文档文本内容
1 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题11 全等三角形常见辅助线与动点问题
（题型突破·举一反三）
题型01 连接两点构造全等三角形
题型02 一线三等角模型
题型03 截长补短法
题型04 倍长中线法
题型05 手拉手模型
题型06 半角模型
题型07 动点问题
▌题型01 连接两点构造全等三角形
已知两个定点，连接两点得到公共边，再找一组角、一组边相等，用SSS/SAS/ASA/AAS 证全等，一般四
边形连接四边形的对角线构造三角形。
【典例1】如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与BD 相交于点O，AB＝DC，AC＝BD．求证：△ABO≌△DCO．
2 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-1】已知：如图，在四边形ABCD 中，AD＝BC，AB＝CD．求证：AB∥CD，AD∥BC．
【变式1-2】如图，在四边形ABCD 中，CB⊥AB 于点B，CD⊥AD 于点D，点E，F 分别在AB，AD 上，
AE=AF，CE=CF．
（1）求证：CB=CD；
（2）若AE=8，CD=6，求四边形AECF 的面积；
（3）猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
3 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】如图，在五边形ABCDE 中，
（1）已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F 是CD 中点，求证：AF⊥CD．
（2）已知AB＝AE，BC＝ED，∠C＝∠D，F 是CD 中点，求证：AF⊥CD．
（3）已知∠B＝∠E，BC＝ED，∠C＝∠D，F 是CD 中点，求证：AF⊥CD．
▌题型02 一线三等角模型
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
=
= + CE=DE
证明思路：
,
A
B
C
BED
=
=
+任一边相等
BED
ACE
异侧型一线三等角：
4 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
FAC
ABD
CED
=
=
+ 任意一边相等
证明思路：
,
A
B
C
BED
=
=
+任一边相等
BED
ACE
【典例1】在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN 经过点C，且AD⊥MN 于D，BE⊥MN 于E．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE 之间的等量关系．
5 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-1】如图（1），∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE 于E，AD⊥CE 于D．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）如图（2）其它条件不变的前提下，将CE 所在的直线旋转到△ABC 的外部，若BE＝3cm，AD＝9cm，
求DE 的长．
【变式1-2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m 经过点A，BD⊥直
线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE 有怎样的数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，
AB＝AC，D，A、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α 为任意锐角或钝角）
如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：如图3，F 是角平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，D、E 分别是直线
m 上A 点左右两侧的动点，D、E、A 互不重合，在运动过程中线段DE 的长度始终为n，连接BD、CE，
若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF 的形状，并说明理由．
6 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】【概念建构】
在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN 经过点A，BD⊥MN 于点D，CE⊥MN 于点E．如图1，
当直线MN 在△ABC 外部时，称Rt△ABD 和Rt△CAE 是Rt△ABC 的“双外弦三角形”，如图2，当直
线MN 在△ABC 内部时，称Rt△ABD 和Rt△CAE 是Rt△ABC 的“双内弦三角形”．依据“两角及其夹
边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三
角形，即Rt△ABD≌Rt△CAE．
【概念应用】
（1）如图3，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AM⊥BC 于点M，AM＝BM＝CM，E 是BC 边上的点，AE＝
DE，AE⊥DE，连接AD，BD，若𝐴𝐸= 2√5，AM＝4，求BD 的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作DN⊥BC 于点N．构造出如图4 所示的“双内弦三角
形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过
程．
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解
答下列问题．
如图5，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 是AB 边上一点，DE＝DC，DE⊥DC，DE 交BC 于点
N，延长EB，CD 交于点F，猜想DE，DF，CN 之间的数量关系，并说明理由．
【学以数用】
（3）如图6，AD∥BC，△ABE 和△CDF 是等腰直角三角形，∠EAB＝∠FDC＝90°，AD＝2，BC＝5，
求△ADE 和△ADF 的面积和．
7 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型03 截长补短法
常见的截长补短法添加辅助线的方法：
（1）截长法
①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接……
②过某点作AB（最长线段）的垂线
（2）补短法
①延长AB（某条较短线段）至点C，使得BC=EF（另外一条较短线段），连接……
②通过旋转法，使得两条较短线段在同一直线上，半角模型中可以利用这种方法
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
在线段
上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
延长
，使得
截长补短法的解题步：
①添加辅助线（截长或补短）
②连接线段，构造全等三角形
