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专题10 中考压轴综合探究题
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 二次函数
几何综合：线段最
值、面积、角度、
特殊三角形/四边
形存在性
2026 年内江、乐山、眉
山、宜宾、广安、达州、
巴中、凉山、广元、成
都、自贡、遂宁、甘孜
中考真题
全地市必考解答压轴，分3 小问梯度设问；基础
问求解析式，中档考线段、面积最值，压轴探究
定点、特殊三角形/四边形存在性；结合轴对称、
平移转化线段，融合全等相似，数形结合是核心
解题思路。
考点02 几何压轴：
动点、旋转、折叠、
圆与相似综合探究
2026 年自贡、内江、南
充、眉山、广安、巴中、
凉山、广元、攀枝花、
乐山、达州、成都中考
真题
多为填空多选、几何解答压轴；以正方形、矩形、
三角形、圆为载体，搭配动点、折叠、旋转模型；
考查线段最值、角度等量、分类讨论等腰/直角
三角形，常结合相似、阴影面积计算，模型特征
鲜明。
考点03 代数综合
压轴：含参问题、
函数取值范围
2026 年达州、眉山、南
充、乐山、宜宾、成都、
内江、泸州中考真题
以选择压轴、中档填空为主；围绕二次函数图像、
表格信息辨析结论，融合分式方程、不等式组参
数范围；综合判别式、函数增减性、区间最值，
侧重逻辑推理与参数分类讨论，区分中高分段学
生。
考点04 新定义、材
料阅读类压轴探究
题
2026 年内江、攀枝花、
泸州、乐山、成都、达
州中考真题
选择、填空压轴高频；自定义运算、快乐数、倒
数点、多边形数、陌生/友好函数、平面密铺为
热门载体；要求现场阅读理解规则，结合方程、
函数、图形规律推导，侧重自主学习与归纳能力。
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考点01 二次函数几何综合：线段最值、面积、角度、特殊三角形/四边形
存在性
1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于
( 3,0)
A −
、
(1,0)
B
两点，与y 轴交于点
(0, 3)
C
−
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时点D 的坐标；
(3)如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，直线
1
y
kx
k −
=
+
（k 为常数）交
抛物线于E 、F 两点（点E 、F 分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF 交x 轴于点P ，直线NE 交x
轴于点Q ．试探究MP MQ
是否为定值？若为定值，求出MP MQ
的值；若不是定值，请说明理由．
2．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线
2
:
2
3
C y
x
x−
=
−
交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），
顶点为点P ．
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)直线
(
)
:
0
l y
kx
b k
=
+
与抛物线C 交于D ，E 两点．
①若A、B 两点到直线l 距离相等，则直线l 过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若
90
DPE
=
，试问直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象与x 轴相交于
A，B 两点，与y 轴相交于点C，连接AC ，已知点(
)
1,0
A −
，对称轴为直线
1
x = ．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)点P 是直线BC 上一个动点，连接PA ，PO ，当PA
PO
+
的长度最小时，求点P 的坐标；
(3)点Q 是二次函数图象上一个动点，当
BCQ
ACO
=
时，请直接写出点Q 的坐标．
4．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴交于(
)
1,0
A −
、(
)
2,0
B
两点，与y 轴交
于点(
)
0, 2
C
−
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，连接AD ．试判定ABD 的形状，并说明理由；
(3)如图2 ，点E 、F 是直线AC 上两动点，且
EBF
ABC
=
．求
EBF
△
面积的最小值．
5．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+
（a，b 为常数，
0
a
）的图象与x 轴分别
交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，
1
2
OB
OA =
，
6
AB =
．
(1)求二次函数的解析式；
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(2)①连接AC ，点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当点P 到AC 的距离最大时，求点P 的坐标；
②在①的条件下，点M ，N 分别是y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN
y
⊥
轴，连接BM ，MN ，NP ，
求BM
MN
NP
+
+
的最小值；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点Q ，使以点Q ，A ，P 为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请
直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)(
)
1
3
y
a x
x
=
+
−
与x 轴交于A ，B 两
点．与y 轴交于点C ．直线y
x
m
=
+
经过点C 、与x 轴交于点
(
)
3,0
D −
．
(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；
