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专题09 锐角三角形的计算及应用
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 解直角三
角形与实际问题
2026 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
考查形式涵盖选择题、填空题、方案设计解答题。
命题素材丰富，古算诗词、生活实物、物理力的
分解、户外测量方案频繁出现。核心围绕锐角三
角函数定义、构造直角三角形、相似三角形测量
模型展开，常涉及仰角俯角、坡度、双直角三角
形模型；方案探究题侧重自主设计测量方案，结
合解直角三角形求解距离。整体基础小题难度适
中，方案设计题侧重文字表达与几何建模；近四
年持续强化跨学科情境、传统文化素材，注重数
学建模能力考查。
考点02 解直角三
角形综合问题
2026 福建中考
2025 福建中考
2024 福建中考
2022 福建中考
全部以几何压轴解答题形式考查，梯度多小问设
置。常融合圆内接四边形、图形翻折、直径圆周
角、矩形等载体。核心以解直角三角形为计算工
具，串联圆周角定理、相似三角形、四点共圆、
图形变换、切线性质综合设问；第(1)(2) 小问侧
重角度推导、平行四边形/ 相似证明，第(3) 小
问引入线段比例条件，构造直角三角形结合三角
函数、相似求解线段比值。试题综合性强，模型
嵌套多，区分度高；近四年持续强化圆与几何变
换结合，要求灵活构造直角三角形转化边长条
件。
考点01 解直角三角形与实际问题
1．（2026·福建·中考真题）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋
千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长
6
OA
尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点
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A 处，OA与地面BD 垂直，踏板离地面的高度
1
AB 尺．当踏板从A 处绕点O运动到C 处时，踏板离地面
的高度
4
CD
尺，则秋千的绳索荡过的
AOC
的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．75
2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，
27
ABC
，
BC＝44cm，则高AD 约为（
）（参考数据：sin 27
0.45
，cos 27
0.89
，tan 27
0.51
）
A．9.90cm
B．11.22cm
C．19.58cm
D．22.44cm
3．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知
帆船航行方向与风向所在直线的夹角
PDA
为70，帆与航行方向的夹角
PDQ
为30，风对帆的作用力F
为400N．根据物理知识，F 可以分解为两个力
1F 与
2
F ，其中与帆平行的力
1F 不起作用，与帆垂直的力
2
F 仪
可以分解为两个力
1f 与
2
1
,
f
f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；
2f 与航行方向一致，是真正推动帆船前行
的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：
400
F
AD
，则
2f
CD
______．（单位：N ）（参考数据：sin40
0.64,cos40
0.77
）
4．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB 远大于南北走向的最大宽度，
如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
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间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P ，Q 两点，可测得
POQ
的大小，如
图3．
小明利用皮尺
测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得
m
AC
a
，
m
BC
b
；
（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得
3
a
CM
m
，
m
3
b
CN
；测得
m
MN
c
．求解过程：
由测量知，AC
a
，BC
b
，
3
a
CM
，
3
b
CN
，
∴
1
3
CM
CN
CA
CB
，又∵①___________，
∴
CMN
CAB
∽
△
△
，∴
1
3
MN
AB
．
又∵MN
c
，∴AB ②___________
m ．
故小水池的最大宽度为___________ m ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得AB 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5 次测量，求得AB ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，
