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专题07 线段垂直平分线的性质
▌题型01 利用垂直平分线的性质求线段长
【典例1】D．
【变式1-1】D．
【变式1-2】B．
【变式1-3】
【解答】解：∵D 为AC 的中点，且DE⊥AC，
∴DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABC 周长为21，
∴AB+BC+AC＝21，
∵△BCE 周长为13，
∴BC+EC+BE＝13，
∴BC+EA+BE＝13，
∴BC+AB＝13，
∴AC＝21﹣13＝8，
∴AD= 1
2AC＝4．
▌题型02 利用垂直平分线的性质求周长
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】A．
【变式1-3】C．
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▌题型03 利用垂直平分线的性质确定位置
【典例1】D．
【变式1-1】D．
【变式1-2】A．
【变式1-3】C．
▌题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线
【典例1】D．
【变式1-1】B．
【变式1-2】C．
【变式1-3】16．
▌题型05 尺规作图（垂直平分线）
【典例1】
【解答】解：（1）如图：
（2）∵DE 为BC 边的垂直平分线，
∴DC＝DB，BE＝EC，
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∵BD＝5cm，
∴BC＝10cm，
∵△ABC 的周长为24cm，
∴AB+AC＝24﹣10＝14（cm）．
∴△AEC 的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+BE＝AB+AC＝14cm．
【变式1-1】
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵EF 垂直平分AB，
∴AD＝BD，AB＝2AE＝2×6＝12，
∴AC＝AB＝12，
∵△BCD 的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝19，
∴BC＝7．
【变式1-2】
【解答】解：由题意得，点P 是线段AB 的垂直平分线与以点C 为圆心、CA 长为半径画弧的交点．
【变式1-3】
【解答】解：如图所示，两种方法确定点C 在线段AB 的垂直平分线上．
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▌题型06 利用垂直平分线的性质进行证明
【典例1】
【解答】（1）证明：∵EF 垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
又∵BD＝DE，AD=AD，
∴△ADB≌△ADE（SAS）
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC 的周长为42cm，
∴AB+BC+AC＝42cm，
∵AC＝16cm，
∴AB+BC＝26cm，
由（1）知AB＝AE＝EC，
∴△ABE 周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝26（cm）．
【变式1-1】
【解答】证明：连接EA、EC，
∵EM 垂直平分AC，EN 垂直平分BD，
∴AE＝CE，BE＝DE．
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在△ABE 和△CDE 中，
{
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐸
𝐵𝐸= 𝐷𝐸
，
∴△ABE≌△CDE（SSS）．
∴∠ABE＝∠CDE．
【变式1-2】
【解答】证明：∵MN 是线段AB 的垂直平分线，且C、D 在MN 上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
在△ACD 和△BCD 中，
{
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
𝐷𝐴= 𝐷𝐵
𝐶𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠CAD＝∠CBD．
【变式1-3】
【解答】证明：连接PA 交直线l 于点C，连接PB，BC，
∵直线l 是线段AB 的垂直平分线，
∴CA＝CB
∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB，
即PA＞PB．
▌题型07 最值问题
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【典例1】
【解答】解：（1）∵点B 与点B'关于直线l 对称，
∴BC＝B'C，BC'＝B'C'，
∴AC+CB＝AC+B'C＝AB'，AC'+BC'＝AC'+B'C'，
在△AC'B'中，由三边关系可得，AC'+B'C'＞AB'，
∴AC'+B'C'＞AB'，
∴AC'+B'C'＞AC+B'C，
即AC+BC＜AC′+BC′；
（2）∵直线m 是边BC 的垂直平分线，
∴点B 和点C 关于直线m 对称，
∴当P 与P'重合时，AP+CP 值的最小，即△APC 周长有最小，
此时，△APC 周长为AP'+P'C+AC＝AB+AC＝6+5＝11，
故答案为：11．
【变式1-1】D．
【变式1-2】C．
【变式1-3】13．
