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专题17 相似三角形性质与判定的综合问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题
题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题
题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值
题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长
题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比
题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积
题型7、利用相似三角形性质与判定求最值
题型8、相似三角形与函数图象的综合
题型9、相似三角形分类讨论问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
相似三角形性质与判定的综合问题，要同时运用判定定理与性质定理；常见背景包括旋转、折叠、函
数图象、最值等，关键是识别或构造相似，建立比例关系；求线段比、线段长、面积比、面积等问题，常
通过相似比转化；分类讨论要注意对应顶点不同、图形位置不同、参数范围不同等情况；综合压轴题要善
于设参、列方程，并结合几何直观与代数运算双重验证．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
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题型1、旋转背景下相似三角形的综合问题
典例1 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形纸片
的对角线相交于点
，
如果将形状大小相同的另一矩形纸片的顶点放在点
，并将它从虚线位置开始绕点
逆时针旋转
，那么
在旋转过程中，两个矩形纸片重叠部分的面积（ ）
A．不变
B．先变小再变大再变小
C．先变小再变大
D．变小
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，设两矩形旋转过
程中交于点E，F 两点，过点O 作
于点
，作
于点
，则
是矩形，证明
，即可得到
，然后分为
和
两种情况，表示四边形
的面
积，根据函数的性质解答即可.
【详解】解：设两矩形旋转过程中交于点E，F 两点，过点O 作
于点
，作
于点
，
则
是矩形，
∵
是矩形，
∴
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
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∴
，
∴
，即
，
设
，
当
时，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
随的增大而逐渐减小，
当
时，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
随的增大而逐渐减小，
综上所述，
在旋转过程中逐渐减小，
故选：D．
题型模版
1.特征：在旋转背景下，通过旋转产生等角、等线段，进而构造或判定相似三角形．
2.方法：利用旋转角相等、对应边相等找等角；识别共顶点的相似三角形；用相似比建立线段关系．
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变式1-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，
中，
，
，
，将
绕
着
边中点
旋转得到
，
、
分别交
于点
、
，若
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、关键是灵活应用
知识点解题．
由旋转可得
，
则
，然后利用
可证
得
到比例关系，则
可求．
【详解】解：令
的交点是
，
∵
，
∴
，
∵将
绕着
边中点
旋转得到
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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即：
，
∴
．
故选：C．
变式1-2 （25-26 八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，
中，
，D、
E 分别在边
上，
，
，将
绕点C 旋转，旋转后点D、E 对应的点分别为
，
．当点
落在线段
上时，连接
，此时
的长为__________．
【答案】
【分析】作
，设
交
于
，推导出
，得到
，可证明出
，得到
，求出
，
，推导出
，
，
，根据勾股定理，求出
，即可求出
．
【详解】解：如图，作
于
，设
交
于
．
由旋转，得
,
，
，
，
，
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，
，
∴
,
,
，
∴
,
,
∴
,
∴
,
∴
在
中，
，
，
，
，
,
∵
，
，
，
∵
,
,
,
∴
,
∴
,
∴
,
，
∴
.
变式1-3 如图1，
中，
，
．点
是斜边
中点，连接
．点
为
上一动
点（不与端点
，
重合），连接
．将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
交
于点
．
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(1)求证：
．
(2)如图2，过点
作
交
于点
，连接
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
交
于点
．过点
作
于点
．设
．
①当
时，求的值．
②当
时，k 的值与问（2）①所求的值相等，求
的比值．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）证明
，即可求证；
（2）①根据三角形中位线定理可得
，
，从而得到
为等边三角形，
，
，再证明
为直角三角形，在Rt
中，可得
，从而得
到
，再证明
，
，可得
，即可求解；②设
，
可得
，
，由①得：
，则
，设
，过点E 作
，
交
于点G．根据
，
，可得
，然后分两种情况：当E
在
上时， 当E 在
上时，解答即可．
【详解】（1）解：由旋转性质：
，
∴
，
在
中，O 为
中点，
∴
，
∴
，
∴
，
，
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∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：①如图，
由（1）得：
，
，
∵点O 为
的中点，
，
∴
，
，
∴
为等边三角形，
，
，
∴
，
，
∴
，即
为直角三角形，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
，
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由旋转的性质得：
