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专题08 角平分线的性质
（题型突破·举一反三）
▌题型01 利用角平分线的性质求点到直线的距离
【典例1】D．
【变式1-1】A．
【变式1-2】B．
【变式1-3】B．
▌题型02 利用角平分线的性质求面积
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】D．
【变式1-3】D．
▌题型03 利用角平分线的性质求线段长
【典例1】B．
【变式1-1】B．
【变式1-2】B．
【变式1-3】C．
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▌题型04 利用角平分线的性质确定位置
【典例1】D．
【变式1-1】A．
【变式1-2】C．
【变式1-3】D．
▌题型05 通过尺规作图的痕迹得到角平分线
【典例1】B．
【变式1-1】B．
【变式1-2】7．
【变式1-3】3．
▌题型06 周长与面积之间的联系（等面积法）
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】D．
【变式1-3】D．
▌题型07 尺规作图（角平分线）
【典例1】
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【解答】解：如图所示：点E 即为所求作的点，理由如下：
过C 作CH⊥OB 于H，
由作图知CE⊥OA，
∵OM 平分∠AOB，
∴CE＝CH，
∵△OCD 的面积= 1
2OD•CH＝24，
∵OD＝12，
∴CH＝4，
∴CE＝4．
【变式1-1】
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，过点D 作DE⊥AB 于点E，
由条件可知DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
在Rt△ABC 中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 𝐵𝐶× 𝐴𝐶= 1
2 𝐴𝐵× 𝐷𝐸+ 1
2 𝐵𝐶× 𝐶𝐷，
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × 10𝑥+
1
2 × 6𝑥，
解得：x＝3，
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即CD 的长为3．
【变式1-2】
【解答】解：（1）∠ABC 的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB 于H．
∵BD 平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC 的面积
＝S△BCD+S△ABD
= 1
2BC•CD+ 1
2AB•DH
= 1
2 ×3BC+ 1
2 ×3AB
= 1
2 × 3（BC+AB）
= 1
2 ×3×16＝24．
【变式1-3】
【解答】解：如图所示，作线段CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，二者的交点即为点P 的位置．
▌题型08 角平分线的性质与全等三角形结合
【典例1】
【解答】解：（1）在DE 上截取DH＝DA，连接FH，如图1 所示：
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在△ODE 中，∠DOE＝60°，
∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°，
∵DF，EF 分别是∠ODE，∠OED 的平分线，
∴∠FDE＝∠FDA= 1
2∠ODE，∠FED＝∠FEB= 1
2∠OED，
∴∠FED+∠FDE= 1
2（∠OED+∠ODE）＝60°，
∵∠AFD 是△DEF 的外角，
∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°，
∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°，
在△DAF 和△DHF 中，
{
𝐷𝐻= 𝐷𝐴
∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐴
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△DAF≌△DHF（SAS），
∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，
∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°，
∴∠EFH＝∠BFE＝60°，
在△EFH 和△BFE 中，
{
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐵𝐹𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐹
∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐵
，
∴△EFH≌△BFE（ASA），
∴HE＝BE，
∴DE＝DH+HE＝AD+BE，
∴BE＝DE﹣AD，
∵AD＝5，DE＝8，
∴BE＝3，
故答案为：3；
（2）线段DE 与AD、BE 的数量关系是：DE＝AD+BE，理由如下：
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在DE 上截取DH＝DA，连接FH，如图2 所示：
在△ODE 中，∠DOE＝60°，
∴∠ODE+∠OED＝180°﹣∠DOE＝120°，
∵DF，EF 分别是∠ODE，∠OED 的平分线，
∴∠FDE＝∠FDA= 1
2∠ODE，∠FED＝∠FEB= 1
2∠OED，
∴∠FED+∠FDE= 1
2（∠OED+∠ODE）＝60°，
∵∠AFD 是△DEF 的外角，
∴∠AFD＝∠FED+∠FDE＝60°，
∴∠BFE＝∠AFD＝60°，∠DFE＝180°﹣∠AFD＝60°，
在△DAF 和△DHF 中，
{
𝐷𝐻= 𝐷𝐴
∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐴
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△DAF≌△DHF（SAS），
∴∠DFA＝∠DFH＝60°，DH＝AD，
∴∠HFE＝∠DFE﹣∠DFH＝60°，
∴∠EFH＝∠BFE＝60°，
在△EFH 和△BFE 中，
{
∠𝐸𝐹𝐻= ∠𝐵𝐹𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐹
∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐵
，
∴△EFH≌△BFE（ASA），
∴HE＝BE，
∴DE＝DH+HE＝AD+BE．
【变式1-1】
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
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∵D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