③证明三角形全等，转移线段
【典例1】（2025 秋•大庆校级期末）已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，D、E 分别为AB、BC 上的点，
且AE、CD 交于点F．若AE、CD 为△ABC 的角平分线．
（1）求∠AFC 的度数；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC 的长．
D
C
B
A
AB
AD
AC
=
A
B
C
D
AC
AD
AB
=
8 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-1】（2026 春•青羊区校级期中）如图，点D 是△ABC 外一点，连接AD，CD，过点C 作CE⊥AB，
垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC 的面积为14．
（1）求证：AC 是∠BAD 的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
【变式1-2】（2026 春•天府新区期末）已知△ABC 中，∠BAC＝α，点D 在BC 上，连接AD．
（1）设α＝120°，AD 平分∠BAC，点E 在射线AD 上，连接BE．
①如图1，若AB＝BE，试说明BE∥AC；
②如图2，若∠EBC＝60°，试说明AE＝AB+AC；
（2）如图3，若α＝90°，AB＝AC，作点C 关于射线AD 的对称点C′，连接BC′并延长交射线AD 于
点F，连接CF，若CF＝3，△ACF 的面积为7，求BF 的长．
9 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】（2025 秋•固原校级期末）“截长补短法”证明线段的和差问题：
先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．
背景材料：
（1）如图1：在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F 分别是BC，
CD 上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．探究的方法是，延长FD 到
点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 ．
探索问题：
（2）如图2，若四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF= 1
2
∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．
▌题型04 倍长中线法
1. 倍长中线法：中线指的是三角形的顶点到对边中点所连线段，倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，
以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
在△ABC 中，AD 是中线，添加辅助线的方法：延长AD 到点E，使得AD=DE，连接DE
10 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证明：∵AD 是中线
∴BD=CD
在△ADC 和△EDB 中
=
=
=
CD
BD
BDE
ADC
DE
AD
∴△ADC≌△EDB（SAS）
2. 类倍长中线法
类中线，即与中点有关的线段，三角形一边任一点与另一边中点所连线段，添加辅助线的方法与倍长中
线法一样，将类中线延长一倍，构造全等三角形。
在△ABC 中，AD 是中线，点M 是线段AB 上任意一点，添加辅助线的方法：延长MD 到点N，使得
DN=MD，连接CN
证明：∵AD 是中线
∴BD=CD
在△BDM 和△CDN 中
=
=
=
DN
DM
CDN
BDM
CD
BD
∴△BDM≌△CDN（SAS）
3. 间接倍长中线法
除了上述两种方法外，还有一种间接倍长中线法。在△ABC 中，AD 是中线，添加辅助线的方法：延长
AD，过点B 作BE⊥AD 交AD 于点E，过点C 作CF⊥AD 交AD 于点F
M
A
B
C
D
N
D
C
B
A
M
D
A
B
C
F
E
D
C
B
A
11 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证明：∵AD 是中线
∴BD=CD
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠E=∠CFD=90°
在△BED 和△CFD 中
=
=
=
CD
BD
CDF
BDE
CFD
E
∴△BED≌△CFD（AAS）
【典例1】（2026 春•福田区校级期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
【问题背景】
（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，AB＝8，AC＝5，求AD 的取值范围．
我们可以延长AD 到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS 可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下
来，在△ABE 中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围．请按照上
述思路，写出求解AD 的取值范围的完整过程．
【变式思考】
（2）如图2，△ABC 中，AD 是中线，分别以AB，AC 为腰向外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，AB＝
AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD．
【探究延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F 是BC 的
中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6 时，求BD 的长．
12 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-1】（2025 秋•海淀区校级期中）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC 中，若AB＝10，AC＝8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB 的理由是 ．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）求得AD 的取值范围是 ．
A.8＜AD＜10
B.8≤AD≤10
C.1＜AD＜9
D.1≤AD≤9
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和
所求证的结论集合到同一个三角形中，
【问题解决】
（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，点E 在BC 的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD．
13 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-2】（2025 秋•北京校级期中）已知△ABC 是等边三角形，点D 在△ABC 内部，且∠BDC＝120°．
