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专题12 图形的轴对称
（题型突破·举一反三）
题型01 生活中的轴对称
题型02 轴对称图形
题型03 找对称轴（条数）
题型04 镜面对称
题型05 台球桌上的轴对称
题型06 画轴对称图形
题型07 添加正方形使原图形成为轴对称图形
题型08 轴对称的性质
题型09 利用对称性求最值（将军饮马模型）
题型10 折叠问题
▌题型01 生活中的轴对称
判断生活实物是否轴对称步骤：
（1）想象一条直线把物体分成左右/上下两部分；
（2）直线一侧翻折180°，能否和另一侧完全重合；
（3）能重合→轴对称图形；不能→不是。
【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”关于直线l 成轴
对称的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【分析】根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线l 对折后能否完全重合，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线l 对折后能否完全重合，据此可得：
A、两个字母沿直线l 对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线l 成轴对称，符合题意；
B、两个字母沿直线l 对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线l 成轴对称，不符合题意；
C、两个字母沿直线l 对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线l 成轴对称，不符合题意；
D、两个字母沿直线l 对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线l 成轴对称，不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•淮安期末）下列运动图标中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图
形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可．
【解答】解：选项A、C、D 的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以是轴对称图形；选项B 的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•鹿邑县期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国民间剪纸中分布最广、数
量最大、最为普及的品种，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意．
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故选：A．
【变式1-3】（2025 春•山亭区月考）观察如图中各组图形，其中成轴对称的为 ①②④ （只写序号1，
2 等）．
【分析】认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求．
【解答】解：3 中的伞把不对称，故填①②④
故填①②④
▌题型02 轴对称图形
如果一个平面图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
识别步骤
（1）观察图形，尝试画竖直、水平、斜线；
（2）想象沿这条线对折；
（3）两边形状、大小、图案能完全对上=轴对称；
（4） 对折后错开、图案不对称=不是。
【典例1】（2026 春•西安期末）下列四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【解答】解：A、选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形是轴对称图形，符合题意；
C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
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故选：B．
【变式1-1】（2026 春•锦江区期末）随着我国人工智能技术蓬勃发展，各类国产人工智能平台已广泛应用
于学习与生活当中．下列AI 软件的官方标志图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此
即可判断．
【解答】解：选项A 的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形．
选项B、C、D 的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形．
故选：A．
【变式1-2】（2026•铜山区三模）下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A 中的图形是轴对称图形，符合题意；
B、C、D 选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•光明区期末）下列大写的拼音字母中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A．F
B．H
C．N
D．Z
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、该字母不是轴对称图形，不符合题意；
