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1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题10 与三角形有关的模型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 角高模型 【典例1】 【解答】解：①在△ABC 中，∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE 是的角平分线， ∴∠EAC= 1 2∠BAC＝40°． ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC 中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°． ②∵BF 是∠ABC 的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC= 1 2∠ABC＝20°， 又∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵在△ABC 中，∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 × 80° = 40°， 在△AEC 中，由三角形内角和定理得：∠AEC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝110°， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC 中，∠DAC＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝20°； （2）在△ABC 中，由三角形内角和定理得：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −𝛼−𝛽) = 90° −𝛼+𝛽 2 ， 在△AEC 中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶 = 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= 180° −𝛽−(90° −𝛼+𝛽 2 ) = 90° + 𝛼−𝛽 2 ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC 中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐸= (90° −𝛽) −(90° −𝛼+𝛽 2 ) = 𝛼−𝛽 2 ． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣64°＝86°， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠EAC= 1 2∠BAC= 1 2 ×86°＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝43°﹣26°＝17°， 故答案为：17°． （2）∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= 1 2（∠C﹣∠B）， ∵∠C﹣∠B＝50°， 3 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠DAE= 1 2 ×50°＝25°． （3）∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD= 1 2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= 1 2（∠C﹣∠B）， 故答案为：∠DAE= 1 2（∠C﹣∠B）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°． ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE= 1 2∠BAC＝90°−1 2∠B−1 2∠C， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣（90°−1 2∠B−1 2∠C）﹣∠C＝90°+ 1 2∠B−1 2∠C． ∵PG⊥BC， ∴∠EPG＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（90°+ 1 2∠B−1 2∠C）= 1 2∠C−1 2∠B． 故答案为：∠EPG= 1 2∠C−1 2∠B； （3）由上述过程可知，∠EAD= 1 2∠ACB−1 2∠B． ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB 且∠EAD＝∠CAD， ∴ 1 2∠ACB−1 2∠B＝90°﹣∠ACB， 则∠ACB= 1 3∠B+60°． ∵CP 平分∠ACM， ∴∠PCG= 1 2∠ACM= 1 2（180°﹣∠ACB）＝90°−1 2∠ACB． 4 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵PG⊥BC， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG= 1 2∠ACB． 又∵EP 平分∠AEC， ∴∠PEC= 1 2∠AEC． ∵∠EAC＝∠ACM﹣∠AEC，∠CPE＝∠PCG﹣∠PEC， ∴∠CPE= 1 2（∠ACM﹣∠AEC）= 1 2∠EAC． ∵∠EAC= 1 2∠BAC＝90°−1 2∠B−1 2∠ACB， ∴∠CPE＝45°−1 4∠B−1 4∠ACB． ∵∠CPG= 2 3（∠B+∠CPE）， ∴ 1 2∠ACB= 2 3（∠B+45°−1 4∠B−1 4∠ACB）， ∴ 1 2 ( 1 3∠B+60°）= 2 3[∠B+45°−1 4∠B−1 4（ 1 3∠B+60°）]， 解得∠B＝36°， ∴∠B 的度数为36°． ▌题型02 两内角平分线的夹角 【典例1】 【解答】解：（1）∵CD 是△ABC 的中线， ∴AD＝BD， ∵△DBC 的周长为25cm， ∴△BCD 的周长＝BC+BD+CD＝25cm， ∴BC+AD+CD＝25cm， ∵BC﹣AC＝5cm， ∴AC＝BC﹣5cm， ∴△ADC 的周长＝AC+AD+CD ＝BC﹣5+AD+CD ＝25﹣5 ＝20cm， 则△ADC 的周长为20cm； （2）∵CD⊥AB， 5 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BDC＝90°（垂直的定义）， ∵BE 是△ABC 的角平分线，∠ABC＝60°， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 60° = 30°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+30°＝120°， 则∠BOC 的度数为120°． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵△BCD 的周长为：BC+CD+BD， △ACD 的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD 与△ACD 的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD 是△ABC 的中线， ∴AD＝BD， 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1， 即△BCD 与△ACD 的周长差为：1． 