（1）如图1，设∠ABD＝α，求∠ACD 的度数（用含α 的式子表示）；
（2）如图2，点E 是BC 的中点，连接AD，DE，用等式表示线段AD 与DE 之间的数量关系，并证明．
【变式1-3】（2025 秋•锡林郭勒盟期中）【初步探索】
（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，探究AB+AC 与2AD 的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长AD 至点E，使DE＝AD，连接BE，先证明△ADC≌△EDB，可得
出结论，他的结论应是
【灵活运用】
（2）如图2，AD 是△ABC 的中线，E、F 分别在AB、AC 上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
【拓展延伸】
（3）如图3，AD 为△ABC 的角平分线，直线MN⊥AD 于点A．点E 为MN 上一点（与点A 不重合），
△ABC 周长记为a，△EBC 周长记为b，比较a 与b 的数量关系并证明．
14 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型05 手拉手模型
手拉手模型有三个特点：（1）共顶点；（2）双等腰；（3）顶角相等。
判断左右手的方法：将等腰三角形的顶点朝上，正对自己，在自己左边的为左手顶点，在自己右边的
为右手顶点。
手拉手模型核心结论：左手拉左手=右手拉右手
1）等边三角形手拉手模型
条件：在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接AE 与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE=DC；
（3）AE 与DC 的夹角为60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）BH 平分∠AHC；
证明：（1）∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°
又∠EBA=∠EBA+∠EBD
∠EBC=∠EBC+∠EBD
∴∠EBA=∠EBC
在△ABE 与△DBC 中
C
B
E＝
B
BC
D
BE＝
A
∠
D
B
B＝
A
∴△ABE≌△DBC
（2）由（1）得：△ABE≌△DBC
15 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴AE=DC
（3）在△DHG 和△ABG 中
由（1）得：△ABE≌△DBC
∴∠GDH=∠GAB
又∠HGD=∠AGB
∴∠DHG=∠DBA=60°
即AE 与DC 的夹角为60°；
（4）∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形
∴BD=AB，∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE=180°-∠DBA-∠EBC=60°
由（1）得：△ABE≌△DBC
∴∠GDH=∠GAB
在△AGB 和△DFB 中
=
=
=
=
60
DBA
DBE
BD
AB
GAB
GDH
∴△AGB≌△DFB；
（6）如图，连接BH，过点B 做BM⊥AE，BN⊥CD
由（1）△ABE≌△DBC
BM、BN 分别是AE、CD 边上的高
∴BM=BN
∴BH 平分∠AHC
2）等腰直角三角形手拉手模型
条件：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.证明：
（1）△ADG≌△CDE
（2）AG=CE
（3）∠AHC=90°
（4）HD 平分∠AHE
16 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证明：（1）∵△ACD 和△GDE 都是等腰直角三角形
∴AD=CD，DG=DE，∠DBA=∠EBC=90°
又∠GDA=∠ADC+∠CDG
∠CDE=∠EDG+∠CDG
∴∠GDA=∠CDE
在△ADG 和△CDE 中
E
G＝
DE
＝∠
G
D
A
∠
D
C
D＝
A
D
D
C
∴△ADG≌△CDE（SAS）
（2）由（1）得：△ADG≌△CDE
∴AG=CE
（3）在△ADF 和△CHF 中
由（1）得：△ADG≌△CDE
∴∠DAG=∠DCE
又∠CFH=∠AFD
∴∠CHF=∠ADF=90°
即AE 与DC 的夹角为90°；
（4）如图，连接DH，过点D 做DM⊥AE，DN⊥CD
由（1）△ADG≌△CDE
DM、DN 分别是AG、CE 边上的高
17 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴DM=DN
∴DH 平分∠AHE
3）正方形手拉手模型
条件：如图，两个正方形ABCD 和DEFG，连接AG 与CE，二者相交于H。证明：
（1）△ADG≌△CDE
（2）AG=CE
（3）∠AHC=90°
（4）HD 分∠AHE
4）一般等腰三角形手拉手模型
当两个三角形是以公共顶点为顶点等腰三角形时，如果这两个三角形是以公共定点为顶点
的等腰三角形，则可以根据SAS 连带出的一组新的全等三角形。
条件：△OAB，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD
结论：（1）△OAC≌△OBD；（2）∠AEB=∠AOB；（3）OE 平分∠AED
核心图形：
核心条件：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD
18 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【典例1】（2026•仙桃校级三模）△ABD 为正三角形，点C 在直线BD 上，△ACE 也为正三角形，其中，
点A，C，E 按逆时针方向排列，如图，直线CE 于直线AD 交于点F．
（1）求证：DE＝BC．
（2）请证明随着点C 运动，点E 在一条定直线上运动．
【变式1-1】如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A、E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE，
AD 与BE 交于点O，AD 与BC 交于点P，BE 与CD 交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；
②PQ∥AE；③AP＝BQ；④连接OC，OC 平分∠AOE；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有（ ）
A．①⑤
B．①②⑤
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
19 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-2】（2026 春•海淀区校级期末）四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，其中正方形CEFG 可以绕顶
点C 旋转（CE＜CB）．
（1）如图1，点E 在BC 上，点G 在CD 上，连接BG 和DE，取BG 的中点P，连接CP，求证：DE＝
2CP；
（2）如图2，正方形CEFG 绕点C 旋转到图2 位置，连接DE 和BG，取线段BG 的中点P，连接CP．
①依题意补全图2；