在△BED 和△CFD 中，
{
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐷
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于点F，
∴点D 在∠BAC 的角平分线上，
∴AD 平分∠BAC．
【变式1-2】
【解答】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF 和△DEB 中，
{
𝐷𝐶= 𝐷𝐸
∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷
𝐶𝐹= 𝐵𝐸
，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
【变式1-3】
【解答】证明：在△ABD 和△CBD 中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB．
又PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
▌题型09 利用角平分线的性质作辅助线
【典例1】
【解答】证明：如图，过点D 作DE⊥AB 交BA 的延长线于E，作DF⊥BC 于F，
∵BD 平分∠ABC，
∴DE＝DF，
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∵∠BAD 与∠BCD 互补，∠EAD+∠BAD＝180°
∴∠DAE＝∠C，
在△ADE 和△CDF 中，
{
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶
∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD．
【变式1-1】
【解答】证明：如图，过M 作ME⊥AD 于点E，
∵DM 平分∠ADC，∠B＝∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，2∠ADM＝∠ADC，
∵M 为BC 的中点，
∴BM＝MC＝ME，
∵ME⊥AD，
∴AM 是∠DAB 的平分线，
∴2∠DAM＝∠DAB．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴2∠DAM+2∠ADM＝180°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°．
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∴∠DMA＝90°．
【变式1-2】
【解答】解：（1）结论：MD 平分∠ADC．
理由：过点M 作ME⊥AD 于点E．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∵M 是BC 的中点，
∴MB＝MC，
∵AM 平分∠DAB，ME⊥AD，MB⊥AB，
∴MB＝ME，
∴ME＝MC，
∵ME⊥DA，MC⊥CD，
∴DM 平分∠ADC；
（2）结论：AM⊥DM．
理由：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵AM 平分∠DAB，DM 平分∠ADC，
∴∠ADM= 1
2∠ADC，∠DAM= 1
2∠DAB，
∴∠ADM+∠DAM= 1
2∠ADC+ 1
2∠DAB= 1
2（∠ADC+∠DAB）＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
【变式1-3】
【解答】解：（1）①∵BE、BD 分别平分∠ABC 及其补角，
∴∠𝐷𝐵𝑀= ∠𝐶𝐵𝑀+ ∠𝐶𝐵𝐷= 1
2 × 180° = 90°，
∵∠BMC＝20°，
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∴∠BDC＝90°﹣∠BMC＝70°，
同理∠MCE＝90°，
∴∠MEC＝90°﹣∠MBC＝70°，
∴∠EBC+∠ECB＝∠MEC＝70°，∠BEC＝180°﹣∠MEC＝180°﹣70°＝110°，
∵BE、CE 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACB＝2∠ECB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠EBC+∠ECB）＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣140°＝40°；
故答案为：70°，110°，40°；
②过点M 分别作射线BA、线段AC、射线BC 的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1，
∵BE 平分∠ABC，
∴MG＝MN（角平分线的性质），
∵CD 平分∠ACB 的外角，且点M 在直线CD 上，
∴CM 平分∠ACN，
∴MH＝MN（角平分线的性质），
∴MG＝MH，
∴点M 为∠CAG 的平分线，
∴∠𝐶𝐴𝑀= 1
2 ∠𝐶𝐴𝐺= 1
2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶)（角平分线的性质），
由①知，∠BAC＝40°，
∴∠𝐶𝐴𝑀= 1
2 (180° −40°) = 70°；
（2）如图2，过点M 分别作射线BA、线段AC 的垂线，垂足分别为G、H，
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∵BM 平分∠ABC，
∴MG＝MN（角平分线的性质），
∵CM 平分∠ACN，
∴MH＝MN（角平分线的性质），
即MG＝MH＝MN，
设MN＝a，则MG＝MH＝MN＝a，
∵四边形ABCM 的面积等于S△ABC+S△AMC＝S△ABM+S△ACM，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+
1
2 𝐴𝐶⋅𝑀𝐻=
1
2 𝐴𝐵⋅𝑀𝐺+
1
2 𝐵𝐶⋅𝑀𝑁，
即15×8+17a＝15a+8a，
整理得，6a＝120，
解得a＝20，
即MN＝20cm．
▌题型10 利用角平分线的性质进行证明
【典例1】
【解答】（1）证明：如图，过点O 分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H，
∵AO 平分∠CAD，CO 平分∠ACE，
∴OF＝OG，OH＝OG，
∴OF＝OH（等量代换），
∵OF⊥BD，OH⊥BE，
∴点O 在∠ABC 的角平分线上，
即BO 平分∠ABC；
（2）解：∵△AOC 的面积为12，
∴
1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐺= 12，
∵AC＝6，
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∴
1
2 × 6 × 𝑂𝐺= 12，
∴OG＝4，
∴OF＝OH＝OG＝4，
∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30，
∴
1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐹+
