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专题08 角平分线的性质
（题型突破·举一反三）
题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离
题型02 利用角平分线的性质求面积
题型03 利用角平分线的性质求线段长
题型04 利用角平分线的性质确定位置
题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线
题型06 周长与面积之间的联系（等面积法）
题型07 尺规作图（角平分线）
题型08 角平分线的性质与全等三角形结合
题型09 利用角平分线的性质作辅助线
题型10 利用角平分线的性质进行证明
题型11 角平分线与截长法
▌题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离
1. 角平分线上的任意一点，到角两边的垂线段长度相等。
几何语言：
∵ OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB
∴ PC=PD
2. 解题步骤
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①识别角平分线
找到平分角的射线，确定角的两条边。
②作两条垂线段
过角平分线上的点，分别向角的两边作垂线，标出直角。
③等量代换
两条垂线段长度相等，已知一条就能求另一条。
④代入数值计算
【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，若CD＝3，则点
D 到AB 的距离为（ ）
A．4
B．3.5
C．3.2
D．3
【分析】作DF⊥AB 于点F，由AD 平分∠BAC，DF⊥AB 于点F，CD⊥AC 于点C，根据角平分线的性
质得DF＝CD＝3，则点D 到AB 的距离为3，于是得到问题的答案．
【解答】解：作DF⊥AB 于点F，
∵∠C＝90°，∴CD⊥AC 于点C，
∵AD 平分∠BAC，DF⊥AB 于点F，CD⊥AC 于点C，
∴DF＝CD＝3，
∴点D 到AB 的距离为3，
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•即墨区期末）如图，BM 是∠ABC 的平分线，点D 是BM 上一点，点P 为直线BC 上
的一个动点．若△ABD 的面积为10，AB＝5，则线段DP 的长不可能是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．5.5
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【分析】过D 作DG⊥AB 于G，DH⊥BC 于H，由角平分线的性质推出DH＝DG，由三角形的面积公式
求出DG＝4，由垂线段最短得到DP≥DH，于是得到答案．
【解答】解：过D 作DG⊥AB 于G，DH⊥BC 于H，
∵BM 是∠ABC 的平分线，
∴DH＝DG，
∵△ABD 的面积= 1
2AB•DG＝10，AB＝5，
∴DG＝4，
∴DH＝4，
∵DP≥DH，
∴线段DP 的长不可能是3．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•龙岗区期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于
点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB 的长是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝2.8，由三角形的面积公式得到
1
2（AB+AC）•DE＝16.8，即可
求出AB 的长．
【解答】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，
∴DF＝DE＝2.8，
∵△ABD 的面积+△ACD 的面积＝△ABC 的面积，
∴
1
2AB•DE+ 1
2AC•DF= 1
2（AB+AC）•DE＝16.8，
∵DE＝2.8，AC＝5，
∴AB＝7．
故选：B．
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【变式1-3】（2025 秋•张家川县期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，
DE＝2，AB＝5，则AC 长为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】过点D 作DF⊥AC 于F，然后利用△ABC 的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D 作DF⊥AC 于F，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9，
∴
1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+
1
2 𝐴𝐶× 𝐷𝐹= 9，
∵AB＝5，
∴
1
2 × 5 × 2 +
1
2 𝐴𝐶× 2 = 9，
∴AC＝4，
故选：B．
▌题型02 利用角平分线的性质求面积
角平分线上任意一点，到角两边的距离相等。
求面积关键：用这条相等的垂线段作高，结合底算面积。
已知：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，则𝐷𝐸= 𝐷𝐹= ℎ，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐴𝐵∙ℎ+
1
2 𝐴𝐶∙ℎ=
1
2 ℎ(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)
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【典例1】（2026 春•新城区期末）如图，BD 为∠ABC 的角平分线，DE⊥BC 于点E，AB＝5，DE＝2，则
△ABD 的面积是（ ）
A．5
B．7
C．7.5
D．10
【分析】过D 点作DH⊥AB 于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，然后根据三角形面积公
式计算．
【解答】解：过D 点作DH⊥AB 于H，如图，
∵BD 为∠ABC 的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
∴S△ABD= 1
2 ×5×2＝5．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•南海区校级期中）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝8，CD＝
3，则△ABD 的面积是（ ）
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A．12
B．14
C．16
D．18
【分析】作DE⊥AB 于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB 于点E，如图，
由条件可知CD＝DE＝3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2 × 𝐴𝐵× 𝐷𝐸= 1
2 × 8 × 3 = 12．
故选：A．
【变式1-2】（2026•海州区二模）如图，在△ABC 中，𝐵𝐶= 3
2 𝐴𝐵，∠ABC 的平分线BD 交AC 边于点D．若
△ABC 的面积为25，则△BCD 的面积是（ ）
A．6
B．9
C．10
D．15
【分析】因为BD 是∠ABC 的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点D 到AB、BC 的距离相等，
即△ABD 和△BCD 的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底AB 和BC 的长度比，结
合已知BC 与AB 的比例，可得到△ABD 和△BCD 的面积比；因为△ABC 的面积是△ABD 和△ABD 的面
积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出△BCD 的面积．
【解答】解：过点D 作DE⊥AB，DF⊥BC，
∵BD 平分∠ABC，
∴DE＝DF（角平分线的性质），
∵𝐵𝐶= 3
2 𝐴𝐵，
即
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
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∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐵𝐶𝐷
=
1
2×𝐴𝐵×𝐷𝐸
1
2×𝐵𝐶×𝐷𝐹=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2