B、该字母是轴对称图形，符合题意；
C、该字母不是轴对称图形，不符合题意；
D、该字母不是轴对称图形，不符合题意，
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故选：B．
▌题型03 找对称轴（条数）
1. 找对称轴数量步骤：
（1）逐个尝试竖直、水平、斜向直线；
（2）每找到一条能完全对折重合的直线，算1 条；
2. 易错：圆有无数条对称轴，正方形4 条，长方形2 条。
【典例1】（2026 春•怀柔区期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对
称图形，这条直线就是其对称轴．
【解答】解：雪花有6 条对称轴．
故选：C．
【变式1-1】（2026•盘龙区校级模拟）下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．长方形
D．正方形
【分析】根据对称轴的定义解答即可求解．
【解答】解：根据对称轴的定义可知：
等腰三角形有1 条对称轴，等边三角形有3 条对称轴，长方形有2 条对称轴，正方形有4 条对称轴，
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•鼓楼区校级期末）已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称
轴，如图所示（②中O 为PQ 外任一点），则不一定正确的是（ ）
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A．①
B．②
C．③
D．①和②
【分析】根据五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂
线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断．
【解答】解：根据尺规作图基本要求逐项分析判断如下：
①如图是作∠ABC 的角平分线，则该射线所在的直线为∠ABC 的对称轴，故该作图不符合题意；
②如图是过一点作线段PQ 所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段PQ，即该垂线不一定是线段PQ
的垂直平分线，则该垂线不一定是线段PQ 的对称轴，故该作图符合题意；
③如图是作线段MN 的垂直平分线，则该垂线所在的直线为MN 的对称轴，故该作图不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（2026•潼南区一模）下列轴对称图形中，只有1 条对称轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条
直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【解答】解：A 有3 条对称轴，不符合题意，
B 有6 条对称轴，不符合题意，
C 有1 条对称轴，符合题意，
D 有5 条对称轴，不符合题意，
故选：C．
▌题型04 镜面对称
1. 镜子相当于竖直对称轴，成像属于轴对称：
（1）上下不变，左右颠倒；
（2）实物与镜中像关于镜面成轴对称；
（3）所有数字、文字、钟表、图案都适用。
2. 镜面钟表两种通用解法
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（1）翻纸法
把试卷/练习纸从背面透光看，看到的时间就是真实时间。
（2）计算法
公式：真实时间 = 12 时 − 镜子里看到的时间。
3. 镜面数字、字母、汉字解题步骤：
（1）以镜面为竖直线作轴对称图形；
（2）左右翻转后的图案就是原本真实字符；
简便技巧：纸张背面透光直接读取原图。
【典例1】（2025 秋•右玉县月考）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，
入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【分析】根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可．
【解答】解：∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴其反射光线为c，
综上所述，只有选项C 正确，符合题意，
故选：C．
【变式1-1】（2025 秋•莱州市期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平
面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成以下图形．下列“镜子门”
摆放的位置和角度错误的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【分析】平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案．
【解答】解：由题意可得：实物与其像的连线与镜面垂直，
∴四个选项中只有D 选项中的图形不是镜面对称图形，
故选：D．
【变式1-2】（2025 秋•呈贡区期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时
刻应是（ ）
A．01：12
B．10：12
C．10：21
D．10：51
【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻12：01 与10：51 成轴对称，
