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1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题10 与三角形有关的模型 （题型突破·举一反三） 题型01 角高模型 题型02 两内角平分线的夹角模型 题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角模型 题型04 两外角平分线的夹角模型 题型05 规形图（飞镖模型） 题型06 “8”字模型（X 型图） 题型07 折角模型 ▌题型01 角高模型 如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD⊥BC 于点D，则∠𝐷𝐴𝐸= 1 2 |∠𝐶−∠𝐵|。 【典例1】已知：如图，△ABC 中，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，BF 是∠ABC 的平分线，BF 与 AE 交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE 的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC= 1 2∠BAC， 而∠EAC＝90°﹣∠C，然后利用∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC 进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠ 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AFO＝80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF＝50°，所以对顶角相等：∠BOE＝∠AOF＝50°． 【解答】解：①在△ABC 中，∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE 是的角平分线， ∴∠EAC= 1 2∠BAC＝40°． ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC 中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°． ②∵BF 是∠ABC 的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC= 1 2∠ABC＝20°， 又∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． 【变式1-1】（2026 春•南岸区期末）如图，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠AEC 和∠DAE 的度数； （2）若∠B＝α，∠C＝β，且α＞β，直接写出∠AEC 和∠DAE 的度数（用含α，β 的代数式表示）． 【分析】（1）先利用三角形内角和求出∠BAC，结合角平分线定义得到∠CAE，再用内角和算出∠AEC； 根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC，最后作差得到∠DAE； （2）先用三角形内角和表示出∠BAC，结合角平分线得到∠CAE，代入内角和公式化简求出∠AEC；再 由高线推出∠DAC，通过角度相减化简得到∠DAE 的代数式． 3 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）∵在△ABC 中，∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 × 80° = 40°， 在△AEC 中，由三角形内角和定理得：∠AEC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝110°， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC 中，∠DAC＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝20°； （2）在△ABC 中，由三角形内角和定理得：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −𝛼−𝛽) = 90° −𝛼+𝛽 2 ， 在△AEC 中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶 = 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −𝛽−(90° −𝛼+𝛽 2 ) = 90° + 𝛼−𝛽 2 ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC 中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= (90° −𝛽) −(90° −𝛼+𝛽 2 ) = 𝛼−𝛽 2 ． 【变式1-2】（2026 春•深圳期中）如图，在△ABC 中，∠C＞∠B，AD⊥BC，AE 平分∠BAC． （1）若∠B＝30°，∠C＝64°，则∠DAE＝ 17° ； （2）计算：若∠C﹣∠B＝50°，求∠DAE 的度数； （3）猜想：∠DAE、∠B、∠C 的关系 ∠DAE= 1 2（∠C﹣∠B） ． 【分析】（1）先求得∠BAC 的度数，然后求得∠CAE 和∠CAD 的度数，最后求得∠DAE 的度数； （2）先用含有∠B 和∠C 的式子表示∠BAC，然后表示出∠CAE 和∠CAD，最后求得∠DAE 的度数； （3）利用（2）中过程求得∠DAE、∠B 和∠C 的关系． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣64°＝86°， ∵AE 平分∠BAC， 4 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠EAC= 1 2∠BAC= 1 2 ×86°＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝43°﹣26°＝17°， 故答案为：17°． （2）∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= 1 2（∠C﹣∠B）， ∵∠C﹣∠B＝50°， ∴∠DAE= 1 2 ×50°＝25°． （3）∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= 1 2（∠C﹣∠B）， 故答案为：∠DAE= 1 2（∠C﹣∠B）． 【变式1-3】（2026 春•龙岗区期中）已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】 （1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE 的度数为 15° ； 【一般推导】（2）如图（b），点P 在线段AE 上，过点P 作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG 与∠ B，∠C 之间的数量关系： ∠EPG= 1 2∠C−1 2∠B ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP 分别平分∠AEC 和∠ACM， 过点P 作PG⊥BC 交BC 延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG= 2 3（∠B+∠CPE），求∠B 的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可； 5 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°． ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC＝90°−1 2∠B−1 2∠C， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣（90°−1 2∠B−1 2∠C）﹣∠C＝90°+ 1 2∠B−1 2∠C． ∵PG⊥BC， ∴∠EPG＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（90°+ 1 2∠B−1 2∠C）= 1 2∠C−1 2∠B． 故答案为：∠EPG= 1 2∠C−1 2∠B； （3）由上述过程可知，∠EAD= 1 2∠ACB−1 2∠B． ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB 且∠EAD＝∠CAD， ∴ 1 2∠ACB−1 2∠B＝90°﹣∠ACB， 则∠ACB= 1 3∠B+60°． ∵CP 平分∠ACM， ∴∠PCG= 1 2∠ACM= 1 2（180°﹣∠ACB）＝90°−1 2∠ACB． ∵PG⊥BC， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG= 1 2∠ACB． 又∵EP 平分∠AEC， ∴∠PEC= 1 2∠AEC． ∵∠EAC＝∠ACM﹣∠AEC，∠CPE＝∠PCG﹣∠PEC， ∴∠CPE= 1 2（∠ACM﹣∠AEC）= 1 2∠EAC． ∵∠EAC= 1 2∠BAC＝90°−1 2∠B−1 2∠ACB， 6 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠CPE＝45°−1 4∠B−1 4∠ACB． ∵∠CPG= 2 3（∠B+∠CPE）， ∴ 1 2∠ACB= 2 3（∠B+45°−1 4∠B−1 4∠ACB）， ∴ 1 2 ( 1 3∠B+60°）= 2 3[∠B+45°−1 4∠B−1 4（ 1 3∠B+60°）]， 解得∠B＝36°， ∴∠B 的度数为36°． ▌题型02 两内角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE, CF 相交于点G,求∠BGC 与∠A 之间的关系 证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BE，CF 相交于点G， ∴∠GBC= 2 1 ∠ABC，∠GCB= 2 1 ∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB= 2 1 （∠ABC+∠ACB）， 在△BCG 中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- 2 1 （∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°- 2 1 （∠ABC+∠ACB）； 在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°- 2 1 （∠ABC+∠ACB）=180°- 2 1 （180°-∠A）=90°+ 2 1 ∠A， 即：∠BGC=90°+ 2 1 ∠A． 