(2)若线段EF 在抛物线的对称轴上运动，且
2
EF =
，求四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度，点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在
以A ，C ，G 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G 的坐标；若不存在．说明理由．
7．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
+
（
0
a
）与x 轴交于(
)
2,0
A −
、(
)
1,0
B
两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 为抛物线在第二象限内的动点，求ACD面积的最大值；
(3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q ，使得
2
ACQ
OCB
=
？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说
明理由．
8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其
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中(
)
4,0
B
，(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0
4
t
）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
9．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交
点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．
(1)如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E ，使
45
BPE
BAO
+
=
，求点E 的坐标；
(3)点G 在线段AB 上，若抛物线
(
)
2
1
1
1
1
1
:
0
F
y
a x
b x
c a
=
+
+
和抛物线
(
)
2
2
2
2
2
2
:
0
F
y
a x
b x
c
a
=
+
+
的“顶点弦”
分别为GA和GB ，点G 为
1F 和
2
F 的顶点，且
1
2
2
0
a
a
+
=
，求GA
GB 的值．
10．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
y
kx
=
+ （
0
k ）与抛物线
2
y
x
=
相
交于A ，B 两点．C ，D 两点在抛物线上，且CD
AB
∥
．
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(1)若点A 的坐标为(
)
1,1
−
，求k 的值和点B 的坐标；
(2)在（1）的条件下，记C ，D 两点的横坐标分别为m ，n （m
n
），当m
x
n
时，函数
(
)
2
y
x
h
=
−
总
在x
n
=
处取得最大值，求h 的取值范围；
(3)若
2
AB
CD
=
，直线AC ，BD 的交点E 恰好落在x 轴正半轴上，求点E 的坐标和k 的值．
11．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
= −
+
+
经过(
)
0,6 和(
)
2,4 两点．
(1)求m ，n 的值．
(2)如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A ，B ，C ，D（点A 在第三象限，点C 在第二象限）．
①求线段OC 长度的最小值；
②连接AC ，BD 分别交x 轴于E ，F 两点，设OAE ，
OBF
△
的面积分别为
1S ，
2
S ，是否存在直线AB 使
1
2
2
S
S
=
?若存在，求出直线AB 的解析式；若不存在，请说明理由．
12．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
(
)
2
3
0
2
y
ax
x
c a
=
+
+
的图象与x
轴交于(
)
1,0
A
B
−
、两点，与y 轴交于点
(
)
0,2
C
．
(1)求二次函数的表达式；
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(2)连接BC ，点P 是第一象限内二次函数图象上的点，过点P 作PH
BC
⊥
于点H，求线段PH 的最大值；
(3)连接AC ，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线DE ，使
BDE
ACO
=
，
求点E 的纵坐标．
13．（2026·四川甘孜·中考真题）如图1，抛物线
(
)(
)
12
6
y
a x
x
=
+
−
(
)
0
a
与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴
交于(
)
0,6 3
B
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将原点O，点B 关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C ，点D ，连接CD，AD ，作
OAD
的平分线交
CD于点E ．
①求点E 的坐标；
②如图2 ，点F 为直线AD 左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x 轴于点G ，连接DG 交抛物线于点H ，
连接EH ，当
DEH
DEF
=
时，求点H 的横坐标．
考点02 几何压轴：动点、旋转、折叠、圆与相似综合探究
1．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，AB CD，
90
B
=
，点P 从点D 出发以每秒
2 个单位长度的速度沿D
A
B
C
→
→
→
匀速运动，到达点C 后停止运动；同时点Q 从点D 出发以每秒1 个
单位长度的速度沿
→
D
C匀速运动，当点P 停止运动时点Q 也随之停止运动，过点P 作PF
CD
⊥
于点F ．设
运动时间为x 秒，PF
DQ
y
+
=