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
②设
，
根据题意得：
，
∴
，
由①得：
，则
，
设
，
过点E 作
，交
于点G．
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
，
当E 在
上时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，即
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
，
由（1）得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
由①得：
，
∴
，
化简得：
，
解得：
或
，均不符合题意；
当E 在
上时，
同理
，
，
由①得：
，
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∴
，
整理得：
，
解得：
（舍去）或
或
（舍去），
此时
，
∴
．
题型2、折叠背景下相似三角形的综合问题
典例2 如图，在矩形
中，
．点
是边
上的一动点，将
沿
折叠，点
落在点
处．
(1)若
，当
落在对角线
上时，求
的长；
(2)若
，连接
．若
为等腰三角形，求所有符合条件的
的长；
(3)若
，在点
运动的过程中，线段
的中点为
．求当
的面积取得最大值时，点
到点
的距离，同时探讨
能否为
，若可以，请求出此时
的长；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
或
或
或
(3)当
的面积取得最大值时，
；
可以为
，此时
【分析】（1）由勾股定理可计算出
，由折叠的性质可得
，
，
，则
．容易证明
，计算得
，因此
；
（2）分三类讨论，当
时，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
利用
，结合勾股定理构造方程组，可以求出与的值．在
中，利用勾股定理构造
方程，解得
，将与的值代入即可；当
时，容易得到
，则
，从而求出与的值，代入
的表达式即可；当
时，容易证明
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，从而求出与的值，代入
的表达式即可；
（3）先分析
面积最大的情况，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
，则
，
，利用
可计算得
，进而得
到
．利用三角形面积公式可得
．则
，利用分组分解法
可得
，因此当
时，取得最大值，容易计算得此时
；再分析
能否为
，假设
，容易证明
，则
，在
中，利用
勾股定理构造方程，解得
，因此
．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形
是矩形，
∴
，
在
中，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）解：①当
时，如图，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
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∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
在
中，
，
∴
，
由折叠的性质可得，
，
，
在
中，
，
∴
，
联立①与②，得，
，
解得
或
，
在
中，
，
，
∵
，
∴
，
化简，得
，
∵
，
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∴
，
当
时，
，
当
时，
；
②当
时，如图，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
由①可知，
，
∴
；
③当
时，如图，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
在
和
中，
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，
∴
，
∴
，
由折叠的性质可得，
，
，
在
中，
，
∴
，
由①可知，
，
∴
；
综上所述，符合条件的
的长为
或
或
或
；
（3）解：先探究
面积最大的情况，
①当点
在矩形
的内部或边界时，如图，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
，则
，
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
变形，得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，即
，
当且仅当
时，
取得最大值；
②当点
在矩形
的外部时，如图，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，设
，
，
，则
，
，
同理①可得，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
变形，得
，
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∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
综上所述，当且仅当
时，
取得最大值；
如图，
当
时，
，
∴
，即点
落在边
上，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
在
中，
；
再探究
的情况，
假设
可以等于
，如图，连接
，设
，则
，
∵
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
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在
和
中，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴假设成立，当
时，
．
题型模版
1.特征：在折叠背景下，利用折叠前后的对称性寻找等角、等线段，构造相似．
2.方法：确定折痕为对称轴；利用折叠前后对应角相等、对应边相等；结合平行线或公共角判定相似．
变式2-1 如图，在菱形
中，点E 在
上，连结
，作点A 关于直线
的对称点
，连结
交
于点F，若点
恰为
的中点，则
与
的面积比为_____________．
【答案】
/0.4
【分析】延长
交
延长线于点
，取
中点
，连接
，连接
，先证明
，
则
，
，然后证明
，则
，求出
，可得
为
中位线，
则可证明
，则
，再将共高三角形面积比化为底之比求解即可．
【详解】解：延长
交
延长线于点
，取
中点
，连接
，连接
，
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设菱形的边长为，
，
则由菱形可得
，
，
∴
，
，
，
∵点
为
的中点，
∴
，
∴
∴
，
，
∵对称，
∴
，
，
∴
，
∴
∴
解得
∵点
为
的中点，点
为
中点，
∴
∴
，
∴
∴
∴
