√5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√5的小数部分我们不可能
全部写出来，而因为❑√4＜❑√5＜❑√9，即2＜❑√5＜3，于是❑√5的整数部分是2，将一个数减去其整数
部分，差就是小数部分，故可用❑√5−2来表示❑√5的小数部分．
请你结合以上材料，解答下列问题：
（1）❑√26的小数部分是 ，7+❑√19的整数部分是 ；
（2）如果❑√17的小数部分为m，3+❑√51的整数部分为n，求5m+2n的值；
（3）已知16+❑√62=p+q，其中p是整数，且0＜q＜1，请求出p+❑√62−q−5的算术平方根．
【分析】（1）估算出❑√26的整数部分，即可求得其小数部分；估算出❑√19的整数部分，即可确定7+❑√19的整数部分；
（2）求出❑√17的整数部分，即可求得m；估算出❑√51的整数部分，即可求得n，代入即可求解；
（3）估算出16+❑√62的整数部分与小数部分，从而确定出p与q的值，进而求得p+❑√62−q−5的值，
从而求得其平方根．
【解答】解：（1）∵5＜❑√26＜6，
∴❑√26的整数部分为5，小数部分为❑√26−5，
∵❑√16＜❑√19＜❑√25，
∴4＜❑√19＜5，
∴11＜7+❑√19＜12，
∴7+❑√19的整数部分为11，
故答案为：❑√26−5，11；
（2）∵4＜❑√17＜5，
∴❑√17的整数部分为4，则小数部分为❑√17−4，即m=❑√17−4，
∵❑√49＜❑√51＜❑√64，
∴7＜❑√51＜8，
∴10＜3+❑√51＜11，
∴3+❑√51的整数部分为10，即n＝10，
∴5m+2n=5(❑√17−4)+2×10=5❑√17；
（3）∵7＜❑√62＜8，
∴❑√62的整数部分为7，小数部分为❑√62−7，
∴16+❑√62的整数部分为23，小数部分为16+❑√62−23=❑√62−7，
由题意可得：
p＝23，q=❑√62−7，
∴p+❑√62−q−5=23+❑√62−(❑√62−7)−5=25，
∴其算术平方根为5．
【变式1】因为√31＜√33＜√3 8，即1＜√33＜2，所以√33的整数部分为1，小数部分为√33−1．类比以上推
理解答下列问题：
（1）求√330的整数部分和小数部分；
（2）若m是7−√320的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值．
【分析】（1）运用题目中的方法对√330的整数部分和小数部分进行估算求解；
（2）先运用题目中的方法估算出m的值，再运用平方根知识进行求解．【解答】解：（1）∵√327＜√330＜√364，
即3＜√330＜4，
∴√330 的整数部分是3，小数部分是√330−3；
（2）∵√3 8＜√320＜√327，
即2＜√320＜3，
∴√320的整数部分是2，
∴7−√320的整数部分4，
即m＝4，
∴方程（x+1）2＝m即（x+1）2＝4，
开平方，得x+1＝±2，
解得x ＝1，x ＝﹣3．
1 2
【变式2】阅读材料：❑√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√3的小数部分我们不可能全部写
出来，而1＜❑√3＜2，于是我们可用❑√3−1来表示❑√3的小数部分．请根据材料解答下列问题：
（1）❑√15的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果❑√6的小数部分为a，❑√23的整数部分为b，求（a+b﹣2）2的值；
（3）已知：98+❑√99=x+ y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+❑√99+5−y的算术平方根．
【分析】（1）先估算出❑√15的范围，即可得出答案；
（2）先估算出❑√6，❑√23的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出❑√99的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1）∵9＜15＜16，
∴3＜❑√15＜4，
∴❑√15的整数部分是3，小数部分是❑√15−3，
故答案为：3，❑√15−3；
（2）∵2＜❑√6＜3，
∴❑√6的整数部分是2，小数部分为❑√6−2，即a=❑√6−2；
∵4＜❑√23＜5，
∴❑√23的整数部分是4，即b＝4；
∴(a+b−2) 2=(❑√6−2+4−2) 2=6，
（3）∵81＜99＜100，
∴9＜❑√99＜10，∴107＜98+❑√99＜108，
∵98+❑√99=x+ y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=107，y=98+❑√99−107=❑√99−9，
∴x+❑√99+5−y=107+❑√99+5−❑√99+9=121，
∴x+❑√99+5−y的算术平方根为❑√121=11．
【变式3】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，
❑√2是无理数，而1＜❑√2＜2，所以❑√2的整数部分是1，于是可用❑√2−1来表示❑√2的小数部分．
1 1
材料2：若10− ❑√2=a+b❑√2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b=−
2 2
．
根据以上材料，完成下列问题：
（1）❑√17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）3+❑√3也是夹在相邻两个整数之间的数，可以表示为a＜3+❑√3＜b，求a+b的算术平方根．
1
（3）若❑√20−❑√16+ =x+y❑√5，则x＝ ，y＝ ．
5
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数❑√17的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+❑√3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