【典例1】（2025•丽水一模）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，点D 在AB 上（不与点A，B 重 合），连接CD 交BE 于点O． （1）若CD 是AB 边上的中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC 的周长为25cm，求△ADC 的周长； 7 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）若CD⊥AB 于点D，∠ABC＝60°，求∠BOC 的度数． 【分析】（1）由三角形中线的概念可得AD＝BD，由△DBC 的周长为25cm 得BC+AD+CD＝25cm，再根 据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得∠BDC＝90°，由三角形角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，由 三角形外角的性质可得∠BOC＝∠BDC+∠ABE，于是得解． 【解答】解：（1）∵CD 是△ABC 的中线， ∴AD＝BD， ∵△DBC 的周长为25cm， ∴△BCD 的周长＝BC+BD+CD＝25cm， ∴BC+AD+CD＝25cm， ∵BC﹣AC＝5cm， ∴AC＝BC﹣5cm， ∴△ADC 的周长＝AC+AD+CD ＝BC﹣5+AD+CD ＝25﹣5 ＝20cm， 则△ADC 的周长为20cm； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°（垂直的定义）， ∵BE 是△ABC 的角平分线，∠ABC＝60°， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 60° = 30°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+30°＝120°， 则∠BOC 的度数为120°． 【变式1-1】如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，B 重合），CD 与BE 交于点 O． （1）若CD 是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD 与△ACD 的周长差为 1 ； （2）若CD 是高，∠ABC＝62°，求∠BOC 的度数； 8 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）若CD 是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC 的度数． 【分析】（1）根据△BCD 的周长为：BC+CD+BD，△ACD 的周长为：AC+CD+AD，可得△BCD 与△ACD 的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再根据中线定义得AD＝BD，以及BC＝3，AC＝2 即可得出答案； （2）根据BE 是∠ABC 的平分线得∠ABE＝31°，再根据CD 是△ABC 的高得∠CDB＝90°，再由三角 形外角性质得∠BOC＝∠CDB+∠ABE，据此即可得出答案； （3）根据∠A＝78°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，再根据角平分线定义得∠OBC+∠OCB= 1 2 （∠ABC+∠ACB）＝51°，然后再由三角形内角和定理即可得出∠BOC 的度数． 【解答】解：（1）∵△BCD 的周长为：BC+CD+BD， △ACD 的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD 与△ACD 的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD 是△ABC 的中线， ∴AD＝BD， 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1， 即△BCD 与△ACD 的周长差为：1． 故答案为：1． （2）∵BE 是∠ABC 的平分线，∠ABC＝62°， ∴∠ABE= 1 2∠ABC= 1 2 ×62°＝31°， ∵CD 是△ABC 的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°； （3）在△ABC 中，∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°， ∵BE 是∠ABC 的平分线，CD 是∠ACB 平分线， ∴∠OBC= 1 2∠ABC，∠OCB= 1 2∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）= 1 2 ×102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【变式1-2】（2026 春•南关区校级月考）【问题】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB．若 9 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∠A＝80°，则∠BEC＝ 130° ； 【探究】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB．试猜想∠BEC 和∠A 有怎样的关系，并 说明理由； 【应用】如图2，在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB，若∠A＝n°，则∠BEC ＝ 60° + 2 3 𝑛° ． 【分析】（1）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （2）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （3）根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再由BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三 等分∠ACB，得到∠𝐸𝐵𝐶= 2 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 2 3 ∠𝐴𝐶𝐵，于是∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 2 3 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，再根据 三角形的内角和定理得到∠BEC 的大小． 【解答】解：（1）在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB． ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠𝐸𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 × 100° ＝130°， 故答案为：130°； （2）∠𝐵𝐸𝐶= 90° + 1 2 𝑛°，理由如下， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠𝐸𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) 10 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = 180° −1 2 (180° −𝑛°) = 180° −90° + 1 2 𝑛° = 90° + 1 2 𝑛°； （3）在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB， 由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB， ∴∠𝐸𝐵𝐶= 2 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 2 3 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 2 3 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 2 3 (180° −𝑛°) = 120° −2 3 𝑛°， ∴∠𝐵𝐸𝐶= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180° −(120° −2 3 𝑛°) = 60° + 2 3 𝑛°． 故答案为：60° + 2 3 𝑛°． 【变式1-3】（2026 春•高新区期中）探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，∠A＝55°，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，则∠BOC＝ 117.5 度． （2）如图2，∠A＝60°，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线（即∠𝑂𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵），求∠BOC 的度数． （3）在△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的n 等分线（即∠𝑂𝐵𝐶= 1 𝑛∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 𝑛∠𝐴𝐶𝐵）， 试说明∠BOC 与∠A 的关系． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据平分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角 形的内角和定理得出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三等分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内 角和定理得出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据n 等分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内 角和定理得出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可． 