所以此时实际时刻为10：51，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•鼓楼区校级月考）如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车的车牌号码是K62897 ．
【分析】利用轴对称的性质判断即可．
【解答】解：如图，车牌号码组成的图形沿直线l 翻折后是K62897．
所以车牌号码是K62897，
故答案为：K62897．
▌题型05 台球桌面上的轴对称
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1. 台球碰到桌边反弹，遵循光的反射定律，数学转化为轴对称：
（1）桌边是对称轴；
（2）撞击前的球点、撞击后的球点互为对称点；
（3）反弹路径折线，可拉直成两点之间线段（最短路径）。
2. 两类基础题型解题步骤
题型1：一次反弹（撞一条边再进袋）
已知：白球A，目标袋B，撞击桌边l 一次
步骤：
（1）作点A 关于桌边直线l 的对称点𝐴′；
（2）连接𝐴′𝐵，与桌边l 交于点P；
（3）P 就是撞击点，折线A→P→B 为反弹路线。
依据：𝐴𝑃= 𝐴′𝑃，𝐴𝑃+ 𝑃𝐵= 𝐴′𝐵，两点之间线段最短。
题型2：两次反弹（撞两条相邻边）
白球A，撞横边再撞竖边，到达B
步骤：
（1）先作A 关于第一条边对称点𝐴1；
（2） 作B 关于第二条边对称点𝐵1；
（3）连接𝐴1𝐵1，与两条桌边分别交于两个撞击点；
（4）依次连接A→𝑃1→𝑃2→B，即为路径。
【典例1】（2025 春•福州期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终
落入2 号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 3 次．
【分析】利用轴对称画出图形即可求解．
【解答】解：利用轴对称画出图形可知球的运动路线如图：
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∴经过多次反弹最终落入2 号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是3 次；
故答案为：3．
【变式1-1】如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角上的阴影部
分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将
落入 1 号球袋．
【分析】根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断．
【解答】解：如图，
该球最后将落入1 号球袋．
故答案为：1．
【变式1-2】（2025 春•如皋市期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A 滚向桌边PQ，碰着
PQ 上的点B 后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS 上的点C 便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，
BC，CQ 都是直线，PQ∥RS，且∠ABC 的平分线BN 垂直于PQ，∠BCQ 的平分线CM 垂直于RS，若∠
CQR＝33°，则∠ABP 的度数为 57° ．
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【分析】根据轴对称的性质以及平行线的性质解答即可．
【解答】解：由题意可知，BN∥CM∥QR，∠BCM＝∠QCM，∠ABN＝∠CBN，
∵∠CQR＝33°，
∴∠BCM＝∠QCM＝∠CQR＝33°，
∴∠ABN＝∠CBN＝∠BCM＝33°，
∵BN 垂直于PQ，
∴∠ABP＝90°﹣∠ABN＝57°．
故答案为：57°．
【变式1-3】（2026 春•西山区校级期中）一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A 滚向桌边PQ，
碰着PQ 上的点B 后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS 上的点C 便反弹而滚向点D，如果PQ∥RS，AB、
BC、CD 都是直线，且∠ABC 的平分线BN 垂直于PQ，∠BCD 的平分线CM 垂直于RS，那么，球经过
两次反弹后所滚的路径CD 是否平行于原来的路径AB？
【分析】根据平行线的判定与性质以及角平分线的定义解答即可．
【解答】解：球经过两次反弹后所滚的路径CD 平行于原来的路径AB．理由如下：
∵PQ∥RS，∠ABC 的平分线BN 垂直于PQ，∠BCD 的平分线CM 垂直于RS，
∴BN∥CM，
∴∠CBN＝∠BCM，
又∵∠ABC＝2∠CBN，∠BCD＝2∠BCM，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴CD∥AB．
▌题型06 画轴对称图形
1. 画一个点关于直线的对称点
已知：直线 𝑙，点 A
步骤：
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（1）过点 A 作直线 𝑙的垂线，垂足为 M；
（2）延长 AM 到 A'，使 MA' = AM；
（3）A' 就是 A 关于直线 𝑙 的对称点。
2. 画一条线段的轴对称图形
线段 AB，对称轴直线 𝑙
（1）分别作端点 A、B 关于 𝑙 的对称点 A'、B'；
（2）用直尺连接 A'B'；
线段 A'B' 即为线段 AB 的轴对称图形。
2. 画多边形（三角形、四边形）轴对称图形
以△ABC 为例：
（1）分别作出顶点 A、B、C 关于对称轴的对称点 A'、B'、C'；
（2）按原图顺序依次连接 A'→B'→C'→A'；
（3）得到的△A'B'C' 就是原三角形的轴对称图形。
