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1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题08 角平分线的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 题型02 利用角平分线的性质求面积 题型03 利用角平分线的性质求线段长 题型04 利用角平分线的性质确定位置 题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 题型07 尺规作图（角平分线） 题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 题型09 利用角平分线的性质作辅助线 题型10 利用角平分线的性质进行证明 题型11 角平分线与截长法 ▌题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离 1. 角平分线上的任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： ∵ OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴ PC=PD 2. 解题步骤 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①识别角平分线 找到平分角的射线，确定角的两条边。 ②作两条垂线段 过角平分线上的点，分别向角的两边作垂线，标出直角。 ③等量代换 两条垂线段长度相等，已知一条就能求另一条。 ④代入数值计算 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，若CD＝3，则点 D 到AB 的距离为（ ） A．4 B．3.5 C．3.2 D．3 【变式1-1】（2026 春•即墨区期末）如图，BM 是∠ABC 的平分线，点D 是BM 上一点，点P 为直线BC 上 的一个动点．若△ABD 的面积为10，AB＝5，则线段DP 的长不可能是（ ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【变式1-2】（2026 春•龙岗区期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于 点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB 的长是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-3】（2025 秋•张家川县期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9， 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 DE＝2，AB＝5，则AC 长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 ▌题型02 利用角平分线的性质求面积 角平分线上任意一点，到角两边的距离相等。 求面积关键：用这条相等的垂线段作高，结合底算面积。 已知：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，则𝐷𝐸= 𝐷𝐹= ℎ， 则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1 2 𝐴𝐵∙ℎ+ 1 2 𝐴𝐶∙ℎ= 1 2 ℎ(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶) 【典例1】（2026 春•新城区期末）如图，BD 为∠ABC 的角平分线，DE⊥BC 于点E，AB＝5，DE＝2，则 △ABD 的面积是（ ） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【变式1-1】（2026 春•南海区校级期中）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝8，CD＝ 3，则△ABD 的面积是（ ） 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1-2】（2026•海州区二模）如图，在△ABC 中，𝐵𝐶= 3 2 𝐴𝐵，∠ABC 的平分线BD 交AC 边于点D．若 △ABC 的面积为25，则△BCD 的面积是（ ） A．6 B．9 C．10 D．15 【变式1-3】（2026 春•闵行区校级月考）如图，在△ABC 中，BC＞BA，在BC 上截取BD＝BA，作∠ABC 的平分线与AD 相交于点P，连接PC．若△ABC 的面积为4，则△BPC 的面积为（ ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 ▌题型03 利用角平分线的性质求线段长 1. 过角平分线上的点，向角两边作垂直； 2. 写出两条垂线段相等； 3. 结合面积、全等列等式； 4. 解方程求出目标线段。 【典例1】（2026 春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于点E，△ABC 的面 积为28，DE＝4，BC＝9，则AC 的长是（ ） 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】（2026 春•温江区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于 点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE 等于（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式1-2】（2026 春•禅城区校级期中）如图，AB∥CD，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点P， 且与AB 垂直．若BC＝6 且△BCP 的面积为6，则AD 的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2025 秋•安阳县期末）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于点E，S△ABC＝30，DE ＝4，BC＝10，则AC 的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型04 利用角平分线的性质确定位置 角平分线上的点到角两边的距离相等，那么到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点。 6 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•榕城区期中）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一 个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（ ） A．在边AC，BC 两条高的交点处 B．在边AC，BC 两条中线的交点处 C．在边AC，BC 两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC 和∠ACB 两条角平分线的交点处 【变式1-1】（2026•奉贤区二模）已知点H 在△ABC 内，如果点H 到边AB、AC 的距离相等，且S△ABH＝ S△BCH，那么点H 的位置是（ ） A．∠BAC 的角平分线与AC 边上中线的交点 B．∠BAC 的角平分线与AB 边上中线的交点 C．∠ABC 的角平分线与AB 边上中线的交点 D．