19
（3）将左边化为2❑√5− 即可．
5
【解答】解：（1）∵4＜❑√17＜5，
∴❑√17的整数部分为4，小数部分为❑√17−4，
故答案为：4，❑√17−4；
（2）∵1＜❑√3＜2，
∴4＜3+❑√3＜5，
∵3+❑√3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+❑√3＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
∴a+b的算术平方根为❑√9=3；
1 19
（3）∵❑√20−❑√16+ =x+y❑√5，即2❑√5− =x+y❑√5，
5 5
19
∴x=− ，y＝2，
519
故答案为：− ，2．
5
【题型11 估算无理数的近似值】
【例1】下面是小李同学探索❑√107的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是❑√107，且10＜❑√107＜11，
∴设❑√107=10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S
正方形
=102+2×10x+x2 ，S正方形 ＝107，
∴102+2×10x+x2＝107，
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即❑√107≈10.35．
（1）❑√74的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究❑√74的近似值；（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）
（3）结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a＜❑√m＜a+1，且m＝a2+b，请估算❑√m≈
．（用a、b的代数式表示）
【分析】（1）先判断8＜❑√74＜9，从而可得❑√74的整数部分；
（2）设❑√74=8+x，其中 0＜x＜1，再画图，可得 82+16x+x2＝74，当 x2较小时，省略 x2，得
16x+64≈74，再解方程可得答案；
（3）如图，设❑√m=a+x，可得正方形的面积为：a2+2ax+x2，而m＝a2+b，当x2较小时，省略x2，得
b
a2+2ax≈m＝a2+b，可得x≈ ，从而可得答案．
2a
【解答】解：（1）∵❑√64＜❑√74＜❑√81，
∴8＜❑√74＜9，
∴❑√74的整数部分是8；
（2）∵面积为74的正方形边长是❑√74，且8＜❑√74＜9，
∴设❑√74=8+x，其中0＜x＜1，如图所示，∵图中S =82+16x+x2 ，
正方形
∴82+16x+x2＝74，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈74，
得到x≈0.625，即❑√74≈8.6．
（3）如图，设❑√m=a+x，
正方形的面积为：a2+2ax+x2，而m＝a2+b，
当x2较小时，省略x2，得a2+2ax≈m＝a2+b，
b
∴x≈ ，
2a
b 2a2+b
∴❑√m≈a+ = ．
2a 2a
【变式1】小李同学探索❑√167的近似值的过程如下：
∵面积为167的正方形的边长是❑√167且12＜❑√167＜13，
∴可设❑√167=12+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积
S
正方形
=122+2×12x+x2 ，又∵S正方形 ＝167，∴122+2×12x+x2＝167．
由x2＜1，可忽略x2，得144+24x≈167，得到x≈0.96，即❑√167≈12.96．（1）写出❑√249的整数部分为 ，❑√360的整数部分为 ；
（2）仿照上述方法，探究解答❑√230的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）
【分析】（1）估算出❑√249，❑√360即可得到答案；
（2）仿照题意画出示意图进行求解即可．
【解答】解：（1）∵15＜❑√249＜16，
∴❑√249的整数部分为15，
∵18＜❑√360＜19，
∴❑√360的整数部分为18，
故答案为：15，18；
（2）∵15＜❑√230＜16，
∴可设❑√230=15+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示，
正方形的面积S =152+2×15x+x2 ，
正方形
又∵S正方形 ＝230，
∴152+2×15x+x2＝230，
由x2＜1，可忽略
∴225+30x≈230，得到x≈0.17，即❑√230≈15.17．
【变式2】阅读材料1．❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分不能全部写出来，但由于1＜❑√2＜2
，所以❑√2的整数部分为1，将❑√2减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为❑√2−1．
（1）直接写出❑√6的小数部分是 ；√37的小数部分是 ；
（2）已知12+❑√3=x+ y，其中x是整数，且0＜y＜1，求8﹣y的值；
阅读材料2．
小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求❑√107的
近似值（结果精确到0.01），设❑√107=10+x，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所
以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以❑√107≈10.35．
（3）利用小明的方法估算❑√125的近似值（结果精确到0.01）
【分析】（1）先估算出❑√6和√37在哪两个整数之间，再分别减去较小的整数，即是小数部分；
（2）估算出12+❑√3在哪两个整数之间，即可求解；
