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专题12 圆的基本性质
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、利用垂径定理求值
题型2、垂径定理的实际应用
题型3、圆周角定理及其推论的应用
题型4、应用圆周角定理作图
题型5、圆的有关性质的综合应用
题型6、圆心角、弧、弦的关系
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
圆的有关计算要抓住“半径、弦、弧、圆心角、圆周角”五个基本量，熟练运用垂径定理、圆周角定理
及其推论、圆心角弧弦关系等核心定理；计算时常作半径、弦心距，构造直角三角形或等腰三角形；实际
应用问题要先把情境抽象为几何模型，再回归圆的性质求解；综合解答题注意结合方程、相似、三角函数
等知识，分类讨论并验证结果．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、利用垂径定理求值
典例1 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，
为
的直径，
是
上一点，以
为圆心，适
当长为半径作弧交直径
所在的直线于点C，D；分别以C，D 为圆心，大于
长为半径作弧两弧交于
目 录
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点
；连结
并延长交
于点
，交
于点
；以
为圆心，
长为半径作弧交
于点
，连结
．若
，
，则
的半径长是__________．
【答案】6
【分析】本题考查垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾
股定的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键，根据题意可得
，如图所示，连接
，设
的半径为，
，则
，在
中，运用勾股定理可得
，则有
，由
为
的直径，得
，在
中，再次利用勾股定理得到
，代入整理得：
，利用因式分解求一元二次方程即可求解．
【详解】解：根据作图可得
，
∴
，
如图所示，连接
，
设
的半径为，
∴
，则
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∵以
为圆心，
长为半径作弧交
于点
，
∴
，
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∵
为
的直径，
∴
，
在
中，
，
∴
，
整理得：
，
解得：
，
（不符合题意，舍去）
∴
的半径为6．
故答案为：．
题型模版
1.特征：已知圆中弦、半径、弦心距等量，利用垂径定理求线段长或角度．
2.方法：作弦心距构造直角三角形；用垂径定理得平分关系；结合勾股定理或方程求解．
变式1-1 如图，半圆
的直径
为15，弦
为9，弦
平分
，则
的长是__________．
【答案】
【分析】连接
，
与
相交于
点，根据圆周角定理得到
，利用勾股
定理计算出
，再利用垂径定理得出
，则
，
，
，
再利用勾股定理计算出
，再计算出
即可．
【详解】解：如图，连接
，
与
相交于
点，
，
为直径，
，
在
中，
，
弦
平分
，
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，
，
，
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半，半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾
股定理．
变式1-2 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，
是
的直径，
是
的弦，
于
点E，C 是
的中点，连接
．若
的半径为10，且
，则
的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，连接
，先证明
，进而
得
，从而即可求解．
【详解】解：如图，连接
，
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∵
是
的直径，
于点E，
∴
，
，
∵C 是
的中点，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∵
，
∴
，
故选：B．
变式1-3 已知：
内接于
，弦
平分
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，过点A 作
，垂足为点E．过点D 作
，交
的延长线于点F，且
．
①求证：
；
②若
，
，求
的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)①见解析；②
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【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，进行证明即可；
（2）①如图1，延长
到
，使
，证明
，则
，进
而可得
，
，
，由
，可得
，
，根据
，
，可得数量关系；②设
，则
，
在
和
中，由勾股定理得
，即
，求
得
，则
，
，
，如图2，过
作
于
，连接
，
，
由题意可得
，
，
，证明
，则
，
，在
和
中，根据勾股定理求
，
的值，如图2，
连接
交
于
，连接
，由垂径定理可得
，
，在
中，由勾股定理
求
的值，设半径为，则
，在
中，由勾股定理得
，即
，求值即可．
【详解】（1）证明：∵弦
平分
，
∴
，
∴
；
（2）①证明：如图1，延长
到
，使
，
在
和
中，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
；
②解：设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，即
，
解得
，
（舍去），
∴
，
，
，
如图2，过
作
于
，连接
，
，
∵
，
∴
∵弦
平分
，
∴
，
，
，
在
和
中，
∵
，
∴
，
∴
，
，
在
中，由勾股定理得
，
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在
中，由勾股定理得
，
如图2，连接
交
于
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得
，
设半径为，则
，
在
中，由勾股定理得
，即
，
解得
，
∴半径为
．
【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，垂
径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型2、垂径定理的实际应用
典例2 我国西南地区公路隧道众多，如图1 所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的
横截面（阴影部分）如图2 所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组
分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径．
(1)如图2，
，
的延长线交于圆心O，若甲组测得
，
，
，求
的长．
(2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触
点L 为
的中点，若乙组测得
，
，求：该混凝土管片的外圆弧半径．
【答案】(1)
(2)该混凝土管片的外圆弧半径为
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【分析】（1）先证明
，再根据相似三角形对应边成比例解答即可；
（2）连接
、
、
、
、
与
相交于点
，由垂径定理的推论可得
，再结合勾
股定理得到
，据此解答即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
解得：
，
经检验，
是原方程的根，即
．
答：
的长为
；
（2）解：如图，设圆心为点
，连接
、
、
、
、
与
相交于点
，
∵点L 为
的中点，
为半径，
∴
，
由题意得，
与
相切于点
，则
，
而
∴四边形
为矩形，
∴
，
设外半径为
，则
，
在
中，由勾股定理可得：
，
即
，
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解得：
，
答：该混凝土管片的外圆弧半径为
．
题型模版
1.特征：将垂径定理应用于实际问题，如拱桥、车轮、管道截面等．