【典例1】如图，以直线l 为对称轴，作与所给图形x 成轴对称的图形．
【分析】（1）根据轴对称的作图方法和性质解答即可；
（2）根据轴对称的作图方法和性质解答即可．
【解答】解：（1）过点E 作直线l 的垂线，与直线l 相交于点D，并延长到D'，使ED＝DD'，过点F 作
直线l 的垂线，与直线l 相交于点G，并延长FG 到G'，使FG＝GG'，连接D'H、HG'、G'D'，则△HG'D'
即为所求；
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（2）过图形X 的圆心B 作l 的垂线，与l 交于点C，延长BC 于D，使BC＝CD，找出图形X 与l 相交的
点A，连接AD，则AD 为半径，以点D 为圆心，AD 为半径作圆，即可得到图形X 的轴对称图形．
【变式1-1】已知如图，求作△ABC 关于对称轴l 的轴对称图形△A′B′C′．
【分析】分别作出点B 与点C 关于直线l 的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即可得到△ABC
关于对称轴l 的轴对称图形△A′B′C′．
【解答】解：
【变式1-2】根据对称轴画出下面各图形的轴对称图形．
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【分析】根据轴对称的性质画出下列各图中已知图形的轴对称图形即可．
【解答】解：如图所示：
【变式1-3】如图，已知△ABC 和直线m，以直线m 为对称轴，求作以点A，B，C 的对称点A′，B′，C′
为顶点的△A′B′C′．
【分析】利用轴对称图形的性质可得答案．
【解答】解：如图所示：
△A′B′C′即为所求．
▌题型07 添加正方形使原图形成为轴对称图形
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解题步骤：
（1）分别画出竖直对称轴、水平对称轴、斜向对角线对称轴；
（2）对照原图，看对称轴一侧空缺的位置；
（3）在对称位置补正方形；
（4）检验：沿对称轴折叠，两边完全重合即正确。
【典例1】（2025 春•济南期末）在图①中描涂2 个小方块，在图②中描涂3 个小方块，在图③中描涂4 个
小方块，在图④中描涂5 个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．
【分析】根据轴对称的性质作图即可．
【解答】解：如图所示：
【变式1-1】如图，在图形T 上补上一个正方形，使它成为一个轴对称图形，下列补法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【分析】根据轴对称图形的概念对各个图形分析判断即可得解．
【解答】解：A，C，D 选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B 选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
故选：B．
【变式1-2】（2025 秋•东丰县期末）如图是4×4 正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三
个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），
要求所画的三种方案不能重复．
【分析】根据轴对称图形的特征直接画图即可．
【解答】解：如图所示，
【变式1-3】下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形
进行阴影部分的填充．
（1）使得图①成为轴对称图形；
（2）使得图 ②成为有4 条对称轴且阴影部分面积等于3 的图形；
（3）使得图③成为至少有2 条对称轴且面积不超过6 的图形．
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【分析】直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．
【解答】解：如图所示（答案不唯一）：
▌题型08 轴对称的性质
由轴对称的性质得到以下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴；
③轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）中，对应线段相等，对应角相等。
【典例1】（2026 春•太原期末）如图，线段AB 与线段CD 关于直线PQ 对称，且AB 与CD 的交点O 在直
线PQ 上，点A，B 的对称点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB⊥CD
B．BD⊥PQ
C．∠DOQ＝∠AOP D．AC∥BD
【分析】根据轴对称的性质：①对称轴垂直平分任意一组对称点的连线；②对称轴两侧对应角相等、对应
线段平行；逐一判断四个选项，找出无法必然成立的结论．
【解答】解：已知线段AB、CD 关于直线PQ 对称，A 与C、B 与D 为对称点，交点O 在对称轴PQ 上．
选项B：对称轴垂直平分两组对称点的连线，B、D 是对称点，因此直线PQ 垂直平分线段BD，即BD⊥
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PQ，该结论一定正确．
选项C：由轴对称，∠AOP＝∠COP；
又因为∠DOQ＝∠BOQ，B、D 关于PQ 对称，
∠AOP 与∠BOQ 为对顶角，∠AOP＝∠BOQ，
因此∠DOQ＝∠AOP，该结论一定正确．
选项D：BD⊥PQ，AC⊥PQ，
垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故AC∥BD，该结论一定正确．
