上海七上数学压轴题解题技巧
及核心几何模型（解析版）
整式及其整式加减
题型一、多项式系数、指数中字母求值
【例1】若关于x 的多项式
3
4
b
a
x
x
x
ab
为二次三项式，则当
1
x 时，这个二次三项式的值是（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】B
【分析】
【详解】解：∵关于x 的多项式
3
4
b
a
x
x
x
ab
为二次三项式，
∴
4
0
a
，
2
b
，
∴
4
a
，
2
b
，
即多项式为
2
8
x
x
，
当
1
x 时，二次三项式
2
2
8
1
1 8
10
x
x
．
故选：B．
【例2】已知
2
3
3
4
m
m
x
x
n
x
m
n
是关于x 的多项式，其中m 、n 为整数，且
2
m
．
(1)若该多项式是一个二次二项式，求m
n
的值；
(2)若该多项式是一个三次三项式，求m
n
的值；
(3)若该多项式是一个四次三项式，求mn 的值．
【答案】(1)7 或0
(2) 7
或6
；
(3)16或16
．
【分析】
【详解】（1）解：若
2
3
3
4
m
m
x
x
n
x
m
n
是一个二次二项式，
2
m
，
则
3
0
m
，
4
0
n
，或
3
0
m
，
0
m
n
，
解得：
3
m
，
4
n
或
3
n ，
所以
3
4
7
m
n
，或
0
m
n
，
（2）解：若
2
3
3
4
m
m
x
x
n
x
m
n
是一个三次三项式，
则
3
m
，
3
0
m
，
解得：
3
m
，
当
4
0
n
x
时，解得：
4
n
，此时
1
m
n
，满足题意，
则
3
4
7
m
n
-
= -
-
= -
；
当
0
m
n
时，解得：
3
n
，此时
4
n
x
x
，满足题意；
则
3
3
6
m
n
，
综上可知，m
n
的值为7
或6
；
（3）解：若
2
3
3
4
m
m
x
x
n
x
m
n
是一个四次三项式，
则
4
m
，
3
0
m
，
4
0
n
且
0
m
n
，或
4
m
，
3
0
m
，
0
m
n
且
4
0
n
，
解得：
4
m ，
4
n
，
当
4
m
，
4
0
n
且
0
m
n
时，
4 4
16
mn
；
当
4
m 时，
4
0
n
，此时为四次二项式，不符合题意；
当
4
m
，
0
m
n
时，
4
n ，
4 4
16
mn
；
当
4
m ，
0
m
n
时，
4
n
，
4
0
n
，此时为四次二项式，不符合题意；
综上可知，mn 的值为16或16
．
【变式1-1】多项式
2
2
2
1
k
x y
k
xy
是关于x，y 的四次二项式，则k 的值为_________．
【答案】2
【详解】解：多项式
2
2
2
1
k
x y
k
xy
是关于x ，y 的四次二项式，
最高次项的次数为4 ，可得：
2
4
k
，
解得
2
k
，即
2
k
或
2
k
，
又多项式为二项式，
xy 项的系数为0 ，可得：
2
0
k
，
解得
2
k
，
验证得
2
k
符合四次二项式的要求．
【变式1-2】已知关于x ，y 的多项式
2
3
1
m
n
x y
m
x y
xy
（m ，n 为正整数且x 的指数不相同）是按x 的降幂
排列的五次四项式，则
m
n
的值为_________．
【答案】1
【分析】
【详解】解：∵多项式
2
3
1
m
n
x y
m
x y
xy
是按x 的降幂排列的五次四项式，
∴最高次项
m
n
x y 的次数为
5
m
n
，且
3
0
m
，
2
m
∴
5
m
n
，且
3
m
，
2
m
，
又∵m，n 为正整数，
∴
4
m
，
1
n ，
4
1
1
m
n
．
故答案为：1．
【变式1-3】已知多项式
1
3
3
2
2
3
2
4
m
x y
xy
n
x y
是六次三项式，求代数式
2
1
3
n
m
的值．
【答案】78
【详解】解：∵
1
3
3
2
2
3
2
4
m
x y
xy
n
x y
是六次三项式，
∴
1
3
m
，且
2
0
n
，
即
1
3
m
，且
2
n
，
当
1
3,
2
m
n
时，
2
2 2
4
1
3
3
3
3
3
78
n
m
；
当
1
3,
2
m
n
时，
2
2 2
4
1
3
3
3
3
3
78
n
m
；
综上，代数式
2
1
3
n
m
的值为78．
题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值
【例3】已知单项式
1
3
m
a
b
与
1
3
n
b
a
可以合并同类项，则m，n 分别为（
）
A．2，2
B．3，2
C．2，0
D．3，0
【答案】A
【详解】解：∵单项式
1
3
m
a
b
与
1
3
n
b
a
可以合并同类项，
∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等，
可得
1
3
m
，
1 1
n .
解得
2
m
，
2
n
．
【例4】已知a ，b 为常数，且三个单项式
2
4
,
, 5
b
xy
axy
xy
相加得到的和仍然是单项式．那么a 和b 的值可能
是多少？说明你的理由．
【答案】
4
2
a
b
或
5
1
a
b
，理由见解析
【详解】解：
4
2
a
b
或
5
1
a
b
，
理由：∵单项式
2
4xy ，
b
axy ，5xy
相加得到的和仍然是单项式，
∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0，
∴
2
4xy ，
b
axy 是同类项相加等于零或
b
axy ，5xy
是同类项相加等于零，
∴
4
2
a
b
或
5
1
a
b
．
【变式2-1】已知整式
1
3
nx
y
与
3
2
2
m
x y
的和是一个单项式，则m _____，n _________．
【答案】
3
2
【详解】∵整式
1
3
nx
y
与
3
2
2
m
x y
的和是一个单项式，
∴这两个整式是同类项，
∴
1
3
n
，
2
1
m
，
解得
3
m
，
2
n
．
【变式2-2】若单项式
3
4
2
m
x
y
与
5
2
1
2
n
x y
的差仍是单项式，则
n
m ______．
【答案】25
9
【分析】
【详解】解：∵单项式
3
4
2
m
x
y
与
5
2
1
2
n
x y
的差仍是单项式，
∴
3
4
2
m
x
y
与
5
2
1
2
n
x y
是同类项，
∴3
5
m ，2
4
n
，
解得
5
3
m
，
2
n
，
∴
2
5
25
3
9
n
m
．
故答案为：25
9 ．
【变式2-3】已知代数式
3
2
2
2
2
3
2
3
2
4
4
2
m
mn
m n
m n
m
n
．
(1)合并同类项，并按照字母m 的降幂排列；
(2)若
2
6
m
x
y 与
4
5
n
x y 是同类项，求代数式的值．
【答案】(1)
3
2
2
2
2
2
m
m n
mn
n
(2)0
【分析】
【详解】（1）解：
3
2
2
2
2
3
2
3
2
4
4
2
m
mn
m n
m n
m
n
3
2
2
2
2
2
m
m n
mn
n
（2）解：∵
2
6
m
x
y 与
4
5
n
x y 是同类项，
∴2
4,
1
m
n
，
∴
2,
1
m
n
∴原式
3
2
2
2
2
2
m
m n
mn
n
3
2
2
2
1
2
2 2
2 1
2 1
8
2
2
2 1
1
4
8
8
2
2
0
题型三、整式加减混合运算
【例5】一个多项式加上
2
2
2
3
2
1
x y
xy
x
的2 倍等于
2
2
4
5
3
2
5
x y
xy
x
y
，求这个多项式．
【答案】
2
11
7
2
3
xy
x
y
【详解】解：根据题意，得这个多项式为：
2
2
2
2
4
5
3
2
5
2 2
3
2
1
x y
xy
x
y
x y
xy
x
，
2
2
2
2
6
4
2
4
5
3
2
5
4
x y
xy
x
y
x
y
x
y
x
2
11
7
2
3
xy
x
y
．
【例6】以下是一道习题及嘉嘉的解答过程：
计算：
2
2
5
2
1
4 3
2
a
a
a
a
．
解：原式
2
2
5
2
1 12
8
a
a
a
a
……第一步
2
2
5
2
8
1 12
a
a
a
a
……第二步
2
6
10
13
a
a
．……第三步
(1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程；
(2)当
1
a 时，求此代数式的值．
【答案】(1)一；过程见解析
(2) 6
【分析】
【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的，
正确解答过程如下：
原式
2
2
5
2
1 12
8
4
a
a
a
a
2
2
5
4
2
8
1 12
a
a
a
a
2
6
13
a
a
．
（2）解：当
1
a 时，原式
1 6 1 13
6
．
【变式3-1】化简：
(1)
3
3
3
6
4
2
2 3
y
x
xy
y
xy
；
(2)2
5
3
4
7
ax
by
ax
by
by
．
【答案】(1)
3
4
6
x
xy
(2)
8
ax
by
【详解】（1）解：
3
3
3
6
4
2
2 3
y
x
xy
y
xy
3
3
3
6
4
8
6
2
y
x
xy
y
xy
3
4
6
x
xy
．
（2）解：2
5
3
4
7
ax
by
ax
by
by
2
3
5
4
7
ax
ax
by
by
by
8
ax
by
．
【变式3-2】化简：
(1)
2
2
7
2
3
x
x
x
x
．
(2)
3
2
3
3
1
1
1
1
(
)
2(
)
2
3
3
2
x
y
x
y
．
(3)
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
3(
)
2(
)
2
3
6
2
3
4
x
y
y
x
．
【答案】(1)
2
8x
x
(2)
3
2
3
7
1
6
3
x
y
y
(3)
3
5
6 x
【分析】
【详解】（1）解：原式
2
8
x
x ；
（2）解：原式
3
2
3
3
1
1
2
2
3
3
x
y
x
y
3
2
3
7
1
6
3
x
y
y
；
（3）解：原式
3
3
3
3
3
1
2
1
2
2
3
2
x
y
y
x
3
5
6 x
．
【变式3-3】习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：计算：
1
3
2
3
x
x
解：原式
3
1 6
6
2
3
x
x
…………第一步
3
1
2 3
x
x
…………第二步
3
3
6
2
x
x
…………第三步
5
9
x
…………第四步
习题2：解方程：
1
3
1
2
3
x
x
解：原式＝
3
1 6
6
1
2
3
x
x
…………第一步
3
1
2 3
1
x
x
…………第二步
3
3
6
2
1
x
x
…………第三步
5x＝10…………第四步
2
x
…………第五步
(1)分别写出习题1，习题2 的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)写出习题2 正确的解答过程．
【答案】(1)习题1 第一步，习题2 第一步
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）解：从解题过程可知，习题1 第一步开始出现错误，习题2 第一步开始出现错误
（2）解：
1
3
1
2
3
x
x
，
1
3
6
6
1 6
2
3
x
x
，
3
1
2 3
6
x
x
，
3
3
6
2
6
x
x
，
5
15
x
，
3
x
.
题型四、整式加减运算中先化简再求值
【例7】先化简，再求
2
2
2
2
5
6
3
2
ab
a b
ab
a b
的值，其中单项式
2
5
3x y 与
1
3
1
2
a
b
x
y
是同类项．
【答案】
2
8ab ，32
【详解】∵单项式
2
5
3x y 与
1
3
1
2
a
b
x
y
是同类项，
∴1
2
a
，3
1
5
b
，
解得
1
a ，
2
b
，
2
2
2
2
5
6
3
2
ab
a b
ab
a b
2
2
2
2
5
6
3
6
ab
a b
ab
a b
2
2
2
2
5
6
3
6
ab
a b
ab
a b
2
8ab
，
当
1
a ，
2
b
时，
原式
2
8
1
2
8 4
32
．
【例8】先化简，再求值：
2
2
2
2
2
1 2
3
3
3
a
a
ab
a
a
ab
，其中
1
2
a
，
1
b ．
【答案】
2
2
1
ab
，0
【详解】解：
2
2
2
2
2
1 2
3
3
3
a
a
ab
a
a
ab
2
2
2
2
2
2
1
3
3
a
a
ab
a
a
ab
2
2
1
ab
．
当
1
2
a
，
1
b 时原式
2
1
2
1
1
1 1
0
2
．
【变式4-1】若2
3
2025
x
y
=
，则代数式
2 3
2
9
x
y
x
y
x
y
___________．
【答案】4050
【详解】解：
2 3
2
9
x
y
x
y
x
y
6
4
9
x
y
x
y
x
y
=
-
-
+
-
+
4
6
x
y
=
+
2 2
3
x
y
，
当2
3
2025
x
y
=
时，原式
2 2025
4050
．
【变式4-2】先化简，再求值：已知
2
2
2
2
2
4
2
5
0,
3
2
,
5
x
y
A
x
xy
y
B
x
xy
y
，求
3
A
B
的值．
【答案】
2
5
16
xy
y
，450
【详解】解：∵
2
4
2
5
0
x
y
，
∴
2,
5
x
y
，
∵
2
2
2
2
3
3
2
3
5
A
B
x
xy
y
x
xy
y
2
2
2
2
3
2
3
3
15
x
xy
y
x
xy
y
2
5
16
xy
y
，
把
2,
5
x
y
代入，原式
5
2
5 16 25
50
400
450
．
【变式4-3】在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
选择a 的一个值．求
3
2
3
2
3
5
3
3
2
2
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
的值．
甲说：“当
0
a
时．原式
2026
．”
乙说：“当
1
a 时，原式
2026
．”
丙说：“当a 为任何一个有理数时，原式
2026
．”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由．
【答案】
解：这三位同学的说法都正确，理由如下：
∵
3
2
3
2
3
5
3
3
2
2
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
3
2
3
5
3
3
2
2
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
，
3
3
3
2
2
5
3
2
3
2
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
，
2026
，
∴多项式
3
2
3
2
3
5
3
3
2
2
2026
a
a
a
a
a
a
a
a
的结果恒等于2026，与a 的取值无关，
∴这三位同学的说法都正确．
【详解】略
题型五、带有字母的绝对值化简问题
【例9】当
6
a 时，化简3
3
a
的结果为（
）
A．
6
a
B．6
a
C．a
D．a
【答案】A
【详解】解：∵
6
a ，
∴3
3
0
a
，
∴
3
3
3
a
a
a
，
将3
3
a
a
代入原式得
3
3
6
6
a
a
a
，
∵
6
a ，
∴
6
0
a
，
∴
6
6
6
a
a
a
，
因此化简结果为
6
a
．
【例10】已知实数x ，y 满足
1
3
x
x
，
4
x
y
，则
x
y 的值为__________．
【答案】
4
【详解】解：对于
1
3
x
x
，
当
1
x 时，原式可化为
1
3
x
x
，解得
2
x
；
当
1
x 时，原式可化为1
3
x
x
，无解；
将
2
x
代入
4
x
y
，得
2
4
y
，
解得
2
y ；
当
2
y
时，
2
2
4
x
y
；
当
2
y 时，
2
2
4
x
y
；
综上所述，
4
xy
．
【变式5-1】已知有理数a，b 同号，则a
ab
a
ab
的值为（
）
A．0
B．2
C．2
或2
D．0 或2
【答案】D
【详解】解：∵有理数,a b 同号，
∴分两种情况讨论：①当
0
a
，
0
b
时，a
a
，
0
ab
，ab
ab
，
∴
1 1
2
a
ab
a
ab
a
ab
a
ab
；
②当
0
a
，
0
b
时，a
a
，
0
ab
a
b
，ab
ab
，
∴
1 1
0
a
ab
a
ab
a
ab
a
ab
；
综上，原式的值为0 或2 ．
【变式5-2】有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简a
b
a
c
b
c
的结果是________________．
【答案】2a
【详解】解：根据题意得：
0
c
b
a
，c
b
a
，
0,
0,
0
a
b
a
c
b
c
，
2
a
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
c
a
.
