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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题12 圆的基本性质应用 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、利用垂径定理求值 题型2、垂径定理的实际应用 题型3、圆周角定理及其推论的应用 题型4、应用圆周角定理作图 题型5、圆的性质的综合应用 题型6、圆心角、弧、弦的关系 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的有关计算要抓住“半径、弦、弧、圆心角、圆周角”五个基本量，熟练运用垂径定理、圆周角定理 及其推论、圆心角弧弦关系等核心定理；计算时常作半径、弦心距，构造直角三角形或等腰三角形；实际 应用问题要先把情境抽象为几何模型，再回归圆的性质求解；综合解答题注意结合方程、相似、三角函数 等知识，分类讨论并验证结果． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、利用垂径定理求值 典例1 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 为 的直径， 是 上一点，以 为圆心，适 当长为半径作弧交直径 所在的直线于点C，D；分别以C，D 为圆心，大于 长为半径作弧两弧交于 点 ；连结 并延长交 于点 ，交 于点 ；以 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ，连结 目 录 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ．若 ， ，则 的半径长是__________． 题型模版 1.特征：已知圆中弦、半径、弦心距等量，利用垂径定理求线段长或角度． 2.方法：作弦心距构造直角三角形；用垂径定理得平分关系；结合勾股定理或方程求解． 变式1-1 如图，半圆 的直径 为15，弦 为9，弦 平分 ，则 的长是__________． 变式1-2 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）如图， 是 的直径， 是 的弦， 于 点E，C 是 的中点，连接 ．若 的半径为10，且 ，则 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1-3 已知： 内接于 ，弦 平分 ． (1)如图1，求证： ； 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图2，过点A 作 ，垂足为点E．过点D 作 ，交 的延长线于点F，且 ． ①求证： ； ②若 ， ，求 的半径． 题型2、垂径定理的实际应用 典例2 我国西南地区公路隧道众多，如图1 所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的 横截面（阴影部分）如图2 所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组 分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2， ， 的延长线交于圆心O，若甲组测得 ， ， ，求 的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触 点L 为 的中点，若乙组测得 ， ，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 题型模版 1.特征：将垂径定理应用于实际问题，如拱桥、车轮、管道截面等． 2.方法：把实际物体抽象为圆或圆弧；确定已知弦、半径、拱高等量；用垂径定理列方程并解释实际意义． 变式2-1 某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通 学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得 ，，为了确定 与弧形拱半径的长度，学习小组找到 一根 长的笔直杆子，将杆子一端置于点C 处，另一端置于 上点E 处， ．如图2，调整杆子 位置，直至一端在 上的点G 处，另一端在圆弧上点F 处， ，如图3，某一集装箱大 货车宽为 ，则该大货车的最大高度（包括货物）____ ． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-2 （25-26 九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛 的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面 跨径 ，D 为圆上一点， 于点C，且 ，则门洞的半径为________m． 变式2-3 如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点 是拱桥 的中点，桥下水面的宽度 ，点 到水面 的距离 ．点 ， 均在 上， ，且 ，在点 ， 处各装有一个照 明灯，图中 和 分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点 ， 左右转动，且光束始终 照在水面 上．即 ， 可分别绕点 ， 按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线 段 ， 在 上，此时，线段 是这两灯照在水面 上的重叠部分的水面宽度． (1)求圆弧型拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯 距离水面的高度． (3)已知 ，在这两个灯的照射下，当整个水面 都被灯光照到时，求这两个灯照在水 面 上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 题型3、圆周角定理及其推论的应用 典例3 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）已知， 的半径为10， 是 的弦， ． (1)如图1，作弦 ，若满足 ，则 ______； 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若C，D 是圆上两点，且满足 ． ①如图2，连接 ，求 的长； ②在圆上截取 （点A，F 不重合），连接 ， ，分别交线段 于点M，N．当点N 恰为 的 中点时，求 的面积． 题型模版 1.特征：利用圆周角与圆心角的关系、同弧所对圆周角相等及其推论进行计算或证明． 2.方法：找准同弧或等弧；将圆周角与圆心角相互转化；注意直径所对圆周角为90°的常用结论． 