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专题16 相似三角形的实际应用
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、利用标杆测量
题型2、利用光影进行测量
题型3、利用光学知识进行测量
题型4、古典文化背景的测量问题
题型5、材料切割问题
题型6、其它应用问题
题型7、与相似三角形性质有关的项目式学习问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
相似三角形的实际应用，关键是把现实情境抽象为相似三角形模型；常用方法有：利用标杆、影长、
光学反射等构造相似，把不可测高度或距离转化为可测线段；古典文化、材料切割、项目式学习等问题，
要先提取几何关系，再用相似比列方程；解题时注意对应顶点顺序、单位统一，并回归实际意义检验结果．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、利用标杆测量
典例1 （25-26 八年级下·江苏苏州·期末）如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中
，
，
上都有相同单位的刻度，G 可以在
上滑动，
．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度
目 录
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．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A 处，让测量工具的
平行于地面
，
的延长线交
于
点F，滑动
使O，G，P 在同一条直线上，此时
．他乘坐扶梯到达顶部B 处，让测量工具的
平行于地面，
的延长线交
于点E，滑动
，使
，
，
在同一条直线上，此时
．小
明的身高
，自动扶梯的高
为
，水平宽
为
．试根据以上数据计算出建筑
物的高度
．（结果精确到
）
【答案】
【分析】根据题意可得
，
，列出比例式，代入题中数据，即可求解．
【详解】解：设
，
则
,
，
根据题意可得
,
∴
，
∴
，
∴
，
同理可得
,
∴
，
即
，
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：用标杆（或直尺）作为参照物，通过视线构造相似三角形测量高度或距离．
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2.方法：使人眼、标杆顶端、目标顶端三点共线；利用标杆高、影长与人到标杆距离建立相似比；列方程求
解未知高度或距离．
变式1-1 综合与实践课上，某数学学习小组为测量校园内一棵大树
的高度，设计了如下方案：如图，先
在水平地面
处竖立一根标杆
，接着向后2 米退至
处，人伏着地向上看，此时点
、标杆上的点
、
大树顶端
恰在同一直线上，再向后退3 米到达点
处，人目着地向上看，此时点
、标杆上的点
、大
树顶端
也恰在同一直线上，经测量，
米，
米．请据此算出大树
的高度（点
在同一竖直平面内，点
在同一水平线上）．
【答案】大树
的高度为4.5 米
【分析】证明
，得
①，
②，联立方程组，可
求出大树
的高度为4.5 米．
【详解】解：由题意，得
．
，
，
由题意，得
米，
米，
，
整理
，得
①，
整理
，得
②，
联立①②，得
解得
答：大树
的高度为4.5 米．
变式1-2 某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合与实践活动．如图①为小组成员制作
的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，
，
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，
（接头处及木条宽度忽略不计），为了便于校正竖直位置，在点B，
处各悬挂一个相同的铅锤．如图②为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C 端朝上，D 端朝下，使得A，
C 和树顶M 在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E．小组成员乙将另一个测高仪
端朝下，
端朝上，使得
，
和树顶M 在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F．已知图中所有点
在同一平面内，
，
，求树木
的高度．
【答案】树木
的高度为
【分析】延长
交
于点H，则
，设
，则
，根据相似三角形的判定
和性质得出
，确定
，再由相似三角形的判定和性质得出
，
，然后结合图形求解即可．
【详解】解：如解图，延长
交
于点H，则
．
设
，则
．
∵
，
∴
．
∴
．
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∴
，即
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∴
．
∴
，
解得
．
∴
．
∴
．
根据题意得：
．
∴
．
答：树木
的高度为
．
变式1-3 （25-26 九年级上·四川成都·期末）结合相似三角形和投影等知识，完成下面的任务1~3：
(1)任务1：如图1，教室中老师放映幻灯片时，通过光源，把
上的图形放大到屏幕上，点A 为光源位置，
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若
，
，幻灯片中图形
高为
，则屏幕上
的高度为___________
．
(2)任务2：如图2，花丛中有一路灯杆
，在灯光下，小燕在D 点处的影长
米，沿
方向行走到
达
点，
米，这时小燕的影长
米．如果小燕的身高为2 米，求路灯杆
的高度．
(3)任务3：用皮尺测量一旗杆高度，方案如下：当小明站在旗杆正前方地面上的点D 处时，小李在地面上
找到一点
，使得点
、小明的头顶C 以及旗杆的顶部A 三点在同一直线上，并测得
；小明再
向前移动
到达点
处，小李同样在地面上找到一点
，使得点
、小明头顶
以及旗杆的顶部A 三点
在同一直线上，并测得
，已知图中的所有点均在同一平面内，
，
，
小明的身高
．求旗杆高度
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由
，得出
，根据题意代入即可求出
；
（2）由
，
，得出
，
，根据已知求出
，代入已
知数值即可求解：
（3）由
，
，得出
，
，求出
，即可求出
，再代入原
式即可求出
．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，解得
，
，解得
；
答：路灯杆
的高度是
．
（3）由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
解得，
，
，解得
，
答：旗杆高度
．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，解这道
题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用相似比列出方程即可求出．
题型2、利用光影进行测量
典例2 （25-26 九年级上·广东深圳·阶段检测）在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房
的高度
为
米，楼房
的高度为
米，从A 处看楼顶C 处正好通过树顶E，而从D 处看楼顶B 处也正好通过树
顶E．则这棵树的高度为__________米．
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【答案】6
【分析】根据题意可得
，
，
，即可得到
，从而得到
，
，即可得到
，
，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
解得：
，
答：这棵树的高度是米．
题型模版
1.特征：利用同一时刻物体高度与影长成正比的原理进行测量．
2.方法：在同一时刻测量参照物高度与影长；待测物高度与影长的比等于参照物的比；注意太阳光线平行这
一前提．
变式2-1 （25-26 八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面
的路灯
和
，其中
，
，身高为
的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点
处时，在
路灯
、
的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的
点和
点，
（其中
，
，
，
，
五点在同一直线上），则
的长为________m．
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【答案】
【分析】证明
，得出对应边成比例，求出相关线段即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
，
解得
，
∴
，
∴
，
解得
．
变式2-2 如图，小琪想测量广场边的图腾柱
的高度，图腾柱外围有栅栏无法直接到达底部
处进行测
量．在对周边进行测量时，小琪发现图腾柱
所在的广场
比广场外的路面
高
，身高
的小
琪（
）站在广场上图腾柱的另一侧，且距离
点
远的
处，在
处的灯光的照射下，小琪留在地
面上的影长
为
，广场边沿
留在路面
上的影长
为
，已知点
，
，
，
，
在同
一条直线上，
，
，
，广场
与路面
平行，求图腾柱
的高度．
【答案】图腾柱
的高度为
【分析】运用两次相似三角形的性质，先利用
求出
与
的比例关系，将
用
表示出
来，再通过
列出
将
都用
表示再计算出
的值即可求出
的值．
【详解】解：
，
．
，
，
，
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，
，即
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
解得
，
．
答：图腾柱
的高度为
．
变式2-3 （2025·江苏南京·一模）身高
的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯
，其光源
N 到地面的距离为
．
(1)如图（1），步道为直线型（记为直线
）．
①当小明步行到点A 处时，路灯光线
与地面的夹角（
）以及影子和步道的夹角（
）均为
，
则影子顶端（点B）到步道的距离（
）为
；
②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变．
(2)如图（2），步道为圆型（记为
），其半径为
．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D 运动
的路径长．
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【答案】(1)①
；
②方法一：如图，作
，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是定值，
∴
