文档文本内容
专题06 角平分线的性质与判定
常考题型·精准突破
题型1 利用角平分线性质求解（重）
题型2 角平分线的实际应用
题型3 角平分线性质和判定的综合问题（高频）
题型4 作垂线与角平分线（尺规作图）
题型5 与角平分线有关的新定义型问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用角平分线性质求解
1．2
2．6
3． 30°/30 度
40
21 / 19
121
◆题型2 角平分线的实际应用
4．C
5．B
6．D
◆题型3 角平分线性质和判定的综合问题
7．
【答案】（1）证明：∵DF
AB
^
，
∴
90
AFD
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
C
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∵CE
FB
=
，DE
BD
=
，
∴
Rt
Rt
HL
CDE
FDB
V
V
≌
，
∴CD
DF
=
，
∵
90
C
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∴AD 平分
BAC
Ð
．
（2）解：AE
BF
AF
+
=
，理由如下：
在Rt ACD
V
与Rt AFD
V
中，CD
FD
=
，AD
AD
=
，
∴
HL
Rt ACD
Rt AFD
V
V
≌
，
∴AC
AF
=
，
∴AE
EC
AC
AF
+
=
=
，
∴AE
BF
AF
+
=
．
8．
【答案】（1）解：∵EF
AB
^
，
50
AEF
Ð
=
°，
∴
90
50
40
FAE
Ð
=
°-
° =
°，
∵
100
BAD
Ð
=
° ，
∴
180
100
40
40
CAD
Ð
=
°-
°-
° =
°；
（2）证明：过点E 作EG
AD
^
于G，EH
BC
^
于H，
∵
40
FAE
DAE
Ð
= Ð
=
°，EF
BF
^
，EG
AD
^
，
∴EF
EG
=
，
∵BE 平分
ABC
Ð
，EF
BF
^
，EH
BC
^
，
∴EF
EH
=
，
∴EG
EH
=
，
∴DE 平分
ADC
Ð
；
（3）解：∵
12
ACD
S
=
△
，
∴
1
1
·
·
12
2
2
ADE
CDE
S
S
AD EG
CD EH
+
=
+
=
V
V
，
即1
1
4
8
12
2
2
EG
EG
´ ´
+
´ ´
=
，
解得
2
EG
EH
=
=
，
∴
2
EF =
，
∴
1
1
·
6 2
6
2
2
ABE
S
AB EF
=
=
´ ´
=
V
．
9．
【答案】（1）证明：∵
,
BC
BD
CBD
b
=
Ð
=
，
∴
BDC
BCD
Ð
= Ð
，
在
BCD
△
中，
180
BDC
BCD
CBD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴2
180
BDC
b
Ð
+
=
°，
∵2
180
a
b
+
=
°，
∴
BDC
a
Ð
=
，
∴
BAC
BDC
Ð
= Ð
；
（2）①如图1，过点A 作
,
AH
CM AK
BD
^
^
，垂足分别为H，K，
∴
90
AKB
AHC
Ð
= Ð
=
° ，
在
ABC
V
中，
180
ABC
ACB
BAC
Ð
+ Ð
=
- Ð
，
在
BCD
△
中，
180
DBC
DCB
BDC
Ð
+ Ð
=
- Ð
，
∵
BAC
BDC
Ð
= Ð
∴
ABC
ACB
DBC
DCB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
ABD
DBC
ACB
DBC
ACB
ACD
Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，
∴
ABD
ACD
Ð
= Ð
；
在ABK
V
和ACH
V
中，
AKB
AHC
ABK
ACH
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABK
ACH
V
V
≌
，
∴AK
AH
=
，
∵
,
AH
CM AK
BD
^
^
，
∴AD 平分
BDM
Ð
；
②如图2，连接AM ，设AC 与BD 交于点G，
在
ABD
△
和
ACM
△
中，
AB
AC
ABD
ACM
BD
CM
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABD
ACM
V
V
≌
，
∴
BAD
CAM
Ð
= Ð
，
∴
BAC
DAM
a
Ð
= Ð
=
，
∵AB
AC
=
，
1
90
2
BCG
Ð
a
\
=
-
，
由（1）知
BDC
a
Ð
=
，且AD 平分
BDM
Ð
，
1
90
2
ADG
Ð
a
\
=
-
o
，
∴
BCG