2.方法：把实际物体抽象为圆或圆弧；确定已知弦、半径、拱高等量；用垂径定理列方程并解释实际意义．
变式2-1 某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通
学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得
，，为了确定
与弧形拱半径的长度，学习小组找到
一根
长的笔直杆子，将杆子一端置于点C 处，另一端置于
上点E 处，
．如图2，调整杆子
位置，直至一端在
上的点G 处，另一端在圆弧上点F 处，
，如图3，某一集装箱大
货车宽为
，则该大货车的最大高度（包括货物）____
．
【答案】
【分析】如图1 所示，过点E 作
于T，则四边形
是矩形，可得
，
利用勾股定理可得
，则
；如图2 所示，设
所在圆的圆心为O，过点
作
交
于点
，交
于点
，过点O 作
于K，则四边形
是矩形，四边形
是
矩形，可得
，
，则
，设
，则
，
，由勾股定理可得方程
，解得
，则
，
进而可得
；如图3 所示，构造
，且
，过点
作
于点
，
于E，延长
交
于L，连接
，由垂径定理得到
，则
，
由图2 可知，
，证明四边形
是矩形，得到
，
，则大
货车的最大高度（包括货物）为
．
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【详解】解：如图1 所示，过点E 作
于T，
则四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
；
如图2 所示，
设
所在圆的圆心为O，过点
作
交
于点
，交
于点
，过点O 作
于K，则四
边形
是矩形，四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
；
如图3 所示，
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构造
，且
，过点
作
于点
，
于E，延长
交
于L，连接
，
∴
，
∴
，
由图2 可知，
，
∵
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴大货车的最大高度（包括货物）为
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造
直角三角形和矩形，从而求出
所在圆的半径以及线段
的长是解题的关键．
变式2-2 （25-26 九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛
的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面
跨径
，D 为圆上一点，
于点C，且
，则门洞的半径为________m．
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【答案】
/
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的
应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
过
作
于
，过
作
于
，由垂径定理得
，再证四边形
是矩
形，则
，
，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】解：过
作
于
，过
作
于
，如下图所示：
则
米，
，
∵
，
∴
,
∴四边形
是矩形,
∴
，
，
，
设该圆的半径长为米，
根据题意得
解得
即门洞的半径长为
米，
故答案为：
．
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变式2-3 如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点
是拱桥
的中点，桥下水面的宽度
，点
到水面
的距离
．点
，
均在
上，
，且
，在点
，
处各装有一个照
明灯，图中
和
分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点
，
左右转动，且光束始终
照在水面
上．即
，
可分别绕点
，
按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线
段
，
在
上，此时，线段
是这两灯照在水面
上的重叠部分的水面宽度．
(1)求圆弧型拱桥所在圆的半径．
(2)求照明灯
距离水面的高度．
(3)已知
，在这两个灯的照射下，当整个水面
都被灯光照到时，求这两个灯照在水
面
上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)
【答案】(1)
(2)
(3)这两个灯照在水面
上的重叠部分的水面宽度为
或
．
【分析】（1）设
交
于
，圆心为
，连接
，
，
，过
作
于
，根据垂径定理
可得，
，进而勾股定理建立方程，即可求解．
（2）根据题意得出
，勾股定理求得
的长，进而可得
；
（3）当整个水面
都被灯光照到时，分两种情况讨论；①
与
重合，
与
重合，当
与
重合，
与
重合时分别画出图形，解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）如图所示，设
交
于
，圆心为
，连接
，
，
，过
作
于
，
点
是拱桥
的中点，
，
，
，
共线，
，
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设
半径为，则
，
在
中，
，
，
解得
，
圆弧型拱桥所在圆的半径为
米
（2）如图所示，设
交
于
，圆心为
，连接
，
，
，过
作
于
，则四边形
是矩形，
，且
，
，
即照明灯
距离水面的高度为米
（3）当整个水面
都被灯光照到时，
①
与
重合，
与
重合，如图所示
由（2）可得
，
，
，
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，即
，
是等腰直角三角形，
，即
，
同理可得
，即
，
这两个灯照在水面
上的重叠部分的水面宽度为
；
②当
与
重合，
与
重合时，如图：
，
根据对称性可得
这两个灯照在水面
上的重叠部分的水面宽度为
；
综上所述，这两个灯照在水面
上的重叠部分的水面宽度为
或
．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构
造直角三角形解决问题．
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题型3、圆周角定理及其推论的应用
典例3 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）已知，
的半径为10，
是
的弦，
．
(1)如图1，作弦
，若满足
，则
______；
(2)若C，D 是圆上两点，且满足
．
①如图2，连接
，求
的长；
②在圆上截取
（点A，F 不重合），连接
，
，分别交线段
于点M，N．当点N 恰为
的
中点时，求
的面积．
【答案】(1)90
(2)①
；②
或
【分析】（1）根据圆周角定理进行解答即可；
（2）①连接
并延长，交
于点E，连接
，根据
，得出
，求出
，
根据勾股定理求出结果即可；
②分两种情况：当点C 与点F 重合时，当点C 与点F 不重合时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
；
（2）①解：连接
并延长，交
于点E，连接
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∵
为直径，
∴
，
∵
的半径为10，
，
∴在
中，根据勾股定理得：
，
∴
．
②解：如图，连接
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
如图2，当点C 与点F 重合时，点M 与点F 重合，即点M 在
上，
∴此时点C、F、M 重合，
∵点N 是
的中点，
，即
∴
，且
为直径，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
的面积为
．
当点C 与点F 不重合时，连接
、
、
、
，如图3 所示，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
把
绕点B 逆时针旋转
得到
，连接
交
于点G，如图3 所示，
则
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
为
的中位线，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
过点B 作
于点P，如图3 所示：
∴
，
∴
，
∴
；
综上，
