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第二十八章 锐角三角函数（章末测试）
一、单选题：
1．在锐角 中， ， ，则底边BC的长为（ ）．
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】过点 作 于点 ，根据 ， ，可得 ，设 ，则
，勾股定理求得 的长，进而可得 的长．
【详解】如图，过点 作 于点 ，
中， ， ，
， ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形是解题的关键．
2．在 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意，作出图形，设 ，则 ，进而求得 ，根据正切的定义求得 即可．【详解】如图，在 中， ，
，
设 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
．
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义，求得 是解题的关键．
3．如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理列式求出 ，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：由勾股定理得， ，
所以， ．
故选： ．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边
比斜边，正切为对边比邻边．4． 中， ，则 是（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用非负数和为0，可得 ，可求∠A=60°，∠B=60°，根据三角形内角和可求
∠C=180°-∠A-∠B=60°即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
可得∠A=60°，∠B=60°，
则∠C=180°-∠A-∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选择B．
【点睛】本题考查非负数和为0的性质，三角函数的计算、等边三角形的判定，掌握非负数和为0的性质，
三角函数的计算、等边三角形的判定是解题关键．
5．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（
） △
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用互余的性质证出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的长，再求出∠B的余弦，即可得出答案.
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠A +∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A +∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝α，
在Rt ABC中，
△
∵ ，
∴cos∠B＝
∴cosα＝ .
故选A
【点睛】本题考查了求三角函数——余弦的值.在图形中找到α的等角是解题的关键.
6．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 为 ，在A点测得D点的仰角 为 ，
在B点测得D点的仰角 为 ，则乙建筑物的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在
中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．
【详解】如图，过点A作 于点F，在 中，， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即乙建筑物的高度为 ．
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的
长是解题的关键．
7．如图，在直角 中，延长斜边 到点C，使 ，连接 ，若tanB= ，则 的
值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长 ，过点 作 ，垂足为 ，由 ，即 ，设 ，则 ，
然后可证明 ，然后相似三角形的对应边成比例可得： ，进而可得 ，，从而可求 ．
【详解】解：如图，延长 ，过点 作 ，垂足为 ，
，即 ，
设 ，则 ，
， ，
，
，
， ，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识
要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将 放在直角三角形中．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点 ， ．若反比例函
数 经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点 ，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作 于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点 ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数 经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关
键是求出点C坐标．
9．如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N
为边AC上的一△动点，且∠MDN=90°，则sin∠DMN为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作辅助线，在根据两三角形相似得到角相等，从而求出sin∠DMN的值.
【详解】
连结AD，如图，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10，
∵点D为边BC的中点，
∴BD=AD=DC=5，
∴∠1=∠C，
∵∠MDN=90°，∠A=90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1=∠DMN，
∴∠C=∠DMN，
在Rt ABC中，sin∠DMN=sin∠C=
△
故选A．
【点睛】此题重点考察学生对三角函数的应用，证明角相等是解题的关键.
10．如图，在边长为 的正方形 中， 分别为 的中点，连接 交于点 ，将
沿 对折，得到 ，延长 交 延长线于点 ．下列结论① ； ② ；③
； ④ ，正确的有（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】①△BCF沿BF对折，得到 BPF，利用角的关系求出QF=QB；
②首先证明 ABE≌△BCF，再利用角△的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
④利用QF=△QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
③可证 BGE与 BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解△】解：①△根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故正确；
②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在 ABE和 BCF中，
△ △
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故正确；
④由①知，QF＝QB，
令PF＝k（k＞0），则PB＝2k
在Rt BPQ中，设QB＝x，
∴x2＝△（x﹣k）2+4k2，
∴x＝ ，
∴sin∠BQP＝ ，故正确；
③∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE＝ BC，BF＝ BC，
∴BE：BF＝1： ，
∴△BGE的面积： BCF的面积＝1：5，
∴S ECFG＝4S△BGE，故正确．
四边形
综上所述，共有4个△结论正确．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题关键在于
熟练掌握相关知识进行求解．
二、填空题：
11．已知 是锐角，且 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据三角函数关系可得 ，即可求解．
【详解】解：根据三角函数关系可得
又∵∴
故答案为
【点睛】本题考查的知识点是锐角三角形的三角函数值，解题关键是熟记三角函数关系．
12．在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sinB＝ ，那么BC＝______．
【答案】2
【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
【详解】∵在 ABC中，∠C＝90°，AC＝4，sinB＝ ，
△
∴sinB＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝6，
∴BC＝ ＝2 ．
故答案是2 ．
【点睛】本题考查了正弦函数的定义：在Rt ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫
△
做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝ ，也考查了勾股定理．
13． ___________.
