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1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题13 与圆有关的弧长、面积计算 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 题型2、平面镶嵌问题 题型3、弧长、路径长的计算 题型4、与圆有关的图形面积计算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 与圆有关的弧长、面积计算，要熟练掌握弧长公式 l=(nπR)/180、扇形面积公式 S=(nπR²)/360=(1/2)lR； 求不规则图形面积常用“割补法”“等积变换”“整体减空白”；路径长问题需分清是点绕定点旋转还是滚动， 确定圆心角与半径；正多边形与圆、平面镶嵌问题要抓住中心角、边心距与半径的关系；综合题注意结合 三角形、相似、三角函数建立方程，注意分类讨论． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、正多边形和圆的计算问题 典例1 （2025·浙江杭州·三模）已知，正方形 和它的外接圆 ． 目 录 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若点 在弧 上， 是 上的一点，且 ，过点 作 ， ．求 的半径； (2)如图2，若点 在弧 上，过点 作 ，试探究此时线段 、 、 之间的关系．请写出 你的结论并证明； (3)如图3，在正方形 中， ，若点 满足 ，且 ，请直接写出点 到 的距 离． 题型模版 1.特征：正多边形与圆结合，求边长、边心距、半径、中心角或相关面积． 2.方法：利用正n 边形中心角 360°/n 及边心距、半径、边长的一半构成直角三角形；结合勾股定理与三角 函数求解． 变式1-1 （25-26 九年级上·浙江台州·期中）我国古代数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接、外切正多 边形逼近圆，从而估算 范围．如图，设圆半径为r，利用两个正六边形周长为 ， ，可得 ， 即 ．若利用两个正六边形的面积，则可得 的范围为______ ． 变式1-2 如图①， 是 的直径， ，点C 在 上且位于直线 上方，将半径 绕点O 顺时 针旋转 ，点C 的对应点为点D，连接 ， ． (1)以 为边的 内接正多边形的边数为 ； (2)当直径 平分 时，求 的长； (3)如图②，连接 并延长，交 的延长线于点E，当 是等腰三角形时，直接写出扇形 的面积． 变式1-3 如图1，五边形 是 的内接五边形， ，对角线 于点 ． 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)①若 ，则 _______； ②猜想 和 的数量关系，并证明； (2)如图2，当 经过圆心 时，若 ， ，求 ； (3)作 于点 ，求 的值． 题型2、平面镶嵌问题 典例2 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千 图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图 案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套 了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个 正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角 度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于 ． 深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接 ， ， ， ，发现 的结论如下： 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1） ， ， ， 分别是正方形 各边的中点； （2） 是顶角为 ，底角为 的等腰三角形； （3） 中， ； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边 ， 的垂直平分线，分别交 ， ， ， 于点 ， ， ， ； （2）分别作 和 的角平分线，交于点 ；利用旋转 对称性作出点 ， ， ； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形 为正方形 的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接 ， ，交于点 ．线段 是否与线段 相等，请说明理由． 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形 中作出其内嵌正八边形（不写作图步 骤，保留作图痕迹）． 题型模版 1.特征：用正多边形能否密铺平面，或计算镶嵌中相关角度、面积． 2.方法：判断正多边形每个内角能否整除360°；分析拼接点处各角之和为360°的条件，必要时列方程求解． 变式2-1 （25-26 八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【项目背景】 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片， 叫做平面图形的镶嵌． (1)用两种平行四边形镶嵌成如图1 所示的图案，其中 ， ，则 ， °； 【项目探究】 (2)如图2，在平行四边形环保材料 中， ，点E 为边 的中点，连接 ， ，试探究 与 的位置关系并证明； 【方案设计】 (3)某课外活动实践小组拟用上述环保材料 镶嵌室内活动场地，计划先将 分割、拼接成长方形， 再用这种拼成的长方形进行镶嵌．（要求： 最多被分割两次，拼接成长方形后不再进行分割） ①请设计两种新的方案，将 进行分割、拼接成一个长方形，在下图中画出你的方案设计示意图，并 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参照示例图3，用画阴影的方式对平移或旋转的图形进行标记； ②已知长方形场地的长为 、宽为 ，环保材料 的边 为 ， 为 ， 边上的高为 ．小组发现，存在一种方案恰好能用 分割拼接成的长方形镶嵌整个长方形场地， 请给出这种方案，并通过计算说明理由． 变式2-2 项目主题：探究多边形的密铺 中国的密铺工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉唐发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺 中的密铺，传承着东方美学与匠心精神． 密铺定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地组成一 片，又叫平面镶嵌．