的面积为
或
．
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，圆周角定理，垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，旋转
的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
题型模版
1.特征：利用圆周角与圆心角的关系、同弧所对圆周角相等及其推论进行计算或证明．
2.方法：找准同弧或等弧；将圆周角与圆心角相互转化；注意直径所对圆周角为90°的常用结论．
变式3-1 （25-26 九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形
内接于
，点
为
的中点，
连接
、
，若
，则
的长是（ ）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
、
、
、
，设
与
交于点
，利用正方形内接于圆的性质得
为直径，
，由点
是弧
的中点推出
垂直平分
，再结合正方形性质、勾股定理建立边长关系，
求解
长度．
【详解】解：连接
、
、
、
，设
与
交于点
，
由
，
，
，
故对角线
是
的直径，对角线
是
的直径，
，
已知点
为弧
的中点，
，
垂直平分
，
，
又
，
是等腰直角三角形，
，
设正方形边长
，则
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
即
，
解得
，
根据勾股定理，
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．
变式3-2 （25-26 九年级上·浙江湖州·期末）如图，
是
的直径，点
，点
是半圆上两点，连结
相交于点
，连结
． 已知
于点
，
；下列结论：①
；②若
点
为
的中点，则
；③若
，则
；④
；其中正确的是
_______________．
【答案】①②③
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出
，由
是
的直径，进而根据等角的余角
相等进而判断①；点
为
的中点，得出
，进而证明
全等三角形的判定和
性质，得出
，进而根据三角形中位线定理得出
，等量代换得出
即可判断②，
连接
，根据垂径定理得出
，根据
得出
，则
，得出
为等
边三角形，由
，即可得出
继而判断③；勾股定理得出
，当
时，
，即可判断④．
【详解】解：①∵
，
∴
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，故①正确，符合题意；
②∵点
为
的中点，
∴
，
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为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故②正确，符合题意；
③连接
，
∵
∴
∵
，
∴
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∵
，
∴
，故③正确，符合题意；
④∵
，
∴
，
当
时，
，故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键
是掌握并熟练应用以上知识点．
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变式3-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P 是
上一点，过点P 作不过圆心的弦
，在
劣弧
和优弧
上分别有动点A、B（不与P，Q 重合），连接
、
，若
．
(1)如图1，当
，
，
时，求
的半径．
(2)如图2，连接
，交
于点M，点N 在线段
上（不与P、M 重合），连接
、
，
，
记
，用含
的代数式表示
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接
，由已知得到
，根据圆周角定理证得
是
的直径，
然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）连接
，由圆周角定理可得弧
弧
，从而由垂径定理的推论得到
，根据
平行线的性质可证
，然后根据三角形内角和求解即可．
【详解】（1）解：连接
，
∵
，
∴
，
∴
为
的直径，
在
中，
，
，
∴
，
∴
的半径为
；
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（2）解：连接
，
∵
，
∴弧
弧
．
又∵
为半径，
∴
．
∵
，
，
∴
，即
．
∵
，
∴
，
∴在
中，
，
即
，
∴
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形内角和定理，熟
练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
题型4、应用圆周角定理作图
典例4 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）在如图所示的网格中，
的顶点
，
均在网格上，
顶点
在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由．
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(1)画出图1 中圆的一条直径．
(2)画出图2 中圆的圆心
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图，直角所对的弦是直径，网格与勾股定理；
（1）根据直角所对的弦是直径，即可求解；
（2）根据网格的特点作出
，则
为直径，与
交于点
，则点
即为所求．
【详解】（1）解：如图，
∵
∴
是圆的一条直径．
（2）解：如图，
，延长
交圆于点
，连接
，则
为直径，与
交于点
，则点
即
为所求．
理由如下，
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∵
，
∴
，
∴
是直角三角形，且
，
即
，
∴
是直径，
由（1）可得
是直径，
∴
的交点即为圆心
．
题型模版
1.特征：根据圆周角定理进行尺规作图或按要求构造圆中特殊点、线．
2.方法：明确作图目标；利用“同弧所对圆周角相等”“直径所对圆周角为直角”等性质确定点的位置．
变式4-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在
方格中，
，
，
均为格点，按下列要求作
图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角功能；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母．
(1)找出过
，
，
三点的圆的圆心
，连接
，
．
(2)在
上找到点
，使得
．
【答案】(1)
解：如图所示即为所求，
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(2)
解：如图所示，点P 即为所求，
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角，网格问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接
，根据
圆周角所对的弦是直径可得
为直径，利用格点，画出
的垂直平分线，
其与
的交点即为圆心O，
（2）由（1）可知，得
为直径，利用网格取点
，根据正方形性质可得
，根据勾股定理得
出
，可得点
在
上，则点
即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
变式4-2 如图，在一个
的正方形网格中，格点A，B，C 均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺
（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹．
(1)在图1 中作图：画出直径
．
(2)在图2 中作图：在
上找一点
，使
．
【答案】(1)
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即为所求．
(2)如图：
【分析】（1）由勾股定理逆定理可得
，根据圆周角定理得出
为直径，取格点
、
，找出
中点
，连接
并延长交
于
，
即为所求；
（2）延长
交格点于
，连接
交
于
，由垂直平分线的性质可得
，根据弧、弦、
圆心角的关系可得点
即为所求．
【详解】（1）解：∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