1
2 𝐵𝐶⋅𝑂𝐻= 30，
即
1
2 𝐴𝐵× 4 +
1
2 𝐵𝐶× 4 = 30，
整理得AB+BC＝15，
∴AB+BC+AC＝15+6＝21，
△ABC 的周长为21．
【变式1-1】
【解答】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD 和△CBD 中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
【变式1-2】
【解答】证明：（1）作PQ⊥AC 于点Q，
∵∠ABC，∠EAC 的平分线BP，AP 交于点P，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
∴点P 在∠ACF 的平分线上，
∴CP 平分∠ACF．
（2）∵AP 平分∠EAC，CP 平分∠ACF，
∴∠PAC= 1
2∠EAC= 1
2（180°﹣∠BAC），∠PCA= 1
2∠ACF= 1
2（180°﹣∠BCA），
∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝180°−1
2（180°﹣∠BAC）−1
2（180°﹣∠BCA）= 1
2（∠BAC+∠
BCA），
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∴2∠APC＝∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°．
【变式1-3】
【解答】（1）证明，过点G 作GD⊥AB 于点D，GE⊥BC 于点E，GF⊥AC 于点F，如图所示：
∵BG，CG 是△ABC 的角平分线，
∴GE＝GD，GE＝GF，
∴GE＝GD＝GF，
∴点G 到三边AB，BC，AC 的距离相等；
（2）解：过点P 作PM⊥BD 于点M，PN⊥BA，交BA 的延长线于点N，如图所示：
∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACD 的平分线，
∴PM＝PN，PM＝PQ，
∴PN＝PQ，
又∵点P 在∠NAC 的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA，
∴点P 在∠NAC 的平分线上，
∴AP 是∠NAC 的平分线，
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∴∠PAC= 1
2∠NAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠PAC= 1
2∠NAC＝60°．
▌题型11 角平分线与截长法
【典例1】
【解答】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，
∵AB＞AC，
在AB 上截取AE＝AC，连接DE，如图所示：
∵AD 平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EAD 和△CAD 中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，
在△BDE 中，∠BED＝180°﹣∠AED＝90°，
∴BD＞DE，
∴BD＞CD．
【变式1-1】
【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．
∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB= 1
2∠CAB．
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同理可得∠EBA= 1
2∠ABD．
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）如图，在AB 上截取AF＝AC，连接EF，
在△ACE 和△AFE 中，
{
𝐴𝐶= 𝐴𝐹
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∴△ACE≌△AFE（SAS）．
∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．
∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，
∴∠DEB＝∠FEB．
在△DEB 和△FEB 中
{
∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵
𝐸𝐵= 𝐸𝐵
∠𝐹𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸
∴△DEB≌△FEB（ASA）．
∴ED＝EF．
∴ED＝CE．
【变式1-2】
【解答】证明：在BC 上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD 和△EBD 中
{
𝐴𝐵= 𝐵𝐸
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐷
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴△ABD≌△EBD，
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∴∠A＝∠BED，AD＝DE，
∵AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC，
∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+C＝180°，
即∠BAD+∠C＝180°．
【变式1-3】
【解答】解：（1）AB＝AC+BD，理由是：
如图1，∵四边形ABCD 是长方形，
∴∠C＝∠D＝∠CAB＝∠ABD＝90°，
∵∠CAB 和∠ABD 的平分线恰好交于CD 边上的点E，
∴∠CAE= 1
2∠CAB= 1
2 × 90° =45°，∠DBE= 1
2∠ABD＝45°，
∴△ACE 和△BDE 都是等腰直角三角形，
∴AC＝CE，DE＝BD，
∴CD＝CE+DE＝AC+BD＝AB，
故答案为：＝；
（2）AB＝AC+BD，理由是：
如图2，过E 作EG⊥AB 于G，
∵AC⊥CD，AC∥BD，
∴CD⊥BD，
∵AE 平分∠CAB，BE 平分∠ABD，
∴CE＝EG＝ED，
∵AE＝AE，
∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），
∴AC＝AG，
同理可得：BG＝BD，
∴AB＝AG+BG＝AC+BD；
（3），（2）题的结论还成立，
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理由是：如图3，在AB 上取一点G，使AG＝AC，连接EG，
∵∠CAE＝∠GAE，AE＝AE，
∴△CAE≌△GAE（SAS），
∴∠C＝∠AGE，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠EGB+∠AGE＝180°，
∴∠D＝∠EGB，
∵BE＝BE，∠DBE＝∠EBG，
∴△DBE≌△GBE（AAS），
∴BD＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AC+BD．
