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专题14 圆的最值与定值问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值
题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变
题型3、隐圆模型-直径所对圆周角
题型4、面积最值问题
题型5、圆的覆盖问题
题型6、轨迹最值问题
题型7、定值问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
圆的最值与定值问题，核心在于通过“隐圆”把动点轨迹转化为圆或圆弧，再利用圆的性质求最值；常
见模型有：圆上动点到定点距离最值、折叠旋转中的定长轨迹、直径所对直角、面积最值、覆盖问题、轨
迹最值等；定值问题则要从特殊位置猜想定值，再用几何关系或代数运算证明其不变；解题时善于构造辅
助圆、利用数形结合与分类讨论，注意临界状态分析．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值
典例1 （2025·安徽安庆·一模）如图，矩形
中，P 为
边上一点（不与A，D 重合），连接
，
，过
点作
，垂足为
，连接
，
，
与
相交于点
．则下列结论错误的是（ ）
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A．若
，则
B．若
，则
为等腰三角形
C．若
，
，则
D．若
，
，则
最小为
【答案】C
【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得
，证得
，即可判断选项A
正确；若
，根据等腰三角形的性质可得
，利用直角三角形的性质得
，得
证
，即可判断选项B 正确；过点
作
于点
，根据矩形的性质得
是等腰直
角三角形，推出
，即
、
、
、
四点共圆，通过圆周角定理得出
，利用
勾股定理求出
、
的值，通过
即可判断C 选项错误；通过题意可得点
在以
中点
为圆心，
为直径的圆上，当
、、三点共线时，
最小，利用勾股定理求出
，再通过
即可判断D 选项正确．
【详解】解：A、
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
,
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，
，
，
，故A 选项正确；
B、如图，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
为等腰直角三角形，故B 选项正确；
C、如图，过点
作
于点
，
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四边形
是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、
、
、
四点共圆，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，故C 选项错误；
D、如图，
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，
，
点
在以
中点
为圆心，
为直径的圆上，
，
当
、
、
三点共线时，
最小，
在
中，
，
，故D 选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的
性质，直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
题型模版
1.特征：动点在给定圆上运动，求该动点到某定点距离的最大值或最小值．
2.方法：连结定点与圆心，最近点在最近交点、最远点在最远交点；最值分别为 |d-R| 和 d+R，注意点的
位置．
变式1-1 如图，长为定值的弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C、D 与点A、B 不重合），点E 是CD
的中点，过点C 作CF⊥AB 于F，若CD＝3，AB＝8，则EF 的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】B
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【分析】如图，延长CF 交⊙O 于T，连接DT．利用三角形的中位线定理证明EF＝
DT，当DT 是直径时，
EF 的值最大．
【详解】解：如图，延长CF 交⊙O 于T，连接DT．
∵AB 是直径，AB⊥CT，
∴CF＝FT，
∵点E 是CD 中点，
∴EF＝
DT，
∴当DT 是直径时，EF 的值最大，最大值＝
×8＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，垂径定理．正确作出辅助线并理解当DT 是直径时，EF 的值最大是
解答本题的关键．
变式1-2 如图，量角器的0°刻度线的两端A，B 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上滑动，点C 位于该量角
器上
刻度处．
（1）若点C 在靠近点A 处，连接
，则
=___________°；
（2）当点C 与原点O 的距离最大时，
=___________°．
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【答案】 25
或65
【分析】（1）取
的中点D，如图，利用量角器的读数得到
，再根据圆周角定理的推论判断
点O 在以
为直径的圆上，即点O 和量角器在同一个圆上，则根据圆周角定理得到
；
（2）当点C、D、O 共线时，点C 与原点O 的距离最大，分两种情况利用邻补角计算出
或
，
然后根据圆周角定理得到
，进而即可求解．
【详解】（1）取
的中点D，如图，
根据题意得
，
∴
∵
，
∴点O 在以
为直径的圆上，即点O 和量角器在同一个圆上，
∴
；
故答案为：25；
（2）①当点C 靠近B 点时，且点C、D、O 共线时，点C 与原点O 的距离最大，
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∵
，
∴
，
∴
．
②当点C 靠近A 点时，且点C、D、O 共线时，点C 与原点O 的距离最大，
此时
，
∴
，
∴
．
故答案为：
或65．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
变式1-3 如图，已知正方形
的边长为2，点O 是
边的中点，G 为正方形内一动点，且
．点
P 是
边上另一动点，连接
、
，则
的最小值为______．
【答案】
/
【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的
性质作线段的等量转移是解题关键．作点
关于直线
的对称点
，连接
，以
为圆心，
长为半
径作圆，点
在圆上运动，
、
与
交于点
、
，则
，
，
，
当点
、
在
、
位置时，此时点
、
、
、
四点共线，
有最小值为
长，过点
作
于点
，求出
，即可求解．
【详解】解：
正方形
的边长为2，点O 是
边的中点，
，
，
，
如图，作点
关于直线
的对称点
，连接
，以
为圆心，
长为半径作圆，点
在圆上运动，
与
与
交于点
、
，
则
，
，
，
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，
当点
、
在
、
位置时，此时点
、
、
、
四点共线，
有最小值为
长，
过点
作
于点
，则四边形
是矩形，
，
，
，
，
的最小值为
，
的最小值为
，即
，
故答案为：
．
题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变
典例2 （2025·青海西宁·一模）综合与实践
如图，正方形
和正方形
有公共顶点
，将正方形
绕点
按顺时针方向旋转，记旋转角
，其中
，连接
，
．
(1)如图1，当
时，求证：
；
(2)请你画出除图1 外，满足
的其它图形，并写出
的度数；
(3)旋转过程中，
________时，
最大，
________时，
最小；
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(4)旋转过程中，判断
与
的大小关系，并写出对应的
的范围．
【答案】(1)
证明：如图，连接
，
当
时，则
重合，
重合，
∵四边形
与四边形
都是正方形，
∴
，
∴
重合，
∵
垂直平分，
∴
；
(2)
如图：
(3)
，
(4)当
或
时，
，当
时，
，当
时，
【分析】（1）连接
，根据题意，当
时，
重合，
重合，由正方形的性质可
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得
，则
重合，根据正方形的性质可得
垂直平分，即可得到
；
（2）由（1）知，当点F 在
垂直平分线上时，则
，可得除图1 外，当点F 在
延长线上时，
满足
，根据正方形的性质即可求出
；
（3）根据题意可得点F 在以点A 为圆心，正方形
对角线的长为半径的圆上运动，结合图形可得当
三点共线时，
由最大值，同理可得当
三点共线时，
有最小值；由此即可解答；
（4）由（1）（2）知，
或
时，
；画出示意图，结合图形根据三角形大角对大边，即可
解答．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，当点F 在
垂直平分线上时，则
，
∴当点F 在
延长线上时，满足
，
如图：
则
，即
三点共线，点
在
延长线上，
∴
；
（3）解：根据题意可得点F 在以点A 为圆心，正方形
对角线的长为半径的圆上运动，
如图，当
三点共线时，
由最大值，
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此时，
；
同理，如图，当
三点共线时，
有最小值，
此时，
；
（4）解：如图，由（1）（2）知，
或
时，
，
，连接
，
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∵
，
∴
，
∴
，
当点
在
下方时，即
时，
∴
，
∴
，
如图：在
中，
，
∴
，
∴
，
同理得：
；
当点
在
上方时，即
时，
同理得：
，
∴
，
综上：当
或
时，
，当
时，
，当
时，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，点与圆的位置关系，三
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角形三边关系，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用正方形的性质．