为直径，
取格点
、
，连接
交
于
，可得点
为圆心，连接
并延长交
于
，
（2）解：延长
交格点于
，连接
交
于
，由网格可知
，
∵
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，主要知识点有：网格特征、圆周角定理、弧、弦、圆心角的关系、勾
股定理逆定理、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握圆周角定理及网格
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特征是解题关键．
变式4-3 如图是一个
的正方形网格，格点A，B，C 均在
上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，
且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2 在答题纸上）
(1)在图1 中画出
所在圆直径
．
(2)在图2 中作
，且点E 在
上．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）连接格点
,得线段
即为所求．由垂径定理推论知
经过弧所在圆的圆心，而
，
于是
是圆的直径．
（2）如图，连接格点
，线段
交弧于点E，即为所求．由圆周角定理，得
，
，于是
．
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【详解】（1）解：连接格点
,得线段
即为所求．
由网格图知，
∴
经过弧所在圆的圆心．
又
，
∴
是圆的直径．
（2）解：如图，连接格点
，线段
交弧于点E，即为所求．
由图1，
，
∴
是圆的直径．
∴
．
∵
，
∴
．
【点睛】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理及推论；理解圆周角定理及推论是解题的关键．
题型5、圆的有关计算的综合应用
典例5 如图，
是
的外接圆，
的半径为，
，
，是
上一点，连接
，
，
，并延长
，
交于点
，
与
交于点
．
(1)求
的长；
(2)当
是
的直径，求
的值；
(3)求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接
并延长交
于点
，连接
、
，由
，
得
垂直平分
，
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在
中用勾股定理求
，进而得
，再在
中求
．
（2）由
是直径得
，利用圆内接四边形外角等于内对角和同弧所对圆周角相等，证
明
，得
，再用勾股定理求
代入计算．
（3）作
，证
得
；面积法求定长
，过圆心作
，利
用圆半径求
最大值，进而求
最大值．
【详解】（1）解：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
∵
，
，
∴
垂直平分
．
∴
．
在
中，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，
∵
，
，
∴
．
（2）解：如图，
∵
是
的直径，
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∴
．
∵四边形
内接于
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
在
中，
∵
，
，
∴
．
由（）得
，
∴
．
（3）解：连接
，过
作
于
，过
作
于
，连接
并延长
交
于
，过
作
于
，过
作
于点
．
则四边形
是矩形，
∴
，
由（）得
，
，
，
，
，
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．
，
．
，
．
，
，
，
．
∴
，
∴当
最大时，
的值最大，
，
．
在
中：
，
．
∴
，
由垂线短最短可知
即
，
∴
取最大值为
，此时，点
与点
重合，
．
题型模版
1.特征：圆的有关计算综合解答题，涉及多知识点融合与多步骤推理．
2.方法：综合垂径定理、圆周角定理、圆心角弧弦关系及代数工具；理清条件与结论之间的联系，分步求解．
变式5-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在
中，
，以
为直径作
分别
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交
于点D，
(1)求证：
(2)若
，
，求
半径．
(3)如图2，点F 在
上，
，连接
、
．求证：
．
【答案】(1)
证明：如图，连接
，
为
的直径，
，
，
，
．
(2)5
(3)
证明：如图，连接
，
为
的直径，
，
，
，
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，
，
，
∵
，
，
，
，
，
四边形
为圆的内接四边形，
，
．
【分析】（1）如图：连接
，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论；
（2）如图：连接
，利用圆周角定理和勾股定理求得
，设
半径为r，则
，再利用勾
股定理列出方程求解即可；
（3）如图，连接
，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到
，利用圆周角定理的推论
得到
，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图：连接
，
由（1）知：
，
，
，
为
的直径，
，
，
设
半径为r，则
，
，
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，
，解得：
，
半径为5．
（3）略
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰
三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键．
变式5-2 （25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形
内接于圆O，
为直径，连接
，已
知
．
(1)求
的度数；
(2)如图2，过点D 作
交
延长线于点E，连接
．
①求证：
，
②若
，
，求
的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②5
【分析】本题考查了勾股定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形和圆周角定理的推论，
正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到
，然后根据等腰三角形的性质
，再根据圆
内接四边形的性质解答即可；
（2）①先得到
是等腰直角三角形，即可得到
，进而根据角的转换求证即可；②将
绕着点B 按顺时针方向旋转
得到
，即可得到
，即可求出
，然后根据勾
股定理解答即可．
【详解】（1）解：∵
是直径，
∴
，
∵
，
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∴
，
∵四边形
内接于
，
∴
；
（2）①证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
②解：将
绕着点B 按顺时针方向旋转
得到
，
则
，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
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变式5-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，
是
的直径，D、E 为
上位于
异侧的两
点，连接
并延长至点C，使得
，连接
交
于点F，连接
、
、
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的度数；
(3)设E 是半圆
的中点，
交
于点G，若
，
，求
的长．
【答案】(1)
证明：
是
的直径，
，
即
，
，
是线段
的垂直平分线，
；
(2)
(3)
【分析】（1）证明
是线段
的垂直平分线，进而即可得出结论；
（2）根据圆周角定理得
，根据（1）的结论得
，再根据四边形
是
的
内接四边形得
，然后根据三角形的外角性质可得出
的度数；
（3）过点
作
于
，
于
，证明四边形
是正方形，设
，
证明
得
，则
，进而得
，再根据三角形的面积求出
，
进而根据勾股定理即可求出
