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专题 1.1 三角形全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 三角形的边
1．三角形的分类：注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角
（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．
2．三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.
3．三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边．
即a、b、c三条线段可组成三角形 两条较小的线段之和大于最大的线段．
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或
当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
【典例1】（2023秋•东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形
是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个
直角．
故选：D．
【典例2】（2023秋•新乡县月考）如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于 P、Q区域的说法正确
的是（ ）
A．P是等边三角形，Q是等腰三角形
B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【分析】根据三角形的边或角进行分类．
【解答】解：A、应该是Q是等边三角形，P是等腰三角形，原说法不正确；
B、等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等边三角形，原说法正确；
C、P、Q应该是根据边的不同进行分类，另外直角三角形与锐角三角形是并列关系，原说法不正确；
D、P、Q应该是根据边的不同进行分类，钝角三角形与等腰三角形分类标准不同，原说法不正确；
故选：B．
【典例3】（2023秋•凉山州期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|
＝ ．
【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质
求值．
【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a﹣（c﹣a﹣b）＝a+3b﹣c．
故答案为：a+3b﹣c．
【典例4】（2024春•永寿县月考）三边长不等的△ABC的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数
值，则这个三角形的第三边长为 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选
出答案．
【解答】解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5．
∵第三边长为整数值，且△ABC是不等边三角形，
∴x的取值为4．
故答案为：4．
【典例5】（2024春•成华区期末）一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的
周长是 ．
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范
围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度，从而可以求出三角形的周长．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．
又∵第三边长是偶数，则x＝4．
∴三角形的周长是2+4+4＝10；
则这个三角形的周长是10．
故答案为：10．
知识点2 三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的角平分线：
①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角
平分线．
②性质：三角形的三条角平分线交于一点．
线段AD为 的一条角平分线
2．三角形的中线：
①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
②性质：三角形的三条中线交于一点．
线段AD为BC边上的中线
3．三角形的高：
①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三
角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三
条高的交点是三角形的直角顶点．
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
线段AD为BC边上的高
【典例1】（2024春•新野县期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．
F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①CH是△ACD边AD上的高；②BE是△ABD边AD上的中线；
③AD是△ABE的角平分线；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．
【解答】解：①∵CF⊥AD于H，
∴CH是△ACD边AD上的高，本小题判断正确；
②∵G为AD的中点，
∴BG是△ABD边AD上的中线，故本选项判断错误；
③∵∠1＝∠2，
∴AG是△ABE的角平分线；故本选项判断错误；
④∵CF⊥AD，∠1＝∠2，
∴AH是△ACF的角平分线和高，本小题判断正确；
故选：B．
【典例2】（2024春•安源区月考）如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AC边上的高 B．线段CF是BC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段BE是AC边上的高
【分析】根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解：△ABC中，AB，AC，BC边上的高分别为线段CF，线段BE，线段AD．
故选：D．
【典例3】（2023秋•乌拉特前旗期末）若线段 AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，
∵AM⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，
故选：D．
知识点3 三角形的稳定性
三角形的三边一旦确定，则三角形的形状和大小就确定，这是三角形的稳定性。
【典例1】（2024春•揭阳月考）如图所示的图形中具有稳定性的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②③
【分析】对于图①是两个三角形构成的图形，利用三角形的稳定性来求解；对于图②是一个三角形和
一个矩形构成的图形，根据四边形不具有稳定性来求解；对于图③是由三个三角形构成的图形，利用
三角形的稳定性来求解；对于图④是由二个四边形构成的图形，根据四边形不具有稳定性来求解．
【解答】解：图①是两个三角形构成的图形，它具有稳定性，此项正确，符合题意；
图②是由一个三角形和一个矩形构成的图形，它不具有稳定性，此项错误，不符合题意；
图③是由三个三角形构成的图形，它具有稳定性，此项正确，符合题意；
图④是由二个四边形构成的图形，它不具有稳定性，此项错误，不符合题意．
综上所述，具有稳定的性的图形是①③．
故选：B．
【典例2】（2023秋•香洲区期末）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（
）根木条．A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，他至少还要再钉上3根木条．
故选：B．
知识点4 三角形的角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
如图，在 中， ．
2．直角三角形的性质与判定：
①性质:直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形 ABC可以写成Rt△ABC.