3 𝑆△𝐵𝐶𝐷，
又∵△ABC 的总面积25，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝25，
∴
2
3 𝑆△𝐵𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 25，
解得S△BCD＝15，
则△BCD 的面积是15，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•闵行区校级月考）如图，在△ABC 中，BC＞BA，在BC 上截取BD＝BA，作∠ABC
的平分线与AD 相交于点P，连接PC．若△ABC 的面积为4，则△BPC 的面积为（ ）
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
【分析】利用全等三角形的性质和三角形中线平分其面积的性质，可推出△BPC 的面积是△ABC 面积的
一半．
【解答】解：∵BP 平分∠ABD，
∴∠ABP=∠DBP，
∵BD＝BA，PB=PB，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐷𝐵𝑃（SAS），
∴AP=PD，
∴BP 为△ABD 的中线，P 为AD 中点，
∴CP 为△CAD 的中线，
∵S△ABC＝4，
∴𝑆△𝐵𝑃𝐷= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷，𝑆△𝐶𝑃𝐷= 1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∵S△BPC＝S△BPD+S△CPD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴𝑆△𝐵𝑃𝐷+ 𝑆△𝐶𝑃𝐷= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐷，即𝑆△𝐵𝑃𝐶= 1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐵𝑃𝐶= 1
2 × 4 = 2．
故选：D．
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▌题型03 利用角平分线的性质求线段长
1. 过角平分线上的点，向角两边作垂直；
2. 写出两条垂线段相等；
3. 结合面积、全等列等式；
4. 解方程求出目标线段。
【典例1】（2026 春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于点E，△ABC 的面
积为28，DE＝4，BC＝9，则AC 的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】过点D 作DF⊥AC 于点F，利用角平分线的性质得出DF＝DE＝4，再根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD
即可求解．
【解答】解：过点D 作DF⊥AC 于点F，
∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DE＝4，
∴DF＝DE＝4（角平分线的性质），
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷+ 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 1
2 × 4𝐴𝐶+ 1
2 × 4𝐵𝐶，
∵S△ABC＝28，BC＝9，
∴28＝2AC+18，
解得AC＝5，
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•温江区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于
点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE 等于（ ）
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A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【分析】直接利用角平分线的性质得出EC＝DE，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴CE⊥BC，
∵BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于点D，AC＝3cm，
∴EC＝DE，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝3cm．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•禅城区校级期中）如图，AB∥CD，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点P，
且与AB 垂直．若BC＝6 且△BCP 的面积为6，则AD 的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】作PE⊥BC 于点E，由BC＝6，S△BCP＝6，得S△BCP= 1
2 ×6PE＝6，求得PE＝2，由AB∥CD，
AD 过点P，AD⊥AB，得∠PDC＝180°﹣∠PAB＝90°，由BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，根据角
平分线的性质得PA＝PE＝2，PD＝PE＝2，则AD＝PA+PD＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：作PE⊥BC 于点E，
∵S△BCP= 1
2BC•PE，且BC＝6，S△BCP＝6，
∴
1
2 ×6PE＝6，
∴PE＝2，
∵AB∥CD，AD 过点P，AD⊥AB，
∴∠PAB＝90°，
∴∠PDC＝180°﹣∠PAB＝90°，
∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，PA⊥BA 于点A，PE⊥BC 于点E，PD⊥CD 于点D，
∴PA＝PE＝2，PD＝PE＝2，
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∴AD＝PA+PD＝4，
故选：B．
【变式1-3】（2025 秋•安阳县期末）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于点E，S△ABC＝30，DE
＝4，BC＝10，则AC 的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】过点D 作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝4，然后利用面积法，进行
计算即可解答．
【解答】解：过点D 作DF⊥AC，垂足为F，
∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ABC＝30，BC＝10，
∴△ADC 的面积+△CDB 的面积＝30，
∴
1
2AC•DF+ 1
2BC•DE＝30，
∴
1
2AC•4+ 1
2 ×10×4＝30，
∴AC＝5，
故选：C．
▌题型04 利用角平分线的性质确定位置
角平分线上的点到角两边的距离相等，那么到三角形三边距离相等的点是三角形三个角平分线的交点。
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【典例1】（2026 春•榕城区期中）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一
个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（ ）
A．在边AC，BC 两条高的交点处
B．在边AC，BC 两条中线的交点处
C．在边AC，BC 两条垂直平分线的交点处
D．在∠ABC 和∠ACB 两条角平分线的交点处
【分析】根据角平分线的性质求解即可．
【解答】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等，
∴亭子中心就是△ABC 的三个内角的平分线的交点，
因此A、B、C 三个选项都不符合要求，
设∠ABC 和∠ACB 两条角平分线的交于点P，作PD⊥AB 于点E，PE⊥BC 于点E，PF⊥AC 于点F，如
图所示，
∵BP 平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE，
同理可得：PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
即点P 到三边的距离相等，
亭子应建在点P，因此，D 选项正确．
故选：D．
【变式1-1】（2026•奉贤区二模）已知点H 在△ABC 内，如果点H 到边AB、AC 的距离相等，且S△ABH＝
