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1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题18 数据的集中趋势和离散程度 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求算术平均数 题型二、求加权平均数 题型三、求中位数 题型四、求众数 题型五、求四分位数 题型六、求极差与离差平方和 题型七、求方差 题型八、画箱线图 题型九、统计综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识点 核心内容 常见易错点 算术平均数 反映数据的平均水平，计算方法 为一组数据的总和除以数据的总 个数 计算时漏数数据个数导致结果错 误；容易忽略算术平均数易受极 端值影响的特点 加权平均数 考虑不同数据权重（重要程度） 的平均数，计算方法为每个数据 乘对应权重后求和，再除以权重 总和 混淆权重占比，计算时忘记除以 权重总和；实际问题中分不清该 用算术平均数还是加权平均数 中位数 反映数据的中等水平，将数据按 大小顺序排序后，奇数个数据取 最中间的数，偶数个数据取中间 两个数的平均数 计算时忘记先排序就直接找中间 位置的数；偶数个数据时误将两 个中间数都当作中位数 众数 反映数据的多数水平，是一组数 据中出现次数最多的数据；一组 数据可能有多个众数，也可能没 有众数 误将数据出现的次数当作众数； 默认众数只有一个，漏写多个众 数的情况 极差 反映数据的波动范围，计算方法 为一组数据中最大数据减去最小 数据 计算时颠倒大小，错误用最小数 减最大数；无法从统计图表中准 确提取最大、最小值计算 目 录 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方差 反映数据的离散程度（波动大 小），计算方法为每个数据与平均 数的差的平方求和后，除以数据 总个数；方差越大，数据波动越 大、越不稳定 计算时忘记除以数据总个数，或 者忘记对差做平方运算；记反方 差大小与稳定性的关系，误认为 方差越大数据越稳定 标准差 反映数据的离散程度，是方差的 算术平方根，单位与原数据一致 计算时忘记对方差开平方，混淆 标准差与方差的计算 集中趋势统计量的选择 根据实际场景选择合适的统计量 描述数据：平均数适合描述整体 平均水平，中位数不受极端值影 响适合描述中等水平，众数适合 反映多数水平 实际应用中选错统计量，例如存 在极端值时仍选用平均数描述整 体水平 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求算术平均数 典例1 某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（ ） A．9.51 分 B．9.5 分 C．9.6 分 D．9.625 分 【答案】B 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，然后再求平均数即可． 【详解】解：由题意知，最高分和最低分为9.9，9.2， 则余下的数据的平均数为 （分） 变式1-1 已知一组数据： ，， ， ，，若这组数据的平均数是 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是 ， 3 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． ∴ ， ∴ ． 变式1-2 已知一组数据 ， ， ， 的平均数为7，则另一组数据 ， ，7， ， 的平 均数是_______． 【答案】7 【分析】先根据平均数的定义求出原数据的总和，再整理得到新数据的总和，最后根据平均数定义计算新 数据的平均数． 【详解】解：由题意，根据平均数的定义，原数据 满足 新数据的总和为 新数据共有个，因此新数据的平均数为 ． 变式1-3 某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选， 第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两 种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规 范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50 位学生进行投票，每票计6 分，甲、乙、丙三人的 得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试 得分按 的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 【答案】(1)应推选乙 4 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) 解：甲投票分数为： （分）， 乙投票分数为： （分）， 丙投票分数为： （分）． ∵“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按 的比例确定最后成绩， ∴ （分）， （分）， （分）， ∴甲将会被推选为三好学生． 【分析】本题主要考查平均数，加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，分别求出“品行规范”的平均数，“学习规范”的平均分，进行比较即可求解； （2）根据扇形图，分别求值甲、乙、丙的投票得分，再根据“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试 得分按 的比例确定最后成绩，运用加权平均数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：“品行规范”的平均数为： （分）， ∴甲、乙两位同学的品行规范得分不低于平均分； “学习规范”的平均分为： （分）， ∴乙、丙两位同学的学习规范得分不低于平均分； ∴两项均满足的为乙同学， ∴应推选乙． （2）略 类型二、求加权平均数 典例2 如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问 题解决五项能力的得分情况，依次按 进行综合测评，则他的综合得分为（ ） 5 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．10 分 B．9 分 C．8 分 D．6.4 分 【答案】C 【分析】根据雷达图读取五项能力的具体得分，结合给定的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： 分， ∴他的综合得分为8 分． 变式2-1 实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m 人，乙班有n 人，丙班有k 人（以上所有参数均为正整 数），在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分，丙班平均分是t 分．则甲、乙、丙三个班在这 次考试中的总平均分是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出三个班总分数为 分，总人数为 人，即可求出结论． 【详解】解：∵甲班有 人，平均分是 分，乙班有 人，平均分是 分，丙班有 人，平均分是分， ∴甲班总分数为 分，乙班总分数为 分，丙班总分数为 分， ∴三个班总分数为 分，总人数为 人， ∴总平均分为 ． 变式2-2 一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如 下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 6 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的 平均成绩相同，那么m 的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于 的一 元一次方程，求解方程即可得到 的值． 【详解】解：权重总和： ． 甲组的加权平均成绩： ， 乙组的加权平均成绩： ， 由题意得 ， 即 ， 解得 ． 变式2-3 某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的两名选手需要确定名次，评委从 演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，他们的成绩如下（单位： 分）． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 90 80 85 乙 75 85 95 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩． (2)如果把演讲内容、演讲能力、演讲效果按 计算最终成绩，请你通过计算确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为 分，乙的平均成绩为 分 (2)甲为第一名，乙为第二名 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式求解平均成绩； （2）根据加权平均数的计算公式，按照 的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定 7 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为 (分)； 乙的平均成绩为 (分). （2）解：根据题意，权重总和为 ， 甲的加权平均成绩为 (分)； 乙的加权平均成绩为 (分)； ∵ ， ∴甲为第一名，乙为第二名． 题型三、求中位数 典例3 某组 名同学的裸眼视力分别为： ， ， ， ， ， ．新学期这组加入了一名裸眼视 力为 的同学，新同学加入后的 个数据与之前的 个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 【答案】D 【分析】分别求出加入新数据前后的平均数、中位数和众数，进行比较即可得出答案． 【详解】解：将原6 个数据从小到大排序： ， ， ， ， ， ， 原平均数为 ， 原中位数为 ， 原众数为 ； 加入视力为 的同学后，共7 个数据，从小到大排序： ， ， ， ， ， ， ， 新平均数为 ，与原平均数不同， 新中位数为第4 个数 ，与原中位数相同， 新众数为 ，与原众数相同， 综上，集中趋势相同的是中位数和众数． 变式3-1 某地区七月份连续6 天的最高气温依次是：28，25，28，26，26，29（单位： ），则这组数据的 8 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 中位数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：25，26，26，28，28，29， ∵数据共6 个， ∴中位数是第3 个和第4 个数据的平均数，即 . 变式3-2 一组数1，5，6，2，3，x 的中位数是4，则x 的最小值是_____． 【答案】5 【分析】先确定数据共6 个，中位数由排序后第3、4 两数平均得到；分 和 两种情况分别计算中 位数，筛选符合中位数为4 的取值范围，得到 的最小值． 【详解】解：该组数据共6 个，中位数为排序后第3 个数、第4 个数的平均数． 原有已知数字按从小到大排序：1，2，3，5，6． 若 ，x 排在5 的前面，中位数 或 , ∴与中位数等于4 矛盾，不符合题意． 若 ，x 排在3 的后面,中位数始终为 满足题意， ∴ 的最小值为5． 变式3-3 某中学组织八年级学生开展安全教育素养提升活动．活动结束后，学校开展安全知识达标竞赛，竞 赛成绩（单位：分，满分为10 分）分为A，B，C，D 四个等级，对应得分依次为10 分，9 分，8 分，7 分．学 校随机抽取男生、女生各25 名的竞赛成绩进行整理分析，并绘制成相关统计图表如下． 9 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 性别 平均数 中位数 众数 女生 8.72 9 男生 8.72 8 请根据所给信息解答下列问题： (1) ______， ______，请将条形统计图补充完整． (2)小李认为，男生和女生竞赛成绩的平均数相同，因此男生和女生的竞赛成绩一样好．你认为小李的结论 是否片面，并说明理由（写出一条即可）． (3)若八年级共有300 名学生（男生、女生各一半）参加本次知识竞赛，且规定获得10 分为优秀，请估计八 年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少名． 【答案】(1)9；10；补全条形图如图所示： (2)小李的结论是片面的．理由：虽然男生和女生的平均数相同，但女生的中位数（9 分）高于男生的中位数 （8 分），说明女生的整体成绩分布偏向高分段，或者女生的众数（9 分）与男生的众数（10 分）不同，说 明高分段人数分布不同，仅凭平均数无法全面评价成绩的好坏 (3)102 名 【分析】（1）将25 名女生的竞赛成绩从大到小排列，第13 个数据在B 组，再结合中位数的定义可得答案， 由八年级男生竞赛成绩扇形统计图可知男生竞赛成绩在A 等级的人数占比最大，结合众数的定义可得答案； 由女生竞赛成绩统计图可得，女生竞赛成绩在C 等级的学生人数，再补全统计图即可； （2）分别从平均数，中位数角度出发分析即可； （3）由优秀率乘以总人数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵随机抽取男生、女生各25 名的竞赛成绩，女生竞赛成绩中位数应按从大到小排列的第 13 位同学的成绩，从女生竞赛成绩条形统计图可知女生竞赛成绩中位数落在B 等级范围内， ∴ ； 10 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵从男生竞赛成绩扇形统计图可知男生竞赛成绩在A 等级的人数占比最大， ∴抽取男生的竞赛成绩中，男生竞赛成绩的众数 ； 由女生竞赛成绩统计图可知，女生竞赛成绩C 等级学生人数为 (人)， 补全条形统计图略 （2）略 （3） 解：由题意得，样本中A 等级（10 分）的人数为： 女生：7 人 ，男生： (人)， 样本中A 等级的总人数为： (人)， 样本总人数为： (人)， 八年级成绩为优秀的学生人数约为： (名)， 答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为 优秀的学生共有102 名． 题型四、求众数 典例4 数据2，3，5，5，6，5 的众数和中位数分别是（ ） A．5，5 B．5，4 C．5，3 D．6，5 【答案】A 【详解】解：∵ 在数据中出现次数最多， ∴ 众数为； 将数据从小到大排列为 ， ∵ 数据共 个，中位数为第、 个数的平均数， ∴ 中位数为 ． 变式4-1 体育课上5 名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的 众数和中位数分别是（ ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 【答案】B 【详解】解：∵数据，，， ， 中出现次数最多， ∴众数为． ∵将数据从小到大排列后，第个数据为， 11 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴中位数为． 变式4-2 若一组数据 ， ，，的众数和中位数相等，则 的值为________． 【答案】 【分析】这组数据存在众数，因此 只能等于已有数据，， 中的一个，分类讨论验证众数和中位数是 否相等即可． 【详解】解：∵这组数据存在众数， 又∵原有数据各出现一次， ∴ 或 或 ， 当 时，将数据从小到大排序得：，，， ， 此时众数为，中位数为 ， ，不合题意，舍去； 当 时，将数据从小到大排序得：，，， ， 此时众数为，中位数为 ， ，符合题意； 当 时，将数据从小到大排序得：，， ， ， 此时众数为 ，中位数为 ， ，不合题意，舍去； 综上， ． 变式4-3 炎热的夏天来啦，同学们游泳的心已经蠢蠢欲动．为了增强同学们的安全意识，某学校举行了以“珍 爱生命·预防溺水”为主题的知识竞赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20 名同学的成 绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩用 表示，成绩均为整数，满分为100 分，95 分及以上为优秀）， 将学生的比赛成绩分为A，B，C，D 四个等级，分别是：A． ；B． ；C． ； D． ． 下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20 名学生的比赛成绩分别是： 83，84，85，86，87，89，90，90，91，92，92，93，94，96，96，96，98，99，99，100； 八年级被抽取的20 名学生的比赛成绩在C 等级中的数据分别是： 90，91，92，92，93，94； 七、八年级抽取学生比赛成绩统计表 12 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 92 b 八年级 92 a 98 根据以上信息，解答下列问题： (1)请填空： ______， ______， ______； (2)根据以上数据，你认为这次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（一 条理由即可）； (3)若该校七年级有900 人、八年级有850 人参加了这次知识竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此 次知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】(1) ， ， (2)八年级的成绩更好， 理由：因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率都高于七年级，所以八年级的成 绩更好； (3)估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有655 人． 