②判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
如右图,在△ABC中,如果∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形.
3．三角形的外角：
①定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
②性质:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的
内角；三角形的外角和等于360°．
注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外
角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的．∠1+∠2+∠3=360°
如：外角 ， ， ．
， ， ， ， ，
【典例1】（2024春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB
的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据三角形的内角和定理，三角形角平分线、高线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即
可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵CE平分∠ACB，
1
∴∠ACE＝∠BCE= ∠ACB＝45°，
2
∵CD是高线，
∴CD⊥AB，
即∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
【典例2】（2024•西和县二模）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
1
【分析】因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠CBD= ∠ABC，由AD⊥BD，得∠ADB＝
2
1
90°，则∠BAD=90°− ∠ABC，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，即可作答．
2
【解答】解：因为BD是∠ABC的角平分线，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC，
2
由AD⊥BD，得∠ADB＝90°，
1
在△ABD中，∠BAD=180°−90°−∠ABD=90°− ∠ABC，
2
因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，
把∠DAC＝20°，∠C＝38°代入，
1 1
得∠ABC+38°+(90°− ∠ABC)+20°= ∠ABC+148°=180°，
2 2
那么∠ABC＝64°，
1
所以∠BAD=90°− ×64°=58°，
2
故选：B．
【典例3】（2024春•建邺区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则 、 、 之间
的数量关系是（ ） α β γ
A． + ＝ B．2 ﹣ ＝ C．2 ﹣ ＝ D．2 ﹣ ＝
α β γ α β γ β α γ γ α β【分析】利用三角形的外角性质，可得出 ＝ +∠BAD， ＝ +CAD，进而可得出∠BAD＝ ﹣ ，
∠CAD＝ ﹣ ，由AD是△ABC的角平分线，β利用α角平分线的γ定义β，可得出∠BAD＝∠CAD，即β﹣α＝
﹣ ，变γ形后β即可得出结论． β α
γ【解β答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ACE是△ACD的外角，
∴ ＝ +∠BAD， ＝ +CAD，
∴β∠BαAD＝ ﹣ ，γ∠CβAD＝ ﹣ ，
∵AD是△AβBCα的角平分线，γ β
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴β2 ﹣α ＝γ ．β
故选β：Cα．γ
【典例4】（2023秋•红古区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分
线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度
数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故选：D．
【典例5】（2024春•南山区校级期中）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：
1 1 1
2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A= ∠B= ∠C；⑤∠A＝∠B= ∠C中，能确定△ABC为直角三
2 3 2
角形的条件有 ．【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：①∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC为直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
③设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠C＝36°，则∠A＝∠B＝72°，△ABC不是直角三角形；
④设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
1
⑤∵∠A＝∠B= ∠C，
2
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：②④⑤．
【典例6】（2024春•普陀区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，
∠CEA＝70°，则∠EAB＝ ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，然后根据∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE代入数据进行计算
即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CEA＝70°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
又∵∠CAD＝40°，
∴∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣20°＝20°．