变式3-1 （25-26 九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形 内接于 ，点 为 的中点， 连接 、 ，若 ，则 的长是（ ）． A． B． C． D． 变式3-2 （25-26 九年级上·浙江湖州·期末）如图， 是 的直径，点 ，点 是半圆上两点，连结 相交于点 ，连结 ． 已知 于点 ， ；下列结论：① ；②若 点 为 的中点，则 ；③若 ，则 ；④ ；其中正确的是 _______________． 变式3-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P 是 上一点，过点P 作不过圆心的弦 ，在 劣弧 和优弧 上分别有动点A、B（不与P，Q 重合），连接 、 ，若 ． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，当 ， ， 时，求 的半径． (2)如图2，连接 ，交 于点M，点N 在线段 上（不与P、M 重合），连接 、 ， ， 记 ，用含 的代数式表示 ． 题型4、应用圆周角定理作图 典例4 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）在如图所示的网格中， 的顶点 ， 均在网格上， 顶点 在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1 中圆的一条直径． (2)画出图2 中圆的圆心 ． 题型模版 1.特征：根据圆周角定理进行尺规作图或按要求构造圆中特殊点、线． 2.方法：明确作图目标；利用“同弧所对圆周角相等”“直径所对圆周角为直角”等性质确定点的位置． 变式4-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在 方格中， ， ， 均为格点，按下列要求作 图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角功能；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母． 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)找出过 ， ， 三点的圆的圆心 ，连接 ， ． (2)在 上找到点 ，使得 ． 变式4-2 如图，在一个 的正方形网格中，格点A，B，C 均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺 （不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1 中作图：画出直径 ． (2)在图2 中作图：在 上找一点 ，使 ． 变式4-3 如图是一个 的正方形网格，格点A，B，C 均在 上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺， 且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2 在答题纸上） (1)在图1 中画出 所在圆直径 ． (2)在图2 中作 ，且点E 在 上． 题型5、圆的性质的综合应用 典例5 如图， 是 的外接圆， 的半径为， ， ，是 上一点，连接 ， ， ，并延长 ， 交于点 ， 与 交于点 ． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求 的长； (2)当 是 的直径，求 的值； (3)求 的最大值． 题型模版 1.特征：圆的有关计算综合解答题，涉及多知识点融合与多步骤推理． 2.方法：综合垂径定理、圆周角定理、圆心角弧弦关系及代数工具；理清条件与结论之间的联系，分步求解． 变式5-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在 中， ，以 为直径作 分别交 于点D， (1)求证： (2)若 ， ，求 半径． (3)如图2，点F 在 上， ，连接 、 ．求证： ． 变式5-2 （25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形 内接于圆O， 为直径，连接 ，已 知 ． (1)求 的度数； (2)如图2，过点D 作 交 延长线于点E，连接 ． 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①求证： ， ②若 ， ，求 的长． 变式5-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是 的直径，D、E 为 上位于 异侧的两 点，连接 并延长至点C，使得 ，连接 交 于点F，连接 、 、 ． (1)证明： ； (2)若 ，求 的度数； (3)设E 是半圆 的中点， 交 于点G，若 ， ，求 的长． 变式5-4 （25-26 九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知 是 的直径， 于点E，点P 为劣 弧 上一个动点，且 ． (1)如图1，连接 ，则 的度数为 ； (2)如图2，连接 、 、 、 ．若 平分 交 于点F，求 的长； (3)如图3，连接 、 、 ，在点P 的运动过程中（不与B、C 两点重合），请问 的值是否会 发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 变式5-5 （25-26 九年级上·浙江温州·期中）如图，线段 为 内一条弦，点A 为弦 上方圆弧上一 点，延长 到D，连接 交 于点F，过点D 作 ，交直线 于点E． (1)如图，若 ， 为直径，求 的度数． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图，当 经过圆心O，求证： ． (3)如图，若 的半径等于2， ，且点C 为 的中点，求 的最大值． 变式5-6 （2025·湖南岳阳·二模）如图1，已知 为等腰 的外接圆， ，点 是 上的 一个动点，连接 ，并延长 至 ． (1)求证： 是 的角平分线； (2)如图2，过点 作 ，垂足为点 ， ，垂足为点 ，若 ， ，求线段 的长； (3)如图3，以 为直角边作等腰 ，连接 ，并满足动点 移到线段 上，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，当 的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若 不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 题型6、圆心角、弧、弦的关系 典例6 如图， 为 的直径，点P 在线段 上，A，Q 两点关于点P 对称，过点P 作 交 于 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点C，D，连接 并延长交 于点E，连接 ， ， ． (1)求证： ； (2)若 ，且 ，求 的长． 