，y 关于x 的函数图象如图2 所示，则CD的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6 的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别为对角线AC 、边CD上的
动点，且
2
DQ
AP
=
，则PQ 的最小值为_________．
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3．（2026·四川南充·中考真题）如图，点P 在正方形ABCD内，且
1
AP
AB
=
= ，将PB 绕点B 顺时针旋转90
得到P B
，连接PC 、P C
、PP，PP交BC 于点M ．下列结论：①
1
CP= ；②PC 的最小值为2
2
−
；③
D ，P ，P三点共线；④当
MCP
△
为等腰三角形时，BP的长为
6
3
−
．其中正确结论为_________（填
写序号）
4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
9
AB = ，
12
AD =
，点E 在AB 边上，且
3
BE =
，
点F 是BC 边上的一个动点，将BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为点B，连接AB．点G 在线段AB上，
若
2
3
AG
AB
=
，连接DG ，则DG 的最小值为_______．
5．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知
3
AB =
，
4
BC =
，点E 是射线BC（不与点B
重合）上的一个动点，连接AE 并延长交直线CD于点F ，将ABE 沿射线AE 翻折，点B 的对应点为点B，
延长AB交直线CD于点G ．有下列结论：
①AG
GF
=
；②
2
DGA
BAE
=
；③若点B恰好落在对角线AC 上时，则
5
2
CE =
；④若
3
2
BE
CE =
时，则
54
41
AB D
S
=
△
或18
5 ；⑤B D
的取值范围为1
5
B D
．其中正确的结论有_____．（填序号）
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6．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的动点（不与端点
重合），过点D 作DG
AB
⊥
于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2
分，选全得4 分）
①0
1
DG
；
②
ADG
BDG
S
S
△
△
；
③设AG
x
=
，则
ADG
△
的面积S 是关于x 的二次函数；
④仅存在一点D，使得
ACD
ADG
S
S
=
△
△
．
7．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
6
AB =
厘米，
8
BC = 厘米．动点E 从点B 出发以
2 厘米/秒的速度在线段BC 上运动，运动到点C 处停止．动点E 运动t 秒时，连接AE ，将ABE 沿着直线AE
折叠，顶点B 的对应点是点F，连接CF ．当EFC
V
是直角三角形时，则t 为_______秒．
8．（2026·四川广元·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，点D ，E ，F 分别
在AB ，AC ，BC 边上，连接DE ，DF ，EF ，若
90
EDF
=
，AD
AE
=
，则EF 的最小值为__________．
9．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E 为CD的中点，作
45
EBF
=
，交AD 于点F ．点
G ，H 分别在等腰Rt DFQ 的直角边DQ 和斜边FQ 上，且
2
GQ
FH
=
，FG 与DH 交于点P ．连接BP ，若
2
AF =
，则BP 的最小值为_____．
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10．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用
【阅读材料】
如图1，两定点A、B 在直线l 异侧，点P 是直线l 上任意一点，当点P 为线段AB 与直线l 的交点时，PA
PB
+
的值最小，最小值为线段AB 的长．理由：在直线l 上另取一点
1P ，连结
1
1
PA
PB
、
，因为三角形的两边之和
大于第三边，所以
1
1
PA
PB
AB
+
，即PA
PB
+
最小值为AB 的长．
【类比应用】
(1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题：
如图2，两定点A、B 在直线l 同侧，点P 是直线l 上任意一点，当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，
PA
PB
−
的值最大，最大值为线段AB 的长．请说明理由．
【拓展提升】
(2)如图3，在矩形ABCD中，
2,
3
AB
AD
=
= ，O为对角线AC 的中点，点H 在AD 边上，且
1
AH = ，点E
在BC 边上，连结HE ，OE ，求HE
OE
−
的最大值．
11．（2026·四川内江·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，以边AB 为直径作
O ，交BC 于点D ，
交CA的延长线于点E ，连接DE 交AB 于点F ．
(1)如图1，过点D 作DM
AC
⊥
于点M ．
①求证：DM 是
O 的切线；
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②若
30
CED
=
，
6
AB =
，求阴影部分的面积；
(2)如图2，连接BE ，若
1
2
EF
FD =
，
2 15
BE =
，求AE 的值．
12．（2026·四川南充·中考真题）在菱形ABCD中，对角线
,
AC BD 相交于点O，AP
AB
=
．
(1)【初步感知】如图1，点P 在线段AC 上，若
2
OP
CP
=
，
6
AC =
，求AB 的长．
(2)【深入探究】如图2，点P 在线段CD上，若CP
DP
=
，设AB 长为x，AC 长为y，求y 与x 之间的函数
关系式．
(3)【拓展运用】如图3，点P 在线段CD上，将ADP 沿直线AP 折叠，若点D 落在BC 边上，求DP
DC 的值．