【变式5-3】若实数x ，y 同时满足
2
8
x
y
，
1
x
y
，则xy 的值为________．
【答案】6
【详解】解：由
1
x
y
移项得
1
y
x
，
将
1
y
x
代入
2
8
x
y
得
2
1
8
x
x
，
分两种情况讨论：
①当
0
x
时，x
x
，原方程化为
2
2
8
x
x
，
整理得3
6
x
，解得
2
x
，符合
0
x
，
此时
2
1
3
y
，
2 3
6
xy
；
②当
0
x
时，x
x
，原方程化为
2
2
8
x
x
，
整理得
6
x
，不符合
0
x
，舍去该解．
故xy 的值为6．
题型六、整式的加减运算中错解复原问题
【例11】某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中
2
3
5
7
B
x y
xy
x
，试求A
B
．这位同学把A
B
误看成了A
B
，结果求出的答案为
2
6
12
2
9
x y
xy
x
．
(1)请你替这位同学求出A
B
的正确答案；
(2)当x 取任意有理数时，
3
A
B
的值是一个定值，求y 的值．
【答案】(1)
2
12
2
5
A
B
x y
xy
(2)
2
11
y
【分析】
【详解】（1）解：∵
2
3
5
7
B
x y
xy
x
，
2
6
12
2
9
A
B
x y
xy
x
，
∴A
B
2
A
B
B
2
2
6
12
2
9
2 3
5
7
x y
xy
x
x y
xy
x
2
2
6
12
2
9
6
10
2
14
x y
xy
x
x y
xy
x
2
12
2
5
x y
xy
；
（2）解：
3
A
B
4
A
B
B
2
2
12
2
5
4 3
5
7
x y
xy
x y
xy
x
2
2
12
2
5 12
20
4
28
x y
xy
x y
xy
x
22
4
23
xy
x
，
∵当x 取任意有理数，
3
A
B
的值是一个定值，
∴
3
A
B
的值与x 的取值无关，
∵
3
22
4
23
A
B
y
x
，
∴22
4
0
y
，
∴
2
11
y
．
【例12】小马虎做一道数学题，“已知两个多项式A ______
2
4
x
x
，
2
2
3
4
B
x
x
，试求
3
A
B
．”其中多项式A
的二次项系数印刷不清楚
（1）小马虎看答案以后知道
2
3
5
12
A
B
x
x
，请你替小马虎求出系数“______”；
（2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式A 正确求出，老师又给出了一个多项式C ，要求小马虎求出A
C
的
结果．小马虎在求解时，误把“ A
C
”看成“ A
C
”，结果求出的答案为
2
7
3
x
x
．请你替小马虎求出“ A
C
”的正
确答案．
【答案】（1）-5；（2）-11x2-x+3．
【分析】
【详解】解：（1）因为
2
3
5
12
A
B
x
x
，
2
2
3
4
B
x
x
所以A=
2
5
12
3
x
x
B
=
2
2
(2
5
)
12
4
3
3
x
x
x
x
=
2
2
6
5
12
12
9
x
x
x
x
=
2
5
4
x
x
所以，系数为：-5，
故答案为：-5；
（2）因为A+C=
2
7
3
x
x
，A=-5x2-4x，
所以C=
2
7
3
x
x
+5x2+4x，
=6x2-3x-3
所以A-C=（-5x2-4x）-（6x2-3x-3）
=-5x2-4x-6x2+3x+3
=-11x2-x+3．
答：A-C 的结果为-11x2-x+3．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．
【变式6-1】有一道数学题“已知两个多项式A、B，且
3
5
3
9
B
x
x
，求A B
．”小华在做这道题时，误把“ A
B
”
看成了“ A
B
”，结果得到
3
4
3
x
x
，则A 的表达式为（
）
A．
3
4
3
12
x
x
B．
3
11
10
15
x
x
C．
3
6
7
6
x
x
D．
3
6
12
x
x
【答案】C
【分析】
【详解】解：∵
3
4
3
A
B
x
x
，且
3
5
3
9
B
x
x
，
∴
3
3
4
3
5
3
9
A
A
B
B
x
x
x
x
3
3
9
5
4
3
3
x
x
x
x
3
6
7
6
x
x
故A 的表达式为
3
6
7
6
x
x
，
故选：C．
【变式6-2】小明做一道数学题，“求代数式
9
8
7
6
5
4
3
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，当
1
x 时的值”？
由于将式中某一项前的“＋”号看为“﹣”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？
【答案】5
，五次项
【详解】解：把
1
x 代入
9
8
7
6
5
4
3
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，得：
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
，
∵误求得代数式的值为7，比5
大12，
则12
2
6
，
∴小明同学看错了五次项前的符号．
【点睛】此题主要考查了整式的加减-化简求值问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，
不能把数值直接代入整式中计算．
【变式6-3】某同学在计算一个多项式A 减去
2
2
1
a
a
时，因误看作加上
2
2
1
a
a
，得到的答案为
2
3
2
4
a
a
，
求多项式A ．
【答案】
2
2
3
a
【分析】
【详解】解：由题意，得
2
2
2
2
2
3
2
4
2
1
3
2
4
2
1
2
3
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
．
题型七、整式加减与字母取值无关类题型
【例13】已知a ，b 满足
2
10
0
a
b
．
(1)a ________________（请用含b 的代数式表示a ）；
(2)若代数式
2
a
mb
的值与b 的取值无关，求m 的值．
【答案】(1) 2
10
b
(2)
1
m
【分析】
【详解】（1）解：∵
2
10
0
a
b
，
∴
2
10
a
b
；
（2）解：
2
2
10
2
a
mb
b
mb
(2
2)
10
m
b
，
代数式
2
a
mb
的值与b 的取值无关，
2
2
0
m
，
1
m
．
【例14】已知
2
2
3
2
2
A
a
ma
a
，
2
1
B
a
ma
，且A
B
的值不含a 的一次项，求m 的值．
【答案】
1
m
【详解】解：A
B
2
2
2
3
2
2
1
a
ma
a
a
ma
2
2
2
3
2
2
1
a
ma
a
a
ma
2
2
2
1
a
ma
a
2
2
2
1
a
m
a
因为A
B
的值不含a 的一次项
所以2
2
0
m
解得
1
m ．
【变式7-1】如果关于x 的多项式
3
2
2
2
3
9
3
9
x
k x
x
x
中不含
2x 项，则k 的值为（
）
A．0
B．3
C．3
D．3 或3
【答案】D
【详解】解：
3
2
2
2
3
2
2
3
9
3
9
3
9
3
9
x
k x
x
x
x
k
x
x
，
∵多项式不含
2
x 项，
∴
2
9
0
k
，
∴
2
9
k
，
∴
3
k
或
3
k ．
【变式7-2】已知关于x ，y 的方程组
3
2
3
2
8
7
x
y
a
x
y
a
．
(1)若x
y
，求a 的值；
(2)求k 为何值时，代数式3x
ky
的值与a 的取值无关，始终是一个定值，并求出该定值．
【答案】(1)
4
a
(2)
6
k
，3
15
x
ky
【分析】
【详解】（1）解：（1）由题意得，
3
2
3
2
8
7
x
y
a
x
y
a
①
②，
①2
，得2
2
6
4
x
y
a
③，
②-③，得
2
3
x
a
，
把
2
3
x
a
代入①，得2
3
3
2
a
y
a
，
解得
1
y
a
，
∵x
y
，
2
3
1
a
a
，
解得
4
a
，
（2）解：由（1）知
2
3
x
a
，
1
y
a
，
3
3 2
3
1
6
9
x
ky
a
k a
k a
k
，
3x
ky
的值与a 无关，
6
0
k
，
解得
6
k
，
3
0
9
6
15
x
ky
．
【变式7-3】二阶行列式指由4 个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式
的定义为
a
b
ad
bc
c
d
，如
1
2
1 4
3 2
2
3
4
．
(1)若
1
8
1
x
x
x
x
，求x 的值；
(2)若
1
1
x
m
x
nx
x
的值与x 无关，求
3
m
n
值．
【答案】(1)
7
2
x
(2) 1
9
【分析】
【详解】（1）解：根据题目给出的二阶行列式定义
a
b
ad
bc
c
d
，
对给定行列式展开得：
1
1
8
x
x
x x
,
展开化简左边：
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
,
即2
1
8
x
，
解得
7
2
x
（或
3.5
x
）．
（2）解：根据定义展开：
1
1
1
1
x
m
x
x
m
x
nx x
nx
x
2
2
1
x
m
x
m
nx
nx
2
1
1
n x
m
n x
m
,
∵值与x 无关，
∴含x 的项系数都为0，
即：
1
0
1
0
n
m
n
，
解得，
2
1
m
n
，
代入
2
2
1
1
(3 )
(3 1)
3
9
m
n
．
整式的乘除
【题型一】幂的乘法运算
【例1-1】（24-25 七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（
）
A．
2
3
4
7
a
a
a
B．
2
3
6
m
m
m
C．
2
3
6
3
6
x
x
D．
3
3
5
5
x
x
【答案】D
【详解】解：A．∵3
4
7
a
a
a
，原式不正确；
B．
2
3
5
·
m m
m
，原式不正确；
C．∵
2
3
6
3
9
x
x
，原式不正确；
D．∵
5
3
3
15
5
15
,
x
x
x
x
，正确．
故选,：D．
【例1-2】（24-25 七年级上·上海松江·期中）计算：
2
3
4
x
x
．
【答案】
11
x
【详解】解：
2
3
4
x
x
3
8
x
x
11
x
，
故答案为：
11
x ．
【例1-3】（24-25 七年级上·上海·期中）已知：5m
a
，5n
b
，则
2
3
5 m
n
【答案】
2
3
a b
【详解】解：∵5m
a
，5n
b
，
∴
2
3
5 m
n
3
2
5
5
m
n
3
2
5
5n
m
2
3
a b
．
故答案为：
2
3
a b ．
【例1-4】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
3
3
4
(
)
(
)
x
y
y
x
．（结果用幂的形式表示）
【答案】
15
x
y
【详解】解：
3
3
4
(
)
(
)
x
y
y
x
3
3
4
(
)
(
)
x
y
x
y
3
12
(
)
(
)
x
y
x
y
15
(
)
x
y
；
故答案为：
15
(
)
x
y
．
【例1-5】（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）比较大小：
6
3
2
3
43
．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】
【详解】解：
6
3
6
3
3
2
4
2
6
，
3
4
3
3
81
，
∵64
81
，
∴
3
3
64
81
，
∴
6
2
3
4
2
3
，
故答案为：．
【例1-6】（24-25 七年级上·上海浦东新·期中）计算：
2
3
3
2
2
3
2
(
) (
)
a
a
a
a
a
【答案】
6
8a
【详解】解：原式
6
6
6
8
a
a
a
6
8a
．
【例1-7】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
675
2024
8
0.5
．
【答案】2
【详解】解：
675
2024
8
0.5
2024
675
3
1
2
2
2024
2025
1
2
2
2024
2024
1
2 2
2
2024
1
2
2
2
2024
2 1
2
，
故答案为：2
．
【变式1-1】（24-25 七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（
）
A．
30
2
B．
20
4
C．
10
9
D．
5
100
【答案】B
【详解】解：
5
5
2
10
100
10
10
，
10
20
2
10
4
4
16
，
10
30
3
10
2
2
8
，
∵8
9
10
16
，
∴
30
10
10
5
10
20
10
2
8
9
100
10
4
16
，
故选：B．
【变式1-2】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）计算：
4 (
)
x
x
．
【答案】
5x
【详解】解：
4 (
)
x
x
5x
故答案为：
5x
．
【变式1-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2025
2024
2025
2
1.5
( 1)
3
．
【答案】
2
3
【详解】解：
2025
2024
2025
2
1.5
( 1)
3
2024
2024
1
2
2
1.5
3
3
2024
2
2 1.5
3
3
2024
2 1
3
2
3
；
故答案为：
2
3
【变式1-4】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
3
2
3(
)
2(
)
x
y
x
y
（结果用幂的形式表示）．
【详解】解：
2
3
3
2
3(
)
2(
)
x
y
x
y
6
6
9
8
x
y
x
y
6
x
y
【变式1-5】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2
2
1
3
1
3
4
6
x
x
x
，求x 的值．
【详解】解：
2
2
1
3
1
3
4
6
x
x
x
1
3
1
2
2
2
3
2
2 3
x
x
x
2
2
2
2
3
1
3
1
3
2
2
3
x
x
x
x
2
2
3
1
3 2
2 3
x
x
2
2
3
1
6
6
x
x
∴2
2
3
1
x
x
解得
1
x ．
【变式1-6】（22-23 七年级上·上海宝山·期中）计算
2
3
2
3
3
2
2a
a
a
a
a
-
- -
-
-
【详解】解：
2
3
2
3
3
2
2a
a
a
a
a
-
- -
-
-
，
2
3
6
6
4a
a
a
a
a
-
- -
-
=
，
6
6
6
4a
a
a
-
-
=
，
6
2a
【题型二】单项式乘单项式
【例2-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
3
2
x
xy
【答案】
3
3
6x y
【详解】解：
2
3
3
3
3
2
6
x
xy
x y
，
故答案为：
3
3
6x y
．
【例2-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
3
2
3
2
4
2
1
2
3
6 x y
x y
xy
xy
【答案】
4
7
82
3 x y
【详解】解：
2
3
2
4
2
3
1
2
( 3
)
6 x y
x y
xy
xy
2 2
3 4
3
6
1
2
27
6
x
y
x y
xy
4
7
4
7
1
27
3 x y
x y
4
7
4
7
1
27
3 x y
x y
4
7
1
27
3
x y
4
7
82
3 x y
．
【变式2-1】（23-24 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
3
2
4
a b
a b
．
【答案】
4
4
8a b
【详解】解：原式
2
2
3
2
4
a
a
b b
4
4
8a b
．
故答案为：
4
4
8a b ．
【变式2-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
3
2
2
1
3
2
x y
y z
．
【答案】
2
7
3
3
8 x y z
【详解】解：
3
2
2
1
3
2
x y
y z
2
6
3
2
7
3
1
3
3
8
8
x y
y z
x y z
故答案为：
2
7
3
3
8 x y z
．
【变式2-3】（23-24 七年级上·上海长宁·期中）计算：
2
3
3
3
2
2
2
1
9
3
x y
x y
x y
xy
【答案】0
【详解】解：
2
3
3
3
2
2
2
1
9
3
x y
x y
x y
xy
3
3
4
2
6
3
2
1
9
9
x y
x y
x y
xy
7
5
7
5
x y
x y
0
【题型三】单项式乘整式
【例3-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
2
1
4
12
6
3
x
xy
xy
．
【答案】
2
2
3
2
16
x y
x y
【详解】解：
2
1
4
12
6
3
x
xy
xy
2
1
4
12
12
6
3
x
xy
xy
xy
2
2
3
2
16
x y
x y
．
故答案为：
2
2
3
2
16
x y
x y
．
【例3-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
2
2
x x
y
y y
x
．
【详解】解∶
2
2
x x
y
y y
x
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
xy
2
2
2
2
x
y
．
【变式3-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
1
1
3
4
5
xy
x
y
．
【答案】
2
2
3
3
4
5
x y
xy
【详解】解：
1
1
3
4
5
xy
x
y