题型模版 1.特征：利用圆心角、弧、弦三者之间的等量关系进行判断与计算． 2.方法：在同圆或等圆中，由圆心角相等推出弧相等、弦相等；反之亦然；注意“同圆或等圆”的前提条件． 变式6-1 图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6 个等分圆周的球洞为A，B，C， D，E，F．P 是 的中点，一个球从点P 处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q 处，反弹一次后撞到桌边 上的点M 处，再反弹一次后落入球洞F 中，在此过程中有 ， ，则 的 度数是_______°． 变式6-2 如图， 的直径 垂直弦 于点E，F 是圆上一点，D 是 的中点，连接 交 于点G， 连结 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 如图，在扇形 中，点C、D 在 上， ，点F、E 分别在半径 、 上， ， 连接 ． (1)求证： ； (2)设点P 为 的中点，连接 ，线段 交 于点M、交 于点N．如果 ，求证： 四边形 是矩形． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图， 是 的直径， ，弦 交 于点 ，半 径 ，点 ， 位于 两侧，作 交 于点 ，连接 交 于点 ．若 的面积 为5，则 的面积为（ ） A．6 B． C．7 D． 2．如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ．再将 沿 翻折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ） A． B． C． D． 3．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形 内接于 ， ．若 ， ，则 的半径是（ ） 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4．如图，点 为射线 上一点，将射线 绕点 逆时针旋转 得到射线 ，以 为圆 心， 长为半径画圆，交射线 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 不重合）， 连接 交 于点 ，连接 ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．阿基米德折弦定理：如图1， 与 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ，点 M 是 的中点， 于点N，则点N 是折弦 的中点，即 ．如图2，半径为5 的 圆中有一个内接矩形 ， ，点M 是 的中点， 于点N，若矩形 的面积为 30，则线段 的长为（ ） A． B． C． D． 6．如图， 为 的直径，弦 于点 ， ， 为 上一点， 与 交于点 ，若 ，则 的长的范围为( ) 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 7．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了 ， ， ， 四个观景位．已知观景台边缘 ，观景位 与 之间的直线距离为24，观景位 与 之间的直线距 离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 8．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知 是 的直径，点 为圆上一点．将 沿弦 翻折，交 于点 ，把 沿直径 翻折，交 于点 ，点 恰好是翻折后的 上一个四等分点，且 ，则 的值为______． 9．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形 内接于 ， ， ，点 是 上 一点，连结 ，将 沿着直线 折叠，交线段 于点 ． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）半径 __________； （2）连接 ，若 ，则 __________． 10．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）已知 内接于 ， ，E 是弧 的中点，连结 ， 交 于点D，射线 交 的延长线于点F． (1)如图1， ①求证： ； ②若 ， ，求 的长； (2)若直线 与直线 交于点G，且 ，求 的度数． 11． （2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离 ， 弓形的高度 ． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图， 为船身宽，为保证安全，点 、 与其正上方拱桥 线上的对应点 、 的距离均应不小于 ．某日，测得拱顶 点高出水面 ．现有一艘货轮露出水面部 分的高度为 ， ．该货轮每增加货物10 吨，船身就会下降 ，请问要保证该货轮安全通过 大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形 区域植鲜花．如图，数学兴趣 小组已经确立了 、 、 三点的位置， ．已知点 在劣弧 上，且 (1)尺规作图：请在 上确定点 的位置，并连接 、 ； (2)已知 ，求鲜花种植区域四边形 的面积（请用含的式子表达） 13．（25-26 九年级上·浙江舟山·期中）如图1，C，D 是半圆 上的两点，若直径 上存在一点P， 满足 ，则称 是 的“幸运角”． (1)如图2， 是 的直径，弦 ， 是弧 上一点，连结 交 于点P，连结 ， 是 的“幸运角”吗？请说明理由； (2)如图3， 是 的直径，弦 ， 是 的“幸运角”， 的“幸运角”为 ． ①连结 ，求证： ． ②当直径 ， 时，求 的长． 14．（25-26 九年级上·浙江·阶段检测）如图，在 中， ，点 是 的中点，过 ， ， 三点的 交 于点 ， 的半径为． (1)如图，连接 ，当 恰好是 的直径时． 求证： ； 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 若 ，求 的度数（用的式子表示）； 求 的长； (2)如图，求 的最大值． 15．如图，已知点 为射线 上的动点，作 ，使 ，过点 ， ， 作⊙ 与 交于 点 ，连接 ．点 为 上的一点，连接 交 于点 ，交⊙ 于点 ，且 ． (1)证明： ． (2)若 ， ，求 的长． (3)若 ，求 的值．