故答案为：1． （2）∵BE 是∠ABC 的平分线，∠ABC＝62°， ∴∠ABE= 1 2∠ABC= 1 2 ×62°＝31°， ∵CD 是△ABC 的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°； （3）在△ABC 中，∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°， ∵BE 是∠ABC 的平分线，CD 是∠ACB 平分线， ∴∠OBC= 1 2∠ABC，∠OCB= 1 2∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）= 1 2 ×102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB． ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， 6 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 × 100° ＝130°， 故答案为：130°； （2）∠𝐵𝐸𝐶= 90° + 1 2 𝑛°，理由如下， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠𝐸𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (180° −𝑛°) = 180° −90° + 1 2 𝑛° = 90° + 1 2 𝑛°； （3）在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB， 由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB， ∴∠𝐸𝐵𝐶= 2 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= 2 3 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 2 3 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 2 3 (180° −𝑛°) = 120° −2 3 𝑛°， ∴∠𝐵𝐸𝐶= 180° −(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180° −(120° −2 3 𝑛°) = 60° + 2 3 𝑛°． 故答案为：60° + 2 3 𝑛°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∠A＝55°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°， ∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB， 7 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵（角平分线的定义）， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 × 125° = 62.5°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣62.5°＝117.5°， 则∠BOC 的度数为117.5°， 故答案为：117.5； （2）∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 3 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 3 × 120° = 40°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣40°＝140°． （3）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的n 等分线， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 𝑛∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 𝑛∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 𝑛∠𝐴𝐵𝐶+ 1 𝑛∠𝐴𝐶𝐵= 1 𝑛(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 𝑛(180° −∠𝐴) ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） = 180° −1 𝑛(180° −∠𝐴) = 𝑛−1 𝑛 ⋅180° + 1 𝑛∠𝐴． ▌题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角 【典例1】 【解答】解：（1）∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE， 由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC＝2（∠E+∠CBE）， ∴∠A＝2∠E， ∵∠A＝40°， ∴∠E＝20°； （2）∠A＝2∠E． 理由如下：∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD， 8 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE， 由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABC＝2（∠E+∠CBE）， ∴∠A＝2∠E． 【变式1-1】 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝140°． 又∵∠DAB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP= 1 2∠DAB+∠ABC+ 1 2（180°﹣∠ABC）＝90°+ 1 2（∠DAB+∠ABC）＝160°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝20°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE 是∠ABC 的“三分线”， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 × 60° = 20°， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°， 故答案为：40； （2）∵∠B 的邻AB 三等分线与∠C 的邻AC 三等分线交于点P，∠B＝60°，∠C＝72°， ∴∠𝐴𝐵𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 × 60° = 20°，∠𝐴𝐶𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵= 1 3 × 72° = 24°， ∴∠BCP＝72°﹣24°＝48°，∠CBP＝60°﹣20°＝40°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝92°， 故答案为：92； （3）∵∠BPC＝145°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣145°＝35°， ∵BP、CP 分别是∠ABC 邻BC 三等分线和∠ACB 