故答案为：20°．
【典例7】（2024春•丹徒区期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和
∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝ ，∠H＝ ，则 与 之间的数量关系为
α β α β．
【分析】根据角平分线定义设∠ABF＝∠DBF＝ ，∠ACG＝∠ECG＝ ，则∠ABD＝2 ，∠CBH＝
∠DBF＝ ，∠ACE＝2 ，∠BCH＝∠ECG＝ ，∠θ ABC＝180°﹣2 ，∠AφCB＝180°﹣2 ，θ在△ABC中
由三角形内θ 角和定理得φ+180°﹣2 +180°﹣2 ＝φ180°，即 + ＝90°θ+1/2 ，在Rt△HBC中φ由三角形内角
和定理得 + + ＝180°，α据此可得θ 与 之间φ的数量关系．θ φ α
【解答】解β：θ∵φBF和CG分别是∠AαBDβ和∠ACE的角平分线，
∴设∠ABF＝∠DBF＝ ，∠ACG＝∠ECG＝ ，
则∠ABD＝2 ，∠CBHθ＝∠DBF＝ ，∠ACEφ＝2 ，∠BCH＝∠ECG＝ ，
∴∠ABC＝18θ0°﹣∠ABD＝180°﹣2θ，∠ACB＝1φ80°﹣∠ACE＝180°﹣2φ，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝θ180°， φ
∴ +180°﹣2 +180°﹣2 ＝180°，
α θ 1 φ
整理得： + ＝90°+ ，
2
θ φ α
在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH＝180°，
∴ + + ＝180°，
β θ φ 1
∴ +90°+ ＝180°，
2
β α
整理得： +2 ＝180°．
∴ 与 之α间β的数量关系为 +2 ＝180°．
故α答案β为： +2 ＝180°． α β
α β
知识点5 多边形及其内角和
1．多边形相关概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线多边形组成的角叫做多边形的外角.如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形
就是凸多边形.
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
n(n−3)
一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线,所有对角线的数量是 条.
2
2．多边形的内角和、外角和
多边形的内角和计算：多边形的内角和计算公式为(n-2)×180°(n≥3，n是正整数)。
多边形的外角和计算：任意多边形的外角和都等于360°，它与边数的多少无关.
(n−2)×180° 360°
n n
正多边形的每个内角度数计算： ，每个外角度数计算：
【典例1】（2023秋•微山县校级月考）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
n(n−3)
【分析】根据n边形的对角线有 条，把5代入即可得到结论．
2
n(n−3)
【解答】解：由题意得， =5，
2
解得：n＝5，（负值舍去），
故选：B．
【典例2】（2024秋•柘城县校级月考）一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 5倍，则这个多边
形是（ ）
A．正五边形 B．正十边形
C．正十二边形 D．不存在
【分析】设它的每个外角为x，则内角和为5x，根据相邻内角与外角的和为180°，可求得一个外角的度
数，最后根据外角和是180°求解即可．
【解答】解：设它的每个外角为x，则内角和为5x．
根据题意得：x+5x＝180°．
解得：x＝30°．360°÷30°＝12．
故选：C．
【典例3】（2024春•宛城区月考）正多边形的一个内角等于它相邻外角的4倍，则此正多边形是（ ）
A．正九边形 B．正十边形
C．正十一边形 D．正十二边形
【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x＝180，解可得x的
值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：x+4x＝180，
解得：x＝36，
360°÷36°＝10．
故选：B．
【典例4】（2023秋•柳州期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原
多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由多边形的概念，通过实际操作，即可解决问题．
【解答】解：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边
数不可能是6边形．
故选：D．
【典例5】（2023秋•灵丘县校级月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如
图的五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的度数
和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】直接利用多边形的外角和为360°即可得出答案．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的度数和为360°．
故选：B．【典例6】（2024春•仓山区校级月考）如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF，
则∠AEF的度数为（ ）
A．27° B．28° C．29° D．30°
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质可求得∠AED，∠CDE，∠CDF的度数，DE＝DF＝
CD，然后求得∠EDF的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠DEF的度数，最后利
用角的和差列式计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，四边形CDFG是正方形，
(5−2)×180° (4−2)×180°
∴∠AED＝∠CDE= =108°，∠CDF= =90°，DE＝DF＝CD，
5 4
∴∠EDF＝108°﹣90°＝18°，
180°−18°
∴∠DEF= =81°，
2
∴∠AEF＝108°﹣81°＝27°，
故选：A．