选项A：轴对称仅保证AB、CD 关于PQ 翻折后完全重合，两线段的夹角可以是任意角度，不一定为90°．
举反例：若AB 与对称轴PQ 夹角为30°，则CD 与PQ 夹角也为30°，此时AB 与CD 夹角为60°，不
垂直．
因此AB⊥CD 不一定成立．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•槐荫区期末）如图，若△ABC 与△A1B1C1 关于直线MN 对称，BB1 交MN 于点O，
则下列说法中不正确的是（ ）
A．BO＝B1O
B．AB∥A1B1
C．AA1⊥MN
D．∠ABC＝∠A1B1C1
【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分逐一判断即可．
【解答】解：∵△ABC 与△A1B1C1 关于直线MN 对称，
∴对应点的连线被直线MN 垂直平分，△ABC≌△A1B1C1，
∴BO＝B1O，AA1⊥MN，∠ABC＝∠A1B1C1，故A，C，D 正确，不符合题意；
AB 与A1B1 不一定平行，故B 错误，符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•宝应县期末）如图，若△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称，BB′交MN 于点O，则
下列说法中不一定正确的是（ ）
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A．∠ABC＝∠A'B'C'
B．AA′⊥MN
C．BC∥B'C'
D．CN＝C′N
【分析】根据轴对称图形的特征判断即可，成轴对称的两个图形全等，对应角相等，对称轴两侧的对应点
到对称轴的距离相等，对称轴是对称点连线的垂直平分线．
【解答】解：根据轴对称图形的特征可知：∠ABC＝∠A′B′C′，AA′⊥MN，CN＝C′N，无法判断
BC 与B′C′的位置关系，
∴A、B、D 选项不符合题意，C 选项符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•大丰区校级月考）如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，连接AA′，BB′，
CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′；②∠ADB＝∠A′D′
B′；③直线l 垂直平分AA′；④直线AB 与A′B′的交点不一定在直线l 上．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：根据轴对称的性质逐项分析判断如下：
∵△ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称，
∴AA′∥BB′，故①正确，符合题意；
∵△ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称，点D 与点D′关于直线l 对称的对称点，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，故②正确，符合题意；
∵△ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称，
∴线段AA′，BB′，CC′被直线l 垂直平分，
∴直线l 垂直平分AA′，故③正确，符合题意；
∵△ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称，
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∴线段AB、A′B′所在直线的交点一定在直线l 上，故④错误，不符合题意；
故选：A．
▌题型09 利用对称性求最值（将军饮马模型）
已知：直线 𝑙（河），定点 A、B 在 𝑙 同侧，P 是 𝑙 上动点，求 PA+PB 最小。
画图四步
1. 作点 A 关于直线 𝑙 的对称点 A'（虚线画垂线、延长等距）
2. 连接 A'B，交直线 𝑙 于点 P（此点就是取最小值的动点）
3. 连接 PA
4. 线段 A'B 的长度 = PA+PB 的最小值
【典例1】在公路AB 上建筑一车站C，使它到E、F 两村庄的距离和最短．（保留画图痕迹）
【分析】①连接EF 交直线AB 于点C，点C 就是所求；
②画出点E 关于直线AB 的对称点E′，连接E′F 交AB 于点C，连接EC，由对称的性质可知EC＝E′
C，由两点之间线段最短可知点C 即为所求点．
【解答】解：①连接EF 交AB 于点C，点C 就是所求的点；
②画出点E 关于直线AB 的对称点E′，连接E′F 交AB 于点C，连接EC，
∵E、E′关于直线AB 对称，
∴EC＝E′C，
∴EC+FC＝E′F，
由两点之间线段最短可知，线段E′F 的长即为EC+FC 的最小值，故C 点即为所求点．
【变式1-1】（2025•东莞市校级二模）如图，直线l1、l2 表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建
一座桥，使得村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的
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是（ ）
方案一：
①将
点A 向上平移d 得到A'；②连
接A'B 交l1 于点M；③过点M
作MN⊥l1，交l2 于点N，MN
即桥的位置．
方案二：
①
连接AB 交l1 于点M；②过点
M 作MN⊥l1，交l2 于点
N．MN 即桥的位置．
A．唯方案一可行