为了更多地了解平面密铺，“鹿鸣•博约”数学项目小组对多边形的平面密铺进行了如 下探究： 探究一：正多边形的密铺 (1)项目组思考，仅用同一种类型的正多边形进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）： (2)项目组尝试用两种正多边形进行平面密铺，是否能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密 铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正四边形的个数；若不能，请说明理由． (3)项目组继续用三种正多边形进行平面密铺，如图1，用边长相等的正三角形、正四边形和正六边形按图中 所示的规律密铺． ①按此规律，则第n 个图案有____个正方形；（用含n 的代数式表示） ②按此规律，是否存在这样一个图案，它的正方形个数是第x 个图案与第y 个图案正方形个数之和的6 倍．若 存在，求出是第几个图案（用含x，y 的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 项目组发现，正三角形，正四边形，正五边形，正六边形分别各取一个内角相加，有 7 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，故用四种以及四种以上的正多边形不能密铺整个平面．所以，项目组 思考一般多边形是否可以平面密铺． 探究二：一般多边形的密铺 (4)项目组发现：任意两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，可以进行平面密铺，因此有以下猜想： ①任意四边形都能密铺；②任意五边形都能密铺：③任意六边形都能密铺，正确的结论有______；（填写所 有可选择的序号） (5)项目组从杂志上看到了一幅图2 所示密铺作品，该作品是由若干个全等的如图3 所示的五边形 进 行的密铺形成，已知 ，求边 的长度： 变式2-3 综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重 叠地铺成一片，叫做图形的密铺． 密铺方式构建：运用密铺知识得到图1 所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为 ． (1)密铺规律探究：为方便研究，称图2 为图1 的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1 时，图1 每增加一个图2 所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个 正三角形，长度增加 ③ ，从而x 个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ． 【项目分析】 ①项目条件：场地为长 、宽 的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1 元和5 元． ②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． ③方式确定： （ⅰ）考虑成本因素，采用图1 方式进行密铺； （ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1 所示方式 依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为 的墙自左向右拼接（如图3）． 根据规律，令 ，解得 ，所以每行可以先拼10 块拼接第一行单元，即共用去10 个正六 边形和60 个正三角形组件，由 知，所拼长度为 ，剩余 恰好还可以摆放一个正 六边形组件（如图3 所示的阴影正六边形）．最终需用11 个正六边形和60 个正三角形组件，本方案每行的 成本为 ⑤ 元． 由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s 行，则 ，解得 ，故需 铺21 行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元． 方案二：第一行沿着长度为 的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 ，解得 ，所以每行可以先拼12 块拼接单元，即共用去 12 个正六边形和72 个正三角形组件，由 知，所拼长度为 ，剩余 ，无法再摆放 组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元． 由于每行宽度为 （按 计算），设拼成s 行，则 ，解得 ，故需 铺18 行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元． 【项目实施】 (3)根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ． 题型3、弧长、路径长的计算 典例3 （25-26 九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 如图，四边形 为 的内接四边形，连接 ， ， 为等边三角形， ， ． (1)求证： ． 9 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)①尺规作图：过点 作 ，交 的延长线于点 ． ②求证： ． (3)求 的长． 题型模版 1.特征：求点在运动过程中经过的路径长，涉及弧长或折线轨迹． 2.方法：确定运动轨迹的圆心、半径和圆心角；用弧长公式计算；多段路径分段求和． 变式3-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形 中， ，C 是 上一点，O 关 于 的对称点D 正好落在 上．若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 变式3-2 （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1) 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边 ，如图 （1）所示．则 的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2) 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边 ，如图（2）所 示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长． 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连接 ， ∵ 、 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴① ； ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴②______∥______； 当点E 在点A 处时，点F 与点C 重合． 