【分析】（1）根据中位数，众数定义可得 ， 的值，根据优秀率的定义可得 的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【详解】（1）解：七年级20 名学生的比赛成绩中，96 出现的次数最多，故众数 ， 八年级抽取20 名学生，根据扇形统计图，A 等级人数为 人，B 等级人数为 人，C 等 级有6 人（已知 等级数据： ），则D 等级人数为 人， 把八年级20 名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是 、，故中位数 ， . 13 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 （3）解： （名）， 答：估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有655 人． 题型五、求四分位数 典例5 一家汽车零售店的10 名销售人员9 月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10， 10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】A 【分析】先将销售数据从小到大排序，再分别计算三个四分位数的位置，结合位置确定对应数值． 【详解】解：将销售数量从小到大排序得： ，， ，，， ， ， ， ， ． ∵数据共10 个，为偶数个， 为排序后的第5 个数据和第6 个数据的平均数， ∴ ； ∴ 为排序后的第3 个数据，即 ∴ 为排序后的第8 个数据，即 故答案为：A． 变式5-1 如图是某次演讲比赛中各位选手演讲成绩的箱线图，则这组成绩的第三四分位数是（ ） A．90 分 B．96 分 C．70 分 D．80 分 【答案】B 14 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：观察图形可知，在箱线图中，70 对应最小值，100 对应最大值，80 对应第一四分位数，90 对 应中位数，96 对应第三四分位数， ∴这组数据的第三四分位数为96． 变式5-2 某工厂甲车间近十天生产零件的数量（单位：个）为：20，22，25，28，30，32，35，38，40， 42，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】38 【分析】数据已按从小到大排序，先计算上四分位数的位置，再根据位置规则确定结果．或者先求中位数， 再求后半部分数的中位数． 【详解】解：这组数据已经按从小到大排序， 总个数 ， 方法一：计算上四分位数位置得 ， 不是整数，向上取整后，上四分位数为第个数据， 第个数据为 ， 这组数据的上四分位数是 ． 方法二：中位数为第5 个数据与第6 个数据的平均值，即 ； 后五个数32，35，38，40，42 再取中位数为第3 个数据，即 ． 变式5-3 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解 活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12 名学生的成绩（单位：分），并对所得到 的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级12 名学生的成绩如下： 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． b．七、八年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c 15 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 c．七年级抽取的学生成绩的箱线图如下图： (1)写出表中b、c 的值：b＝______，c＝______；七年级学生成绩的上四分位数是______； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600 名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90 分的人数． 【答案】(1) ， ；七年级上四分位数是96 (2) (3)估计成绩超过90 分的人数为300 人 【分析】（1） 求八年级的中位数 ：因为数据共12 个，为偶数个，所以取排序后第6、7 个数据的平均值， 用中位数定义计算； 求八年级的众数：统计所有成绩中出现次数最多的数值，用众数定义确定； 求七年 级上四分位数：上四分位数即 分位数，对应箱线图的上边缘，直接从图中读取数值； （2）求八年级平均成绩m：将12 个成绩求和后除以12，用平均数计算公式计算， （3）估计八年级成绩超过90 分的人数：先统计样本中超过90 分的人数，计算样本占比，再乘以总人数600， 用样本估计总体的方法计算， 【详解】（1）解：12 个数据从小到大排列后，中位数是第6 和第7 个数据的平均数，八年级成绩排序后， 第6 个是89，第7 个是91，因此 ， 因为众数是出现次数最多的数，93 出现了2 次，次数最多，因此 ， 上四分位数： ，位置为 ，因此上四分位数是第9 和第10 个数据的平均数，根据箱线图， 七年级上四分位数为96． （2）解：将12 名学生的成绩相加，再除以12： ． 16 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：抽取的12 名八年级学生中，成绩超过90 分的有：91，92，93，93，95，96，共6 人，占比为 ， 因此八年级600 名学生中，估计成绩超过90 分的人数为： ． 题型六、求极差与离差平方和 典例6 已知一组数据： 、、 、、 、 、 ，这组数据极差是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该组数据最大值为 ，最小值为 ，极差为 . 变式6-1 数据1，3，3，1，7 的平均数和离差平方和分别为（ ） A． 和 B． 和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数和离差平方和的定义，先根据平均数公式计算这组数据的平均数，再根据离差平 方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据为 ，共个数据，数据总和为 ， ∴平均数为 ， ∴离差平方和为： ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和 ， 故选：C． 变式6-2 一组数据： ，， ， ， ．这组数据的极差是________． 【答案】 【分析】先找出这组数据的最大值与最小值，再计算两者的差即可. 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为 ，因此极差为 . 变式6-3 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20 道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20 17 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13， 13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2 人 ，乙组3 人 m 方式二 Ⅰ组3 人 ，Ⅱ组2 人 (1)这20 名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； (2)这20 名同学中答对题数最少的5 名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2 人 组和3 人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 【答案】(1)10， (2)应该采用方式一分组 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据离差平方和的定义求出方式一的组内离差平方和，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵答对10 道的人数最多， ∴这20 名同学答对题数的众数为10 道； 把这20 名同学答对题数按照从小到大的顺序排列，第10 个数为11，第11 个数为12， ∴这20 名同学答对题数的中位数为 ； （2）解：方式一中甲组的平均数为 （道）， 乙组的平均数为 （道）， 甲组的离差平方和为 ， 乙组的离差平方和为 ， 方式一的组内离差平方和 ， ， 根据组内离差平方和最小的原则，应该采用方式一分组． 