题型模版
1.特征：折叠、旋转后某点到定点的距离不变，从而形成隐圆轨迹．
2.方法：根据折叠或旋转的不变性确定定长；以定点为圆心、定长为半径作隐圆；把问题转化为圆上动点到
相关点的距离最值．
变式2-1 问题探究
(1)如图①，已知
中，
，点
是
的中点，连接
，则
的长为______；
(2)如图②，已知
中，
为
内一点，且
，
，请求出
的
长度；
(3)如图③，四边形
中，
，
，
，
，点
为四边形
内一点，且始终有
，连接
、
，请问是否存在一点
，使得
的值最小？如果存在，
求出
的最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解；
（2）将
绕点
顺时针旋转
，连接
，得到
是等腰直角三角形，从而知道
是直角三
角形，利用勾股定理求解；
（3）连接
，利用勾股定理求出
的长，利用直角三角形边之间的关系得到
，根据题
意找到点
的运动轨迹，将
绕点
逆时针旋转
，找到点
的运动轨迹，将求
的最小值转
化为求
的最小值，最后利用点到圆上的最短距离进行求解．
【详解】（1）解：已知
中，
，
∴
，
∵点
是
的中点，
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∴
；
（2）解：将
绕点
顺时针旋转
与
重合，连接
，
，
则
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
，
，
在
中，
，
∴
；
（3）解：如图所示，连接
，
∵
，
，
，
，
∴在
中，
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∵点
为四边形
内一点，且始终有
，
∴点
的运动轨迹是以点
为圆心，2 为半径在四边形
内的圆弧，
将
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
，
，
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∴
是等边三角形，点
是以点
为圆心，2 为半径的圆弧，
∴
，
，
当
四点共线时，
取的最小值，最小值是
，
，
在
中，
，
，
∴
，
即
的最小值为．
变式2-2 （25-26 九年级下·吉林长春·期中）综合探究
【直接运用】
(1)如图1，在
中，
，
，以
为直径的半圆交
于D，P 是弧
上的一
个动点，连接
，则
的最小值是 ；
【构造运用】
(2)如图2，在平行四边形
中，
，
，
，点F、点N 分别为
、
的中点，
点E 在边
上运动，将
沿
折叠，使得点D 落在
处，连接
，点M 为
中点，求
的最
小值；
【灵活运用】
(3)如图3，已知正方形
的边长为6，点M、N 分别从点B、C 同时出发，以相同的速度沿边
、
方向向终点C 和D 运动，连接
和
交于点P，求点P 到点C 的最短距离，并说明理由．
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【答案】(1)
(2)
(3)
，理由如下：
如图，取
的中点O，连接
、
、
，
∵点M、N 分别从点B、C 同时出发，以相同的速度沿边
、
方向向终点C 和D 运动，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点P 在以
为直径的
上运动，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
的最小值为
，
∴点P 到点C 的最短距离为
．
【分析】（1）根据点圆最值问题的解题思路，圆外一点与圆上一点所成线段的最小值时，圆上的点为圆外
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点与圆心所在直线与圆的交点（靠近圆外点的交点）处，作答即可；
（2）连接
，由题意可知
为
的中位线，故
，根据折叠的性质，由定点定长，可
以判断出点
的运动轨迹为以F 为圆心，
为半径的圆，根据点圆最值问题的解题思路，求出
的最
小值，即可得到
的最小值；
（3）由题意，可知
，借助正方形的性质，利用
可以证明
，从而得到
，
利用定长直角，可以判断出点P 的运动轨迹为以
为直径的圆，根据点圆最值问题的解题思路，求出
的最小值即可．
【详解】（1）解：如图，取
的中点O，连接
，
则当点A、P、O 在同一直线上时，
的值最小，
∵
，
∴
，
由勾股定理得：
，
∴
的最小值
；
（2）解：如图，连接
，
，
∵点N 为
的中点，点M 为
的中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
∴当
最小时，
最小，
∵F 为
的中点，四边形
为平行四边形，
∴
，
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由折叠的性质可得：
，
∴点
在以F 为圆心，以
为半径的圆上运动，且点
在平行四边形
内部，
∵
，
∴当A、
、F 共线时，
最小，即为
的值，
作
于H，
∵四边形
为平行四边形，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
的最小值
，
∴
的最小值
；
（3）略
变式2-3 （25-26 八年级下·北京·期末）如图，在边长为2 的正方形
中，E 是
的中点，点F 在
正方形
内，且
，
且
，则线段
的长的最小值是________．
【答案】
【分析】将正方形
绕点
顺时针旋转
得到正方形
，作
的中点
，连接
，
利用旋转的性质进一步证明
，得到
，确定点
是在以点
为圆心，
为半
径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解．
【详解】解：如图所示，将正方形
绕点
顺时针旋转
得到正方形
，
取
的中点
，连接
，
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，
∵四边形
是边长为2 的正方形，
∴
，
∵
，
∴点
共线，
∵
,
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵E 是
的中点，
为
的中点，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵点
为定点，
为定长，
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∴点
是在以点
为圆心，半径
为半径的圆上运动，
∴
，
∴
的最小值为
．
题型3、隐圆模型-直径所对圆周角
典例3 如图，四边形
中，
，
．若四边形
面积的最大值为
，
则对角线
的长为___________．
【答案】
【分析】假设线段
为定值，根据已知条件可知
四点共圆，且线段
是圆的直径，根据
，
可知弧
所对的圆心角是
，得到
，再根据两点之间线段最短可知
，当
时，
最大，从而解出答案．
【详解】解： ∵四边形
中，
，
∴四边形
对角互补，
∴
四点共圆，
∵
，
∴线段
是圆的直径，即圆的半径是
，假设线段
长为定值，
如图所示，连接
，以
的中点
为圆心，
长为半径画圆，
，
连接
，分别过点
作
垂直
，垂足分别为点
，
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∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，则
，
∵
，
又∵两点之间线段最短，
∴
，
∴当
时，
最大，即
最大，如下图所示，
，
此时
，
∴
，解得
，
∴
．
题型模版
1.特征：利用“直径所对圆周角为直角”构造隐圆，解决直角顶点轨迹或相关最值．
2.方法：若直角顶点对定线段，则该点在以定线段为直径的圆上；结合圆的性质求距离、角度或面积最值．
变式3-1 （2025 九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定
值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】
已知四边形
的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S 何时最大？
小敏的演算纸
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综上所
述，s 的最大值为……
（1）探索情形Ⅰ：
①求证：点A，B，C，D 在同一个圆上．
②S 的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S 的值小于情形Ⅰ中S 的值．
【向一般进发】
（3）已知四边形
的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S 的最大
值．
【答案】
（1）①证明：连接
，取
的中点O，连接
，
，
，
又
，
，
，
为
的中点，
，
点A，B，C，D 在同一个圆上；
②234；
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（2）证明：
，
，
，
在
中，
，在
中，
，
，
即
；
（3）
【分析】本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理
等知识，熟练掌握四点共圆的判定、圆内接四边形的性质以及圆周角定理是解题的关键．
（1）①连接
，取
的中点O，连接
，证出
，由直角三角形的性质及圆的定义可
得出结论；②由三角形面积公式可得出答案；
（2）由三角形面积公式可得出答案；
（3）设
，
，
，
，连接
，过点C 分别作
于点E，
于点F，
证明
，
，得出
，
，求出
，则可得出答案．
【详解】解：（1）①略
②解：
，
故答案为：234；
（2）略
（3）解：由题意可知，当四边形
四顶点共圆时，它的面积最大，
连接
，过点C 分别作
于点E，
于点F，
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，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
，
，
即四边形
面积S 的最大值为
变式3-2 【学习心得】
数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆
的知识解决，可以使问题变得非常容易．
(1)如图1，在
中，
，
，
是
外一点，且
，若以点
为圆心，
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为半径作
，则点
，
必在
上，
是
的圆心角，而
是圆周角．
①求