并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用
字母a ，b ，c
表示，角度用，，
表示；测量次数不超过4 次（测量的几何量能求出AB ，且测
量的次数最少，才能得满分）．
考点02 解直角三角形综合问题
1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交
O 于点F ，AB
BD
，
60
CBE
ABD
．
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(1)求
E
的度数；
(2)求证：四边形AFEC 是平行四边形；
(3)设CF 交BD 于点G ，且
2
3
CG
FG
，求BD
AC 的值．
2．（2026·福建·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，
90
ADC
BCD
CED
，
CE
DE
．四边形A B CD
由四边形ABCD 沿CD 翻折得到，点A ，B ，E 的对应点分别为A，B，E．F
是AD 延长线上的一点，且FE
AB
．
(1)求证：E A
E F
；
(2)若
2
AD
，
4
DE
，求A F
的长．
3．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，AD，BC 的延长线相交于点E，AC，BD 相交
于点F．G 是AB 上一点，GD 交AC 于点H，且
,
AB
AC BG
DG
．
(1)求证：
ABC
DBE
E
；
(2)求证：
2
AH
HF HC
；
(3)若tan
5,
2
,
6
ABC
AD
DE CD
，求
AGH 的周长．
4．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，
90 ,
BAC
AB
AC
，以AB 为直径的
O 交BC 于点D ，
AE
OC
，垂足为
,
E BE 的延长线交AD 于点F ．
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(1)求OE
AE 的值；
(2)求证：AEB
BEC
∽
；
(3)求证：AD 与EF 互相平分．
5．（2022·福建·中考真题）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A 与BD 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD 与⊙A 相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF 与⊙A 相切于点G，求tan
ADB
的值．
1．（2026·福建福州·三模）如图，在8 4
的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC 的三个顶点
在图中相应的格点上，则tan BAC
的值为（
）
A．1
3
B．
1
2
C．
5
5
D．2 5
5
2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在ABC 中，
90
B
．若
3
AB
，
5
AC
，则cos A （
）
A．5
3
B．3
4
C．4
5
D．3
5
3．（2026·福建漳州·模拟预测）“五一”期间，小敏和妈妈到某景区游玩，小敏想利用所学的数学知识测量
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观景塔高度．如图，小敏在点A处测得塔顶C的仰角为30，向塔走24m到达点B处，测得塔顶C仰角为45．已
知小敏的身高为1.5m （眼睛到头顶的距离忽略不计），则观景塔CD 的高度约为（结果精确到0.1m ，参考
数据：
3
1.732
）（
）
A．32.8m
B．34.3m
C．36.8m
D．39.5m
4．（2026·福建泉州·二模）人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长
,
AB AC 都为2m ，ABC
，人字
梯顶端A 离地面BC 的高度是（
）
A．2
cos
m
B．
cos
m
C．2
sin
m
D．
sin
m
5．
（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点A 、E 、B 在同一条直线上，
90
C
D
，
30
A
，
45
DBE
，若
12
AC
BE
，则AE 的长是（
）
A．1
B．8 3
12
C．6 5
12
D．10 2
12
6．（2026·福建三明·二模）如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比
1:
3
i
，当他沿斜坡向下直
线滑行80m 时，他下降的高度为（
）
A．20 3m
B．40m
C．80 3 m
3
D．40 3m
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7．（2026·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 是x 轴正半轴上一点，若
2,1
P
，则sin
M OP
的值是（
）
A．
5
5
B．
1
2
C．
3
3
D．2 5
5
8．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，CD 是斜边AB 上的高，
45
A
，则下列比值不等
