文档文本内容
1 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 专题13 与圆有关的弧长、面积计算 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 题型2、平面镶嵌问题 题型3、弧长、路径长的计算 题型4、与圆有关的图形面积计算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 与圆有关的弧长、面积计算，要熟练掌握弧长公式 l=(nπR)/180、扇形面积公式 S=(nπR²)/360=(1/2)lR； 求不规则图形面积常用“割补法”“等积变换”“整体减空白”；路径长问题需分清是点绕定点旋转还是滚动， 确定圆心角与半径；正多边形与圆、平面镶嵌问题要抓住中心角、边心距与半径的关系；综合题注意结合 三角形、相似、三角函数建立方程，注意分类讨论． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 典例1 （2025·浙江杭州·三模）已知，正方形 和它的外接圆 ． 目 录 2 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若点 在弧 上， 是 上的一点，且 ，过点 作 ， ．求 的半径； (2)如图2，若点 在弧 上，过点 作 ，试探究此时线段 、 、 之间的关系．请写出 你的结论并证明； (3)如图3，在正方形 中， ，若点 满足 ，且 ，请直接写出点 到 的距 离． 【答案】(1) (2) 解： ，理由如下： 在 上取点G，使 ，连接 ， 同理（1）可得： ， ∴ ， 在正方形 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形三角形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； (3) 或 【分析】（1）连接 、 ，由题意易得 ，则可证 ，然后可得 3 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ，进而可得 是等腰直角三角形，进而在 中，勾股定理，即可求解． （2）在 上取点G，使 ，连接 ，同理（1）可得： ，则有 是等腰直 角三角形三角形，然后问题可求解； （3）由题意易得点P 在以 为直径的圆上，则可分当点P 在如图3①所示位置时，当点P 在如图3②所示 位置时，进而问题可求解 【详解】（1）解：连接 、 ，如图所示： ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ 是 的直径， ∴ 在 中， ∴ 4 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 的半径为 （2）略 （3）解：点A 到 的距离是 或 ，理由如下： ∵ ， ∴点 在以点 为圆心，为半径的圆上， ∵ ， ∴点 在以 为直径的圆上， ∴点 是这两圆的交点， ①当点P 在如图3①所示位置时， 连接 、 、 ，作 ，垂足为H，过点A 作 ，交 于点E，如图3①， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴A、P、D、B 在以 为直径的圆上， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， 又∵ 是等腰直角三角形，点B、E、P 共线， ， ∴由（2）中的结论可得： ， ∴ ， 5 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ； ②当点P 在如图3②所示位置时， 连接 、 、 ，作 ，垂足为H，过点A 作 ，交 的延长线于点E，如图3②， 同理可得： ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：点A 到 的距离为 或 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周 角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适 当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． 题型模版 1.特征：正多边形与圆结合，求边长、边心距、半径、中心角或相关面积． 2.方法：利用正n 边形中心角 360°/n 及边心距、半径、边长的一半构成直角三角形；结合勾股定理与三角 函数求解． 变式1-1 （25-26 九年级上·浙江台州·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多 边形逼近圆，从而估算 范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为 ， ，可得 ， 即 ．若利用两个正六边形的面积，则可得 的范围为______ ． 【答案】 / 【分析】本题考查正多边形和圆，锐角三角函数，掌握相关知识是是正确解答的关键．根据正六边形的性 6 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 质，直角三角形的边角关系求出 、 的底和高，进而求出正六边形 ，正六边形 的面积，有两个正六边形的面积与圆面积的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，连接 ，则 是正三角形， ， ， 作 ， ， ， 连接 ， ∵ 切圆于点 ， ∴ ， 在 中， ， ， ， ， ， 圆的面积为 ， ， 即 ， 故答案为： 变式1-2 如图①， 是 的直径， ，点C 在 上且位于直线 上方，将半径 绕点O 顺时 针旋转 ，点C 的对应点为点D，连接 ， ． 7 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (1)以 为边的 内接正多边形的边数为 ； (2)当直径 平分 时，求 的长； (3)如图②，连接 并延长，交 的延长线于点E，当 是等腰三角形时，直接写出扇形 的面积． 【答案】(1)9 (2) (3)扇形 的面积为 或 或 【分析】（1）根据旋转得出 ，再根据圆内接正多边形的性质即可得出答案； （2）先求出 ，然后根据弧长公式进行计算即可； （3）分三种情况：当 时， 时， 时，分别画出图形，求出扇形所对的圆心角度数， 然后再求出扇形的面积． 【详解】（1）解：根据旋转可知， ， ∴以 为边的 内接正多边形的边数为： ； 故答案为：9． （2）解：∵点C 在 上且位于直线 上方，将半径 绕点O 顺时针旋转 ，点C 的对应点为点D， 直径 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长是 ． 8 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当 是等腰三角形，且 时，如图所示： 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ； 当 是等腰三角形，且 时，如图所示： 则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 是等腰三角形，且 时，如图所示： 9 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述，扇形 的面积为 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，扇形面积计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质， 三角形内角和定理的应用，弧长计算，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论． 变式1-3 如图1，五边形 是 的内接五边形， ，对角线 于点 ． (1)①若 ，则 _______； ②猜想 和 的数量关系，并证明； (2)如图2，当 经过圆心 时，若 ， ，求 ； (3)作 于点 ，求 的值． 