的度数；
②若点
也在
上，且点
与点
在弦
（
与
，
不重合）的两侧，求
的度数．
【问题解决】
(2)如图2，在四边形
中，
，连接
，
，若
，求
的度数．
【问题拓展】
(3)如图3，
，
是正方形
的边
上的两个动点，满足
．连接
交
于点
，连接
交
于点
．若正方形
的边长为4，则线段
长度的最小值是________（直接写出答案）．
【答案】(1)①
；②
；
(2)
；
(3)
．
【分析】(1)①
可知
、
、
三点在以
为圆心、
为半径的圆上，根据圆周角定理求解
即可
；
②利用圆内接四边形对角互补求解即可；
(2)由
，取斜边
的中点
，可得
，于是
、
、
、
四点
共圆，且
为直径，再利用圆周角定理推论求解即可；
(3)通过两次全等证明
，确定动点
在以
为直径的圆上，最后将“
最小值”转化为圆外
一点
到圆上一点
的最短距离问题即可．
【详解】（1）解：①如图1，
，
，
，
，
都在以
为圆心，
为半径的
上，
；
②
在圆内接四边形
中，
，
．
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（2）解：如图2，取
的中点
，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
在以
为直径的
上，
．
（3）解：如图3：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
取
的中点O，连接
，
，
在以
为直径的圆上，
，
，
三点共线时
最小，
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在
中，
，
的最小值是
．
变式3-3 （2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，点
分别在边
和
上，且
．当
的面积最大时，
的面积为___________．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识
得到
的面积最大是解答的关键．作
的外接圆，设圆心为O，过O 作
于H，过A 作
于P，由
，当A、O、H 共线时取等号，此时
最大，点P、H 重合，
，
则
的面积最大；设
、
相交于
，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得
，再
由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、
、C 共线，进而求得
，则
，然后
利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵
，
，
∴作
的外接圆，设圆心为O，过O 作
于H，过A 作
于P，如图，则
，
∴
，当A、O、H 共线时取等号，此时
最大，点P、H 重合，
，
∵
，
∴
最大时，
的面积最大；
如图1，设
、
相交于
，
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∵四边形
是菱形，
，
∴
，
，
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
，
∴点A、O、P、
、C 共线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
题型4、面积最值问题
典例4 （25-26 八年级下·重庆綦江·期末）如图，点
为正方形
边
上的一动点（不与点
、点
重合）将正方形纸片折叠，折痕为
，使点
落在
处，点
落在
处，
交
于
，连接
，
，
与
交于
点．
(1)求证：
；
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(2)探究
，
的数量关系，并证明；
(3)当
面积最大时，请直接写出
的值．
【答案】(1)证明：∵由折叠的性质得
，
∵
，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
．
(2)证明：
，理由如下：
如图所示，过点
作
交
于点
，连接
，
，
∴
，
又∵四边形
是正方形，
∴
，
由（1）知，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
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在
和
中，
，
，
∴
，
又
，
∴
，
由折叠知，
所在直线是线段
的垂直平分线，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
(3)
【分析】（1）利用折叠的性质，得到
，根据“等角减去相等的角仍相等”证
明即可；
（2）过点
作
交
于点
，利用正方形的性质证得
与
，从而
证得
，再根据折叠的性质证出
是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（3）由（2）可知多边形
的面积
，根据
，
边上的高
等于正方形
的
边长得到当
时，
最小，此时
最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求
解．
【详解】（1）证明：见答案
（2）证明：见答案
（3）解：由（2）知，
，
，
∴
，多边形
的面积
，
在
中，
，
边上的高
等于正方形
的边长，
∴作
的外接圆
，连接
，过点
作
，
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，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
，
∴
，
∴
，则
，
欲
最小，则需
最小，
当
过圆心时，
最小，
最小，此时
，
∴当
时，
最小，此时
最大，
如图所示，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
，
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由折叠的性质知，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
设
，则
，
∴
，
∴正方形的边长为
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：与圆相关的图形面积随动点变化，求面积的最大或最小值．
2.方法：建立面积关于关键变量的函数；用圆心角、半径、弦心距等表示面积；利用函数性质或几何不等式
求最值．
变式4-1 如图，
半径为6，弦
，点
为优弧
上一动点，
交直线
于点
，则
的最大面积是__________．
【答案】
【分析】连接
，先根据等边三角形的判定与性质可得
，根据圆周角定理可得
，
则可得
，再作
的外角圆
，过圆心
作
于点
，连接
，
，求出
，然后可得当点
共线时，
，此时
的值最大，最大值为
，
利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图1，连接
，
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∵
半径为6，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
要使
的面积最大，则需点
到
的距离最大，
如图2，作
的外角圆
，过圆心
作
于点
，连接
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
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∴
（当且仅当点
共线时，等号成立），
∴当点
共线时，
，此时
的值最大，最大值为
，
∴
的最大面积是
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、含30 度角的直角三角形的性质、勾股定理、
圆中的最值问题等知识，找出
的面积最大时，点
的位置是解题关键．
变式4-2 （24-25 九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，
的半径为4，弦
的长为
，点P 为优
弧
上一动点，
交直线
于点C，则
的面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图，选取圆心
，连接
，
，过点O 作
于点D．证明
，判断出点C 在以
为圆心，
为半径的圆上运动可得结论．
【详解】解：如图，选取圆心
，连接
，
，过点O 作
于点D．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点C 在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
当点
在
的垂直平分线上时，
的面积最大，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
面积的最大值
．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，
解题的关键是判断出点C 的运动轨迹．
变式4-3 四边形
是正方形，
是过点A 的直线．作
，垂足为E，将射线
绕点D 逆时针
旋转
，得到的射线与直线
交于点F，连接
．
(1)如图1，当
时，点F 与点A 恰好重合，则
的值为________；
(2)如图2，在
时．
①依题意补全图形；
②探究线段
，
与
之间的数量关系并证明．
(3)在（2）的条件下，若
，当
的面积最大时，求
的面积．
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【答案】(1)
(2)解：①补全图形如下：
②
；
证明：延长
到点
，使得
，连接
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∴点
在正方形
的外接圆上．
∵
是直径，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
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∴
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
(3)
【分析】（1）由题意可得
，根据正方形的性质得到
，进而得到
，即可解
答；
（2）①依题意作图即可；②延长
到点
，使得
，证明点
在正方形
的外接圆上，进而
证明
，即可得出结论；
（3）设
交于点
，连接
并延长交
于点
，根据点
在正方形
的外接圆上，且点
为
正方形