于sinA 的是（
）
A．CD
AC
B．BC
AB
C．BD
BC
D．CD
BC
9．（2026·福建泉州·二模）《孙子算经》中记载“分田之术”，强调通过分割与重组几何图形以简化面积计
算．现有一田地形如矩形，如图，在矩形ABCD中，两条等宽的平行四边形田埂交错，且
1
EF
GH
．若
田埂与矩形两组对边所夹锐角为，当增大时，重叠部分四边形PQMN 的面积（
）
A．变大
B．变小
C．不变
D．先变大后变小
10．（2026·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射
率
sin
sin
i
n
r
（i 为入射角，r 为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜
面，经折射后沿垂直AC 边的方向射出，若
30
i
，
20cm
AB
，
5cm
BC
，则该玻璃透镜的折射率n 为（
）
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A．2
B．1.6
C．1.5
D．1.4
11．（2026·福建福州·一模）如图，PA 、PB 分别与
O 相切于点A
B
、
，连接PO 并延长与
O 交于点C
D
、
，
若
12
CD
，
8
PA
，则cos
ADB
的值为（
）
A．3
5
B．4
5
C．3
4
D．4
3
12．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，太阳能板的斜面长度AB 为2 米，斜面的坡度为1
3
∶
，支撑杆AC
垂直于地面（AC
BC
），则AC 的长是________米．
13．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在ABC 中，
45
AB
AC
A
，
，DE 是线段AC 的垂直平分线，
交AC 于点D，交AB 于点E．若
1
AD ，则BE 的长度是_______．
14．（2026·福建三明·二模）为响应2026 年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于
2026 年3月14日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为1: 3 的山坡上种植了两棵树（如图），
斜坡上相邻两树间的坡面距离AB 为4 米，则相邻两树间的水平距离AC 为_____米．（结果保留准确数）
15．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
8
AB
BC
，
90
ABC
，延长BC 至点D ，连
接AD ，点E 在AD 上，连接BE ，交AC 于点F ，若
4
tan
3
AEB
，
2
AD
BF
，则CF 的长为_________．
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16．（2026·福建漳州·模拟预测）在ABC 中，
90
BAC
，
6
AB
AC
，D 是BC 边上一动点，将线段AD
绕点A 逆时针旋转60得到AE ，连接CE ，DE ．在点D 的运动过程中，CE 的最小值是________．
17．（2026·福建莆田·二模）图1 是中国古代建筑中的举架结构，其中
,
,
,
AA BB CC DD
是桁，相邻桁的水
平距离称为步，垂直距离称为举图2 是某举架结构截面的示意图，其中
1
1
1
1
,
,
,
DD CC BB AA 是举，
1
1
1
1
,
,
,
OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
1
1
1
1
1
1
1
1
,
0.1,
0.2,
0.3
DD
CC
BB
AA
k
k
k
k
OD
DC
CB
BA
，
且
1
tan
0.75
AOD
，则k 的值为______．
18．（2026·福建南平·一模）在大气环境科研观测作业中，气象探测仪A 位于地面气象站点C 的正上方，
从探测仪A 上观测地面综合指挥台B 的俯角为18，已知AC
BC
，
600m
AB
，则AC 约为______ m ．（结．
果取整数
．．．．，参考数据：sin18
0.309
，cos18
0.9511
，tan18
0.3249
．）
19．（2026·福建南平·一模）“费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643 年提出的一个著名的几何极值
问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，
这个点称为费马点．当ABC 的三个内角均小于120时，使得
120
APB
BPC
CPA
的点P 即为费
马点．如图，若
10,
12
AB
AC
BC
，则PA
PB
PC
的最小值是_______．
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20．（2026·福建福州·二模）在3 3
的正方形网格中，A，B，C，D 均为格点，BC 交网格线于点E，则tan
AEB
的值是______．
21．（2026·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图1是手机支架，如图2 是手机支
架的侧面示意图，人俯看手机，点B 为观测点，线段AC 长度保持不变，绕A 点逆时针进行转动可以调整视
角
ABC
