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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题14 圆的最值与定值问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值 题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变 题型3、隐圆模型-直径所对圆周角 题型4、面积最值问题 题型5、圆的覆盖问题 题型6、轨迹最值问题 题型7、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的最值与定值问题，核心在于通过“隐圆”把动点轨迹转化为圆或圆弧，再利用圆的性质求最值；常 见模型有：圆上动点到定点距离最值、折叠旋转中的定长轨迹、直径所对直角、面积最值、覆盖问题、轨 迹最值等；定值问题则要从特殊位置猜想定值，再用几何关系或代数运算证明其不变；解题时善于构造辅 助圆、利用数形结合与分类讨论，注意临界状态分析． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值 典例1 （2025·安徽安庆·一模）如图，矩形 中，P 为 边上一点（不与A，D 重合），连接 ， ，过 点作 ，垂足为 ，连接 ， ， 与 相交于点 ．则下列结论错误的是（ ） 目 录 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．若 ，则 B．若 ，则 为等腰三角形 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 最小为 题型模版 1.特征：动点在给定圆上运动，求该动点到某定点距离的最大值或最小值． 2.方法：连结定点与圆心，最近点在最近交点、最远点在最远交点；最值分别为 |d-R| 和 d+R，注意点的 位置． 变式1-1 如图，长为定值的弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C、D 与点A、B 不重合），点E 是CD 的中点，过点C 作CF⊥AB 于F，若CD＝3，AB＝8，则EF 的最大值是（ ） A． B．4 C． D．6 变式1-2 如图，量角器的0°刻度线的两端A，B 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上滑动，点C 位于该量角 器上 刻度处． （1）若点C 在靠近点A 处，连接 ，则 =___________°； （2）当点C 与原点O 的距离最大时， =___________°． 变式1-3 如图，已知正方形 的边长为2，点O 是 边的中点，G 为正方形内一动点，且 ．点 P 是 边上另一动点，连接 、 ，则 的最小值为______． 题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变 典例2 （2025·青海西宁·一模）综合与实践 如图，正方形 和正方形 有公共顶点 ，将正方形 绕点 按顺时针方向旋转，记旋转角 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，其中 ，连接 ， ． (1)如图1，当 时，求证： ； (2)请你画出除图1 外，满足 的其它图形，并写出 的度数； (3)旋转过程中， ________时， 最大， ________时， 最小； (4)旋转过程中，判断 与 的大小关系，并写出对应的 的范围． 题型模版 1.特征：折叠、旋转后某点到定点的距离不变，从而形成隐圆轨迹． 2.方法：根据折叠或旋转的不变性确定定长；以定点为圆心、定长为半径作隐圆；把问题转化为圆上动点到 相关点的距离最值． 变式2-1 问题探究 (1)如图①，已知 中， ，点 是 的中点，连接 ，则 的长为______； (2)如图②，已知 中， 为 内一点，且 ， ，请求出 的 长度； (3)如图③，四边形 中， ， ， ， ，点 为四边形 内一点，且始终有 ，连接 、 ，请问是否存在一点 ，使得 的值最小？如果存在， 求出 的最小值；如果不存在，请说明理由． 变式2-2 （25-26 九年级下·吉林长春·期中）综合探究 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【直接运用】 (1)如图1，在 中， ， ，以 为直径的半圆交 于D，P 是弧 上的一 个动点，连接 ，则 的最小值是 ； 【构造运用】 (2)如图2，在平行四边形 中， ， ， ，点F、点N 分别为 、 的中点， 点E 在边 上运动，将 沿 折叠，使得点D 落在 处，连接 ，点M 为 中点，求 的 最小值； 【灵活运用】 (3)如图3，已知正方形 的边长为6，点M、N 分别从点B、C 同时出发，以相同的速度沿边 、 方向向终点C 和D 运动，连接 和 交于点P，求点P 到点C 的最短距离，并说明理由． 变式2-3 （25-26 八年级下·北京·期末）如图，在边长为2 的正方形 中，E 是 的中点，点F 在 正方形 内，且 ， 且 ，则线段 的长的最小值是________． 题型3、隐圆模型-直径所对圆周角 典例3 如图，四边形 中， ， ．若四边形 面积的最大值为 ， 则对角线 的长为___________． 题型模版 1.特征：利用“直径所对圆周角为直角”构造隐圆，解决直角顶点轨迹或相关最值． 2.方法：若直角顶点对定线段，则该点在以定线段为直径的圆上；结合圆的性质求距离、角度或面积最值． 变式3-1 （2025 九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定 值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】 已知四边形 的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S 何时最大？ 