当点E 在点C 处时， ． ∴③点F 所经过的路径长为 ． (3) 是边长为3 的等边三角形，M 是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边 ，如图（3） 所示．在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长． (4)正方形 的边长为3，E 是边 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶 点作正方形 ，其中点F，G 都在直线 上，如图（4）．当点E 到达点B 时，点F，G，H 与点B 重 合．则点H 所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 变式3-3 （24-25 九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图1，扇形 中， ， ，点P 在 半径 上，连接 ． 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)把 沿 翻折，点O 的对称点为点Q． ① 当点Q 刚好落在弧 上，求弧 的长； ② 如图2，点Q 落在扇形 外， 与弧 交于点C，过点Q 作 ，垂足为 H， ，求 的长，猜想并直接写出 三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形 在直线 上方的部分为图形W，把图形W 沿着 翻折，点B 的对称点为点E，弧 与 交于点F，若 ，求 的长． 题型4、与圆有关的图形面积计算 典例4 （25-26 九年级上·浙江·期中）如图，已知 是 的直径，点 ，在 上， 且 ， 过圆心 作 ，垂足为 ． (1)求 的长． (2)若 的延长线交 于点 ，求弦 ， 和 所围成的图形（阴影部分）的面积． 题型模版 1.特征：求与圆相关的阴影部分或不规则图形面积，常用割补、等积、整体减空白． 2.方法：把图形分解为扇形、三角形、弓形等基本图形；利用对称、等积变换转化为可求面积；注意圆心角 与半径的准确选取． 变式4-1 （25-26 九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆 的直径 ，弦 ，弦 在半圆上滑 动，点 从点 开始滑动，到点 与点 重合时停止滑动，若 是 的中点，则在整个滑动过程中线段 扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 12 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-2 （24-25 九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形 的边长为3，将长为 的线段 的 两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 从点 出发，在 上滑动，同时点 在 上滑动，当 点 到达点 时，运动停止，那么在这个过程中，线段 的中点 所经过的路线长为（ ） A． B． C． D． 变式4-3 图①，矩形纸片 的边 ， ，将矩形纸片 沿对角线 剪开，得到 和 ．如图②，将 绕点 逆时针方向旋转 ，（ ，且 ）得到 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两直线交于点 ． (1)求证：四边形 是菱形． (2)当 时，求四边形 的面积． (3)当四边形 有一个角是 度时，直接写出线段 扫过的面积． 变式4-4 材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中，为上底长，为下底长，为高．其推导方法有很多，其中一 种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图， ，对于梯形 ，上底 ，下底 ，高为，为了得到梯形 的面积，延长 和 交于点 ，过点 作 于点 并交 于点 ，不难证明 ，则 ，所以， 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 材料：扇形面积公式 如图，半径为 ，圆心角为 的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长 半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． (1)结合材料和材料的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、和 的代数式表示， 其中 的长度为， 的长度为，线段 的长为，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为 米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段 的长为多少时，花园的面积最大， 最大面积是多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放 大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边 的延长线与对角线 交于点E，则 的 度数为（ ） 14 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径 ， 是半圆上两点， 且 ，连接 ．现分别以点 、点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 、点 ．施 工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在 中， ，以 为直径的半圆交 于点 ，若 ，则图中阴 影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是 的直径，点C，点D 是半圆上两点，连结 ， 相交于点P，连结 ， ．已知 于点E， ．下列结论：① ；②若点 P 为 的中点，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则扇形 的面积为 ．其 中正确的是（ ） 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，在圆内接正六边形 中，点P 在对角线 上，记图中的面积分别为 ， ， ， ， ， ，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（ ）． A． B． C． D． 6．（25-26 八年级上·重庆·期中）半径为2 的扇形 的圆弧和以 为直径的半圆围成如图所示的阴影 部分，已知 ，则阴影部分的面积为_____． 7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是 以O 为圆心， 长为半径的圆弧，C 是弦 的中点，D 在 上， ，“会圆术”给出 的长l 的 近似值s 的计算公式： ，当 时， ___________(结果保留) 8．