是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
方法二：如图，设小明头顶为
，当他走到
上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为
，连
接
，作
，垂足为H，
由题意得，
，
，
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∴
，
∴
，
同理，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
是定值，
即影子顶端到步道的距离不变；
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；
（1）①如图，由题意得，
，
，
中，
，
，
中，
，即可求解；
②作
，垂足为D，设小明头顶为E，
由题意得，
，则
，得到
，再由垂直得到
，推出
，
即
，
是定值，
是定值，即影子顶端到步道的距离不变；
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（2）设小明头顶为E，连接
，过
作
交
延长线于
，由题意得，
，则
，
，再由
，得到
，得到
，则由
是定值，
得到
是定值，即
位置固定不变，由
半径为
，即
，得到
，确定点
运动轨
迹为以
为圆心，
为半径的圆，据此求解即可．
【详解】（1）解：①如图，由题意得，
当小明步行到点A 处时，路灯光线
与地面的夹角（
）以及影子和步道的夹角（
）均为
时，即
，
∴
中，
，
，
∴
中，
，
∴影子顶端（点B）到步道的距离（
）为
，
故答案为：
；
②略
（2）解：如图，设小明头顶为E，连接
，过
作
交
延长线于
，
由题意得，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
是定值，
∴
是定值，即
位置固定不变，
∵
半径为
，即
，
∴
，
∴点
运动轨迹为以
为圆心，
为半径的圆，
∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D 运动的路径长为
c．
题型3、利用光学知识进行测量
典例3 如图，在边长为4 米的正方形场地
内，有一块以
为直径的半圆形红外线接收“感应区”，
边
上的
处有一个红外线发射器，红外线从点
发射后，经
、
上某处的平面镜反射后到达 “感
应区”，若
米，当红外线途经的路线最短时，
上平面镜的反射点距离点
______米．
【答案】
【分析】由反射规律可知，物体和像是关于平面镜的对称，如图，作出点P 关于直线
的对称点
，则
有
，作半圆
关于直线
的对称图形半圆
，连接
，交半圆
于
点，则
长为红外线
途经的路线最短时的值，求出此时
即可．
【详解】解：如图，作出点P 关于直线
的对称点
，作半圆
关于直线
的对称图形半圆
，
、
是关于直线
的对称点，连接
，连接
于
，交半圆
于
点，
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由反射规律和对称性质可知：
，
，
∴
，
∴当
、
、
、
、
在同一直线上时，红外线途经的路线最短，最短路径长为
，
∵正方形中，
，
，
∴
，
∴
又∵
，
，
∴
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，解题关键是利用轴对称性质转换线段，化折为直，从而解答问题．掌
握常见最短路径模型往往会事半功倍．
题型模版
1.特征：利用平面镜反射、光的入射角等于反射角等光学知识构造相似三角形．
2.方法：根据反射定律确定等角；找出由人和物体、镜面位置构成的相似三角形；用相似比求解．
变式3-1 问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂
直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照
全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本．
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【探究一】
(1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，
像与物关于镜面对称．如图1，线段
表示人的身高，其中点
表示头顶，点
表示脚底，点
表示眼睛
（位于
上），
表示平面镜，线段
表示
在镜中的虚像．设人的身高
为，能看到全身像的
最短镜子长度
为
，求
与之间的函数表达式．
【探究二】
(2)如图2，现购买了一面
长的镜子并安装在墙上．小亮身高为
，他正立在镜子前某处，眼睛
却
只能看到部分人像，看到部分人像的长度为
．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不
够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下
移的距离．
【探究三】
(3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为
，最高为
．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶
的距离为
．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．
【答案】(1)
(2)下移的距离为
(3)最小的镜子长为
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可；
（2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为
时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身
像时镜子的位置，作差即可确定下移距离；
（3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为
，最高的同学的身高决定镜子
的上沿不得高于的高度为
，即可求解．
【详解】（1）解：
成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称，
，
，
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，
则
，
，
，
，
则
，
，
，则
，
即
与之间的函数表达式为
；
（2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为
的图形，过点
作
的平行线分别交
于点
，如图所示：
，
，
，
即
，
，
，
则
，
，
由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示：
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由（1）可知，
，
，
，
即下移的距离为
；
（3）解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度
，如图：
∴
，
最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度
，如图：
∴
，
∴最小的镜子长为
．
变式3-2 （25-26 九年级上·江苏无锡·阶段检测）综合与实践：
如图1，近视的本质是眼球结构改变导致光线无法准确聚焦在视网膜上．若由于用眼过度，眼轴变长或角膜
（晶状体）屈光力加强，焦点会落在视网膜前方，导致看远处物体模糊．
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小明在学习眼睛的成像原理时，了解到：眼睛的晶状体相当于一个可变焦距的凸透镜，视网膜相当于光屏．正
常眼睛的“明视距离”为
，即看距眼睛
的物体最清晰、不易疲劳．看远处物体时，晶状体焦距
变长；看近处物体时，晶状体焦距变短．已知：小明是正常视力，其眼睛的晶状体到视网膜的距离（像距）
固定为
．
当物体清晰成像在视网膜上时，如图2 所示，满足凸透镜成像公式：
，
(1)当小明全神贯注地阅读一本放在明视距离的书本时，眼睛的焦距
______
（精确到
）．
(2)小明由于长期用眼过度，导致眼睛近视，需要佩戴眼镜来矫正视力，如图3 所示眼镜镜片是凹透镜，其
原理是使平行光线透过凹透镜后进行发散，进而使发散后的光线通过晶状体后，使物体成像在视网膜上．小
明的眼轴长度为
．已知标准正视眼的眼轴长度
，眼睛度数（屈光率）
与实际眼轴长度
和
标准眼轴长度
的关系为
，近视度数
（
取正值），则小明眼睛近视度数是______
（取整数，注意单位要统一
．．．．．．．．．．．）．
(3)关于薄透镜（忽略厚度）成像公式为
，符号规则（实正虚负规则
．．．．．．）．
①如图4，结合所学的数学知识证明“凹透镜成像”公式：
；（提示：此焦点为虚
．．．．．．．．）
②若凸透镜成像时，记
，对应的
．请证明：当
时，有
．
【答案】(1)
(2)167
(3)①见解析；②见解析
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【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，分式的运算，不等式的性质，正确理解题意是解题的
关键．
（1）根据公式
计算求解即可；
（2）根据公式
计算求解即可；
（3）①过点
作
于P，延长
交
于Q，可证明四边形
，四边形
和四边形
都是矩形，得到
，
，证明
，得到
，
证明
，得到
，则
，据此可证明结论；②根据
，推出
，可证明
则
，即
．
【详解】（1）解：∵
，且
，
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
∴小明眼睛近视度数是
；
（3）证明：①如图所示，过点
作
于P，延长
交
于Q，
由题意得，
，
，
，
，
，
则
，
∴四边形
，四边形
和四边形
都是矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
同理可证明
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
；
②∵
，且
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∴
，
∴
．
变式3-3 （24-25 九年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成
像规律．
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项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
（
）表示凸透镜的焦距，（
）表示物体到凸透镜的距离，（
）
表示像到凸透镜的距离，规律如下表
物体到凸透镜距离
u
像到凸透镜距离
v
像的大
小
像的正
倒
缩小
倒立
等大
倒立
放大
倒立
与物同侧
放大
正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后