小敏的演算纸 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综上所 述，s 的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D 在同一个圆上． ②S 的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S 的值小于情形Ⅰ中S 的值． 【向一般进发】 （3）已知四边形 的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S 的最大 值． 变式3-2 【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在 中， ， ， 是 外一点，且 ，若以点 为圆心， 为半径作 ，则点 ， 必在 上， 是 的圆心角，而 是圆周角． ①求 的度数； ②若点 也在 上，且点 与点 在弦 （ 与 ， 不重合）的两侧，求 的度数． 【问题解决】 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图2，在四边形 中， ，连接 ， ，若 ，求 的度数． 【问题拓展】 (3)如图3， ， 是正方形 的边 上的两个动点，满足 ．连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．若正方形 的边长为4，则线段 长度的最小值是________（直接写出答案）． 变式3-3 （2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点 分别在边 和 上，且 ．当 的面积最大时， 的面积为___________． 题型4、面积最值问题 典例4 （25-26 八年级下·重庆綦江·期末）如图，点 为正方形 边 上的一动点（不与点 、点 重合）将正方形纸片折叠，折痕为 ，使点 落在 处，点 落在 处， 交 于 ，连接 ， ， 与 交于 点． (1)求证： ； (2)探究 ， 的数量关系，并证明； (3)当 面积最大时，请直接写出 的值． 题型模版 1.特征：与圆相关的图形面积随动点变化，求面积的最大或最小值． 2.方法：建立面积关于关键变量的函数；用圆心角、半径、弦心距等表示面积；利用函数性质或几何不等式 求最值． 变式4-1 如图， 半径为6，弦 ，点 为优弧 上一动点， 交直线 于点 ，则 的最大面积是__________． 变式4-2 （24-25 九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图， 的半径为4，弦 的长为 ，点P 为优 弧 上一动点， 交直线 于点C，则 的面积的最大值是（ ） 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式4-3 四边形 是正方形， 是过点A 的直线．作 ，垂足为E，将射线 绕点D 逆时针 旋转 ，得到的射线与直线 交于点F，连接 ． (1)如图1，当 时，点F 与点A 恰好重合，则 的值为________； (2)如图2，在 时． ①依题意补全图形； ②探究线段 ， 与 之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若 ，当 的面积最大时，求 的面积． 题型5、圆的覆盖问题 典例5 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样 一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的 最小直径为（单位： ）（ ） A． B．100 C． D． 题型模版 1.特征：判断一个图形能否被圆覆盖，或求覆盖所需最小半径、圆心位置． 2.方法：覆盖问题的关键是找到离圆心最远的点；常用“最小覆盖圆”思想，圆心到各顶点距离不超过半径． 变式5-1 三个边长都为4cm 的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸 板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图： 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm； （2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm； （3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm． 变式5-2 如图，由6 个边长为1 的小正方形组成的图形，若用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个圆形纸 片的最小半径为________． 变式5-3 要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作 ．下 面我们来研究纸盒底面半径的最小值． （1）如果要装6 支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2 所示的两种布局方案． 方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为________________； 方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为____________________； （2）如果要装12 色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ______________． 题型6、轨迹最值问题 典例6 （25-26 八年级上·浙江宁波·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知 所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着 “业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人 们称为“费马点”．解决方法如下： (1)如图2，把 绕A 点逆时针旋转 得到 （点P，C 的对应点分别为点 ， ），连接 ．