S△BCH，那么点H 的位置是（ ）
A．∠BAC 的角平分线与AC 边上中线的交点
B．∠BAC 的角平分线与AB 边上中线的交点
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C．∠ABC 的角平分线与AB 边上中线的交点
D．∠ABC 的角平分线与BC 边上中线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H 在∠BAC 的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得S△
ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE，然后利用等式的性质可得S△ABH＝S△CBH，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AD 平分∠BAC，点H 在AD 上，
∴点H 到AB、AC 的距离相等，
∵BE 是AC 边上的中线，
∴S△ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE，
∴S△ABE﹣S△AHE＝S△BCE﹣S△CHE，
∴S△ABH＝S△CBH，
∴点H 是∠BAC 的角平分线与AC 边上中线的交点，
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•宝山区校级期中）幸福小区的三个出口A，B，C 的位置如图所示．物业公司计划在
不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3 个出口的距离都相等以方便业主，
则充电桩应建在△ABC 的（ ）
A．3 条高的交点处
B．3 条中线的交点处
C．3 条边的垂直平分线的交点处
D．3 条角平分线的交点处
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答．
【解答】解：要使电动车充电桩到3 个出口的距离都相等，
那么充电桩应建在△ABC 的3 条边的垂直平分线的交点处，
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•市南区校级期末）一块三角形的草坪如图所示，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，
要使凉亭到草坪3 条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．△ABC 的3 条中线的交点
B．△ABC 的3 边垂直平分线的交点
C．△ABC 的3 条高所在直线的交点
D．△ABC 的3 条角平分线的交点
【分析】由角平分线的性质，即可得到答案．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应在△ABC3 条角平分线的交点．
故选：D．
▌题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线
作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。
作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
MN
2
1
的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于
Ｐ；
（3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
【典例1】（2025 秋•兴安盟期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画
弧，分别交AC、AB 于点M、N，再分别以点M、N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线P 交BC 于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD 的面积是（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
【分析】根据题意可知AP 为∠CAB 的平分线，由角平分线的性质得出CD＝DH，再由三角形的面积公
O
N
M
B
P
A
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式可得出结论．
【解答】解：由题意可知AP 为∠CAB 的平分线，过点D 作DH⊥AB 于点H，
∵∠C＝90°，CD＝5，
∴CD＝DH＝5（角平分线的性质）．
∵AB＝18，
∴根据三角形的面积公式得，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐻= 1
2 × 18 × 5 = 45，
则△ABD 的面积是45．
故选：B．
【变式1-1】（2025 秋•张北县期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3 条漫步小路，小路MN∥PQ，小路AB
与MN，PQ 均相交．若要在小路MN 上修建一个凉亭O，使其到小路AB，PQ 的距离相等，关于如图所
示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对
B．只有乙对
C．甲、乙均对
D．甲、乙均不对
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断．
【解答】解：甲方案：O 在AB 的垂直平分线上，O 到A、B 的距离相等，O 不一定到AB 和PQ 的距离相
等，
乙方案：OB 平分∠ABQ，由角平分线的性质定理得到O 到小路AB，PQ 的距离相等．
∴甲、乙两个方案，只有乙对．
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•惠州期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交AB，AC 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于
1
2 𝐸𝐹的长为半径画弧，两弧在∠BAC 内部交
于点P，作射线AP 交BC 于点D．若CD＝2，S△ABD＝7，则AB 的长为 7 ．
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【分析】过D 作DH⊥AB 于H，由角平分线的性质推出DH＝CD＝2，由三角形的面积公式得到S△ABD=
1
2AB•DH＝7，即可求出AB 的长．
【解答】解：过D 作DH⊥AB 于H，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
由题意知AD 平分∠BAC，
∴DH＝CD＝2，
∵S△ABD= 1
2AB•DH＝7，
∴AB＝7．
故答案为：7．
【变式1-3】（2026•大庆模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以点C 为圆心，以小于BC 的长为半
径画弧，分别交AC，BC 于点E，F；再分别以点E、F 为圆心，以大于
1
2EF 的长为半径画弧，两弧交于
点O，作射线CO 交AB 于点G．若BG＝3，AG＝4，H 为AC 上一动点，则GH 最短为 3 ．
【分析】过点G 作GH′⊥AC 于点H′，证明BG＝H′G＝3，由垂线段最短的含义可得答案．
【解答】解：如图，过点G 作GH′⊥AC 于点H′，
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由作图知CG 是∠ACB 的平分线，
∵∠B＝90°，BG＝3，
∴BG＝H′G＝3，
∴GH 最短为3，
故答案为：3．
▌题型06 周长与面积之间的联系（等面积法）
三角形三个内角平分线交于点𝑂，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑂𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，
则𝑂𝐷= 𝑂𝐸= 𝑂𝐹= ℎ，
则𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵+ 𝑆△𝐴𝑂𝐶+ 𝑆△𝐵𝑂𝐶=
1
2 𝐴𝐵∙ℎ+
1
2 𝐴𝐶∙ℎ+
1
2 𝐵𝐶∙ℎ=
1
2 ℎ(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶)，
即𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 ℎ∙𝐶△𝐴𝐵𝐶
【典例1】（2025 秋•金平区期末）如图，已知△ABC 的周长是48cm，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点
O，OD⊥BC 于点D，若OD＝3.5cm，则△ABC 的面积是（ ）cm2．
A．84