1
1
3
3
4
5
xy
x
xy
y
2
2
3
3
4
5
x y
xy
，
故答案为：
2
2
3
3
4
5
x y
xy
．
【变式3-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
1
4
·
2
9
3
3
x
x
xy
y
xy
．
【答案】
4
3
2
3
3
4
6
3
x y
x y
x y
【详解】解：
2
2
1
4
·
2
9
3
3
x
x
xy
y
xy
2
2
1
4
1
1
·
·2
·
9
3
3
3
3
x
x
x xy
x y
xy
3
2
2
4
2
1
9
9
3
3
x
x y
xy
xy
3
2
2
4
2
1
9
9
9
9
3
3
x
xy
x y
xy
xy
xy
4
3
2
3
3
4
6
3
x y
x y
x y
故答案为：
4
3
2
3
3
4
6
3
x y
x y
x y
．
【变式3-3】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）计算：
2
2
2
2
1
3
1
2
2
2
4
x
xy
y
xy
．
【详解】解：
2
2
2
2
1
3
1
2
2
2
4
x
xy
y
xy
2
2
2
4
1
3
1
4
2
2
4
x
xy
y
x y
4
4
3
5
2
6
2
6
x y
x y
x y
．
【题型四】整式乘整式
【例4-1】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）计算：(4
3)(
2)
x
x
．
【答案】
2
4
5
6
x
x
【详解】解：
2
2
(4
3)(
2)
4
8
3
6
4
5
6
x
x
x
x
x
x
x
，
故答案为：
2
4
5
6
x
x
．
【例4-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
ab
b
a
．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
ab
b
a
3
2
2
4
2
2
3
3
3
4
2
2
2
2
2
4
2
a b
a b
a
a b
ab
a b
ab
b
a b
4
2
2
4
3
4
a
a b
b
．
【例4-3】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
2
(
2)(
4)
6 (
3)
5
x
x
x x
x ．
【详解】解：
2
2
4
6
3
5
x
x
x x
x
2
2
2
6
8
6
18
5
x
x
x
x
x
12
8
x
．
【变式4-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
5
2
x
x
．
【答案】
2
3
10
x
x
【详解】解：
5
2
x
x
2
2
5
10
x
x
x
2
3
10
x
x
．
故答案为：
2
3
10
x
x
．
【变式4-2】（24-25 七年级上·上海崇明·期中）计算：
3
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
__________．
【答案】
2
2
5
3
a
b
-
【详解】解：
3
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
a
ab
ab
b
a
ab
ab
b
2
2
5
3
a
b
，
故答案为：
2
2
5
3
a
b
-
．
【变式4-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
1
4
2
2 3
2
4
1
2 x
x
x
x
．
【详解】解：原式
2
2
2
2 12
3
8
2
x
x
x
x
x
2
2
2
20
6
16
x
x
x
x
2
15
18
6
x
x
．
【变式4-4】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
8
6
2
3
6
1
x
x x
y
x
x
y
【详解】解：
2
8
6
2
3
6
1
x
x x
y
x
x
y
2
2
2
8
6
2
6
6
x
x
xy
x
xy
x
y
2
2
2
8
6
2
6
6
6
6
6
x
x
xy
x
xy
x
y
6
6
6
x
y
．
【题型五】平方差与完全平方公式
【例5-1】（24-25 七年级上·上海·期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（
）
A．
2
2
a
b
a
b
B．
2
2
x
y
y
x
C．
2
2
a
b
b
a
D．
2
2
x
y
y
x
【答案】D
【详解】解：A、
2
2
a
b
a
b
，满足a 相同，2b 与2b
相反，可用平方差公式，结果为
2
2
2
a
b
；
B、
2
2
x
y
y
x
可调整为
2
2
y
x
y
x
满足y 相同，2x 与2x
相反，可用平方差公式，结果为
2
2
2
y
x
；
C、
2
2
a
b
b
a
可调整为
2
2
a
b
a
b
满足2a 相同，b 与b
相反，可用平方差公式，结果为
2
2
2a
b
；
D、
2
2
x
y
y
x
可调整为
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
，两括号为同一二项式的相反数，结果为完全平方的
负数，无法用平方差公式．
故选：D．
【例5-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
x
y
z
．
【答案】
2
2
2
2
2
2
x
y
z
xy
xz
yz
【详解】解：
2
x
y
z
2
x
y
z
2
2
2
x
y
x
y z
z
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
xz
yz
z
，
故答案为：
2
2
2
2
2
2
x
y
z
xy
xz
yz
．
【例5-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
1
3
1
2
3
m
n
m
n
【详解】解：
2
1 3
1 2
3
m
n
m
n
，
2
1 3
2
1 3
m
n
m
n
，
2
2
2
1 3
m
n
，
2
2
4
1
6
9
m
n
n
，
2
2
4
9
6
1
m
n
n
．
【变式5-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
1
3
100
99
4
4
．
【答案】
15
999916
【详解】解：
1
3
100
99
4
4
1
1
100
100
4
4
2
2
1
100
( )
4
1
10000
16
15
999916
故答案为：
15
999916 ．
【变式5-2】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2
2
5
6
4
9
0
x
x
xy
y
，那么xy
．
【答案】18
【详解】解：
2
2
5
6
4
9
0
x
x
xy
y
，
2
2
2
4
4
6
9
0
x
xy
y
x
x
，
2
2
(2
)
(
3)
0
x
y
x
，
2
(2
)
0
x
y
，
2
(
3)
0
x
，
2
0
x
y
且
3
0
x
，
解得
3
x
，
6
y ，
3
6
18
xy
．
故答案为：18
．
【变式5-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：(3
2
)(3
2
)
x
y
z
x
y
z
【答案】
2
2
2
9
4
4
x
y
yz
z
【详解】解：(3
2
)(3
2
)
x
y
z
x
y
z
3
2
3
2
x
y
z
x
y
z
2
2
3
2
x
y
z
2
2
2
9
4
4
x
y
yz
z
2
2
2
9
4
4
x
y
yz
z
．
【题型六】同底数幂的除法
【例6-1】（24-25 七年级上·上海·期中）下列计算的结果正确的是（
）
A．
6
2
3
a
a
a
B．
0
( 1)
1
C．
0
0
2
3
D．
0
1
a
【答案】C
【详解】解：A.
6
2
4
a
a
a
，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.
0
( 1
1
)
，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.
0
0
2
1
3
，原计算正确，故此选项符合题意；
D.
0
1
0
a
a
，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【例6-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
11
6
x
y
y
x
（用幂的形式表示结果）．
【答案】
5
x
y
【详解】解：
11
6
x
y
y
x
11
6
x
y
x
y
5
x
y
．
故答案为：
5
x
y
．
【例6-3】（24-25 七年级上·上海虹口·期中）已知
2
x
a
，
6
y
a
，那么
2
3
y
x
a
的值为
．
【答案】9
2
【详解】解：∵
2
x
a
，
6
y
a
，
∴
3
2
3
2
3
2
3
2
9
6
2
2
y
x
y
x
y
x
a
a
a
a
a
，
故答案为：9
2 ．
【变式6-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
9
6
3
a
a
a
．
【答案】
6
a
【详解】解：
9
6
3
a
a
a
9 6 3
a
6
a
，
故答案为：
6
a ．
【变式6-2】（24-25 七年级上·上海杨浦·期中）若3
6
x
a
，3
3
y
b
，则3x y
．
【答案】2a
b
【详解】解：∵3
6
x
a
，3
3
y
b
，
∴
2
3
3
3
6
3
x y
x
y
a
a
b
b
．
故答案为：2a
b ．
【变式6-3】（24-25 七年级上·上海杨浦·期中）计算：
2
2
1
1
1
2
3
2
m
m
m
m
a
a
a
a
a
．
【详解】解：
2
2
1
1
1
2
3
2
m
m
m
m
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
9
2
m
m
m
a
a
a
a
2
2
2
9
2
m
m
m
a
a
a
2
10
m
a
．
【题型七】单项式除以单项式
【例7-1】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）计算：
2
5
15
xy
xy
．
【答案】
1
3 y
【详解】解：
2
1
5
15
3
xy
xy
y
，
故答案为：
1
3 y
．
【例7-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
3
2
6
(
)
a b
a b
ab
a
a
a
．
【详解】解：
2
2
2
2
3
2
6
(
)
a b
a b
ab
a
a
a
2
3
4
3
2
2
4
6
6
(
)
a b
a b
a b
a
a
2
3
2
4
6
7
a b
a b
a
3
2
10
7
a b
a
．
【变式7-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）计算：
5
3
12
3
a b
ab
．
【答案】
4
2
4a b
【详解】解：
4
2
5
3
1
4
2
3
a b
ab
a b
，
故答案为：
4
2
4a b ．
【变式7-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
3
3
1
3
3
x
x
．
【答案】
8
81x
【详解】解：
3
3
1
3
3
x
x
9
1
27
3
x
x
8
81x
，
故答案为：
8
81x
．
【题型八】整式除以单项式
【例8-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
1
1
4
3
2
2
a b
a b
ab
ab
．
【答案】4
8
3 ab
a
【详解】解：
2
2
2
2
1
1
4
3
2
2
a b
a b
ab
ab
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
3
2
2
2
2
a b
ab
a b
ab
ab
ab
4
8
3 ab
a
．
故答案为：4
8
3 ab
a
．
【例8-2】（24-25 七年级上·上海松江·期中）计算：
3
3
2
4
2
2
12
8
4
2
3
x y
x y
x y
y
y
x
【详解】
3
3
2
4
2
2
12
8
4
2
3
x y
x y
x y
y
y
x
2
2
3
2
2
3
xy
y
y
xy
0
．
【变式8-1】（24-25 七年级上·上海虹口·期中）计算：
2
4
3
3
2
2
2
8
4
x y
xy
x y
xy
．
【详解】解：原式
2
4
2
3
2
3
2
2
2
4
8
4
4
x y
xy
xy
xy
x y
xy
2
2
1
1
2
2
4
xy
y
x
．
【变式8-2】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）计算：
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
3
x y
x
xy
y
x y
【详解】解：
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
3
x y
x
xy
y
x y
3
3
5
4
4
2
2
2
6
3
6
4
x y
y
x y
y
x
x
2
2
3
4
2
2
3
x y
xy
y
【题型九】整式的混合运算
【例9-1】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）计算：
3
3
2
2
3
2
2
4
7
5
2
1
3
2
1
1
2
4
3
3
2
x y
x
y
x y
x y
x y
xy
【详解】解：原式
6
6
6
3
6
3
3
3
2
1
3
2
4
3
3
8 x y
x
y
x y
x y
3
3
6
6
6
3
1
3
4
8
4
3
x y
x y
x y
6
3
11
24 x y
．
【例9-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
2
3
9
6
3
3
x
x
x
x
x
【详解】解：
2
3
2
3
9
6
3
3
x
x
x
x
x
2
2
3
2
6
9
x
x
x
x
7
3x
．
【变式9-1】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
3
4
3
3
4
4
x
y
x
x
y
y
【详解】解：原式
2
2
2
9
24
12
4
16
9
y
x
xy
y
x
xy
2
12
6
4
1
y
xy
y
3
4
x
y
．
【变式9-2】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
3
8
1
1
(3
)
3
2
2
xy
x
x y
xy
x y
【详解】解：
2
2
2
3
8
1
1
(3
)
3
2
2
xy
x
x y
xy
x y
2
2
3
4
8
1
1
(3
)
3
4
2
xy
x
x y
xy
x y
3
3
3
2
1
1
3
3
2
x y
x y
x y
3
3
1
2
x y
x y
2
．
【变式9-3】（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
，
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
xy
y
x
y
，
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
x
x
x
xy
xy
xy
y
y
y
，
2
5
2
2
xy
y
y
，
5
2 x
y
．
【题型十】不含某项求字母的值
【例10-1】（24-25 七年级上·上海·期中）已知代数式
2
(
)
3
2
x
m
x
x
的积中不含x 的一次项，则m
．
【答案】2
3
【详解】解：
2
(
)
3
2
x
m
x
x
3
2
2
3
2
3
2
x
x
x
mx
mx
m
3
2
3
2
3
2
x
m
x
m x
m
，
∵该代数式的积中不含x 的一次项，
∴2
3
0
m
，解得
2
3
m
，
故答案为：2
3 ．
【例10-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）如果关于x 的两个多项式
2
2
3
x
x
与ax
b
相乘展开后的结果不含有
一次项，且二次项系数是1，求a 和b 的值．
【详解】解：∵
2
)
(
3 (
2
) a
x
x
x
b
3
2
2
2
3
2
3
ax
ax
ax
bx
bx
b
3
2
(2
)
(3
2 )
3
ax
a
b x
a
b x
b
，
∵乘积不含有一次项，且二次项系数是1，，
∴
2
1
3
2
0
a
b
a
b
，
∴
2
3
a
b
．
【变式10-1】（24-25 七年级上·上海·期中）已知整式
3
x
x
a
中无x 的一次项，求a
．
【答案】3
【详解】解：
3
x
x
a
2
3
3
x
ax
x
a
2
3
3
x
a
x
a
，
∵整式
3
x
x
a
中无x 的一次项，
∴
3
0
a
，
解得：
3
a
．
故答案为：3．
【变式10-2】（24-25 七年级上·上海·期中）将关于x 的两个整式
1
ax 与2
3
x 相乘，积中不出现一次项，a
．
【答案】
2
3
【详解】解：
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
1
a
x
ax
ax
x
ax
x
a
x
∵积中不出现一次项，
∴3
2
0
a
解得：
2
3
a
故答案为：
2
3
．
【变式10-3】
（24-25 七年级上·上海宝山·期中）一个关于x 的二次三项式