13．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
、
1
AD = ，点P 在线段CD上（点P 不
与点D 重合），连结AP ，将ADP 沿AP 翻折得到、点D 的对应点为D．
(1)求AD的长度；
(2)求证：当
1
DP = 时，四边形AD PD
为正方形；
(3)若点Q 在线段AB 上，且
(
)
0
3
BQ
DP
a
a
=
=
，连接CQ 、将BCQ 沿CQ 翻折得到B CQ
、点B 的对
应点为B，设点B与点D之间的距离为d ，求d 的取值范围．
14．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，ABC中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
10
BC =
，点D 是BC 边上的动点（不与点B，C
重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90 得到线段AE ，连接DE ，CE ，DE 与AC 交于点F．
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(1)【初步探究】如图1，在点D 的运动过程中，试探究CE 与BD 的数量关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图2，当点D 运动到
4
CD =
时，求EF 的长．
(3)【拓展延伸】如图3，点M 为ED 延长线上一点，且满足MC
MF
=
，当
(
)
1
BD
k k
DC =
时，求MD
DF 的值
（用含k 的式子表示）．
15．（2026·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC （不与点B ，点C 重合）上
的一点，
90
AEF
=
，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．
(1)如图1，求证：AE
EF
=
；
(2)如图2，M ，E 分别为AB ，BC 的中点，连接DM 和AE 相交于点G ，连接ME ，DF ．试判断四边形DMEF
的形状，并说明理由；
(3)若点M 是边AB（不与点A ，点B 重合）上的一点，直接写出BM ，BE ，CD三边满足什么数量关系时，
四边形DMEF 是平行四边形．
16．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究
【方法探究】
(1)如图1，直线1
2
l
l ，A，B 两点在直线1l 上，
1
C ，
2
C ，
3
C 三点在直线2l 上，连接
1
AC ，
2
AC ，
3
AC ，
1
BC ，
2
BC ，
3
BC ，我们发现
1
ABC ，
2
ABC ，
3
ABC
△
面积的数量关系是______，理由是______
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(2)如图2，AB 是
O 的直径，C 是
O 上的动点（C 不与A 重合）、D 是AC 的中点，用圆规和无刻度直尺
在图2 中作出点D 的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由；
(3)【问题解决】如图3，直线AB
CD
∥
，M 是AB 上一点，MN
CD
⊥
，垂足为N，
4
MN =
、E 是射线NC
上的动点，连接EM ，过点M 在AB 上方作射线MF
ME
⊥
，G 是MF 上的一点，连接EG ，
12
EMG
S
=
△
，
求线段NG 的最大值．
17．（2026·四川巴中·中考真题）四边形ABCD是矩形，点E 在BC 边上，
90
AEF
=
．
(1)【教材重现·提出问题】
如图1，AB
BC
=
，G 、E 分别是AB 、BC 的中点，EF 交矩形外角的平分线于点F ．求证：AGE
ECF
△
≌△
；
(2)【模型建构·应用意识】
如图2，
4
AB
BC
=
=
，EF 交矩形外角的平分线于点F ，延长CF 交AD 的延长线于点H ，求2BE
HF
+
的
值；
(3)【拓展推广·实践能力】
如图3，AB
mBC
=
，AE
mEF
=
（m 为常数），求CF
BE 的值（用含m 的代数式表示）．
18．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将
其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．
在AOB 与
COD
△
中，
90
ABO
CDO
=
=
，
30
AOB
COD
=
=
，
6
OA=
，
4
OC =
，将
COD
△
绕点O
顺时针旋转，旋转角为(
)
0
180
，直线BD 与直线AC 相交于点E ．
【初步探究】
(1)如图2，
AEB
的度数为__________；
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【尝试应用】
(2)如图2，若BE
OA
∥
，求CE 的长；
【创新提升】
(3)若C ，D ，E 三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC 的长．
19．（2026·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探
究．
如图，
ABC
EAD
△
△
≌
，AB
AC
nBC
=
=
（
1
n ），点D 在AC 边上，延长ED 交AB 于点F．
(1)【初步感知】求证：
2
AF
FD FE
=
；
(2)【深入探究】如图1，当
2
n =
，
1
AD = 时，求BF 的长；
(3)【拓展延伸】如图2，将EAD 绕点E 按逆时针方向旋转一定角度（小于90）得到
EA D
△
，若F，A，
D三点共线，且点A 的对应点A满足A A
A B
⊥
，求n 的值．
20．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边ABC内接于
O ，D 为BC 中点，连接OD 并延长交
O 于
点E ，作EM
BC ．
(1)求证：EM 是
O 的切线．
(2)如图2，点F 为射线EM 上的动点，连接FB 并延长与
O 的优弧BAC 交于点P （与点B ，C 不重合），
连接PA ，PC ．
①在点F 运动过程中，请探究线段PA ，PB ，PC 的数量关系并说明理由：
②连接CE，若
2 3