∴
∴
．
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变式2-2 在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数
学的奥秘．
【实践操作1】折法：如图1．
步骤1：将正方形
对折，得到折痕
，连接
；
步骤2：将正方形沿
折叠，使点
翻折至点
处，
交
于点
．
【实践操作2】折法：如图2．
步骤1：将正方形
对折，得到折痕
，连接
．
步骤2：将正方形折叠，使点
落在
上，得点
，得到折痕
．
【问题解决】
(1)在实践操作1 中，猜想
的形状，并说明理由．
(2)在实践操作2 中，若
，求
的长．
【答案】(1)
是等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由
得
，由折叠得
，可得
，由等角对等
边可得结论；
（2）由折叠得
，过点
作
交
于点
，交
于点
，得
，
得出
，设
，则
，由勾股定理得出
，证明
，四边形
是矩形，得
，求出的值即可解决问题．
【详解】（1）解：猜想：
是等腰三角形，理由如下：
∵正方形
对折得到折痕
，
∴
，且
垂直平分
,
，
∴
，
由折叠得：
，
∴
，
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∴
，
∴
是等腰三角形；
（2）解：∵四边形
是正方形，
，
∴
，
，
，
由折叠得
垂直平分
，
∴
为
的中点，
∴
，
如图，过点
作
交
于点
，交
于点
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
,
由折叠得
,
∴
，
∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
又
,
∴四边形
是矩形，
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∴
，
解得
，
∴
，
∴
．
变式2-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）【驱动背景】
在
中，将劣弧
沿弦
所在的直线折叠，使得弧
恰好过圆心O，圆心O 关于直线
的对称点为
O1．
【前情感知】
（1）如图1，连接
，
，
的度数为 ；
【问题探究】
（2）如图2，若点D 是优弧
上的任意一点，连接
交折叠后的弧于点C，连接
，
．
①
的度数为 ；猜想
与
的数量关系 ；
②如图3，若弧
（翻折后）不经过圆心O，
与
的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】
（3）如图4，若
为
直径，将第一次折叠后的弧
（弧
部分）沿
向下翻折交弦
于点E，
连接
．若
，
，请直接写出线段
的长．
【答案】（1）
（2）①
，
；②成立，理由见解析
（3）
【分析】（1）连接
，交
于点N，得
，
，
即可求解；
（2）①因为
，且
，结合
，得到
，即可求解；
②结合四边形
是
的圆内接四边形，
，
，即可求解；
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（3）证明
，得到
，由
，得
，证明
，
即可求解．
【详解】解：（1）如图1，连接
，交
于点N，
∵圆心O 关于直线
的对称点为O1，
∴
，
，
，
又∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
（2）①如图2，
，
设翻折前点C 对应的点为T，连接
、
，
则
，而
，
即
∵
，
∴
，
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即
；
②成立，理由如下：
设折叠前点C 的对应点为点
，连接
，
，如图3．
由折叠可知，
，
∵四边形
是
的圆内接四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（3）补出第一次折叠后上面的
弧所在圆
，补出第二次折叠后从A 到E 到C 的
弧所在圆
，
由题意得：上述两个圆和圆O 是等圆，圆O 的直径
，
故设圆直径均为10，半径均为5，过B 作
于H，
由（2）知
，
∴
，
∴
，
，
则
，
，
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则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，则
，
∴
，则
，
作圆
的直径
，则
，
在圆
中，
，
则
，
∵
，
则
，
则
．
【点睛】本题为圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质、图形的翻折等，
正确确定三角形相似是解题的关键．
题型3、利用相似三角形性质与判定求线段比值
典例3 如图，在正方形
中，点
在
边上且
，连接
．点
为
边上一点，过点
作
于点
，交
于点
，点
在
边上，连接
，
，
，若
，
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】先设出正方形边长，过点
作
交
于点K，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的
性质得出
，再用相似三角形的性质求出
的长度，由等腰三角形的三线合一求出
的长，
进而求出
、
的长，从而得到
点是三等分点；过点
作
于点
，过点
作
，连
接
交
的延长线于点
，由一线三垂直得出
，
的长，再由勾股定理即可求出
的长，从而
得出比值；
【详解】解：设正方形
的边长为
，
，
，
在
中，
，
四边形
是正方形，
，
，
过点
作
交
于点K，
，
，
，
，四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
（
）
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
过点
作
于点
，过点
作
，连接
交
的延长线于点
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
（
）
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的
判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模
型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等）将分散的条件集中到可计算的直角三角形中．
题型模版
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1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求两条线段的比值．
2.方法：找出包含这两条线段的相似三角形；利用对应边成比例写出比值；注意约分与对应顺序．
变式3-1 （25-26 九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知
是
的直径，弦
于点
，
．点
是劣弧
上任意一点（不与点
，
重合），
交
于点
，
与