的外接圆的圆心，得到当
面积最大时，
，利用垂径定理求出
，从而求出
，
，
，
，由（2）
知
，
，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：①略；
②略
（3）解：设
交于点
，连接
并延长交
于点
，
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∵点
在正方形
的外接圆上，且点
为正方形
的外接圆的圆心，
∴当
面积最大时，
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
由（2）知
，
，
∴
．
题型5、圆的覆盖问题
典例5 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为
的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样
一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的
最小直径为（单位：
）（ ）
A．
B．100
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意，画出圆形硬纸板最小时的图形，设圆形硬纸板的圆心为O，延长
交
于P，连接
、
、
，则
，证明点O 在
上，设
，则
，根据勾股定理列
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方程求解即可．
【详解】解：如图，设圆形硬纸板的圆心为O，延长
交
于P，连接
、
、
，
则
，
，
∵
垂直平分
，
，
∴点O 在
上，
，
设
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，解得
，
∴
，
故圆形硬纸板的最小直径为
．
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆的有关计算，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和垂径定理是解答的关键．
题型模版
1.特征：判断一个图形能否被圆覆盖，或求覆盖所需最小半径、圆心位置．
2.方法：覆盖问题的关键是找到离圆心最远的点；常用“最小覆盖圆”思想，圆心到各顶点距离不超过半径．
变式5-1 三个边长都为4cm 的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸
板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
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（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm．
【答案】
【分析】（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC 为圆的直径，应用勾股定理结论可得；
（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；
（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG 上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半
径，直径可得．
【详解】解：（1）如下图，
∵小正方形的顶点A，B，C 在圆上，∠ABC＝90°，
∴AC 为圆的直径．
∵AC＝
（cm）．
故答案为：
；
（2）如下图，小正方形的顶点O 为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，
∴圆的半径为
cm．
∴圆的直径为
cm．
故答案为：
．
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（3）如下图，设圆心为O，GH 与AB 交于点P．
连接OA，OB，ON．
由题意，PG 垂直平分NF，OA＝OB＝ON．
∴O 在PG 上，AP＝PB＝
AB＝2cm．
设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm．
在Rt△APO 中，OA2＝AP2+OP2．
在Rt△NGO 中，ON2＝NG2+OG2．
∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2．
∴22+（8﹣x）2＝42+x2．
解得：x＝
．
∴ON＝
（cm）．
∴直径为
（cm）．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键．
变式5-2 如图，由6 个边长为1 的小正方形组成的图形，若用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个圆形纸
片的最小半径为________．
【答案】
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【分析】由6 个边长为1 的小正方形组成的图形，当用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个最小的圆形是
以线段
为直径，利用勾股定理求出
，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，由6 个边长为1 的小正方形组成的图形，当用一个圆形纸片将其完全覆盖，则
这个最小的圆形是以线段
为直径，
，
，
则由勾股定理可得
,
∴这个圆形纸片的最小半径为
．
故答案为：
【点睛】此题考查了圆的基础知识和勾股定理，读懂题意，正确计算是解题的关键．
变式5-3 要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作
．下
面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
（1）如果要装6 支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2 所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为________________；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为____________________；
（2）如果要装12 色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为
______________．
【答案】
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【分析】（1）由图形可知，方案Ⅰ中纸盒底面半径应为正六边形的对角线长加边长，方案Ⅱ中纸盒底面半
径应为正六边形对角线长加边长，再上边长的一半，由此计算即可；
（2）考虑将12 个正六边形对称放置，然后确定其外接圆，利用正六边形的边长以及勾股定理求解最小半
径即可．
【详解】（1）如图1 所示，方案Ⅰ中纸盒底面半径最小值即为
的长度，
∵正六边形的边长为
，
∴
；
如图2 所示，方案Ⅱ中纸盒底面半径最小值即为
的长度，
∴
；
故答案为：
；
；
（2）如图所示方式，装12 支铅笔的底面圆半径最小，此时最小半径为
，连接
、
、
，
∵正六边形的边长为
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
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【点睛】本题考查正多边形与圆，以及镶嵌问题，掌握正多边形与圆的性质，灵活运用勾股定理进行计算
是解题关键．
题型6、轨迹最值问题
典例6 （25-26 八年级上·浙江宁波·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务：
在已知
所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着
“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人
们称为“费马点”．解决方法如下：
(1)如图2，把
绕A 点逆时针旋转
得到
（点P，C 的对应点分别为点
，
），连接
．当
B，P，
，
四点在同一直线上时，点P 是
的“费马点”．
证明过程如下：
由旋转可知
则
，
∵
______，
∴
为等边三角形，
∴______，
∴
，
∴当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，即点P 是
的
“费马点”．
(2)如图3，已知锐角
，分别以
，
为边向外作正
和正
，连接
，
相交于P 点，
交
于点M，
交
于点N．求
的度数．
（经过一定的证明我们可知所得点P 也是
的“费马点”．）
(3)图4 所示
是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接
头P 分别向顶点A，B，C 布设三根滴灌水管，现测得
，
，
，求滴灌水管总
长度的最小值．
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【答案】(1)
，
(2)
(3)滴灌水管总长度的最小值为
米
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．
（1）将
绕A 点逆时针旋转
得到
，其中点P 的对应点为
，点C 的对应点为
，根据旋转
的性质，旋转角
，且对应边相等，即
；
（2）利用等边三角形的性质得出
，
，
，进而得到
，利用“
”证明
，设
，利用三角形内角和定理得出结果；
（3）将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，当B，P，
，
四点共线时，
的值最小，最小值为
，过点
作
交
延长线于点D，利用旋转构造出特殊三角形，通过勾股
定理求出三个距离之和的最小值．
【详解】（1）证明：由旋转可知
，
则
，
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴当B，P，
，
四点在同一直线上时，
的值最小，即点P 是
的“费马点”．
故答案为：
，
．
（2）解：∵
和
均为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，即
，
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在