当 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 B，P， ， 四点在同一直线上时，点P 是 的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则 ， ∵ ______， ∴ 为等边三角形， ∴______， ∴ ， ∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P 是 的 “费马点”． (2)如图3，已知锐角 ，分别以 ， 为边向外作正 和正 ，连接 ， 相交于P 点， 交 于点M， 交 于点N．求 的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P 也是 的“费马点”．） (3)图4 所示 是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接 头P 分别向顶点A，B，C 布设三根滴灌水管，现测得 ， ， ，求滴灌水管总 长度的最小值． 题型模版 1.特征：动点轨迹为圆弧或圆的一部分，求路径长或相关最值． 2.方法：确定轨迹圆的圆心、半径及圆心角范围；用弧长公式或圆上点到定点距离公式分段讨论． 变式6-1 古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风 力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形 、 完全重合，再将正方形 绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形 ，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形 的边长为2，则正方形 的边长为______； （3）连接 ，则 与 之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形 请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方 形 的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 变式6-2 （2025·广东广州·二模）在 中， ，点E 在直线 上运动，作正 方形 ． (1)如图1，点E 在线段 上，求证： ； (2)如图2，点E 在线段 的延长线上，求证： ； (3)若 ，过点B 作 的垂线，垂足为G，当 最大时，求 的值． 变式6-3 （2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，圆上点 ， ， ， 均 是格点． (1)线段 的长等于___________； (2)点 在线段 上，连接 ，点 是点 关于 的对称点，射线 与射线 相交于点 ．当 的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 与点 的位 置是如何找到的（不要求证明）__________． 题型7、定值问题 典例7 （25-26 九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆 的直径为4，等边三角形 ，点 和点 在 圆上，连接 ， 相交于点 ，将等边三角形 从 与 重合的位置开始，绕点 顺时针旋转 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （ ）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ： 的长与 的长之和为定值； 结论Ⅱ：当 时，点 到 的距离是 ； 结论Ⅲ：使得 的 值有两个． A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅲ D．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 题型模版 1.特征：在变化条件下某线段长、角度、面积等保持为定值，需证明或求该定值． 2.方法：先取特殊位置猜想定值；再通过相似、全等、圆的性质或代数运算证明该量与变量无关． 变式7-1 （24-25 九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 是等边 的外接圆，P 点是 劣弧 上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求 的度数； (2)若 ， ，求 的长； (3)若 ，点P 在劣弧 上运动的过程中， ① 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究 的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 变式7-2 摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成 （如图2），大圆绕着圆心O 匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重 力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1) ________° (2)若 ， 的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M 与l 的最大距离为________； ②当圆心H 到l 的距离等于 时，求 的长； ③求证：在旋转过程中， 的长为定值，并求出这个定值． 变式7-3 问题：如图1， 中，AB 是直径， ，点D 是劣弧BC 上任一点（不与点B、C 重合）， 求证： 为定值． 思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明 ．按思路完成下列证明过程． 证明：在AD 上截取点E，使 ，连接CE． 