的长．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
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∴
，
，
∴
，
∵四边形
是
的内接四边形，
∴
，
∵
，
是
的一个外角，
；
（3）解：过点
作
于
，
于
，如图所示：
则
，
，
∴四边形
是矩形，
∵点
是半圆
的中点，
∴
，
，
是
的平分线，
又
，
，
∴矩形
是正方形，
设
，
，
，
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∵
，
，
，
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
，
，
，
解得：
，
，
在
中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，圆内接四边形
的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
变式5-4 （25-26 九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知
是
的直径，
于点E，点P 为劣
弧
上一个动点，且
．
(1)如图1，连接
，则
的度数为
；
(2)如图2，连接
、
、
、
．若
平分
交
于点F，求
的长；
(3)如图3，连接
、
、
，在点P 的运动过程中（不与B、C 两点重合），请问
的值是否会
发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值．
【答案】(1)
(2)
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(3)不变，
【分析】
（1）连接
，由线段垂直平分线的性质可得
，再结合
得出
为等边三角形，
即可得解；
（2）由垂径定理可得
，由圆周角定理可得
，由角平分线的定义可得
，
证明
，得出
，即可得解；
（3）由题意可得
垂直平分
，连接
，
，则
，由（1）可知，
，将
绕A 点顺时针旋转
至
，则
，
，
，
，证明
、
、
三点共线，过A 作
于
，则
，设
，则
，证明出
，即可得
解．
【详解】（1）解：如图：连接
，
∵
，
，
，
，
，
∴
为等边三角形，
∴
；
（2）解：
直径
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
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∵
，
，
；
（3）解：由题可得，直径
，
，
∴
垂直平分
，
如图，连接
，
，则
，
由（1）可知，
，
将
绕A 点顺时针旋转
至
，
，
，
，
，
四边形
为圆内接四边形，
，
，
∴
、
、
三点共线，
，
过A 作
于
，则
，
∵
，
在
中，
，
设
，则
，
，
，
，
，
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为定值．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、旋转的性
质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
变式5-5 （25-26 九年级上·浙江温州·期中）如图，线段
为
内一条弦，点A 为弦
上方圆弧上一
点，延长
到D，连接
交
于点F，过点D 作
，交直线
于点E．
(1)如图，若
，
为直径，求
的度数．
(2)如图，当
经过圆心O，求证：
．
(3)如图，若
的半径等于2，
，且点C 为
的中点，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
证明：∵
，且
经过圆心O，
∴
，即
为
的中垂线
∴
，
∴
，
∵四边形
内接于
，
∴
，
∴
，
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∴
；
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到
，则可求出
的度数，再根据圆内接四边
形对角互补可得
的度数，据此由直角三角形两锐角互余可得答案；
（2）可证明
为
的中垂线，则可推出
，由圆内接四边形对角互补可得
，则
，据此可证明
；
（3）如图3-1 所示，过点O 作
交
BC 于点M，交
于点N，可证明
，则
是等边三角形，同理
是等边三角形，即可得到
，进而得到
；如
图3-2 所示，取
的中点H，连接
，由三角形中位线定理可得
；求出
，
可推出
，则可证明当
为直径时，
有最大值，即此时
的值最大，据此可
得答案．
【详解】（1）解：∵
为
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形
内接于
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）略
（3）解：∵点C 为
的中点，
，
∴
；
如图3-1 所示，过点O 作
交
BC 于点M，交
于点N，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
是等边三角形，
同理
是等边三角形，
∴
∴
，
∴
；
如图3-2 所示，取
的中点H，连接
，
∵点C 为
的中点，
∴
为
的中位线
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
∴
∴
，
∴
，
∴当
为直径时，
有最大值，即此时
的值最大
∴
的最大值为
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与
判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
变式5-6 （2025·湖南岳阳·二模）如图1，已知
为等腰
的外接圆，
，点
是
上的
一个动点，连接
，并延长
至
．
(1)求证：
是
的角平分线；
(2)如图2，过点
作
，垂足为点
，
，垂足为点
，若
，
，求线段
的长；
(3)如图3，以
为直角边作等腰
，连接
，并满足动点
移到线段
上，连接
并延长交
于点
，连接
交
于点
，当
的大小发生变化而其他条件不变时，
的值是否发生变化？若
不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)
证明：
，
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，
四边形
为
的内接四边形，
，
，
，
，
，
是
的角平分线 ；
(2)
(3)不变，
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和
性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到
，推出
，即可得到结论；
（2）先证明
，得到
，再证明
，得到
，求出
，根据勾股定理求出
，得到
；
（3）
的值不发生变化；过点
作
于
，作
于
，延长
交
于点
,连接
，
证明
，推出
为等腰直角三角形，得到
．
【详解】（1）略
（2）解：
，
，
在
和
中
，
，
，
又
，
在
和
中，
，
，
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，
，
，
∴在
中，
，
，
．
（3）解：
的值不发生变化，
如图：过点
作
于
，作
于
，延长
交
于点
,连接
，
为
的直径，
,
,
,
,
,
垂直平分
,
，
为直角边的等腰
，
，
，
在
和
中
，
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，
，
又
，
，
,
,
,
,
四边形
是矩形，
，
，
，
,
，
，
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
题型6、圆心角、弧、弦的关系
典例6 如图，
为
的直径，点P 在线段
上，A，Q 两点关于点P 对称，过点P 作
交
于
点C，D，连接
并延长交
于点E，连接
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，且
，求
的长．
【答案】(1)
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证明：连接
，
∵直径
于P，
∴
，
∵A，Q 两点关于点P 对称，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
又
，
∴平行四边形