的延长线相交于点
，当
时，则
_____．
【答案】
【分析】设圆的半径是r，
，由
，求出
，得到
，因此
，
推出
，得到
，代入有关数据即可求出
的长，得到
的长，即
可得到答案．
【详解】解：连接
，
∵弦
于点E，
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵直径
，
∴
，
∴
，
设圆的半径是r，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
变式3-2 （25-26九年级下·浙江杭州·期中）在矩形
中，是
边的中点，连接
，过点
作
于点
，射线
与直线
交于点
，设
．
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(1)如图①，若
，求证：
；
(2)如图②，当点
恰好与点
重合时，试确定的值；
(3)作点
关于直线
的对称点
，连接
，延长
交直线
于点
．当
时，求
的值，
并直接写出相应的值．
【答案】(1)
证明：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
；
(2)
(3)当
时，
；当
时，
【分析】（1）由矩形的性质可得，
，
，当
时，
，由同角的余
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角相等可得
，从而证明
，因此
；
（2）同理（1）可得，
，则
，结合
，
，
可得，
，
即
；
（3）设
，则
，
，使用勾股定理计算得
，由面积法可得
．根据轴对称的性质可得，
，同理（2）可得
，计算
得
，
，进而计算出
，
，因此
．分两
类讨论，当点
在
边上时，
，容易判断点
在
上，由平行可判定
，
计算得
，此时
；点
在
的延长线上时，则
，利用
计算出
，此时
．
【详解】（1）略；
（2）解：同理（1）可得，
，
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
，
又∵
是
边的中点，即
，
∴
，
∴
，即
；
（3）解：设
，则
，
∵
是
边的中点，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
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∵点
和点
关于
对称，
∴
，
，
∴点
在
上，
，
同理（2）可得，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
在射线
上，
①当点
在
边上时，如图，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
整理，得
，
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解得
（负值，舍去），此时
；
②当点
在
的延长线上时，如图，
∴
，
∵
，
∴
，
同理①可得，
，
∴
，即
，
∴
，
整理，得
，
解得
（负值，舍去），此时
；
综上所述，当
时，
；当
时，
．
变式3-3 如图1，在菱形
中，
，是对角线
上一点，连接
，设
，
将
沿
折叠得到
，连接
并延长交
于点
．
(1)用含
的代数式表示
．
(2)求证：
①
；
②
．
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(3)如图2，当
时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
证明：①∵菱形
，
∴
，
由折叠可知，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
；
②∵
，
∴
，
∵菱形
，
∴
，
∵
为等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质得到
，根据折叠的性质得到
，进而可求
；
（2）①根据等边对等角及三角形内角和得到
，根据等边三角形的判定和性质证明即可；
②根据菱形的性质得到
，根据等边三角形的性质得到
，证明
，
即可证明
；
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（3）连接
，延长
交
于
，作
于
，根据等边三角形的判定和性质得到
，
证明
，得到
，设
，根据
角的性质得到
，
根据勾股定理得到
，
，求出
，即可求出
的值．
【详解】（1）解：∵菱形
，
∴
，
∵折叠，
∴
，
∴
；
（2）略
（3）解：如图，连接
，延长
交
于
，作
于
．
由（2）得
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
则
，
．
在
中，
∵
，
∴
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∴
．
题型4、利用相似三角形性质与判定求线段长
典例4 如图，在
中，
，以
为直径作半圆，交
于点E，
于点F，分别过点A，B 作
于点G，
于点H．
(1)已知
，求弧
的度数．
(2)求证：
．
(3)已知
，
，求
的长．
【答案】(1)
；
(2)
证明：连接
、
，
∵
为
的直径，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
．
(3)
【分析】（）利用等腰三角形和圆的性质，找到弧
所对的圆心角或圆周角，从而求出弧的度数；
（）根据直径所对的圆周角是直角求出
，
，结合圆的性质，证出
，
再结合等腰三角形的性质即可得证；
（）先证出
，得到
，再根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：连结
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）略
（3）解：过点O 作
于点M，则
，
∵
，
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，解得
，
，
∴
中，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的基本性质，相似和勾股定理，熟练掌握相关的知识是解决问
题的关键．
题型模版
1.特征：综合运用相似三角形的性质与判定求某条线段的长度．
2.方法：设未知线段为x；找相似三角形列比例式；解方程并检验是否符合图形约束．
变式4-1 如图，点P 是边长为1 的正方形
的边
上一动点，连接
，交对角线
于点E，作
的外接圆
，交
于点F．连接
，则
的度数为_______；若
，则
______．
【答案】
【分析】由正方形的性质可得
，再结合圆周角定理即可得出
的度数；连接
，
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由圆周角定理可得
，则
为等腰直角三角形，进而可得
，作
于点
，
延长
交
于点
，证明四边形
为矩形，得出
，证明
，得出
，
，证明
为等腰直角三角形，得出
，设
，则
，
，
，
，再证明
，求出
，再结合
，求出
，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形