【答案】(1)① ；② (2) (3) 【分析】（1）①连接 ，由题意可得 ，根据圆周角定理可得 ，以此即 10 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 可求解； ②连接 ，根据三角形内角和定理可得 ，由圆周角定理可得 ，再 根据三角形内角和定理得 ，将 代入化简即可； （2）如图，连接 、 ，连接 交 于点 ，根据勾股定理求得 ，设 ，则 ， 在 中，利用勾股定理建立方程解得 ，于是 ， ， ，易得 垂直 平分 ，设 ，则 ，利用双勾股定理建立方程求得 ，进而求出 ， ，在 中，利用勾股定理即可求解； （3）连接 、 、 、 ，过点 作 于点 ，由圆周角定理可得 ，易得 ， 由平行线的性质得 ，由等边对等角得 ，进而可得 ，根据等角减 等角相等可得 ，于是可通过 证明 ，得到 ，根据等腰三角形三线合一 性质得 ，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ； 故答案为： ； ② ， 证明：如图，连接 ， 11 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ； （2）解：如图，连接 、 ，连接 交 于点 ， 在 中， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 解得： ， ， ， ， ， ， 垂直平分 ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， 12 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 在 中， ， 解得： ， ， ， 为 的直径， ， 在 中， ； （3）解：如图，连接 、 、 、 ，过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 13 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性 质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 题型2、平面镶嵌问题 典例2 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千 图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图 案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套 了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个 正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角 度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于 ． 深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接 ， ， ， ，发现 的结论如下： 14 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 （1） ， ， ， 分别是正方形 各边的中点； （2） 是顶角为 ，底角为 的等腰三角形； （3） 中， ； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边 ， 的垂直平分线，分别交 ， ， ， 于点 ， ， ， ； （2）分别作 和 的角平分线，交于点 ；利用旋转 对称性作出点 ， ， ； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形 为正方形 的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接 ， ，交于点 ．线段 是否与线段 相等，请说明理由． 15 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形 中作出其内嵌正八边形（不写作图步 骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1) （答案不唯一，合理即可） (2) ． 理由如下： ∵正八边形的内角和是 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． ∵四边形 是正方形， ∴ ． ∵八边形 是正八边形， ∴ ． 在 与 中， ∴ ， ∴ ． 设 ． 在 中， ， ∴ ， 16 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 在 中， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． (3)如图，八边形 即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点 ， 由旋转对称性作图得到，得出 ，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得 ，进而可得 ，根据四边形 是正 方形，得出 ，根据正八边形得出 ，证明 得出 ，设 ，解直角三角形得出 ，则 在 中， 根据 ，得出 ，即可证明 ． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解： （答案不唯一，合理即可） ∵ ，且点 ， 由旋转对称性作图得到， ∴对角线 经过正方形内嵌正八边形的顶点 和 ， ∴ ． （2）略 （3）略 17 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：用正多边形能否密铺平面，或计算镶嵌中相关角度、面积． 2.方法：判断正多边形每个内角能否整除360°；分析拼接点处各角之和为360°的条件，必要时列方程求解． 变式2-1 （25-26 八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【项目背景】 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片， 叫做平面图形的镶嵌． (1)用两种平行四边形镶嵌成如图1 所示的图案，其中 ， ，则 ， °； 【项目探究】 (2)如图2，在平行四边形环保材料 中， ，点E 为边 的中点，连接 ， ，试探究 与 的位置关系并证明； 【方案设计】 (3)某课外活动实践小组拟用上述环保材料 镶嵌室内活动场地，计划先将 分割、拼接成长方形， 再用这种拼成的长方形进行镶嵌．（要求： 最多被分割两次，拼接成长方形后不再进行分割） ①请设计两种新的方案，将 进行分割、拼接成一个长方形，在下图中画出你的方案设计示意图，并 参照示例图3，用画阴影的方式对平移或旋转的图形进行标记； ②已知长方形场地的长为 、宽为 ，环保材料 的边 为 ， 为 ， 边上的高为 ．小组发现，存在一种方案恰好能用 分割拼接成的长方形镶嵌整个长方形场地， 请给出这种方案，并通过计算说明理由． 18 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)5；100 (2) ，理由如下： ∵平行四边形 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ，点E 为边 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ； (3)①如图 ②如图分割， 一张环保材料 可分割成长 ，宽 的两张矩形， ， ， ∴分割后的环保材料需用8 行25 排可以镶嵌整个长方形场地． 【分析】（1）利用平面图形的镶嵌的知识解答即可； （2）利用平行四边形的知识，结合等边对等角求解即可； （3）利用平面图形的镶嵌的知识画出图形即可解答． 19 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ； （2）解：略 （3）解：①略； ②略 变式2-2 项目主题：探究多边形的密铺 中国的密铺工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉唐发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺 中的密铺，传承着东方美学与匠心精神． 密铺定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地组成一 片，又叫平面镶嵌．为了更多地了解平面密铺，“鹿鸣•博约”数学项目小组对多边形的平面密铺进行了如 下探究： 探究一：正多边形的密铺 (1)项目组思考，仅用同一种类型的正多边形进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）： (2)项目组尝试用两种正多边形进行平面密铺，是否能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密 铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正四边形的个数；若不能，请说明理由． (3)项目组继续用三种正多边形进行平面密铺，如图1，用边长相等的正三角形、正四边形和正六边形按图中 所示的规律密铺． ①按此规律，则第n 个图案有____个正方形；（用含n 的代数式表示） ②按此规律，是否存在这样一个图案，它的正方形个数是第x 个图案与第y 个图案正方形个数之和的6 倍．若 存在，求出是第几个图案（用含x，y 的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 项目组发现，正三角形，正四边形，正五边形，正六边形分别各取一个内角相加，有 ，故用四种以及四种以上的正多边形不能密铺整个平面．