是菱形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
(2)
【分析】（1）连接
，根据垂径定理得出
，根据轴对称的性质得出
，则可证明四边形
是平行四边形，进而证明平行四边形
是菱形，得出
，
，根据圆周角定
理得出
，根据弧、弦的关系得出
，即可得证；
（2）连接
，根据
并结合
可求出
，结合
可求出
，在
中，
根据勾股定理求出
，结合（1）中
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接
，
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∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
又
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
题型模版
1.特征：利用圆心角、弧、弦三者之间的等量关系进行判断与计算．
2.方法：在同圆或等圆中，由圆心角相等推出弧相等、弦相等；反之亦然；注意“同圆或等圆”的前提条件．
变式6-1 图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6 个等分圆周的球洞为A，B，C，
D，E，F．P 是
的中点，一个球从点P 处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q 处，反弹一次后撞到桌边
上的点M 处，再反弹一次后落入球洞F 中，在此过程中有
，
，则
的
度数是_______°．
【答案】25
【分析】连接
、
、
，先求出
，设
，根据等边对等角和三角形内角和定理
可求出
，
，
，结合
，
即可求解．
【详解】解：连接
、
、
，
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∵A，B，C，D，E，F 是
的六等分点，
∴
，
∵P 是
的中点，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
的度数是
．
变式6-2 如图，
的直径
垂直弦
于点E，F 是圆上一点，D 是
的中点，连接
交
于点G，
连结
．
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(1)求证：
；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)
证明：∵D 是
的中点，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
；
(2)
【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂
径定理是解题的关键．
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到
，证明
，根据全等三角形的性质证明即
可；
（2）连接
，根据勾股定理求出
，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1） 略
（2）解：如图，连接
，
设
，则
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
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∴
，
解得：
，
（舍去），
∴
，
∴
．
变式6-3 如图，在扇形
中，点C、D 在
上，
，点F、E 分别在半径
、
上，
，
连接
．
(1)求证：
；
(2)设点P 为
的中点，连接
，线段
交
于点M、交
于点N．如果
，求证：
四边形
是矩形．
【答案】(1)
证明：
，
，
，
，
在
和
中，
，
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，
；
(2)
连接
，如图，
点P 为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
四边形
为矩形．
【分析】（1）先证明
得到
，然后证明
得
；
（2）连接
，如图，利用垂径定理得到
，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和
得到
，则可判断
所以
，加上
，于是可得到四边形
为平行四边形，然后利用
得到四边形
为矩形．
【详解】（1）略
（2）略
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【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，矩形的判定．全等三角形的判定与性质等知识点，
掌握这些是解题的关键．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图，
是
的直径，
，弦
交
于点
，半
径
，点
，
位于
两侧，作
交
于点
，连接
交
于点
．若
的面积
为5，则
的面积为（ ）
A．6
B．
C．7
D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定
等知识，掌握相关知识是解题的关键．
根据“一线三垂直”易证
，再根据垂径定理和圆周角定理，易得
，
，
从而易证
和
为等腰直角三角形，易求
，最后根据勾股定理，可求
，
计算面积即可．
【详解】解：
，
，即
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
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是
的直径，
，
，则
，
，
，
为等腰直角三角形，
的面积为5，
，解得
，则
，
在
中，
，
则
，
，即
为等腰直角三角形，
．
故选：D．
2．如图，
是
的直径，
是
的弦，先将
沿
翻折交
于点
．再将
沿
翻折交
于点
．若
，设
，则
所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
、
、
，由翻折可知，
、
、DE 所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为
得
AC
CD
DE
=
=
，进而得
，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得
，由
是
的直径得
，可得
，代入可得
，解方程求得
的值即可
判断其所在范围．
【详解】解：如图，连接
、
、
，
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由翻折可知，
、
、
所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
所在的范围是
．
3．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形
内接于
，
．若
，
，则
的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】首先取
的中点
，利用弧长关系得出
，然后通过垂径定理和勾股定理建立关
于半径的方程求解即可．
【详解】解： 如图，取
的中点
，连接
，
．
，
，
．
过点
作
于点
，连接
，
，且
，
，
三点共线 ．
在
中，
．
设
的半径为
，则
，
，
在
中，
，
解得
．
4．如图，点
为射线
上一点，将射线
绕点
逆时针旋转
得到射线
，以
为圆
心，
长为半径画圆，交射线
于点
，以点
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
不重合），
连接
交
于点
，连接
．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】由作图可知：
和
，由垂径定理可得出
，
，
，
由
不确定大小则无法判断
．
【详解】解：根据作图可知：
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
不确定大小，
∴无法判断得出
．
5．阿基米德折弦定理：如图1，
与
是
的两条弦（即折线
是圆的一条折弦），
，点
M 是
的中点，
于点N，则点N 是折弦
的中点，即
．如图2，半径为5 的
圆中有一个内接矩形
，
，点M 是
的中点，
于点N，若矩形
的面积为
30，则线段
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
，
，
，根据圆周角定理，结合已知条件易证得
为
的直径，
，则