光线经过焦点．
项目任务：
(1)任务一：凸透镜的焦距
为
，蜡烛
的高为
，离透镜中心
的距离是
时，请你利用所
学的知识填空：①
_________， ②
_________，③
_________；
(2)任务二：某实验小组取焦距
为
的凸透镜，高度
是
的蜡烛，设置物距
时，测
量蜡烛的成像
的高
，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ；
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②当
时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
【答案】(1)
，，；
(2)①
；②减小
【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质
（1）任务一：①由矩形
，得到
的长，由
，得到
，即：
，设
，
用含的代数式，表示出
、
，由
，得到
，解出
，即可求解，
（2）任务二：①由
，整理得到
，根据描点法，画出函数图象，
②根据反比例函数的增减性，即可求解，
【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形
，
∴
，
根据题意得：
与
平行，
则
，
∴
，即：
，
设
，则
，
，
由题意得
，
∴
，
∴
，即：
，解得：
，
∴
，
故答案为：
，，；．
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（2）任务二：①依题意得：四边形
为矩形，
，
，
由任务一可知：
，
，
即
，
解得：
；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当
时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
题型4、古典文化背景的测量问题
典例4 （25-26 九年级上·江苏淮安·期末）圭表测影．
圭表，是华夏先民叩问天地节律的古老标尺，以表立极，以圭量影．它借正午日影的消长盈缩，标定四时
更迭、推演岁时轮回，是中国古代观象授时智慧的不朽见证．图1 是古代圭表实物图，圭是水平放置的标
尺，通常刻有刻度，用于测量影子的长度；表垂直立于圭面的南端，用于产生影子、通过观察正午时表影
的长短变化，可以确定季节的变化．
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(1)图2 是圭表示意图，从夏至到冬至的淮安正午太阳高度角（正午太阳光线与地平面的夹角，即
）
逐渐减小，则圭表中刻度①、②、③表示的节气可能依次为下列选项中的______（填序号）．
①夏至、秋分、冬至 ②夏至、冬至、秋分 ③秋分、夏至、冬至
(2)探索小组利用圭表测量淮安的纬度．图3 表示淮安当日正午的太阳光照示意图，此时太阳直射点所在纬
度为南纬
，并测得正午太阳高度角
为
．求淮安（即观测点B）的纬度（注：纬度＝某点与地
心O 的连线和地球赤道面所夹锐角（如
）；太阳直射点所在纬度＝太阳光线与赤道面所夹锐角（如
）；地平线近似为过该点与球面相切的直线（如直线
）；太阳光线为平行光线．
(3)探索小组探究点光源下圭表成影规律，如图4，在水平地面上建立平面直角坐标系
，在O 点处竖直
放置一个高为4 的点光源A，将表高为1
的圭表顶点C 放置在抛物线
上，并保
持圭表沿射线
方向摆放，俯视图如图5 所示．小组成员发现：表
的影子
随着圭表位置的变化而
变化，求圭表在运动过程中，影长
的最小值．
【答案】(1)①
(2)北纬
(3)
【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，勾股定理；
（1）由太阳高度角的定义和变化规律即可求解；
（2）由题意得：
，
，
，
，据此求出
的度数即可，
结合地理位置即可得出结果；
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（3）先证明
得出
，求
的最小值即是求
的最小值，点C 在抛物线
上，设
，
，利用勾股定理可表示出
，即
可求出
的最小值，进而求出
的最小值．
【详解】（1）解：∵从夏至到冬至的淮安正午太阳高度角逐渐减小，
又∵圭表中刻度①的正午太阳高度角最大，③的正午太阳高度角最小，
∴圭表中刻度①表示的节气为夏至，③表示的节气为冬至，
∴②表示的节气应在夏至之后，冬至之前的，
∴②表示的节气为秋分．
故选：①．
（2）解：由题意得：
，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故淮安的纬度为北纬
．
（3）解：如图4 所示：
∵
，
，
，
，
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∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵点C 在抛物线
上，
设
，
，
∴
，
∴当
，即
时，
，即
，此时
的值最小，
∴
，
故影长
的最小值为
．
题型模版
1.特征：以《九章算术》《孙子算经》等古典文化为背景的实际测量问题．
2.方法：把古文描述转化为现代几何图形；识别相似关系；用相似比或方程求解并解释原题含义．
变式4-1 图1 是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（jiégāo），图2 是横杆处于水平时
的示意图，
表示支架且与地面垂直，
，
是固定长度的竹竿均垂直于地面，
米，横杆
米，
．当竹竿与水桶的连接点
的位置低于地面
米时（如图3），若
的度数为
，则
的度数为_________（用含
的代数式表示）；若支架
与竹竿
之间的距离
是
米，则这个桔槔支
架
的高度为_________米．
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【答案】
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得
，再利用平行线的性质（两直线平行，同
旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出
和
的长，在
中利用勾股定理求出
的长，再通过构造相似三角形求出点
与点
的竖直距离，最后结合点
的位置求出
的高度，即可求解．
【详解】解：
地面，
地面，
.
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
由勾股定理得：
过点
作
交
的延长线于点
，则
地面，
地面，
．
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又
，
.
点
的位置低于地面
米，
，
点
离地面的高度为
（米）．
（米）．
变式4-2 某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究．
重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极
高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表
高之比
或“南戴日下”与南影之比
，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比
．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍．
如图1，为了测量海岛的高度，设
为岛的顶点，过点
的铅垂线与地面的交点为
，则岛的高度即为
．接
下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距
离点
较近的点
处，从点
处透过测量杆的上端
望岛顶
的连线（把它叫做测量线）延长后交
地面于点
．第二次，把测量杆竖直立在距离点
较远的点
处
三点在一条直线上），同样地，
从点
处透过测量杆的上端
望岛顶
（即测量线）的连线延长后交地面于点
．连接
并延长交
于点
．
求证：
①或
②．
学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明
和①或②成立．大家分别提
出了自己的分析或证明思路．
小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质
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有关知识加以解决；
小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记
；
欢欢同学：利用相似三角形的性质；
乐乐同学：过点
作
的平行线．．．．．．；
请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）．
(1)求证：
；
(2)求证：
①；
(3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设
是矩形
的对角线
上任意一点，
过点
分别作一组邻边的平行线
，直线
分别与边
交于点
，直线
分别与边
交于点
，那么矩形
的面积等于矩形
的面积．说理如下：如果把图形看作由
移置到
处，同时、
各移到、
，那么依据出入相补原理，得
（指面积相等）．请
利用这个结论证明①成立．
【答案】(1)
证明：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
(2)
证明：∵
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
由（1）得：
，
∴
，
∴由等比的性质得：
．
(3)
证明：如图所示，在图1 上分别以
、
为邻边构建矩形
，以
、
为邻边构建矩形
，
以
、
为邻边构建矩形
，以
、
为邻边构建矩形
，
由出入相补原理得：
，
，
∴
，
，
将上述等积式写成比例式得：
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
，
，
，
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∴
，
，
∴
，
∴由等比的性质得：
．
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，合比的性质，等比的性质；
（1）利用
得
，再利用合比的性质可将
转化为
；
（2）由（1）可得
，再利用等比的性质可得
；
（3）在图1 上分别以
、
为邻边构建矩形
，以
、
为邻边构建矩形
，以
、
为邻边构建矩形
，以
、
为邻边构建矩形
，由出入相补原理得：
，
得出
，
，进而得出
，再由等比的
性质可得
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
题型5、材料切割问题
典例5
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素
材
1
图1 是一张直角三角形纸板，两直角边分别为
，
，小华、小明、小富同学