为正方形，
∴
，
，
，
，
连接
，
∵
，
∴
；
连接
，
∵
为
的直径，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
作
于点
，延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
设
，则
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
（不符合题意，舍去）或
，
∴
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角
形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助
线是解此题的关键．
变式4-2 在正方形
中，点
，
分别在边
，
上，连接
，
交于点
，已知
．
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(1)如图，线段
与
垂直吗？请说明理由．
(2)如图，过点
的圆交
于点
，
交
于点
．求证：
．
(3)如图，在（）的条件下，当
，点
是线段
的中点时，求
的值．
【答案】(1)解：
，
理由如下：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是正方形对角线，平分
，即
，
∴
，
∴
，
即
平分
，
∵
，
∴由等腰三角形三线合一得：
；
(2)
证明：过点
作
于点
．
∵
,
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
(3)
【分析】（）先由正方形性质与
证直角三角形全等，推出角相等，再结合对角线平分直角得出
平分
，依托等腰三角形三线合一证明
垂直
；
（）作
，先由平行线证
，再结合圆内接四边形性质与全等三角形推导等角，证
，通过两组比例等量代换得证；
（）借用前问相似比例，结合
为
中点得线段比例，设参表示各线段，由正方形边长求出参数，再用
勾股定理求
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点
作
于点
．
由（）得
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∵
为
中点，
，
∴
，
，
设
，则
，
∴
，
∵ 正方形对角线
平分
，即
，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
解得
，
∴
，
在
中，
．
变式4-3 如图1，
内接于
，是直径
上的一点，满足
，连接
并延长交
于点
，
连接
，点
在弦
上，且
．过点
作
，交
于点
，交
于点
．设
．
(1)用含
的代数式表示
和
的大小；
(2)如图1，若
，求证：
；
(3)如图3，若
的半径为1，点
在
上，且
，求
的长．
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【答案】(1)
；
；
(2)证明：如图，连接
，
∵
为
所对的圆周角，
∴
，
∵
为直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
同理：
，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
三点共线，
∴
，
∴
，
∴
．
(3)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得
，结合圆周角定理与直角
三角形的两锐角互余可得答案．
（2）如图，连接
，表示
，证明
，可得
，
求解
，证明
，再进一步证明即可．
（3）如图，连接
，证明
，
，可得
，证明
，可得
，设
，再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
为
所对的圆周角，
∴
，
∵
，
∴
．
（2）略
（3）解：如图，连接
，
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∵
，
，
∴
，
同理：
，
∴
，
结合（1）可得：
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
同理可得：
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为直径，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
（
大于直径，舍去），
∴
的长为
．
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题型5、利用相似三角形性质与判定求面积比
典例5 （25-26 九年级下·浙江金华·期中）如图，在
中，
为对角线
上一点，线段
与线段
关于过点
的直线对称，点
的对应点
在线段
上，
，
与
相交于点
，连接
，
且
，则四边形
与
的面积之比为________．
【答案】
【分析】设直线与
、
相交于点
、
，连接
，由题意可得直线
，
、
、
三点共线，
设
，则
，
，证明
，得出
，设
，则
，
，由对称性可得，
，故
，求出
，
，证明
，
得出
的边
上的高为
，求出
，
，即可得解．
【详解】解：设直线与
、
相交于点
、
，连接
，如图：
，
∵线段
与线段
关于过点O 的直线l 对称，点A 的对应点
在线段
上，
∴直线
，
、
、
三点共线，
∵
，
∵
，
∴
，
∴设
，则
，
，
∵
，
∴
，
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∴
，
设
，则
，
∴
，
由对称性可得，
，故
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
与
的对应高之比为
，
∴
的边
上的高为
，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
与
的面积之比为
．
题型模版
1.特征：利用相似三角形面积比等于相似比的平方求面积比．
2.方法：确定相似比；利用面积比=相似比²计算；注意区分相似三角形与等积变换．
变式5-1 如图，在
中，点
为
上一点，将
沿
翻折得到
，点
的对应点
恰好落
在
的中点处，延长
交
于点
，则
与四边形
的面积比为________．
【答案】
【分析】设
，根据折叠的性质和三角形等积变化可以求出
，再利用中点模型倍
长中线模型证明
，由此可得
，进而可求
，
，再结合图
形求面积即可.
【详解】解：如图，延长
交
延长线于
，连接
、
，设
，
，
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由折叠可知：
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
又∵在
中，
，
∴
，
∴
∴
，
∴
，
∵在
中，
，
，
∴
，
，
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
,
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∴
与四边形
的面积比为
.
