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1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题17 圆拓展之最值问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 题型二、两动一定 题型三、切线与勾股定理 题型四、折叠圆 题型五、直角圆 题型六、定角定弦 题型七、四点共圆 题型八、中位线与瓜豆原理 题型九、面积最值 题型十、费马距离 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型 知识点 易错点 将军饮马 利用圆的对称性转化动点位置， 根据“两点之间线段最短”求圆上 动点对应的线段和最值 混淆线段和最小与差最大的结 论，搞错对称点位置，忽略动点 能否到达交点位置 两动一定 结合圆半径相等的性质，利用三 角形三边关系推导，三点共线时 取得线段最值 忽略两个动点的运动范围约束， 误判最值点位置 切线与勾股定理 切线长、圆半径、圆外点到圆心 的距离满足勾股数量关系，切线 长的最值由圆心距的最值决定 记错三者的数量关系，混淆半径 与直径，错求圆心距的最值 折叠圆 折叠后圆的半径不变，对应点关 于折痕对称，转化位置后求轨迹 相关最值 误认为折叠后圆半径改变，搞错 折叠后圆心、对应点的位置范围 直角圆 对定线段张直角的动点轨迹，是 以定线段为直径的圆（需去掉端 点），结合点与圆的位置关系求最 值 遗漏轨迹圆需要去掉端点，搞错 轨迹圆的圆心和直径大小 定角定弦 定弦定角对应的动点轨迹是定弦 对应的两段圆弧，利用圆的基本 搞错动点对应优弧/劣弧，漏算另 一段弧的可能性，计算最值时忘 目 录 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 性质求距离最值 记加减半径 四点共圆 利用四点共圆的性质转化角度， 确定动点轨迹后结合圆的规律求 最值 错误判断四点共圆的条件，误用 共圆性质，搞错动点轨迹 中位线与瓜豆原理 主动点在圆上运动时，满足定角 定比关系的从动点轨迹也为圆， 用中位线转化所求线段后求最值 搞错从动点轨迹圆的圆心和半 径，误用中位线转化关系，忽略 主动点运动范围 面积最值 将面积最值转化为底或高的最 值，圆上点到定直线的距离最值 为圆心距加减半径 分割图形出错，记错对角线垂直 四边形面积公式的适用条件，错 找高的最值 费马距离 圆上动点到两个定点的距离和最 小值，利用费马点性质（三点两 两夹角120°时距离和最小）求解 记错费马点适用条件，误判费马 点是否在动点轨迹圆上，计算错 误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 典例1 如图，在 中， 是 的直径， ， ，M 是 上一动点，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式1-1 如图所示，点A 是 半圆上的一个三等分点，点B 是劣弧 的中点，点P 是直径 上的一个 动点， 的半径为1，则 的最小值（ ） 3 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式1-2 如图，在 中， 是 的直径， 是 上一动点， 的 最小值是____________ ． 变式1-3 如图，在 中， 是 的直径， ， 、 为弧 的三等分点， 是 上一动点， 的最小值是______ ． 类型二、两动一定 典例2 如图，在正方形 中， ，点 是平面内的一动点，且 是 的中点，是 上 一动点，连接 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C．9 D． 变式2-1 如图，在边长为 的正方形 中，以点 为圆心，为半径的圆弧与边 ， 分别交于点 ， ．点 在边 上，点 在 上，则 的最小值为（ ） 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式2-2 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，动点 在矩形内部，连接 ， ，且 ，点 为 上一个动点，连接 ， ，则 的最小值为________． 变式2-3 如图，在边长为 的正方形 中， 、 分别为边 、 的动点，且 ，点 为 的 中点，点 为边 上的一动点，则 的最小值为______． 题型三、切线与勾股定理 典例3 如图，等边三角形 的边长为4， 的半径为 ，为 边上一动点，过点 作 的切线 ， 切点为 ，则 的最小值为（ ） A．3 B． C． D．2 5 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-1 如图，在平面直角坐标系中， 的圆心A 的坐标为 ， 的半径为1，点P 为直线 上的动点，过点P 作 的切线，切点为Q，求切线长 的最小值（ ） A． B．2 C． D．4 变式3-2 如图，在边长为 的等边 中， 的半径为，点 是 边上的动点，过点 作 的一条 切线 ， 为切点，则线段 长度的最小值为______． 变式3-3 如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过 、 ， 的半径为1（ 为坐标原点）， 点 是直线 上的一动点，过点 作 的一条切线 ，为切点，则切线长 的最小值为__________． 题型四、折叠圆 典例4 已知平行四边形 中， ， ， ，点E在 边上， 沿 折叠得 ， 下列结论正确的是（ ） 6 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．当 时， B．当 落在 边上时， C．当 落在 边上时， 的面积为 D． 的最小值为 变式4-1 如图，在 中， ，E 是直角边 的中点，F 是直角边 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，D 是斜边 的中点，若 ， ，则 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-2 如图，在矩形 中， ，P 是 边上的一点，且 ，E 是线段 上的一个动点， 把 沿 折叠，点C 的对应点为F，当点E 与点D 重合时，点F 恰好落在 上，则 的最小值是 ______． 变式4-3 如图，在菱形 中，点 是 边的中点，动点 在 边上运动，以 为折痕将 折 叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值是______． 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型五、直角圆 典例5 如图，在 中， ， ， ，点 是 边上一动点，连接 ，以 为直径的圆交 于点 ，则线段 长度的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 变式5-1 如图，在矩形 中， ， ．点 沿折线 运动，在 上总有点 满足 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-2 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 从点 出发沿 向点 运动，连接 ， 过点 作 于点 ，连接 ，则 的最小值为________． 变式5-3 如图，在矩形 中， ， ，点E 在边 上运动，以 为直径作圆与 交于点 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 F，连接 ，则线段 的最小值为________． 题型六、定角定弦 典例6 如图，分别经过原点 和点 的动直线 ，，其夹角 ，点 是 中点，连接 ， 则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式6-1 如图，在 中， ， ， ，D 为平面内一点，连接 ， ，则线段 的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 变式6-2 如图，在 中， ，点 为平面内一动点，连接 ， 若 ，则 的最小值为___________． 