分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形
的四个顶点都在三角形的边上．
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素
材
2
小华同学按图2 的方式裁剪出一个正方形；小明同
学按图3 的方式裁剪，且
．
素
材
3
小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角
纸板上裁下一个矩形
，
矩形的四个顶点都在
的边上；
步骤2：取剩下的纸板
裁下一个正方形
，正方形的四个顶点都在
边上；且满
足矩形
的
边长是正方形
边长的两
倍小
．
问题解决
任
务
1
请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任
务
2
请求出小富同学裁下的矩形
各边长．
【答案】任务一：小华：设正方形的边长为x，
由题意得：
，得：
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小明：由题意得：
∵
，得
．
∵
，得：
∵
．
任务二：矩形
的各边长为
，
，
，
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，
任务1：小华：设正方形的边长为x，
，由题意得：
，再利用相似三角形的性质求
得x，小明：由题意得：
，再由
及
求得
，然后比较
大小即可；
任务2：由题意得：
，可设
，
，
，再由
可得
，
求得
，
，由
列出比例式
，求得得：
，从而得出
．最后求解即可；
【详解】解：任务一：略；
任务二：由题意得：
设：
，
，
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同理：
，得
∵
，得：
．
矩形
的边长为：
；
．
题型模版
1.特征：在矩形板材、三角形材料等切割问题中，利用相似求剩余料或最大可切图形尺寸．
2.方法：画出切割后的图形；找出相似三角形；根据相似比和原板尺寸列方程；注意边界约束．
变式5-1 （25-26 九年级上·山东日照·阶段检测）课本中有一道作业题，有一块三角形余料
，它的
边
，高
．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在
上，其余两个顶点分别
在
，
上，
交
于点
，
(1)加工成的正方形零件的边长为多少？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个
矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值；
(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为
的斜板，已知
，
，
，要把它
加工成一个形状为平行四边形
的工件，使
在
上，、
两点分别在
上，且
，
则平行四边形
的面积为多少？
【答案】(1)加工成的正方形零件的边长为
(2)这个矩形面积的最大值是
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(3)平行四边形
的面积为
【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握
相似三角形的判定和性质是关键．
（1）根据题意得到四边形
是矩形，设
，则
，证明
，得到
，即
，解方程的即可求解；
（2）结合（1）设
，则
，则
，根据面积公式，结
合二次函数图象的性质求解即可；
（3）如图所示，过点
作
于点
，交
于点
，同理，
，则
，由等
面积法得到
，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：当加工零件
是正方形时，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴设
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得，
，
∴加工成的正方形零件的边长为
；
（2）解：根据题意，四边形
是矩形，四边形
是矩形，
，
，
设
，则
，
∴
，即
，
∴
，
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∵
，
，
∴当
时，
有最大值，最大值为
，
∴这个矩形面积的最大值是
；
（3）解：如图所示，过点
作
于点
，交
于点
，
同理，
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得，
，
∴
，
∴平行四边形
的面积为
．
变式5-2 阅读理解：
如图1，AD 是△ABC 的高，点E、F 分别在AB 和AC 边上，且EF
BC，可以得到以下结论：
．
拓展应用：
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(1)如图2，在△ABC 中，BC＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM，使其一边GM 在BC
上，点E、F 分别在AB、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将
展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，
要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3 所示，将底边BC 的长度看作是0 排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单
位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排
0
1
2
3
…
隔板长度/厘米
160
______
______
______
…
若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
【答案】(1)正方形的边长为
(2)①
，
，80；y
n+160；②最多可以摆放38 瓶葡萄酒
【分析】（1）过点A 作AD⊥BC 于D，交EF 于H，由
，可求解；
（2）①由等腰三角形的性质可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分别设第1、第2、第3 排的隔板
长为y1，y2，y3，由阅读理解的结论可列方程，即可求解．
②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解．
【详解】（1）如图2，过点A 作AD⊥BC 于D，交EF 于H，
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由阅读理解的结论可得：
，
设正方形的边长为x，
∴
，
∴x
，
∴正方形的边长为
；
（2）①如图3﹣1，过点A 作AD⊥BC 于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝80cm，
∴AD
60（cm），
分别设第1、第2、第3 排的隔板长为y1，y2，y3，
由阅读理解的结论可得：
解得：y1
，y2
，y3＝80，
故答案为：
，
，80；
∴
，
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∴y
n+160；
②当n＝1 时，隔板长
cm，
∴可以作正方体的个数
10≈13（个），
当n＝2 时，隔板长
cm，
∴可以作正方体的个数
10≈10（个），
当n＝3 时，隔板长80cm，
∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个），
当n＝4 时，隔板长
cm，
∴可以作正方体的个数
10≈5（个），
当n＝5 时，隔板长
cm，
∴可以作正方体的个数
10≈2（个），
当n＝6 时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0 个，
∴第1 排最多可以摆放13 瓶葡萄酒，第2 排最多可以摆放10 瓶葡萄酒，第3 排最多可以摆放8 瓶葡萄酒，
第4 排最多可以摆放5 瓶葡萄酒，第5 排最多可以摆放2 瓶葡萄酒，第6 排最多可以摆放0 瓶葡萄酒，
∴13+10+8+5+2＝38（瓶），
综上所述：最多可以摆放38 瓶葡萄酒．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键．
变式5-3 折纸中的数学:打开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2 开
纸，再对折得到4 开纸，以此类推可以得到8 开纸、16 开纸……
若这张矩形印刷用纸的短边长为a．
（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD（AB＞BC）进行折叠，使得BC 与AB 重合，点C 落在点F 处，
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得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A 落在E 处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求
的
值．
（2）如图③，②中的矩形纸片ABCD 折成2 开纸BCIH 和4 开纸AMNH，它们的对角线分别是HC、HM．说
明HC⊥HM．
（3）将图①中的2 开纸、4 开纸、8 开纸和16 开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，
则四边形ABMI 的面积是 .（用含a 的代数式表示）
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）
.
【分析】(1)有折叠的性质，第一次折叠可得BC＝CE＝a，BE＝
a，二次折叠
AB＝BE＝
a，可得
的值；
（2）由矩形的性质可得△MAH∽△HBC，可得结论.
(3) 由折叠的性质可得答案.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°．
∵第一次折叠使点C 落在AB 上的F 处，并使折痕经过点B，
∴∠CBE＝∠FBE＝45°．
∴∠CBE＝∠CEB＝45°．
∴BC＝CE＝a，BE＝
a．
∵第二次折叠纸片，使点A 落在E 处，得到折痕BG，
∴AB＝BE＝
a．
∴
＝
（2）根据题意和（1）中的结论，有AH＝BH＝
a，AM＝a．
∴
＝
＝
．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∴△MAH∽△HBC．
∴∠AHM＝∠BCH．
∵∠BCH＋∠BHC＝90°．
∴∠AHM＋∠BHC＝90°．
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∴∠MHC＝90°．
∴HC⊥HM．
（3）
a2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及折叠，综合性大，需综合运用所学知识求解.