∠ABC 的角平分线与BC 边上中线的交点 【变式1-2】（2026 春•宝山区校级期中）幸福小区的三个出口A，B，C 的位置如图所示．物业公司计划在 不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3 个出口的距离都相等以方便业主， 则充电桩应建在△ABC 的（ ） A．3 条高的交点处 B．3 条中线的交点处 C．3 条边的垂直平分线的交点处 D．3 条角平分线的交点处 【变式1-3】（2026 春•市南区校级期末）一块三角形的草坪如图所示，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪3 条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．△ABC 的3 条中线的交点 B．△ABC 的3 边垂直平分线的交点 C．△ABC 的3 条高所在直线的交点 D．△ABC 的3 条角平分线的交点 ▌题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 MN 2 1 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于 Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 【典例1】（2025 秋•兴安盟期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画 弧，分别交AC、AB 于点M、N，再分别以点M、N 为圆心，大于 1 2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线P 交BC 于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD 的面积是（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【变式1-1】（2025 秋•张北县期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3 条漫步小路，小路MN∥PQ，小路AB 与MN，PQ 均相交．若要在小路MN 上修建一个凉亭O，使其到小路AB，PQ 的距离相等，关于如图所 示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（ ） O N M B P A 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式1-2】（2025 秋•惠州期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧， 分别交AB，AC 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于 1 2 𝐸𝐹的长为半径画弧，两弧在∠BAC 内部交 于点P，作射线AP 交BC 于点D．若CD＝2，S△ABD＝7，则AB 的长为 ． 【变式1-3】（2026•大庆模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以点C 为圆心，以小于BC 的长为半 径画弧，分别交AC，BC 于点E，F；再分别以点E、F 为圆心，以大于 1 2EF 的长为半径画弧，两弧交于 点O，作射线CO 交AB 于点G．若BG＝3，AG＝4，H 为AC 上一动点，则GH 最短为 ． ▌题型06 周长与面积之间的联系（等面积法） 三角形三个内角平分线交于点𝑂，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑂𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹， 则𝑂𝐷= 𝑂𝐸= 𝑂𝐹= ℎ， 则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶+ 𝑆△𝐵𝑂𝐶= 1 2 𝐴𝐵∙ℎ+ 1 2 𝐴𝐶∙ℎ+ 1 2 𝐵𝐶∙ℎ= 1 2 ℎ(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶)， 即𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 ℎ∙𝐶△𝐴𝐵𝐶 9 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 秋•金平区期末）如图，已知△ABC 的周长是48cm，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点 O，OD⊥BC 于点D，若OD＝3.5cm，则△ABC 的面积是（ ）cm2． A．84 B．31.5 C．42 D．24 【变式1-1】（2026 春•高碑店市月考）如图，△ABC 的周长是20，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD ⊥BC 于点D，且OD＝3，则△ABC 的面积是（ ） A．30 B．25 C．60 D．40 【变式1-2】（2025 秋•西山区期末）如图，△ABC 的角平分线BD、CD 交于点D，且点D 到BC 的距离等 于2cm，△ABC 的面积是40cm2，则△ABC 的周长为（ ） A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm 【变式1-3】（2025 秋•潮南区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线BP、CP 交于点P， PE⊥AC 于点E．若△ABC 的面积为10，△BPC 的面积为7，PE＝4，则△ABC 的周长为（ ） 10 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．8 B．10 C．11 D．12 ▌题型07 尺规作图（角平分线） 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 MN 2 1 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C 在∠AOB 的平分线OM 上，点D 在边OB 上，且OD＝12， △OCD 的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA 上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作 法） O N M B P A 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC 于点D，并使D 到BC，AB 的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD 的长． 【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠C＝90°． （1）过点B 作∠ABC 的平分线交AC 于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和 证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC 的面积． 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D 的距离相等，且车站 到两条公路OA、OB 的距离相等，在∠AOB 内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） ▌题型08 角平分线的性质与全等三角形结合 1. 角平分线两大性质 1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。 