【解答】解：（1）∠A＝55°， 11 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°， ∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵（角平分线的定义）， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 × 125° = 62.5°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣62.5°＝117.5°， 则∠BOC 的度数为117.5°， 故答案为：117.5； （2）∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 3 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 3 × 120° = 40°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣40°＝140°． （3）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的n 等分线， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 𝑛∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 𝑛∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 𝑛∠𝐴𝐵𝐶+ 1 𝑛∠𝐴𝐶𝐵= 1 𝑛(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 𝑛(180° −∠𝐴) ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） = 180° −1 𝑛(180° −∠𝐴) = 𝑛−1 𝑛 ⋅180° + 1 𝑛∠𝐴． ▌题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点p，求∠P 与∠A 之间的关系 解：∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角， 12 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠PBC= 2 1 ∠ABC，∠PCD= 2 1 ∠ACD． ∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠PCD 是△BPC 的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴ 2 1 ∠ACP= 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠A， ∴ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠A=∠PBC+∠P， 即∠P= 2 1 ∠A． 【典例1】如图所示，∠ACD 是△ABC 的外角，∠A＝40°，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，且BE、CE 交于点E． （1）求∠E 的度数． （2）请猜想∠A 与∠E 之间的数量关系，不用说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE，然后整理即可得到∠A＝ 2∠E，再求解即可； （2）根据（1）的求解解答． 【解答】解：（1）∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE， 由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC＝2（∠E+∠CBE）， ∴∠A＝2∠E， ∵∠A＝40°， ∴∠E＝20°； （2）∠A＝2∠E． 理由如下：∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE， 由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC＝2（∠E+∠CBE）， 13 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠A＝2∠E． 【变式1-1】（2025 秋•广元期中）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线相 交于点P，且∠D+∠C＝220°，求∠P 的度数． 【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝140°．然后由角平分线的性质，邻补角的 定义求得∠PAB+∠ABP= 1 2∠DAB+∠ABC+ 1 2（180°﹣∠ABC）＝90°+ 1 2（∠DAB+∠ABC）＝160°， 所以根据△ABP 的内角和定理求得∠P 的度数即可． 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝140°． 又∵∠DAB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP= 1 2∠DAB+∠ABC+ 1 2（180°﹣∠ABC）＝90°+ 1 2（∠DAB+∠ABC）＝160°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝20°． 【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期中）概念认识：如图①，在∠ABC 中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则 BD，BE 叫做∠ABC 的“三分线”．其中，BD 是“邻AB 三等分线”，BE 是“邻BC 三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE 是∠ABC 的“三等分线”，则∠ABE＝ 40 °； （2）如图②，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝72°，若∠B 的邻AB 三等分线与∠C 的邻AC 三等分线 交于点P，则∠BPC＝ 92 °； （3）如图③，在△ABC 中，BP、CP 分别是∠ABC 邻BC 三等分线和∠ACB 邻BC 三等分线，且∠BPC ＝145°，求∠A 的度数． （4）【延伸推广】在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角，∠B 的邻BC 三等分线与∠ACD 的三等分线交 于点P．若∠A＝x°，∠B＝y°，直接写出∠BPC 的度数．（用含x，y 的代数式表示） 【分析】（1）BD 是“邻AB 三分线”时，BE 是“邻BC 三分线”时，根据三分线定义求出结果即可； 14 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据“三分线”定义求出∠𝐴𝐵𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 × 60° = 20°，∠𝐴𝐶𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵= 1 3 × 72° = 24°，在 根据三角形内角和定理求出∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝92°； （3）求出∠PBC+∠PCB＝35°，根据BP、CP 分别是∠ABC 邻BC 三分线和∠ACB 邻BC 三分线求出 ∠𝑃𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵，求出∠ABC+∠ACB＝105°，再求出∠A 即可； （4）分两种情况：当CP 是“邻AC 三等分线”时，当CP 是“邻CD 三等分线”时，分别根据三角形外 角的性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE 是∠ABC 的“三分线”， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 × 60° = 20°， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°， 故答案为：40； （2）∵∠B 的邻AB 三等分线与∠C 的邻AC 三等分线交于点P，∠B＝60°，∠C＝72°， ∴∠𝐴𝐵𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 × 60° = 20°，∠𝐴𝐶𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵= 1 3 × 72° = 24°， ∴∠BCP＝72°﹣24°＝48°，∠CBP＝60°﹣20°＝40°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝92°， 故答案为：92； （3）∵∠BPC＝145°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣145°＝35°， ∵BP、CP 分别是∠ABC 邻BC 三等分线和∠ACB 邻BC 三等分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴ 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵= 35°， ∴∠ABC+∠ACB＝3×35°＝105°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣105°＝75°； （4）∵∠ACD 为△ABC 的外角，∠A＝x°，∠ABC＝y°， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝x°+y°， ∵BP 是“邻BC 三等分线”， ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 𝑦°， 当CP 是“邻AC 三等分线”时， 15 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝐶𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝑃= 2 3 ∠𝐴𝐶𝐷= 2 3 (𝑥° + 𝑦°)， ∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝑃= 2 3 (𝑥° + 𝑦°) −1 3 𝑦° = 2 3 𝑥° + 1 3 𝑦°； 当CP 是“邻CD 三等分线”时， ∴∠𝑃𝐶𝐷= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐷= 1 3 (𝑥° + 𝑦°)， ∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝑃= 1 3 (𝑥° + 𝑦°) −1 3 𝑦° = 1 3 𝑥°； 综上：∠BPC 的度数是 2 3 𝑥° + 1 3 𝑦°或 1 3 𝑥°． 