所以，项目组 思考一般多边形是否可以平面密铺． 探究二：一般多边形的密铺 20 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (4)项目组发现：任意两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，可以进行平面密铺，因此有以下猜想： ①任意四边形都能密铺；②任意五边形都能密铺：③任意六边形都能密铺，正确的结论有______；（填写所 有可选择的序号） (5)项目组从杂志上看到了一幅图2 所示密铺作品，该作品是由若干个全等的如图3 所示的五边形 进 行的密铺形成，已知 ，求边 的长度： 【答案】(1)①②④ (2)能，每一个顶点周围有个正三角形和 个正四边形 (3)① ； ②不存在，理由如下： 设存在第 个图案满足条件， 第 个图案正方形有 个，第 个图案正方形有 个， 由题意得， ， 整理得， ， 因为 为正整数， 所以 不是整数，而 是整数，故等式不成立，故不存在； (4)① (5) 【分析】（1）分别求出每个正多边形的内角，密铺的条件是内角的度数能够整除 ； （2）设每个顶点周围有 个正三角形和 个正四边形，由题意得， ，求出其正整数解即 可； （3）①找出规律即可求解；②设存在第 个图案满足条件，第 个图案正方形有 个，第 个图案正 方形有 个，由题意得， ，再整理分析即可； （4）根据各个多边形的内角和以及多边形的结构特征分析即可； （5）设 的度数分别为 ，先根据图形列出方程组求解 的度数，再延 长 交于点 ，延长 交于点 ，过点 作 于点 ，然后解直角三角形即可． 【详解】（1）解：①正三角形每个内角 ， ，能够密铺； ②正四边形每个内角 ， ，能够密铺； 21 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ③正五边形每个内角为 ， 不是整数，不能密铺； ④正六边形每个内角为 ， ，能够密铺； （2）解：能， 设每个顶点周围有 个正三角形和 个正四边形， 由题意得， ， 整理得， ， 符合条件的正整数解只有 ， ∴能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺，每一个顶点周围有个正三角形和 个正四边 形； （3）解：①第1 个图案有 个正方形； 第2 个图案有 个正方形； 第3 个图案有 个正方形； 依次类推，可得则第n 个图案有 个正方形； ②略 （4）解：①任意四边形内角和为 ，可以将四个角拼成 ，故①正确 ②任意五边形内角和为 ，不是 的整数倍，仅特定的五边形可密铺，故②错误 ③存在能够密铺的六边形，如正六边形，但任意不规则的凸六边形不能保证能够密铺，故③错误； （5）解：如图， 22 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 设 的度数分别为 由图可得， ，而 ，解得 由图可得， ， 而由五边形内角和等于 可得， ∴ 解得 由密铺可得， ，即 ， 延长 交于点 ，延长 交于点 ，过点 作 于点 ， ∴ ∴ ∴ ∴ 是等边三角形， ∴ 在 中， ， ∴ 23 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴在 中， ∵ ∴ ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ． 变式2-3 综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重 叠地铺成一片，叫做图形的密铺． 密铺方式构建：运用密铺知识得到图1 所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为 ． (1)密铺规律探究：为方便研究，称图2 为图1 的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1 时，图1 每增加一个图2 所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个 正三角形，长度增加 ③ ，从而x 个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ． 【项目分析】 ①项目条件：场地为长 、宽 的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1 元和5 元． ②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． ③方式确定： （ⅰ）考虑成本因素，采用图1 方式进行密铺； （ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1 所示方式 依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． (2)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为 的墙自左向右拼接（如图3）． 24 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 根据规律，令 ，解得 ，所以每行可以先拼10 块拼接第一行单元，即共用去10 个正六 边形和60 个正三角形组件，由 知，所拼长度为 ，剩余 恰好还可以摆放一个正 六边形组件（如图3 所示的阴影正六边形）．最终需用11 个正六边形和60 个正三角形组件，本方案每行的 成本为 ⑤ 元． 由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s 行，则 ，解得 ，故需 铺21 行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元． 方案二：第一行沿着长度为 的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 ，解得 ，所以每行可以先拼12 块拼接单元，即共用去 12 个正六边形和72 个正三角形组件，由 知，所拼长度为 ，剩余 ，无法再摆放 组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元． 由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s 行，则 ，解得 ，故需 铺18 行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元． 【项目实施】 (3)根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ． 【答案】(1)1；6；60； (2)115；2415；132；2376 (3)二 【分析】（1）通过观察图2 所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出 长度的增加量，进而得出 个拼接单元拼成一行的长度； （2）根据两种方案每行所需两种组件的数量、每种组件的价格以及拼接行数计算每行成本和总成本． （3）比较两种方案的总成本即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，每增加一个拼接单元，增加1 个正六边形和6 个正三角形；增加的总长度为3 个 边长，即 ； 25 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 有一个拼接单元时的长度为70 cm， 有2 个拼接单元式时的长度为 ， 有3 个拼接单元时的长度为 ， … 所以x 个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ． （2）解：方案一： 因为每行需要11 个正六边形和60 个正三角形组件，正三角形和正六边形组件的单价分别为1 元和5 元， 则 每行的成本为 （元）； 需要铺21 行， 所以所需的总成本为 （元）； 方案二： 因为每行需要12 个正六边形和72 个正三角形组件，则 每行的成本为 （元）； 需要铺18 行， 所以所需的总成本为 （元）． （3）解： ， 选择方案二． 题型3、弧长、路径长的计算 典例3 （25-26 九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 如图，四边形 为 的内接四边形，连接 ， ， 为等边三角形， ， ． (1)求证： ． 