【答案】
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】原式 ．
故答数为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．已知．平面直角坐标系 中，圆心在 轴上的 与 轴交于点 、点 ，过 作 的切线交 轴于点 ，若点 ，则 的值为________．
【答案】
【分析】连接MH，求出∠HAO＝∠MHO，求出OD，OM，根据勾股定理求出MH，根据解直角三角形求
出即可．
【详解】解：连接MH，
∵D（0，4），M（﹣3，0），
∴OD＝4，OM＝3，
由垂径定理得：OH＝OD＝4，
在Rt△MHO中，由勾股定理得：MH＝5，
∵AH为 M切线，
∴∠MH⊙A＝∠MOH＝90°，
∴∠HAM+∠AHO＝90°，∠AHO+∠MHO＝90°，
∴∠HAO＝∠MHO，
∴sin∠HAO＝sin∠MHO＝ ＝ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，解直角三角形，垂径定理的应用，关键是求出
MH的长和得出∠HAO＝∠MHO．
15．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方
向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是
__________海里．
【答案】
【分析】根据在B处观测到的灯塔A和C处的方向确定 ，且B处在C处的北偏西 方向上，
再结合在C处观测到的灯塔A的方向确定 ，进而求出 ，然后根据等腰三角形的判
定定理确定AC=BC=25海里，再根据勾股定理可求出B处与灯塔A的距离．
【详解】解：∵灯塔A在B处南偏东 方向上，C处在B处南偏东 方向上，
∴ ，B处在C处的北偏西 方向上．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴AC=BC．
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴ 海里．
∴AC=25海里．
∴ 海里．
故答案为： ．
【点睛】本题考查方位角，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
16．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则线段AD的长为
___________.
【答案】
【分析】连结AC，先在Rt ABC中，根据正切函数的定义求得tan∠ACB，进而求得∠ACB=30 ，于是
AC=2AB=4，由∠BCD=120△，得出∠ACD=∠BCD-∠ACB=90 ．然后在Rt ADC中，利用勾股定理即可
求出AD的长． △
【详解】如图，连接AC，
在 中， ， ， ，
，
∵ ，
，
，
，
，
在 中， ， ， ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，得出
∠ACD=90 是解答此题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2 ，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接
BE，则△ABE的面积等于_____
【答案】
【分析】由中点定义可得AD的长，根据∠A的三角函数可得DE的长，利用三角形面积公式即可得答案，
【详解】∵AB=2 ，D为AB的中点，
∴BD=AD= AB= ×2 = ，
∵∠A=30°，DE⊥AB交AC于点E，
∴tan∠A=tan30°= ，
解得：DE=1．
∴S ABE= AB•DE= ×2 ×1= ．
△
故答案为：
【点睛】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握各三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数
值是解题关键．
18．如图，在 ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE
△
交AC于点E，且cosα＝ ，则线段CE的最大值为_____．【答案】6.4
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，
则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明 ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣ x2+
△
x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝ ＝ ，
∴BG＝ ×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴ ，即 ，
∴CE＝﹣ x2+ x
＝﹣ （x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次
函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
19．已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0，3），
∠OAB=60°，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，则D点坐标_______.