【变式1-3】（2026 春•北碚区月考）已知直线AB 与CD 相交于点O，点E，F 分别在射线OB 和OD 上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP 平分∠OEF，FP 平分∠OFE，求∠EPF 的度数； （2）如图2，EP 平分∠OEF，FG 平分∠DFE，FG 的反向延长线交EP 于点P，若∠BOD＝α°，求∠P 的度数（请写出完整的推理过程）； （3）如图3，点G 在FE 的延长线上，∠OEF 的角平分线与∠AOF 的角平分线相交于点P，∠AOF 的角 平分线所在的直线与∠OEG 的角平分线相交于点Q，若△PEQ 的某一个内角是∠P 的2 倍；请直接写出 ∠OFE 的度数． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理计算出∠OEF+∠OFE 的值，根据角平分线的定义计算出∠PEF+ ∠PFE，进而得到∠EPF； 16 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）先表示出∠DFE，结合角平分线和平角表示出∠PFE 和∠PEF，再根据三角形的内角和定理计算出 ∠P； （3）设∠OFE＝β，同理（2）可知，∠𝑃= 1 2 𝛽，容易计算出∠PEQ＝90°，则∠𝑄= 90° −1 2 𝛽，分为∠PEQ ＝2∠P 和∠Q＝2∠P 两类讨论，列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠BOD＝120°， 由题意可得：∠𝑃𝐸𝐹= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹，∠𝑃𝐹𝐸= 1 2 ∠𝑂𝐹𝐸， ∴∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹+ 1 2 ∠𝑂𝐹𝐸= 1 2 (∠𝑂𝐸𝐹+ ∠𝑂𝐹𝐸) = 60°， ∴∠EPF＝180°﹣（PEF+∠PFE）＝120°； （2）∵∠OFE＝180°﹣∠BOD﹣∠OEF， 又∵∠DFE＝180°﹣∠OFE， ∴∠DFE＝∠BOD+∠OEF＝α+∠OEF， ∵FG 平分∠DFE， ∴∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐷𝐹𝐸= 1 2 𝛼+ 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹， ∴∠𝑃𝐹𝐸= 180° −∠𝐸𝐹𝐺= 180° −1 2 𝛼−1 2 ∠𝑂𝐸𝐹， ∵EP 平分∠OEF， ∴∠𝑃𝐸𝐹= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹， ∴∠𝑃𝐹𝐸+ ∠𝑃𝐸𝐹= 180° −1 2 𝛼， ∴∠𝑃= 180° −(∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸) = 1 2 𝛼． （3）∠OEF 的角平分线与∠AOF 的角平分线相交于点P，∠AOF 的角平分线所在的直线与∠OEG 的角 平分线相交于点Q， 设∠OFE＝β， 同理（2）可得，∠𝑃= 1 2 𝛽， ∵EP 平分∠OEF，EQ 平分∠OEG， ∴∠𝑂𝐸𝑃= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹，∠𝑂𝐸𝑄= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐺， ∵∠OEF+∠OEG＝180°， ∴∠𝑂𝐸𝑃+ ∠𝑂𝐸𝑄= 1 2 (∠𝑂𝐸𝐹+ ∠𝑂𝐸𝐺) = 90°，即∠PEQ＝90°， ∴∠𝑄= 180° −∠𝑃−∠𝑃𝐸𝑄= 90° −1 2 𝛽， ①当∠PEQ＝2∠P 时， ∴2 ⋅1 2 𝛽= 90°，解得β＝90°； 17 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②当∠Q＝2∠P 时， ∴90° −1 2 𝛽= 2 ⋅1 2 𝛽，解得β＝60°； 综上所述，∠OFE 的度数为60°或90°． ▌题型04 两外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，△ABC 的外角平分线BO, CO 相交于点O,求∠O 与∠A 之间的关系 解：∵BO、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC、∠ECB 的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°- 2 1 ∠A． 【典例1】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与 ∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2 中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有 怎样的关系？请说明理由． 18 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）探究3：如图3 中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 又 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ∠𝐵𝑂𝐶= 90° −1 2 ∠𝐴 ． 【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得∠1 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵∠1 + ∠2 = 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)， 再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线得出∠1 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷，再由三角形的外角的性质得出，∠2 = 1 2 ∠𝐴+ ∠1， 再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）首先根据三角形的外角性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的定 义，可得∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐸，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：（1）∠𝐵𝑂𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐴， 理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的角平分线， ∴∠1 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠1 + ∠2 = 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠1 + ∠2 = 1 2 (180° −∠𝐴) = 90° −1 2 ∠𝐴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）= 180° −(90° −1 2 ∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴； （2）∠𝐵𝑂𝐶= 1 2 ∠𝐴， 理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 与外角∠ACD 的角平分线， ∴∠1 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷， 又∵∠ACD 是△ABC 的一外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴∠2 = 1 2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 1 2 ∠𝐴+ ∠1， ∵∠2 是△BOC 的一外角， ∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠2 −∠1 = (1 2 ∠𝐴+ ∠1) −∠1 = 1 2 ∠𝐴； （3）结论：∠𝐵𝑂𝐶= 90° −1 2 ∠𝐴． 根据三角形的外角性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∵O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 (∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸) = 1 2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， 19 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 90° + 1 2 ∠𝐴， ∴在△OBC 中，∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −(90° + 1 2 ∠𝐴) = 90° −1 2 ∠𝐴， 故答案为：∠𝐵𝑂𝐶= 90° −1 2 ∠𝐴． 【变式1-1】（2026 春•北京期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲 广场△ABC 上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平 分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支 持． （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，两条角平分 线交于点P，求∠BPC 的度数； （2）如图2，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D，若∠BDC＝40°，求∠A 的度数． 【分析】（1）由BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，得∠CBP= 1 2∠ABC ＝40°，∠BCP= 1 2∠ACB＝25°，则∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝115°． （2）由∠CBE 和∠BCF 是△ABC 的外角，得∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF），由BD 平分∠ CBE，CD 平分∠BCF，得∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD，则∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD）， 由∠BDC＝40°，求得∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°，则∠CBE+∠BCF＝280°，所以∠ABC+ ∠ACB＝80°，求得∠A＝100°． 