B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行
D．方案一、二均不可行
【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，只要AN+BM 最短即可，可利
用平移解决问题．
【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，只要AN+BM 最短即可．
∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d，
连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1，
由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，
根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM 最短．
故方案一符合题意，
故选：A．
【变式1-2】如图，直线l 表示草原上的一条河流，一骑马少年从A 地出发，去河边让马饮水，然后返回于
B 地的家中，他应沿怎样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线．
【分析】根据利用对称轴确定路径最短问题，作A 关于l 的对称点A′，连接A′B 交直线l 于点C，C
即为饮马处．
【解答】解：作A 关于l 的对称点A′，连接A′B 交直线l 于点C，
连接AC，骑马少年沿折线A﹣C﹣B 的路线行走时路线最短．
证明：设P 是直线上任意一点，连接AP，A′P，有作图知，直线l 垂直平分AA′，则AC＝A′C，AP
＝A′P，
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∴AP+BP＝A′P+BP≥A′B，
A′B＝A′C+BC＝AC+BC，即AP+BP≥AC+BC，
∴沿折线A﹣C﹣B 的路线行走时路线最短．
【变式1-3】（1）如图①，在∠AOB 内部有一点P，是否在OA，OB 上分别存在点E，F，使得E，F，P 三
点组成的三角形的周长最短？若存在，找出E，F 两点，并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB 内部有两点M，N，是否在OA，OB 上分别存在点E，F，使得E，F，M，N 四
点组成的四边形的周长最短？若存在，找出E，F 两点，并说明理由．
（3）如图③，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到
营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
【分析】（1）先根据轴对称的性质，找出符合要求的点E 和点F，再根据轴对称的性质说明理由即可；
（2）先根据轴对称的性质，找出符合要求的点E 和点F，再根据轴对称的性质说明理由即可；
（3）先根据轴对称的性质，找出符合要求最短路线，再根据轴对称的性质说明理由即可．
【解答】解：（1）分别作点P 关于OA 和OB 的对称点M，N，连接MN，
则MN 与OA 和OB 的交点即为点E 和点F，
如图所示，点E 和点F 即为所求作的点；
理由如下：
根据轴对称可知，
PE＝ME，PF＝NF，
所以△PEF 的周长为：PE+EF+NF＝MN．
当点E 和点F 在其他位置时，
根据两点之间，线段最短可知，
E′M+E′F′+F′N＞MN，
即PE′+E′F′+PF′＞PE+EF+NF，
所以点E，F，P 三点组成的三角形的周长最短；
（2）作点M 关于OA 的对称点M′，点N 关于OB 的对称点N′，连接M′和N′，
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则M′N′与OA 和OB 的交点即为点E 和点F，
如图所示，点E 和点F 即为所求作的点；
理由如下：
根据轴对称可知，
M′E＝ME，N′F＝NF，
所以ME+EF+NF＝M′E+EF+N′F＝M′N′．
当点E 和点F 在其他位置时，
根据两点之间，线段最短可知，
M′E′+E′F′+F′N′＞M′N′，
即M′E′+E′F′+F′N′＞M′E+EF+N′F，
因为MN 为定值，
所以此时点E，F，M，N 四点组成的四边形的周长最短；
（3）分别作出点P 关于河流和草地的对称点C 和D，
根据轴对称的性质可知，
当放牧路线为P→A→B→P 时的路线最短．
▌题型10 折叠问题
折叠前后图形关于折痕成轴对称，有3 个不变：
1. 对应边相等：折叠重合的线段长度一样；
2. 对应角相等：折叠重合的角度相等；
3. 折痕是对称轴：折痕垂直平分任意一组对应点的连线；
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4. 对应点连线被折痕垂直平分。
【典例1】综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学探究活动．
（1）操作判断
操作一：把长方形ABCD 对折，折痕交AB 于点E，交CD 于点F，把纸片展平；
操作二：将∠BEF 对折，点B 落在直线EF 上的点B′处，得折痕EM；
操作三：将∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上的点A′处，得折痕EN，如图①．根据以上操作直接写出
∠MEN 的度数： 90° ．
（2）问题探究
若操作一中的点E 为AB 上（不与A，B 重合）的任意一点，如图②，∠MEN 的大小是否改变，请说明理
由．
（3）拓展延伸
按照操作二、操作三，使EN 与EF 重合，折痕为EG；EM 与EF 重合，折痕为EH．如图③，请直接写
出∠GEH 的度数．