26 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (2)①尺规作图：过点 作 ，交 的延长线于点 ． ②求证： ． (3)求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形 的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推 导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系． （1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等； （2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作 图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明 ，从而得边相等； （3）根据（2）得出的全等，证明 为等边三角形，求出 长度，过点 作 于 ，利用 和 ，以及勾股定理，求出 的长度，过点 作 于 ，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长 公式计算即可． 【详解】（1）∵ 为等边三角形 ∴ ∴ ∴ （2）①解：尺规作图如下： 步骤一：以点 为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线 于点 ，交线段 （或射线 ）于点 ； 步骤二：以点 为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线 于点 （使得 ，即点 在射线 上且 等于步骤二中的半径）； 步骤三：以点 为圆心，以线段 的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点 （取与点 位于直线 相反侧的交点）； 步骤四：过点 和点 作直线，则直线 即为所求的过点 且平行于 的直线，交 的延长线于点 ． 原理：由作图可知， ，故 ，内错角相等，所以 ． 27 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ②证明：∵ 为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵四边形 为 的内接四边形 ∴ ∵在 和 中 ∴ ∴ （3）解： 28 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 由（2）得 ∴ ， ∵ ∴ 为等边三角形 ∴ 如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ∵ ，则 ∴ ∵在 中， ∴ 又∵ ∴在 中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在 中，设 ，则 ∴ 29 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 整理得 或 （舍） ∴ ∴ 题型模版 1.特征：求点在运动过程中经过的路径长，涉及弧长或折线轨迹． 2.方法：确定运动轨迹的圆心、半径和圆心角；用弧长公式计算；多段路径分段求和． 变式3-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形 中， ，C 是 上一点，O 关 于 的对称点D 正好落在 上．若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及轴对称的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题关键； 连接 ，根据轴对称基本性质得到 ，进而可得到 为等边三角形，再通过勾股定理算出 的长度，进而可求出 的长． 【详解】解：连接 ，故 ， ∵O 关于 的对称点为D， ∴ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 30 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， 在直角 中， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的长为： ， 故选：C． 变式3-2 （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1) 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边 ，如图 （1）所示．则 的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2) 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边 ，如图（2）所 示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连接 ， ∵ 、 都是等边三角形， 31 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ， ∴① ； ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴②______∥______； 当点E 在点A 处时，点F 与点C 重合． 当点E 在点C 处时， ． ∴③点F 所经过的路径长为 ． (3) 是边长为3 的等边三角形，M 是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边 ，如图（3） 所示．在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长． (4)正方形 的边长为3，E 是边 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶 点作正方形 ，其中点F，G 都在直线 上，如图（4）．当点E 到达点B 时，点F，G，H 与点B 重 合．则点H 所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 【答案】(1)1 (2)① ； ；② ； ；③3 (3)点N 所经过的路径长为 32 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (4) 【分析】（1）证明 ，则 ，问题即解决； （2）读懂每步推理的依据，即可完成； （3）取 的中点H，连接 ，证明 ，则当点M 在点C 处时， ，且 ， 此时在 中即可求得 的长，从而求得结果； （4）当E、B 不重合时，取 的中点M，连接 ，可证 ，可得H、G、C 三点共线， 可得 ；当点E 在C 处时， ，所以可确定点H 所经过的路径，从而求得路径长． 【详解】（1）解：∵ 都是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：1； （2）解：当点E 不与点A 重合时，如图，连接 ， ∵ 都是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 当点E 在点A 处时，点F 与点C 重合． 33 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 当点E 在点C 处时， ． ∴点F 所经过的路径长为3． 故答案为：① ； ；② ； ；③3； （3）解：如图（3），取 的中点H，连接 ，则 ， ∵ 是等边三角形， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∵ 是等边三角形， 由（2）知 ， ∴ ， 即 ， 当点M 在点D 处时，点N 与点H 重合， 当点M 在点C 处时， ，且 ， 在 中， ， ∴ ， 所以点N 所经过的路径长为 ； （4）解：如图①，当点E 不与点B 重合时，取 的中点M，连接 ， 34 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 由四边形 和四边形 都是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴H、G、C 三点共线， ∵ 是 斜边上的中线， ∴ ， 当点E 在C 处时，如图②， ， 所以点H 所经过的路径长为：以点M 为圆心，半径为 ，圆心角为 的弧， 此时弧长为： ， 故答案为： ． 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角 形的判定与性质，弧长的计算等知识；关键是正确寻找到点的运动路径，这是属于几何压轴题． 变式3-3 （24-25 九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图1，扇形 中， ， ，点P 在 半径 上，连接 ． (1)把 沿 翻折，点O 的对称点为点Q． 35 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ① 当点Q 刚好落在弧 上，求弧 的长； ② 如图2，点Q 落在扇形 外， 与弧 交于点C，过点Q 作 ，垂足为 H， ，求 的长，猜想并直接写出 三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形 在直线 上方的部分为图形W，把图形W 沿着 翻折，点B 的对称点为点E，弧 与 交于点F，若 ，求 的长． 