ADG
Ð
= Ð
又∵
,
AGB
CAD
ADG
AGB
CBD
BCG
Ð
= Ð
+ Ð
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
CAD
CBD
b
Ð
= Ð
=
，
∴
2
180
BAC
DAM
CAD
a
b
Ð
+ Ð
+ Ð
=
+
=
° ，
∴A，M，B 三点共线．
∴点M 在线段BA 的延长线上．
◆题型4 作角平分线（尺规作图）
10．
【答案】(1)如图，AE 即为所求：
（2）解：∵
50
B =
°
∠
，AD
BC
^
，
∴
90
40
BAD
B
Ð
°
=
°- Ð
=
，
∵AE 平分
BAC
Ð
，且
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
1
45
2
BAE
BAC
Ð
=
Ð
=
°，
∴
5
DAE
BAE
BAD
Ð
=
-
= °
∠
∠
．
11．
【答案】(1)所作图形如图所示：
（2）解：过点D 作DH
BC
^
，如图所示：
由作图可知：BD 平分
ABC
Ð
，
∵
90
A
Ð
=
°，DH
BC
^
，
∴
4
DH
AD
=
=
，
∴
1
1
8 4
16
2
2
BCD
S
BC DH
=
×
=
´ ´
=
V
．
12．
【答案】(1)证明：连接PE 、PF ，如图，
由作法得AE
AF
=
，PE
PF
=
，
而AP
AP
=
，
SSS
AEP
AFP
\V
V
≌
，
EAP
FAP
\Ð
= Ð
，
即AP 平分
CAB
Ð
；
（2）
CD
AB
∥
Q
，
180
BAC
ACD
\Ð
+ Ð
=
° ，
180
114
66
BAC
\Ð
=
°-
° =
°，
AP
Q
平分
CAB
Ð
，
1
33
2
MAB
BAC
\Ð
=
Ð
=
°；
(3)证明：
CD
AB
∥
Q
，
BAM
CMA
Ð
Ð
\
=
，
CAM
BAM
Ð
= Ð
Q
，
CAM
CMA
\Ð
= Ð
，
CA
CM
\
=
，
CN
AM
^
Q
，
CNA
CNM
\Ð
= Ð
，
在
CAN
△
和CMN
V
中
CAN
CMN
ANC
MNC
AC
CM
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
CAN
CMN AAS
\V
V
≌
．
◆题型5 与角平分线有关的新定义型问题
13．
【答案】（1）解：Q全等三角形的对应边相等，对应角相等，
\两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，
\若两个三角形全等，它们是友谊三角形，
故答案为：是；
（2）
AC
Q
平分
BAD
Ð
，
BAC
DAC
\Ð
= Ð
，
AC
AC
=
Q
，AD
AB
>
，ABC
V
与ACD
V
是友谊三角形，
BC
CD
\
=
，
在AD 上取一点H ，使得AH
AB
=
，连接CH ，如图
在BAC
V
和
HAC
△
中，
AB
AH
BAC
HAC
AC
AC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
BAC
HAC
\V
V
≌
，
BC
CH
\
=
，
B
AHC
Ð
= Ð
，
BC
CD
=
Q
，
CD
CH
\
=
，
DHC
D
\Ð
= Ð
，
180
AHC
DHC
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
B
D
\Ð + Ð
=
°；
14．
【答案】解：（1）正确，理由如下：
作AE
BC
^
交CB 延长线于点E ，作AF
CD
^
于点F ，
90
DFA
AEB
\Ð
= Ð
=
° ，
已知
1
180
D
Ð
+ Ð =
° ，
1
2
180
Ð + Ð =
° ，
2
D
\Ð
= Ð ．
在ADF
V
和ABE
V
中，
2
DFA
AEB
D
AD
AB
Ð
= Ð
ì
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
ADF
ABE
\V
V
≌
，
AE
AF
\
=
，
又Q AE
EC
^
，AF
CF
^
，
CA
\
为
BCD
Ð
的角平分线．
（2）EF
BE
FD
=
+
，理由如下：
延长EB 至F¢使BF
DF
¢ =
，连接AF¢，
AD
CD
^
Q
，AB
BC
^
，
在ADF
V
和ABF¢
V
中，
FD
BF
D
ABF
AD
AB
¢
¢
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\
SAS
ADF
ABF¢
V
V
≌
，
\ AF
AF¢
=
，
1
2
Ð = Ð ，
又Q
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，