18 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型七、求方差 典例7 为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15 名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是 （ ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 【答案】D 【详解】解：共15 个数据，中位数为从小到大排列后第8 个数据， ∵前 个数据为0 和1，第6 至第11 个数据为2， ∴第8 个数据是2，中位数为2，A 正确； 加权平均数为 ，B 正确； ∵阅读量为2 的人数最多，共6 人， ∴众数为2，C 正确； 方差为 ，D 错误． 变式7-1 在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．如图是小逸和小亮在射击训练中 进行 次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（ ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 【答案】A 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大， 数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数 19 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 据越稳定；据此，根据统计图中两人成绩的波动大小判断即可． 【详解】解：根据图中的信息可知，小亮的成绩波动性大， ∴这两人中的新手是小亮． 变式7-2 已知一组数据： ， ， ，…， ，小明用 ，计算 这一组数据的方差，那么 _____． 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义：一般地设 个数据， ， ， ，…， 的平均数为 ，则方差 ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之 也成立，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，解题的关键是熟记方 差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数． 【详解】解：由 ，可知这 个数据的平均数为 ， ∴ ， 故答案为： ． 变式7-32026 年春晚人形机器人的表演，集中展示了中国在这一领域的世界级实力，但通往通用人形机器 人的“世界模型”之路依然漫长，这场竞赛的下半场，将聚焦于如何让机器人的“大脑”和它的身体一样 强大．某公司从自己生产的甲、乙两种型号的人形机器人中各随机抽取10 台对感知与环境交互能力进行测 评，以便持续升级改进，并对测评成绩进行整理、描述和分析，绘制成如下的统计图表（测评成绩用 表示， 总分为100 分，共分四组：A． ；B． ；C． ；D． ）．下面给出 了部分信息： 甲型10 台人形机器人测评成绩：69，79，83，85，85，86，92，92，92，96． 乙型10 台人形机器人测评成绩在C 组中的数据：85，85，85，89． 20 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的 ___________， ___________， ___________； (2)求 的值； (3)根据以上数据，你认为哪种型号人形机器人的感知与环境交互能力较好？请说明理由．（写出一条理由即 可） 【答案】(1)85，92，30 (2) 的值为 (3)甲型人形机器人的感知与环境交互能力较好． 理由：甲、乙两种型号人形机器人的测评成绩的平均数相同，但甲型人形机器人的方差更小，成绩更稳定， 所以甲型人形机器人感知与环境交互能力较好（理由合理即可）． 【分析】（1）根据乙型共抽取10 台， 组有4 台，求出 组占比，则可求 ；根据 中位数的定义、众数的定义即可求出 ，； （2）根据平均数的定义即可求出 ； （3）理由合理即可； 【详解】（1）解：10 个数据的中位数是第5、6 个数据的平均数， 乙型人行机器人 组有 （台）， 组有 （台）， 第5、6 个数据都在 组，分别为85、85， ∴ ， 甲型人形机器人测评成绩中，92 出现次数最多（共3 次）， ； 根据题意可得 组占比为 ， ； 21 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解： ； （3）略． 题型八、画箱线图 典例8 为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛 阶段，甲、乙两个学校各选出了 名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 乙校： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1) ， ， (2)如图所示即为所作， (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半 成员成绩不低于 分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中， 波动小． 【分析】（1）先对甲校测试成绩数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则进行求解； （2）先求得甲校测试成绩中最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 22 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解法一： 甲校成绩从小到大排列为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第一四分位数为前个数据的中位数， 第一四分位数为 ． 第二四分位数为 个数据的中位数， 第二四分位数为 ． 第三四分位数为后个数据的中位数， 第三四分位数为 ． 解法二： 甲校成绩从小到大排列为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第一四分位数为第个数，即 ． ， 第二四分位数为第个数与第 个数的平均数，即 ． ， 第三四分位数为第个数，即 ． （2）解：由甲校数据知，最小值为60，最在值为100，结合（1）的数据即可画图； （3）略． 变式8-1 甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； 23 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)70，90，96 (2)甲组的箱线图如下： (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半 成员成绩不低于90 分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中， 波动小．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （2）先求得甲组数据中，最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【详解】（1）解法一：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， 则甲组前半部分有5 个数据，则下四分位数是70； 甲组数据的中位数为第5 个和第6 个数据的平均数，则中位数为 ， 甲组的后半部分有5 个数据，则上四分位数是96； 解法二：将甲组数据从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ； （2）略 （3）略 变式8-2 某机器人公司对甲，乙两款机器人的使用情况进行调查评分（单位：分），结果分为四个等级：A 级：91~100，B 级：86~90，C 级：81~85，D 级：75~80．现从中各随机抽取20 份，下面给出了部分信息： 其中甲款机器人B 级的评分分数为86，87，87，88，88，89，90，90；乙款机器人的评分分数为75，75， 24 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 76，78，78，82，82，82，82，86，86，90，90，90，94，94，97，97，97，99．根据样本数据，绘制如 下图表． 抽取的对甲，乙两款机器人评分的统计表 型号 平均数 众数 中位数 甲 86.5 92 c 乙 86.5 b 86 抽取的对甲，乙两款机器人评分的箱线图 抽取的对甲款机器人评分的扇形统计图 回答下列问题： (1)上述图表中， ， ． (2)求的值． (3)请结合箱线图对这两款机器人的评分情况进行分析（写出两条即可）． 