【解答】解：（1）∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠ABP＝∠CBP= 1 2∠ABC＝40°，∠ACP＝∠BCP= 1 2∠ACB＝25°， ∵在△BPC 中，∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣40°﹣25°＝115°， ∴∠BPC 的度数是115°． （2）∵∠CBE 和∠BCF 是△ABC 的外角， 20 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠BCF+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠BCF+∠ACB＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）， ∵BD 平分∠CBE，CD 平分∠BCF， ∴∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD， ∴∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD）， ∵∠BDC＝40°， ∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°， ∴∠CBE+∠BCF＝2×140°＝280°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣280°＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°， ∴∠A 的度数是100°． 【变式1-2】在△ABC 中， （1）如图①所示，如果∠A＝60°，∠ABC 和么ACB 的平分线相交于点P，那么∠BPC＝ 120° ； （2）如图②所示，∠ABC 和∠ACD 的平分线相交于点P，试说明∠BPC= 1 2∠A； （3）如图③所示，∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点P，猜想∠BPC 与∠A 的关系并证明你的猜想. 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，再利用三角形的内角和定理 计算可求解； （2）根据角平分线的定义可得∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCD= 1 2∠ACD，再利用三角形外角的性质进行证明； （3）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理及其推论进行证明． 【解答】解：（1）∵BP、CP 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB． ∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC）， ∴∠A＝﹣180°+2∠BPC， 21 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴2∠BPC＝180°+∠A， ∴∠BPC＝90°+ 1 2∠A＝90°+ 1 2 ×60°＝120°， 故答案为：120°； （2）∵BP 是∠ABC 的角平分线， ∴∠PBC= 1 2∠ABC． 又∵CP 是∠ACD 的平分线， ∴∠PCD= 1 2∠ACD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC， ∴∠BPC= 1 2∠A； （3）90°−1 2∠A． 证明：∵BP、CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线， ∴∠CBP= 1 2∠CBD，∠BCP= 1 2∠BCE， ∴∠CBP+∠BCP = 1 2∠CBD+ 1 2∠BCE = 1 2（∠CBD+∠BCE） = 1 2（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） = 1 2（180°+∠A）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°−1 2（180°+∠A） ＝90°−1 2∠A． 【变式1-3】（2026 春•朝阳区校级期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与 第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝ 121° ； （2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E，其中∠A＝58°， 22 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求∠BEC 的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求 ∠BQC＝ 90°−1 2α （用α 表示）； （4）如图4，△ABC 外角∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ 的平分线交于点P，则延 长BC 至点E，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R，则∠R 与∠BPC 的数量关系为 ∠BPC﹣∠ R＝90° ． 【分析】（1）由∠A＝62°，求得∠ABC+∠ACB＝118°，因为∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB，所 以∠PBC+∠PCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）＝59°，则∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°，于是得 到问题的答案． （2）由∠A＝58°，得∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°，因为∠BCE= 1 2∠ACB，∠DBE= 1 2∠ABD，所以∠ BEC＝∠DBE﹣∠BCE= 1 2（∠ABD﹣∠ACB）＝29°． （3）由∠QBC= 1 2∠CBM= 1 2（180°﹣∠ABC），∠QCB= 1 2∠BCN= 1 2（180°﹣∠ACB），得∠QBC+∠ QCB＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB），则∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）= 1 2（∠ABC+∠ACB），而 ∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α，所以∠BQC＝90°−1 2α，于是得到问题的答案． （4）因为点E 在BC 的延长线上，所以∠BCQ+∠ECQ＝180°，由∠PCQ= 1 2∠BCQ，∠RCQ= 1 2∠ECQ， 得∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ= 1 2（∠BCQ+∠ECQ）＝90°，所以∠CPR＝90°﹣∠R，由∠BPC+90°﹣∠ R＝180°，得∠BPC﹣∠R＝90°，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝118°， ∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P， ∴∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）＝59°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°， 故答案为：121°． （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，且∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°， ∵△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E， ∴∠BCE= 1 2∠ACB，∠DBE= 1 2∠ABD， ∵∠DBE＝∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE= 1 2（∠ABD﹣∠ACB）＝29°， 23 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BEC 的度数为29°． （3）∵∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q， ∴∠QBC= 1 2∠CBM= 1 2（180°﹣∠ABC），∠QCB= 1 2∠BCN= 1 2（180°﹣∠ACB）， ∴∠QBC+∠QCB= 1 2（180°﹣∠ABC）+ 1 2（180°﹣∠ACB）＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣[180°−1 2（∠ABC+∠ACB）]= 1 2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α， ∴∠BQC= 1 2（180°﹣∠A）＝90°−1 2α， 故答案为：90°−1 2α． （4）∵点E 在BC 的延长线上， ∴∠BCQ+∠ECQ＝180°， ∵CP 平分∠BCQ，CR 平分∠ECQ， ∴∠PCQ= 1 2∠BCQ，∠RCQ= 1 2∠ECQ， ∴∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ= 1 2（∠BCQ+∠ECQ）＝90°， ∴∠CPR＝90°﹣∠R， ∵点R 在BP 的延长线上， ∴∠BPC+∠CPR＝180°， ∴∠BPC+90°﹣∠R＝180°， ∴∠BPC﹣∠R＝90°， 故答案为：∠BPC﹣∠R＝90°． ▌题型05 规形图（飞镖模型） 如图，探究∠BDC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系 解：过点A、D 作射线AF， 24 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C 【典例1】（2026 春•青浦区校级期中）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样 的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C， 若∠A＝36°，直接写出∠ABX+∠ACX 的结果； ②如图3，DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB，若∠A＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数． 