【答案】(1)① ；② ， ，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接 ，根据折叠的性质可得 是等边三角形，可得 ，再根据弧长公式 即可求解；②过点O 作 ，垂足为点G，则 ，根据 可得 ，由此即可求 解； （2）将 沿着 翻折得 ，过点Q 作 ，垂足为点H，过点P 作 ，垂足为点D， 则四边形 是矩形， 中，可求出 ，在 中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接 ，由翻折得 ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ 弧长为： ； ②过O 作 ，垂足为点 ，则 （垂径定理）， ∴ ， ∵翻折， ∴ ， 36 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ，即 ， ∴ ， ∴ ； （2）如图所示，将 沿着 翻折得 过点Q 作 ，垂足为点H，过点P 作 ，垂足为点D ∵ ∴四边形 是矩形 由折叠和 (1) 可知， ∵ ， ∴ ∴ ， 中， 37 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 的长为 ． 【点睛】本题主要考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等 三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型4、与圆有关的图形面积计算 典例4 （25-26 九年级上·浙江·期中）如图，已知 是 的直径，点 ，在 上， 且 ， 过圆心 作 ，垂足为 ． (1)求 的长． (2)若 的延长线交 于点 ，求弦 ， 和 所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得点E 是 的中点、进而由三角形中位线定理得 ，再由含30 度角直 角三角形的性质得 ，即可求得 的长； （2）连接 ，易得 是等边三角形，则可得 ，从而阴影部分的面积等于扇形 的面 积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴点E 是 的中点， ∵O 是 的中点， 38 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ 是直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：连接 ，如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 39 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质， 三角形中位线定理、含30 度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 题型模版 1.特征：求与圆相关的阴影部分或不规则图形面积，常用割补、等积、整体减空白． 2.方法：把图形分解为扇形、三角形、弓形等基本图形；利用对称、等积变换转化为可求面积；注意圆心角 与半径的准确选取． 变式4-1 （25-26 九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆 的直径 ，弦 ，弦 在半圆上滑 动，点 从点 开始滑动，到点 与点 重合时停止滑动，若 是 的中点，则在整个滑动过程中线段 扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定 理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出 ，再由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，进而由勾股定理得出 长，同理得到 的长，再根据旋转性质可得 旋转的圆心角为 ，半径 ，最后由扇 形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点 与点 重合时，连接 ，如图所示： 40 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∵点 是 的中点， ，且 ， ， 半圆 的直径 ， ， ∴在 中， ， ， 当 在半圆弧上旋转到点 与点 重合时，如图所示： 此时，同理可得 ， ， ∵ 是圆心O 到弦CD 的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦 在半圆上滑动，点 从点 开始滑动，到点 与点 重合时停止滑动，则点M 在以O 为圆心， 为半径的圆上运动， 即 就绕着点 逆时针旋转 ，如图所示： ， ， ， 则 ， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形 与扇形 面积相等， ∴在整个滑动过程中线段 扫过的面积 ， 41 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 故选：B． 变式4-2 （24-25 九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形 的边长为3，将长为 的线段 的 两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 从点 出发，在 上滑动，同时点 在 上滑动，当 点 到达点 时，运动停止，那么在这个过程中，线段 的中点 所经过的路线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，由直角三角形斜边中线可得 ， 得到点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，再求出两种特殊位置时， ， 的值， 最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接 ． ∵正方形 的边长为3， ∴ ， ， ∵线段 的中点 ， ， ∴ ， ∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， 当点Q 与A 重合时，在 中， ， ∴ ， 42 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 是等边三角形， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当 与C 重合时，同法可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴线段 的中点M 所经过的路线长 ， 故选：D． 变式4-3 图①，矩形纸片 的边 ， ，将矩形纸片 沿对角线 剪开，得到 和 ．如图②，将 绕点 逆时针方向旋转 ，（ ，且 ）得到 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两直线交于点 ． (1)求证：四边形 是菱形． (2)当 时，求四边形 的面积． (3)当四边形 有一个角是 度时，直接写出线段 扫过的面积． 【答案】(1)证明： ， ， 四边形 是平行四边形， 由旋转可得 ， 四边形 是菱形； (2) (3)线段 扫过的面积为 或 或 或 【分析】（1）由题意可得四边形 是平行四边形，由旋转得 ，即可得证； （2）根据勾股定理求出 ，当 时，四边形 是正方形，即可求解； 43 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 （3）分当 时，当 时，当 时，当 时，四种情况求解． 【详解】（1）略 （2）解： 矩形纸片 的边 ， ， ， 当 时，四边形 是正方形， 四边形 的面积为 ； （3）当 时， ，线段 扫过的面积为 ； 当 时， ，线段 扫过的面积为 ， 当 时， ，则 ，线段 扫过的面积为 ； 44 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 当 时， ，线段 扫过的面积为 ； 线段 扫过的面积为 或 或 或 ． 变式4-4 材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中， 为上底长， 为下底长， 为高．其推导方法有很多，其中一 种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图， ，对于梯形 ，上底 ，下底 ，高为 ，为了得到梯形 的面积，延长 和 交于点 ，过点 作 于点 并交 于点 ，不难证明 ，则 ，所以， 材料 ：扇形面积公式 如图 ，半径为 ，圆心角为 的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长 半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． 