【分析】（1）根据题目，∠BEF 对折得∠MEB＝∠FEM，再由角度关系可得∠MEN 的度数，
（2）根据由角得和不变推出中间两角之和，
（3）两次折叠即将原角度变为一半．
【解答】解：（1）根据题目信息，∠BEF 对折，点B 落在直线EF 上，得折痕EM，
则∠MEB＝∠FEM；
∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上，得折痕EN，
则∠AEN＝∠NEF；∠MEB+∠FEM+∠AEN+∠NER＝180°；
∠AEN＝∠NER；2∠NEF+2∠FEM＝180°；
则∠NEF+∠FEM＝∠MEN＝90°；
（2）点E 在AB 上，不论位置如何变化，一边折叠后得两个角都相等，两边得到的四个角相加都为平角，
那么中间俩角的和肯定为直角，90°．
（3）两边再次折叠后相当于把上次折叠产生的中间的两个角分成四份，同样的道理，最中问的两个角等
于四个角和的一半，那么就是45°．
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【变式1-1】（2026 春•五华县期末）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL 上取
一点A，再在MN 边上任取一点P，从点A 处将纸条左侧折叠，使AK 折叠后的对应线段AK′径过点P，
此时的折痕记为AB（点B 在MN 上），如图1 所示；再从点A 处将纸条右侧折叠，使AL 折叠后的对应
线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C 在MN 上），如图2 所示．
（1）在图1 中，若∠APN＝α，求∠ABM 的大小（用α 表示）；
（2）填空，在横线处填出推理的依据；
小明发现，在图2 中，有BM′∥AK′，CN'∥AL′，进而推理：
∵线段AK′和线段AL′都经过点A 和点P，
∴它们都在同一条直线AP 上．（① 两点确定一条直线 ）
∵BM′∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM′∥CN′．（② 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ）
（3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3 所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL 和MN
不平行，但折叠后，在图3 中仍有BM′∥CN′．请你帮小亮证明这个结论．
【分析】（1）根据轴对称的性质及平行线的性质即可解决问题；
（2）根据平行线的性质完成填空即可；
（3）根据轴对称的性质及平行线的性质进行证明即可；
【解答】解：（1）如图所示，
∵KL∥MN，∠APN＝α，
∴∠KAB+∠ABM＝180°，∠KAP＝∠APN＝α，
由折叠可知，∠KAB＝∠PAB= 1
2 𝛼，
∴∠ABM＝180°−1
2 𝛼；
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（2）∵线段AK′和线段AL′都经过点A 和点P，
∴它们都在同一条直线AP 上（两点确定一条直线）
∵BM′∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM′∥CN′．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：两点确定一条直线，平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（3）连接BC，
由折叠可知，∠KAB＝∠PAB，∠LAC＝∠PAC，
∴∠BAC= 1
2 × 180° = 90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABM+∠ACN＝270°，
由折叠可知，∠ABM′＝∠ABM，∠ACN′＝∠ACN，
∴∠ABM′+∠ACN′＝270°，
∴∠CBM′+∠BCN′＝270°﹣90°＝180°，
∴BM′∥CN′．
【变式1-2】（2025 秋•五华县期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝56°，则∠BOC＝ 28 °；
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（2）折叠长方形纸片，BC，BD 均为折痕，折叠后，点A 落在点A'，点E 落在点E'．
①如图2，当点E'在BA'上时，求∠CBD 的度数；
②如图3，若∠A'BE'＝42°，求∠CBD 的度数；
③如图4，若∠A'CB＝30°，∠A'BE'＝n°，则∠DBE'的度数为 （
1
2n+30） °（用含n 的式子表示）．
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；
（2）①由折叠得出∠ABC＝∠A′BC= 1
2∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD= 1
2∠EBE′，再由点E′在BA′
上，进而求解即可；
②首先求出∠ABA′+∠EBE′＝138°，然后由折叠得到∠ABC＝∠A′BC= 1
2∠ABA′，∠EBD＝∠E′
BD= 1
2∠EBE′，然后求出∠A′BC+进而求解即可；
③首先由折叠得，∠ACB＝∠A′CB＝30°，求出∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°，∠ABA′＝2∠ABC＝
120°，然后根据∠ABA′+EBE′＝180°+∠A′BE′，得到EBE′＝n°+60°，最后由折叠的性质求解