2
2
4
x
x
，将它与一个关于x 的二项式ax
b
相乘，得到一个关于x 的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求a 、b 的值．
【详解】解：
2
3
2
2
2
4
2
2
4
4
x
x
ax
bx
b
a
b
x
b
ax
x
ax
3
2
2
2
4
4
ax
b
a x
b
a x
b
∵不出现一次项，且三次项系数为1，
∴
1,2
4
0
a
b
a
，
解得：
1,
2
a
b
【题型十一】求完全平方式中的字母系数
【例11-1】（24-25 七年级上·上海·期中）若关于x 的整式
2
4
25
x
mx
是某个整式的平方，则m 的值是
．
【答案】20
【详解】解：由题意得：
2
2
4
25
2
5
x
mx
x
，
即
2
2
4
25
4
20
25
x
mx
x
x
，
所以
20
m
，
故答案为：20
．
【例11-2】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2
4
2(
1)
1
x
k
x
是完全平方式，那么k 的值为
．
【答案】1 或3
【详解】解：由
2
2
2
4
2(
1)
1
2
2(
1)
1
x
k
x
x
k
x
，
∴2(
1)
4
k
，解得
1
k 或3
，
故答案为：1 或3
【例11-3】（24-25 七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A 和单项式B 满足
2
2
1
A
x
B
，那么B
．
【答案】2x
，
4
1
4 x
【详解】解：∵A 是二项式，
∴
2
A 是一个二项式的完全平方，
∴
2
1
x
B
可以写成一个二项式的完全平方，
∴
2
B
x
，
4
1
4 x ．
故答案为：2x
，
4
1
4 x ．
【变式11-1】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）如果关于x 的整式
2
1
9
2
1
4
x
m
x
是某个整式的平方，那么m 的
值是
．
【答案】2 或1
【详解】解：∵
2
1
9
2
1
4
x
m
x
是某个整式的平方，
∴
2
2
1
1
9
2
1
3
4
2
x
m
x
x
，
∴
1
2
1
2 3
3
2
m
，
∴
2
m
或
1
m ；
故答案为：2 或1
．
【变式11-2】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）若关于x 的整式
2
2
64
x
m x
是某个关于x 的整式的平方，则
m
．
【答案】14
或18
【详解】解：∵关于x 的整式
2
2
64
x
m x
是某个关于x 的整式的平方，
2
2
2
2
64
2
8
x
m x
x
m x
，
∴
2
2
8
m x
x
，
∴
2
16
m
，
∴
18
m
或
14
m
，
故答案为：14
或18．
【变式11-3】
（24-25 七年级上·上海徐汇·期中）已知
2
9
2
1
16
x
k
x
是一个完全平方式，则k 的值为
．
【答案】13
或11
【详解】解：∵
2
2
2
9
2
1
16
3
2
1
4
x
k
x
x
k
x
是一个完全平方式，
∴
2
1
2 3
4
k
x
x
，
∴
2
1
24
k
，
∴
13
k
或
11
k
，
故答案为：13
或11．
【题型十二】对完全平方公式变形求值
【例12】（24-25 七年级上·上海·期中）已知
2024
2022
2023
a
a
，则
2
2
2024
2022
a
a
．
【答案】4050
【详解】解：∵
2024
2022
2023
a
a
∴
2024
2022
2023
a
a
∴
2
2
2024
2022
a
a
2
2024
2022
2 2024
2022
a
a
a
a
2
2
2 2024
2022
a
a
2
2
2
2023
4050
．
故答案为：4050 ．
【变式12-1】（24-25 七年级上·上海·期中）若a，b 为有理数且满足
5
0
ab
a
b
，
2
2
2
3
5
S
a
ab
b
a
b
，则
S 的最小值为
．
【答案】6
【详解】解：由题得
5
ab
a
b
，
2
2
2
3
5
S
a
ab
b
a
b
2
2
2
3
3
15
5
a
a
b
b
a
b
2
2
2
8
2
15
a
a
b
b
2
2
2
4
4
2
1
6
a
a
b
b
2
2
2
2
1
6
a
b
，
∵
2
2
0
a
，
2
1
0
b
，
∴
6
S
，（当且仅当
2
a ，
1
b 时取等号），
经验证：
2
a ，
1
b 满足
5
0
ab
a
b
，
综上，S 的最小值为6．
故答案为：6．
【变式12-2】（24-25 七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题：
(1)已知
3
x
y
，
1
xy ，求
2
2
x
y
和
2
x
y
的值；
(2)已知
2
2
5
2
0
x
x
，求
2
2
1
x
x
和
2
1
x
x
的值．
【详解】（1）解：∵
3
x
y
，
1
xy ，
∴
2
2
2
2
2
3
2 1
7
x
x
y
xy
y
，
2
2
2
4
3
4 1
5
x
y
x
y
xy
；
（2）解：当
0
x
时，
2
2
5
2
2
0
x
x
，
∵
2
2
5
2
0
x
x
，
∴
0
x
，
∴
2
2
5
0
x
x
，
∴
1
5
2
x
x
，
∴
2
2
1
5
2
x
x
∴
2
2
1
25
2
4
x
x
，
∴
2
2
1
17
4
x
x
，
∴
2
2
2
1
9
2
4
1
x
x
x
x
．
【题型十三】规律探究
【例13-1】（24-25 七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第n 个图形共有圆点
个．
【答案】
2
4
n
n
【详解】解：第1 个图形有4
2 1
6
个圆点，
第2 个图形有4
2 3
10
个圆点，
第3 个图形有4
3 4
16
个圆点，
第4 个图形有4
4 5
24
个圆点，
……，
以此类推，可知第n 个图形共有圆点：
2
4
1
4
n n
n
n
个，
故答案为：
2
4
n
n
．
【例13-2】（24-25 七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了(
)
(
1,2,3,
)
n
a
b
n
展开式系数的规律：
1
(
)
a
b
a
b
展开式系数和为1 1
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
展开式系数和为
1
2
1
3
3
2
2
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
展开式系数和为
1 3
3 1
4
3
2
2
3
4
4
(
)
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
展开式系数和为
1 4
6
4 1
根据上述规律，
7
(
)
a
b
展开式的系数和是
．
【答案】128
【详解】解：当
1
n 时，展开式中所有项的系数和为
1
2
2
，
当
2
n
时，展开式中所有项的系数和为
2
4
2
，
当
3
n
时，展开式中所有项的系数和为
3
8
2
，
当
4
n
时，展开式中所有项的系数和为
4
16
2
，
……
当
7
n
时，展开式的项系数和为
72
128
=
=
，
故答案为：128．
【变式13-1】（24-25 七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造
法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(
)n
a
b
（n 为正整数）的展开式（按a
的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
展开式中的系数：第四行的四个数1,3,3,1恰好对应
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
展开式中的系数等等，利用上述的
规律计算：
5
4
3
2
10
5 10
10 10
10 10
5 10 1
．（结果用幂的形式表示）
【答案】
5
11
【详解】解：根据题意得：
5
5
4
3
2
2
3
4
5
5
10
10
5
a
b
a
a b
a b
a b
ab
b
；
令上式中
10,
1
a
b
，得：
5
5
4
3
2
5
10
5 10
10 10
10 10
5 10
1
10
1
11
．
故答案为：
5
11 ．
【变式13-2】（23-24 七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此
表揭示了
n
a
b
（n 为非负数）展开式的各项系数的规律，如：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，它的系数分别为1，2，1．若
4
1
y
x
展开得
4
3
2
4
3
2
1
0
y
a x
a x
a x
a x
a
，那么
0
1
2
3
4
a
a
a
a
a
的值为
．
【答案】16
【详解】解：∵
4
4
3
2
4
3
2
1
0
1
y
x
a x
a x
a x
a x
a
令
1
x ，
∴
4
4
3
2
1
0
1 1
16
a
a
a
a
a
，
即
0
1
2
3
4
16
a
a
a
a
a
；
故答案为：16；
【变式13-3】（24-25 七年级上·上海·期中）阅读材料：
定义：如果一个数i 的平方等于1
，记为
2
1
i ，这个数i 叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、
乘法运算类似．
例如计算：
2
3
4
5
3
i
i
i
；
2
3
4
1 5
i
i
i
；
2
2
3
4
6
8
3
4
10
5
i
i
i
i
i
i
．
(1)填空：3i = _____；4i _____．
(2)计算（需写出计算过程）：
①
2
2
i
i
；
②
2
2
i
．
【详解】（1）解：∵
2
1
i ，
∴3
2
1
i
i
i
i
i
．
∵
2
1
i ，
∴
2
2
4
2
1
1
i
i
．
故答案为：i
，1．
（2）解：①
2
2
i
i
2
2
2
i
4
1
4
1
5
；
②
2
2
i
2
2
2
2
2 i
i
4
4
1
i
4 1 4i
3
4i
．
【题型十四】整式乘法与图形面积
【例14-1】（24-25 七年级上·上海·期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为a，长方形CEFG 的边CE 长为2a ，边
CG 长为b．则以D 为圆心，AD 为半径的弧与GA
GE
、
所围成的阴影部分的面积是
．（用含有a、b 和的
代数式表示）
【答案】
2
2
1
1
1
2
2
4
a
ab
a
【详解】解：由题意得，
2
2
1
1
1
2
2
2
4
S
ab
a
a a
b
a
阴影
2
2
2
1
1
1
2
2
4
ab
a
a
ab
a
2
2
1
1
1
2
2
4
a
ab
a
，
故答案为：
2
2
1
1
1
2
2
4
a
ab
a
．
【例14-2】（24-25 七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅AEFD 和房间EBHG 分别是边长为a 米和b 米
(2
)
b
a
b
的正方形，厨房FGNM 和卫生间MNHC 分别是正方形和长方形．
(1)求厨房FGNM 和卫生间MNHC 的面积（用含a
b
、的代数式表示）；
(2)当
1
8,
5 2
a
b
时，求卫生间MNHC 的面积．
【详解】（1）解：根据题意，厨房FGNM 和卫生间MNHC 分别是正方形和长方形且边长相等，
卫生间MNHC 和厨房FGNM 的面积为：
a
b
b
a
b
2
a
b
b
a
2
2
2
2
ab
a
b
ab
2
2
3
2
ab
a
b
（2）解：当
1
8,
5 2
a
b
时，
原式
2
2
1
1
15
3 8
5
8
2 5
2
2
2
7.5
平方米．
【变式14-1】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形ABCD 中，放入6 个形状和大小都相同的小长方形，
已知小长方形的长为a ，宽为b ，且
2
a
b
．用a 、b 的代数式表示阴影部分的面积为
．
【答案】
2
2
3
2
a
ab
b
【详解】解：如图，
由图形得：
2
AD
a
b
，AB
a
b
，
2
6
S
a
b
a
b
ab
阴影
2
2
2
2
6
a
ab
ab
b
ab
2
2
3
2
a
ab
b
．
故答案为：
2
2
3
2
a
ab
b
．
【变式14-2】（24-25 七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可
以得到一个数学等式．例如由图1 可以得到
2
2
2
3
2
a
b
a
b
a
ab
b
．请解答下列问题：
(1)写出图2 中所表示的数学等式；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知
10
a
b
c
，
30
ab
bc
ac
，求
2
2
2
a
b
c
的值．
【详解】（1）解：图2 的面积可表示为
2
a
b
c
或
2
2
2
2
2
2
a
ab
ac
bc
b
c ，
图2 中所表示的数学等式为
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
ab
ac
bc
b
c
；
（2）
10
a
b
c
，
30
ab
bc
ac
，
2
2
10
100
a
b
c
，2
2
2
60
ab
bc
ac
，
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
ab
ac
bc
b
c
，
2
2
2
2
2
2
2
100
60
40
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
．
【变式14-3】（23-24 七年级上·上海长宁·期中）已知正方形ABCD 与正方形EFGH ，AB
a
=
，EF
b
（b
a
）．根
据下列条件平移正方形EFGH ，解决下列问题．
(1)如图1，若点C 和点H 重合，点E 在线段CB 上，点G 在线段DC 的延长线上，连接BD
BG
、
，将三角形BDG 的
面积记作S ，则S （用含有a
b
、的代数式表示）．
(2)若点B 与点E 重合，点H 在线段BC 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接BD
BG
DG
、
、
，将三角形BDG 的面积
记作S ，则S （用含有a
b
、的代数式表示）．
(3)如图2，若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点E
H
、
在线段BC 上（点H 不与点C 重
合、点E 不与点B 重合），连接BD
BG
DG
、
、
，设BE
x
，将三角形BDG 的面积记作S，则S （用含有a
b
x
、、的
代数式表示）．
(4)若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点H
E
、
在BC 的延长线上，连接BD
BG
DG
、
、
，
设BE
x
，将三角形BDG 的面积记作S ，则S （用含有a
b
x
、、的代数式表示）．
【详解】（1）解：如图（1），
1
1
·
2
2
BDG
S
DG BC
a a
b
，
故答案为：
1
2 a a
b
；
（2）解：延长FG 与DC 交于O，如图（2 ），
∴
BDG
AFOD
DOG
EFG
ABD
S
S
S
S
S
2
2
1
2
a a
b
a
b
a
b
a
b
，
2
2
2
2
2
1
2
a
ab
a
b
a
b
，
2
2
a
ab
a
，
ab
，
故答案为：ab ；
（3）解：延长FG 与DC 交于M ，延长AB 与GF 交于N ，如图（3）所示，
∵BE
x
，
∴NF
x
，CH
MG
a
b
x
，
∴
BDG
ANMD
DMG
BNG
ABD
S
S
S
S
S
2
1
2
a a
b
a
b
x
a
b
a
b b
x
，
2
2
2
2
2
1
2
a
ab
a
ab
ab
b
ax
bx
a
b
bx
，
2
2
1
2
a
ab
a
ax
，
1
2
ab
ax
，
故答案为：
1
2
ab
ax
；
（4）解：延长GF 与AB 交于P ，延长AD 与GH 交于Q ，如图（4 ），
∴GP
BH
b
x
，CH
DQ
x
a
b
，
∴
BDG
APGQ
DQG
BPG
ABD
S
S
S
S
S
2
1
2
a
b
b
x
x
a
b
a
b
a
b b
x
，
2
2
2
2
2
1
2
ab
bx
ax
b
ax
bx
a
ab
ab
b
a
b
bx
，
2
2
1
2
ab
bx
ax
b
ax
bx
b
，
1
2
ab
ax
，
故答案为：
1
2
ab
ax
．
【题型十五】乘法公式在几何图形中的应用
【例15-1】（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思
考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为a 的正方形剪去一个边长为b 的正方形，再将剩余图形沿虚线剪
开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（
）
A．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
B．
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
C．
2
2
a
b
a
b
a
b
D．
2
2
a
b
a
b
a
b
【答案】D
【详解】解：左边一幅图剩下的图形面积为
2
2
a