AB =
，当点P 到CE 的距离最大时，请直接写出PA
BF
PB
+
的值．
21．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，在ABC中，
5
8
AB
AC
BC
=
=
=
，
，点D 是BC 边上的一个动点，
连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转至线段AE ，使得
DAE
BAC
=
，连接CE
DE
、
．
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(1)当AD
BD
=
时，求BD 的长；
(2)当ACD是等腰三角形时，求CD的长；
(3)当AD
AC
⊥
时，求DE 的长（用图2）．
考点03 代数综合压轴：含参问题、函数取值范围
1．（2026·四川达州·中考真题）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （
0
a
，
0
c
）的自变量x 与函数y 的部分对应
值如下表：
x
2
−
0
2
y
0
c
c
在下列结论中：①
0
a
；②2
0
a
b
+
=
；③当
1
x 时，y 的值随着x 值的增大而增大；④
1
2
x = −，
2
4
x =
是
关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）的两个根．正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于点(
)
1,0
A −
，顶点坐标(
)
1,n ，与y
轴的交点在(
)
0, 2
−
，(
)
0, 3
−
之间（包含端点），下列结论：①3
0
a
b
+
；②2
1
3
a
；③对于任意实数m，
(
)
a
b
m am
b
+
+
总成立；④关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
+
+
=
− 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数
为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．
（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线
2
1
1
:
C
y
mx
=
与
(
)
2
2
2
:
2
C
y
m
x
=
+
，过原点O 的直线l 与抛物线
1
C ，
2
C 的另一个交点分别为
1A ，
2
A ，如果
2
1
3
OA
OA
=
，则m 的值为（ ）
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A．3
−或
3
2
−
B．3
−或1
C．
1
2
−
或
3
2
−
D．
1
2
−
或1
4．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ ，有下列结论：
①二次函数图象与y 轴的交点坐标是(
)
0,c ；
②二次函数的顶点坐标是
2
,
2
4
b
b
c
−
；
③若二次函数图象经过(
)
1
1,
A
y
−
、(
)
2
3,
B
y
两点，且
1
2
y
y
，则
2
b −；
④当1
2
x
时，二次函数的最大值为m ，最小值为n ，则m
n
−
的值与c 无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
5．（2026·四川宜宾·中考真题）点P 是抛物线
(
)
(
)
2
2
2
1
1
y
x
a
x
a
= −
+
−
−
−
的顶点，点(
)
1,
A
m
−
、(
)
,
B t m 在抛
物线上（其中
1
t −）．下列结论：
①当点P 在x 轴上时，
1
a = ；②点P 在直线
2
y
x
=
上；③
2
1
m
t
+
；④当点P 所在直线与线段AB 没有交点
时，a的取值范围是
2
a
；⑤当点P 在原点时，过点
1
0,
4
C
−
的直线与抛物线交于M 、N 两点，则
1
1
4
CM
CN
+
=
．
其中正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3个
C．4 个
D．5个
6．（2026·四川成都·中考真题）把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常
见策略．已知(
)(
)
5
5
2
2
1
2
2
1
x
a
b
x
x
x
x
−
=
+
+
−
+
−（a，b 为常数），则a
b
+
=_____．
7．（2026·四川内江·中考真题）若关于x 的方程
(
)
2
3
1
x
m
x
−
=
+
的解是负数，且一次函数
(
)
2
4
y
m
x
=
−
−
中，函数值y 随x 的增大而减小，则所有满足条件的整数m 的值之和是______．
8．（2026·四川眉山·中考真题）若关于x 的不等式组
3
1 1
2
x
x
x
m
+
−
无解，且关于x 的分式方程
1
1
1
1
x
m
x
x
−
+
=
−
−
的解为正数，则符合条件的所有整数m 的值为_______．
9．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数
2
1
y
ax
bx
=
+
+ ．
(1)若该二次函数的图象经过点3,4
（
），且关于直线
1
x = 对称，求二次函数的解析式；
(2)当
2
3
a =
时，该二次函数的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且ABC 是等腰三角形，
求ABC的面积；
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(3)当
1
b = 时，点
1
1,
D
y
（
），
2
2,
E
y
（
）在该二次函数的图象上，若
1
2
y
y
，求二次函数在0
1
x
上的最大值m
的取值范围．
10．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线
(
)
2
1
y
x
t
= −
−
+ ．（t 为常数）．
(1)若抛物线过点(
)
3,m
−
，(
)
1,m ，求t 的值．
(2)抛物线与x 轴交于A、B 两点，点(
)
2
1,0
P
t −
为线段AB 上一点，过点P 作x 轴垂线，分别与抛物线和直
线
1
3
2
y
x