B．31.5
C．42
D．24
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【分析】过O 点作OE⊥AB 于点E，OF⊥AC 于点F，连接OA，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3.5，
OF＝OD＝3.5，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC 的面积．
【解答】解：过O 点作OE⊥AB 于点E，OF⊥AC 于点F，连接OA，如图，
∵OB 平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3.5，
同理可得OF＝OD＝3.5，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
= 1
2 ×OE×AB+ 1
2 ×OD×BC+ 1
2 ×OF×AC
= 1
2 ×3.5×（AB+BC+AC），
∵△ABC 的周长是48cm，
∴S△ABC= 1
2 ×3.5×48＝84（cm2）．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•高碑店市月考）如图，△ABC 的周长是20，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD
⊥BC 于点D，且OD＝3，则△ABC 的面积是（ ）
A．30
B．25
C．60
D．40
【分析】过点O 作OE⊥AB 于点E，OF⊥AC 于点F，连接OA，得出OD＝OE＝OF＝3，根据S△ABC＝S
△AOB+S△BOC+S△AOC 求出结论即可．
【解答】解：如图所示，过点O 作OE⊥AB 于点E，OF⊥AC 于点F，连接OA，
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∵BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3（角平分线的性质），
∵△ABC 的周长是20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐹+ 1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐷
= 1
2 𝑂𝐷⋅(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶)
= 1
2 × 20 × 3
＝30，
则△ABC 的面积是30，
故选：A．
【变式1-2】（2025 秋•西山区期末）如图，△ABC 的角平分线BD、CD 交于点D，且点D 到BC 的距离等
于2cm，△ABC 的面积是40cm2，则△ABC 的周长为（ ）
A．25cm
B．30cm
C．35cm
D．40cm
【分析】过D 作DH⊥BC 于H，DM⊥AB 于M，DN⊥AC 于N，由角平分线的性质推出DM＝DN＝DH
＝2cm，由三角形的面积公式得到
1
2（AB+BC+AC）•DH＝40，求出AB+BC+AC＝40cm，即可得到答案．
【解答】解：过D 作DH⊥BC 于H，DM⊥AB 于M，DN⊥AC 于N，
∵△ABC 的角平分线BD、CD 交于点D，且点D 到BC 的距离等于2cm，
∴DM＝DN＝DH＝2cm，
∵△ABC 的面积＝△ABD 的面积+△BCD 的面积+△ACD 的面积，
∴△ABC 的面积= 1
2AB•DM+ 1
2BC•DH+ 1
2AC•DN= 1
2（AB+BC+AC）•DH＝40，
∴AB+BC+AC＝40cm，
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∴△ABC 的周长是40cm，
故选：D．
【变式1-3】（2025 秋•潮南区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线BP、CP 交于点P，
PE⊥AC 于点E．若△ABC 的面积为10，△BPC 的面积为7，PE＝4，则△ABC 的周长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
【分析】连接AP，过点P 作PF⊥BC 于点F，PG⊥AB，交AB 的延长线于G，根据角平分线的性质得到
PG＝PF＝PE＝4，根据三角形面积公式分别求出BC、AB+AC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接AP，过点P 作PF⊥BC 于点F，PG⊥AB，交AB 的延长线于G，
∵∠ABC 和∠ACB 的外角平分线BP、CP 交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC 于点F，PG⊥AB，
∴PG＝PF＝PE＝4，
∵△BPC 的面积为7，
∴
1
2BC×4＝7，
∴BC= 7
2，
∵△ABC 的面积为10，
∴
1
2AB×4+ 1
2AC×4﹣7＝10，
∴AB+AC= 17
2 ，
∴△ABC 的周长＝AB+AC+BC= 17
2 + 7
2 =12．
故选：D．
▌题型07 尺规作图（角平分线）
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作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。
作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
MN
2
1
的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；
（3）作射线OP，则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
【典例1】（2026•碑林区校级模拟）如图，点C 在∠AOB 的平分线OM 上，点D 在边OB 上，且OD＝12，
△OCD 的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA 上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作
法）
【分析】以C 为圆心画弧交OA 于K、L，分别以K、L 为圆心大于
1
2KL 的长为半径画弧交于点F，作直
线CF 交OA 于点E，点E 即为所求作的点．
【解答】解：如图所示：点E 即为所求作的点，理由如下：
过C 作CH⊥OB 于H，
由作图知CE⊥OA，
∵OM 平分∠AOB，
∴CE＝CH，
∵△OCD 的面积= 1
2OD•CH＝24，
O
N
M
B
P
A
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∵OD＝12，
∴CH＝4，
∴CE＝4．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）尺规作图作射线BP，交AC 于点D，并使D 到BC，AB 的距离相等．
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD 的长．
【分析】（1）步骤：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、CB 于点M、N；②分别以点M、
N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁为半径作弧，相交于点P；③作射线BP，交AC 于点D，BP 即为所求的平分线，则
点D 到BC，AB 的距离相等；
（2）过点D 作DE⊥AB 于点E，则DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐶= 1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+
1
2 𝐵𝐶× 𝐶𝐷，列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，过点D 作DE⊥AB 于点E，
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由条件可知DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
在Rt△ABC 中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐶= 1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+ 1
2 𝐵𝐶× 𝐶𝐷，
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10𝑥+
1
2 × 6𝑥，
解得：x＝3，
即CD 的长为3．
【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠C＝90°．