邻BC 三等分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴ 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵= 35°， ∴∠ABC+∠ACB＝3×35°＝105°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣105°＝75°； 9 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）∵∠ACD 为△ABC 的外角，∠A＝x°，∠ABC＝y°， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝x°+y°， ∵BP 是“邻BC 三等分线”， ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 3 𝑦°， 当CP 是“邻AC 三等分线”时， ∴∠𝐴𝐶𝑃= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝑃𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝑃= 2 3 ∠𝐴𝐶𝐷= 2 3 (𝑥° + 𝑦°)， ∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝑃= 2 3 (𝑥° + 𝑦°) −1 3 𝑦° = 2 3 𝑥° + 1 3 𝑦°； 当CP 是“邻CD 三等分线”时， ∴∠𝑃𝐶𝐷= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐷= 1 3 (𝑥° + 𝑦°)， ∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝑃= 1 3 (𝑥° + 𝑦°) −1 3 𝑦° = 1 3 𝑥°； 综上：∠BPC 的度数是 2 3 𝑥° + 1 3 𝑦°或 1 3 𝑥°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠BOD＝120°， 由题意可得：∠𝑃𝐸𝐹= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹，∠𝑃𝐹𝐸= 1 2 ∠𝑂𝐹𝐸， ∴∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹+ 1 2 ∠𝑂𝐹𝐸= 1 2 (∠𝑂𝐸𝐹+ ∠𝑂𝐹𝐸) = 60°， ∴∠EPF＝180°﹣（PEF+∠PFE）＝120°； （2）∵∠OFE＝180°﹣∠BOD﹣∠OEF， 又∵∠DFE＝180°﹣∠OFE， ∴∠DFE＝∠BOD+∠OEF＝α+∠OEF， ∵FG 平分∠DFE， 10 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐷𝐹𝐸= 1 2 𝛼+ 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹， ∴∠𝑃𝐹𝐸= 180° −∠𝐸𝐹𝐺= 180° −1 2 𝛼−1 2 ∠𝑂𝐸𝐹， ∵EP 平分∠OEF， ∴∠𝑃𝐸𝐹= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹， ∴∠𝑃𝐹𝐸+ ∠𝑃𝐸𝐹= 180° −1 2 𝛼， ∴∠𝑃= 180° −(∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑃𝐹𝐸) = 1 2 𝛼． （3）∠OEF 的角平分线与∠AOF 的角平分线相交于点P，∠AOF 的角平分线所在的直线与∠OEG 的角 平分线相交于点Q， 设∠OFE＝β， 同理（2）可得，∠𝑃= 1 2 𝛽， ∵EP 平分∠OEF，EQ 平分∠OEG， ∴∠𝑂𝐸𝑃= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐹，∠𝑂𝐸𝑄= 1 2 ∠𝑂𝐸𝐺， ∵∠OEF+∠OEG＝180°， ∴∠𝑂𝐸𝑃+ ∠𝑂𝐸𝑄= 1 2 (∠𝑂𝐸𝐹+ ∠𝑂𝐸𝐺) = 90°，即∠PEQ＝90°， ∴∠𝑄= 180° −∠𝑃−∠𝑃𝐸𝑄= 90° −1 2 𝛽， ①当∠PEQ＝2∠P 时， ∴2 ⋅1 2 𝛽= 90°，解得β＝90°； ②当∠Q＝2∠P 时， ∴90° −1 2 𝛽= 2 ⋅1 2 𝛽，解得β＝60°； 综上所述，∠OFE 的度数为60°或90°． ▌题型04 两外角平分线的夹角 【典例1】 【解答】解：（1）∠𝐵𝑂𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐴， 理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的角平分线， ∴∠1 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠1 + ∠2 = 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， 11 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1 + ∠2 = 1 2 (180° −∠𝐴) = 90° −1 2 ∠𝐴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）= 180° −(90° −1 2 ∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴； （2）∠𝐵𝑂𝐶= 1 2 ∠𝐴， 理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 与外角∠ACD 的角平分线， ∴∠1 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷， 又∵∠ACD 是△ABC 的一外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴∠2 = 1 2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 1 2 ∠𝐴+ ∠1， ∵∠2 是△BOC 的一外角， ∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠2 −∠1 = (1 2 ∠𝐴+ ∠1) −∠1 = 1 2 ∠𝐴； （3）结论：∠𝐵𝑂𝐶= 90° −1 2 ∠𝐴． 根据三角形的外角性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∵O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 (∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸) = 1 2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 90° + 1 2 ∠𝐴， ∴在△OBC 中，∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −(90° + 1 2 ∠𝐴) = 90° −1 2 ∠𝐴， 故答案为：∠𝐵𝑂𝐶= 90° −1 2 ∠𝐴． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠ABP＝∠CBP= 1 2∠ABC＝40°，∠ACP＝∠BCP= 1 2∠ACB＝25°， ∵在△BPC 中，∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣40°﹣25°＝115°， ∴∠BPC 的度数是115°． （2）∵∠CBE 和∠BCF 是△ABC 的外角， ∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠BCF+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠BCF+∠ACB＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）， 12 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵BD 平分∠CBE，CD 平分∠BCF， ∴∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD， ∴∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD）， ∵∠BDC＝40°， ∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°， ∴∠CBE+∠BCF＝2×140°＝280°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣280°＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°， ∴∠A 的度数是100°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵BP、CP 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB． ∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC）， ∴∠A＝﹣180°+2∠BPC， ∴2∠BPC＝180°+∠A， ∴∠BPC＝90°+ 1 2∠A＝90°+ 1 2 ×60°＝120°， 故答案为：120°； （2）∵BP 是∠ABC 的角平分线， ∴∠PBC= 1 2∠ABC． 又∵CP 是∠ACD 的平分线， ∴∠PCD= 1 2∠ACD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC， ∴∠BPC= 1 2∠A； （3）90°−1 2∠A． 证明：∵BP、CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线， ∴∠CBP= 1 2∠CBD，∠BCP= 1 2∠BCE， ∴∠CBP+∠BCP = 1 2∠CBD+ 1 2∠BCE = 1 2（∠CBD+∠BCE） 13 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = 1 2（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） = 1 2（180°+∠A）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°−1 2（180°+∠A） ＝90°−1 2∠A． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝118°， ∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P， ∴∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）＝59°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°， 故答案为：121°． （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，且∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°， ∵△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E， ∴∠BCE= 1 2∠ACB，∠DBE= 1 2∠ABD， ∵∠DBE＝∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE= 1 2（∠ABD﹣∠ACB）＝29°， ∴∠BEC 的度数为29°． （3）∵∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q， ∴∠QBC= 1 2∠CBM= 1 2（180°﹣∠ABC），∠QCB= 1 2∠BCN= 1 2（180°﹣∠ACB）， ∴∠QBC+∠QCB= 1 2（180°﹣∠ABC）+ 1 2（180°﹣∠ACB）＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣[180°−1 2（∠ABC+∠ACB）]= 1 2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α， ∴∠BQC= 1 2（180°﹣∠A）＝90°−1 2α， 故答案为：90°−1 2α． （4）∵点E 在BC 的延长线上， ∴∠BCQ+∠ECQ＝180°， ∵CP 平分∠BCQ，CR 平分∠ECQ， 14 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠PCQ= 1 2∠BCQ，∠RCQ= 1 2∠ECQ， ∴∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ= 1 2（∠BCQ+∠ECQ）＝90°， ∴∠CPR＝90°﹣∠R， ∵点R 在BP 的延长线上， ∴∠BPC+∠CPR＝180°， ∴∠BPC+90°﹣∠R＝180°， ∴∠BPC﹣∠R＝90°， 故答案为：∠BPC﹣∠R＝90°． ▌题型05 规形图（飞镖模型） 【典例1】 【解答】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是： 过点A、D 作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）∵∠BXC＝90°， 由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°， ∵∠A＝36°， ∴∠ABX+∠ACX＝54°； ②∵∠A＝40°，∠DBE＝130°， ∴∠ADB+∠AEB＝130°﹣40°＝90°， ∵DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐸𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐸𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶= 1 2 (∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) = 45°， 15 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°． 【变式1-1】 【解答】解：（1）如图，连接AP 并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP， 又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①结论：∠BPC＝90°+ 1 2∠A． 