运用：如图2，在平面直角坐标系中， 与轴相切于点 ，与y 轴相交于B、C 两点，且 ， 连接AB、 ． (1)OB 的长为___________． (2)如图3，过A、B 两点作 与y 轴的负半轴交于点M，与 的延长线交于点N，连接AM、MN，当 的大小变化时，问 的值是否变化，为什么?如果不变，请求出 的值． 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25 九年级上·广西钦州·期中）如图，已知 的直径 为， 的度数为 ，点 是 的中点，在直径 上找一点 ，使 的值最小，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．矩形 中， ， ，点 为矩形 内一点，使得 ．将 绕点 顺时 针旋转 ，得到 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知 的半径为1，弦 的长为 ，Q 为优弧 上的动点，过A 点作 的垂线交直线 于点C，当 的面积达到最大时，其 边上的高为 ____________________． 4．如图，在矩形 中， 是 边的中点，F 是线段 上的动点，将 沿 所 在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是 ___________________ ． 5．如图，将半径为的圆形纸片折叠使弧 经过圆心 ，过点 作直径 于点 ，点 是半径 上一动点，连接 ，则 的长度的最大整数值为______． 6．如图，正方形 中，点E，F 分别是边 、 上的动点，且 ，则 的最小值为______． 7．（2025·河南周口·二模）如图，正方形 的边长为2，在平面内有一点P，始终保证 ，连 接 ，设 的中点为E，连接 ，则线段 的最小值为__________，最大值为__________． 8．（24-25 九年级上·浙江温州·期中）如图1 所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2 所 示，毛刷的一端为固定点 ，另一端为点 ，毛刷绕着点 旋转形成的圆弧交 于点A，B， 且A，P，B 三点在同一直线上．当毛刷 从 出发顺时针扫过 时， ，则 的半径为 __________ ，毛刷在旋转过程中，与 交于点 ，则 的最大长度为__________ ． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图1， 是 的直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一 点，连接 ， ， ． (1)求证： ； (2)如图2， ， ， ①若 恰好经过圆心 ，求线段 的长； ②如图3， 为 上的一个动点，作 ，连接 ，求 的最小值． 10．在等腰 中， ， ，点 为底边 上一点，连接 ，点 为线段 上一点 （ ），将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ． (1)如图，若 ，且 ， ， 三点共线，求 的度数； (2)如图，在 上方作线段 ，连接 交 于点 ，已知 ，用等式表示 ， ， 之间的关系，并证明； (3)如图，若 ， 点与 点重合， ，连接 ，以 为直角边在 上方作 ， ，且满足 ．当 最大时，点 是直线 上一动点，连接 ，将线段 绕点 顺 时针旋转 至 ，当 最小时，求四边形 的面积． 11．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）已知 半径长度为 ，两条直径 ， 互相垂直，点 为直 径 上一动点，设 ．点 为点 关于点 的对称点，作 于点 ， ． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，当点 在半径 上时，连接 ，若 ，求的值； (2)如图2，在 上取一点 ， ，在 上取一点 ， ，连接 ， ， ， ， ， ． ①当为多少时， 的值最小（无需求最小值）； ②当为多少时， 的值最小？最小值是多少？ 12．（24-25 九年级上·广东珠海·期末）如图，以 直径 ，已知 ，点 为⊙ 上一动点． (1)如图1 所示， 时，求 的长． (2)如图2 所示，移动点 使它和边 上的点 满足 且 ，四边形 是什么四边形， 请说明理由； (3)如图3，在 中， ，线段 绕点 在平面内旋转，过点 作 的垂 线，交射线 于点 ．若 ，求 的最大值． 13．【问题情境】如图， 内接于 ，过点O 作 于点H，延长 交 于点 ，连接 ． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【问题探究】 （1）如图1，则 ；（填“ ”“ ”或“ ”） （2）如图1，若 ，求 的度数和 的半径； 【问题拓展】 （3）如图2，过点B 作 于点K，连接 ，若 ，试说明线段 与 的差为定值． 14．（2025·河北·模拟预测）如图1，在 中， ，以点B 为圆心，以 为 半径作圆． (1)设点P 为 上的一个动点，线段 绕着点C 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ， ， 如图2，求证： ； (2)在（1）的条件下，若 ，求 的长； (3)在（1）的条件下，当 ______°时， 有最大值，且最大值为______；当 ______°时， 有最小值，且最小值为______． 15．【问题提出】 (1)如图①，四边形 是平行四边形，M 是边 上一定点，过点M 作一条直线，使其将平行四边形 分成面积相等的两部分； (2)如图②，在 中， ， ， ，D 为 上一动点，连接 ，以 为 直径的 交 于点E，求 的最小值； 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)【问题解决】 如图③，某市政部门规划一块休闲绿地四边形 ，经实地勘测， ， ， ， ， ．现计划在绿地的边 ， 上分别选取点E，F，沿线段 铺设 一条步道，并在步道旁安装景观照明灯，要求步道 恰好把整块绿地划分为面积相等的两部分．从点A 向步道 作垂线，垂足为G，从点D 预埋电缆接引电源至点G．受施工造价管控，需使电缆用料成本尽 可能低，求电缆 长度的最小值．