【答案】(1)20；82 (2)87 (3)①甲款机器人评分中位数高于乙款机器人评分中位数，说明甲款机器人用户评分的中等水平比乙款高； ②甲款机器人评分的箱线图箱子比乙款短，数据更集中，说明甲款机器人整体口碑好，用户评价高．（答案 不唯一，言之有理即可） 【分析】（1）计算B 级占比，利用减去其他项目占比可得 ；根据众数的概念可得 ； （2）根据中位数的概念可得； 25 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）根据箱线图对两款机器人进行评价即可． 【详解】（1）解：甲款机器人B 级的评分个数为个， ， ； 乙款机器人的评分分数中， 出现的次数最多，则众数 分； （2）解：甲款共20 个样本，中位数是第10，11 个数的平均值． A 级数量： 份，B 级8 份， 评分从高到低第10，11 个数是87，87， ； （3）略 变式8-3 嫦娥工程是我国自主实施的月球探测重大工程，规划分为无人月球探测、载人登月、建立月球基地 三大阶段．按照规划，2026 年8 月将发射嫦娥七号探测器． 为传承航天精神、致敬探月工程，某校组织七、八年级举办“航天梦·中国梦”主题演讲比赛，赛后从这 两个年级各随机抽取20 名参赛学生成绩开展分析，成绩均为整数，并将8 分及以上评定为优秀． 【数据的整理】 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 抽取的七年级人数 2 0 4 3 6 3 2 抽取的八年级人数 1 2 1 6 5 4 1 【数据的分析】 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 7．4 8 8 55% 八年级 7．4 7．5 a b 26 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ________________； ________________； (2)若七、八年级共有学生400 名，他们在本次比赛成绩优秀约多少人？ (3)求七年级成绩的四分位数； (4)如图是八年级成绩的箱线图，在同一幅图中画出七年级成绩的箱线图，据此比较两个年级的成绩特点． 【答案】(1)7， (2)210 人， (3)下四分位数6，中位数8，上四分位数 (4)七年级成绩的箱线图如图所示： ； 成绩特点对比：七、八年级平均分相等，七年级整体成绩更好；七年级中位数、优秀率更高，高分学生占 比更大；八年级成绩集中在中等分数，优秀人数占比更低．． 【分析】（1）根据众数的定义和优秀率分析确定即可； （2）先计算出所抽取学生中成绩在8 分及以上的人数，再用该校学生总数乘以所抽取学生中成绩在8 分及 以上的人数所占抽取学生比例即可； （3）根据四分位数的定义计算即可； （4）根据七年级四分位数，在原图八年级箱线同一坐标轴作图即可，然后从平均数、中位数，和优秀率角 度进行比较即可； 【详解】（1）解：众数是一组数据中出现次数最多的数，八年级成绩里7 分有6 人，出现次数最多， 因此 ， 27 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 分、9 分、10 分为优秀，八年级优秀人数： ，一共抽取20 人， 优秀率 ． （2）解：抽取的七年级20 人，优秀人数： ， 抽取的八年级20 人，优秀人数：10， 40 个样本里优秀总人数： ， 400 名学生中优秀人数： （人）． （3）解：七年级抽取20 人，成绩对应人数：4 分2 人、5 分0 人、6 分4 人、7 分3 人、8 分6 人、9 分3 人、10 分2 人 从小到大完整排序： 4、4、6、6、6、6、7、7、7、8、8、8、8、8、8、9、9、9、10、10，共20 个数据 解法一： 第二四分位数为中位数，把20 个数据分成前10 个、后10 个， 中位数是第10 个数与第11 个数的平均数：第10 个数为8，第11 个数为8， , 第一四分位数为前10 个数的中位数，前10 个数：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，中位数为第5、6 个数 的平均数：第5 个是6，第6 个是6， ， 第三四分位数为后10 个数的中位数，后10 个数：8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，中位数为第5、6 个 数的平均数：第5 个是，第6 个是， ， 故七年级成绩的四分位数 ； 解法二： ，位置为整数， 第一四分位数为第5 个数与第6 个数的平均数， ，即 ， ，位置为整数， 第二四分位数为第10 个数与第11 个数的平均数， ，即 ， 28 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，位置为整数， 第三四分位数为第15 个数与第16 个数的平均数， ，即 ； 故七年级成绩的四分位数 ． （4）略 题型九、统计综合应用 典例9 2026 年5 月24 日23 时08 分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F 遥二十三运载火箭点火发 射．这是中国载人航天第40 次发射任务、长征火箭的第644 次飞行、神舟飞船的第23 次飞行．某学校为 调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40 名学生进行航天知识测试，用 表示测试 成绩（单位：分，满分100 分，均不低于60 分），将成绩分为四个等级（ ： ； ： ； ： ； ： ）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表： 七、八年级成绩统计表 年级 平均数 方差 七年级 84.38 134.48 八年级 86.40 114.54 根据以上信息，解答下列问题： (1)请将七年级成绩条形统计图补充完整； (2)八年级成绩扇形统计图中， 等级对应圆心角的度数为____________； (3)若该校七年级的800 名学生都参加测试，估计成绩为 等级的有____________人； 29 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4)请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况． 【答案】(1) (2) (3)320 (4)从平均数看，八年级平均成绩为86.40 分，高于七年级的84.38 分，说明八年级学生航天知识测试的整体 水平更高； 从方差看，八年级方差为114.54，小于七年级的134.48，说明八年级学生航天知识测试的成绩更稳定． 【分析】（1）先求出C 等级学生人数，然后补全统计图即可； （2）先求出B 等级学生占比，然后用 乘以这个比值即可； （3）用总人数乘以成绩样本中成绩为 等级人数的占比即可； （4）根据平均数和方差的意义解答，合理即可． 【详解】（1）解：C 等级学生人数： （人）， 补全条形统计图略； （2）解：B 等级学生占比： ， 等级对应圆心角的度数为： ； （3）解： （人）， 即估计成绩为 等级的有320 人； （4）略． 变式9-1 每年4 月23 日是世界读书日．为传承先贤文脉，营造校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读 好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动．数学课外小组针对学生的阅读打卡积分进行了调查， 30 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分别从A 班和B 班各随机抽取10 名学生，收集了他们的打卡积分数据： A 班：10 名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）： B 班：10 名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 数学课外小组对所抽取学生积分进行了整理与分析，并汇总得到了如下所示的相关数据： A 班 B 班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 根据以上信息，解答下列问题． (1)补全以上样本数据的条形统计图和统计表； (2)若9 分及9 分以上为班级“阅读小达人”．已知B 班共50 人，请估计B 班的“阅读小达人”有多少人？ (3)为了让更多学生坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明哪 个班应该得奖．（写出两条理由即可） 【答案】(1)补全条形统计图如图所示： 补全统计表如下： 31 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A 班 B 班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 (2) (3)解：B 班阅读氛围更好．理由：B 班的平均分、中位数都高于A 班，且方差更小说明成绩更稳定． 