，在支架示意图中tan
2
10 5
E
AE
dm
，
，水平观测点
34
EF
dm
，观测点B 到A 的距离为
12 5dm ，则观测点B 到直线EF 的距离BF 长为______dm ；若线段
15
AC
dm
，当AC 从铅锤位置第一次
转到C位置时，视线BC恰好经过点D ，则C相对C 点上升了______dm ．
22．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，A，B，C 分别为直线a，b，c 上的
点，且直线a
b
c
∥∥，AB 与直线b 交于点D，若
4
CD
，
8
BC ，
4
cos
5
BCD
，则直线a 与直线b 之
间的距离是_____．
23．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形
恰好拼成对角互补的四边形ABCD ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt ABE 和等腰
Rt BCF ，③和④分别是Rt CDG 和Rt DAH ，⑤是正方形EFGH ，直角顶点E ，F ，G ，H 分别在边
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BF ，CG ，DH ，AE 上．若
5
4
DG
GH
，则tan
DAH
的值是______．
24．（2026·福建南平·三模）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能
与多种设计风格相融合．如图1 是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形
如图2 所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d 的值为________．
25．（2026·福建莆田·模拟预测）2024 年莆田举办马拉松活动引入智能四足机器人- 机器狗作为赛事配速员，
机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形CDGE ，四边形EFHG 都是平行四边形，
30cm
CE
，
40cm
EF
，
30
EFN
，当机器狗前脚直立时，侧面如图2 所示，此时E ，C ，D 三点刚好共线，
EFN
不变，
75
CEF
∠
，则机器狗的身长CD ______cm．
26．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC ，点A 在y 轴上，点C 在x
轴上．正方形OABC 交双曲线
4
y
x
于
,
E F 两点，点E 在BC 上，点F 在AB 上．连接
,
,
,
OE OF EF OB ，若
5
tan
4
OEF
，则点B 的坐标为______．
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27．（2026·福建厦门·二模）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误
差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．”即：弓
形面积=（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦AB 长为12 m ，矢CD 长为2 3 m，用弧田
术计算其面积，与实际的误差为________．（
3
1.7
，π取古圆周率3）
28．（2026·福建·二模）在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀．如图，
学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A 处，使得沿着天花板边缘O 射入的
光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C 处，此时利用测角仪测得天花板边缘O 的仰角为60，
移动平面镜到达点B 处，此时沿着天花板边缘O 射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D
处，此时测得天花板边缘O 的仰角为45，该会议室天花板的高度为3m ，则灯带CD 的长约为
________ m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3
1.73
）
29．
（2026·福建泉州·一模）如图1 是某品牌自行车，图2 是其示意图．已知
120
ABC
，
15
CBR
．AB CD ，
3
BD
DK
，
2
12dm
AB
BC
，
6.6dm
CD
，自行车的坐垫FG∥BR ，BR 平行地面，CR 垂直地面，自行
车轮子的半径等于5dm ，则坐垫FG 到地面的距离为_________dm ．（结果精确到0.1dm，已知
6
2
sin15
4
，
2
1.414
，
6
2.449
）
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30．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，ABC 中，点D 在边BC 上，连接AD，线段AD 绕点A 逆时针旋转
得到AE ，点D 的对应点E 在BC 上，连接AE ，且
2
3
4
ADE
S
DE
．
(1)判断ADE 的形状，并说明理由；