变式5-2 如图，在
中，
，以
为直径作
交
于点
，是
上一点，连接
交
于点
，连接
，
，
．
(1)若
，求
的长．
(2)若
，
．
①求证：
．
②记
和
的面积分别为
和
，求
的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）由圆周角定理可得
，利用直角三角形两锐角互余可得
，再利
用含30 度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答；
（2）①设
，则
，
，利用角的和差可得
，进而
得到
，即
；再利用等角对等边即可证明结论；②如图：连接
并延长交
于点
．先说明
是
的中位线可得
，
．设
，利用勾股定理列方
程可得
．证明
可得
，即
，即
；再证明
可得
，即
；最后代入
求解即可．
【详解】（1）解：∵
是
的直径，
∴
．
∵
，
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
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∴
．
（2）①证明：设
，则
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
②解：如图：连接
并延长交
于点
．
∵
，
∴
，
．
∵
是
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
．
设
，则有
，解得：
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
，即
∴
．
题型6、利用相似三角形性质与判定求三角形面积
典例6 如图，已知在
中，
，
是
上的高线，点
是
上的一点，
交
于点
．过
点
作
交
于
，连接
，若
，
的面积为，则
的面积为______．
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一可得
平分
，
， 根据平行线的性质结合角平分线
的性质等量代换即可证得
，设
，则
， 证明
，根据相似三角形
的对应边成比例可得
的长，进而可得
，
的长，过点
作
交
于点
， 利用平行线分
线段成比例定理求出
的值，最后利用面积公式求解即可．
【详解】解：
，
是
边上的高线，
的面积为，
平分
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
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，
，
，
，即
整理得
，
，
，
，
，
，
如图，过点
作
交
于点
，
是
的中点，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型模版
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1.特征：已知相似比或边长关系，求三角形的面积．
2.方法：先求相似比；利用面积比=相似比²得到目标面积；必要时用底高公式辅助计算．
变式6-1 某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为
，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片
（
）．先将纸片折出折痕
，再在边
上取点P，将
沿
折叠得
．记
与
的交点为Q，在折纸过程中，当点Q 平分线段
时，
恰好平分
，则
长度应取________
．
【答案】7
【分析】延长
交
于点
，过点
作
于点
，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的
边和角，证明
，得出相等的边，结合矩形的性质证明
，得出相似比，设
，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图所示，延长
交BC 于点E，过点P 作
于点F，
，
四边形
为矩形，
，
，
四边形
为矩形，
，
根据折叠可得，
，
，
平分
，
，
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又
，
，
，
点Q 平分线段
，
，
，
，
，
，
设
，
则
，
，
由勾股定理得
，
，
由勾股定理得
，
即
，
解得
（负值已舍），
．
变式6-2 在一次数学思维拓展课上，小绍和小台对一道几何题进行了合作探究．已知：如图，四边形
的两条对角线
，
相交于点P，且满足
．
(1)基础尝试：小绍通过观察图形，提出这两个三角形相似．请你帮小绍指出哪两个三角形相似，并写出证
明过程．
(2)拓展计算：小台在小绍证明的基础上，添加了特殊条件：若对角线
，且测得
，
，
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．
①请你求出线段
的长；
②请你求出
的面积．
【答案】(1)解：
证明：∵
，
，
∴
(2)①10；②33
【分析】（1）
，根据
，
可证明；
（2）①由
可求出
，从而可求出
的长；
② 求出
，运用三角形面积公式可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
②∵
，
，
，且
是
中
边上的高，
∴
．
变式6-3 如图，等腰三角形
中，
．以点B 为圆心，
长为半径作弧分别交
，
于点D，
E，延长
交
的延长线于点F．
(1)若
，求
的度数．
(2)求证：
．
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(3)若D 为
的中点．
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)证明：连接
，如图
有
，
设
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
(3)
【分析】（1）连接
，有
，根据三角形的内角和求出
，得
到
，推导出
，得到
，推导出
是等边三角形，得到
，即可求出
；
（2）连接
，设
，根据三角形的内角和求出
，得到∴
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，推导出
，得到
，继而推导出
，得到
，则
；
（3）先推导出
，
，得到
，证明出
，设
，
求出
，过D 作
于
，根据勾股定理，得到
， 求出
，继而求出
，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：连接
，如图
有
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
．
∴
．
（2）略
（3）解：∵
是
中点，
∴
．
∵
，
，
∴
，
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∴
，
∴
，
设
，则
，
∵
，
∴
化简，得
，
解得
（负值已舍去），
由（2）得
，即
，
过D 作
于
，如图
∴
，
∵
，
，
∴
，
解得
，
∴
，
．
题型7、利用相似三角形性质与判定求最值
典例7 如图1，
内接于
，作直径
交边
于点
，
平分
，连接
，
．
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(1)若
，求
的度数．
(2)如图2，作
于点
，交
于点
，
①求证：
．
②若
，且
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)①见解析②1
【分析】（1）由
为直径得
，求出
，由
平分
得
，
根据
可得结论；
（2）①设
，则
，证明
即可；②证明
，得
，设
，
，则
， 代入比例式得
，整理得
，求得
，根据二次函数的性质得
从而得出
的最小值为1，
即
的最小值为1．
【详解】（1）解：∵
为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
．
（2）解：①证明：设
，则
，
∵
，
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∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