【详解】（1）解：根据统计图可得，获得10 分的学生人数为 （人）， 补全条形统计图略． A 班学生的积分平均数为 ； A 班学生的积分分出现次数最多，故众数为； A 班学生的积分的方差为 ； B 班学生的积分平均数为 ； B 班学生的积分从小到大的第5 名和第6 名成绩分别为8 和9，故中位数为 ； 补全统计表略； （2）解：B 班的“阅读小达人”人数为 （名）． （3）略 变式9-2 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节来临之际，我县某初中学校 七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动比赛，对学生的活动情况按10 分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6 的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10 名学生的活动成绩作为样本 进行整理，并绘制如下统计图表，部分信息如下： 八年级10 名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 32 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 人数/名 1 2 a b 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)样本中，七年级实践活动成绩为7 分的学生有___________名，七年级实践活动成绩的众数为___________ 分； (2)已知八年级10 名学生活动成绩的中位数为 分，则 ___________， ___________； (3)若该校八年级共有600 名学生，根据此次活动估计该校八年级将有多少名学生获得满分． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 名 【分析】（1）根据题意，得出七年级实践活动成绩为7 分的学生有 （名），然 后根据众数的定义即可求得众数； （2）根据中位数的定义，将八年级的活动成绩从低到高排列，那么其中位数应是第 个和第6 个数据 的平均数，结合已知条件易得第5 个和第6 个数据分别为8 分，9 分，再根据表格中数据即可求得答案； （3）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，样本中，七年级实践活动成绩为7 分的学生有 （名）． 七年级实践活动成绩中分出现的次数最多（占比最大）， 七年级实践活动成绩的众数为分． （2）解：将八年级的活动成绩从低到高排列后，它的中位数应是第5 个和第6 个数据的平均数， 又∵八年级10 名学生活动成绩的中位数为 分，且成绩均为不低于6 的整数， ∴第5 个和第6 个数据的和为 （分）， ∴第5 个和第6 个数据分别为8 分，9 分． ∵成绩为6 分和7 分的人数为 （名）， 33 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴成绩为8 分的人数为 （名），成绩为9 分的人数为 （名）， 即 ， ． （3）解：由题意得， （名）． 答：估计该校八年级将有 名学生获得满分． 变式9-3 射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，， ，， 乙：，， ， ， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ________， ________， ________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第 次，命中的成绩是环，则选手乙这 次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相 比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1) ，， (2)乙成绩变化情况的折线统计图如下： 34 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)变小 (4)解∵两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小， ∴甲的成绩较稳定， ∴选择甲参加射击比赛． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据（1）中结果，画出乙成绩变化情况的折线统计图即可； （3）根据乙的 次成绩，求出 次成绩的方差，与原方差比较即可得出答案； （4）根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定解答即可． 【详解】（1）解：∵乙的次成绩为，， ， ，， ∴乙的次成绩的平均数 ； ∵甲的次成绩为，， ，，，其中数据出现的次数最多， ∴甲的成绩的众数 ； 把乙的次成绩从低到高排列为， ，，， ， ∵最中间的数据为， ∴乙的次成绩的中位数 ． （2）解：由（1）可知， ， ， 乙成绩变化情况的折线如下：略 （3）解：∵乙的第 次命中的成绩是环， ， ∴ 次成绩的平均数为 ， ∴ 次成绩的方差为 ， ∵ ， ∴选手乙这 次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会变小． 35 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）解：略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会 米比赛．下表是四名运动员最近 次 米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【答案】A 【详解】解： 米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为 ，小于乙的 和丁的 ， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差 小于丙的方差 ， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 2．在一次物理实验中， 两个班的学生需用弹簧测力计测量一个 钩码的重力（理论重力为 ）， 两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误 ．．的是（ ） A． 班和 班均有学生的测量值超过了理论值 B． 班的测量值比 班的测量值波动更大 C． 班测量值的第三四分位数与 班测量值的中位数相同 36 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 D． 班的平均测量值比 班的平均测量值更高 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A 选项：由箱线图可知，两班最大测量数据都超过理论重力 ，故本选项正确，不符合题 意； B 选项：A 班的测量值箱体比B 班的测量值的箱体更大，所以A 班的测量值比B 班的测量值波动更大，故本 选项正确，不符合题意； C 选项：A 班的上四分位数与B 班的中位数相同都是 ，故本选项正确，不符合题意； D 选项：仅通过箱线图的上四分位数、下四分位数、中位数的大小关系无法直接推断两组数据平均值的大小 关系，故此选项错误，符合题意． 3．一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（ ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 【答案】C 【分析】组内离差平方和是同一组内各数据与该组平均数的差的平方和，反映同一组内数据的离散程度． 【详解】解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 4．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中 随机抽取了12 名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95， 85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（ ） A．97 分 B．90 分 C．88 分 D．87 分 【答案】C 【分析】先统计原数据各分数的出现次数，确定原众数，再判断去掉各选项分数后众数是否改变． 【详解】解：原 个数据中各分数的出现次数为： 分出现 次， 分出现次， 分出现 次， 分出 现次， 分出现次， 分出现次， ∴原数据的众数为 分和 分， ∵ 分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是 分，故A 选项不符合题意； ∵去掉 分或 分后， 分和 分的出现次数仍均为 次，众数不变，故B、D 选项不符合题意， ∵去掉个 分后， 分出现次， 分仍出现 次，众数变为 分，发生改变，故C 选项符合题意． 