（1）过点B 作∠ABC 的平分线交AC 于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和
证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC 的面积．
【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB 于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：（1）∠ABC 的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB 于H．
∵BD 平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC 的面积
＝S△BCD+S△ABD
= 1
2BC•CD+ 1
2AB•DH
= 1
2 ×3BC+ 1
2 ×3AB
= 1
2 × 3（BC+AB）
= 1
2 ×3×16＝24．
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【变式1-3】尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D 的距离相等，且车站
到两条公路OA、OB 的距离相等，在∠AOB 内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据到两个村庄C，D 的距离相等，则点P 在线段CD 的垂直平分线上，到两条公路OA、OB 的
距离相等，则点P 在∠AOB 的角平分线上，据此作图即可．
【解答】解：如图所示，作线段CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，二者的交点即为点P 的位置．
▌题型08 角平分线的性质与全等三角形结合
1. 角平分线两大性质
1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。
2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。
几何语言：
若OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。
2. 全等三角形判定（常用4 种）
SSS、SAS、ASA、AAS。
【典例1】（2026 春•榆树市期中）如图，△DOE 的角平分线OF、EF 相交于点F，若∠DOE＝60°，EF 交
OD 于A、DF 交OE 于B．
（1）若AD＝5，DE＝8，则BE＝ 3 （直接写出答案）．
（2）线段DE 与AD、BE、有怎样的数量关系？写出说明理由．
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【分析】（1）先求出∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝60°，在DE 上截取DH＝DA，连接FH，证明△
DAF 和△DHF 全等得∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，由此得∠EFH＝∠BFE＝60°，进而证明△EFH
和△BFE 全等得HE＝BE，由此得DE＝DH+HE＝AD+BE，再根据AD＝5，DE＝8 即可得出BE 的长；
（2）先求出∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝60°，在DE 上截取DH＝DA，连接FH，证明△DAF 和△
DHF 全等得∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，由此得∠EFH＝∠BFE＝60°，进而证明△EFH 和△BFE
全等得HE＝BE，据此即可得出线段DE 与AD、BE 的数量关系．
【解答】解：（1）在DE 上截取DH＝DA，连接FH，如图1 所示：
在△ODE 中，∠DOE＝60°，
∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°，
∵DF，EF 分别是∠ODE，∠OED 的平分线，
∴∠FDE＝∠FDA= 1
2∠ODE，∠FED＝∠FEB= 1
2∠OED，
∴∠FED+∠FDE= 1
2（∠OED+∠ODE）＝60°，
∵∠AFD 是△DEF 的外角，
∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°，
∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°，
在△DAF 和△DHF 中，
{
𝐷𝐻= 𝐷𝐴
∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐴
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△DAF≌△DHF（SAS），
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∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，
∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°，
∴∠EFH＝∠BFE＝60°，
在△EFH 和△BFE 中，
{
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐵𝐹𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐹
∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐵
，
∴△EFH≌△BFE（ASA），
∴HE＝BE，
∴DE＝DH+HE＝AD+BE，
∴BE＝DE﹣AD，
∵AD＝5，DE＝8，
∴BE＝3，
故答案为：3；
（2）线段DE 与AD、BE 的数量关系是：DE＝AD+BE，理由如下：
在DE 上截取DH＝DA，连接FH，如图2 所示：
在△ODE 中，∠DOE＝60°，
∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°，
∵DF，EF 分别是∠ODE，∠OED 的平分线，
∴∠FDE＝∠FDA= 1
2∠ODE，∠FED＝∠FEB= 1
2∠OED，
∴∠FED+∠FDE= 1
2（∠OED+∠ODE）＝60°，
∵∠AFD 是△DEF 的外角，
∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°，
∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°，
在△DAF 和△DHF 中，
{
𝐷𝐻= 𝐷𝐴
∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐴
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
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∴△DAF≌△DHF（SAS），
∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，
∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°，
∴∠EFH＝∠BFE＝60°，
在△EFH 和△BFE 中，
{
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐵𝐹𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐹
∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐵
，
∴△EFH≌△BFE（ASA），
∴HE＝BE，
∴DE＝DH+HE＝AD+BE．
【变式1-1】（2025 秋•阳新县期末）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于点F，
且∠BDE＝∠CDF．求证：AD 平分∠BAC．
【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等
三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
在△BED 和△CFD 中，
{
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐷
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于点F，
∴点D 在∠BAC 的角平分线上，
∴AD 平分∠BAC．
【变式1-2】（2025 秋•洛宁县期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点E，点