即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝56°，
由折叠知，∠AOC＝∠BOC= 1
2∠AOB＝28°；
故答案为：28；
（2）①由折叠知，∠ABC＝∠A′BC= 1
2∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD= 1
2∠EBE′，
∴当点E′在BA′上时，
∠CBD＝∠CBE′+∠DBE′= 1
2（∠ABA′+∠EBE′）＝90°；
②由条件可知∠ABA′+∠EBE′＝180°﹣∠A′BE′＝138°，
由折叠知，∠ABC＝∠A′BC= 1
2∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD= 1
2∠EBE′，
∴∠A′BC+∠E′BD= 1
2（∠ABA′+∠EBE′）＝59°，
∴∠CBD＝∠CBA′+DBE′+∠A′BE′＝59°+42°＝111°；
③∵∠A′CB＝30°，
∴由折叠得，∠ACB＝∠A′CB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴由折叠得，∠ABA′＝2∠ABC＝120°，
∴EBE′＝180°+∠A′BE′﹣∠ABA′＝180°+n°﹣120°＝n°+60°，
∴由折叠得，∠DBE′= 1
2∠EBE'＝（
1
2n+30）°，
故答案为：（
1
2n+30）．
【变式1-3】在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
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【操作1】将长方形纸片ABCD 的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A 落在点A′处，OE 为折痕，如
图1；
【操作2】在图1 条件下，点F 是线段BC 上一点，角顶点B 沿线段OF 折叠，点B 落在点B′处，且点
B′在长方形内．【任务】
（1）在图1 中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB 的度数；
（2）在操作2 中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF 的度数；
（3）在操作2 中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，
并说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质，可得∠AOA′＝2∠AOE，即可求解；
（2）①根据折叠的性质，可得∠𝐴′𝑂𝐸= 1
2 ∠𝐴𝑂𝐴′，∠𝐵′𝑂𝐹= 1
2 ∠𝐵𝑂𝐵′，从而得到∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐴′𝑂𝐸+ ∠𝐵′𝑂𝐹=
1
2 (∠𝐴𝑂𝐴′ + ∠𝐵𝑂𝐵′)，即可求解；
②分两种情况：当点B′在点A′的左侧时，当点B′在点A′的右侧时，即可求解．
【解答】解：（1）由折叠性质可知：∠AOE＝∠A′OE，
∵∠AOE＝35°，
∴∠AOA′＝∠AOE+∠A′OE＝2∠AOE＝70°，
∴∠A′OB＝180°﹣∠AOA′＝180°﹣70°＝110°；
（2）由折叠性质可知：∠𝐴′𝑂𝐸= 1
2 ∠𝐴𝑂𝐴′，∠𝐵′𝑂𝐹= 1
2 ∠𝐵𝑂𝐵′，
∵∠AOA′+∠BOB′＝180°，
∴∠𝐴′𝑂𝐸+ ∠𝐵′𝑂𝐹= 1
2 (∠𝐴𝑂𝐴′ + ∠𝐵𝑂𝐵′)
= 1
2 × 180°
＝90°，
即∠EOF＝90°；
（3）∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹−1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°或∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹+ 1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°．
理由：由折叠性质可知：∠𝐴𝑂𝐸= 1
2 ∠𝐴𝑂𝐴′，∠𝐵𝑂𝐹= 1
2 ∠𝐵𝑂𝐵′，
①当点B′在点A′的左侧时，如图3，
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∠AOA′+∠BOB′﹣∠A′OB′＝180°，
∴
1
2 ∠𝐴𝑂𝐴′ +
1
2 ∠𝐵𝑂𝐵′ −
1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹−1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°；
②当点B′在点A′的右侧时，如图4，
∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′＝180°，
∴
1
2 ∠𝐴𝑂𝐴′ +
1
2 ∠𝐵𝑂𝐵′ +
1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹+ 1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°，
综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹−1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°或∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐵𝑂𝐹+ 1
2 ∠𝐴′𝑂𝐵′ = 90°．