和
中，
，
∴
，
∴
，
设
，
则
，
，
由三角形内角和定理可得，
，
即
．
（3）解：如图，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，当B，P，
，
四点共线时，
的值最小，最小值为
，过点
作
交
延长线于点D，
由旋转的性质可得
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得，
，
即滴灌水管总长度的最小值为
米．
题型模版
1.特征：动点轨迹为圆弧或圆的一部分，求路径长或相关最值．
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2.方法：确定轨迹圆的圆心、半径及圆心角范围；用弧长公式或圆上点到定点距离公式分段讨论．
变式6-1 古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风
力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形
、
完全重合，再将正方形
绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形
，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______º；
（2）若正八边形
的边长为2，则正方形
的边长为______；
（3）连接
，则
与
之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形
请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方
形
的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
，理由如下：
由（2）知：
，
，
，
可得
，
，
，
；
（4）如图：
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连结
、
交于点
，跟别以四个顶点为圆心，以
、
、
、
为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【分析】（1）设正方形
、
的中心为Q，连结
、
、
、
、
、
、
、
，
可证得
，得出
，同理
，可
得
；
（2）由题意得
，再由
、
、
均为等腰直角三角形，即可求得答案；
（3）由
，
，
，可得
，
，即可求
得答案；
（4）连结
、
交于点
，跟别以四个顶点为圆心，以
、
、
、
为半径画圆，圆与四条边
的八个交点即为正八边形的顶点．
【详解】（1）解：如图设正方形
、
的中心为
，连结
、
、
、
、
、
、
、
，
则
、
、
、
经过点
，
，
，
，
四边形
、
是正方形，
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，
是正八边形，
，
，
，
，
同理
，
，
；
（2）
正八边形
的边长为2，
，
由（1）知：
、
、
均为等腰直角三角形，
，
，
；
（3）略
（4）略
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
变式6-2 （2025·广东广州·二模）在
中，
，点E 在直线
上运动，作正
方形
．
(1)如图1，点E 在线段
上，求证：
；
(2)如图2，点E 在线段
的延长线上，求证：
；
(3)若
，过点B 作
的垂线，垂足为G，当
最大时，求
的值．
【答案】(1)
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证明：∵正方形
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
；
(2)
作
于点
，作
交
的延长线于点
，作
于点
，设
交于点
，则四
边形
为矩形，
，
∵正方形
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴四边形
为正方形，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
；
(3)
【分析】（1）正方形的性质，得到
，证明
，即可得证；
（2）作
于点
，作
交
的延长线于点
，作
于点
，设
交于点
，
证明
，得到
，
，进而得到四边形
为正方形，得到
，证
明
为等腰直角三角形，得到
推出
，进而得到
，进
而得到
垂直平分
，即可得出结论；
（3）易得点
在以
为直径的圆上运动，取
的中点
，以
为半径画圆，连接
，
，
，得
到当
三点共线时，
取得最大值，勾股定理求出
的长，进而得到
的长，勾股定理求
出
的长，进而求出
的长，作
，等积法求出
的长，勾股定理求出
的长，进而求出
的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）过点B 作
的垂线，垂足为G，如图，
则：点
在以
为直径的圆上运动，
取
的中点
，以
为半径画圆，连接
，
，
，
则：
，
∴当
三点共线时，
取得最大值，如图：
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∵
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
作
于点
，
则：
，即：
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理，得：
．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
圆周角定理，求一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，构造全等三角形和特殊图形，确定动点的
轨迹，是解题的关键．
变式6-3 （2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，圆上点
，
，
，
均
是格点．
(1)线段
的长等于___________；
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(2)点
在线段
上，连接
，点
是点
关于
的对称点，射线
与射线
相交于点
．当
的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点
，
，并简要说明点
与点
的位
置是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】(1)
；
(2)
如图，取格点
，连接
，
交于点
，连接
与网格线相交于点
，连接
与圆交于点
；连
接
分别交网格线于点
，点
；取格点，连接
交网格线于点
，连接
交网格线于点
，分别连
接
并延长，交于点
．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得；
（2）取格点
，连接
，
交于点
，连接
与网格线相交于点
，连接
与圆交于点
；连
接
分别交网格线于点
，点
；取格点，连接
交网格线于点
，连接
交网格线于点
，分别连
接
并延长，交于点
．即可推得．
本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．勾股定理的应用．
【详解】（1）解：在方格中找到以
为斜边的直角三角形，
用勾股定理求解为：
，
（2）略
题型7、定值问题
典例7 （25-26 九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆
的直径为4，等边三角形
，点
和点
在
圆上，连接
，
相交于点
，将等边三角形
从
与
重合的位置开始，绕点
顺时针旋转
（
）．下列结论正确的是（ ）
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结论Ⅰ：
的长与
的长之和为定值；
结论Ⅱ：当
时，点
到
的距离是
；
结论Ⅲ：使得
的
值有两个．
A．Ⅰ和Ⅱ
B．Ⅱ和Ⅲ
C．Ⅰ和Ⅲ
D．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得
，则可推出
的长与
的长之和
等于圆心角是
，半径为
的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接
，可证明
，
，
则由圆周角定理可证明
，得到
，则
，解直角三角形求出
的长即可判断Ⅱ；
由圆周角定理可证明
，则由三角形内角和定理可得
，据此可判断Ⅲ．
【详解】解：
是等边三角形，
，
，
∴
的长与
的长之和等于圆心角是
，半径为
的扇形弧长，
∴
的长与
的长之和为定值，故结论Ⅰ正确；
当
时，连接
，如图所示，
则
，
是等边三角形，
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∵点O 为
的中点，
∴
，
，
∴
，
∴点
到
的距离是
，故结论Ⅱ正确；
是等边三角形，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴使得
的
值有无数个，故结论Ⅲ错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，求弧长，解直角三角形，等腰三角形的性质与
判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
题型模版
1.特征：在变化条件下某线段长、角度、面积等保持为定值，需证明或求该定值．
2.方法：先取特殊位置猜想定值；再通过相似、全等、圆的性质或代数运算证明该量与变量无关．
变式7-1 （24-25 九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，
是等边
的外接圆，P 点是
劣弧
上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求
的度数；
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(2)若
，
，求
的长；
(3)若
，点P 在劣弧
上运动的过程中，
①
的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究
的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【答案】(1)
(2)7
(3)①
；②
的值是定值96．
【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到