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F 在AC 上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
【分析】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD 平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE
＝FC，则可根据SAS 判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF 和△DEB 中，
{
𝐷𝐶= 𝐷𝐸
∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷
𝐶𝐹= 𝐵𝐸
，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
【变式1-3】（2025 秋•长春期末）如图所示，BD 平分∠ABC，AB＝BC，点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥
CD，M、N 为垂足．求证：PM＝PN．
【分析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法通过SAS 证明△ABD≌△CBD，得∠ADB＝∠CBD，
从而根据角平分线的性质即可证明结论．
【解答】证明：在△ABD 和△CBD 中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB．
又PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
▌题型09 利用角平分线的性质作辅助线
见角平分线上一点，向两边作垂线。
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题目给出角平分线，求证线段相等、求线段长度、证面积相等。
操作步骤
（1）过平分线上的点，分别作角两条边的垂线段；
（2） 根据角平分线性质：两条垂线段相等；
（3）利用相等垂线，证明三角形全等；
（4）等量代换得到目标边相等。
【典例1】如图，已知四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，且∠BAD 与∠BCD 互补，求证：AD＝CD．
【分析】过点D 作DE⊥AB 交BA 的延长线于E，作DF⊥BC 于F，根据角平分线上的点到角的两边距离
相等可得DE＝DF，再求出∠DAE＝∠C，然后利用“角角边”证明△ADE 和△CDF 全等，根据全等三角
形对应边相等证明即可．
【解答】证明：如图，过点D 作DE⊥AB 交BA 的延长线于E，作DF⊥BC 于F，
∵BD 平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵∠BAD 与∠BCD 互补，∠EAD+∠BAD＝180°
∴∠DAE＝∠C，
在△ADE 和△CDF 中，
{
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶
∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD．
【变式1-1】如图，∠B＝∠C＝90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC，求证：∠DMA＝90°．
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【分析】先利用角平分线的性质证明MC＝ME，根据角平分线的意义，得出2∠DAM＝∠BAD，再利用
中点的意义结合已知证明BM＝MC＝ME，从而可判定AM 平分∠DAB，根据角平分线的意义，得出2∠
ADM＝∠ADC，再证明AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAD+∠ADM＝180°，从而可得∠ADM+∠
DAM＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠DMA＝90°．
【解答】证明：如图，过M 作ME⊥AD 于点E，
∵DM 平分∠ADC，∠B＝∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，2∠ADM＝∠ADC，
∵M 为BC 的中点，
∴BM＝MC＝ME，
∵ME⊥AD，
∴AM 是∠DAB 的平分线，
∴2∠DAM＝∠DAB．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴2∠DAM+2∠ADM＝180°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°．
∴∠DMA＝90°．
【变式1-2】如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M 为BC 的中点，AM 平分∠DAB．
（1）DM 是否平分∠ADC？请证明你的结论．
（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．
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【分析】（1）结论：MD 平分∠ADC．过点M 作ME⊥AD 于点E．证明ME＝MC 即可；
（2）结论：AM⊥DM．证明∠ADM+∠DAM= 1
2∠ADC+ 1
2∠DAB= 1
2（∠ADC+∠DAB）＝90°，可得结
论．
【解答】解：（1）结论：MD 平分∠ADC．
理由：过点M 作ME⊥AD 于点E．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∵M 是BC 的中点，
∴MB＝MC，
∵AM 平分∠DAB，ME⊥AD，MB⊥AB，
∴MB＝ME，
∴ME＝MC，
∵ME⊥DA，MC⊥CD，
∴DM 平分∠ADC；
（2）结论：AM⊥DM．
理由：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵AM 平分∠DAB，DM 平分∠ADC，
∴∠ADM= 1
2∠ADC，∠DAM= 1
2∠DAB，
∴∠ADM+∠DAM= 1
2∠ADC+ 1
2∠DAB= 1
2（∠ADC+∠DAB）＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
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【变式1-3】在△ABC 中，作出∠ABC、∠ACB 的内、外角平分线，两个内角平分线交于E 点，两个外角平
分线交于D 点，直线BE 与直线CD 交于M 点．
（1）如图1，若∠BMC＝20°，
①直接写出∠BDC，∠BEC，∠BAC 的度数．∠BDC＝ 70° ，∠BEC＝ 110° ，∠BAC＝ 40° ．
②连接AM，求出∠CAM 的度数．
（2）如图2，△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，AB＝15cm，AC＝17cm，∠ABC 的内角平分线和∠
ACB 的外角平分线交于M 点，过M 作MN⊥BC，垂足为N，求MN 的长度．
【分析】（1）①利用角平分线的性质易得∠DBM＝90°，则可求得∠BDC＝70°，同理得∠MEC＝70°，
得∠EBC+∠ECB＝70°，由角平分线性质得∠ABC+∠ACB＝140°，由三角形内角和即可求得∠BAC；
②过点M 分别作射线BA、线段AC、射线BC 的垂线，垂足分别为G、H、N，由角平分线的性质定理得
MG＝MN，MH＝MN，从而得MG＝MH，点M 在∠CAG 的平分线上，
则∠𝐶𝐴𝑀= 1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶)，再由①所求即可求解；
（2）过点M 分别作射线BA、线段AC 的垂线，垂足分别为G、H，由角平分线的性质定理得MG＝MN，
MH＝MN，从而MG＝MH＝MN，设MN＝a，利用四边形ABCM 的面积等于S△ABC+S△AMC＝S△ABM+S△
ACM，得到关于a 的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①∵BE、BD 分别平分∠ABC 及其补角，
∴∠𝐷𝐵𝑀= ∠𝐶𝐵𝑀+ ∠𝐶𝐵𝐷= 1
2 × 180° = 90°，
∵∠BMC＝20°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BMC＝70°，
同理∠MCE＝90°，
∴∠MEC＝90°﹣∠MBC＝70°，
∴∠EBC+∠ECB＝∠MEC＝70°，∠BEC＝180°﹣∠MEC＝180°﹣70°＝110°，