b
，
右边一幅图的面积为
a
b
a
b
，
∵左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等，
∴
2
2
a
b
a
b
a
b
，
故选：D．
【例15-2】（24-25 七年级上·上海·期中）有两个正方形A 、B ，将B 放在A 的内部得图1，将A 、B 并列放置后得图
2 ，如果图1和图2 中阴影部分的面积分别为21和6 ，则正方形A 、B 的面积之和是
．
【答案】29
【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，
依题得：
2
2
2
21
6
a
b
ab
b
①
②，
2
①
②
得
2
2
2
2
2
21
6
2
a
b
ab
b
，
即
2
9
a
b
，
3
a
b
，
2
2
7
a
b
a
b
a
b
，
2
2
ab
b
b
a
b
，
5
a
，
2
2
25
4
29
a
b
．
即正方形A 、B 的面积之和是29 ．
故答案为：29 ．
【例15-3】（24-25 七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在
一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
(1)情境一：如下图，甲同学将4 块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b 的式子分别表示图
1 和图2 中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式；
(2)情境二：如图3，乙同学用4 块A 木片、1 块B 木片和若干块C 木片拼成了一个正方形，
①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b 的式子表示）：_________．
②直接写出所用C 木片的数量：_________块．
(3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2 块A，4 块B，7 块C 拼出了一个面积为
2
2
2
7
4
a
ab
b
的长方形；
丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情
况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为h ，
2h
b
a
，
2
a
b
h
，
图1中阴影部分的面积：
1
1
4
2
2
a
b
S
a
b
a
b
a
b
，
图2 中阴影部分的面积：
2
2
2
S
a
b
=
-
，
1
2
S
S
=
，
2
2
a
b
a
b
a
b
，
故可得到的乘法公式为：
2
2
a
b
a
b
a
b
；
（2）解：设乙同学用4 块A 木片、1 块B 木片和m 块C 木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为
2
2
4a
mab
b
，
当
4
m
时，
2
2
2
4
4
2
a
ab
b
a
b
，
所拼正方形的边长为2a
b
，所用C 木片的数量为4，
故答案为：①2a
b
；②4；
（3）解：赞同丁同学的说法；去掉1个C 以后，
2
2
2
6
4
a
ab
b
2
4
a
b
a
b
，
该情况下所拼长方形的长为2
4
a
b
，宽为a
b
，
长方形如图：
【变式15-1】（24-25 七年级上·上海·期中）（1）如图1 是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出
2
2
(
) ,(
) ,
a
b
a
b
ab
之间的等量关
系：_______
（2）若
6,
5
m
n
mn
，则m
n
_______．
（3）如图3，正方形ABCD 的边长为,
4,
14
x AE
CG
，长方形EFGD 的面积是200，四边形NGDH 和四边形MEDQ
都是正方形，四边形PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积．
【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为
2
(
)
a
b
，中间小正方形的面积为
2
(
)
b
a
，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4 个长宽分别为a，b 的长方形面积，
∴
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab
，
故答案为：
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab
；
（2）∵
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab
，
∴
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn
，
将
6,
5
m
n
mn
代入得：
2
2
6
(
)
4 5
m
n
，
∴
2
(
)
16
m
n
，
∴
4
m
n
，
故答案为：4
；
（3）∵正方形ABCD 的边长为x，
∴
4,
14
DE
x
DG
x
，
∴(
4)(
14)
200
x
x
，
设
4,
14,
200
m
x
n
x
mn
，
∴
10
m
n
，
∴
2
2
(
)
(
)
4
S
m
n
m
n
mn
阴影
2
10
4 200
900
，
∴图中阴影部分的面积为900．
【变式15-2】（24-25 七年级上·上海·期中）阅读理解：
若x 满足
80
60
30
x
x
，求
2
2
80
60
x
x
的值．
解：设
80
,
60
x
a x
b
，则
80
60
30
x
x
ab
，
80
60
20
a
b
x
x
，
所以
2
2
2
2
2
2
80
60
2
20
2 30
340
x
x
a
b
a
b
ab
解决问题
(1)若x 满足
30
20
10
x
x
，求
2
2
30
20
x
x
的值；
(2)若x 满足
2
2
2025
2023
4052
x
x
，求
2025
2023
x
x
的值；
(3)如图，正方形ABCD 的边长为,
1,
2
x AE
CG
，长方形EFGD 的面积是5，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，
PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【详解】（1）解：设
30
x
a
，
20
x
b
，
则
30
20
10
x
x
ab
，
30
20
10
a
b
x
x
，
∴
2
2
2
2
2
2
30
20
2
10
2 10
120
x
x
a
b
a
b
ab
；
（2）解：设
2025
x
a
，
2023
x
b
，
则
2025
2023
2
a
b
x
x
，
∵
2
2
2025
2023
4052
x
x
，
∴
2
2
2
2
2
2025
2023
2
4052
x
x
a
b
a
b
ab
，
即
2
2
2
2025
2023
4052
x
x
，
∴
2025
2023
2024
x
x
；
（3）解：根据题意可知，
1
ED
AD
AE
x
，
2
DG
DC
CG
x
，
∵长方形EFGD 的面积是5，
∴
1
2
5
x
x
，
设
1
x
a
，
2
x
b
，
则
1
2
1
a
b
x
x
，
5
ab
，
∴
2
2
2
2
1
2 5
11
a
b
a
b
ab
，
∵四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，
∴阴影部分的面积为：
2
2
ED
ED DG
DG
DH QD
2
2
1
1
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
2
2
a
ab
b
ab
11 10
21
．
【变式15-3】（24-25 七年级上·上海闵行·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆
放，A、D、E 三点在一条直线上，
(1)如图①，AE
m
，CG
n
，这两个正方形的面积之和是______．（用m、n 的代数式表示）
(2)如图②，如果大正方形ABCD 和小正方形DEFG 的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求
2
mn
是多少？
(3)如图③，大正方形ABCD 和小正方形DEFG 的面积之和是25，AE 的长度等于7，图中阴影部分的面积是
_________．
(4)如图④，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为
a
b a
b
、
，如果
8
a
b
，
6
ab
，求图中阴影部分面积
之和是多少？
【详解】（1）解：设正方形ABCD 的边长为x，正方形DEFG 的边长为y，
x
y
，根据题意得：
x
y
m
x
y
n
，
解得：
2
2
m
n
x
m
n
y
，
∴这两个正方形的面积之和是：
2
2
x
y
2
2
2
2
m
n
m
n
2
2
4
4
m
n
m
n
2
2
2
2
2
2
4
4
m
mn
n
m
mn
n
2
2
2
2
4
m
n
2
2
2
m
n
．
（2）解：∵大正方形ABCD 和小正方形DEFG 的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，
∴根据解析（1）可得：
2
2
5
2
2
2
2
m
n
m
n
m
n
，
解得：
2
2
9
1
m
n
，
∴
2
2
2
9 1
9
mn
m n
．
（3）解：设正方形ABCD 的边长为x，正方形DEFG 的边长为y，根据题意得：
2
2
25
7
x
y
x
y
AE
，
∴
2
2
2
2
7
25
12
2
2
x
y
x
y
xy
，
∴阴影部分的面积之和为：
1
2
12
2 xy
xy
．
（4）解：∵
8
a
b
，
6
ab
，
∴
2
2
4
a
b
a
b
ab
2
8
4 6
64
24
40
，
∴阴影部分的面积为：
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a
b
b a
b
2
2
2
1
1
2
2
a
b
ab
b
2
2
1
1
2
2
a
b
ab
2
1
2 a
b
1
40
2
20
．
【变式15-4】（24-25 七年级上·上海松江·期中）现有A 、B 、C 三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中A 型
卡片是边长为a 的正方形．B 型卡片是长为a 、宽为b 的长方形，C 型卡片是边长为b 的正方形，且a
b
．我们可
以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形
(1)用A 型卡片1 张，B 型卡片2 张，C 型卡片1 张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根
据该图形写出一个表示a 、b 数量关系的等式：______．
(2)现有A 型卡片2 张，B 型卡片2 张，C 型卡片2 张，从这6 张卡片中去掉2 张．用余下的4 张卡片，拼出一个长
方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）．
(3)如果要拼一个长为2a
b
、宽为
2
a
b 的长方形，设需要A 型卡片x 张，B 型卡片y 张，C 型卡片z 张，那么
x
y
z
______．
【详解】（1）解：由题意得，该正方形的边长为a
b
，则该正方形的面积为
2
a
b
，
∵该正方形是由A 型卡片1 张，B 型卡片2 张，C 型卡片1 张拼成的，
∴该正方形的面积为
2
2
2
a
ab
b
，
∴
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，
故答案为：a
b
；
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
；
（2）解：当2 张A，2 张B 时，此时长方形的长和宽分别为2
2
a
b
a
，或2a
a
b
，
当2 张B，2 张C 时，此时长方形的长和宽分别为2
2
a
b
b
，或
2
a
b b
，
当1 张A
，2 张B，1 张C 时，此时长方形的长和宽分别为a
b
a
b
，
；
综上所述，长方形的长和宽分别为2
2
a
b
a
，或2a
a
b
，
或2
2
a
b
b
，或
2
a
b b
，或a
b
a
b
，
；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
ab
b
a
ab
b
，
∴需要A 卡片2 张，B 卡片5 张，C 卡片2 张，
∴
2
5
2
x
y
z
，
，
，
∴
9
x
y
z
．
【变式15-5】（24-25 七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片：
1 号卡片：边长为a 的正方形卡片；
2 号卡片：边长为b 的正方形卡片；
3 号卡片：相邻两边分别为a 、b 的长方形卡片，其中a
b
．
(1)填空：如图4，选取1 号卡片1 张、2 号卡片2 张、3 号卡片3 张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之
间的关系说明图中所表示的数学等式：_____．
(2)填空：小明同学想用x 张1 号卡片，y 张2 号卡片，z 张3 号卡片拼出一个面积为
5
7
4
3
a
b
a
b
的长方形，
那么x
y
z
的值为_____．
(3)现有1 号、2 号、3 号卡片各5 张，请你设计：从这15 张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张
进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长．
(4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5．
情形一：将1 张1 号卡片和1 张3 号卡片如图5 放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片
间有重叠，记图中阴影部分面积为
1S ；
情形二：将1 张1 号卡片和1 张2 号卡片如图6 放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重
叠，记图中阴影部分面积为
2S ．
如果
2
1
24
S
S
，求2 号卡片的边长．
【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为
2
a
b ，宽为a
b
，因此面积为(
2 )(
)
a
b a
b
，拼成“大长方形”的6 个部
分的面积和为
2
2
3
2
a
ab
b
，
所以有
2
2
(
2 )(
)
3
2
a
b a
b
a
ab
b
，
故答案为：
2
2
(
2 )(
)
3
2
a
b a
b
a
ab
b
；
（2）解：1 号卡片的面积为
2
a ，2 号卡片的面积为
2
b ，3 号卡片的面积为ab ，所拼成的长方形面积为
2
2
(5
7 )(4
3 )
20
43
21
a
b
a
b
a
ab
b
，
所以需要1 号卡片20 张，2 号卡片21 张，3 号卡片43 张，
即
20
x =
，
21
y
，
43
z
，
20
21
43
84
x
y
z
，
故答案为：84；
（3）解：可以拼成边长为2a
b
的正方形，
答：拼成最大面积的正方形边长为2a
b
．
（4）解：设长方形的长为x ，则宽为
5
x
．
由题意：
2
2
1
5
2
S
x x
a
ab
b
a
x
S
a
ab
bx
长
，
2
2
2
2
5
5
5
S
x x
a
b
b a
b
x
S
a
ab
bx
b
长
，
2
1
5
S
S
b
，
24
5
b
，即2 号卡片的边长为24
5 ．
【题型一】整式乘法漏乘致错
1．（24-25 七年级上·上海崇明·期中）计算：
3
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
__________．
【答案】
2
2
5
3
a
b
-
【详解】解：
3
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
a
ab
ab
b
a
ab
ab
b
2
2
5
3
a
b
，
故答案为：
2
2
5
3
a
b
-
．
2．（23-24 七年级上·上海浦东新·期中）计算：
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
．
【详解】解：
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
2
2
3
2
4
2
2
2
x
x
x
x
x
x
2
3x
．
【题型二】乘法公式运用错误
3．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
1
3
100
99
4
4
．
【答案】
15
999916
【详解】解：
1
3
100
99
4
4
1
1
100
100
4
4
2
2
1
100
( )
4
1
10000
16
15
999916
故答案为：
15
999916 ．
4．（24-25 七年级上·上海嘉定·期中）计算：
2
2025
2024
2026
【答案】1
【详解】解；
2
2025
2024
2026
(
) (
)
2
2025
2025 1
2025 1
=
-
-
´
+
(
)
2
2
2025
2025
1
=
-
-
2
2
2025
2025
1
=
-
+
1
．
5．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
1
4(2
1)(2
1)
.