\
1
1
4
2
BAD
Ð + Ð =
Ð
，
\
1
2
4
2
EAF
BAD
EAF
¢
Ð + Ð = Ð
=
Ð
= Ð
，
在EAF
V
和EAF¢
V
中，
AE
AE
EAF
EAF
AF
AF
¢
=
ì
ïÐ
= Ð
í
=
¢
ïî
，
\
SAS
EAF
EAF¢
V
V
≌
，
\ EF
EF¢
=
，
又Q EF
BE
BF
BE
FD
¢
¢
=
+
=
+
\ EF
BE
FD
=
+
．
15．
【答案】（1）解：∵BD 平分
ABC
Ð
，
90
BAD
Ð
=
° ，
90
BCD
Ð
=
°，
∴DA
DC
=
，
∴根据角平分线的性质定理可知AD
CD
=
，
故答案为：③；
（2）解：DA
DC
=
，理由如下：
如图2 中，作DE
BA
^
交BA 延长线于点E，DF
BC
^
于点F，
，
∵BD 平分
EBF
Ð
，DE
BE
^
，DF
BF
^
，
∴DE
DF
=
，
∵
180
BAD
C
Ð
+ Ð
=
°，
180
BAD
EAD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
EAD
C
Ð
= Ð
，
∵
90
E
DFC
Ð
= Ð
=
° ，
∴
AAS
DEA
DFC
V
V
≌
，
∴DA
DC
=
；
（3）证明：如图3，在BC 上截取BG
BD
=
，连接DG ，
∵AB
AC
=
，
100
A
Ð
=
°，
180
ABC
C
A
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ,
∴
40
ABC
C
Ð
= Ð
=
° ，
∵BD 平分
ABC
Ð
，
∴
1
20
2
DBG
ABC
Ð
=
Ð
=
° ，
∵BD
BG
=
，
∴
1 180
80
2
BGD
BDG
DBG
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
° ，
即
180
A
BGD
Ð + Ð
=
° ，
由（2）的结论得AD
DG
=
，
∵
BGD
C
GDC
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
40
GDC
C
Ð
= Ð
=
° ，
∴DG
CG
=
，
∴AD
DG
CG
=
=
，
∴BD
AD
BG
CG
BC
+
=
+
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．B
3．B
4．B
5．C
二、填空题
6．120
7．20
13 /
7
113
8．2
9．2
10． 120°/120度
4
三、解答题
11．
【答案】（1）解：∵
25
BAD
Ð
=
°，
140
BEA
Ð
=
° ，
∴
180
180
140
25
15
ABE
BEA
BAD
=
°-
-
=
°-
°-
Ð
° =
Ð
Ð
° ，
∵BE 为ABD
V
的角平分线，
∴
2
30
ABD
ABE
Ð
= Ð
=
° ．
（2）解：∵AD 为ABC
V
的中线，
64
=
VABC
S
，
∴ABD
V
的面积为32，
∵BE 为ABD
V
的角平分线，EN
AB
^
，EM 为BED
V
的高，
∴NE
ME
=
，
∵
32
ABD
ABE
BDE
S
S
S
=
+
=
V
V
V
，
∴1
1
32
2
2
AB NE
BD ME
×
+
×
=
，
∵
16
AB =
，
8
BD =
，NE
ME
=
，
∴1
1
16
8
32
2
2
ME
ME
´
+
´
=
，
解得：
8
3
ME =
．
12．
【答案】(1)解：PC
PD
=
，理由：
OM
Q
是
AOB
Ð
的平分线，
,
PC
OA PD
OB
^
^
，
PC
PD
\
=
；
(2)解：成立，理由：
如图，过点P 作PE
OA
^
于E ，PF
OB
^
于F ，
90
PEC
PFD
\Ð
= Ð
=
° ，
OM
Q
是
AOB
Ð
的平分线，
PE
PF
\
=
．
90
AOB
Ð
=
°
Q
，
90
CPD =
°
∠
，
360
90
90
180
PCE
PDO
\Ð
+ Ð
=
°-
°-
° =
° ．
180
PDF
PDO
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
PCE
PDF
\Ð
= Ð
．
在PCE
V
和PDF
V
中，
PCE
PDF
PEC
PFD
PE
PF
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
AAS
PCE
PDF
\V
V
≌
，
PC
PD
\
=
．
13．
【答案】（1）PD
PE
=
．
证明：在Rt
PDO
△
和Rt PEO
V
中，
PD
PE
=
Q
，OP
OP
=
，
HL