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∵BE、CE 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACB＝2∠ECB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠EBC+∠ECB）＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣140°＝40°；
故答案为：70°，110°，40°；
②过点M 分别作射线BA、线段AC、射线BC 的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1，
∵BE 平分∠ABC，
∴MG＝MN（角平分线的性质），
∵CD 平分∠ACB 的外角，且点M 在直线CD 上，
∴CM 平分∠ACN，
∴MH＝MN（角平分线的性质），
∴MG＝MH，
∴点M 为∠CAG 的平分线，
∴∠𝐶𝐴𝑀= 1
2 ∠𝐶𝐴𝐺= 1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶)（角平分线的性质），
由①知，∠BAC＝40°，
∴∠𝐶𝐴𝑀= 1
2 (180° −40°) = 70°；
（2）如图2，过点M 分别作射线BA、线段AC 的垂线，垂足分别为G、H，
∵BM 平分∠ABC，
∴MG＝MN（角平分线的性质），
∵CM 平分∠ACN，
∴MH＝MN（角平分线的性质），
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即MG＝MH＝MN，
设MN＝a，则MG＝MH＝MN＝a，
∵四边形ABCM 的面积等于S△ABC+S△AMC＝S△ABM+S△ACM，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+
1
2 𝐴𝐶⋅𝑀𝐻=
1
2 𝐴𝐵⋅𝑀𝐺+
1
2 𝐵𝐶⋅𝑀𝑁，
即15×8+17a＝15a+8a，
整理得，6a＝120，
解得a＝20，
即MN＝20cm．
▌题型10 利用角平分线的性质进行证明
角平分线两大性质
1）定义性质：角平分线分角为两个相等角（∠1=∠2），直接提供一组等角，证全等常用。
2）距离性质（重点）：角平分线上任意一点，到角两边的垂线段长度相等。
几何语言：
若OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则 PM=PN。
【典例1】如图，已知OA、OC 分别是△ABC 的外角∠DAC 和∠ACE 的平分线，连接OB．
（1）求证：BO 平分∠ABC；
（2）若AC＝6，且△AOC 与△ABC 的面积分别是12 和18，求△ABC 的周长．
【分析】（1）如图，过点O 分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，
OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证；
（2）由△AOC 的面积为12 可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30 可得AB+BC
＝15，进而即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点O 分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H，
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∵AO 平分∠CAD，CO 平分∠ACE，
∴OF＝OG，OH＝OG，
∴OF＝OH（等量代换），
∵OF⊥BD，OH⊥BE，
∴点O 在∠ABC 的角平分线上，
即BO 平分∠ABC；
（2）解：∵△AOC 的面积为12，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐺= 12，
∵AC＝6，
∴
1
2 × 6 × 𝑂𝐺= 12，
∴OG＝4，
∴OF＝OH＝OG＝4，
∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐹+
1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐻= 30，
即
1
2 𝐴𝐵× 4 +
1
2 𝐵𝐶× 4 = 30，
整理得AB+BC＝15，
∴AB+BC+AC＝15+6＝21，
△ABC 的周长为21．
【变式1-1】如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB＝BC，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M，PN⊥CD 于N，
求证：PM＝PN．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根
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据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即
可．
【解答】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD 和△CBD 中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN
⊥BF．求证：
（1）CP 平分∠ACF；
（2）∠ABC+2∠APC＝180°．
【分析】（1）作PQ⊥AC 于点Q，由∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，根据角平分线的性质
得PM＝PN，PM＝PQ，则PN＝PQ，所以点P 在∠ACF 的平分线上，即可证明CP 平分∠ACF．
（2）由∠PAC= 1
2∠EAC= 1
2（180°﹣∠BAC），∠PCA= 1
2∠ACF= 1
2（180°﹣∠BCA），推导出∠APC
＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA= 1
2（∠BAC+∠BCA），则2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，所以∠
ABC+2∠APC＝180°．
【解答】证明：（1）作PQ⊥AC 于点Q，
∵∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
∴点P 在∠ACF 的平分线上，
∴CP 平分∠ACF．
（2）∵AP 平分∠EAC，CP 平分∠ACF，
∴∠PAC= 1
2∠EAC= 1
2（180°﹣∠BAC），∠PCA= 1
2∠ACF= 1
2（180°﹣∠BCA），
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∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝180°−1
2（180°﹣∠BAC）−1
2（180°﹣∠BCA）= 1
2（∠BAC+∠
BCA），
∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°．
【变式1-3】（2026 春•郑州校级期中）课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分
线上．
（1）如图1，已知BG，CG 是△ABC 的角平分线，求证：点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）如图2，BP，CP 分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝
60°，求∠PAC 的度数．
【分析】（1）过点G 作GD⊥AB 于点D，GE⊥BC 于点E，GF⊥AC 于点F，根据角平分线性质得GE＝
GD，GE＝GF，进而得GE＝GD＝GF，由此即可得出结论；
（2）过点P 作PM⊥BD 于点M，PN⊥BA，交BA 的延长线于点N，根据角平分线性质得PM＝PN，PM
＝PQ，进而得PN＝PQ，由此的AP 是∠NAC 的平分线，则∠PAC= 1
2∠NAC，再根据∠BAC＝60°得∠
NAC＝120°，据此即可得出∠PAC 的度数．
【解答】（1）证明，过点G 作GD⊥AB 于点D，GE⊥BC 于点E，GF⊥AC 于点F，如图所示：
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∵BG，CG 是△ABC 的角平分线，
∴GE＝GD，GE＝GF，
∴GE＝GD＝GF，
∴点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）解：过点P 作PM⊥BD 于点M，PN⊥BA，交BA 的延长线于点N，如图所示：
∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACD 的平分线，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