= −
−交于点M，N，求MN 最大值．
(3)点
(
)
1
1
,
C x y ，(
)
2
2
,
D x
y
都在抛物线上，当
1
2
1
2
t
x
t
−
−
−
，
2
2
4
x
时，都有
1
2
y
y
，求t 的取值范围．
考点04 新定义、材料阅读类压轴探究题
1．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
2．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这
一过程，最后结果为1 的数．以“快乐数”70 为例：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
0
49
4
9
97
9
7
130
1
3
0
10
1
0
1
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
= ，则下列数中不是“快乐数”的是（ ）
A．3
B．7
C．13
D．31
3．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点
为“倒数点”．如：
1
(2, )
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据
沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的1，3，6 ，10 称为三角形数，第二行的1，
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4 ，9，16 称为四边形数，第三行的1，5 ，12 ，22 称为五边形数．
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）：
①1； ②25 ； ③36．
（2）我们将k 边形数中第n 个数记为
(
)(
)
,
3
N n k
k
．已知
(
)
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
=
+
，(
)
2
,4
N n
n
=
，则
(
)
,5
N n
=
_________．（用含有n 的代数式表示）
5．
（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，记(
)
1
2
1
2
,
L A B
x
x
y
y
=
−
+
−
，
例如，若
(
)
1,3
M
，则(
)
,
0 1
0 3
4
L O M =
−+
−
=
．若点N 满足(
)
,
1
L O N = ，则所有N 点组成的图形面积为
_____；已知A 是直线y
kx
=
（
0
k ）上一点且位于第一象限，
2
OA=
，点P 在OA上，点Q 满足(
)
,
1
L P Q = ，
当点P 从点O 运动到点A 时，Q 点运动所覆盖的区域面积为26
5 ，则k =_____．
6．（2026·四川乐山·中考真题）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和
方法．
【感知密铺】
(1)同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一
个周角时，就可以铺满地面．
正多边形的边数
3
4
5
6
…
正多边形的内角和
180
360
540
720
…
正多边形每个内角的大小
60 90 108 a
…
上表中a = ________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面．
【探寻密铺】
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(2)同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．
上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三
角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到．
【创作密铺】
(3)最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在
下面方格纸中画出点A 位置的密铺设计图．
7．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相
连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所
以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定
2
1
y
x
=
−与
1
y
x
=
的关系时，由函数表达式得
1
2
1
x
x
−=
，
去分母得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，因为
9
0
=
，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
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(1)对于函数①
2
y
x
= −
，②
2
y
x
=
，③
3
1
y
x
−
=
+ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若
(
)
1
0
m
y
m
x
=
与
(
)
2
0
y
kx
b k
=
+
是“友好函数”，如图2，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是______；若
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，则n 的值为______；
(3)如图3，过点
(
)
0,6
C
的直线1l 、2l 对应的函数分别与
1k
y
x
=
（
1
0
k
，
0
x
），
2k
y
x
=
（
2
0
k
，
0
x
）
是“相连函数”，相连点分别为P ，Q ，1l 、2l 与x 轴分别交于A ，B 两点，已知
6
AB =
，1
2
18
k k = −
，求
2
2
1
2
k
k
+
的值．
1．（2026·四川内江·二模）已知
0
a
且
1
a ，我们定义
1
( )
1
f a
a
= −
，记为
1a ；
1
1
1
(
)