理由：∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB， ∴∠BPC＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB）＝180°−1 2（180°﹣∠A）＝90°+ 1 2∠A； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO 平分∠ABC， ∴∠ABC＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 故答案为：∠BPC＝90°+ 1 2∠A，60°； ②∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC 中，∠P+ 1 2∠ABD+ 1 2∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴ 1 2∠ABD+ 1 2∠ACD＝∠D﹣∠P， 16 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在四边形ABPC 中，∠A+ 1 2∠ABD+ 1 2∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠BPC＝∠BDC+∠A． 故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A． 【变式1-2】 【解答】解：（1）三角形的内角和等于 180°， 故答案为：三角形的内角和等于 180°； （2）∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠2+∠C， ∴∠3+∠4＝∠B+∠1+∠2+∠C， ∵∠3+∠4＝∠BDC，∠1+∠2＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （3）如图，延长BE 交AC 于点F， ∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠2+∠C+∠1＝180°， 故答案为：180°； （4）延长EF，交CD 于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠EFD＝110°， ∴∠DFG＝70°， ∴∠EGF＝∠D+∠DFG＝90°， ∴∠E＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 而图中∠E＝30°， 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠E 应减少10°． 故答案为：减少，10． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∠BDC＝∠ABD+40°+∠C， 理由：延长BD 交AC 于点M， ∵∠BDC 是△DCM 的外角， ∴∠BDC＝∠DMC+∠C； ∵∠BMC 是△ABM 的外角， ∴∠DMC＝∠ABD+∠A； ∴∠BDC＝∠DMC+∠C＝∠ABD+40°+∠C； （2）∵∠A+∠ABD+∠BDC+∠C＝360°， ∴∠DBA+∠BDC+∠DCA＝360°﹣40°＝320°， 故答案为：∠BDC+∠DBA+∠DCA＝320°； （3）设∠CAG＝2α， ∵AG⊥CD， ∴∠AGC＝∠AGD＝90°， ∴∠ACG＝90﹣2α， 设线段AG 与BD 交于点P，∠D＝16°， ∴∠APB＝∠DPG＝90°﹣16°＝74°， ∴∠BAP＝∠BAC+∠CAG＝40°+2α； 在△ABP 中，∠BAP+∠ABP+∠APB＝180°， ∴∠ABP＝180°﹣（40°+2α）﹣74°＝66°﹣2α， 18 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵BE 平分∠ABD， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐷= 33° −𝛼， ∵∠FCE＝45°−1 2∠CAG＝45°﹣α， ∴∠ACE＝180﹣∠FCE﹣∠ACG＝180°﹣（45°﹣α）﹣（90﹣2α）＝45°+3α， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE+∠ACE＝40°+33°﹣α+45°+3α＝118°． ▌题型06 “8”字模型（X 型图） 【典例1】 【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°， 根据（1）可知，∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC， ∵∠ABC＝∠OBA＝35°，∠ADC＝∠ODC＝15°， ∴∠OAB+35°＝∠OCD+15°， ∴∠OCD﹣∠OAB＝20°， ∵AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1 = ∠2 = 1 2 ∠𝑂𝐴𝐵，∠3 = ∠4 = 1 2 ∠𝑂𝐶𝐷， ∴∠OCD﹣∠OAB＝2∠4﹣2∠1＝20°，即∠3﹣∠1＝10°， ∵∠1+∠P＝∠4+∠D， ∴∠P＝∠4﹣∠1+∠D＝10°+15°＝25°； （3）直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°， 如图所示，作∠BAD，∠BCD 的角平分线交于点M，AM，CP 交于点N，在PA 延长线上取一点K，则AK 平分∠FAD， 由（1）的计算得到∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC，即∠OAB+35°＝∠OCD+29°， ∴∠OCD﹣∠OAB＝6°， ∴∠𝑀= 1 2 (∠𝑂𝐶𝐷−∠𝑂𝐴𝐵) + ∠𝐷= 1 2 × 6° + 29° = 32°， 19 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠BAD+∠FAD＝180°，AK 平分∠FAD，AM 平分∠BAD， ∴∠𝐾𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝑀= 1 2 (∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷) = 90°，即MA⊥PK， ∴∠MAP＝90°， 同理，∠MCP＝90°， ∴∠NAP＝∠NCP＝90°， ∵∠NAP+∠NPA＝∠NCM+∠NMC， ∴∠P＝∠M＝32°． 【解答】解：设AP 与BC 交于K， ∵在△ACK 与△BPK 中，∠AKC＝∠PKB（对顶角相等）， ∴∠P+∠3＝∠1+∠C，即∠P＝∠1﹣∠3+∠C，① 设AD 与BP 交于F， 同理有∠P＝∠4﹣∠2+∠D，② ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴①+②得，2∠P＝∠C+∠D＝32°+28°＝60°， ∴∠P＝30°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）证明：在图1 中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）解：①3；4； 故答案为：3，4； ②以M 为交点”8 字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N 为交点”8 字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， 20 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P= 1 2（∠B+∠C）= 1 2（100°+120°）＝110°； ③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP， ∴∠BAP= 2 3∠CAB，∠BDP= 2 3∠CDB， 以M 为交点”8 字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N 为交点”8 字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP= 1 3（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP= 2 3（∠CDB﹣∠CAB）． ∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B． ∴3∠P＝∠B+2∠C． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）①线段AB、CD 相交于点O，形成“8 字形”； ②线段AN、CM 相交于点O，形成“8 字形”； ③线段AB、CP 相交于点N，形成“8 字形”； ④线段AB、CM 相交于点O，形成“8 字形”； ⑤线段AP、CD 相交于点M，形成“8 字形”； ⑥线段AN、CD 相交于点O，形成“8 字形”； 故“8 字形”共有6 个； 故答案为：6； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， 又∵∠D＝40 度，∠B＝36 度， 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴2∠P＝40°+36°， ∴∠P＝38°； 故答案为38°． ▌题型07 折角模型 【典例1】 【解答】（1）解：∵AF＝7，CD＝3， ∴AD+CF＝AF﹣CD＝4， ∵AD＝CF＝平移距离， ∴AD＝CF＝2， 故答案为：2； （2）证明：方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE= 1 2（180°﹣∠1），∠A′ED= 1 2（180°﹣∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E+ 1 2（180°﹣∠1）+ 1 2（180°﹣∠2）＝180°， ∴∠DA′E= 1 2∠1+ 1 2∠2， ∴∠1+∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E ∵∠1，∠2 分别是△A′AD 和△A′AE 的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， 22 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1+∠2 ＝∠DA′A+∠DAA′+∠EA′A+∠EAA′ ＝（∠DA′A+∠EA′A）+（∠DAA′+∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E， （3）解：不成立，正确结论是∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 证明如下： 方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE= 1 2（180°﹣∠1），∠A′ED= 1 2（180°+∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E+ 1 2（180°﹣∠1）+ 1 2（180°+∠2）＝180°， ∴∠DA′E= 1 2∠1−1 2∠2， ∴∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E， ∵∠1，∠2 分别是△A′AD 和△A′AE 的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1﹣∠2＝∠DA′A+∠DAA′﹣（∠EA′A+∠EAA′） ＝（∠DA′A﹣∠EA′A）+（∠DAA′﹣∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∠BDA′与∠A 的数量关系是∠BDA′＝2∠A； 故答案为：∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A， 理由：在四边形ADA′E 中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°， ∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA， 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°， ∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA， ∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E， ∵△A′DE 是由△ADE 沿直线DE 折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； 故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； （3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 理由：DA′交AC 于点F， ∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′， ∵△A′DE 是由△ADE 沿直线DE 折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°， ∴∠CEC'＝180°﹣∠BEC'＝138°， ∠CDC'＝180°﹣∠ADC'＝160°． 由折叠得∠DEC＝∠DEC'= 1 2 ×138°＝69°，∠CDE＝∠C′DE= 1 2 ×160°＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠CDE＝180°﹣69°﹣80°＝31°； （2）∵∠BEC′＝70°，∠ADC'＝20°， ∴∠CEC′＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CED= 110° 2 =55°，∠CDE= 180°+20° 2 =100°， ∴∠C＝180°﹣55°﹣100°＝25°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）当点C'落在AC 上时，如图1 所示： 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由折叠的性质可知：∠C＝∠2， 由三角形的外角定理得：∠1＝∠C+∠2＝2∠2； 故答案为：∠1＝2∠2． （2）当C'点落在CA 和CB 之间时，连接CC'，如图2 所示： 则∠1、∠2、∠3 之间的关系是：∠1+∠3＝2∠2，理由如下： 由三角形的外角定理得：∠1＝∠DCC'+∠DC'C，∠3＝∠ECC'+∠EC'C， ∴∠1+∠3＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C， 即∠1+∠3＝∠DCE+∠DC'E， 由折叠的性质可知：∠DCE+∠DC'E＝∠2， ∴∠1+∠3＝2∠2； （3）当C'落在CB，CA 的同旁时，设C'D 与AC 交于点H，如图3 所示： 则∠1、∠2、∠3 之间的关系是：∠1＝2∠2+∠3，理由如下： ∵∠EHD 是△C'HE 的一个外角， ∴∠EHD＝∠2+∠3， ∵∠1 是△CHD 的一个外角， ∴∠1＝∠C+∠EHD， 即∠1＝∠C+∠2+∠3， 由折叠的性质可知：∠C＝∠2， ∴∠1＝2∠2+∠3