（3）根据材料中的方法估算即可．
【解答】解：（1）∵❑√4＜❑√6＜❑√9，
∴2＜❑√6＜3，
∴❑√6的小数部分是❑√6−2，
∵√31＜√37＜√38，
∴1＜√37＜2，
∴√37的小数部分是√37−1，
故答案为：❑√6−2，√37−1；
（2）∵❑√1＜❑√3＜❑√4，
∴1＜❑√3＜2，
∴13＜12+❑√3＜14，
∴x＝13，y=❑√3−1，
8−y=8−(❑√3−1)=9−❑√3；
（3）∵❑√121＜❑√125＜❑√144，
∴11＜❑√125＜12，
设❑√125=11+x，其中0＜x＜1，
则125＝121+22x+x2，
∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜1，
∴125≈121+22x，解得x≈0.18，所以❑√107≈11.18．
【变式3】阅读材料
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算❑√14的近似值．
小明的方法：∵❑√9＜❑√14＜❑√16，设❑√14=3+k（0＜k＜1），
∴(❑√14) 2=(3+k) 2，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k，
5 5
解得，k≈ ，∴❑√14≈3+ ≈3.83．
6 6
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算❑√30的近似值．
（2）已知非负整数a、b、m，若a＜❑√m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算❑√m的近似值（用含
a、b的代数式表示）．
【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出❑√30=5+k（0＜k＜1），再根据
题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
【解答】解：（1）∵❑√25＜❑√30＜❑√36，
设❑√30=5+k（0＜k＜1），
∴（❑√30）2＝（5+k）2，
∴30＝25+10k+k2，
∴30≈25+10k．
1
解得k≈ ，
2
1
∴❑√30≈5+ ≈5+0.5＝5.5；
2
（2）设❑√m=a+k（0＜k＜1），
∴m＝a2+2ak+k2≈a2+2ak，
∵m＝a2+b，
∴a2+2ak＝a2+b，
b
解得k= ，
2a
b
∴❑√m≈a+ ．
2a【题型12 平方根与立方根中小数点移动规律】
【例1】观察下列各式解决问题：
已知❑√15≈3.873，❑√1.5≈1.225，则❑√150≈ ．
已知√310≈2.154，√3 y≈−0.2154，则y＝ ．
【分析】根据算术平方根：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，立方根：被开方数扩大1000
倍，立方根扩大10倍直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵❑√15≈3.873，❑√1.5≈1.225，
∴❑√150≈12.25，
∵√310≈2.154，√3 y≈−0.2154，
∴y＝﹣0.01，
故答案为：12.25，﹣0.01．
【变式1】已知❑√0.1587≈0.3984，❑√1.587≈1.260，√30.1587≈0.5414，√31.587≈1.166，聪明的同
学你能不用计算器得出：（1）❑√15.87≈ ；（2）√30.001587≈ ．
【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可．
【解答】解：（1）∵❑√0.1587≈0.3984，
∴❑√15.87=❑√100×0.1587=10×❑√0.1587≈10×0.3984=3.984．
故答案为：3.984；
（2）∵√31.587≈1.166，
∴√30.001587=√31.587÷1000=√31.587÷10≈1.166÷10=0.1166，
故答案为：0.1166．
【变式 2】观察：❑√0.06137=0.2477，❑√6.137=2.477，√36.137=1.8308，√36137=18.308；填空：①
❑√613.7= ，②若√3 x=0.18308，则x＝ ．
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对
应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数
点的移动方向保持一致．
【解答】解：∵❑√6.137=2.477，
∴❑√613.7=24.77，
∵√36.137=1.8308，√3 x=0.18308，
∴x＝0.006137
故答案为：24.77，0.006137．【变式3】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
√3 b 0.16 1.6 16 160 1600
（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立
方根的小数点就向 移动 位．
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知√313≈2.35，则√30.013≈ ，√313000≈ ．
（3）类比上述立方根运算：已知❑√3.66≈1.913，则❑√366≈ ，❑√36600≈ ．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【解答】解：（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三
位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵√313≈2.35，
