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专题15 相似三角形判定方法和常见模型的应用
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、平行线相似的应用
题型2、角角相似的应用
题型3、三边对应成比例的应用
题型4、两边对应成比例夹角相等的应用
题型5、手拉手相似模型的应用
题型6、母子模型的应用
题型7、8 字相似模型的应用
题型8、A 字相似模型的应用
题型9、一线三等角模型的应用
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
相似三角形是初中几何的核心工具，判定方法有“角角（AA）”“两边成比例且夹角相等（SAS）”“三
边成比例（SSS）”；解题时要善于从复杂图形中识别基本模型：A 字、8 字、母子型、手拉手型、一线三
等角等；通过对应边成比例实现线段转移，通过相似比建立方程；综合题常结合平行线、圆、函数等知识，
注意挖掘公共角、对顶角、等量代换等隐藏条件．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
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题型1、平行线相似的应用
典例1 综合与实践：如图，
是等边三角形，点
是射线
上一个动点，连接
，将
绕点
逆
时针旋转
得到
，连接
，
．
观察发现
（1）
______ ，
______ ；
迁移探究
（2）当点
在线段
时上，请判断线段
，
，
三条线段之间的数量关系，并说明理由；
拓展应用
（3）若点
在射线
上，直线
和直线
相交于点
，且
，请直接写出
的值．
题型模版
1.特征：利用平行线分线段成比例或平行于三角形一边的直线判定相似．
2.方法：找平行线产生的同位角、内错角相等；用AA 判定相似；列出对应边比例式求解未知线段．
变式1-1 如图是一张三角形纸片
，沿
边上的中线
折叠，点
落在点
处，
与
相交于点
，
若
与
垂直，且
，则
的长为___________．
变式1-2 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗
璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D 将线段
分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满
足比例关系：
，则称线段
被点C、D 白银分割，点C、D 叫做线段
的
白银分割点，该比值叫做白银比．
根据分割形态差异，可分为两类经典情形：
对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割；
邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割．
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(1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设
，
．求x 的值，
写出必要的解答过程（结果保留根号）．
(2)如图3，点C 为线段
靠近点A 的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线
段
靠近点A 的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹．
变式1-3 如图，在
中，
，
，
．若动点
从点
出发，沿线段
运动到点
为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点
作
交
于点
，设动点
运动的时间为秒，
的长为
．
(1)求出
关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求出
的面积与之间的函数关系式；
(3)当x 为何值时，
的面积有最大值，最大值为多少？
题型2、角角相似的应用
典例2 如图，在
中，
，以点
为圆心，线段
的长为半径画弧，交线段
于点
；以点
为圆心，线段
的长为半径画弧，恰好经过点
．
(1)如图，以点
为圆心，线段
的长为半径画弧恰好也经过点
．
①
的度数为__________；
②若
，求阴影部分的面积．
(2)如图，若
，证明：
．
题型模版
1.特征：通过两组角对应相等判定两个三角形相似．
2.方法：挖掘公共角、对顶角、同角（等角）的余角或补角相等；找准对应顶点，列比例式或求角．
变式2-1 如图，
与
是两个全等的等腰三角形，
，
分别与
相交于
点F、G，
．
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(1)图中有哪几对不全等的相似三角形，请把它们表示出来．
(2)根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究
之间的关系，并证明．
甲同学：把
分别沿
折叠，发现：B、C 两点重合．
乙同学：把
绕点A 旋转，使
重合，发现：构造出了直角．
变式2-2 已知
中，
，
平分
交
于点
，其中
．
(1)求
的度数；
(2)将
绕点
逆时针旋转至
，其中点
的对应点
落在
边上，先用尺规作出
（要求保
留作图痕迹），后标记
与
的交点
，求证：
．
变式2-3 如图，
内接于
，
为
边的高，
为
的直径交
于点F，连接
．
(1)求证：
；
(2)当直径
平分
时，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若
，
，求
的长．
题型3、三边对应成比例的应用
典例3 如图，在
和
中，已知
．
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(1)求证：
；
(2)求
与
的长；
(3)求
和
这两个三角形的面积比．
题型模版
1.特征：已知三边对应成比例，判定两个三角形相似并求值．