45 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (1)结合材料和材料 的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、 和 的代数式表示， 其中 的长度为， 的长度为 ，线段 的长为 ，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为 米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段 的长 为多少时，花园的面积最大， 最大面积是多少？ 【答案】(1) ， 证明：设半径 ，圆心角 ，则 ， 由弧长计算公式得 ， ， ， 由扇形面积计算公式得 (2)当线段 的长 为 时，花园的面积最大，最大面积是 ． 【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式表示出对应弧长和扇形面积，注意到 ，以及 ，化简 ；（2）根据 及 得出 ，利用二次函数性质即可求出当 时，花园的面积最大且面积 是 ． 【详解】（1）略 46 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：由对称性得 ， ， ， 当 时， ， 由二次函数的性质知当线段 的长 为 时，花园的面积最大，最大面积是 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放 大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边 的延长线与对角线 交于点E，则 的 度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为 ，求得 ，根据正六 边形的每个内角为 ，求得 ，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为 ， ∴ ， 47 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 正六边形的每个内角为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 2．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径 ， 是半圆上两点， 且 ，连接 ．现分别以点 、点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 、点 ．施 工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 ，设 与 相交于点 ，由圆周角定理得 ，即得 ，得到 ，即得到 ， ，再利用直角三角形的性质和勾股定理 得 ，得 ， ，得 ，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接 ，设 与 相交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 48 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．如图，在 中， ，以 为直径的半圆交 于点 ，若 ，则图中阴 影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用 进行计算即可． 【详解】解：记 的中点为点O， 连接 和 ， ∴ ， ∴ ， 49 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ，即 ， ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴以 为直径的半圆的面积为 ， 过O 点作 于E， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴扇形 的面积 ， 50 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 4．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是 的直径，点C，点D 是半圆上两点，连结 ， 相交于点P，连结 ， ．已知 于点E， ．下列结论：① ；②若 点P 为 的中点，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则扇形 的面积 为 ．其中正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是 掌握并熟练应用以上知识点．由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线 定理，可以解决问题． 【详解】解：① ， ， ， 是 的直径， ， ， 故①正确，符合题意； ② 点 为 的中点， ， 为直径， ， ， 51 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ③连接 ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，故③正确，符合题意； ④ ， ， 又 ， ，由③知 为等边三角形， ，则扇形 的面积为 ．故④错误，不符合题意； 故选：B． 5．如图，在圆内接正六边形 中，点P 在对角线 上，记图中的面积分别为 ， ， ， ， ， ，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（ ）． 52 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 、 、 、 ， 交 于M．得到 ， ，从而 ， ， ， ，设 ，则 ，分别求得 ， ， ， ， ， 计算即可． 【详解】解：连接 、 、 、 ， 交 于M． 由题可知， ， ， ， ， ， 在圆内接正六边形 中， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 53 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ， ， 故 的值带有x，不能确定． 6．（25-26 八年级上·重庆·期中）半径为2 的扇形 的圆弧和以 为直径的半圆围成如图所示的阴影 部分，已知 ，则阴影部分的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以 为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解： ，且 ， . ， 中间空白部分的面积为 又 ， 以 为直径的半圆面积为 ， 阴影部分的面积为 故答案为： 7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是 以O 为圆心， 长为半径的圆弧，C 是弦 的中点，D 在 上， ，“会圆术”给出 的长l 的 54 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 近似值s 的计算公式： ，当 时， ___________(结果保留 ) 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长，垂径定理，勾股定理，弧长公式，掌握相关定理公式是问题求解的关键． 根据已知条件求得 和 的长，代入 得到弧长的近似值，利用弧长公式求得弧长的值，即 可完成求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 是弦 的中点， 在 上， ， ∴延长 可得 在 上， ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ． 故答案为： ． 8．图1 是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2 是其示意图．两个正 六边形的边 与 ， 与 均在同一直线上．木板 （木板厚度忽略不计）， ，则 的长为______ ．盆栽由矩形 和圆弧 组成，且 ， ， 恰好在同一直线上，已知 ，圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之比为 ，则圆弧 的半径为______ ． 