②判断线段CP 与DE 的关系，并证明你的结论．
【变式1-3】（2025 秋•开鲁县期末）（1）如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为40°的等腰三角形，BC、
DE 分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB 的度数为 ；线段BE 与AD 之间的数量关系是 ．
（3）拓展探究
如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一直线上，CM
为△DCE 中DE 边上的高，连接BE．请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说
明理由．
20 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型06 半角模型
半角模型的特征：两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，角的两边相等。
解题思路：（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形；
（2）证明与半角形成的三角形全等；
（3）通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而得到结论。
口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等。
即已知如图：①∠2=
1
2∠AOB；②OA=OB，连接FB，将△FOB 绕点O 旋转至△F′OA 的位置，连接F′E、
FE，可得△OEF′≌△OEF。
证明：∵将△FOB 绕点O 旋转至△F′OA 的位置
∴△FOB≌△F′OA
∴∠3=∠4，OF=OF′
∵∠2=
1
2∠AOB
∴∠1+∠3=
1
2∠AOB
∴∠1+∠4=
1
2∠AOB
即∠E0F′=∠2
在△OEF′和△OEF 中
=
=
OE
OE
2
∠
=
′
EOF
∠
′F
O
OF
∴△OEF′≌△OEF（SAS）
1. 90°夹45°模型（正方形）：
条件：如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 边上的点，∠EAF=45°
F'
4
1
2
3
O
A
E
F
B
F
E
B
A
3
2
1
O
21 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）EF=BE+DF，C△CEF=2AB
证明：如图，延长FD 到G，使DG=BE，连接AG，
∵在△GDA 和△EBA 中，
AB
＝
AD
ABE
＝∠
GDA
∠
BE
＝
DG
∴△GDA≌△EBA（SAS），
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，
故∠GAF=45°，
在△GAF 和△EAF 中，
AF
＝
AF
EAF
＝∠
GAF
∠
AE
＝
AG
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
即GD+DF=BE+DF=EF；
（2）
ADF
ABE
AEF
S
S
S
△
△
△
+
=
（3）过点A 作AH⊥EF，则AH=AB
证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ，
∴AQ=AF，∠FAQ=90°，∠ABQ=∠D=90°，而∠ABC=90°，
∴点Q 在CB 的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠QAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠QAE，
在△AEQ 和△AEF 中，
22 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
AF
＝
AQ
QAE
＝∠
EAF
∠
AE
＝
AE
∴△AEQ≌△AEF（SAS），
∴EQ=EF，
∵AB⊥EQ，AH⊥FE，
∴AB=AH．
2. 120°夹60°模型
条件：如图，D 是等边△ABC 外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，∠EDF=60°，且E、F 分别在AB 和AC
上．结论：EF=BE+CF
证明：证明：延长AB 到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD 和△FCD 中，
=
=
=
CF
BN
FCD
NBD
DC
BD
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN 和△EDF 中，
23 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
=
=
=
DF
DN
EDN
EDF
DE
DE
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
【典例1】（2025 秋•西昌市期末）【问题背景】
在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F 分别是BC、CD 上的点，且
∠EAF＝60°，试探究图1 中线段BE、EF、FD 之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD 到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，
则可得到BE、EF、FD 之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD 中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F 分别是BC、CD 上的点，∠EAF= 1
2∠BAD，
上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东
70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的
速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/小时的速度前进1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两
舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
24 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-1】（2025 秋•重庆期中）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F 分别是边
BC、CD 上的点，且∠EAF= 1
2∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
【变式1-2】（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F 分别是边BC，CD 上的
点，且∠EAF= 1
2∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD 之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F 分别是边BC，CD 上的点，且∠