37 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6 天的最高气温，结果如下（单位℃)： ， ， ，2， ，1．若这组数据的中位数是 ，则下列结论正确的是（ ） A．方差是8 B．极差是9 C．众数是 或 D．平均数是 【答案】C 【分析】先依据6 个数据的中位数计算公式推导出x 的取值区间，再分别分析众数.极差、平均数、方差因x 可取多个数值无法得到固定常数，以此区分各选项的对错属性． 【详解】解：原始数据： ，共6 个数据，中位数为排序后第3 项、第4 项数值的平均值． 将不含 的数据从小到大排列： ． 由中位数是 ，可得： 第3 项与第4 项之和 ． 若 ，则x 排在第3 项之后， ，则 ， 即中位数大于 ，与题设中位数等于 矛盾； 若 ，中位数 ，符合题意； 若 ，则x 排在第3 项之前，中位数仍然是 ，符合题意． ∴ ． 选项C：当 时，出现次数是三次，其它数据出现的次数都是1 次，出现的次数最多； 且 时， 出现次数是二次，也是最多； 且 时， 出现次数是二次， 出现的次数也是二次，所 以众数为 或 ，此选项正确； 选项B：∵ ． ∴x 可取小于等于 的任意数， ∵极差 最大值 最小值， ∴极差并不确定，此选项错误； 选项A 与选项D：与判断选项B 一样，由于x 可取小于等于 的任意数，因此平均数与方差并不是固定值， 故此两选项错误． 6．某班7 个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是 ___________． 【答案】 7 38 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据平均数求出 的值，再将数据排序后根据中位数定义计算结果． 【详解】解：∵这组数据的平均数为7，共7 个数据， ∴这组数据的总和为 ， 已知6 个数据的和为 ， 计算得 ， 将这组数据从小到大排列为： ，7 个数据的中位数为排序后的第4 个数， 因此这组数据的中位数是7． 7．一个小组的同学在一次测试中的得分情况为：人得 分、人得 分，人得 分，人得 分．这 个小组的平均成绩是___________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算规则，用所有人的总得分除以总人数即可得到平均成绩. 【详解】解：这个小组的平均成绩为 分. 8．某公司有15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示，已知这15 个数据的中位数为5．这 15 名员工每人所创年利润的众数是________． 部门 人数 每人所创年利润（单位：万元） A 1 19 B 3 8 C 7 x D 4 3 【答案】5 【分析】结合15 个数据的中位数为排序后第8 个数据，根据各部门人数确定第8 个数据为 ，结合已知中 位数求出 ，再根据众数定义得到结果。 【详解】解：∵总共有15 个数据，中位数是排序后的第8 个数据， ∵从小到大排列，前4 个数据均为3，3，3，3，接下来7 个数据均为 ， 因此第8 个数据为 ． 又∵已知中位数为， 小学 初中 39 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ，这组数据中，共出现7 次，出现次数最多，因此这组数据的众数为． 9．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位： ）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的 时长将该训练小组的成员分成 和 两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解： 的组内平均数为 ，组内离差平方和为 ； 的组内平均数为 ，组内离差平方和为 ； 所以这种分组情况的组内离差平方和为 ． 10．甲、乙两班同学举行数学知识竞赛，竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 乙 45 83 84 135 若再把这两班的成绩制作成箱线图，某同学综合分析以上统计表和统计图后得到如下结论： ①甲、乙两班学生的成绩箱线图的宽度相同； ②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分 分为优秀）； ③甲班成绩的离差平方和是3690． 上述结论中正确的是__________（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ②③ 【分析】逐个分析三个结论，根据已知统计量的定义和性质判断结论是否成立. 【详解】解：①箱线图的宽度由成绩的极差（最大值减最小值）决定，题目仅给出平均数、中位数、方差， 未给出两班成绩的最值，无法确定极差相同，因此箱线图宽度不一定相同，故①错误； ②两班参赛人数均为 ，排序后中位数是第 个数据， ∵甲班中位数为 ，说明至少有 个得分 ， ∵乙班中位数为 ，说明最多有 个得分 ， ∴乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数，故②正确； 40 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③根据方差的定义， ， ∴甲班离差平方和 ，故③正确， 综上，正确结论为②③. 11．近年来，我国加快推动能源绿色低碳转型，持续提高新能源供给比重，推进化石能源安全可靠有序替 代，着力构建新型电力系统，建设能源强国．我国清洁能源（水电、核电、风电、太阳能）发电规模实现 历史性跃升，能源结构转型成效显著．某综合实践研究小组根据我国相关部门公布的规模工业发电量的数 据进行整理、描述与分析，给出部分数据信息： 信息一：2016—2025 年火电、清洁能源及太阳能年度发电量统计图 信息二：2024 年1— 12 月清洁能源月度发电量的中位数是2513；2025 年1—12 月清洁能源月度发电量从小到大排序，前四个数 据为：2228，2299，2447，2558． 信息三：2025 年火电、清洁能源月度发电量统计图 请根据以上信息，解答下 列问题： (1)2016—2025 年，清洁能源年度发电量的变化趋势：______________________________． (2)下列结论正确的是____________________．（填序号） 41 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①2025 年，第二季度火电和清洁能源月度发电量都持续增长； ②清洁能源月度发电量2025 年有9 个月超出2024 年的中位数； ③太阳能年度发电量2021—2025 年比2016—2020 年增长快． (3)结合以上信息，请你谈谈对我国未来能源发展趋势的看法． 【答案】(1)逐年持续增长 (2)①②③ (3)我国未来能源结构中清洁能源的发电量占比将不断提升，同时太阳能等新能源产业会保持高速发展，推 动能源体系向更安全、绿色、可持续的方向升级．（表述合理即可） 【分析】（1）根据信息一的统计图中清洁能源年度发电量分析即可； （2）根据信息三的火电、清洁能源月度发电量统计图第二季度，即4、5、6 月份的数据分析可判断①；根 据信息二的2024 年中位数与2025 年从小到大排序后的前四个数据比较可判断②；根据信息一的太阳能年 度发电量数据可判断③； （3）结合三个信息中数据体现的特征：清洁能源发电量持续快速的增长、火电占比逐步相对下降，可从能 源结构优化、新能源发展等角度展开合理表述即可． 【详解】（1）略； （2）解：①第二季度为4、5、6 月，从信息三的统计图读取对应数据，火电和清洁能源都是持续增长的， 故该结论正确； ②∵2024 年1—12 月清洁能源月度发电量的中位数是2513，2025 年1—12 月清洁能源月度发电量从小到大 排序，前四个数据为：2228，2299，2447，2558，其中2558 大于2513， ∴剩余8 个月的数据均大于2513，即有9 个月超出2024 年的中位数，故该结论正确； ③根据信息一，太阳能年度发电量2016—2020 年增长了 （亿千瓦时）； 2021—2025 年增长了 （亿千瓦时）； ∵ ∴太阳能年度发电量2021—2025 年比2016—2020 年增长快，故该结论正确； （3）略． 12．下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料： 月收 入/ 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2000 42 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 元 人数 1 1 1 3 6 1 11 2 (1)请求出月收入的平均数、中位数和众数； (2)甲，乙两人分别用样本平均数和中位数来描述公司全体员工月收入水平，指出谁的观点比较科学合理， 能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说出另一个人的观点不能真实反映公司全体员工月收入水平的 原因． 