文档文本内容
1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题10 与三角形有关的模型 （题型突破·举一反三） 题型01 角高模型 题型02 两内角平分线的夹角模型 题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角模型 题型04 两外角平分线的夹角模型 题型05 规形图（飞镖模型） 题型06 “8”字模型（X 型图） 题型07 折角模型 ▌题型01 角高模型 如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD⊥BC 于点D，则∠𝐷𝐴𝐸= 1 2 |∠𝐶−∠𝐵|。 【典例1】已知：如图，△ABC 中，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，BF 是∠ABC 的平分线，BF 与 AE 交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE 的度数． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•南岸区期末）如图，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠AEC 和∠DAE 的度数； （2）若∠B＝α，∠C＝β，且α＞β，直接写出∠AEC 和∠DAE 的度数（用含α，β 的代数式表示）． 【变式1-2】（2026 春•深圳期中）如图，在△ABC 中，∠C＞∠B，AD⊥BC，AE 平分∠BAC． （1）若∠B＝30°，∠C＝64°，则∠DAE＝ ； （2）计算：若∠C﹣∠B＝50°，求∠DAE 的度数； （3）猜想：∠DAE、∠B、∠C 的关系 ． 3 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•龙岗区期中）已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE 的度数 为 ； 【一般推导】（2）如图（b），点P 在线段AE 上，过点P 作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG 与∠ B，∠C 之间的数量关系： ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP 分别平分∠AEC 和∠ACM， 过点P 作PG⊥BC 交BC 延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG= 2 3（∠B+∠CPE），求∠B 的度数． ▌题型02 两内角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE, CF 相交于点G,求∠BGC 与∠A 之间的关系 证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BE，CF 相交于点G， 4 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠GBC= 2 1 ∠ABC，∠GCB= 2 1 ∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB= 2 1 （∠ABC+∠ACB）， 在△BCG 中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- 2 1 （∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°- 2 1 （∠ABC+∠ACB）； 在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°- 2 1 （∠ABC+∠ACB）=180°- 2 1 （180°-∠A）=90°+ 2 1 ∠A， 即：∠BGC=90°+ 2 1 ∠A． 【典例1】（2025•丽水一模）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，点D 在AB 上（不与点A，B 重 合），连接CD 交BE 于点O． （1）若CD 是AB 边上的中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC 的周长为25cm，求△ADC 的周长； （2）若CD⊥AB 于点D，∠ABC＝60°，求∠BOC 的度数． 【变式1-1】如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，B 重合），CD 与BE 交于点 O． （1）若CD 是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD 与△ACD 的周长差为 ； （2）若CD 是高，∠ABC＝62°，求∠BOC 的度数； 5 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）若CD 是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC 的度数． 【变式1-2】（2026 春•南关区校级月考）【问题】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB．若 ∠A＝80°，则∠BEC＝ ； 【探究】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB．试猜想∠BEC 和∠A 有怎样的关系，并 说明理由； 【应用】如图2，在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB，若∠A＝n°，则∠BEC ＝ ． 6 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•高新区期中）探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，∠A＝55°，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，则∠BOC＝ 度． （2）如图2，∠A＝60°，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线（即∠𝑂𝐵𝐶= 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 3 ∠𝐴𝐶𝐵），求∠BOC 的度数． （3）在△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的n 等分线（即∠𝑂𝐵𝐶= 1 𝑛∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 𝑛∠𝐴𝐶𝐵）， 试说明∠BOC 与∠A 的关系． ▌题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点p，求∠P 与∠A 之间的关系 解：∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角， 7 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠PBC= 2 1 ∠ABC，∠PCD= 2 1 ∠ACD． ∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠PCD 是△BPC 的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴ 2 1 ∠ACP= 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠A， ∴ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠A=∠PBC+∠P， 即∠P= 2 1 ∠A． 【典例1】如图所示，∠ACD 是△ABC 的外角，∠A＝40°，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，且BE、CE 交于点E． （1）求∠E 的度数． （2）请猜想∠A 与∠E 之间的数量关系，不用说明理由． 【变式1-1】（2025 秋•广元期中）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线相 交于点P，且∠D+∠C＝220°，求∠P 的度数． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期中）概念认识：如图①，在∠ABC 中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则 BD，BE 叫做∠ABC 的“三分线”．其中，BD 是“邻AB 三等分线”，BE 是“邻BC 三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE 是∠ABC 的“三等分线”，则∠ABE＝ °； （2）如图②，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝72°，若∠B 的邻AB 三等分线与∠C 的邻AC 三等分线 交于点P，则∠BPC＝ °； （3）如图③，在△ABC 中，BP、CP 分别是∠ABC 邻BC 三等分线和∠ACB 邻BC 三等分线，且∠BPC ＝145°，求∠A 的度数． （4）【延伸推广】在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角，∠B 的邻BC 三等分线与∠ACD 的三等分线交 于点P．若∠A＝x°，∠B＝y°，直接写出∠BPC 的度数．（用含x，y 的代数式表示） 【变式1-3】（2026 春•北碚区月考）已知直线AB 与CD 相交于点O，点E，F 分别在射线OB 和OD 上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP 平分∠OEF，FP 平分∠OFE，求∠EPF 的度数； （2）如图2，EP 平分∠OEF，FG 平分∠DFE，FG 的反向延长线交EP 于点P，若∠BOD＝α°，求∠P 的度数（请写出完整的推理过程）； （3）如图3，点G 在FE 的延长线上，∠OEF 的角平分线与∠AOF 的角平分线相交于点P，∠AOF 的角 平分线所在的直线与∠OEG 的角平分线相交于点Q，若△PEQ 的某一个内角是∠P 的2 倍；请直接写出 ∠OFE 的度数． 9 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型04 两外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，△ABC 的外角平分线BO, CO 相交于点O,求∠O 与∠A 之间的关系 解：∵BO、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC、∠ECB 的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°- 2 1 ∠A． 【典例1】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与 ∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2 中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有 怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3 中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 又 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ． 10 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•北京期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲 广场△ABC 上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平 分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支 持． （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，两条角平分 线交于点P，求∠BPC 的度数； （2）如图2，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D，若∠BDC＝40°，求∠A 的度数． 【变式1-2】在△ABC 中， （1）如图①所示，如果∠A＝60°，∠ABC 和么ACB 的平分线相交于点P，那么∠BPC＝ ； （2）如图②所示，∠ABC 和∠ACD 的平分线相交于点P，试说明∠BPC= 1 2∠A； （3）如图③所示，∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点P，猜想∠BPC 与∠A 的关系并证明你的猜想. 11 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•朝阳区校级期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与 第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝ ； （2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E，其中∠A＝58°， 求∠BEC 的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求 ∠BQC＝ （用α 表示）； （4）如图4，△ABC 外角∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ 的平分线交于点P，则延 长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为 ． 12 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 规形图（飞镖模型） 如图，探究∠BDC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系 解：过点A、D 作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C 【典例1】（2026 春•青浦区校级期中）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样 的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C， 若∠A＝36°，直接写出∠ABX+∠ACX 的结果； ②如图3，DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB，若∠A＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数． 13 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•洛宁县期末）探究与发现： 如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个 简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，直接写出∠BPC 与∠A 之间存在的等量关系 为： ． 迁移运用：如图3：在△ABC 中，∠A＝80°，点O 是∠ABC，∠ACB 角平分线的交点，点P 是∠BOC， ∠OCB 角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB 的度数 ． ②如图4：若D 点是△ABC 内任意一点，BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠ A 之间存在的等量关系为 ． 14 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025 春•长春期末）【问题呈现】如图①，四边形ABCD 形似“飞镖”，我们形象地称它为 “飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之 和，即∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 【探究推理】方法一：如图②，连结BC． ∵在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°． 