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专题06 全等三角形的判定
（题型突破·举一反三）
▌题型01 利用SSS 证明两个三角形全等
【典例1】
【解答】解：∵点A、B、E、D 在同一条直线上，AE＝BD，
∴AE﹣BE＝BD﹣BE，
∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE，
∴AB＝DE．
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵点E 是线段BC 的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE 和△DCE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐴𝐸= 𝐷𝐸
，
∴△ABE≌△DCE（SSS）．
【变式1-2】
【解答】证明：由线段的中点，可知，AC＝CF，
∵BC＝EC，AB＝FE，
在△ACB 与△FCE 中，
{
𝐴𝐶= 𝐹𝐶
𝐵𝐶= 𝐸𝐶
𝐴𝐵= 𝐹𝐸
，
∴△ABC≌△FEC（SSS）．
【变式1-3】
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【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BF+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
▌题型02 利用SAS 证明两个三角形全等
【典例1】
【解答】证明：在△ABE 和△DCE 中
{
𝐴𝐸= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
【变式1-1】
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
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∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式1-3】
【解答】证明：∵∠ECB＝∠ACD，
∴∠ECB﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD，
∵AC＝EC，BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
▌题型03 利用ASA 证明两个三角形全等
【典例1】
【解答】证明：在△ABE 和△DCE 中，
∵{
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐸= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶
，
∴△ABE≌△DCE（ASA）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵点A，D，B，E 在同一条直线上，AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
∴AB＝DE，
在△ACB 和△DFE 中，
{
∠𝐴= ∠𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸
，
∴△ACB≌△DFE（ASA）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠E，
在△EAD 和△ABC 中，
{
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷
𝐴𝐶= 𝐷𝐸
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸
，
∴△EAD≌△ABC（ASA）．
∴AD＝BC．
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【变式1-3】
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E 是CD 的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE 与△FCE 中，
{
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐶
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）由（1）知：△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
又∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
在△AEB 和△FEB 中，
{
𝐵𝐸= 𝐵𝐸
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵
𝐴𝐸= 𝐹𝐸
，
∴△AEB≌△FEB（SAS），
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝FC，
∴BC＝AB﹣AD．
▌题型04 利用AAS 证明两个三角形全等
【典例1】
【解答】证明：∵AB 与CD 相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
在△AOC 和△BOD 中，
{
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
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∴△AOC≌△BOD（AAS）．
【变式1-1】
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，
∴DF＝BE．
在△AEB 和△CFD 中，
{
∠𝐴= ∠𝐶
∠𝐵= ∠𝐷
𝐵𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△AEB≌△CFD（AAS）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵点E 为AB 的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE 和△ECB 中，
{
∠𝐷= ∠𝐶
∠𝐷𝐸𝐴= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐴𝐸= 𝐵𝐸
，
∴△ADE≌△ECB（AAS）．
【变式1-3】
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD﹣CD＝CF﹣CD，
即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠EDF，
在△ABC 和△DEF 中，
{
∠𝐵= ∠𝐸
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
▌题型05 三角形的稳定性
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【典例1】C．
【变式1-1】A．
【变式1-2】D．
【变式1-3】稳定性．
▌题型06 玻璃碎片问题
【典例1】C．
【变式1-1】D．
【变式1-2】A．
【变式1-3】B．
▌题型07 画出唯一的三角形
【典例1】D．
【变式1-1】C．
【变式1-2】A．
【变式1-3】B．
▌题型08 全等三角形的个数
【典例1】C．
【变式1-1】B．