题型6、其它应用问题
典例6 如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2 米的
标语牌正对看台（B 点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为
，
，…，
，且
米．为使距地面6 米高的看台第一排A 点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则
_______．
【答案】81 米/
【分析】由
可得
即
，易得
；同理依次求出
、
、
、
．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，解得：
；
同理：
，
∴
，即
，
∴
，解得：
；
同理：
，
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∴
，即
，
∴
，解得：
；
同理：
，
∴
，即
，
∴
，解得：
．
题型模版
1.特征：相似三角形在生活中的其它应用，如杠杆、地图、缩放等．
2.方法：分析实际问题的几何结构；抽象为相似三角形；利用对应边成比例建立关系，求解并检验实际意义．
变式6-1 将一本高为
（即
）的词典放入高（AB）为
的收纳盒中（如图1）．恰好能盖
上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处
，若此时将词典无滑动向右倒，书角
的对应点
恰为CD
中点．
（1）收纳盒的长
_______；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2 放置，则最多有________本书可与边BC 有公
共点．
【答案】
cm 7
【分析】（1）由图知
，已知
，根据
得到
，在Rt
中根据勾股定理得到
，从而得到结论；
（2）延长
交BC 于G'，如图2 所示，由（1）知在Rt
中，
，
根据
，得到
，由
得到最多有7 本书可与边BC 有公共点．
【详解】解：（1）如图所示：
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在Rt
中，
，
，
，则
，
，
，
连接
，如图所示：
恰好能盖上盒盖，
，
词典是长方体，
，即
，
在Rt
中，
，
，
，
，即
，解得
，
将词典无滑动向右倒，
，
书角
的对应点
恰为CD 中点，
，
在Rt
中，
，
，
，则
，
，
收纳盒的长
cm，
故答案为：
cm；
（2）延长
交BC 于G'，如图2 所示：
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由（1）知
，
，
，
由（1）知
，
，
，
由（1）知在Rt
中，
，
，
，则
，
，解得
，
由（1）知
，
，
最多有7 本书可与边BC 有公共点．
【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，
读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键．
变式6-2 （24-25 九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题提出】
（1）如图1，在矩形
中，
，
，点
是
边上一点，连接
，作
交
于
点
，若
，求
的长；
【问题解决】
（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教
育实践需要．如图2，矩形
是某校的一块劳动实践基地，
，
，
边上的点
处
有一口灌溉水井，
和
是两条互相垂直的小路，且
，现在沿
修了一条延伸至
边上的
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小路
（点
在
上，点
在
上），发现点
到灌溉水井
的距离
．求灌溉水井
到
点
的距离
．
【答案】（1）
；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知
识并灵活运用是解题关键．
（1）证明
得到
，再代入
和
计算即可；
（2）过
作
于
，先
得到
，得到
，
，再
根据
得到
，最后根据
得到
列方程计算即可．
【详解】（1）解：∵矩形
中，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
；
（2）解：过
作
于
，则
，
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∵矩形
中，
∴
，
∵
和
是两条互相垂直的小路，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
设
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
整理得
，
解得
，
∴
，
∴灌溉水井
到点
的距离
．
变式6-3 综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题
【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮
挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）．
【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必
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然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车
底等区域会形成视野盲区．
【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同
学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2 是他们研究的一个汽车盲区
的左视图．若司机视线高度
，车前盖最高处与地面距离
，车顶到地面的距离为
，驾
驶员与车头水平距离
，车前盖最高处与车头水平距离
，点
在
上，
【问题解决】
任务一：
(1)求车头盲区
的长度；
任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围．
(2)在
处有一个高度为
的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察
到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到
）
(3)若
、
、
保持不变，
减小，则
（填 “减小”、“不变” 或“增大”）．
任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度
才算安全驾驶．
(4)若固定
，
，
时，求驾驶员安全驾驶时视野高度
的取值范围．
【答案】(1)
(2)解：不能看到物体，理由如下：
过点M 作
交
于点G，过点E 作
交
于点H，
根据题意，得
，
∴
，
∴
，
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∵
，
，
，
∴
，
解得
，
根据题意，得
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
解得
，
，
∴驾驶员不能观察到物体；
根据题意，得
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
解得
，
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故将座椅的高度调低
；
(3)增大
(4)
【分析】（1）设
，根据三角形相似，得到
，求解即可．
（2）过点M 作
交
于点G，过点E 作
交
于点H，根据三角形相似的判定和性质
求解即可；
（3）设
，得到
，根据分式的性质，求解即可．
（4）设
，根据题意，得
，解得
，求解即可;
【详解】（1）解：根据题意，得
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
解得
，
经检验，
时，
，
故
时原方程的根，
故
的长为
（2）略
（3）解：根据题意，得
，
∴
，
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∴
，
设
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
解得
，
经检验，
是原方程的根，
故
，
减小，
也在减小，
在增大，
在增大，
故
增大;
（4）解：根据题意，得
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
解得
，
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经检验，
时，
，
故
时原方程的根，
，
根据题意，得车顶到地面的距离为
，
故
;
题型7、与相似三角形性质有关的项目式学习问题
典例7 根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材
1
可以利用影子测量旗杆的高
度．如图，光线
，
分别是旗杆和小陈同
学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学AB，
旗杆
与标杆
均垂直于地面，小陈
同学的眼睛G 离地面
的距离
．
素材
2
可以利用镜子测量旗杆的高
度．如图，小陈同学从镜子E
中刚好可以看见旗杆的顶端C，
测得
．
素材
3
可以利用标杆测量旗杆的高
度．如图，点G，P，C 在同一
直线上，标杆
，测得
．
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问题解决
任务1：分析测量原理
（1）利用素材1 说明
的理由．
任务2：完善测量数据
（2）在素材2 中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若
把该线段的长度记为a，请你用含a 的式子表示出旗杆
的高度．
任务3：推理计算高度
（3）利用素材3 求出旗杆
的高度．
【答案】
（1）证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）
；
（3）8.6m
【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明；
（2）还需要测出
的长，令
，证明
，得
即
，从而即可得解；
（3）过点G 作
于点N，交
于点M，则四边形
与四边形
是矩形，进而得
，
，证
，得
，
即
，求解即可．
【详解】（1）略；
（2）解：还需要测出
的长，令
，
∵
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，即
，
∴
；
（3）解：如图，过点G 作
于点N，交
于点M，则四边形
与四边形
是矩形，
∴
(m)，
，
，
∴
(m)，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得
，
∴
(m)．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，
熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
题型模版
1.特征：以项目式学习为背景，综合运用相似三角形性质解决开放性问题．
2.方法：明确项目任务与已知条件；设计测量或计算方案；用相似性质完成推理，并给出结论与反思．
变式7-1 根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拱桥形状？
问
题
背
图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱
桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次
活动．
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景
素
材
一
小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离
（记为），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到
水面宽
为
，拱顶离水面的距离
为4
．
的地方测得
素
材
二
科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距
法测量． 其测量流程如下：
1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距
），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶
盖（半径
）；
2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大
镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点
）；
3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离
，根据公式
计算得到
的值．
注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光
发射点到放大镜边缘的距离．
问题解决
任
务
一
若拱桥呈圆形，且小晨测得
，求他到点
的距离．
任
务
二
请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理．
任
务
三
若小豪在距离点
，
的地方测得
，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥
是否呈抛物线形．
项目复盘
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科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关科
学知识，写出一条可能造成误差的原因．
【答案】任务一：小晨到点
的距离为
；任务二：画图见解析，证明见解析；任务三：画图见解析，拱
桥是否呈抛物线形，计算说明见解析；项目复盘：误差的原因，激光不一定垂直于水平面
【分析】任务一：根据素材一可得
，如图所示，设点
为圆心，
，过点
作
交
于点，连接
交
于点
，连接
，设
，则
，在
中，
，根据勾股定理求得
，在
中，
，进而即可求解．
任务二：根据题意画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
任务三：根据题意求得抛物线解析式，进而根据公式求得点
是否在抛物线上，即可求解．
【详解】解：任务一：如图所示，根据素材一可得
，如图所示，设点
为圆心，
，
过点
作
交
于点，连接
交
于点
，连接
，
设
，则
，
在
中，
即
，
解得：
，
即
，
∴
，
在
中，
即
解得：
即
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∴小晨到点
的距离为
；
任务二：如图所示，
∵
，
∴
，
，
∴
∴
依题意，
,
,
，
∴
∴
任务三：如图所示，以点
为原点，
所在直线为轴，过点
且垂直于
的直线为
轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，
∵
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∴
,
,
,
设抛物线解析式为
将点
代入得，
解得：
；
∴抛物线解析式为
依题意，
，
∴
，
∴
，
当
时，
∴点
在抛物线上
即拱桥是否呈抛物线形．
项目复盘：可能造成误差的原因，例如激光不一定垂直于水平面，
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的实际应用，相似三角形的实际应用，综合运用以上知识
是解题的关键．
变式7-2 （25-26 九年级下·河南南阳·期中）某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合
与实践活动．
活动
主题
测量校园树木的高度
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实物
与测
量示
意图
实践
操作
（1）图1 为小组成员制作的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，
其中为了便于校正竖直位置，在点B，
处各悬挂一个相同的铅锤．
（2）图2 为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C 端朝上，D 端朝下，调整他到树的距离，使
得A，C 和树顶M 恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E．
（3）小组成员乙将另一个测高仪
端朝下，D1 端朝上，调整他到树的距离，使得
和树顶M
恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F
测量
数据
，
，
（接头处及木条宽度忽略不
计）．
，
备注
图中所有点在同一平面内
解决
问题
求树木
的高
【答案】树木
的高为
【分析】延长
交MN 于点H，则
，设
，则
，根据相似三角形的判定
和性质得出
，确定
，再由相似三角形的判定和性质得出
，
，然后结合图形求解即可．
【详解】解：如解图，延长
交MN 于点H，则
．
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设
，则
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∴
．
∴
，
解得
．
∴
．
∴
．
根据题意得：
．
∴
．
答：树木
的高为
．
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变式7-3 （25-26 九年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，完成探索任务．
探究斜坡上两车之间距离
素材1
图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用
表
示，地面用
表示，斜坡用
表示．已知
，
高架路面
离地面的距离
为20 米，斜坡
长为
米．
素材2
如图②，在素材1 中的斜坡上和点
处分别有指示路牌
和
，且
，
，
，当太阳光
线与指示路牌顶端P，
所在直线平行时，
的影子部
分落在地面
上，其中
为影子．
素材3
为响应号召节约成本，指示路牌
的高度按需调整为
．
如图③，矩形
为一辆大巴车的侧面示意图，
长
为
米，
长为
米．
如图④，该大巴车遇堵车后停在素材1 中的斜坡上，矩形
的顶点
与点
重合．小李驾驶一辆小轿车跟随大
巴车行驶，小李的眼睛到斜坡的距离
为
米．
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问题解决
任务一
如图①，
______．
任务二
如图②，求影子AT 的长度．
任务三
如图④，当小李正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F
在同一条直线上）时，试求小李距大巴车尾
的距离
．
【答案】任务一：
任务二：影子
的长度为
米．
任务三：小李距大巴车尾
的距离
为
米
【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，
任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；
任务二：延长
和
交于点
，容易证明
，进而可得
，结合已知数据求解即
可；
任务三：延长
和
交于点
，则
；作
延长线于点O，作
与点I，交
于
点R，则四边形
为矩形，四边形
为矩形，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段
长度，再证明
，
，根据性质求出结论即可．
【详解】解：任务一：∵
，
米，
米，
∴
（米）
∴
任务二：如图②，延长
和
交于点
，由题意得：
，∴
．
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∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，即
，
解得
，
答：影子
的长度为
米．
任务三：如图④，如图，延长
和
交于点
，则
；作
延长线于点O，作
与
点I，交
于点R，则四边形
为矩形，四边形
为矩形．
∴
，
，
米．
∵
，
，∴
，
∴
，即
．
解得
米，
米．
则
米，
米，
（米），
又∵
，
，
∴
，∴
，即
，
解得
，即
．
答：小李距大巴车尾
的距离
为
米．
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压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在某宽阔平地区域的公园内竖立着两盏相同长度细灯杆
，灯杆垂直地面
，在点A，B
处分别挂着两盏明亮的灯（抽象地看成由一个点发出的光线）．小明垂直地面站立在两盏路灯之间（灯杆长
度大于小明身高），站立点C 与点M，N 在同一直线上．小明发现自己在A 路灯下的地面影子
的最远点
E 满足
，同时自己在B 路灯下的地面影子
长为
，地面影子
的最远点F 满足
，则
小明在A 路灯下的地面影子
长度可以为_______．（结果保留根号）
【答案】
，
【分析】由题意可得
、
，然后再证明
可得进而得到
，然后分当E 在N 的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】解：由题意可得：
、
∵
，
∴
，
∴
，
∴
∵
∴
①如图：当E 在N 的左侧、F 在M 的左侧时
∵
,
∴
设
，则
，解得：
（舍去负值）；
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②如图：当E 在N 的右侧、F 在N 的左侧时，
∵
,
，
∴
，
设
，则
，解得：
（舍去负值）．
③如图：当E 在N 的左侧，F 在M 的左侧时，
∵
,
，
∴
，
设
，则
，解得：
（舍去负值）．
④如图：当E 在N 的右侧、F 在M 的左侧时，
∵
,
,
，
∴
，
设
，则
，解得：
（舍去负值）．
∴
．
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综上，小明在A 路灯下的地面影子
长度可以为
，
．
故答案为
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
2．（25-26 九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的
宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线
，通过在直线
上选点观测，
发现当他位于
点时，他的视线从
点通过露台
点正好落在遮阳篷
点处；当他位于
点时，视线从
点通过
点正好落在遮阳篷
点处，这样观测到的两个点
、
间的距离即为遮阳篷的宽．已知
，点
在
上，
、
、
、
均垂直于
，
，露台的宽
，
测得
米，
米，
米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽
是多少米？（结果精
确到
米）
【答案】遮阳篷的宽
是
米
【分析】延长
交
于
，则
米，
米，
米，先证明
，则根据相似三角形的性质得
，再证明
，则利用相
似比得到
，然后利用比例性质求
即可．
【详解】解：延长
交
于
，如图，
则
米，
米，
米，
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∵
，
，
，
，
∵
，
，
，即
，
解得
（米）．
∴遮阳篷的宽
是
米．
3．（25-26 九年级上·福建漳州·期中）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴
平行的光线
经凸透镜
折射后过焦点F，通过光心O 的光线
，经凸透镜折射后传播方向不变，即
在
的延长线上，一根长
的蜡烛
放在三倍焦距处，即
，则经过凸透镜成像得到的
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明
，
得出
，根据比例性质得出
即
可解答．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
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，
，
，
，
，
故选：B．
4．小军与小明两兄弟站在平面镜
前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A 处，其眼睛所在
位置为点C，
；小明竖直站立在小军身后的B 处，其眼睛所在位置为点D，
．此时C，
D，O 三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1 米．
(1)求小军到平面镜
的距离．
(2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点
与点
．小军若想通过镜子
看到点
，
，则需要注视到平面镜中点E，F 的位置，求
的长．
(3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则