1
f a
a
= −
，记为
2a ；……；
以此类推．若将数组
1
1, 2
−
中的各数分别作f 的变换，得到的数组记为(
)
1
1
,
a b ，即
(
)
1
1
1
1
1
2
a
−−
=
=
，
1
1
2
1
1
2
b =
=
−
；将(
)
1
1
,
a b 作f 的变换，得到的数组记为(
)
2
2
,
a b
；以此类推；则
1
1
2
2
2026
2026
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
+
+
的值为（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027.5
2．（2026·四川南充·二模）如图，一大一小两个正方形ABCD与CEFG，AF 与DB ，DE 分别交于H ，I ．下
列结论：①H 是AF 的中点；②AF 与DE 成正比例函数关系；③BDF 的面积与两个正方形的大小均相关；
④
AID
与两个正方形边长之比有关．正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（2026·四川雅安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，
4
AB =
，
6
AD =
，
120
A
=
，点F ，N 分别
为CD，AB 的中点，点E 在边AD 上运动，将EDF 沿EF 折叠，使得点D 落在D处，连接BD，点M 为
BD中点，则MN 的最小值是_________．
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4．（2026·四川成都·三模）如图在ABC中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
5
BC =
．D 是AB 上一动点，以DC
为斜边向右侧作等腰Rt
DCE
△
，使
90
CED
=
，连接BE ，则线段BE 的最小值为________．
5．（2026·四川德阳·二模）二次函数
2
y
x
=
的图象如图所示，点
0
B 位于坐标原点，点
1
2
,
,
,
n
B B
B 在y 轴的
正半轴上，点
1
2
,
,
,
n
A A
A ，点
1
2
,
,
,
n
C C
C 在二次函数的图象上，四边形
0
1
1
1
B A BC ，四边形
1
2
2
2
B A B C ，…，
四边形
1
n
n
n
n
B
A B C
−
都是正方形，则正方形
2025
2026
2026
2026
B
A
B
C
的周长为________．
6．（2026·四川成都·一模）对于二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，当自变量x 的取值范围为
(
)
p
x
q p
q
时，对应的函数值y 的取值范围也恰好是p
y
q
，我们称p
x
q
为该二次函数的“保值范围”．已知二
次函数
2
2
y
x
x
m
=
−
+
，当
2
m =
时，若该函数的“保值范围”为1
x
t
，则t 的值为_______；若该函数存在“保
值范围” p
x
q
，且
1
p
q
，则实数m 的取值范围是_______．
7．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
3
y
x
= −
+
与抛物线
(
)
2
2
2
3
3
y
ax
b
x
c
=
+
−
+
+ 交
于(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x y
两点，若
0
a
b
c
+ + =
且a
b
c
，则
1
2
x
x
−
的取值范围为______．
8．（2026·四川成都·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，AD 是边BC 上的中线，将ABC 沿AD 翻
折得△
AB D，连接BB，CB， BB分别与AD 相交于点O，与AC 相交于点E，DB与边AC 相交于点F．若
4
15
EF
CF =
，则tan
ACB
=______．
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9．（2026·四川广元·二模）若抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a 是常数，
0
a
）经过点(
)
2,0
−
，(
)
4,0 ．
(1)求a 与b 之间的关系式．
(2)若将此抛物线向上平移2 个单位长度，该抛物线与x 轴没有交点，求a 的取值范围．
(3)已知点(
)
1
1
,
x y
，(
)
2
2
,
x y
在抛物线上，满足
2
1
2
x
x
，当对于任意的
1x ，
2x 满足
2
1
1
x
x
−
= 时，都有
2
1
6
y
y
−
．求证：
2
a
．
10．（2026·四川成都·二模）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
(b ，c 是常数) 的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两
点，(
)
1,0
A
，
4
AB =
，点P 为线段AB 上的动点且不与点A ，B 重合，过点P 作
//
PQ BC 交AC 于点Q ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求CPQ 面积的最大值，并求此时点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下过点Q 的直线与抛物线交于M ，N 两点，求OMN 面积的最小值．
11．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
1
4
y
x
bx
c
−
=
+
+
的顶点在x 轴
上，且对称轴为直线
4
x =
．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过对称轴MN 上的点(
)
4,1
P
引直线PA ，PB （对称轴除外），两直线分别与抛物线有唯一交点A ，B ，
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求
APN
BPN
+
的度数；
(3)若（2）的条件中的点P 在直线
1
y = 上运动，试探究直线AB 是否过某个定点？若是，请求出该定点坐标；