【变式1-2】C．
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【变式1-3】
1
2n（n+1）．
▌题型09 全等三角形的判定
【典例1】B．
【变式1-1】D．
【变式1-2】C．
【变式1-3】A．
▌题型10 添加条件证明三角形全等
【典例1】
【解答】（1）解：AC＝BD 或∠CAE＝∠DBF 或∠AEC＝∠BFD，
故答案为：AC＝BD 或∠CAE＝∠DBF 或∠AEC＝∠BFD；
（2）证明：∵CF＝DE，
∴CF+EF＝DE+EF，即CE＝DF．
在△ACE 和△BDF 中，
{
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
∠𝐶= ∠𝐷
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
或证明：∵CF＝DE，
∴CF+EF＝DE+EF，即CE＝DF．
在△ACE 和△BDF 中，
{
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹
∠𝐶= ∠𝐷
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）．
或证明：∵CF＝DE，
∴CF+EF＝DE+EF，即CE＝DF．
在△ACE 和△BDF 中，
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{
∠𝐶= ∠𝐷
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（ASA）．
【变式1-1】
【解答】（1）解：AB＝EC（或BE＝CD 或AE＝ED）．
故答案为：AB＝EC（答案不唯一）．
（2）证明：∵∠B＝∠C＝∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，
{
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷
𝐴𝐵= 𝐸𝐶
∠𝐵= ∠𝐶
，
∴△ABE≌△ECD（ASA）．
【变式1-2】
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC 和△DEF 中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶= 𝐸𝐹
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴添加一个条件BC＝EF（答案不唯一），使△ABC≌△DEF．
故答案为：BC＝EF（答案不唯一）．
【变式1-3】
【解答】（1）解：根据全等三角形的判定定理，
同学甲：在△ADB 和△AEC 中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
所以△ADB≌△AEC 的理由是SAS，
故答案为：SAS；
同学乙：在△ADB 和△AEC 中，
{
∠𝐵= ∠𝐶
∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
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∴△ADB≌△AEC（AAS），
所以△ADB≌△AEC 的理由是AAS，
故答案为：AAS；
同学丙：在△ADB 和△AEC 中，
{
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶
，
∴△ADB≌△AEC（ASA），
所以△ADB≌△AEC 的理由是ASA，
故答案为：ASA；
（2）证明：连接AO，
在△AEO 和△ADO 中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
𝑂𝐸= 𝑂𝐷
𝐴𝑂= 𝐴𝑂
，
∴△AEO≌△ADO（SSS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∵∠AEO＝∠B+∠BOE，∠ADO＝∠C+∠DOC，∠BOE＝∠DOC，
∴∠B＝∠C，
在△ADB 和△AEC 中，
{
∠𝐵= ∠𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△ADB≌△AEC（AAS）．
▌题型11 二次全等证明
【典例1】
【解答】解：AF＝DE，理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠EBA＝∠FCD＝90°，
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在Rt△ABE 和RtDCF 中，
{𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐴𝐸= 𝐷𝐹，
∴Rt△ABE≌RtDCF，
∴∠EAD＝∠FDA，
在△EAD 和△FDA 中，
{
𝐴𝐸= 𝐷𝐹
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐷𝐴
𝐴𝐷= 𝐷𝐴
，
∴△EAD≌△FDA，
∴AF＝DE．
【变式1-1】
【解答】解：CE∥DF，CE ＝DF．理由如下：
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC．
在△ADE 和△BCF 中，
{
𝐴𝐷= 𝐵𝐶
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△ADE≌△BCF（SSS）；
∴∠A＝∠B（全等三角形对应角相等）．
在△ACE 和△BDF 中，
{
𝐴𝐸= 𝐵𝐹
∠𝐴= ∠𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠ACE＝∠BDF（全等三角形对应角相等），
∴180°﹣∠ACE＝180°﹣∠BDF，
即∠ECD＝∠CDF，
∴CE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
【变式1-2】
【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°，
∵AD＝BC，AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
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∴∠DAB＝∠CBA，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEB＝∠DFA＝90°，
在△CEB 和△DFA 中，
{
∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐴
∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐷𝐴𝐵
𝐵𝐶= 𝐴𝐷
，
∴△CEB≌△DFA（AAS），
∴CE＝DF．
【变式1-3】
【解答】证明：连接AO，
在△AEO 和△ADO 中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
𝑂𝐸= 𝑂𝐷
𝐴𝑂= 𝐴𝑂
，
∴△AEO≌△ADO（SSS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∵∠AEO＝∠B+∠BOE，∠ADO＝∠C+∠DOC，∠BOE＝∠DOC，
∴∠B＝∠C，
在△ADB 和△AEC 中，
{
∠𝐵= ∠𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△ADB≌△AEC（AAS）．