【答案】(1)平均数为 ，中位数为 ；众数为3000 (2)乙的观点比较科学合理，甲用平均数来反映公司员工的月收入水平受极端值的影响，只有3 名员工达到 平均水平 【分析】（1）根据平均数计算公式，中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据中位数、众数和平均数的意义，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 平均数为 ， 将26 个人的工资从小到大进行排序，排在第13 的是3000 元，排在第14 的是3400 元，因此中位数为： ； 26 个人的工资中出现次数最多是3000 元，因此众数为3000． （2）略 13．某校为了解七，八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七，八年级学生进行了测试，现从七， 八年级各随机抽取15 名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 数据收集： 七年级：82，83，78，89，96，98，84，65，73，72，85，70，85，92，93 八年级：93，77，88，85，73，88，90，79，94，88，69，56，93，90，82 数据整理： 分数段 七年级 1 4 m 4 八年级 2 3 5 5 43 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 数据分析： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 n 85 八年级 83 88 88 根据以上信息，解答下列问题： (1) ________， ________； (2)请从中位数的角度推断哪个年级的测试成绩较好． 【答案】(1)6 ；84 (2)因为八年级成绩的中位数大于七年级，说明八年级分数不低于88 分的比较多，所以八年级成绩较好 【分析】（1）根据表格中数据，结合中位数定义进行解答即可； （2）根据中位数意义进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 将七年级15 名同学的成绩从小到大进行排序，排在第8 的是84，因此中位数 ； （2）略 14．有关人员开展了 ，两款 聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20 份，对数据进 行整理、描述和分析（评分分数用 表示，分为四个等级：不满意 ，比较满意 ，满意 ， 非常满意 ），下面给出了部分信息：抽取的对 款 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84， 86，86，87，88，89；抽取的对 款 聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87， 88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对 ， 款 聊天 机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所 占百分比 88 b 96 88 88 c 44 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ________， ________， ________； (2)在此次测验中，有280 人对 款 聊天机器人进行评分、320 人对 款 聊天机器人进行评分，请通过 计算，估计此次测验中对 聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】(1)15；88.5；96 (2) 人 【分析】（1）先分别求出对A 的评分中不满意、非常满意的份数，结合“满意”的数据的份数，求出比较 满意份数，从而可求得 ，再将A 的评分按分数等级从小到大排序，根据中位数的意义求得 ，然后根据B 款全部分数，结合众数的概念求得； （2）先分别求出对A、B 不满意的人数，再求和即可． 【详解】（1）解：因为对A 不满意： 份， 对A 非常满意： 份， 对A“满意”的数据：84，86，86，87，88，89，共6 份， 对A 比较满意份数： 份， 所以 ， 所以 ， 因为对A 的评分有20 份， 所以中位数是第10、11 个数的平均数， 按分数等级从小到大排序：不满意→比较满意→满意→非常满意， 不满意(2 个)：第1、2 名， 比较满意(3 个)：第3、4、5 名， 满意(6 个)：第6、7、8、9、10、11 名， 满意组数据：84，86，86，87，88，89， 第10 个数是88，第11 个数是89， 45 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以中位数 ， B 款全部分数为：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99， 100， 其中87 出现3 次，88 出现2 次，96 出现4 次，其余只出现1 次 出现最多的是96，故 ； （2）解：有280 人对A 款 聊天机器人进行评分、320 人对B 款 聊天机器人进行评分， 所以A 不满意人数： (人)， 因为B 样本共20 份，B 的20 个分数中：67、68、69 是不满意，共3 份， 所以B 不满意占： ， 所以B 总评分320 人，B 不满意人数有： (人)， 所以总不满意人数： (人)， 答：此次测验中对 聊天机器人不满意的共有76 人． 15．立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20 名男生立定跳远的成绩（单 位： ），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 46 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位 数 第二四分 位数 第三四分 位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1) ______， ______， ______， ______； (2)补全条形图和扇形图； (3) ______， ______； (4)若八年级男生共有180 人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20 个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有 人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什 么． 【答案】(1)8；3； ； (2)补全条形图和扇形图如下： 47 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3) ；230 (4)54 人 (5)看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降 低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征， 还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为 组最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（ ）、中低分段（ ）、中高分段（ ）、高分段 （ ），4 组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小， 也能直观呈现整体的成绩分布特征． 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）结合（1）中的计算结果补全条形图和扇形图； （3）根据方差的定义和第三四分位数的定义计算； （4）利用样本估计总体的思想求解即可； （5）根据分组统计的意义解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知， 的有8 人， 的有3 人， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ； （2）解：略 （3）解：方差 ； 20 个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）： ， 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，则第三四分位数为（取百分数计算）： ， ∴ ； （4）解： （人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54 人； （5）解：略