∴√30.013≈0.235，√313000≈23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）同理得：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向
右移动一位．
∵❑√3.66≈1.913，
∴❑√366≈19.13，❑√36600≈191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【题型13 实数中的新定义问题】
【例1】对于整数n，定义[❑√n]为不大于❑√n的最大整数，例如：[❑√2]＝1，[❑√6]＝2，[❑√9]＝3，对26进行
第一次 第二次
如下操作：26
→
[❑√26]＝5
→
[❑√5]＝2，即对26进行两次操作后变成2．若对整数a进行上述两次
操作后变为4，那么a的最大值为 ．
【分析】根据算术平方根的定义以及新定义义[❑√n]的意义进行计算即可．
第一次 第二次
【解答】解：由题意可知，a
→
[❑√a]＝b
→
[❑√b]＝4，
∵[❑√b]＝4，∴16≤b＜25，
∴整数b的最大值为24，
∵[❑√a]＝24，
∴24≤❑√a＜25，
∴576≤a＜625，
∴整数a的最大值为624．
故答案为：624．
【变式1】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[❑√3]＝1，现对72进行如下操作：72
第一次 第二次 第三次
[❑√72]＝8 [❑√8]＝2 [❑√2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需
→ → →
进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【分析】根据[a]表示不超过a的最大整数，对81只需进行3次操作后变为1，由此分别对82，182，
255，282进行操作，可得到只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的整数
【 解 答 】 解 ： [❑√81]=9，[❑√9]=3，[❑√3]=1.[❑√82]=9，[❑√9]=3，[❑√3]=1；
[❑√182]=13，[❑√13]=3，[❑√3]=1； [❑√255]=15，[❑√15]=3，[❑√3]=1；
[❑√282]=16，[❑√16]=4，[❑√4]=2，[❑√2]=1；
∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，算术平方根是16时就需要四次操作，取整数，
∴最大的数是255．
故答案为：255．
【 变 式 2 】 若 记 [x] 表 示 任 意 实 数 的 整 数 部 分 ， 例 如 ： [3.5] ＝ 3 ， [❑√5]=2， … ， 则
[❑√1]−[❑√2]+[❑√3]−[❑√4]⋯−[❑√98]+[❑√99]（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 ．
【分析】找到1～100所有平方数，确定其中间各个数字的个数规律，直接计算即可得到答案．
【解答】解：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，
∵[x]表示任意实数的整数部分，
1～3由3个1，4～8有5个2，9～15有7个3，16～24有9个4，25～35有11个5，
36～48有13个6，49～63有15个7，64～80有17个8，81～99有19个9，
∴原式＝1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9＝5，
故答案为：5．
【变式3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[❑√3]=1，现对72进行如下操作：72第1次[❑√72]=8第2次[❑√8]=2第3次[❑√2]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似
→ → →
地，（1）对85只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最
大的是 ．
【分析】根据新运算依次求出即可．
【解答】解：[❑√85]=9，[❑√9]=3，[❑√3]=1，
故对85只需进行3次操作后变为1，
∵22＝4，42＝16，162＝256，
∴[❑√255]=15，[❑√15]=3，[❑√3]=1，
故只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：3；255．
【变式4】新定义：若无理数❑√T的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），
则称无理数❑√T的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数−❑√T的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣
n），例如：因为12＜2＜22，所以❑√2的“青一区间”为（1，2），−❑√2的“青一区间”为（﹣2，﹣
1），请回答下列问题：
（1）❑√17的“青一区间”为 ；−❑√23的“青一区间”为 ；
（2）实数x，y，满足关系式：❑√x−3+|2023+(y−4) 2 |＝2023，求❑√xy的“青一区间”．
【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可．
【解答】解：（1）∵42＜17＜52，
∴❑√17的“青一区间”为（4，5）；
∵42＜23＜52，
∴−❑√23的“青一区间”为（﹣5，﹣4）；
故答案为：（4，5），（﹣5，﹣4）；
（2）∵❑√x−3+|2023+(y−4) 2|=2023，
∴❑√x−3+2023+(y−4) 2=2023，
即❑√x−3+(y−4) 2=0，
∴x＝3，y＝4，∴❑√xy=❑√12，
∵32＜12＜42，
∴的“青一区间”为（3，4）．