【分析】（1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①先根据三角尺可知：∠X＝90°，根据（1）的结论可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°，从 而得结论； ②先根据（1）的结论可得：∠ADB+∠AEB 的度数，由角平分线可得：∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶= 1 2 (∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) = 45°，从而得结论． 【解答】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是： 25 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点A、D 作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）∵∠BXC＝90°， 由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°， ∵∠A＝36°， ∴∠ABX+∠ACX＝54°； ②∵∠A＝40°，∠DBE＝130°， ∴∠ADB+∠AEB＝130°﹣40°＝90°， ∵DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐸𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐸𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶= 1 2 (∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) = 45°， ∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°． 【变式1-1】（2026 春•洛宁县期末）探究与发现： 如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个 简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，直接写出∠BPC 与∠A 之间存在的等量关系为： ∠BPC＝90°+ 1 2∠A ． 迁移运用：如图3：在△ABC 中，∠A＝80°，点O 是∠ABC，∠ACB 角平分线的交点，点P 是∠BOC， ∠OCB 角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB 的度数 60° ． ②如图4：若D 点是△ABC 内任意一点，BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠ A 之间存在的等量关系为 2∠BPC＝∠BDC+∠A ． 26 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）首先连接AP 并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明即可； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，由∠P＝100°，推出x+y＝80°，推出2x+2y＝ 160°，推出∠OBC＝180°﹣160°＝20°，可得∠ABC＝40°，由此即可解决问题； ②根据角平分线的定义和四边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，连接AP 并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP， 又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①结论：∠BPC＝90°+ 1 2∠A． 理由：∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB， ∴∠BPC＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB）＝180°−1 2（180°﹣∠A）＝90°+ 1 2∠A； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO 平分∠ABC， ∴∠ABC＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 27 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：∠BPC＝90°+ 1 2∠A，60°； ②∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC 中，∠P+ 1 2∠ABD+ 1 2∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴ 1 2∠ABD+ 1 2∠ACD＝∠D﹣∠P， 在四边形ABPC 中，∠A+ 1 2∠ABD+ 1 2∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠BPC＝∠BDC+∠A． 故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A． 【变式1-2】（2025 春•长春期末）【问题呈现】如图①，四边形ABCD 形似“飞镖”，我们形象地称它为 “飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之 和，即∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 【探究推理】方法一：如图②，连结BC． ∵在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°． 又∵在△BDC 中，∠2+∠4+∠BDC＝180°， ∴∠2+∠4＝180°﹣∠BDC， ∴∠A+∠1+∠3+180°﹣∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝∠A+∠1+∠3． 即∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD． 方法二：如图③，连结AD 并延长至F． ∵∠3 与∠4 分别为△ABD 和△ACD 的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 三角形的内角和等于180° ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D 的大小保 持不变．为了舒适，需调整∠E 的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E 应 减少 （填“增加”或“减 少”）的大小为 10 度． 28 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再结合三角形的内角和定理， 可以得到∠1+∠2+∠C＝180°，即可得到答案； （4）延长EF，交CD 于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由 三角形内角和定理的推论得到∠DGF 的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D 的度 数，从而得出结论． 【解答】解：（1）三角形的内角和等于 180°， 故答案为：三角形的内角和等于 180°； （2）∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠2+∠C， ∴∠3+∠4＝∠B+∠1+∠2+∠C， ∵∠3+∠4＝∠BDC，∠1+∠2＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （3）如图，延长BE 交AC 于点F， ∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠2+∠C+∠1＝180°， 故答案为：180°； （4）延长EF，交CD 于点G，如图： 29 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠EFD＝110°， ∴∠DFG＝70°， ∴∠EGF＝∠D+∠DFG＝90°， ∴∠E＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 而图中∠E＝30°， ∴∠E 应减少10°． 故答案为：减少，10． 【变式1-3】（2025 春•香坊区期末）如图，在平面内有∠BAC＝40°，点D 在平面上，连接BD、CD． （1）如图1，试判断∠BDC 与∠DBA、∠DCA 之间的等量关系，并说明理由． （2）如图2，直接写出∠BDC 与∠DBA、∠DCA 之间的等量关系 ∠BDC+∠DBA+∠DCA＝320° ． （3）如图3，当点D 在AC 右侧时，∠D＝16°，点E 在∠ABD 内部，BE 平分∠ABD，延长DC 至F， 过A 作AG⊥CD 于G，∠FCE＝45°+ 1 2∠CAG，求∠BEC 的度数． 【分析】（1）延长BD 交AC 于点M，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据四边形的内角和定理即可得到结论； （3）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∠BDC＝∠ABD+40°+∠C， 理由：延长BD 交AC 于点M， ∵∠BDC 是△DCM 的外角， ∴∠BDC＝∠DMC+∠C； 30 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠BMC 是△ABM 的外角， ∴∠DMC＝∠ABD+∠A； ∴∠BDC＝∠DMC+∠C＝∠ABD+40°+∠C； （2）∵∠A+∠ABD+∠BDC+∠C＝360°， ∴∠DBA+∠BDC+∠DCA＝360°﹣40°＝320°， 故答案为：∠BDC+∠DBA+∠DCA＝320°； （3）设∠CAG＝2α， ∵AG⊥CD， ∴∠AGC＝∠AGD＝90°， ∴∠ACG＝90﹣2α， 设线段AG 与BD 交于点P，∠D＝16°， ∴∠APB＝∠DPG＝90°﹣16°＝74°， ∴∠BAP＝∠BAC+∠CAG＝40°+2α； 在△ABP 中，∠BAP+∠ABP+∠APB＝180°， ∴∠ABP＝180°﹣（40°+2α）﹣74°＝66°﹣2α， ∵BE 平分∠ABD， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐷= 33° −𝛼， ∵∠FCE＝45°−1 2∠CAG＝45°﹣α， ∴∠ACE＝180﹣∠FCE﹣∠ACG＝180°﹣（45°﹣α）﹣（90﹣2α）＝45°+3α， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE+∠ACE＝40°+33°﹣α+45°+3α＝118°． ▌题型06 “8”字模型（X 型图） 如图，AD，BC 相交于点O，连接AB，CD．