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 如图，在一个边长为3 的等边三角形 中，，分别为边 ， 上的两个动点， ， 连接 ， 交于点 ，则 （1） ___________ ； （2）连接 ， 的最小值为___________． 题型七、四点共圆 典例7 在 中， ， ， ， ，点P 在射线上 上运动，连接 ， 交 的外接圆于点D，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 变式7-1 如图，在 中， ， ， ，经过点C 且与边 相切的动圆，与 分别相交于点E、F，则线段 长度的最小值是（ ） 10 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．4．8 D．5 变式7-2 如图， 的直径 ，垂足为 ， ， ，点 是 上的动点（不与 两点 重合）， ，垂足为 ，点 在运动过程中线段 的最小值为_______ ． 变式7-3 已知正方形边长为 分别是 上的动点，且 于 点，则 的最 小值是_____． 题型八、中位线与瓜豆原理 典例8 如图，在 中， ， ， ，E 为 的中点．点D 在平面内运动，且满足 ，取 的中点F，连接 ，则 的最大值与最小值的和是（ ） 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．6 B． C． D． 变式8-1 如图，已知P 是 外一点，Q 是 上的动点，线段 的中点为M，连接 ，若 的 半径为4， ，则线段 的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式8-2 如图，在矩形 中， ， ，以 为斜边在矩形所在平面作 ， ， 点 为 的中点，则 的最小值为________． 变式8-3 如图，在 中， ， ，D 是以点A 为圆心，5 为半径的圆上一点， 连接 是 的中点，则线段 长度的最小值为_______． 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型九、面积最值 典例9 如图，在 中， ， ，E 是边 上一点，且 ，以A 为圆心， 长为半径 作 ，P 是 上一动点，连接 、 ，若 的面积为36，则 面积的最小值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 变式9-1 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，C、D 是半径 为1 的 上两动点，且 ，P 为弦 的中点，当C、D 两点在圆上运动时， 面积的最小值 是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式9-2 如图，已知直线 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，P 在以 为圆心，1 为半径的圆 上一动点，连结 、 ，则 面积的最小值是_____． 变式9-3 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，C、D 是半径 为1 的 上两动点，且 ，点 为弦 的中点．当C、D 两点在圆上运动时， 面积的最大 13 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 值是________，最小值是________． 题型十、费马距离 典例10 数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形 ， 是对角线 上一点， 、 是边 和 上的两点，若点 满足 与 之和最 小，则称点 为类费马点， (1)如图1，在菱形 中， ，点 是 上的类费马点， ① 为 的中点， 为 的中点，则 ________． ② 为 上一动点， 为 上一动点，且 ，则 ________． (2)如图2，在菱形 中， ，连接 ，点 是 的费马点，（即 ， ， 之和最小）， ①当 时， ________． ②当 时，你能找到 的费马点 吗？画图做简要说明，并求此时 的值． 变式10-1 阅读理解： 如图①，若 所在平面上存在一点 ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 为 的 费马点，此时 的值为 的费马距离． 如图②，若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 理． (1)请你直接利用托勒密定理，解决如下问题： 如图③，已知点 为等边三角形ABC 外接圆的 上任意一点．求证： ． (2)根据结论，我们有如下探寻三角形 （其中 均小于 ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图④，在 的外部以 为边长作等边三角形 及其外接圆； 第二步：在 上取一点 ，连接 ． 易知 __________； 第三步：根据（1）中定义，当在图④中找出 的费马点 后，线段__________的长度即为 的费 马距离． 知识应用： (3)已知三村庄A、B、C 构成了如图⑤所示的 ，现选取一点 打水井， 使水井 到三村庄A、B、C 所铺设的输水管总长度最小，请在图⑤中作出点（尺规作图，保留作图痕迹）， 并求输水管总长度的最小值． 变式10-2【阅读材料：】如图①， 中，各个内角均小于 ，在 内找一点O，使 ，此时； 最小；这个点O 称为 的费马点， 的值称为 的费马距离；（费马，17 世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在 的外侧作等边 、等边 ，连接 交于点O， 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 这个交点O 就是 的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明 ，…进而得出 ，第二 步，连接 ，并在线段 上取一点Q，使 ；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接 ． （1）证明： ； （2）当 时，求 的费马距离． 变式10-3【问题情景】1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三 个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出 了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当 的三个内角均小于 时，如图1，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，由 ，可知 为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故 ，又 ， 故 ，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第 三边”）可知，当 在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时 的 点为该三角形的“费马点”，且有 _______（填写角度数）；已知当 有一 个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ，则该三角形的“费 马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【深入探究】 （2）如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点 为 的 “费马点”，求 的值．