4
a
a
a
【答案】
4
16
1
a
【详解】解：
2
1
4(2
1)(2
1)
4
a
a
a
2
2
1
4 4
1
4
a
a
2
2
1
16
4
4
a
a
2
2
2
2
1
1
16
16
4
4
4
4
a
a
a
a
4
2
2
16
4
4
1
a
a
a
4
16
1
a
；
6．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：
2
1
3
1
2
3
m
n
m
n
【答案】
2
2
4
9
6
1
m
n
n
．
【详解】解：
2
1 3
1 2
3
m
n
m
n
，
2
1 3
2
1 3
m
n
m
n
，
2
2
2
1 3
m
n
，
2
2
4
1
6
9
m
n
n
，
2
2
4
9
6
1
m
n
n
．
7．（24-25 七年级上·上海·期中）计算：(
3
2)(
3
2)
x
y
x
y
．
【详解】解：(
3
2)(
3
2)
x
y
x
y
=
x
y
x
y
3
2
3
2
+
x
y
x
y
x
y
2
2
9
2
3
2
3
4
x
y
x
y
x
y
2
2
9
2
6
2
6
4
x
y
y
2
2
9
12
4．
8．（24-25 七年级上·上海崇明·期中）计算：
2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
（结果保留幂的形式）．
【答案】
32
2
1
-
【详解】解：原式
2
4
8
16
2
1 2
1 2
1 2
1
2
1
2
1
2
2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
8
6
2
1
2
1
2
1
2
1
8
6
8
1
2
1
2
1
2
1
16
16
2
1
2
1
32
2
1
将军饮马之线段和最小值
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
例1（24-25 七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的
一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A 处，现在他要带马
去河边喝水，之后返回军营B 处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找
一点P 使得PA
PB
最小．
解决方法是：作点A 关于直线的对称点A，连接PA，则PA
PA
，所以PA
PB
PA
PB
，连接A B
，则线段A B
的长度即为PA
PB
的最小值，这样做依据的基本事实是
．
【答案】两点之间，线段最短．
【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．
例2（24-25 七年级下·吉林长春·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的
边长均为1 个单位，△ABC 的三个顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作
图痕迹．
(1)在网格中画出△ABC 向下平移3 个单位得到的
1
1
1
A B C
．
(2)在网格中画出△ABC 关于直线m 成轴对称的
2
2
2
A B C
．
(3)在直线m 上画一点P，使得
1
2
C P
C P
的值最小．
【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析
【详解】（1）解：如图所示：
1
1
1
A B C
即为所作；
（2）解：如图所示：
2
2
2
A B C
即为所作；
（3）解：如图所示：点P 即为所作，使得
1
2
C P
C P
的值最小．
例3（24-25 八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，
ABC
的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出
ABC
关于直线l 对称的
1
1
1
A B C
△
（点A 与点
1A ，点B 与点
1
B 对应）；
(2)在直线l 上找一点P ，使得PAC
的周长最小；(3)直接写出
ABC
的面积（不写过程）．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5
【详解】（1）解：所作图形如图所示；
（2）解：点P 即为所求的点．由轴对称知
1
PC
PC
，又AC 的长为定值，
∴PAC
的周长为
1
PA
PC
AC
PA
PC
AC
，∴当A 、P 、
1
C 共线时，PAC
的周长最小．
（3）
ABC
的面积
1
1
1
3 4
2
2
1 4
2 3
12
2
2
3
5
2
2
2
．
例4（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在ABC
中，AB
AC
，
3
AB ，
5
BC
，
4
AC
，B、C 关于直线EF
对称，点P 为直线EF 上的任意一点，则
ABP
△
周长的最小值是（
）
A．7
B．6
C．12
D．8
【答案】A
【详解】解：∵B、C 关于EF 对称，设AC 交EF 于D，
∴当P 和D 重合时，即A、P、C 三点共线时，AP+BP 的值最小，
∵B、C 关于直线EF 对称，∴BD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP 周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A 正确．故选：A．
例5（24-25 七年级下·山东·期中）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A 出发，到达河岸点C 饮马后
再回到点B 宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【解决问题】（1）标出【提出问题】中C 点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，为了说明点C 的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点C，连接
,
,
AC BC B C
，
说明AC
BC
AC
BC
即可；
【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营P 处出发，到河流OA饮马，再到草地OB 吃草，最后回到P 处，试分别
在边OA和OB 上各找一点E 、F ，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【详解】解：（1）如图所示，点C 即为所求，
；
（2）直线l 是点B 、B的对称轴，点C 、C在l 上，
CB
CB
，BC
C B
，
AC
CB
AC
CB
AB
∴
，
在
AC B
△
中，
AB
AC
C B
，
AC
CB
AC
BC
∴
；
（3）如图所示，，
,
CE
PE DF
PF
，则PE
EF
PF
CE
EF
DF
，
根据两点之间线段最短可得路线
,
,
PE EF PF 即为所求．
例6（24-25 广东八年级期中）如图，在锐角△ABC 中，∠ACB＝50°；边AB 上有一定点P，M、N 分别是AC 和BC
边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（
）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】D
【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D．
1．（24-25 七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里
的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A 处，现在他要带马去河边喝
水，之后返回军营B 处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l 上选取一点
P，使得PA
PB
最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：作点A 关于直线的对称点
'A ，连接
'
PA ，则
'
PA
PA
，
∴
'
PA
PB
PA
PB
，连结
'A B ，则线段
'A B 的长度即为PA
PB
的最小值，
这样做依据的基本事实是：两点之间，线段最短．故选：A．
2．
（24-25 八年级上·河北廊坊·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
，点M 是BC 上一点，
3
AC
，
4
AB
，
5
BC
，
若点
1
M 和点M 关于AB 对称，点
2
M 和点M 关于AC 对称．则点
1
M ，
2
M 之间的距离最小值是（
）
A．6
B．2.4
C．4.8
D．4
【答案】C
【详解】解：如图，连接
1
2
1
2
,
,
,
AM AM
AM
M M ，
∵点
1
M 和点M 关于AB 对称，点
2
M 和点M 关于AC 对称，∴
1
2
,
AM
AM
AM
AM
，
1
2,
3
4
，
∵
90
A
，∴
2
3
90
，∴
1
2
3
4
180
，
∴
1
2
,
,
A M M 三点共线，∴
1
2
1
2
2
M M
AM
AM
AM
，∴当AM 最小时，
1
2
M M 最小，
∵点M 是BC 上一点，∴AM
BC
时，AM 最小，此时：
1
1
2
2
ABC
S
AC AB
BC AM
，
∴3 4
5AM
，∴
2.4
AM
，∴
1
2
M M 的最小值为2 2.4
4.8
，故选C．
3．（24-25·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C 在直线MN 上，∠BCN＝30°，
点P 为MN 上一动点，连结AP，BP．当AP+BP 的值最小时，∠CBP 的度数为_____．
【答案】15°##15 度
【详解】如图，作点B 关于MN 的对称点D，连接AD 交MN 于P，连接BP，CD，
∵点B 与点D 是关于MN 的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD 是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B 与点D 是关于MN 的对称点，，且△BCD 是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．
4．（24-25 八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的
动点，E 是AC 边中点．若
2
AE
，当EF
CF
取得最小值时，则
CEF
的度数为
．
【答案】90/90 度
【详解】∵ABC
是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，
∴AD
BC
，∴点B 和点C 关于AD 轴对称，连接BE 交AD 于点F，则BF
CF
，
∴
EF
BF
BE
EF
CF
，即：此时，EF
CF
取得最小值，
∵等边ABC
的边长为4，
2
AE
，∴E 是AC 的中点，∴BE
AC
，∴
90
CEF
．故答案是：90．
5.（24-25 八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边ABC
中，AH
BC
于点H，点D 为AB 的中点，
12,
6
ABC
S
AB
△
，
点E 为AH 上一点，连接
,
BE DE ，如果m
BE
DE
，那么m 的最小值为
．
【答案】4
【详解】解：连接
,
CD CE ，
∵等边ABC
中，AH
BC
于点H，∴点
,
B C 关于AH 对称，∴BE
CE
，∴m
BE
DE
CE
DE
CD
，
∵点D 为AB 的中点，∴CD
AB
，∴
1
12
2
ABC
S
AB CD
，
∵
6
AB
，∴
4
CD
，∴m 的最小值为4；故答案为：4．
6.（24-25 八年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．请将
下述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪
个位置？
【答案】见解析
【详解】如图所示，作出点A 关于河岸的对称点C ，连接CB ，交于河岸于点P ，连接AP ，则点P 能满足
+
AP PB 最
小，理由：AP
PC
，三角形任意两边之和大于第三边，当点P 在CB 的连线上时，CP
BP
最小．
7．（24-25 七年级下·四川达州·期末）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC 的三
个顶点A、B、C 都在格点上．（1）在图中画出与△ABC 关于直线L 成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC 的面积．（3）
在直线L 上找出一点P，使得PA+PC 的值最小．（在图上直接标记出点P 的位置）
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）△ABC 的面积为：1
22×2＝2．
（3）如图，点P 即为所求．
8．（24-25 八年级上·广东惠州·期末）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶
点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的A B C
．(2)求出A B C
的面积．
(3)在直线l 上找一点P，使PA
PC
的值最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析(2)3.5(3)见解析
【详解】（1）解：如图，A B C
即为所求；
（2）解：A B C
的面积
1
1
1
2
4
1 2
1 4
1 3
3.5
2
2
2
．
（3）解：根据两点间线段最短及轴对称可确定点P ，如图，点P 即为所求．
9．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，ABC
的三个
顶点、、
A
B
C 都在格点上．
(1)在图1 中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；(2)求
ABC
的面积；
(3)在直线l 上找一点P ，使得PAB
的周长最小．（不需要计算，在图2 上直接标记出点P 的位置即可）
【答案】(1)见解析(2)
ABC
的面积为8(3)见解析
【详解】（1）解：
1
1
1
A B C
△
即为所求；
（2）解：
1
1
1
5
4
4
4
3 1
5 1
8
2
2
2
ABC
S
=᪽
创
-
创
-
创
=
；（3）解：点P 即为所求作：
10．（24-25 八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，
B，C 在小正方形的顶点上．①在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的A B C
；
②在图中直线l 上找一点P，使PA
PB
的长最短．（2）在图2 的
ABC
中，试求作一点P，使得点P 到B、C 两点
的距离相等，并且到
,
AB BC 两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）①画图见解析，②P 点见解析；（2）作图见解析
【详解】（1）①如图所示，A B C
即为所求；
②如图所示，连接A B
，交直线l 于点P ，连接BP ，
此时PA
PB
PA
PB
A B
，此时A B
为最小值，则点P 即为所求．
（2）如图所示：则点P 即为所求．
11．（23-24 八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，
ABC
的三
个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．(1)在图中画出
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)求
ABC
的面积；(3)在直线l 上找一点P ，使PB
PC
的长最短，请在图中标出点P 的位置．
【答案】(1)见解析(2)
ABC
的面积为7
2 (3)见解析
【详解】（1）解：如图所示，
1
1
1
A B C
△
即为所作的三角形；
（2）解：
ABC
的面积为
1
1
1
7
2
4
1 4
1 2
1 3
2
2
2
2
；
（3）解：如图，点P 即为所标出的点．
12．（24-25 七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
ABC
的顶点
、、
A
B
C 都在小正方形的顶点上．
(1)画
1
1
1
A B C
△
，使它与
ABC
关于直线l 成轴对称；(2)求
ABC
的面积；
(3)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A、B 的距离之和最短，标出点P （保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析(2) 4 (3)见解析
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所作，
；
．
（2）解：
ABC
的面积
1
1
1
3 4
4 2
2 1
3 2
4
2
2
2
；
（3）解：如图，点P 即为所求，
13．（24-25 七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》
里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图．直线a 是一条输气管道，M ，N 是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a 上修建一个供生站O，向M
N
，
两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（
）
A.
B.
C.
D.
(2)如图，草地边缘OM 与小河河岸ON 在点O处形成夹角，牧马人从A 地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边
饮水，最后回到A 地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．
【答案】(1) B (2)最短路径如图，理由见详解
【详解】（1）解：∵作点M 关于直线a 的对称点M ，连接MM ，故直线a 是MM 的垂直平分线，
∴MO
M O
，∴MO
ON
M O
ON
，∴铺设管道最短的是选项B ，故选：B ．
（2）解：作点A 关于直线OM 和ON 的对称点B 和C ，连接AB 和AC ，连接BC ，分别交直线OM 和ON 于点D 和E ，
连接DA 和EA，如图：
根据对称的性质可得：AD
BD
，AE
EC
∴AE
DE
AD
BD
DE
CE
BC
，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为
,
,
AD ED EA．
14．（23-24 八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的
一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图1，若点A 和点B 分别在直线l 的两侧，请作出示意图，在直线l 上找到点C，使得CA
CB
有最小值，并
说明作图依据：______；
(2)如图2，若点A 和点B 在直线l 的同侧，请在直线l 上作出点P，使得PA
PB
有最小值；
(3)如图3，已知
30
AOB
，点Q 在
AOB
内部，点M，N 分别在射线OA，OB 上，若
6
OQ
，请求出QMN
周
长的最小值．
【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短(2)见解析(3)6
【详解】（1）连接AB ，与直线l 相交于一点C ，则CA
CB
有最小值．作图依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图，点P 即为所求．
（3）如图2，作法：（Ⅰ）作Q 关于OA的对称点C ，
（Ⅱ）作点Q 关于OB 的对称点D ，
（Ⅲ）连接CD ，分别交OA于点M，交OB 于N，则QMN
的周长最小，
连接OC 、OD ，∵点C 和点Q 关于OA对称，∴
6
OC
OQ
，
MOC
QOM
，
同理可得，
6
OD
OQ
，
QON
NOD
，
∴OC
OD
，
2
2
2
2
60
MOC
QOM
QON
NOD
QOM
QON
QOM
QON
AOB
，
∴
COD
△
为等边三角形，∴
6
CD
，∴QMN
的周长
6
QM
MN
QN
CM
MN
DN
CD
．
将军饮马之双线段差最大值
模型1.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（24-25·福建泉州·七年级期末）如图，在10 8
网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C 都在格点上．(1)
画出ABC
关于直线l 对称的图形
A B C
；(2)点P 在直线l 上，直接写出PB
PC
的最大值．
【答案】(1)见解析(2)2
【详解】（1）解：如图，
A B C
为所作；
（2）解：
PB
PC BC
（当P 、B 、C 共线时，取等号），
PB
PC
的最大值为BC 的长，即PB
PC
的最大值为2．
例2（24-25 八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在正
方形的顶点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线成轴对称的A B C
．(2)
ABC
的面积为
．
(3)在直线上找一点，使PB
PC
的值最小．(4)在上找一点M ，使MC
MB
值最大．（在图形中标出点P、M，保留
作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)5(3)见解析(4)见解析
【详解】（1）解：画出A
B
C
，，
关于直线的对称点A
B
C
，，
，依次连接得到A B C
如下：
（2）解：
1
1
1
3 4
2
3
2
2
1 4
5
2
2
2
ABC
S
△
；故答案为：5；
（3）解：如图，连接BC交于点P，则点P 即为所求；
由对称知，PC
PC
，则PB
PC
PB
PC
最小值为线段BC的长；
（4）解：如图，延长CB 交于点M，则点M 即为所求．
此时MC
MB
的最大值为线段BC 的长．
例3（24-25 七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在正方形
的顶点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线MN 成轴对称的A B C
；(2)在直线MN 上找一点P，使MPC
NPB
Ð
= Ð
，
说明主要依据；(3)在MN 上找一点Q，使QC
QB
值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，
不写作法．）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：如图，A B C
即为所求；
（2）解：如图，连接BC交MN 于点P ，连接CP ，点P 即为所求；
理由：∵
,
C C关于MN 对称，∴
APC
APC
，∵NPB
APC¢
Ð
= Ð
，∴MPC
NPB
Ð
= Ð
；
（3）解：如图，延长CB 交MN 于点Q ，点Q 即为所求．
理由：∵当
,
,
C B Q 不共线时，由三角形三边关系可得QC
QB
BC
，
当
,
,
C B Q 共线时，QC
QB
BC
，∴当
,
,
C B Q 共线时，QC
QB
的值最大．
例4（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，
,
A B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址N 应选在哪个位置？
（2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流CD 上找出一点P ，使
PA
PB
的值最大．”你能找
到P 点吗？请将上述M
N
P
、、三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN 最小，
如图，A′为点A 关于CD 的对称点，连接A′B，与CD 交于点N，则厂址应该选在点N 处；
（2）若
PA
PB
最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图，
可知P 位于AB 与CD 交点处时，|PA-PB|最大；
例5（23-24 八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
，A、C 两点关于直线MN 对称，
10
AB
，
BMC
△
的周长是16，若点P 在直线MN 上，则PA
PB
的最大值为
．
【答案】6
【详解】解：∵A、C 两点关于直线MN 对称，∴MA
MC
，
∵
BMC
△
的周长是16，
10
AB
，
∴BC
BMC
的周长
16
16
16 10
6
MC
MB
AM
MB
AB
，
点P 在直线MN 上，如图，连接PA ，PC ，PB ，
∵A、C 两点关于直线MN 对称，∴PA
PC
，∴
6
PA
PB
PC
PB
BC
，
故PA
PB
的最大值为6，此时点P 是直线MN 与直线BC 的交点．故答案为：6．
1．（24-25 八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在
ABC
中，A B
A C
，A、C 两点关于直线MN 对称，交AB 于
点M，
12cm
AB
，
BMC
△
的周长是20cm ，若点P 在直线MN 上，则PA
PB
的最大值为
.