(2)若
2
DE
BD CE
，求
BAC
的度数．
31．（2026·福建泉州·二模）如图，已知
ABCD 中，
6
AB
，
8
AD
，
60
BAD
，点P，Q 分别是边AB ，
AD 上的动点，且满足
2
AQ
BP
．
(1)求当BP 时，APQ 是等边三角形；
(2)若点H 为PQ 的中点，连接BH ，CH ．
①当BCH 的面积等于12 时，试求线段BP 的长；
②探究线段BH
CH
之和的最小值．
32．（2026·福建南平·二模）如图，AB 是
O 的直径，以AB 为边作ABC 交
O 于点D ，且AB
AC
．过
点D 作DE
AC
于点E ，延长CA 交
O 于点F ．
(1)如图（1），求证：DE 是
O 的切线；
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(2)如图（2），若tan ABC
3
4 ，
5
CD ，求线段CF 的长；
(3)如图（3），在线段BC 上标出点P，使得AP
FP
的值最小，在（2）的条件下，直接写出此时线段PD 的
长．
33．（2026·福建福州·模拟预测）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象交x 轴于点A，点B，交y 轴于点
3
0, 2
C
．且a，b，c 满足
0
a
b
c
和9
3
0
a
b
c
，连接BC ．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的
上方（不与B，C 重合）：
(1)求二次函数解析式；
(2)连接BP ，CP ，若
OCB
，
PBC
，求
cos
的取值范围．
34．（2026·福建福州·模拟预测）【背景材料】
随着我国经济迅猛发展，人民生活水平持续提升，民用汽车数量也在不断攀升．汽车数量的激增，带来了
对停车位的极大需求．在设计停车位时，除了要研究停车位的情况，还要研究汽车进出停车位的通道宽度．因
此，需要知道汽车如何进出停车位，即汽车转弯的运动轨迹．
如图1，车辆固定方向倒车入库时，行驶轨迹可近似视为以点O 为圆心、R 为半径的圆弧，符合圆的相关
几何性质．某车型前轮最大转向角为43，车辆最小转向半径满足公式
sin
L
R
（其中L 为车辆轴距2.4m ，
即车辆前后车轮轴心的水平间距，为车辆固定几何参数；θ为前轮最大转向角）．
如图2，建立平面直角坐标系，将停车位抽象为矩形EFGH ，各顶点坐标分别为：
0,0
E
，
4,0
F
，
0,3
G
，
4,3
H
．
根据车辆转向几何特征，该车倒车圆弧轨迹的圆心O 在x 轴正半轴上，倒车行驶轨迹是以点O 为圆心，R
为半径的圆弧．（参考数据：sin 43
0.68
，cos 43
0.73
，tan 43
0.93
，cos30
0.87
，tan 30
0.58
，
计算结果均保留两位小数．）
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【问题解决】
(1)计算该车型前轮打满方向时的最小转向半径R．
(2)车辆车身存在一定宽度，实际倒车入库需结合车身尺寸判断安全间距，避免车身与车位边界剐蹭．经测
算，该车车身有效横向宽度为1.8m ，可将车身简化为随轨迹运动的整体安全区域．请结合几何知识推理判
断：车辆沿该圆弧轨迹完成右侧倒车入库时，车身是否会与车位左侧边EG 发生剐蹭，并说明理由．
(3)根据驾考安全规范，倒车过程中，车辆任意行驶点位与原点的连线和x 轴正半轴的锐角夹角不得小于
30，防止侧边压线．设车辆倒车轨迹上任意一点为
,
P x y ．
①结合三角函数知识，推导出车辆安全入库时，点位纵坐标y 与横坐标x 的数量关系；
②判断关键点位
3.0,1.8
N
是否满足安全入库条件，并从几何角度写出一条精准的入库优化方案．
35．
（2026·福建泉州·三模）圆O 是ACB 的外接圆，AE 为直径，在ADB 中，DH
AB
交AB 于H ，CD
BC
，
BH
EC
．
(1)求证：BDH
EAC
≌
；
(2)当AH
OH
时，求tan DAH
；
(3)在（2）的条件下，连接OC 交AB 于点M，过点M 作MN
AE
∥
交EF
于点N，探究CF ，FM ，MN 三
者之间的数量关系．
36．（2026·福建莆田·模拟预测）如图1，四边形ABCD内接于
O ，BD 为直径，
ABC
为锐角，过点B
作BE
AC
于点E，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ．
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(1)
ABD
，请用含的代数式表示
CBE
．
(2)若AF
BD
，求证：AD
AE
．
(3)如图2，在（2）的条件下，BF 与
O 交于点G ，与AD 延长线交于点H，连结DG ．若cos
DG
AHB
HF
，
求tan ABD
的值．
37．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在
ABCD 中，过A ，B ，C 三点的
O 交CD 于点E ，连接AE ．
(1)求证：AD
AE
．
(2)如图2，已知AD 为
O 的切线，连接AO 并延长交BE 于点G ．
①求证：
3
AGE
BAG
；
②若
2
3
BG
EG
，求sin
BAG
的值．
38．（2026·福建福州·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学