，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得
，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得
，
，设
，
，其中
，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得
，
的长度，再
结合
可证得
，则
，最后利用勾股定理列得方程，进一步分析即可得到
答案．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
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四边形
为矩形，
，
为
的直径，
，
的半径为5，
，
点
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
设
，
，其中
，
则
，
解得：
或
舍去，
即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
或
，
∴
或
，
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当
时，
，
当
时，
，
∵
，
∴
，
∴
．
6．如图，
为
的直径，弦
于点
，
，
为
上一点，
与
交于点
，若
，则
的长的范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径
，当点
在
(不与
重合)上运动时，
，由
，得到
，进而得到
，
，由此得到
，即可得到
是等
边三角形，得到
，求出
，再由
求出
，
即可求出
的长的范围，解题的关键是判定
是等边三角形，由锐角的正弦求出
的长．
【详解】解：如图，作直径
，
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当点
在
(不与
重合)上运动时，
，
∵
，
∴
，
∵弦
于点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的长的范围是
，
故选：
．
7．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了
，
，
，
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四个观景位．已知观景台边缘
，观景位
与
之间的直线距离为24，观景位
与
之间的直线
距离为13，则这座圆形观景台的半径是______．
【答案】16.9
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得
，
，过圆心
作
交
于
，交
于
，连接
、
，设半径
，由垂径定理得到
，
，结合
，得到
，
，即可求出
，再根据
列方程求解即可．
【详解】解：由题意可得
，
，
过圆心
作
交
于
，交
于
，连接
、
，设半径
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
，
解得
，
故答案为：
．
8．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知
是
的直径，点
为圆上一点．将
沿弦
翻折，交
于点
，把
沿直径
翻折，交
于点
，点
恰好是翻折后的
上一个四等分点，且
，则
的值为______．
【答案】
/
【分析】连接
，
，
，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得
，
所对的圆
心角为
，
，根据直径所对的圆周角为
可得
，即
，
再根据角的和差得出
为等边三角形，过点
作与
夹角为
的线段，交
于点
，可得
，设
，则
，根据勾股定理可得
，
再根据等边对等角可得
，进而得
，
．
【详解】解：连接
，
，
，如图所示：
根据题意可得
，
，
，所对的圆周角是
，
∴
，
∴
，
∵点
恰好是翻折后的
上一个四等分点，
∴
，即
，
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∴
，
∵
等于半圆，
∴
所对的圆心角为
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
过点
作与
夹角为
的线段，交
于点
，
，如图：
∴
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角为
，
勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形
内接于
，
，
，点
是
上
一点，连结
，将
沿着直线
折叠，交线段
于点
．
（1）半径
__________；
（2）连接
，若
，则
__________．
【答案】
【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而
得到半径．
（2）先由折叠性质推出
，再证明弧的对称性得到
，结合圆心角与圆周角的关系得出
，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出
，从而得到
【详解】解：（1）连接
，
∵矩形
内接于
，
，
，
∴
，
，
，
∴对角线
为
的直径，
∵
，
，
∴
，
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∴半径
，
故答案为：；
（2）连接
、
、
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵弧
沿
折叠交
于
，
∴
和
关于直线
对称，点
的对称点为
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
是圆周角，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、圆的基本性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握圆内接矩
形的对角线为圆的直径，以及折叠前后弧与角的对应关系是解题的关键．
10．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）已知
内接于
，
，E 是弧
的中点，连结
，
交
于点D，射线
交
的延长线于点F．
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(1)如图1，
①求证：
；
②若
，
，求
的长；
(2)若直线
与直线
交于点G，且
，求
的度数．
【答案】(1)①见解析②
(2)
或
【分析】（1）①由垂径定理知，
，
，则
，
，因为
，所以
，则题目可证；
②设
与
交于点
，连接
，设
，则
，根据勾股定理得
，据此列出方程求解即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点
在线段
上时，连接
，设
，
则
，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答
即可；②点
在线段
的延长线上时，连接
，类比①的方法解答即可．
【详解】（1）①证明：
，
，
，
，
是弧
的中点，
，
，
，
，
，
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；
②解：设
与
交于点
，连接
，如图，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①点
在线段
上时，连接
，如图，
，
，
设
，
，
是弧
的中点，
，
，
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为
的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②点
在线段
的延长线上时，连接
，如图，
，
，
设
，
，
是弧
的中点，
，
，
为
的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
．
综上，
的度数为
或
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角
形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题
的关键．
11．
（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离
，
弓形的高度
．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，
为船身宽，为保证安全，点
、与其正上方拱桥
线上的对应点