2.方法：把三边按大小排序，计算对应比值；若三比相等则相似；利用相似比求未知边或周长、面积比．
变式3-1 已知
的三边之比为
．在
中，
．当
_______
时，
．
变式3-2 如图，某地四个乡镇A，B，C，D 之间建有公路，已知
，
，
，
，
，
(1)如图
与
相似吗？若相似，请写出证明过程．
(2)公路
与
平行吗？说出你的理由．
变式3-3 如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E 与四边形
的顶点都在这
些小正方形的顶点上．
(1)求
的值；
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(2)在不添加字母的情况下填空并证明．
________．
证明：
题型4、两边对应成比例夹角相等的应用
典例4 如图，在
中，点
是
的边
上的一点．
(1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”）
(2)选择一种正确的方法求证：
；
(3)若
，且
，
，求
．
题型模版
1.特征：已知两边对应成比例且夹角相等，判定两个三角形相似．
2.方法：验证夹角相等（常为公共角或对顶角）；检查夹这个角的两边是否成比例；得出结论并应用．
变式4-1 如图，正方形
中，点
是
边上一点，连接
，以
为对角线作正方形
，边
与正方形
的对角线
相交于点
，连接
．
（1）若
，则
_____________；
（2）若
，则
_____________．
变式4-2 【知识背景】华师版（2013 版）九上第23 章《图形的相似》习题23.3 第1（2）题：
如图，点
、点
分别在
的边
、
的延长线上，连接
，若
，则
与
相似
吗？
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(1)请解答上述习题．
【问题探究】
(2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接
、
，求
与
的
数量关系．
①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法：
由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出
与
相似，从而得到
，
再通过角度之间的关系，可将问题解决．
请按照小明的思路完成对
与
相似的证明，具体做法如下：
证明：由（1）得：
________，
∴
∴
（相似三角形的对应角相等）．
请补全上述证明过程．
②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出
与
的数量关系为________．
(3)【拓展提升】如图，在
和
中，
，
，
，延长
交
于点
，
连接
、
．当
且
时，
________°，
________．
变式4-3 如图所示，点D 在直角三角形
的斜边
上，连接
，作
，使得
，连接
交
于点F，若
，
．
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(1)求证：
；
(2)若
，求
的长度；
(3)当
时，求
的比值．
题型5、手拉手相似模型的应用
典例5 如图，在等腰
中
，
，连接
、
、
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，若
，求证：四边形
是菱形；
(3)如图3，若
，且
，求
的值．
题型模版
1.特征：两个三角形共顶点且对应边呈旋转对称，形成手拉手相似模型．
2.方法：抓住公共顶点处的等角；证明另一组角相等或夹等角的两边成比例；利用相似比进行线段转移．
变式5-1 如图，
中，
，将
绕点
逆时针旋转到
，连接
，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，若
与
相交于点
，求证：点
是
的中点；
(3)如图3，当
，
时，探究
与
的数量关系并说明理由．
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变式5-2 在矩形
中，点
为射线
上一点，连接
，以
为一边，在
的右侧作正方形
．
(1)若
，如图1，连接
，当射线
与射线
的交点
在线段
上时．
求证：①
；
②点
一定在射线
上；
(2)如图2，若
，
，连接
，求
的最小值．
变式5-3 如图，在Rt
中，
，
，
于点
，点
是直线
上一动点，连接
，
过点
作
，交直线
于点
．
(1)如图1，若
，点
在线段
上，求出
的值，并写出证明过程；
(2)①如图2，若点
在线段
上，则
___________（用含
，
的代数式表示）；
②当点E 在直线
上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3 的情形给出证明；
(3)若
，
，请直接写出
的长．
题型6、母子模型的应用
典例6 如图，在
中，
，以
为边在
的另一侧作
，
点
为边
（不含端点）上的任意一点，在射线
上截取
，连接
． 设
与
交
于点
，则线段
的最大值为_________．
题型模版
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1.特征：一个三角形的一边在另一个三角形的一边上，且有公共角，形成母子型相似．
2.方法：利用公共角再找一组角相等（如直角公用）；用AA 判定相似；常见结论：公共边的平方等于两对
应边的乘积．
变式6-1 定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足
，则称点P 为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D 是
的边AB 的中点，
，
，试判断点D 是不是
的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在
中，
，
，
，若点D 是
的“理想点”，求CD 的长．