，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）延长
到点F 使
，首先证明出
是等边三角形，求出
，然后证
明出
，即可得到
；
（3）①首先由（2）可得，
，然后得到当点P 和点A 或点B 重合时，
的最小值为
；
当点P，O，C 三点共线时，
有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；
②延长
到点F 使
，过点A 作
，由（2）得，
是等边三角形，得到
，
然后根据勾股定理求出
，进一步得到
，
然后结合
，代入得到
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
是等边三角形
∴
∵四边形
内接于
∴
；
（2）如图所示，延长
到点F 使
，
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∵
∴
∵
∴
是等边三角形
∴
，
，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在
和
中
∴
∴
；
（3）①由（2）可得，
∵点P 在劣弧
上运动
∴当点P 和点A 或点B 重合时，
的长度最小，即
或
的长度
∵
是等边三角形
∴
∴
的最小值为
∴
的最小值为
；
当点P，O，C 三点共线时，
的长度最大，如图所示，
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∴此时
是
的直径
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
，负值舍去
∴
的最大值为8
∴
的最大值为8；
∴
的值的取值范围是
；
②如图所示，延长
到点F 使
，过点A 作
由（2）得，
是等边三角形
∴
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∴
，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
．
∴
的值是定值96．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，
勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形．
变式7-2 摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成
（如图2），大圆绕着圆心O 匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重
力作用，挂点和小圆圆心连线（如
）始终垂直于水平线l．
(1)
________°
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(2)若
，
的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M 与l 的最大距离为________；
②当圆心H 到l 的距离等于
时，求
的长；
③求证：在旋转过程中，
的长为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)60
(2)①25；②
；③
的长为定值，定值为10．
【分析】（1）将
平均分6 份即可；
（2）①当圆心M 在
的延长线上时，圆心M 与l 有最大距离，据此即可求解；
②设
的挂点为K，过点H 作
于点T，先证四边形
是矩形，再用勾股定理解
即可；
③先证
是等边三角形，再证
是平行四边形，可得
．
【详解】（1）解：
，
故答案为：60；
（2）解：①当圆心M 在
的延长线上时，圆心M 与l 有最大距离，
最大距离为
，
故答案为：25；
②如图，设
的挂点为K，过点H 作
于点T，
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴K，H，T 在同一直线上，
∵圆心H 到l 的距离等于
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
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又∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
；
③证明：如图所示，连接
，
，
由（1）知
，
又∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
的长为定值．
【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型．
变式7-3 问题：如图1，
中，AB 是直径，
，点D 是劣弧BC 上任一点（不与点B、C 重合），
求证：
为定值．
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思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明
．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD 上截取点E，使
，连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，
与轴相切于点
，与y 轴相交于B、C 两点，且
，
连接AB、
．
(1)OB 的长为___________．
(2)如图3，过A、B 两点作
与y 轴的负半轴交于点M，与
的延长线交于点N，连接AM、MN，当
的大小变化时，问
的值是否变化，为什么?如果不变，请求出
的值．
【答案】(1)1
(2)不变，理由见解析
【分析】问题：在AD 上截取AE=BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后证明△ACE
≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD=90°，进而得出△ECD 为等腰直角三角形，用ED 表示CD，
因为ED=AD-BD 最后即可得出结论；
（1）连接O1A，过O1 作O1H⊥BC 于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B 的长度，根据切线的性质得
出O1A⊥x 轴，得到OH=5，进而即可得出结果；
（2）在图2 中先根据平行和O1A=O1B 得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB 上取一点G，使MG=BN 构造全等，
证明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG=2，再根据等量代换即可得到
结论．
【问题详解】证明：如图1，在AD 上截AE=BD，
在△ACE 和△BCD 中，
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，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECD=90°，
∴△ECD 是等腰直角三角形，
∴CD=
ED，
∵ED=AD-AE=AD-BD，
∴
=
，即
为定值；
【详解】（1）解：如图2，连接O1A，过O1 作O1H⊥BC 于点H，
∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x 轴，
∴O1B=
=5，
∴O1A=O1B=5，
∴HO=5，
∴OB=HO-HB=5-4=1，
故答案为：1；
（2）解：BM-BN 的值不变，
如图2，
由（1）得，O1A⊥OA，
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∵OB⊥AO，
∴O1A∥OB，
∴∠O1BA=∠OBA，
∵O1A=O1B，
∴∠O1BA=∠O1AB，
∴∠ABO1=∠ABO，
如图3，在MB 上取一点G，使MG=BN，连接AN，AG，
∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN，
∴∠ABO=∠AMN，
∵∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△AMG 和△ANB 中，
，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN 的值不变．
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【点睛】本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三
角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（24-25 九年级上·广西钦州·期中）如图，已知
的直径
为，
的度数为
，点
是
的中点，在直径
上找一点
，使
的值最小，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点
关于
的对称点
，则
点
在
上；连接
、
、
，
与
的交于点
，此时
的值最小，根据题意可得
，
，求得
，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作点
关于
的对称点
，则点
在
上；连接
、
、
，
与
的交于点
，
如图：
则
，
，即此时
的值最小，
∵
，点
是
的中点，
∴
，
∵点
关于
的对称点是点
，
∴
，
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∴
，
∵
，
在
中，
，
即
的值最小为
．
故选：A．
2．矩形
中，
，
，点
为矩形
内一点，使得
．将
绕点
顺时
针旋转
，得到
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取
的中点
，连接
，先判
断出点
在
上运动，当
共线时，
有最小值
，据此求解即可．
【详解】解：取
的中点
，连接
，
由旋转的性质知：
，
∴点
在
上运动，
∴当
共线时，
有最小值
，
由旋转的性质知：
，
，
∴
,
，
∴
，
∴
的最小值为
，
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故选：A．
3．如图，已知
的半径为1，弦
的长为
，Q 为优弧
上的动点，过A 点作
的垂线交直线
于点C，当
的面积达到最大时，其
边上的高为 ____________________．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