若不是，请说明理由．
12．（2026·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，(
)
4, 2
P
−
是抛物线
2
4
y
ax
x
c
=
−
+ 的对
称轴上一点，且抛物线与y 轴的交点坐标为(
)
0,2 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点E 在对称轴右侧的抛物线上，点F 在x 轴上，若PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形，且
2
PE
PF
=
，
求点E 和点F 的坐标；
(3)如图2，,
A B 是抛物线上的两个动点（点A 在点B 的左侧），点
, ,
A B P 在同一直线上，过点
(
)(
)
0,
6
M
m
m −
作y 轴的垂线l ，交直线AB 于点Q ．是否存在实数m ，使得QA PB
QB AP
=
总成立？若存在，求出m 的
值；若不存在，请说明理由．
13．（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数
(
)
2
0
y
ax
a
=
的图象向右平移1 个单位，再
向下平移2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左侧），
1
OA = ，
经过点A 的一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象与y 轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD
的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求
ACE
△
面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；
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(3)若点P 在x 轴上且使PAD 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．
14．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象交x 轴于点(
)
(
)
3,0 ,
1,0
A
B
−
，交y 轴于点
(
)
0, 3
C
−
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)动点P 在抛物线的对称轴上，且在x 轴下方，作射线PA ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 后与抛物线交
于点Q ，是否存在点P 使APQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当0
3
x
时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
请求出n的值．
15．（2026·四川内江·二模）如图，抛物线
(
)
2
4
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于点(
)
10
A −，，(
)
4,0
B
，交y 轴于
点C，直线
:
2
8
BM
y
x
= −
+ 与抛物线交于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以BM 为腰，在BM 右侧作等腰Rt BMN ，
90
MBN
=
，求点N 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使
POB
CAO
=
，若存在求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．
16．
（2026·四川广元·三模）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(
)
0,6
C
，
顶点D 坐标为(
)
2,8 ．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M ，使得ACM 的周长最小，求出点M 的坐标；
(3)若点Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P ，使得以A
B
Q
P
、、、四点为顶点的四边形为平行四
边形？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2026·四川乐山·一模）对于一个函数，如果存在自变量
0 =
x
m时，其对应的因变量
0 =
y
m ，那么我们
称该函数为“不动点函数”，点( ,
)
m m 为该函数图象上的一个不动点．
(1)下列函数的图象上存在不动点的是 ；
①
2
y
x
=
+
；②
4
y
x
=
；③
2
2
6
y
x
x
=
−
+
(2)若抛物线
2
2
y
x
bx
c
=
−
+ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b 、c 满足的关系式；
(3)已知二次函数
2
6
y
x
=
−，直线
(
)
:
6
l y
m m
=
−
，将该二次函数在直线l 上方的图象沿直线l 翻折到直线l 的
下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，求实数m 的值．
(4)若
1x 、
2x 是函数
(
)
(
)
2
2
4
4
1
1
2
y
x
m
x
m
=
−
−
+
−
+ 的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求
2
2
1
2
x
x
+
的最小值．
18．（2026·四川南充·二模）如图，直线y
kx
b
=
+
与抛物线
2
3
y
mx
nx
=
+
−交于(
)
6,0
A
，(
)
4,5
C −
，与y 轴
交于B．抛物线上的点D，使四边形OBCD是梯形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求梯形OBCD的面积；
(3)直线OD与抛物线另一交点为P，点E 在线段DP 上，点F 在第四象限抛物线上，若以A，E，F 为顶点的
三角形与AOB 相似，试求点F 的坐标．