图1 是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2 是其示意图．两个正 六边形的边 与 ， 与 均在同一直线上．木板 （木板厚度忽略不计）， ，则 的长为______ ．盆栽由矩形 和圆弧 组成，且 ， ， 恰好在同一直线上，已知 ，圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之比为 ，则圆弧 的半径为______ ． 9．用若干张全等的小正六边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），形成的图案（部分）如图所示，每个小 正六边形纸片的中心称为“繁星点”，用6 个“繁星点”为顶点构成的一个正六边形称为“衍生六边形”， 比如图中的六边形 ．已知某一个“衍生六边形”的各边上（含顶点）共有60 个“繁星点”，则该 “衍生六边形”的内部（不含各边）的“繁星点”共有___________个． 10．（25-26 九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕 点A 旋转得到正六边形 ，连接 ， ．若 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，则旋 转过程中 的最大值是（ ） 16 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B． C． D． 11．（25-26 九年级上·福建福州·期中）在 中， ，将 绕点 逆 时针旋转得 ． (1)如图1，将 绕点A 逆时针旋转 得 ，求 的大小； (2)如图2，线段 交线段 于点F， 在绕点A 旋转一周的过程中： ①求证：点F 是 的中点； ②点F 移动的路程为___________． 12．（25-26 八年级下·福建莆田·阶段检测）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把 平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状， 例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n 边形分成 个三角形，得到其内角和是 ， 则一个内角的度数就是 ．若一个内角度数能整除 ，那么这样的正n 边形就可以进行平面 密铺． 图1 和图2 就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形 就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4 就是利用不规则的五边形得到 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边 形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三 种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m 个正三角形，n 个正六边 形，则m，n 满足的关系式是 ． 13．（25-26 八年级下·北京·期中）【活动一】 在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝 合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的 多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究： 【思考】 (1)小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长 相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2 所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌： (2)如果只能用一种正多边形 ．．．．进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一 个即可）来实现平面镶嵌； 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【综合】 (3)小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3 所示，他发现用边长相等的正三 角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶 嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号） ①正方形和正六边形 ②正方形和正八边形 ③正五边形和正三角形 ④正五边形和正十边形 【活动二】 (4)新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地 板瓷砖是由多个边长为1 的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个 的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4 所 示的小马图案．现在，他想用3 块等腰直角三角形、1 块直角梯形和1 块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶 嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4 的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案 ．．．．．． 的序号 ．．．． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度， 的三个顶点 ． (1)作 关于点A 中心对称的图形 ，B 点的对称点为点 ，C 点的对称点为点 ，请画出 的图形． (2)将 绕点C 顺时针旋转 ，得到 的图形，请画出 ． (3)在（2）的运动过程中，线段 经过旋转扫过区域的图形的面积 ． (4)在直线 上有一条线段 （E 点在上，F 点在下）， ，则四边形 周长最小值为 ． 15． （25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在半径为2 的圆形纸片中，剪一个圆心角为 的扇形． （结 果保留 ） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 ，求这个扇形的面积； (2)思考：如何剪使得扇形的面积最大？ ①若 ，求这个扇形的最大面积； ②若 ，求这个扇形的最大面积． (3)扇形的最大面积随 变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应 的范围．