【答案】（ ，-1.5）．
【分析】利用三角函数可得到OB长，根据翻折得到的对应线段相等，也就得到了AD、AC长度，过D向
y轴引垂线后，利用三角函数，可得到点E的横坐标，AE的值，进而求得OE的长，点D的纵坐标．
【详解】
由题意得OA=3，∠OAB=60°，
∴OB=3×tan60°=3
∵△ACB≌△ADB
∴AD=AC=OB，
过D作DE⊥y轴于点E∵∠OAD=30°
∴ED=
∵cos30°=
那么OE=3 × -3=1.5
D（ ，-1.5）．
【点睛】翻折前后对应角相等；对应边相等，注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
20．在平面直角坐标系xOy中，点A，A，A，…和B，B，B，…分别在直线y＝kx+b和x轴上，
1 2 3 1 2 3
△OAB，△BAB，△BAB，…都是等腰直角三角形，如果A（1，1），A ，那么点A 的纵坐
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 2020
标是__________________．
【答案】 ．
【分析】作AC ⊥x轴与点C ，AC ⊥x轴与点C ，AC ⊥x轴与点C ，求得线段AC 、AC 、AC ，观
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
察规律即可求解．
【详解】解：∵A（1，1），A 在直线y＝kx+b上，
1 2
∴ ，
解得 ，∴直线解析式为： ；
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x＝0时，y＝ ，
当y＝0时， ，
解得x＝﹣4，
∴点M、N的坐标分别为M（0， ），N（﹣4，0），
∴ ，
作AC ⊥x轴与点C ，AC ⊥x轴与点C ，AC ⊥x轴与点C ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3
∵A（1，1），A
1 2
∴OB＝OB+BB＝2×1+2× ＝2+3＝5， ，
2 1 1 2
，
∵△BAB 是等腰直角三角形，
2 3 3
∴AC ＝BC ，
3 3 2 3
∴AC ＝ ，
3 3
同理可求，第四个等腰直角三角形AC ＝ ，
4 4
依此类推，点An的纵坐标是 ，
∴点A 的纵坐标是 ，
2020故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数的规律探索，根据前面几个点的坐标找到规律是解题的关键．
三、解答题：
21．计算： ．
【答案】
【分析】先求特殊角三角函数值，再计算即可．
【详解】解： ，
=
=
= ．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．
22．如图，在 中， ，点 是 边的中点， ， ．
（1）求 和 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1）AD= ，AB=5；（2）sin∠BAD= ．
【分析】（1）由中点定义求BC=4，根据 得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD= ；
（2）作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．【详解】（1）∵D是BC的中点，CD=2，
∴BD=DC=2，BC=4，
在Rt△ACB中，由 tanB= ，
∴ ，
∴AC=3，
由勾股定理得：AD= ，
AB= =5；
（2）过点D作DE⊥AB于E，
∴∠C=∠DEB=90°，
又∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝ ，
∴sin∠BAD= ．
【点睛】此题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
AE=6，cosA= .
(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值.
【答案】（1）CD=8；（2）tan∠DBC= .
【分析】（1）由DE⊥AB，AE=6，cosA= ，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分
线的性质可得DC=DE=8；
（2）由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18．由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知 ADE∽△ABC，由相
△
似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC= ．
【详解】解：(1)在Rt ADE中，因为AE=6，cosA= ，所以AD= =10，
△
由勾股定理，得 = =8.
因为DE⊥AB，DC⊥BC，
所以由角平分线的性质，得CD=DE=8.
(2)由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18,
在 ADE与 ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
△ △
∴△ADE∽△ABC得： 即 ，
得： .