首先证明
，推出当
时，
的面积达到最大，作
于点T，在
上截取
，
使得
，连接
．求出
可得结论．
【详解】解：连接
．
，
，
，
，
，
，
∴当
时，
的面积达到最大，
作
于点T，中
上截取
，使得
，连接
．
，
，
，
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，
，
，
．
故答案为：
．
4．如图，在矩形
中，
是
边的中点，F 是线段
上的动点，将
沿
所
在直线折叠得到
，连接
，则
的最小值是 ___________________ ．
【答案】
/
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点
在以E 为圆心
为半径
的圆上运动，可得当D、
、E 共线时，
的值最小，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
∴
，
∴点
在以E 为圆心
为半径的圆上运动，如图所示：
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故：当D、
、E 共线时，
的值最小，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
5．如图，将半径为的圆形纸片折叠使弧
经过圆心
，过点
作直径
于点
，点
是半径
上一动点，连接
，则
的长度的最大整数值为______．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接
，
，
，由折叠的性质得
到：
垂直平分
，推出
，又
，因此
是等边三角形，得到
，由圆周
角定理得到
，
，由直角三角形的性质求出
的长，从而得到
，
即可得到
的长度的最大整数值为
【详解】解；连接
，
，
，
由折叠的性质得到：
垂直平分
，
，
，
是等边三角形，
，
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，
是圆的直径，
，
圆的半径是，
，
，
点
是半径
上一动点，
，
的长度的最大整数值为．
故答案为：．
6．如图，正方形
中，点E，F 分别是边
、
上的动点，且
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】假设
为定长，延长
到点
，使
，利用平行四边形的判定和性质，得出
为定
角，定角对定长，运动轨迹为圆，再利用圆的知识进行求解．
【详解】解：如图所示，假设
为定值，延长
到点
，使
，连接
，
∵四边形
为正方形，
，
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∴四边形
是平行四边形，
,
∴
，
∵
，
∴四边形
为平行四边形，
则
，
，
∵
所对的边
为定值，
∴点
在以
为弦，
的
上，
连接
，
交
于点
，过点
作
交
于点
，
设
，则
，
∵
，
∴
，则
，
在
中，
，则
，即
的半径为
，
∵
，
∴当
时取的最小值，
在
中，
，
，
则
的最小值为
．
【点睛】本题难度大，考查了双动线段的比值问题，解决问题的关键点是动静转换，即将其中一个线段固
定，再看另一个线段的运动情况，从而解出答案．
7．（2025·河南周口·二模）如图，正方形
的边长为2，在平面内有一点P，始终保证
，连
接
，设
的中点为E，连接
，则线段
的最小值为__________，最大值为__________．
【答案】
/
/
【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和
得到点P 的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题．
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延长
至T，使得
，连接
，根据三角形的中位线性质得到
，即只需求
的最
大值和最小值；根据圆的定义可得点P 在以A 为圆心，
为半径的圆上运动，如图，连接
并延长，交
该圆于
，
，利用正方形的性质和勾股定理求得
，进而求得
的最小值和最大值即可求解．
【详解】解：延长
至T，使得
，连接
，
∵
的中点为E，
∴
是
的中位线，
∴
，即只需求
的最大值和最小值；
∵始终保证
，
∴点P 在以A 为圆心，
为半径的圆上运动，如图，连接
并延长，交该圆于
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
的最小值为
，
的最大值为
，
∴
的最小值为
，
的最大值为
，
故答案为：
，
．
8．（24-25 九年级上·浙江温州·期中）如图1 所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2 所
示，毛刷的一端为固定点
，另一端为点
，毛刷绕着点
旋转形成的圆弧交
于点A，B，
且A，P，B 三点在同一直线上．当毛刷
从
出发顺时针扫过
时，
，则
的半径为
__________
，毛刷在旋转过程中，与
交于点
，则
的最大长度为__________
．
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【答案】 16
【分析】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先根据平行线的性质得出
，证明
为等边三角形，得出
，根据题意得出点
是
的中点，
再根据垂径定理的推论得出
，结合已知条件求得
，进而得出
的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接
，
，
三点在同一直线上，
经过点
，
∴
，
根据旋转可知：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
即
的半径为
；
连接
并延长交
于点D，交
于点E，如图所示：
∵
，
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，
在
中，
，
∴
，
当
共线时，即点C 在点E 处时，
取的最大值，
∴
的最大长度为：
．
故答案为：16；
．
9．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图1，
是
的直径，弦
，垂足为
，
为
上一
点，连接
，
，
．
(1)求证：
；
(2)如图2，
，
，
①若
恰好经过圆心
，求线段
的长；
②如图3，
为
上的一个动点，作
，连接
，求
的最小值．
【答案】(1)
证明：∵
是
的直径，弦
，
∴
，
∴
.
(2)①
，②
的最小值为
．
【分析】（1）根据垂径定理可得
，进一步可得答案.
（2）①证明
，设
的半径为，由勾股定理可得
，求解
，可得
，再进一步求解即可；
②如图，由
，取
的中点
，则
在以
为圆心，
为半径的圆上，连接
，当
三点
共线时，
最小，连接
，
，设
交于点
，证明
，得出
,
，
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再进一步求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：①∵
是
的直径，弦
，
，
∴
，
设
的半径为，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
，
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
；
②如图，∵
，
∴
，
取
的中点
，则
在以
为圆心，
为半径的圆上，
∴当
三点共线时，
最小，
连接
，
，设
交于点
，
∵
分别为
的中点，
∴
∴
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∴
∴
,
在
中，
∴
∴
又∵
∴
的最小值为
．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，点与圆上各点距离的最值
问题，相似三角形的性质与判定，作出合适的辅助线是解本题的关键.
10．在等腰
中，
，
，点
为底边
上一点，连接
，点
为线段
上一点
（
），将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，
．
(1)如图，若
，且
，
，
三点共线，求
的度数；
(2)如图，在
上方作线段
，连接
交
于点
，已知
，用等式表示
，
，
之间的关系，并证明；
(3)如图，若
，
点与
点重合，
，连接
，以
为直角边在
上方作
，
，且满足
．当
最大时，点
是直线
上一动点，连接
，将线段
绕点
顺
时针旋转
至
，当
最小时，求四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
．
证明：延长
至点
，使得
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即
在
和
中
则
，
又
，
又由（1）知
且
则
在
和
中
则
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，
即
则
(3)
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得出
，等腰
中，
，进而在
中，根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）延长
至点
，使得
，证明
得出
，
，进而证明
，得出
，进而结合图形可得
；
（3）根据等弦对等角得出
、
、
、
四点共圆，得出
的轨迹，取
中点
，以点
为圆心
为
半径作圆，连接
并延长交
于点
，此时
最大．过点
作直线
，过点
作
交直线于
点
，此时
最小，接下来根据等腰三角形的性质，勾股定理求得
的长，根据
即可求解．
【详解】（1）解：等腰
中，
，
，
等腰
中，
，
中，
；
（2）略
（3）解：∵
，
∴
，
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∴
又∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
如图，取
中点
，以点
为圆心
为半径作圆，连接
并延长交
于点
，此时
最大．
∵点
是直线
上一动点，连接
，将线段
绕点
顺时针旋转
至
，
∵
∴
四点共圆，
∴
∴
在与
夹角为
的直线上运动，
如图，过点
作直线
，过点
作
交直线于点
，此时
最小．
∴
∵
∴
是等腰直角三角形
∴
，
∵
∴
，