【答案】8cm /8 厘米
【详解】解：∵A、C 两点关于直线MN 对称，
MA
MC
，
又
20cm
BMC
C
BM
MC
BC
△
，
12cm
BM
MA
AB
，
20
12
8cm
BC
，
在MN 上取点P ，连接PA 、PB、PC ，
∵A、C 两点关于直线MN 对称，
PA
PC
，
PA
PB
PC
PB
，在
PBC
△
中PC
PB
BC
，
当P 、B 、C 共线时，即P 运动到与P重合时，(
)
PC
PB
有最大值，
此时
8cm
PC
PB
BC
．故答案为：8cm ．
2．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
，A、C 两点关于直线EF 对称，连接EC ，
10
AB
，
BEC
的周长为18．若点P 在直线EF 上，连接PA 、PB，则BC
，PA
PB
的最大值为
．
【答案】
8
8
【详解】解：∵A、C 两点关于直线MN 对称，∴EA
EC
，
∵
BEC
的周长是18，
10
AB
，
∴BC
BEC
的周长
18
18
18 10
8
EC
EB
AE
EB
AB
，点P 在直线EF 上，如图，连接PC ，
∵A、C 两点关于直线MN 对称，∴PA
PC
，∴
8
PA
PB
PC
PB
BC
，
故PA
PB
的最大值为8，此时点P 是直线EF 与直线BC 的交点．故答案为：8，8．
3．（24-25·贵州·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，B、C 两点关于直线EF 对称，点P 是
EF 上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________
【答案】3
【详解】解：如图所示，延长BA 交直线EF 于点P，此时|PA-PB|=AB=3 最大，故答案为：3．
4．（2024·河南·一模）如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P 为直线CD 上的动点，
则|PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A，连接A B
并延长交CD 延长线于点P，则点P 就是使PA
PB
的值最大
的点，PA
PB
A B
，连接A C
，
∵ABC
为等腰直角三角形，
6
AC
BC
，∴
45
CAB
ABC
，
90
ACB
，
∵
15
BCD
，∴
75
ACD
，
∵点A 与A′关于CD 对称，∴CD⊥AA′，AC
A C
，
CA A
CAA
，∴
15
CAA
，
∵AC=BC，∴A C
BC
，
15
CA A
CAA
，∴
150
ACA
，
∵
90
ACB
，∴
60
A CB
，∴
A BC
△
是等边三角形，∴
6
A B
BC
．故答案为：6
5．（2024·广东·八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A ，B ，C ，
M ，N 都在格点上．
1 画出ABC
关于直线MN 对称的
1
1
1
A B C
；
2 在直线MN 上找一点P ，使PB
PA
的值最
大，在图形上画出点P 的位置，并直接写出PB
PA
的最大值．
【答案】
1 见解析；
2 图见解析，PB
PA
取到最大值3
【详解】解：（1）如图所示，
1
1
1
A B C
即为所求；
（2）如图所示，点P 即为所求.在
1
AB P
中，
1
1
AP
AB
PB
，即P ，A ，
1
B 三点共线时，PB
PA
取到最大值3 .
6．（24-25 八年级上·江苏无锡·期中）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC 的三
个顶点A、B、C 都在格点上.（1）在图1 中画出与△ABC 关于直线l 成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1 中直线l 上找出一点Q,使得QA+QC1 的值最小；（3）在图1 中直线l 上找出一点P,使得|PA−PC1| 的值
最大；
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析.
【详解】如图所示：
图1
7．（24-25 七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，
ABC
的三个顶点A，
B，C 都在格点上．(1)在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)在直线l 上找出一点Q，使得QA
QC
的值最小；（描出该点并标注字母Q）
(3)在直线l 上找出一点P，使得PA
PC
的值最大．（保留作图痕迹并标注点P）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求．
（2）如图，点Q 即为所求．
（3）如图，点P 即为所求．
8．（24-25 七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
ABC
的三
个顶点A，B，C 都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：
(1)画出
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
，并求
ABC
的面积______．
(2)在直线l 上画出点P，使得PA
PB
最小．(3)在直线l 上画出点Q，使得QA
QC
最小．
【答案】(1)图见解析；6(2)图见解析(3)图见解析
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求．
ABC
的面积为：
1
1
1
1
5
4
1 2
5 2
12 1 5
6
2
2
2
．故答案为：6．
（2）解：如图，连接
1
AB ，交直线l 于点P，连接BP ，
根据轴对称性质可知：
1
PB
PB
，∴
1
PA
PB
PA
PB
，
∵两点之间线段最短，∴此时
1
PA
PB
最小，即PA
PB
最小，则点P 即为所求．
（3）解：如图，作线段AC 的垂直平分线，与直线l 相交于点Q，则点Q 即为所求．
根据线段垂直平分线的性质可知：QA
QC
，∴
0
QA QC
，∴此时QA
QC
最小．
9．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、
C 在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与
ABC
关于直线l 成轴对称的
1
1
1
A B C
△
；(2)
1
AB C
△
的面积为；
(3)在直线l 上找点P 使得PB
PC
最小；(4)直线l 上找一点Q 使得QB
QC
最大．
【答案】(1)见解析(2)11(3)见解析(4)见解析
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所作；
（2）解：如图，
1
AB C
△
的面积为
1
1
1
3 8
3 1
1 7
2 8
11
2
2
2
．故答案为：11；
（3）解：如图，点P 即为所作；
（4）解：如图，点Q 即为所作；
．
10．（24-25 八年级上·安徽蚌埠·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位，
ABC
的三
个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出
ABC
向下平移3 个单位得到的
1
1
1
A B C
△
；(2)在网格中画出
ABC
关于直线m 对称的
2
2
2
A B C
△
；(3)
在直线m 上画一点P，使得
2
2
PA
PC
的值最大（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求作的三角形；
（2）解：如图，
2
2
2
A B C
△
即为所求作的三角形；
（3）解：连接
2
2
A C ，并延长，交直线m 于一点，该点即为点P，如图所示：
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴当
2
A 、
2
C 、P 在同一直线上时，
2
2
PA
PC
的值最大．
图形翻折模型
模型1.图形中的翻折模型（角度问题）
例1（24-25 八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将长方形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的点F 处，
若
50
BAF
，则
AEF
．
【答案】70
【详解】解：
50
BAF
，
90
BAD
，
40
DAF
，
由折叠的性质知，
1
20
2
DAE
EAF
DAF
，
90
AFE
D
，
在RtAEF ，
90
20
70
AEF
，故答案为：70 ．
例2（24-25 七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形纸片ABCD 中，连接BD ，将
ABD
和
CBD
分别对折，点
A 和C 均落在线段BD 上的点P 处，得折痕BE ，BF ，则
EBF
的度数是
．
【答案】45°
【详解】解：四边形ABCD 为正方形，
90
ABC
，
由折叠的性质可得：
DBF
CBF
，
DBE
ABE
，
EBF
DBF
DBE
，
1
2
DBC
DBA
1
2
ABC
45
；故答案为：45
例3（24-25 七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知长方形纸条ABCD ，点E ，G 在AD 边上，点F ，H 在BC 边上．将
纸条分别沿着EF ，GH 折叠，如图，点A、B 分别折叠至点A、B，点C 、D 分别折叠至点C、D¢，当DC 恰好
落在EA上时，
1
与
2
的数量关系是
．
【答案】
1
2
135
/
2
135
1
/
1 135
2
【详解】解：∵将纸条分别沿着EF ，GH 折叠，点A、B 分别折叠至点A、B，点C
D
、
分别折叠至点C、D¢，
且DC 恰好落在EA上，∴
1
1
2
A EA
，
1
2
2
D GD
，
90
GD A
D
，
∴
90
GD E
，∴
90
EGD
GED
，
∴
180
180
360
90
270
A EA
D GD
D EG
D GE
，
∴
1
1
1
2
135
2
2
A EA
D GD
∴
1
2
135
；故答案为：
1
2
135
．
例4（24-25 七年级上·湖北恩施·期末）如图1，点E
F
，
分别在长方形纸片ABCD 的边AB
CD
，
上，连接EF ．将
BEF
对折，点B 落在直线EF 上的点B处，折痕为EM ．
(1)若
60
BEM
，求
FEM
的大小；(2)若
70
AEF
，求
FEM
的大小；
(3)如图2 ，将
AEF
对折，点A 落在直线EF 上的点A处，得到折痕EN ，求
NEM
的度数．
【答案】(1)
60
FEM
(2)
55
FEM
(3)
90
NEM
【详解】（1）解：∵将
BEF
对折，点B 落在直线EF 上的点B处，折痕为EM ，∴
FEM
BEM
，
∵
60
BEM
，∴
60
FEM
；
（2）解：∵
180
AEF
FEM
BEM
，
70
AEF
，
FEM
BEM
，
∴70
2
180
FEM
，∴
55
FEM
；
（3）解：∵将
AEF
对折，点A 落在直线EF 上的点A处，得到折痕EN ，∴
A EN
AEN
，
∵
180
AEN
A EN
FEM
BEM
，
FEM
BEM
，
∴2
2
180
A EN
FEM
，∴
90
A EN
FEM
＝
，即
90
NEM
．
例5（24-25 七年级下·江西赣州·阶段练习）长方形纸片ABCD的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B的位置，
折痕为EF ，G 为边CD上一点，再把CEG
折叠，使点C 落在点C的位置，折痕为GE ．
(1)如图1，当折叠得到的B EF
与C EG
没有重叠部分时．
①若
35 ,
20
BEF
CEG
，则
B EC
_______；②若
64
B EC
，求
FEG
的度数．
(2)如图2，当折叠得到的B EF
与C EG
有重叠部分时，试猜想
B EC
与
FEG
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①70；②122(2)2
180
FEG
B EC
，理由见解析
小学
初中
【详解】（1）解：①∵
35 ,
20
BEF
CEG
，
由折叠的性质可得
35 ,
20
BEF
B EF
CEG
C EG
，∴
70 ,
40
BEB
CEC
，
∵
180
BEB
CEC
B EC
，∴
180
70
B EC
BEB
CEC
；
②同理①得
180
116
BEB
CEC
B EC
∵
1
1
,
2
2
BEF
B EF
BEB
CEG
C EG
CEC
，
∴
1
180
180
122
2
FEG
BEF
CEG
BEB
CEC
；
（2）解：2
180
FEG
B EC
，理由如下：由折叠的性质可得
,
BEF
B EF
CEG
C EG
，
∵
FEG
B EF
B EG
B EF
C EG
B EC
，
180
BEF
CEG
FEG
，
∴
180
FEG
FEG
B EC
，∴2
180
FEG
B EC
．
模型2.图形中的翻折模型（长度问题）
例1（24-25 七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知
ABC
的两条边
4
AC
，
3
BC ，现将
ABC
沿DE 折叠，使点
A 与点B 重合，则BCE
的周长是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【详解】解：根据折叠性可知，BE
AE
，
BCE
△
的周长是BE
EC
BC
，即AC
BC
，
4
AC
，
3
BC ，
BCE
△
的周长
4
3
7
AC
BC
．故选：B．
例2（24-25 八年级上·山东威海·期末）如图，D，E 分别是
ABC
边AB ，AC 上的点，将
ABC
沿直线DE 折叠，
点A 落在点A处．若
ABC
的周长为10，则阴影部分图形的总周长为（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【详解】解：将
ADE
沿直线DE 折叠,点A 落在点A处，
AD
A D
，AE
A E
，
则阴影部分图形的周长等于BC
BD
CE
A D
A E
BC
BD
CE
AD
AE
10
BC
AB
AC
．故选：B．
例3（24-25 七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的点
F 处．若
AFD
△
的周长为24cm ，
ECF
△
的周长为8cm ，则长方形纸片ABCD 的周长是
cm．
【答案】32
【详解】解：∵
AEF
△
由AEB
折叠而成，∴AF
AB
，EF
BE
，
∵
AFD
△
的周长为24 cm ，
ECF
△
的周长为8 cm，∴
24
AD
DF
AF
，
8
CF
CE
FE
，
∴矩形的周长
AD
DF
CF
CE
BE
AB
AD
DF
AF
CF
CE
EF
24
8
32cm
．
故答案为：32．
例4（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图，在长方形ABCD 中，
4,
11
AB
BC
，点E、F 分别在BC
AD
、
上，将
长方形ABCD 沿EF 折叠，使点C、D 分别落在长方形ABCD 外部的点
1
1
C
D
、
处，则整个阴影部分图形的周长
为
．
【答案】30
【详解】解：由折叠的性质可得
1
1
1
1
D F
DF
C E
CE
C D
CD
，
，
，又
4,
11
AB
BC
，
∴阴影部分的周长
1
1
1
1
AB
BE
AF
D F
C E
C D
AB
BE
AF
DF
CE
CD
AB
BE
CE
AF