的长是否会改变，请说明理由．
【答案】(1)小军到平面镜
的距离为2 米
(2)
米
(3)
的长不会改变．理由如下：
无论
的长如何变化都有
，
只要小军的立足点不变，
与
的高之比就不变，即
始终成立，
为定值，都等于0.72 米．
【分析】（1）由题意易得
，然后根据相似三角形的性质可进行求解；
（2）由平面镜成像原理可知：
米，
米．由图可把
分别看作是
的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
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，
，
即
，
米，
小军到平面镜
的距离为2 米．
（2）解：由平面镜成像原理可知：
米，
米．由图可把
分别看作是
的高，
，
，
，
即
，
米．
（3）略
5．如图，
是某广场上的一根立柱，某数学小组想要测量从点A 处斜拉到地面C 处的一条装饰彩旗的长
度
（装饰彩旗处于拉直状态），设计了如下方案：
①在装饰彩旗上取一点D，测出
的长及点D 到
的距离
；
②
上取点G，使得
，在F 处利用高为
的测角仪测出
的度数，此时
与
恰
好互余，测出
的长；
已知
，
，
，图中所有的点在同一平面内，若
，
，求这条装饰
彩旗的长度
．
【答案】
【分析】由条件可知
，可推出
，结合
与
恰好互余，可得出
，
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从而证得
，利用全等三角形的对应边相等的性质得出
的长度，进而求解
的长度．
【详解】解：由题可知
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
（
），
∴
，
∵
，
∴彩旗长度
．
6．综合与实践：如影随形．
在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动．
(1)【探究1】
如图①，竖立的两根灯杆
中，
，小明的身高
，他在两根灯杆之间走动．在灯
A、灯C 的照射下，出现了小明的影长恰好为
的情况，此时能否求出灯杆
的高度？若能，请求
出灯杆
的高度；若不能，请说明理由；
(2)【探究2】
如图②，竖立的两根灯杆
之间的距离
，
，小亮的身高
，他在
两根灯杆之间走动，且点B、H、D 在同一条直线上．在灯A、灯C 的照射下，当小亮的影子全部落在地面
上时，他的影长
是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出
满足的等量关系；若不存在，
请说明理由；
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(3)【探究3】
如图②，竖立的两根灯杆
之间的距离
，
，小明和小亮的身高
，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D 在同一条直线上．在
灯A、灯C 的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是
和
．
①若点M、Q 重合，请求出他们之间的距离
；
②若点M、Q 不重合，
是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出
满足的等量关系；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)①
；②存在，
或
．
【分析】（1）根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得
．由平行线可以推导出相似三角
形；根据相似三角形对应边成比例，代入数据即可得出；
（2）由题意得
，利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导
的关系；
（3）①利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未知数建立方程，最终求出
；
②由（2）得
，同理
，分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：能，理由如下：
由题意得
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
将
，
代入上式得
，
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即
，
整理得
，
解得
；
（2）解：存在，
、
满足的等量关系为
，
理由：由题意得
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，且
，
∴
，
∴
；
（3）解：①∵点M、Q 重合，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，即
，
化简得
，
∴
，
∴
；
②点M、Q 不重合时，如图，点M 在点Q 左侧时，
同理
，
，
由（2）得
，
同理
，
∴
，
∴
；
如图，点M 在点Q 右侧时，
同理，
，
∴
；
综上，
或
．
7．（24-25 九年级上·广东深圳·期中）综合与实践
背
景
晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，
，
是广场上的两根电线杆，小明站在点E
处，在两盏路灯B，D 的照射下，地面上形成了他的两个影子
，
．
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素
材
1
两盏路灯B，D 的高均为
，两盏路灯相距
，小明的身高
为
．
素
材
2
A，C，E，G，H 在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面．
问
题
提
出
小明在广场中走动时（始终保证影子
，
不为0），两个影子端点间的距离
是否会
发生改变？
问题解决
任
务
1
计算
（1）如图（b），当小明影子
长为
时，此时小明到电线杆
的距离
为多
少？
任
务
2
说理
（2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离
是否会改变？若
的长
不变，请求出
的长；若
的长度发生变化，请说明理由．
任
务
3
拓展
（3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中
最长达到
，请直接
写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度．
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【答案】（1）
；（2）
的长不变，
；（3）头顶距离地面的最大高度为
【分析】（1）证明
，运用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）连接
，证明
，得出
，根据
，证明
，得出
，
求出
，得出
，即可求出结果；
（3）由
，得出
，得出
，即
，
根据
，求出结果即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：
，
，
，
，
∴
，
解得：
∴
∴此时小明到电线杆
的距离
为
；
（2）
的长不变，连接
，如图所示：
根据题意可知：
，
，
，
∴
，
根据解析（1）可知：
，
∵
，
∴
，
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即
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）同（2）可得
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴此时小明头顶离地面的最大高度
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，比的基本性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式
求解是解题的关键．
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8．（25-26 九年级上·上海徐汇·期中）请根据以下素材，完成探究任务．
视力表中蕴含的数学知识
素
材
1
用硬纸板复制视力表中相应的“
”，并依次编号①、②，
放在水平桌面上．如图1 所示，将②号“
”沿水平桌面
向右移动直至从观测点
看去，对应顶点
、
在一条
直线上为止．这时我们说，在
处用①号“
”测得的视
力与在
处用②号“
”测得的视力相同．
素
材
2
为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离
为
的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用
平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距
的两面墙上分别悬挂视力表
与平面镜
，由平面镜
成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表
的上、下边沿
、
发出的光线经平面镜MN 的上下边
沿反射后射入人眼
处，通过测量视力表的全长
就可
以计算出镜长
任
务
（1）若
，①号“
”的测量距离
，要使测得的视力相同，求②号“
”
的测量距离．
（2）小明的方法中如果视力表的全长为
，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定
与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可．
【详解】解：（1）
，
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．
，即
．
，且
，
，
，解得
．
号“
”的测量距离为
；
（2）如图，延长
至
，使
，延长
至
，使
，连接
，作
于F，
交
于E，
则
，
，
．
．
由题意得
，
，
．
，解得
镜长至少为
．
9．某班数学小组在数学实践活动中尝试测量操场上旗杆的高度
，小航通过调整自己的位置，站在地面
上的点C 处，使得在太阳光下自己影子的末端与旗杆影子的末端在点E 处重合，他又在旗杆和所站位置之
间的点F 处放置平面镜，恰好在平面镜里看到旗杆绳索固定扣点G，经测量得小航身高
米，影长
米，与平面镜距离
米，小航眼睛到地面的距离
米，旗杆绳索固定扣点G 距离地面
的距离
米．已知
，
，点B、F、C、E 在同一条直线上，图中所有点均在同一平
面内，请你帮助小航计算旗杆的高度
．（平面镜的宽度不计）
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【答案】旗杆AB 的高度为
．
【分析】(1) 利用镜面反射：绳结G 处的光线经平面镜F 反射后到达小航眼睛H，
由入射角等于反射角得
，求出
的长．
(2) 利用影子相似：旗杆影子末端与小航影子末端重合于E，A、D、E 三点共线，
由
，求出旗杆高度
．
【详解】解：
，
，
，
，
平面镜放在地面上的点F 处，入射角等于反射角，
，
，
，
m，
m，
m，
，
m，
点B、F、C 在同一直线上，
m，
小航的影子末端与旗杆的影子末端重合于点E，
A、D、E 三点共线，
，
，
，
又
为公共角，
，
，
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，
，
，
，
，
答：旗杆
的高度为
．
10．（25-26 九年级上·山西朔州·期末）综合与实践
问题情境：
为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶
部的装灯位置进行合理设计．
数学建模：
图1 是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2 所示．以地面为轴，左侧墙面为
轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式
．最高点
距离地面
，点
的坐
标为
，照明灯安装在
轴右侧的点
处．
（1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）．
问题解决：
（2）为测量点
到地面的距离
的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，
具体测量方法如图3 所示．经测量，标杆
（标杆垂直于地面），两杆相距15 步，从
退行
10 步到点
，从
退行15 步到点
．点
，
，
在同一条直线上，点
、
、
在同一条直线上，
请计算出
的长度．
（3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面
．如图2，灯架
，
，
，
均平行于
轴，指示灯
，
，
，
在同一条直线上，
该条直线平行轴，