55 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 20 【分析】设 的圆心是 ，作 于 ，连接 ，由正六边形的性质求出 ， 的长， 由直角三角形的性质， 等腰三角形的性质求出 的长，得到 的长，由勾股定理 列出关于 半径的方程， 即可解决问题； 【详解】解：设 的圆心 是 ，作 于 ，连 接 ， ∵ 是圆弧最高点， ∴ 在 上， ∵两个多边形是正六边形， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， 三点共线， ∵四边形 是矩形， ∴ 56 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∵圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之 比为 ， ∴ 到 的距离是 ， 设 的半径是 ， ∴ 的半径是 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键 是由以上知识点求出正六边形的边长， 的长， 的长得到 的长，由勾股定理列出关于 半 径的方程 9．用若干张全等的小正六边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），形成的图案（部分）如图所示，每个小 正六边形纸片的中心称为“繁星点”，用6 个“繁星点”为顶点构成的一个正六边形称为“衍生六边形”， 比如图中的六边形 ．已知某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60 个“繁星点”，则该 “衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有___________个． 57 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【答案】271 【分析】设一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有 个“繁星点”，根据题意列出 时 对应的该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数，找出规律即可解答． 【详解】解：设一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有 个“繁星点”， 当 时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为 ， 当 时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为 ， 当 时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为 ， 当 时，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为 ， …… 依此类推，该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”个数为 ， ∵某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60 个“繁星点”， ∴ ，即 ， ∴该“衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有 个． 10．（25-26 九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕 点A 旋转得到正六边形 ，连接 ， ．若 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，则旋 转过程中 的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取 的中 58 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 点 构造两条中位线． 连接 ，取 的中点 ，连接 、 ， ，根据中位线可得 、 ，而根据三 角形两边之和大于第三边可得 ，当 、M、Q 三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答 案． 【详解】解：连接 ，取 的中点 ，连接 、 ， ，如图1， ∵若P，Q 分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ， ， ∵ ，当 、 、 三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中 的最大值时， ， ， 过点 作 ，垂足为H，如图1， ∵在正六边形 中， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴ 的最大值为 ， 当旋转过程中 的最大值时， ，如图2， 由正六边形性质可知： ， ， 59 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即：将正六边形 绕点A 逆时针旋转 时， ， 的最大值为 ， 故选B． 11．（25-26 九年级上·福建福州·期中）在 中， ，将 绕点 逆 时针旋转得 ． (1)如图1，将 绕点A 逆时针旋转 得 ，求 的大小； (2)如图2，线段 交线段 于点F， 在绕点A 旋转一周的过程中： ①求证：点F 是 的中点； ②点F 移动的路程为___________． 【答案】(1) (2) ①证明：过点 作 交 的延长线于点 ， 60 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ∵旋转， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 是 中点； ② 【分析】（）由旋转的性质可得， ， ， ，进而根据等边 对等角即可求解； （ ）①过点 作 交 的延长线于点 ，证明 得到 即可求证； ②取 的中点 ，连接 ， ，三角形的中位线定理得到 ，故点 在以 为圆心， 的长为半径的圆上，斜边上的中线得到 ，得到 三点共圆，根据线段 交 线段 于点F，得到点 的运动路程为线段 交线段 与点 开始，一直到线段 交线段 与点 结 束的一段圆弧，进行求解即可． 61 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， 由旋转得， ， ， ， ∴ ， ∴ ； （2）①略 ②取 的中点 ，连接 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵旋转， ∴ ， 由①可知：点 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∴点 在以 为圆心， 的长为半径的圆上运动，且 三点共圆， ∵线段 交线段 于点F， ∴当线段 交线段 与点 开始出现点 ，当线段 交线段 与点 时，点 开始消失， ∴点 的运动路程为线段 交线段 与点 开始，一直到线段 交线段 与点 结束的一段圆弧，如 图： 由图可知，当 交 于点 时， ∵旋转， 62 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 又∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴点 的运动路径为 ，对应的圆心角的度数为 ， ∴点 的移动路程为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30 度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理， 斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，求弧长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等 三角形，确定点 的轨迹，是解题的关键． 12．（25-26 八年级下·福建莆田·阶段检测）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把 平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状， 例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成 个三角形，得到其内角和是 ， 则一个内角的度数就是 ．若一个内角度数能整除 ，那么这样的正n 边形就可以进行平面 密铺． 图1 和图2 就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形 就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4 就是利用不规则的五边形得到 的一种密铺图案． 63 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边 形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三 种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m 个正三角形，n 个正六边 形，则m，n 满足的关系式是 ． 