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∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
．
11．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）已知
半径长度为
，两条直径
，
互相垂直，点
为直
径
上一动点，设
．点
为点
关于点
的对称点，作
于点
，
．
(1)如图1，当点
在半径
上时，连接
，若
，求的值；
(2)如图2，在
上取一点
，
，在
上取一点
，
，连接
，
，
，
，
，
．
①当为多少时，
的值最小（无需求最小值）；
②当为多少时，
的值最小？最小值是多少？
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【答案】(1)
(2)①
，②
，最小值为
【分析】本题考查了勾股定理，圆的对称性，二次函数的性质求最值．
（1）根据勾股定理求得
，进而求得
的长，即可得出的值；
（2）①根据勾股定理表示出表达式，进而根据二次函数的性质求得的值；
②作点
关于
的对称点
，则
，则
，过点
作
，得出点
在上运动，
作
关于的对称点
，得出
，且
，根据四边形
是平行四边形时，为
的中点时，
取得最小值，得出
，进而勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在
中，
，
∴
∴
∴
；
（2）解：①依题意，
，
，
，
∴
，
，
∵两条直径
，
互相垂直，
∴
∵
∴
时，
的值最小；
②解：如图，作点
关于
的对称点
，则
，则
，过点
作
，
∵
，
∴点
在上运动，
作
关于的对称点
，则
到
的距离为
∴
，且
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∴
∴当
为
的交点时
取得最小值，
当四边形
是平行四边形时，
为
的中点
此时如图
∴
即
时，
取得最小值，
∴
的最小值为
12．（24-25 九年级上·广东珠海·期末）如图，以
直径
，已知
，点
为⊙
上一动点．
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(1)如图1 所示，
时，求
的长．
(2)如图2 所示，移动点
使它和边
上的点
满足
且
，四边形
是什么四边形，
请说明理由；
(3)如图3，在
中，
，线段
绕点
在平面内旋转，过点
作
的垂
线，交射线
于点
．若
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)证明：∵
为直径
，
．
四边形
是平行四边形
∴四边形
是平行四边形
∴平行四边形
是菱形
(3)
【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股
定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
（1）先根据圆周角定理得
，再由勾股定理即可解答；
（2）先根据垂径定理得：
，再证明
，得
，根据对角线互相垂直的平行四
边形是菱形可得结论；
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（3）如图3，连接
，先根据圆周角定理可知：点
在以
为直径的圆上，且
，由
旋转可得：点
在以
为圆心，2 为半径的圆上，则当
为
相切时，
的值最大，即可解答．
【详解】（1）∵
为直径，
∴在
中
．
∵在
中
，
（2）略
（3）如图，
，
，
∴点
是在以
为直径的圆上运动，
，且
是绕点C 旋转，
∴点
是在以
为圆心，以为半径的圆上运动，
，
∵当
最小时，
最大，此时
与圆C 相切于点D，
，
，
连接
，
，
，
此时
，即AE 的最大值为
．
13．【问题情境】如图，
内接于
，过点O 作
于点H，延长
交
于点
，连接
．
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【问题探究】
（1）如图1，则
；（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图1，若
，求
的度数和
的半径；
【问题拓展】
（3）如图2，过点B 作
于点K，连接
，若
，试说明线段
与
的差为定值．
【答案】（1）；
（2）
；
的半径为4；
（3）证明：如图，分别延长
、
，交于点
；
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
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为
的中位线，
，
．
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质，解直角三角形、三角形中位线定
理等知识．正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据垂径定理得到即可得到
，据此可得结论；
（2）连接
、
，先证明
，解直角三角形得到
则
，由圆周
角定理可得
的度数，进而可得
的度数；由垂径定理可得
，解直角三角形可得
，即
的半径为4；
；
（3）分别延长
、
，交于点
，首先证明
，得到
，
，进而判断
为
的中位线，即可解决问题．
【详解】解：（1）
于点
，
，
；
（2）如图所示，连接
、
，
，
，
，
又∵
，
∴
∴
，
∴
，
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∵
，
；
∵
，
∴
，
∴
，
∴
的半径为4；
（3）略
14．（2025·河北·模拟预测）如图1，在
中，
，以点B 为圆心，以
为
半径作圆．
(1)设点P 为
上的一个动点，线段
绕着点C 顺时针旋转
，得到线段
，连接
，
，
，如图
2，求证：
；
(2)在（1）的条件下，若
，求
的长；
(3)在（1）的条件下，当
______°时，
有最大值，且最大值为______；当
______°时，
有最小值，且最小值为______．
【答案】(1)
证明：由旋转可得
，
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
．
(2)2 或
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(3)135；
；45；
【分析】
（1）由旋转可得
，
，进而得到
，从而证明
，
根据全等三角形的对应边线段得证结论；
（2）分点P 在
的上方或下方两种情况求解即可；
（3）连接
，由
得到
，从而点D 在以点A 为圆心，半径为
的圆上．当点D
在
的延长线上时，
有最大值，最大值为
，根据
，可求得
．当点D 在线段
上时，
有最小值，最小值为
，根据
，
可求得
．
【详解】（1）略
（2）解：分两种情况讨论：
①如图，若点P 在
的上方，连接
，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴点A，D，P 在同一直线上，
∵在
中，
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∴
，
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∴在
中，
；
②如图，若点P 在
的下方，连接
由①得
，
，
∵
，
∴
，
∴点B，P，D 在同一直线上，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴在
中，
．
综上所述，
的长为2 或
．
（3）解：连接
，
∵
，
∴
，
∴点D 在以点A 为圆心，半径为
的圆上．
如图，当点D 在
的延长线上时，
有最大值，
最大值为
，
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此时
，
∵
，
∴
．
如图，当点D 在线段
上时，
有最小值，
最小值为
，
此时
．
故答案为：135；
；45；
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，
两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键．
15．【问题提出】
(1)如图①，四边形
是平行四边形，M 是边
上一定点，过点M 作一条直线，使其将平行四边形
分成面积相等的两部分；
(2)如图②，在
中，
，
，
，D 为
上一动点，连接
，以
为
直径的
交
于点E，求
的最小值；
(3)【问题解决】
如图③，某市政部门规划一块休闲绿地四边形
，经实地勘测，
，
，
，
，
．现计划在绿地的边
，
上分别选取点E，F，沿线段
铺设
一条步道，并在步道旁安装景观照明灯，要求步道
恰好把整块绿地划分为面积相等的两部分．从点A
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向步道
作垂线，垂足为G，从点D 预埋电缆接引电源至点G．受施工造价管控，需使电缆用料成本尽
可能低，求电缆
长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在
上截取
，作直线
即可．
（2）连接
，由
为直径得
，故在以
为直径的圆上，取
中点
，则 在该圆
上运动，当
三点共线时取最小值，代入数值计算即可．
（3）先作高
求梯形高和底边，由面积平分得
，构造等边三角形
，通过全等证得
过
定点
，且
，故
在以
为直径的圆上，取圆心，当
三点共线时
最小，利用
勾股定理求
，减去半径即可得最小值．
【详解】（1）解：在
上截取
，
∵四边形
是平行四边形，
，且
之间的距离相等，
，
，
，
即
把平行四边形
面积平分．
（2）解：如图，连接
，
为
的直径， 在
上，
，
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点 在以
为直径的圆上，
如图，以
为直径作圆，圆心为
的中点
，连接
，
当
三点共线时，
最小，此时点在图中
的位置，
，
，
，即
的最小值为．
（3）解：如图，过作
垂足为；
，
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
把
分为面积相等的两部分，
，即
，
，
．
如图，取
，连接
与
作交于
点；
，
为等边三角形，
，
，
，
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在
和
中
，
，
点
为
的中点，
恒过定点
．
，
，
点
在以
为直径的圆上，
如图，取
中点为圆心，
为半径作圆；过作
垂直
垂足为
，连接
，
当
三点共线时，
最小，此时点
在图中
的位置，
，
，
，
，
，
，
电缆
长度的最小值为
．