Rt PDO
Rt PEO
\
V
V
≌
，
DOP
EOP
\Ð
= Ð
，
OC
\
是
AOB
Ð
的平分线．
（2）证明：如图，过点E 作EF
AD
^
于F ，
90
B
C
Ð
= Ð
=
°
Q
，
BE
AB
\
^
，EC
CD
^
，
AE
Q
平分
BAD
Ð
，
EB
EF
\
=
，
E
Q
是BC 的中点，
EC
EB
\
=
，
EC
EF
\
=
，
又
EF
AD
^
Q
，EC
CD
^
，
DE
\
是
ADC
Ð
平分线．
（3）解：过点E 作EF
BA
^
交BA 延长线于F ，作EG
AD
^
于G ，作EH
CD
^
于H ，如图，
BE
Q
平分
ABC
Ð
，DE 平分
ADC
Ð
，
EF
EH
\
=
，EG
EH
=
，
EF
EH
EG
\
=
=
，
1
1
1
2
2
2
ACD
ADE
CDE
S
S
S
AD GE
CD EH
EF AD
CD
=
+
=
×
+
×
=
+
△
△
△
，
3
AD =
Q
，
5
CD = ，
16
ACD
S
=
△
，
4
EF
\
=
，
\
1
12
2
ABE
S
AB EF
=
×
=
△
．
14．
【答案】（1）①证明：过点M 作ME
AD
^
交于E ，
Q DM 平分
ADC
Ð
，
90
C
Ð
=
° ，
CM
EM
\
=
，
Q点M 为BC 的中点，
\ CM
BM
=
，
EM
BM
\
=
，
90
B
Ð
=
°
Q
，ME
AD
^
，
\ AM 平分
BAD
Ð
；
②AD
CD
AB
=
+
，
证明：
EM
CM
=
Q
，DM
DM
=
，
Rt
Rt
DEM
DCM
\
≌
△
△
（HL ），
ED
CD
\
=
，
同理可证AE
AB
=
，
AD
AE
ED
\
=
+
CD
AB
=
+
；
（2）解：
105
C
Ð
=
° ，
理由如下：在AD 上截取DF
DC
=
，连接MF ，过点M 作MH
AD
^
交于H ，作MG
AB
^
交于G ，
90
MHF
MGB
\Ð
= Ð
=
°，
Q DM 平分
ADC
Ð
，
MDF
MDC
\Ð
= Ð
，
DM
DM
=
Q
，
MDF
MDC
\V
V
≌
（SAS ），
MF
MC
\
=
，FD
CD
=
，
105
DFM
C
Ð
= Ð
=
° ，
180
105
75
AFM
\Ð
=
°-
° =
° ，
AFM
B
\Ð
= Ð
，
Q点M 为BC 的中点，
\ CM
MB
=
，
MF
MB
\
=
，
MHF
MGB
\V
V
≌
（AAS），
MH
MG
\
=
，
AM
\
平分
BAD
Ð
，
FAM
BAM
\Ð
= Ð
，
AM
AM
=
Q
，
AFM
ABM
\V
V
≌
（AAS），
AF
AB
\
=
，
AD
FD
AF
\
=
+
CD
AB
=
+
．
故
105
C
Ð
=
° 时，能使得（1）②中结论依然成立．
15．
【答案】(1)
证明：∵
BAC
DAE
Ð
= Ð
，
.
EAC
BAC
BAE
DAE
BAE
DAB
\Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
= Ð
在EAC
V
与
DAB
△
中，
,
,
,
AE
AD
EAC
DAB
AC
AB
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(SAS)
EAC
DAB
\△
≌△
CE
BD
\
=
；
(2)
① 证明：分别过点A 作AM
EC
^
于点M，AN
DB
^
于点N，
由（1）得
EAC
DAB
≌
△
△
，CE
BD
=
，
EAC
DAB
S
S
\
=
△
△
，
1
1
2
2
CE AM
BD AN
\
×
=
×
，
AM
AN
\
=
，
又∵AM
EC
^
，AN
DB
^
，
ACF
ACB
\Ð
= Ð
；
②
ACF
Ð
与
ACB
Ð
的数量关系不变，
ACF
ACB
Ð
= Ð
，理由如下：
∵
DAE
BAC
Ð
= Ð
，
EAC
DAE
CAD
BAC
CAD
DAB
\Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
= Ð
.
在EAC
V
与
DAB
△
中，
AE
AD
EAC
DAB
AC
AB
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
(SAS)
EAC
DAB
\△
≌△
，
CE
BD
\
=
，
EAC
DAB
S
S
=
△
△
，
分别过点A 作AM
CE
^
于点M，AN
BD
^
于点N，
1
1
2
2
CE AM
BD AN
\
×
=
×
，
AM
AN
\
=
，
又∵AM
CE
^
，AN
BD
^
，
ACF
ACB
\Ð
= Ð
，
即
ACF
Ð
与
ACB
Ð
的数量关系不变.