求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． 31 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换） 【典例1】（2025 秋•四平月考）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图②，AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P 的度数； 【问题探究】 （3）如图③，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ ADC＝29°，请直接写出∠P 的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）结合（1）的结论得到∠OCD﹣∠OAB＝20°，由角平分线的定义得到∠4﹣∠1＝10°，再根据（1） 的结论列式求解即可； （3）如图所示，作∠BAD，∠BCD 的角平分线交于点M，AM，CP 交于点N，在PA 延长线上取一点K， 则AK 平分∠FAD，结合（1），（2）的计算即可求解． 【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°， 根据（1）可知，∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC， ∵∠ABC＝∠OBA＝35°，∠ADC＝∠ODC＝15°， ∴∠OAB+35°＝∠OCD+15°， 32 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠OCD﹣∠OAB＝20°， ∵AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1 = ∠2 = 1 2 ∠𝑂𝐴𝐵，∠3 = ∠4 = 1 2 ∠𝑂𝐶𝐷， ∴∠OCD﹣∠OAB＝2∠4﹣2∠1＝20°，即∠3﹣∠1＝10°， ∵∠1+∠P＝∠4+∠D， ∴∠P＝∠4﹣∠1+∠D＝10°+15°＝25°； （3）直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°， 如图所示，作∠BAD，∠BCD 的角平分线交于点M，AM，CP 交于点N，在PA 延长线上取一点K，则AK 平分∠FAD， 由（1）的计算得到∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC，即∠OAB+35°＝∠OCD+29°， ∴∠OCD﹣∠OAB＝6°， ∴∠𝑀= 1 2 (∠𝑂𝐶𝐷−∠𝑂𝐴𝐵) + ∠𝐷= 1 2 × 6° + 29° = 32°， ∵∠BAD+∠FAD＝180°，AK 平分∠FAD，AM 平分∠BAD， ∴∠𝐾𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝑀= 1 2 (∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷) = 90°，即MA⊥PK， ∴∠MAP＝90°， 同理，∠MCP＝90°， ∴∠NAP＝∠NCP＝90°， ∵∠NAP+∠NPA＝∠NCM+∠NMC， ∴∠P＝∠M＝32°． 【变式1-1】（2025 秋•荣昌区校级期中）如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝32°，∠D＝28°， 求∠P 的度数． 【分析】利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”列式子求解即可． 33 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：设AP 与BC 交于K， ∵在△ACK 与△BPK 中，∠AKC＝∠PKB（对顶角相等）， ∴∠P+∠3＝∠1+∠C，即∠P＝∠1﹣∠3+∠C，① 设AD 与BP 交于F， 同理有∠P＝∠4﹣∠2+∠D，② ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴①+②得，2∠P＝∠C+∠D＝32°+28°＝60°， ∴∠P＝30°． 【变式1-2】（2025 春•张店区期中）如图1，已知线段AB、CD 相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如 这样的图形称为“8 字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P，与CD、AB 分别相交于点M、N． ①以线段AC 为边的“8 字型”有 3 个，以点O 为交点的“8 字型”有 4 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P 的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P 与∠B、∠C 之间存 在的数量关系，并证明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①以线段AC 为边的”8 字型“有3 个，以点O 为交点的”8 字型“有4 个； ②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再由”8 字型“得到∠CAP+∠C＝∠CDP+ ∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P= 1 2（∠C+∠B），最后 把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可； ③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C． 【解答】解：（1）证明：在图1 中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； 34 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：①3；4； 故答案为：3，4； ②以M 为交点”8 字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N 为交点”8 字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P= 1 2（∠B+∠C）= 1 2（100°+120°）＝110°； ③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP， ∴∠BAP= 2 3∠CAB，∠BDP= 2 3∠CDB， 以M 为交点”8 字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N 为交点”8 字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP= 1 3（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP= 2 3（∠CDB﹣∠CAB）． ∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B． ∴3∠P＝∠B+2∠C． 【变式1-3】试解答下列问题： （1）在图1 我们称之为“8 字形”，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠ C+∠B ； （2）仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数是 6 个； （3）在图2 中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P，并且与 CD、AB 分别相交于M、N．试求∠P 的度数是 38° ． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）根据“8 字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8 字形”共有6 个； （3）先根据“8 字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②， 35 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而 求出∠P 的度数； 【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）①线段AB、CD 相交于点O，形成“8 字形”； ②线段AN、CM 相交于点O，形成“8 字形”； ③线段AB、CP 相交于点N，形成“8 字形”； ④线段AB、CM 相交于点O，形成“8 字形”； ⑤线段AP、CD 相交于点M，形成“8 字形”； ⑥线段AN、CD 相交于点O，形成“8 字形”； 故“8 字形”共有6 个； 故答案为：6； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， 又∵∠D＝40 度，∠B＝36 度， ∴2∠P＝40°+36°， ∴∠P＝38°； 故答案为38°． ▌题型07 折角模型 36 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如图，D、E 是△ABC 边AB、AC 上的点，将△ADE 沿DE 翻折至△FDE，若点F 在△ABC 内部，证明： ∠1+∠2=2∠A． 证明：由翻折性质得：∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED， ∴∠ADF=2∠ADE，∠AEF=2∠AED， ∴∠ADF+∠AEF=2（∠ADE+∠AED）， ∵∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180° −∠𝐴， ∴∠ADF+∠AEF=2（180°-∠A）=360°-2∠A， 又∵∠ADF=180°-∠1，∠AEF=180°-∠2， ∴∠ADF+∠AEF=360°-（∠1+∠2）， ∴360°-（∠1+∠2）=360°-2∠A， 即∠1+∠2=2∠A 【典例1】阅读材料，并回答下列问题： 如图1，以AB 为轴，把△ABC 翻折180°，可以变换到△ABD 的位置； 如图2，把△ABC 沿射线AC 平移，可以变换到△DEF 的位置． 像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状 大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里几个学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论． （1）如图2，前进小组把△ABC 沿射线AC 平移到△DEF，若AF＝7，DC＝3，则平移的距离为 2 ； （2）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点 A′的位置，且得出一个结论：∠1+∠2＝2∠DA′E．