2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： 若OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。 2. 全等三角形判定（常用4 种） SSS、SAS、ASA、AAS。 【典例1】（2026 春•榆树市期中）如图，△DOE 的角平分线OF、EF 相交于点F，若∠DOE＝60°，EF 交 OD 于A、DF 交OE 于B． （1）若AD＝5，DE＝8，则BE＝ （直接写出答案）． （2）线段DE 与AD、BE、有怎样的数量关系？写出说明理由． 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 秋•阳新县期末）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于点F， 且∠BDE＝∠CDF．求证：AD 平分∠BAC． 【变式1-2】（2025 秋•洛宁县期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点E，点 F 在AC 上，BE＝FC．求证：BD＝DF． 【变式1-3】（2025 秋•长春期末）如图所示，BD 平分∠ABC，AB＝BC，点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥ CD，M、N 为垂足．求证：PM＝PN． 14 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型09 利用角平分线的性质作辅助线 见角平分线上一点，向两边作垂线。 题目给出角平分线，求证线段相等、求线段长度、证面积相等。 操作步骤 （1）过平分线上的点，分别作角两条边的垂线段； （2） 根据角平分线性质：两条垂线段相等； （3）利用相等垂线，证明三角形全等； （4）等量代换得到目标边相等。 【典例1】如图，已知四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，且∠BAD 与∠BCD 互补，求证：AD＝CD． 【变式1-1】如图，∠B＝∠C＝90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC，求证：∠DMA＝90°． 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M 为BC 的中点，AM 平分∠DAB． （1）DM 是否平分∠ADC？请证明你的结论． （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式1-3】在△ABC 中，作出∠ABC、∠ACB 的内、外角平分线，两个内角平分线交于E 点，两个外角平 分线交于D 点，直线BE 与直线CD 交于M 点． （1）如图1，若∠BMC＝20°， ①直接写出∠BDC，∠BEC，∠BAC 的度数．∠BDC＝ ，∠BEC＝ ，∠BAC ＝ ． ②连接AM，求出∠CAM 的度数． （2）如图2，△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，AB＝15cm，AC＝17cm，∠ABC 的内角平分线和∠ ACB 的外角平分线交于M 点，过M 作MN⊥BC，垂足为N，求MN 的长度． 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型10 利用角平分线的性质进行证明 角平分线两大性质 1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。 2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言： 若OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。 【典例1】如图，已知OA、OC 分别是△ABC 的外角∠DAC 和∠ACE 的平分线，连接OB． （1）求证：BO 平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC 与△ABC 的面积分别是12 和18，求△ABC 的周长． 【变式1-1】如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB＝BC，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M，PN⊥CD 于N， 求证：PM＝PN． 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN ⊥BF．求证： （1）CP 平分∠ACF； （2）∠ABC+2∠APC＝180°． 【变式1-3】（2026 春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分 线上． （1）如图1，已知BG，CG 是△ABC 的角平分线，求证：点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等； （2）如图2，BP，CP 分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝ 60°，求∠PAC 的度数． 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型11 角平分线与截长法 截长法 ①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接…… ②过某点作AB（最长线段）的垂线 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段 上截取 条件：𝑨𝑫平分∠𝐁𝐀𝐂，结论：CD BD AB = + 。 在 上截取 ，连接 ． 在 和 中 ， ， ∴ ∴ ， 又∵ ∴ ， ∴ ∴ ． 【典例1】（2025 秋•杨浦区期末）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，点D 在边BC 上，且AD 平分∠BAC．求证：BD＞CD． D C B A AB AD AC = D C B A AC AB AE = DE ABD △ AED △ AB AE = BAD EAD = AD AD = ABD AED △ ≌△ BD ED = B AED = 2 AED EDC C B C = + == EDC C = ED EC = AB BD AC + = E D C B A 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图，已知AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，点E 在线段CD 上． （1）求∠AEB 的度数； （2）求证：CE＝DE． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA，AD＝DC，BD 平分∠ABC． 求证：∠BAD+∠C＝180°． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（1）如图1，已知四边形ABDC 为长方形，∠CAB 和∠ABD 的平分线恰好交于CD 边上的点 E，试判断：AB AC+BD（填＞、＜或＝） （2）如图2，已知AC∥BD，EA、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD，CD 过点E，且CD⊥AC 试探究AB、 AC 与BD 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）题中，如果没有“CD⊥AC”这个条件，（2）题的结论还成立吗，请说明理由．