、
的距离均应不小于
．某日，测得拱顶
点高出水面
．现有一艘货轮露出水面部
分的高度为
，
．该货轮每增加货物10 吨，船身就会下降
，请问要保证该货轮安全通过
大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
【答案】(1)
(2)需要提前增加货物，至少需要增加120 吨
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点
，连接
、
，利用垂径定理可得
，设
，在
中利用勾股定理列出方程，解出
的值即可解答；
（2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点
，连接
、
，连接
交
于点
，由题意得四边形
是
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矩形，则有
，利用垂径定理得到
，进而利用勾股定理求出
的长，计算可
得货轮露出水面部分的高度应不超过
，再结合货轮露出水面部分的实际高度
，比较大小得出需要
提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可．
【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点
，连接
、
，
由题意得，
，
，
，
，
设
，则
，
在
中，
，
，
解得：
，
桥拱圆弧所在圆的半径为
．
（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点
，连接
、
，连接
交
于点
，
由题意得，四边形
是矩形，
，
，
，
由（1）得，
，
，
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，
要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过
，
，
需要提前增加货物，
由题意得，至少需要增加
吨，
答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120 吨．
12．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形
区域植鲜花．如图，数学兴趣
小组已经确立了
、
、
三点的位置，
．已知点
在劣弧
上，且
(1)尺规作图：请在
上确定点
的位置，并连接
、
；
(2)已知
，求鲜花种植区域四边形
的面积（请用含
的式子表达）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意作
，即可求解；
（2）过点
分别作
的垂线，垂足分别为
，证明
，
，进而根据含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理求得
，根据四边形
的面积
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点
分别作
的垂线，垂足分别为
，
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由（1）可得
，
∵
∴
，
在
，
中，
∴
∴
在
中，
∴
∴
∵
，
∴
∴
∴四边形
的面积
13．（25-26 九年级上·浙江舟山·期中）如图1，C，D 是半圆
上的两点，若直径
上存在一点P，
满足
，则称
是
的“幸运角”．
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(1)如图2，
是
的直径，弦
，
是弧
上一点，连结
交
于点P，连结
，
是
的“幸运角”吗？请说明理由；
(2)如图3，
是
的直径，弦
，
是
的“幸运角”，
的“幸运角”为
．
①连结
，求证：
．
②当直径
，
时，求
的长．
【答案】(1)
是
的“幸运角”．
弦
是
的直径，
平分
为
的垂直平分线，
，
是
的“幸运角”
(2)①连接
的幸运角为
，
弦
是
的直径，
平分
为
的垂直平分线，
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即
②
【分析】（1）根据垂径定理得出
垂直平分
，根据垂直平分线的性质得出
，根据“三线合一”
的性质得出
，利用对顶角相等，结合“幸运角”的定义即可得答案；
（2）①如图，连接
、
，根据“幸运角”的定义得出
，
，即可得出
，
，根据圆周角定理可得
，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质
得出
；
②过点
作
于点
，根据已知可得
,进而求得
，由（1）可知
，
则
；根据垂径定理可得
，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）略
（2）①略
②如图，过点
作
于点
，
弦
是
的直径，
平分
为
的垂直平分线，
∴
∴
，
∵
由①可得，
，
∵
，
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∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定
理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键．
14．（25-26 九年级上·浙江·阶段检测）如图，在
中，
，点
是
的中点，过
，
，
三点的
交
于点
，
的半径为
．
(1)如图
，连接
，当
恰好是
的直径时．
求证：
；
若
，求
的度数（用
的式子表示）；
求
的长；
(2)如图，求
的最大值．
【答案】(1)
见解析；
；
；
(2)
．
【分析】（）
连接
，由圆周角定理得
，所以
，则
，又
，从而得
，然后通过等角对等边即可求证；
通过三角形外角性质得
，再由直角三角形性质即可求解；
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由勾股定理得：
，即有
，求得
即可；
（
）过点
作
于点
，连接
，由勾股定理得
，
，所以
，从而得
，当
为
直径时，
有
最大值，即
取到最大值
．
【详解】（1）
证明：连接
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
解：由勾股定理得：
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：过点
作
于点
，连接
，如图，
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由勾股定理得：
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴当
为
直径时，
有最大值，为
，
∴
取到最大值
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆的有关性质，三角形外角性质，直角三角形性质，完全平
方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
15．如图，已知点
为射线
上的动点，作
，使
，过点
，
，
作⊙
与
交于
点
，连接
．点
为
上的一点，连接
交
于点
，交⊙
于点
，且
．
(1)证明：
．
(2)若
，
，求
的长．
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)证明：
，
，
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又
，
，
，
(2)2
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合三角形外角的性质即可证明；
（2）连结
并延长交
于点
，先得到
和
均为等边三角形，进而可证
，得
到
，再结合边的关系即可求解；
（3）过点
作
交
于点
，连结
，由平行线分线段比可得
，设
，则
，在
中，过点
作
于点
，解三角形得
，进而得出
即可．
【详解】（1）略
（2）如图1，连结
并延长交
于点
，
，
，
，
和
均为等边三角形，
，
又
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
；
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（3）如图2，过点
作
交
于点
，连结
，
，
，
，设
，则
，
，
，
又
，
，即
，
．
在
中，过点
作
于点
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知
为等边三角形，
，又
，
为等边三角形，
，
，
．