，点
的坐标为
．求灯架
的长．（结果保留两位
小数）
【答案】（1）抛物线的函数解析式为
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（2）
的长度为6m
（3）灯架
的长为
m
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点
是解题的关键．
（1）首先根据最高点
距离地面
得到k 的值，再将
代入解析式即可求得抛物线的函数解析式；
（2）首先设
为x 步的距离，根据已知线段的长度表示出
，
，利用相似三角形求
解x 的值，进而可以计算出
的长度；
（3）首先根据指示灯需距离地面
，计算出此高度下x 的坐标再结合
判断灯
架
是否存在此范围内，进而根据点
的坐标求解点
的坐标，进而即可求解灯架
的长．
【详解】（1）解：∵
的最高点
距离地面
，
∴
，
∵将
代入
中，得
，解得：
，
∴抛物线的函数解析式为
；
（2）解：设
为x 步的距离，则
，
，
∵标杆垂直于地面，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
∵
，
，
∴
，
∴
；
∴
，解得：
，
将
代入
，解得：
，
∴
的长度为6m；
（3）解：∵指示灯需距离地面
，
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∴
，
，
，
在直线
上，
将
代入
，解得：
，
∵
，∴
，
∵
，点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
，
∵
，
∴满足题意，存在灯架
，
将
代入
，解得：
，
∴
，
∴灯架
的长为
m．
11．（25-26 九年级上·安徽滁州·阶段检测）（）由光的反射定律知：反射角等于入射角如图①，即
小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点
处平放一面镜子，经调整自己位置后，在
点
处恰好通过镜子看到建筑物
的顶端
，经测得，小丽的眼睛离地面的距离
，
，
，求建筑物
的高度；
（）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法如图②：他让小丽站在点
处不动，
将镜子移动至
处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端
，测出
；再将镜子移动至
处，恰好通
过镜子看到广告牌的底端
，测出
，经测得，小丽的眼睛离地面的距离
，
，
求这个广告牌
的高度．
【答案】（）
米；（）米
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用光的反射定律得到等角，进而证明三角
形相似．
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( )根据反射定律，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；
( )根据反射定律，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解
即可得到答案．
【详解】（）解：
，
，
，
，
，
．
答：建筑物
的高度为
．
（）由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
答：广告牌
的高度为
．
12．问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地
面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个
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同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本．
(1)【探究一】
人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，
像与物关于镜面对称．如图1，线段
表示人的身高，其中点
表示头顶，点
表示脚底，点
表示眼睛
（位于
上），
表示平面镜，线段
表示
在镜中的虚像．设人的身高
为，能看到全身像的
最短镜子长度
为
，求
与之间的函数表达式．
(2)【探究二】
如图2，现购买了一面
长的镜子并安装在墙上．小亮身高为
，他正立在镜子前某处，眼睛
却
只能看到部分人像，看到部分人像的长度为
．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不
够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下
移的距离．
(3)【探究三】
通过测量与统计，全班同学身高最矮为
，最高为
．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离
为
．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含
、
、
的
代数式表示）
【答案】(1)
(2)下移的距离为
(3)
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可；
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（2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为
时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身
像时镜子的位置，作差即可确定下移距离；
（3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为
，最高的同学的身高决定镜子
的上沿不得高于的高度为
，结合相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：
成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称，
，
，
，
则
，
，
，
，
则
，
，
，则
，
即
与之间的函数表达式为
；
（2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为
的图形，过点
作
的平行线分别交
于点
，如图所示：
，
，
，
即
，
，
，
则
，
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，
由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示：
由（1）可知，
，
，
，
即下移的距离为
；
（3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为
，
由（1）同理得
，
最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为
，
由（1）同理得
，
∴最小的镜子长为：
．
13．综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的
虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成
倒立缩小的实像．已知
过凸透镜成的像为
．
(1)当
时，证明：
，并据此完成填空；
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(2)证明：
．
【答案】(1)证明见解析，等大
(2)见解析
【分析】（1）记左边点F 为
，右边点F 为
，则
，过点A 作
，交
于点D，
作射线
交于点
，过点
作
于点
，则
过凸透镜成的像为
，四边形
是
矩形，
，故
，
，
，
，继而得出
，从而得到
，则
，再用
证明
，从而得
到
，可知在两倍焦距处成倒立等大的实像；
（2）由（1）得
，则
，再两边取倒数并除以
即可证明
．
【详解】（1）解：记左边点F 为
，右边点F 为
，则
，
过点A 作
，交
于点D，作射线
交于点
，过点
作
于点
，则
过凸透
镜成的像为
，
则四边形
是矩形，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
．
∴
，
∴在两倍焦距处成倒立等大的实像；
（2）证明：由（1）得
，
∴
，
∴两边取倒数得：
，
∴两边同时除以
得：
，即
．
14．（25-26 九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】
定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
【问题提出】
（1）如图1，若
是比例三角形，且
，
，
，则
的长为 ；
（2）如图2，在四边形
中，
，对角线
平分
，
．求证：
是
比例三角形；
【问题解决】
（3）如图3，李师傅有一块形如矩形
的钢板，现要从钢板上切割出一个
部件，其中点A 在边
上，连接
，且
，
平分
，需要知道
与
之间的比例关系，请你帮助李师傅求出
的值．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）将
，
代入计算可得；
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（2）先证
得
，再由
知
即可得结论；
（3）作
，同（2）证明
，
，得到
，再证
得
，即
，结合
知
，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
，
∴
，
解得：
（负值舍去）；
故答案为：
；
（2）证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是比例三角形；．
（3）解：如图，过点A 作
于点H，
∵矩形
，
∴
，
，
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
15．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3 名同学选择了测量学
校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
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小芳：测得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，甲树的影长为4.08 米（如1 图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2 图），墙壁上的影长为1.2
米，落在地面上的影长为2.4 米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4 米，落在坡面上影长为3.2 米（如3 图）．身高是1.6 米的小明站在
坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2 米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56 米
【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，利用相似三角形的比例式直接得出甲
树高，接着如下图2 先利用
，求出
的长，接着利用
，可得出乙树的高；
(2)如下图3，先通过
求出FG 的长，然后通过
求出FH 的长，最后通过
可求出丙树的高．
【详解】解：（1）如图1，假设线段AB 是甲树，线段CD 是竹竿，
线段BE 和线段CE 分别为甲树和竹竿的影子，
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米，
故甲树的高为5.1 米；
如图2，假设线段
是乙树，线段
为乙树在墙壁上的影长，
线段
为乙树落在地面上的影长，
与图1 中的
相似，
又
，
故乙树的高为4.2 米；
故答案为：5.1，4.2；
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（2）如图3，假设线段
是丙树，线段
为丙树落在地面上的影长，
线段
为丙树落在坡面上影长，
为小明，
为小明落在坡面上影长，
则
=2.4 米，
=3.2 米，
=1.6 米，
=2 米，
又
与图1 中的
相似，
又
故丙树的高为5.56 米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假
设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
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