实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管
15cm
AB
，
1
3
BE
AB
，试管倾斜角为10°．（参考数据：sin10
0.17
，cos10
0.98
）
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD 的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN ，延长BM 交CN 的延长线于点F，且MN
CF
（点C，D，N，F 在一
条直线上），经测得：
28.85cm
DE
，
8cm
MN
，
145
ABM
，求线段DN 的长度．
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39．（2026·福建三明·三模）我国商业航天近几年蓬勃发展，2026年5 月17 日长征八号运载火箭在海南商
业航天发射场成功发射千帆星座第九批组网卫星．下图是长征八号运载火箭从O 处发射，当火箭到达点A 、
B 时，在雷达站C 处测得点A 、B 的仰角分别为34、45，其中点O、A 、B 在同一条直线上，A 、B 两
点间的距离是1.65 km．
(1)求发射地O距雷达站C 的距离；
(2)事实上，火箭发射前期近地面阶段（距地面6000 米以内称为近地面），为了克服地球引力，都是加速飞
行，近地面的加速度
2
4.9 m / s
a
，此时火箭速度变化满足
0
tV
V
at
，其中
0V 是指初始时刻的速度，
tV 是
指经过t 秒后的瞬时速度，火箭飞行距离满足公式：
2
1
2
s
at
．求火箭到达点B 时的速度．（参考数据：
sin34
0.56
，cos34
0.83
，tan34
0.67
，10
3.15
）
40．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，等腰三角形ABC 内接于
,
O AB
AC
，点C 关于AB 的对称点为D ，
连接AD 交
O 于点E ．
(1)求证：BD 为
O 的切线；
(2)如图1，连接OD ，若DO
AC
，求证：
2
AE
BD
；
(3)如图2，若AE
BD
，求cos
ABC
的值．
41．（2026·福建福州·模拟预测）在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
3
AC
BC
，线段AC 上有一点D ，将线段
BD 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，连接AE ，此时AE
BC
∥
．
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(1)记线段CD
n
，求线段AE 的长度（用含n 的式子表示）．
(2)连接DE 、CE ，若3
90
ABD
DEC
，求证：
2
ACE
AED
．
(3)在（2）的条件下，记CE 与BD 交于点F ，求DF
BF 的值．
42．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知
O 是ABC 的外接圆，BC 为直径，AB
AC
，D，Q 为BC
上位于点A 异侧的动点，且AQ
CD
，连接DC ，AQ 交于点H，连接AD ，BD ．
(1)求证：
90
CHQ
；
(2)求证：点O 在
AHD
的平分线上；
(3)若
2
2
32
AD
CQ
，且
1
sin
4
BAD
，求AD 的长．
43．（2026·福建泉州·三模）【提出问题】
全民参与文体活动日渐流行，某小区开发商打算在售楼处原址新建一栋多层文体活动中心．为了保障居民
的生活质量，开发商与居民达成一致：规划建筑时，保证全部居民全年采光．
【分析问题】
工作人员通过查阅资料、实地测量，获得如下的信息：
材料一：根据《建筑设计防火规范GB50016 — 2014（2018）》规定，小区围栏与活动中心之间还要留出至
少9 m 的距离作为消防疏散通道；
材料二：小区围栏与住宅楼之间的距离
45m
AB
，小区围栏
40m
BC
，活动中心就建在这个矩形ABCD区
域内，其中建筑面积长宽层数，如图1所示；
材料三：为了保证后排建筑物在冬季能获得足够的光照，楼间距的设计需要以当地冬至日正午太阳高度角
（太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角）为依据，冬至日是北半球太阳高度角最小的时候，如果此时
前排建筑物的阴影不会遮挡后排建筑物的底层窗户（距离地面0.9 m ），那么在其他季节就更能保证采光，
每个地区的冬至日正午太阳高度受到所在纬度的影响，若该地冬至日正午太阳高度角为，如图2 所示．
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【解决问题】
(1)经实地测量，在冬至日正午测得该小区一棵高度为1.8 m 的小树影长为3 m，则tan________；（请以
该太阳高度角为依据解决以下问题）
(2)若给定文体活动中心建筑方案如下，请填表并判断该方案是否合理．
层数
单层楼高/m
楼长/m
楼宽/m
建筑面积
2
/m
楼间距/m
2
4
40
28
(3)在文体活动中心建筑单层楼高为4 m 且保证居民全年采光的前提下，将该建筑面积尽可能建大一点，请
给出方案（结果精确到0.1m ）．
(4)在保证居民全年采光，建筑面积尽可能建大一点的前提下，若记文体活动中心的建筑面积为S ，单层楼
高为h ，层数为n ，直接写出等式表示S ，h ，n 之间的数量关系．