变式6-2 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为AB 上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD 交CD 于H，交AC 于F，且
，求
的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H 在CD 上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH 的值为________．
变式6-3 如图1，在
中，
为
上一点，
．求证：
．
（2）如图2，在
中，是
上一点，连接
，
．已知
，
，
．求证：
．
（3）如图3，四边形
内接于
，
、
相交于点
．已知
的半径为2，
，
，
，求四边形
的面积．
题型7、8 字相似模型的应用
典例7 某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在
中，点O 在线段
上，
，
，
，
，求
的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B
作
，交
的延长线于点D，通过构造
就可以解决问题（如图2）
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请回答：
，
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3 在四边形
中对角线
与
相交于点O，
，
，
，
，求
的长
题型模版
1.特征：两条相交线段构成“8”字形，利用对顶角相等找相似．
2.方法：识别对顶角及另一组等角；用AA 判定相似；注意对应顶点顺序，列比例式求解．
变式7-1 如图，B，C，D，E 四点均在⊙O 上，连结
，
相交于点F，其中
，
，
分别延长
，
相交于点A，若
，则⊙O 的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2 综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在
中，点P 是边
上一点．将
沿直线
折叠，点D 的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P 与点A 重合，过点E 作
，与
交于点F，连接
，
则四边形
是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：
“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P 为
的中点时，延长
交
于点F，连接
．试
判断
与
的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在
边上时，
，
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，
．则
的长为___________．（直接写出结果）
变式7-3 如图，在平行四边形
中，
，
，点E 为射线
上一动点，且
，
连接
，将线段
所在直线绕点D 顺时针旋转
交
延长线于点H，
所在直线与射线
交于点G．
（1）如图1，当
时，求证：
≌
；
（2）当
时，
①如图2，连接
，求证：
∽
；
②若
，
，
，请直接写出
的长．
题型8、A 字相似模型的应用
典例8 如图，在
中，
，
，
，点D 为
边的中点，点E 为
上一点，连
接
，将线段
绕点D 逆时针旋转
至
，连结
．
(1)线段
的长为___________ ；
(2)当
时，求线段
的长；
(3)当点F 落在
内部时，求
的取值范围；
(4)当
与
的某一边平行时，直接写出线段
的长．
题型模版
1.特征：一条直线截三角形两边或延长线形成“A”字形，产生相似．
2.方法：找公共角及平行线或另一组等角；用AA 或平行线分线段成比例；建立比例式求线段长．
变式8-1 如图，在
中，D，E 是边
的三等分点，F，G 是边
的三等分点，若
的面积为m，
则四边形
与
的面积差是（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式8-2 如图，在
中，
垂直平分边
，垂足为点
，交
于点
，点
为
的中点，连接
与
交于点
．若
，则下列结论错误的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
变式8-3 如图1，平行四边形
的对角线
，
相交于点
，
边的垂直平分线
交
于点
，
连接
，
．
（1）过点
作
交
于点
，求证：
；
（2）如图2，将
沿
翻折得到
．
①求证：
；
②若
，
，求
的长度．
题型9、一线三等角模型的应用
典例9 问题
如图1，在四边形
中，点P 为
上一点，当
时，求证：
．
（2）探究
若将
角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在
中，
，
，以点A 为直角顶点作等腰
．点D 在
上，点E 在
上，点F 在
上，且
，若
，求
的长．
题型模版
1.特征：一条直线上有三个等角，构造相似三角形，常称一线三等角模型．
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2.方法：利用等角关系和补角关系导出一组角相等；用AA 判定相似；注意不同顶点的对应关系．
变式9-1 如图，矩形
中，
将
以
为折痕对折，使点B 的对应点G 落在线段
上，
与折痕
的交点为点I，其中
，则线段
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-2 【问题情景】
（1）如图①，小红把三角板
（
）放置到矩形
中，使得顶点
、、
分别落在
、
、
上，则线段
与
的数量关系为_________；
【变式探究】
（2）如图②，小红把三角板
（
）放置到矩形
中，使得顶点
、
、
分别在
、
、
边上，若
，
，求
的长；
【拓展应用】
（3）如图③，小红把
放到平行四边形
中，使得顶点
、
、
分别在
、
、
边上，
，
，以
为顶点作
，交
于点
，交
的延长线于点
，直接写
出
的值．