②由①得，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
，则
，
∴
，
整理得
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
的最小值为1，即
的最小值为1．
题型模版
1.特征：结合相似三角形与函数思想，求线段或面积的最值．
2.方法：用相似比把目标量表示为某变量的函数；根据函数性质或几何不等式求最值；注意自变量范围．
变式7-1 如图，
中，点
、分别是
、
上的点，且
，将
、
、
的周长分别记作
、
、
，则
的最大值为______．
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【答案】
【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明
和
，将周长比转化为对应
边之比；再利用
得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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设
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
取最大值，最大值为
．
变式7-2 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，
、
是以
为直径的
上的两个动点（点
、
不与
、
重合），在运动过程中，弦
的长度始终保持不变，
是
的中点，过点
作弦
于
点
．若
，
，则
面积的最大值是__________．
【答案】16
【分析】连接
，作
于
，根据已知条件利用垂径定理可得
为
的中点，再由
为
中点，
得出
为
的中位线，从而证得
，由相似比的平方等于面积比得到
，
进而得到当
最大时，
有最大值，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得
，当点
、
、
三点共线时，
取最大值
，从而求得
的
面积最大值．
【详解】解：如图，连接
，作
于
，连接
、
、
、
，
∵
，
为圆的直径，
由垂径定理可知，
为
的中点，
∵
为
中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
，
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∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
最大时，
有最大值，
∵点
是
的中点，
过圆心，
，
∴
，
，
∴
根据两点之间线段最短及垂线段最短可得
，当点
、、三点共线时，
取最大值
，
∴
，
∴
，即
的面积最大值为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角形中位线定理,两点之间线段最
短．熟练掌握相似三角形的判定与性质解题的关键．
变式7-3 如图，在菱形
中，
，点E 为菱形
内部一点，将
绕B 点顺时针旋转
，使边
与
重合，得到
，且点M、A、E 在同一直线上．延长
交射线
于G 点，延长
交射线
于F 点．
(1)求
的度数．
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(2)若
，
，求
的长．
(3)当E 在内部运动时，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）利用旋转的性质，菱形的性质得出
，
，
，证得
，从而得出结果；
（2）连接
，利用菱形的性质得出
，从而通过邻补角的定义求得
，进而
证得
，利用相似三角形的性质即可求得结果；
（3）由旋转的性质结合邻补角的定义可得出点A，E，C，B 四点共圆，由（2）的结论证得
，
设
，
，利用勾股定理表示出相关线段的表达式，再证明
，从而
得到
，当
时，则
有最小值2．
【详解】（1）解：由题意知，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
在菱形
中，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）解：如图，连接
，
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在菱形
中，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
（3）解：由题意知，
，
∵
，
∴
，
∴点A，E，C，B 四点共圆，
由（2）可知，
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，
，
如图，过点F 作
交
于点H，
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在
中，
，
∴
，则
，
∴
，
在
中，
，
∴由
可得：
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，则
有最小值为
．
题型8、相似三角形与函数图象的综合
典例8 如图1，在菱形
中，
，点P 从点D 出发，以每秒1 个单位的速度沿
向终点B
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运动，同时点Q 从点B 出发，沿折线
向终点D 匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x 秒，
为y．如图2，y 关于x 的函数图象经过最低点
．下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．点
在该函数图象上
【答案】B
【分析】连接
，交
于点O，过点Q 作
于点H，结合菱形的性质得
，
，
，进一步判定
，有
，根据题意可知点Q 以每秒2 个单位的速度沿
折线
向终点D匀速运动，图2 的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，
，
则
，则
和
，结合图2 可知点
，此时点P 与点B 重合，点Q 与点D 重
合，进而分：点Q 在线段
运动时，解得
、
和
，利用勾股定理求得
为
，即可得到点E的信息；当点Q在线段
运动时，同理可得
，
，
，
和
，则
，利用勾股定理求得
，代入点即可．
【详解】解：连接
，交
于点O，过点Q 作
于点H，如图，
∵菱形
中，
，
∴
，
，
，
，
∴
为等边三角形．
则
，
∵
，
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∴
，
则点Q 以每秒2 个单位的速度沿折线
向终点D 匀速运动，
由图2 的对称性可知，当点Q 运动至点C、点P 运动至点O 时，
，则
，
那么，
，
，由图2 可知点
，此时点P 与点B 重合，点Q 与点D 重合，
当点Q 在线段
运动时，
∴
，
，
，
∴
，解得
，
，
则
，
那么，
为
，
当
时即为图2 的点E，
，
当
时，
，
当点Q 在线段
运动时，
同理可得
，
，
，
∴
，
，
则
，
那么，
为
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，
当
时，
，
故选∶B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题
的关键是应用动态的思想找到菱形的边长．
题型模版
1.特征：相似三角形与函数图象（一次、反比例、二次函数）结合的综合问题．
2.方法：从函数图象中提取坐标与数量关系；用相似比建立方程；注意坐标与线段长度的转化．
变式8-1 如图，点
为
的重心，当动点
从点
出发沿
的边逆时针运动一周，设点
的运动
路程为，
为
，
关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】C
【分析】根据图可知，当
时，
，当
时，点
运动到点
；当
时，此时
，
利用勾股定理求出
、
，取
的中点
，连接
，过点
作
于点
，证明
，
进而得到
，
，利用勾股定理求出
，最后再利用
进行判断即
可．
【详解】解：由图可知：当
时，
，即
，
或
（舍去），
当
时，