【答案】(1)正六边形 (2)①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦ (3) 【分析】（1）当 时，正六边形的内角度数能整除 ，即得答案； （2）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰 好组成一个周角，即可得到答案； （3）由题意列方程 ，化简方程即得答案． 【详解】（1）解：正六边形的一个内角为 ， ， 故正六边形可以进行平面密铺； （2）解：∵①正三角形的内角为 ，②正方形的内角为 ，③正五边形的内角为 ，④正六边形的 内角为 ，⑤正八边形的内角为 ，⑥正十边形的内角为 ，⑦正十二边形的内角为 ， ∵ ， ， ， ， ， ， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦； （3）解：由题意得： ， 即 ， 故答案为： ． 64 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 13．（25-26 八年级下·北京·期中）【活动一】 在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝 合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的 多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究： 【思考】 (1)小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长 相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2 所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌： (2)如果只能用一种正多边形 ．．．．进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一 个即可）来实现平面镶嵌； 【综合】 (3)小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3 所示，他发现用边长相等的正三 角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶 嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号） ①正方形和正六边形 ②正方形和正八边形 ③正五边形和正三角形 ④正五边形和正十边形 【活动二】 (4)新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地 板瓷砖是由多个边长为1 的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个 的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4 所 示的小马图案．现在，他想用3 块等腰直角三角形、1 块直角梯形和1 块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶 嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4 的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案 ．．．．．． 的序号 ．．．． 65 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) (2)正六边形（答案不唯一） (3)②④ (4) 如图，即为所求． 【分析】（1）每个拼接点处各个角的和正好等于一个周角，即可求解； （2）只需要满足正多边形的内角能整除 即可； （3）先求出每个正多边形的内角，然后根据拼接点处内角和为 求解即可； （4）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：拼接点处各个角的和为 ； （2）解：除了正方形和正三角形之外，小明还可以用正六边形来实现平面镶嵌（答案不唯一）， ∵正六边形的每个内角为 ， ， ∴3 个正六边形即可实现平面镶嵌； （3）解：①正六边形每个内角为 ，正方形每个内角为 ， 设需要 个正六边形， 个正方形， 则 ， 整理得， ，此方程无正整数解，故①不符合题意； ②正八边形每个内角为 ，正方形每个内角为 ， 设需要 个正八边形， 个正方形， 66 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 则 ， 整理得， ， 符合题意的正整数解只有 ，故需要 个正八边形，1 个正方形，故②符合题意； ③正五边形每个内角为 ，正三角形每个内角为 ， 设需要 个正五边形， 个正三角形， 则 ， 整理得， ，此方程无正整数解，故③不符合题意； ④正五边形每个内角为 ，正十边形每个内角为 设需要 个正五边形， 个正十边形， 则 ， 符合题意的正整数解只有 ，故需要 个正五边形，1 个正十边形，故④符合题意； （4）解：略． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度， 的三个顶点 ． (1)作 关于点A 中心对称的图形 ，B 点的对称点为点 ，C 点的对称点为点 ，请画出 的图形． (2)将 绕点C 顺时针旋转 ，得到 的图形，请画出 ． (3)在（2）的运动过程中，线段 经过旋转扫过区域的图形的面积 ． (4)在直线 上有一条线段 （E 点在上，F 点在下）， ，则四边形 周长最小值为 ． 【答案】(1)如图， 即为所求； 67 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图， 即为所求； (3) (4) 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出 即可； （2）根据旋转的性质，画出 即可； （3）求出扇形的面积即可； （4）作 ，作点A 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点F，连接 ， 易得四边形 的周长的最小值为 ，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知： ， ∴线段 经过旋转扫过区域的图形的面积 ． （4）解：如图，作 ，作点A 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点F， 连接 ，则四边形 为平行四边形， ， 68 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 此时 ，值最小，即四边形 的周长最小． ∵ ， ， ∴四边形 的周长的最小值 ． 15． （25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在半径为2 的圆形纸片中，剪一个圆心角为 的扇形． （结 果保留 ） (1)若 ，求这个扇形的面积； (2)思考：如何剪使得扇形的面积最大？ ①若 ，求这个扇形的最大面积； ②若 ，求这个扇形的最大面积． (3)扇形的最大面积随 变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应 的范围． 69 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) (2)① ；② (3)见解析； 【分析】本题考查了求扇形面积；勾股定理，垂径定理； （1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值； （2）先求得扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可求解； （3）根据（1）、（2）的结论画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接 ， ∵扇形 是圆心角为 的扇形， ∴ ， ，则 为圆的直径， ∴ ， 由 得 ， ∴扇形的面积为 ； （2）解：①如图，连接 ， ，过点 作 于点 ， 依题意， ， ∴ 是等边三角形， 70 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ ， ∴ ∴ ∴扇形的面积为 ； ②如图，连接 ， ， 依题意， ， ∴ ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴扇形的面积为 ； （3）如图， 当 和 时，扇形的面积相等，扇形的最大面积随 变化而变化， 如图所示，扇形的面积最大，根据（1）、（2）的结论可得 71 / 71学科网 学科网（北京）股份有限公司