变式9-3 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，
其中
，如图1，进行了如下操作：
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第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F 为圆心，大于
EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G；
(1)填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为___；
(2)①请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由．
②当
时，连接DG，请直接写出
___；
(3)如图3，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM，PC，当
时，求AM 的长．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在
中，点D 是边
的中点，点F 为边
上任意一点，
交
于点E，且
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在正方形
中，
是
的中点，
是
上一点，且
．下列结论中错误的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．如图，在
中，
，
，
是
上一点，点
在
上，连接
，
交
于点
，若
，
，则
_____．
4．如图，在
中，点
在
上，
，点
在
上，
，
，
相交于
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在
中，
，点D 为
边的中点，沿着过点D 的某条直线将
剪开，要使剪
下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法．
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
6．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若
，
，
，
与
相交于点
，则
的值等于__________．
7．在
中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交
、BC 于点M，N；
②分别以M、N 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线
，交
于点E，CD
的延长线于点F．已知
，
，下列结论错误的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，
分别是
上的点，
，
，
，
的角平分线
交
于点
，交
于点
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．并求
的值．
9．如图，已知
与
都是等边三角形，点
在
上(不与
、
重合)，
与
相交于点
．
(1)求证：
；
(2)若
，设
，
；
①求
关于
的函数解析式及自变量的取值范围；
②当
最大时，判断
的形状？
10．如图1，
是
的直径，
是左半圆上的任意一点（不与
，
重合），
是劣弧
上一动点．连
结
，
，在右半圆上取一点
，使得
，连接
并交
于点
．
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(1)求证：
(2)如图2，当
为左半圆上的中点时，求证：在点
运动过程中，始终存在
．
(3)如图3，在（2）的条件下，连结
，取右半圆中点
，连结
，
，求证：
与
面积相
等
11．如图，在四边形
中，
，点
在边
上，且
，点
在边
上，
且
，连接
，
交
于点
．
(1)求证：
；
(2)如图
，若
，求证：
；
(3)如图，若延长
恰好经过点
，求
的值．
12．如图1，在正方形
中，点
在边
上，点
在边
上，且点
不与
、
重合，点
不与
、
重合，
，
，
，求
的长．小明利用正方形的性质，通过把
旋转
到
的位置（如图2），就计算出了
的长为_____．
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（2）如图3，
是正方形
的边
上的任意一点，过点
作
的垂线交
的延长线于点
，连接
．求
的度数．
（3）如图4，正方形
中
，过点
再作
，垂足为
，连接
．求证：
．
13．【感知】如图①，在四边形
中，点P 在边
上（点P 不与点A、B 合），
．证
明：
．
（2）【探究】如图②，在四边形
中，点P 在边
上（点P 不与点A、B 重合），
．若
，求
的长．
（3）【拓展】如图③，在
中，
，点P 在边
上（点P 不与点A、B 重合），连
结
，作
，
与边
交于点E，当
是等腰三角形时，直接写出
的长．
14．【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE，
CF，延长CF 交AD 于点G．
（1）求证：
．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H．若
，
，求线段DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF，延长CF，BF 交直线AD 于G，两点，若
，
，求
的值（用含k 的代数式表示）．
15．如图1，
，分别过A，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为E、F，
，
，
，求
的长度为 ．
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（2）如图2，在矩形
中，
，
，点E、F、M 分别在
上，
，
，
当
时，求四边形
的面积．
（3）如图3，在
中，
，
，
，点E、F 分别在边
上，
且
，若
，求
的长度．