又∵在△BDC 中，∠2+∠4+∠BDC＝180°， ∴∠2+∠4＝180°﹣∠BDC， ∴∠A+∠1+∠3+180°﹣∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝∠A+∠1+∠3． 即∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD． 方法二：如图③，连结AD 并延长至F． ∵∠3 与∠4 分别为△ABD 和△ACD 的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D 的大小保 持不变．为了舒适，需调整∠E 的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E 应 （填“增加” 或“减少”）的大小为 度． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2025 春•香坊区期末）如图，在平面内有∠BAC＝40°，点D 在平面上，连接BD、CD． （1）如图1，试判断∠BDC 与∠DBA、∠DCA 之间的等量关系，并说明理由． （2）如图2，直接写出∠BDC 与∠DBA、∠DCA 之间的等量关系 ． （3）如图3，当点D 在AC 右侧时，∠D＝16°，点E 在∠ABD 内部，BE 平分∠ABD，延长DC 至F， 过A 作AG⊥CD 于G，∠FCE＝45°+ 1 2∠CAG，求∠BEC 的度数． ▌题型06 “8”字模型（X 型图） 如图，AD，BC 相交于点O，连接AB，CD．求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． 证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换） 16 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 秋•四平月考）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图②，AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P 的度数； 【问题探究】 （3）如图③，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ ADC＝29°，请直接写出∠P 的度数． 【变式1-1】（2025 秋•荣昌区校级期中）如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝32°，∠D＝28°， 求∠P 的度数． 17 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025 春•张店区期中）如图1，已知线段AB、CD 相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如 这样的图形称为“8 字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P，与CD、AB 分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P 的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P 与∠B、∠C 之间存 在的数量关系，并证明理由． 【变式1-3】试解答下列问题： （1）在图1 我们称之为“8 字形”，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数是 个； （3）在图2 中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P，并且与 CD、AB 分别相交于M、N．试求∠P 的度数是 ． 18 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 折角模型 如图，D、E 是△ABC 边AB、AC 上的点，将△ADE 沿DE 翻折至△FDE，若点F 在△ABC 内部，证明： ∠1+∠2=2∠A． 证明：由翻折性质得：∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED， ∴∠ADF=2∠ADE，∠AEF=2∠AED， ∴∠ADF+∠AEF=2（∠ADE+∠AED）， ∵∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180° −∠𝐴， ∴∠ADF+∠AEF=2（180°-∠A）=360°-2∠A， 又∵∠ADF=180°-∠1，∠AEF=180°-∠2， ∴∠ADF+∠AEF=360°-（∠1+∠2）， ∴360°-（∠1+∠2）=360°-2∠A， 即∠1+∠2=2∠A 【典例1】阅读材料，并回答下列问题： 如图1，以AB 为轴，把△ABC 翻折180°，可以变换到△ABD 的位置； 如图2，把△ABC 沿射线AC 平移，可以变换到△DEF 的位置． 像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状 大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里几个学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论． （1）如图2，前进小组把△ABC 沿射线AC 平移到△DEF，若AF＝7，DC＝3，则平移的距离 为 ； （2）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点 A′的位置，且得出一个结论：∠1+∠2＝2∠DA′E．请你对这个结论给出证明； （3）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部点A′ 的位置，那么此时（2）中的结论：∠1+∠2＝2∠DA′E 还仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立， 写出正确结论并证明． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图1，一张三角形ABC 纸片，点D，E 分别是△ABC 边上两点． 研究（1）：如果沿直线DE 折叠，使点A 落在CE 上的点A'处，则∠BDA'与∠A 的数量关系 是 ； 研究（1）：如果折成图2 的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A 的数量关系是 ； 研究（3）：如果折成图3 的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A 的数量关系是什么，并说明理由． 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】阅读与思考 有趣的翻折 在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目． 如图1，将△ABC 中的∠C 向△ABC 内部折叠落在∠C′处，若∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C 的 度数． 下面是琳琳同学的解答过程： ∵∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°， ∴∠CEC'＝180°﹣∠BEC'＝138°， ∠CDC'＝180°﹣∠ADC'＝160°． 由折叠得∠DEC＝∠DEC'= 1 2 ×138°＝69°， … 任务：（1）请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整． （2）如图2，将△ABC 中的∠C 向△ABC 外部折叠落在∠C'处，若∠BEC′＝70°，∠ADC′＝20°， 求∠C 的度数． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】将△ABC 的∠C 折起，翻折后角的顶点位置记作C'． （1）当C'落在AC 上时（如图1），可得∠1 与∠2 的关系为 ； （2）当C'点落在CA 和CB 之间（如图2）时，探究∠1、∠2、∠3 之间的关系，并说明理由； （3）当C'落在CB，CA 的同旁（如图3）时，直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系．