【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻
辑推理能力和运算能力．
24．如图，矩形 中， 为 上一点， 是 的中点， ，垂足为 ，交 于点 ．若
，求 的长．【答案】
【分析】根据 ，求得 长度，从而求得 和 ，求得 ，从而求得 的
长度，即可求解．
【详解】解：在矩形 中， ，
∴
又∵
∴
由勾股定理得
∴
又∵
∴
∴
又∵ 是 的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】此题考查了三角函数的定义、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握三角函数的有关定义是解题的关键．
25．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海
里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指
令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为 海
里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？
【答案】（1） 点到直线 的距离是75海里；（2）执法船从 到 航行了 海里．
【分析】（1）根据方位角的定义先求出∠CBA和∠BCA的度数，再根据BH=BC×sin∠BCA计算即可得
出答案；
（2）延长CA，作BH⊥CA的延长线于点H，根据勾股定理求出DH的值，再利用tan∠BAH的值即可求
出AH的值，即可得出答案．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
，
（海里），
答： 点到直线 的距离是75海里；（2）延长CA，作BH⊥CA的延长线于点H
海里， 海里，
（海里），
，
在 中， ，
，
∴AD=DH-AH=75-25 （海里）.
答：执法船从 到 航行了 海里．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用—解直角三角形，正确作出直角三角形是解决本题的关键．
26．如图所示，已知AB是 的直径，直线L与 相切于点C， ，CD交AB于E， 直线
L，垂足为F，BF交 于C．
图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；
若 ， ，求AB的值．
【答案】(1)见解析;(2)20.【分析】（1）观察图象知：只有FG的长度与AE相当，可猜想AE=FG，然后着手证明它们相等；求简单
的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC、CG，然后证
△AEC≌△GCF；连接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根据垂径定理知∠D=∠BCE；由弦切角
定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即
AC=CG，再由角平分线的性质得CF=CE，根据HL即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．
（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它们的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的长，也就得
到了AC的长，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的长．
【详解】解：（1）FG=AE，理由如下：
连接CG、AC、BD；
∵ ，
∴BA⊥CD，
∴ ，即∠D=∠BCD；
∵直线L切⊙O于C，
∴∠BCF=∠D=∠BCD，
∴∠FBC=∠ABC，
∴ ，CE=CF；
∴AC=CG；
△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，
∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．
（2）∵FC切⊙O于C，
∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF= ；
在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4 ；
∴AC=CG=4 ；
在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：
AC2=AE•AB，即AB=AC2÷AE=20．
【点睛】此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角
形等知识点；通过构造全等三角形来求得AE=FG是解决此题的关键．27． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，
6），直线 与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若 ，求k的值；
（2）在（1）的条件下，当直线 绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：
是否存在NO平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC
上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．
【答案】（1）
（2） 或
（3）将直线y=- x+12沿y轴向下平移 个单位得直线y=- x+ ，将矩形OABC沿直线y=- x+ 折
叠，点O恰好落在边BC上．
【详解】试题分析：（1）根据直线y=- x+b平分矩形OABC的面积，知道其必过矩形的中心，然后求得
矩形的中心坐标为（6，3），代入解析式即可求得b值；
（2）假设存在ON平分∠CNM的情况，分当直线PM与边BC和边OA相交和当直线PM与直线BC和x
轴相交这两种情况求得DM的值就存在，否则就不存在；
（3）假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处，连接PO′、OO′，得到△OPO′为等边三角形，
从而得到∠OPD=30°，然后根据（2）知∠OPD＞30°，得到沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；若设沿直线y=- x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有
P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OAO′中，利用正切的定义求得a值即可得到将矩形OABC沿直线折叠，
点O恰好落在边BC上．
试题解析：解：（1）∵直线 经过点 且 ，
即
（2）如图1假设存在ON平分∠CNM的情况
①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（1）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=
；
②当直线PM与直线BC和x轴相交时
同上可得 （或由OM=MN解得）；
（3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP
由（1）得BC垂直平分OP，
∴PO′=OO′
∴△OPO′为等边三角形
∴∠OPD=30°
而由（2）知∠OPD＞30°
所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上如图3设沿直线 将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处
连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a
由题意得：CP′=a﹣6，∠OPD=∠AO′O
在Rt△OPD中，
在Rt△OAO′中，
即
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：
解得
所以将直线 沿y轴向下平移 个单位得直线 ，将矩形OABC沿直线
折叠，点O恰好落在边BC上．
考点：一次函数的综合运用