又∵点P 在∠NAC 的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA，
∴点P 在∠NAC 的平分线上，
∴AP 是∠NAC 的平分线，
∴∠PAC= 1
2∠NAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠PAC= 1
2∠NAC＝60°．
▌题型11 角平分线与截长法
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截长法
①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF，连接……
②过某点作AB（最长线段）的垂线
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
在线段
上截取
条件：𝑨𝑫平分∠𝐁𝐀𝐂，结论：CD
BD
AB
=
+
。
在
上截取
，连接
．
在
和
中
，
，
∴
∴
，
又∵
∴
，
∴
∴
．
【典例1】（2025 秋•杨浦区期末）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，点D 在边BC 上，且AD
平分∠BAC．求证：BD＞CD．
D
C
B
A
AB
AD
AC
=
D
C
B
A
AC
AB
AE
=
DE
ABD
△
AED
△
AB
AE
=
BAD
EAD
=
AD
AD
=
ABD
AED
△
≌△
BD
ED
=
B
AED
=
2
AED
EDC
C
B
C
=
+
==
EDC
C
=
ED
EC
=
AB
BD
AC
+
=
E
D
C
B
A
小学
初中
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【分析】由∠ACB＝90°得AB＞AC，于是在AB 上截取AE＝AC，连接DE，进而依据“SAS”判定和△
EAD 和△CAD 全等得ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，然后在△BDE 中，根据∠BED＝90°得BD＞DE，
据此可得出结论．
【解答】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，
∵AB＞AC，
在AB 上截取AE＝AC，连接DE，如图所示：
∵AD 平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EAD 和△CAD 中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，
在△BDE 中，∠BED＝180°﹣∠AED＝90°，
∴BD＞DE，
∴BD＞CD．
【变式1-1】如图，已知AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，点E 在线段CD 上．
（1）求∠AEB 的度数；
（2）求证：CE＝DE．
【分析】（1）由平行线得到∠CAB+∠ABD＝180°，根据角平分线定义表示出∠EAB、∠EBA，计算这两
个的和，便可求∠AEB 度数；
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（2）在AB 上截取AF＝AC，连接EF，分别证明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，借助CE＝EF，DE＝
EF，可证CE＝DE．
【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．
∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB= 1
2∠CAB．
同理可得∠EBA= 1
2∠ABD．
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）如图，在AB 上截取AF＝AC，连接EF，
在△ACE 和△AFE 中，
{
𝐴𝐶= 𝐴𝐹
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∴△ACE≌△AFE（SAS）．
∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．
∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，
∴∠DEB＝∠FEB．
在△DEB 和△FEB 中
{
∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵
𝐸𝐵= 𝐸𝐵
∠𝐹𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸
∴△DEB≌△FEB（ASA）．
∴ED＝EF．
∴ED＝CE．
【变式1-2】如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA，AD＝DC，BD 平分∠ABC．
求证：∠BAD+∠C＝180°．
【分析】在BC 上截取BE＝BA，连接DE，推出△ABD≌△EBD，推出∠A＝∠BED，AD＝DE＝DC，推
出∠BED+∠C＝180°，即可得出答案．
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【解答】证明：在BC 上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD 和△EBD 中
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐸
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴△ABD≌△EBD，
∴∠A＝∠BED，AD＝DE，
∵AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC，
∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+C＝180°，
即∠BAD+∠C＝180°．
【变式1-3】（1）如图1，已知四边形ABDC 为长方形，∠CAB 和∠ABD 的平分线恰好交于CD 边上的点
E，试判断：AB ＝ AC+BD（填＞、＜或＝）
（2）如图2，已知AC∥BD，EA、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD，CD 过点E，且CD⊥AC 试探究AB、
AC 与BD 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）题中，如果没有“CD⊥AC”这个条件，（2）题的结论还成立吗，请说明理由．
【分析】（1）证明△ACE 和△BDE 都是等腰直角三角形，可得AC＝CE，DE＝BD，根据线段的和可得
结论；
（2）作辅助线，构建角平分线到角两边的距离，根据角平分线的性质得：CE＝EG＝ED，证明△ACE≌
Rt△AGE（HL），得AC＝AG，同理可得：BG＝BD，相加可得结论；
（3）作辅助线，同理证明三角形全等可得结论．
【解答】解：（1）AB＝AC+BD，理由是：
如图1，∵四边形ABCD 是长方形，
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∴∠C＝∠D＝∠CAB＝∠ABD＝90°，
∵∠CAB 和∠ABD 的平分线恰好交于CD 边上的点E，
∴∠CAE= 1
2∠CAB= 1
2 × 90° =45°，∠DBE= 1
2∠ABD＝45°，
∴△ACE 和△BDE 都是等腰直角三角形，
∴AC＝CE，DE＝BD，
∴CD＝CE+DE＝AC+BD＝AB，
故答案为：＝；
（2）AB＝AC+BD，理由是：
如图2，过E 作EG⊥AB 于G，
∵AC⊥CD，AC∥BD，
∴CD⊥BD，
∵AE 平分∠CAB，BE 平分∠ABD，
∴CE＝EG＝ED，
∵AE＝AE，
∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），
∴AC＝AG，
同理可得：BG＝BD，
∴AB＝AG+BG＝AC+BD；
（3），（2）题的结论还成立，
理由是：如图3，在AB 上取一点G，使AG＝AC，连接EG，
∵∠CAE＝∠GAE，AE＝AE，
∴△CAE≌△GAE（SAS），
∴∠C＝∠AGE，
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∵AC∥BD，
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠EGB+∠AGE＝180°，
∴∠D＝∠EGB，
∵BE＝BE，∠DBE＝∠EBG，
∴△DBE≌△GBE（AAS），
∴BD＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AC+BD．