请你对这个结论给出证明； （3）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部点A′ 的位置，那么此时（2）中的结论：∠1+∠2＝2∠DA′E 还仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立， 写出正确结论并证明． 37 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）依据题意可知AD＝CF＝平移距离，进而容易得解； （2）由题意易得∠A′DE= 1 2（180°﹣∠1），∠A′ED= 1 2（180°﹣∠2），进而利用三角形内角和推 导即可； （3）参考（2）思路求证即可． 【解答】（1）解：∵AF＝7，CD＝3， ∴AD+CF＝AF﹣CD＝4， ∵AD＝CF＝平移距离， ∴AD＝CF＝2， 故答案为：2； （2）证明：方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE= 1 2（180°﹣∠1），∠A′ED= 1 2（180°﹣∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E+ 1 2（180°﹣∠1）+ 1 2（180°﹣∠2）＝180°， ∴∠DA′E= 1 2∠1+ 1 2∠2， ∴∠1+∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E ∵∠1，∠2 分别是△A′AD 和△A′AE 的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1+∠2 ＝∠DA′A+∠DAA′+∠EA′A+∠EAA′ ＝（∠DA′A+∠EA′A）+（∠DAA′+∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE 38 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ＝2∠DA′E， （3）解：不成立，正确结论是∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 证明如下： 方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE= 1 2（180°﹣∠1），∠A′ED= 1 2（180°+∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E+ 1 2（180°﹣∠1）+ 1 2（180°+∠2）＝180°， ∴∠DA′E= 1 2∠1−1 2∠2， ∴∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E， ∵∠1，∠2 分别是△A′AD 和△A′AE 的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1﹣∠2＝∠DA′A+∠DAA′﹣（∠EA′A+∠EAA′） ＝（∠DA′A﹣∠EA′A）+（∠DAA′﹣∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E． 【变式1-1】如图1，一张三角形ABC 纸片，点D，E 分别是△ABC 边上两点． 研究（1）：如果沿直线DE 折叠，使点A 落在CE 上的点A'处，则∠BDA'与∠A 的数量关系是 ∠BDA′ ＝2∠A ； 研究（1）：如果折成图2 的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A 的数量关系是 ∠BDA′+∠CEA′＝2∠ A ； 39 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 研究（3）：如果折成图3 的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A 的数量关系是什么，并说明理由． 【分析】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1 中DE 为折痕，有∠A＝∠DA′A，再利用 外角的性质可得结论∠BDA′＝2∠A； 研究（2）：图2 中∠A 与∠DA′E 是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′ +∠CEA′＝2∠A； 研究（3）：图3 中由于折叠∠A 与∠DA′E 是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：（1）∠BDA′与∠A 的数量关系是∠BDA′＝2∠A； 故答案为：∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A， 理由：在四边形ADA′E 中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°， ∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA， ∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°， ∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA， ∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E， ∵△A′DE 是由△ADE 沿直线DE 折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； 故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； （3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 理由：DA′交AC 于点F， ∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′， ∵△A′DE 是由△ADE 沿直线DE 折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 【变式1-2】阅读与思考 有趣的翻折 在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目． 40 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如图1，将△ABC 中的∠C 向△ABC 内部折叠落在∠C′处，若∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C 的 度数． 下面是琳琳同学的解答过程： ∵∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°， ∴∠CEC'＝180°﹣∠BEC'＝138°， ∠CDC'＝180°﹣∠ADC'＝160°． 由折叠得∠DEC＝∠DEC'= 1 2 ×138°＝69°， … 任务：（1）请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整． （2）如图2，将△ABC 中的∠C 向△ABC 外部折叠落在∠C'处，若∠BEC′＝70°，∠ADC′＝20°， 求∠C 的度数． 【分析】（1）先根据补角的定义得出∠CEC′及∠CDC′的度数，根据翻折变换的性质得出∠DEC 和∠ CDE 的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论； （2）根据题意得出∠CEC′及∠CDE 的度数，再由翻折变换的性质得出∠CED 的度数，由三角形内角和 定理即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°， ∴∠CEC'＝180°﹣∠BEC'＝138°， ∠CDC'＝180°﹣∠ADC'＝160°． 由折叠得∠DEC＝∠DEC'= 1 2 ×138°＝69°，∠CDE＝∠C′DE= 1 2 ×160°＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠CDE＝180°﹣69°﹣80°＝31°； （2）∵∠BEC′＝70°，∠ADC'＝20°， ∴∠CEC′＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CED= 110° 2 =55°，∠CDE= 180°+20° 2 =100°， ∴∠C＝180°﹣55°﹣100°＝25°． 【变式1-3】将△ABC 的∠C 折起，翻折后角的顶点位置记作C'． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）当C'落在AC 上时（如图1），可得∠1 与∠2 的关系为 ∠1＝2∠2 ； （2）当C'点落在CA 和CB 之间（如图2）时，探究∠1、∠2、∠3 之间的关系，并说明理由； （3）当C'落在CB，CA 的同旁（如图3）时，直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系． 【分析】（1）当点C'落在AC 上时，由折叠的性质可知：∠C＝∠2，再由三角形的外角定理得∠1＝∠ C+∠2＝2∠2，由此可得∠1 与∠2 的关系； （2）当C'点落在CA 和CB 之间时，连接CC'，由三角形的外角定理得：∠1＝∠DCC'+∠DC'C，∠3＝∠ ECC'+∠EC'C，即∠1+∠3＝∠DCE+∠DC'E，再由折叠的性质可知：∠DCE+∠DC'E＝∠2，由此可得∠ 1 与∠2 的关系； （3）当C'落在CB，CA 的同旁时，设C'D 与AC 交于点H，由三角形的外角定理得∠EHD＝∠2+∠3， ∠1＝∠C+∠EHD，进而得∠1＝∠C+∠2+∠3，再由折叠的性质可知：∠C＝∠2，由此可得∠1 与∠2 的 关系． 【解答】解：（1）当点C'落在AC 上时，如图1 所示： 由折叠的性质可知：∠C＝∠2， 由三角形的外角定理得：∠1＝∠C+∠2＝2∠2； 故答案为：∠1＝2∠2． （2）当C'点落在CA 和CB 之间时，连接CC'，如图2 所示： 则∠1、∠2、∠3 之间的关系是：∠1+∠3＝2∠2，理由如下： 由三角形的外角定理得：∠1＝∠DCC'+∠DC'C，∠3＝∠ECC'+∠EC'C， ∴∠1+∠3＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C， 即∠1+∠3＝∠DCE+∠DC'E， 由折叠的性质可知：∠DCE+∠DC'E＝∠2， 42 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1+∠3＝2∠2； （3）当C'落在CB，CA 的同旁时，设C'D 与AC 交于点H，如图3 所示： 则∠1、∠2、∠3 之间的关系是：∠1＝2∠2+∠3，理由如下： ∵∠EHD 是△C'HE 的一个外角， ∴∠EHD＝∠2+∠3， ∵∠1 是△CHD 的一个外角， ∴∠1＝∠C+∠EHD， 即∠1＝∠C+∠2+∠3， 由折叠的性质可知：∠C＝∠2， ∴∠1＝2∠2+∠3