EAF= 1
2∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F 分别是边BC，CD 所在直线上的点，且∠
EAF= 1
2∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD 之间的数量关系： ．
25 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】（2025 春•工业园区校级期中）（1）如图1，四边形ABCD 是边长为5 cm 的正方形，E，F 分
别在AD，CD 边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF 的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长EA 到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，
从而得到△DEF 的周长＝ cm；
（2）如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F 分别是线段BC，
CD 上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD 之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F 分别是线段BC，CD 上的点，且
2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别在CB、DC 的延长线上，且2∠
EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD 之间的数量关系．
26 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型07 动点问题
几何动点问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形的某些元素(点、线段、角等)
或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而引发其它一些元素的数量、位置关系、图形面积等发生变化，
但图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻。
全等三角形的动态问题是将几何、代数相结合，数形结合，具有较强的综合性，题目灵活多变。全等三角
形的动态问题有单动点、双动点等类型问题,通过动点在运动过程中引起的角度变化，线段长度变化，探究其
中不变的量(角度、 长度、性状等),在解题过程中，要善于抓住图形中的变与不变，以不变解决变。当面对这
类题型的时候，要特别注意的地方是，题目可能会有多解，所以一定要全面的对题目进行综合考虑。
思路:
1.利用图形想到三形全等；
2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度；
3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；
4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；
5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；
6.动点类问题一般都有好几问， 前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，
可以反过去看看前面问题的结论。
当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题
也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建
等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，
所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．
【典例1】（2026 春•松江区期中）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B．点P 从
点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿AB 向点B 运动；点Q 从点B 出发，以每秒a 个单位长度的速
度沿射线BD 方向运动．点P、点Q 同时出发，当以P，B，Q 为顶点的三角形与△CAP 全等时，求a 的
值．
27 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-1】（2025 秋•邯郸校级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P 从点A 出
发，沿折线AC﹣CB 以每秒1 个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC﹣CA 以每秒
3 个单位长度的速度向终点A 运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q 两点作PE⊥l 于E，QF⊥l 于F．设
点P 的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q 两点相遇时，求t 的值；
（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；
（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．
【变式1-2】（2025 秋•祁阳市校级期末）已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P 在线段AB 上以2cm/s 的
速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为t 秒．
（1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q 的运动速度与点P 的运动速度相同，当t＝1 时，△ACP 与
△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系和数量关系，请分别说明理由；
（2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q 的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP 与△BPQ
全等？若存在，求出v，t 的值；若不存在，请说明理由．
28 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点
P 从点A 出发沿A→C→B 路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B→C→A 路径向终点A 运动．点P
和点Q 的速度分别为1cm/s 和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某
时刻分别过点P 和点Q 作PE⊥l 于点E，QF⊥l 于点F，设运动时间为t 秒，当△PEC 与△QFC 全等时，
求t 的值．