DF
CD
AB
BC
AD
CD
4
11 11
4
30
，故答案为：30．
1．（23-24 八年级上·广东汕头·期中）将一长方形纸片按图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则
CBD
的度数为
（
）
A．60
B．90
C．95
D．100
【答案】B
【详解】解：由折叠知，
ABC
A BC
，
EBD
E BD
，而
180
ABC
A BC
E BD
EBD
，
∴
1
180
90
2
A BC
E BD
，即
90
CBD
．故选：B ．
2．（24-25 六年级下·黑龙江大庆·期中）若
和均为大于0小于180的角，且
60
，则称
和
互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着EP 对折（点P 在线段BC 上，点E 在线段AB 上）使点B
落在点B，若
1
与
2
互为“伙伴角”，
3
的度数（
）
A．40
B．80或40
C．80或60
D．40或60
【答案】B
【详解】解：由折叠性质可知，
1
3
，
∵
1
与
2
互为“伙伴角”，∴
1
2
60
，∴
1
2
60
或
2
1
60
，
∵
1
2
3
180
，∴2 1
2
180
，则
2
40
或
2
80
，∴
3
40
或
3
80
，故选：B ．
3．（24-25 七年级下·河南商丘·期中）如图，将一张长方形纸片ADFE 沿BC 折叠，点D 恰好落在AE 边上的点D¢处，
点A 落在点A处．若1
40
，则
D BC
的度数为（
）
A．140
B．70
C．68
D．50
【答案】B
【详解】解：根据折叠可知：
ABC
A BC
，∵1
40
，∴
180
1
220
ABC
A BC
，
∴
110
ABC
A BC
，∴
180
70
D BC
ABC
，故选：B．
4．（24-25 七年级下·天津·期中）如图，
ABC
的周长为30cm ，把
ABC
的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折
痕交BC 于D，交AC 于E，连接AD ，若
4cm
AE
，则
ABD
△
的周长是（
）
A．26cm
B．16cm
C．18cm
D．22cm
【答案】D
【详解】解：由折叠的性质得：
4cm
CE
AE
，AD
CD
，∴
8cm
AC
AE
CE
，
∵
ABC
的周长为30cm ，∴
30cm
AB
BC
AC
，∴
22cm
AB
BC
，
∴
ABD
△
的周长是
22cm
AB
AD
BD
AB
CD
BD
AB
BC
，故选：D．
5．（2024·广东茂名·一模）如图，将一张长方形纸片，分别沿着EP ，FP 对折，使点B 落在点B，点C 落在点C，
点P、B、C不在同一直线上，若
111
EPF
B PC
，则
PC
B
的度数为（
）
A．10
B．8
C．12
D．14
【答案】D
【详解】解：∵
111
EPF
B PC
，
EPF
EPB
FP
C
B P
C
，
∴
2
111
EPB
FPC
B PC
，∴
111
2
EPB
FP
C
C
B P
，
由折叠的性质得：
EPB
EPB
，
FPC
FPC
，
∵
180
EPB
EPB
FPC
FPC
PC
B
，∴
180
2
EPB
FP
B P
C
C
，
∴
180
2 111
2
PC
P
B
C
B
，解得
14
B PC
，故选：D．
6．（24-25 七年级上·福建福州·期末）如图，点
, ,
H E F 分别在长方形纸片ABCD 的边
,
,
AB AD BC 上，连接
,
HE HF ，
将纸片沿
,
HE HF 折叠，使得点A 落在点M 处，使得点B 落在点N 处，若
MHN
，则
EHF
的度数是（
）．（用
含的式子表示）
A．90
B．
1
90
2
C．180
D．
1
180
2
【答案】B
【详解】解：根据题意，由折叠性质可得：
AHE
MHE
BHF
NHF
，
，即
2
2
AHM
EHM
BHN
FHN
，
，
∵
180
AHM
MHN
BHN
，
MHN
，∴2
2
180
EHM
MHN
FHN
∴2
2
180
EHM
FHN
∴
1
90
2
EHM
FHN
∴
EHF
EHM
FHN
MHN
1
90
2
1
90
2 α
．故选：B．
7．（24-25 七年级下·四川遂宁·期末）如图，在
ABC
中，
2cm
AB
BC
AC
，点M
N
、
分别在边
,
AB BC 上，将
ABC
沿MN 折叠，使点B 落在B处，则CN
NB
的值为
cm．
【答案】2
【详解】解：由折叠的性质得NB
NB
，∵
2cm
AB
BC
AC
，
∴
2cm
CN
NB
CN
NB
BC
，故答案为：2．
8．（24-25 七年级下·安徽宿州·期末）若
和均为大于0小于180的角，且
60
，则称
和互
为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着EP 对折（点P 在线段BC 上，点E 在线段AB 上）使点B 落
在点B，若
1
与
2
互为“伙伴角”，则
3
的度数为
．
【答案】80或40
【详解】解：由折叠的性质得：
1
3
，∵点E 在线段AB 上，∴
3
90
，
∵
1
与
2
互为“伙伴角”，∴
1
2
60
，即
1
2
60
或
2
1
60
，
当
1
2
60
时，
2
3
60
，∵
1
3
2
180
，
∴
3
3
3
60
180
，解得：
1
3
80
；
当
2
1
60
时，
2
3
60
，∵
1
3
2
180
，
∴
3
3
60
3
180
，解得：
3
40
；
综上所述，
3
的度数为80或40．故答案为：80或40
9．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图，
ABC
中，
14
AB
，
10
AC
，沿直线BD 折叠这个三角形，使点A 落
在BC 边上的点E 处，CDE
的周长为12，则BC 长为
．
【答案】16
【详解】解：由折叠得，
14
EB
AB
，ED
AD
，
∵CDE
的周长为12，∴
12
CD
ED
CE
，∴
12
CD
AD
CE
，即
12
AC
CE
，
∵
10
AC
，∴
12 10
2
CE
，∴
14
2
16
BC
BE
CE
，故答案为：16．
10．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠（折线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ），
点A 、B 分别落在A、B处，延长EA交线段DC 于点G ，将长方形纸片沿EG 折叠，点D 落在D¢处．若
33
FED
，
则
EGC
．
【答案】128/128 度
【详解】解：根据折叠可知：
DEG
D EG
，
AEF
A EF
，
设
DEG
D EG
x
，则
33
AEF
A EF
x
，
∵
180
AEF
A EF
D EF
AEF
，∴
33
33
180
x
x
x
，解得：
38
x
，
∴
90
38
52
DGE
，∴
180
52
128
EGC
．故答案为：128．
11．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，ABC
中，
6
7
9
AB
AC
BC
、
、
，若沿过点B 的直线BD 折叠此三角形，
使点A 落在边BC 上的点E 处，折痕为BD ．则CDE
的周长是
．
【答案】10
【详解】解：∵AB 沿BD 折叠点A 落在BC 边上的点E 处，∴DE
AD
，
6
BE
BA
，
∵
9
BC
，∴
9
6
3
CE
BC
BE
BC
BA
，
∴CDE
的周长为
7
3
10
CD
DE
CE
CD
AD
CE
AC
CE
，故答案为：10．
12．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点G 处，折
痕为EF ，若
24
ABE
，那么
DEF
的度数为
°．
【答案】57
【详解】解：由折叠性质可得：
DEF
BEF
，长方形纸片ABCD 中，
90
A
，
又
24
ABE
，
180
66
AEB
A
ABE
，
1 180
57
2
DEF
BEF
AEB
．故答案为：57 ．
13．（24-25 八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图所示，把
ABC
沿直线DE 翻折后得到A DE
，如果
60
A EC
，
那么
AED
∠
度．
【答案】60
【详解】解：由折叠的性质得：
AED
A ED
，
∵
60
A EC
，∴
180
120
AED
A ED
A EC
，∴
60
AED
．故答案为：60
14．（24-25 八年级上·北京顺义·期中）将图1 中的
ABC
折叠，使点A 与点C 重合，折痕为ED ，点E ，点D 分别
在
,
AB AC 上，得图形2，若
2
6
,
BC
AB
，则EBC
的周长是
．
【答案】8
【详解】解：将图1 中的
ABC
折叠，使点A 与点C 重合，折痕为ED ，∴
,
AD
CD AE
EC
，
∵EBC
的周长为BC
BE
EC
BC
BE
EA
BC
BA
2
6
8
，故答案为：8 ．
15．（24-25 七年级上·山东威海·期中）如图，已知三角形纸片ABC 中，AH
BC
于H，将纸片沿AH 折叠，点B
落到BC 上的点D 处，再沿过点D 的直线DE 折叠，如果点C 恰好落在点A 处．那么以下结论中：①AB
CD
；
②AB
BH
CH
；③
ADH
ADE
；④若
ABD
△
的周长是28，
ABC
的周长是44，则
16
AC
，正确的有
（填序号）．
【答案】①②④
【详解】解：由折叠的性质可得AD
AB
CD
AD
，
，BH
DH
，∴AB
CD
，故①正确；
∵CH
CD
DH
，∴AB
BH
CH
，故②正确；
∵
ABD
△
的周长是28，
ABC
的周长是44，∴
28
44
AB
AD
BD
AB
BC
AC
，
，
∴
28
AB
CD
BD
，即
28
AB
BC
，∴
16
AC
，故④正确；
根据现有条件无法证明
ADH
ADE
，故③错误；故答案为：①②④．
16．（2025·辽宁阜新·一模）将长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使得
1
1
50
B MC
，其中
,
ME MF 为折痕，则
1
BME
C MF
的度数为
．
【答案】65/65 度
【详解】解：∵折叠，∴
1
BME
B ME
，
1
CMF
C MF
，
∵
1
1
1
1
180
BMB
B MC
C MC
，
1
1
50
B MC
，∴
1
1
130
BMB
C MC
，
∴
1
1
1
1 (
)
65
2
B
M
MB
C MC
BME
C
F
；故答案为：65．
17．
（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若
ABF
比
EBF
大12，则
EBF
的度数为：
；
DEF
与
EBF
的关系为：
．
【答案】
26
2
DEF
EBF
【详解】解：由折叠的性质可得
EBF
EBC
，
90
BEF
BEC
F
C
∠
∠
，∠
∠
，
∵
90
ABC
ABF
EBF
EBC
，
12
EBF
ABF
，∴
12
90
EBF
EBF
EBF
，
∴
26
EBF
，∴
180
64
BEF
F
EBF
∠
∠
∠
，∴
180
52
DEF
BEF
BEC
∠
∠
∠
，
∴
2
DEF
EBF
；故答案为：26；
2
DEF
EBF
．
18．（24-25 七年级上·江西吉安·期末）将一张矩形纸片沿AB 折叠成如右图所示的形状，则
ABC
°．
【答案】73
【详解】解：如图，∵
34
CBF
，∴
180
146
CBE
CBF
，
∴由折叠得
1
73
2
ABC
ABE
CBE
．故答案为73．
19．（24-25 七年级下·山西阳泉·开学考试）如图，在长方形纸片ABCD 中，M 为边AD 的中点，将纸片沿BM 、CM
折叠，使点A 落在点
1A 处，点D 落在点
1
D 处．若
1
30
，求
BMC
的度数
【答案】105
【详解】解：∵长方形纸片ABCD 中，M 边为AD 的中点，将纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在点
1A 处，点D 落
在点
1
D 处，
1
30
，∴
1
1
AMB
A MB
DMC
D MC
，
，
∴
1
1
180
1
AMB
A MB
DMC
D MC
，∴
1
1
180
1
180
30
75
2
2
A MB
D MC
，
∴
1
1
1
30
75
105
BMC
A MB
D MC
．
20．（22-23 七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1 折叠，则OC 为
AOB
的平分线，如图
2、图3，折叠长方形纸片，OC ，OD 均是折痕，折叠后，点A 落在点A，点B 落在点B，连接OA．
(1)如图2，若点B恰好落在OA上，且
32
AOC
，则
BOD
；
(2)如图3，当点B在
COA
的内部时，连接OB，若
44
AOC
，
61
BOD
，求
A OB
的度数．
【答案】(1)58(2)
A OB
的度数为30
【详解】（1）解：由题意知
AOC
A OC
，
BOD
B OD
，
180
AOC
A OC
BOD
B OD
，
32
AOC
，
1
180
2 32
58
2
BOD
，故答案为：58；
（2）解：由题意知
AOC
A OC
，
BOD
B OD
，
180
AOC
A OC
A OD
BOD
，
44
AOC
，
61
BOD
，
180
2 44
61
31
A OD
，
30
A OB
B OD
A OD
．
21．（24-25 七年级上·重庆丰都·期末）已知长方形纸片ABCD ，E 为线段AB 上一点，射线EP 交线段AD 于点F，
将三角形AEF 沿EF 翻折，点A 落在点M 处；射线EQ 交BC 边于点G，将三角形EBG 沿EG 翻折，点B 落在N 处．
(1)点E，M，N 共线时，如图1，求
GEF
的度数；(2)点E，M，N 不共线时，如图2，若设
GEF
，MEN
，
请写出图2 中，满足的数量关系式．并说明理由；(3)如图3，设运动时间为t 秒，若射线EP 从EA绕点E 以每
秒3顺时针旋转，当
16
t
时，点F 与D 重合，射线EP 停止旋转，若射线EQ 从EB 绕点E 以每秒5逆时针旋转，
当
12
t
时，点G 与C 重合，射线EQ 停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t 为多少时，
20
MEN
？
【答案】(1)90(2) 2
180
，理由见解析(3)10 或40
3
【详解】（1）解：由折叠的性质得：
AEF
MEF
，
BEG
NEG
，
∵
180
AEF
MEF
BEG
NEG
，∴2
2
180
MEF
NEG
，
∴
90
MEF
NEG
，∴
90
MEF
NEG
GEF
．
（2）解：2
180
，理由如下：由折叠的性质得：
AEF
MEF
，
BEG
NEG
，
∵
MEF
NEG
ME
GE
N
F
，
MEN
，∴
MEF
NEG
，∴
MEF
NEG
，
∵
180
AEF
MEF
BEG
NEG
MEN
，∴2
2
180
MEF
NEG
，
∴
2
180
，∴2
180
．
（3）解：由题意可知，
3
AEF
t
，
5
BEG
t
，
由折叠的性质得：
3
AEF
MEF
t
，
5
BEG
NEG
t
，
①EM 与EN 相遇前，则
180
AEF
MEF
BEG
NEG
MEN
，
即3
3
5
5
20
180
t
t
t
t
，解得
10
t
；
②EM 与EN 相遇后，则
180
AEF
MEF
BEG
NEG
MEN
，
即3
3
5
5
20
180
t
t
t
t
，解得
12.5
12
t
，
∴在EM 与EN 相遇后，当
20
MEN
时，射线EQ 已停止旋转，
∴此时
5
12
60
BEG
NEG
，∴3
3
60
60
20
180
t
t
，解得
40
3
t
，
综上，当t 为10 或40
3 时，
20
MEN
．