达到最大值
，且为第一段图象的终点，说明点
运动到点
，
，此时
，
当
时，即
，
取得最小值，此时
，
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在
中，由勾股定理得：
，
，故
选项错误；
，
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
，故
选项错误；
取
的中点
，连接
，
∵点
为
的重心，
∴点
在中线
上，且
，
，
，
，
过点
作
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，由勾股定理得：
，故
选项正确；
∵
，
，
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∴
，故
选项错误．
变式8-2 如图1，点
是以
为直径的半圆上的一个动点，过点
作
于点
，
是
的中点，
连结
，
．设
，
的面积为
，
的面积为
．函数
，
关于的图象如图2 所示，
其中点
为两个图象的交点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．点
一定落在
函数图像上
C．点
的坐标是
D．当
时，
【答案】C
【分析】根据题意得出
，此时点D 在圆心位置，利用面积确定
，即可判断A；得出圆的半
径为2，直径为4，然后当
时，结合图形求出相应面积即可判断选项B；根据题意得出
，利
用面积相等得出
，然后再求面积即可判断C 选项；利用相似三角形的性质即可判断D 选项．
【详解】解：根据题意得：当
时，
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
由题意得：
，
∴
，
∴此时点D 在圆心位置，
∴
，
∴
，
解得
（负值舍去），故A 正确，不符合题意；
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∴圆的半径为2，直径为4，
当
时，即
，
设圆心为O，连接
，如图所示：
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
一定落在
函数图像上，选项B 正确，不符合题意；
∵
，
∴
，
∵点
为两个图象的交点，
∴此时
，即
，
整理得
，
解得：
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∴点
的坐标是
，故选项C 错误，符合题意；
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，故选项D 正确，不符合题意．
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变式8-3 （25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，在
中，
，
，
，点
D 在
上，
，点E，F 分别在边
上（不与端点重合），且
设
，
的面积为
，关于的函数图象如图所示，最高点为
，且经过
和
两
点．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
的面积的最大值为0.96
D．点
在该函数图象上
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定与性质等知
识点，难度大，解题的关键是正确求出函数解析式．
过点
分别作
，
，垂足为
，可得四边形
是矩形，
，求出
，然后证明
，则得到
，再由
勾股定理求解表示出
，然后建立二次函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：过点
分别作
，
，垂足为
，
∵
，即
，
∴
，四边形
是矩形，
∴
，
∵
∴
，
，
∵
，
，
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∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
∴
，
∴
，
∴
∵
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
，
∴顶点为
，即
，故A、C 错误；
当
时，
，
∴点
不在该函数图象上，故D 错误；
当
时，则
，
解得
或
，结合函数图象可得
，故B 正确，
故选：B．
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题型9、相似三角形分类讨论问题
典例9 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）综合与实践
【问题背景】
在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①，
绕点A 逆时针旋转
度
（
）得到
（点B，C 的对应点分别为点
，
），连接
，
．同学们发现：
．
【类比探究】
（1）芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知
，
可以看成是
绕点A 逆时针旋转
度（
），再进行相似变化得到的，连接
，
．
①
和
是否仍然相似？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由．
②若
，
，
，求
的值．
【拓展应用】
（2）如图③，四边形
为正方形，
在正方形内部（不包括边上），
，
，
，连接
，求
的值．
【答案】
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（1）①①
，理由如下：
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
②
；（2）
．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质．
（1）①由
，推出
，
，得到
，利用相似三角形的
判定定理即可求解；
②利用勾股定理求得
，再利用相似三角形的性质求解即可；
（2）连接
，求得
，
，可证明
，据此求解即可．
【详解】（1）解：①略；
②∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）连接
，
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
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，
∵
，
∴
，
∴
，即
．
题型模版
1.特征：由于对应关系不确定或图形形状不唯一，需要进行分类讨论．
2.方法：明确分类标准（对应顶点不同、点在线段或延长线上、图形开口方向等）；逐类画图、判定相似并
求解；最后汇总答案．
变式9-1 （25-26 九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线
与轴、
轴分别交于点
和
点
，经过
、
两点的抛物线
与轴的另一个交点为
，顶点为
．
(1)求该抛物线的解析式与点
的坐标；
(2)当
时，在抛物线上求一点
，使
的面积有最大值；
(3)连接
，点
在轴上，是否存在使以
、
、
为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出所有
符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）
【答案】(1)
，
(2)
(3)
或
【分析】（1）将点
，
代入
，求出b，c，即可得到抛物线解析式，配方解析式即
可得到顶点；
（2）在抛物线上取点E，连接
，
，过E 作x 轴的垂线，交
于点F，设出点E，F 的坐标，列出函
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数，根据函数的性质即可得到答案；
（3）根据B，C ，P 三点坐标即可得到
，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两
类边对应成比例列式解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：将点
，
代入
得，
，解得：
，
∴
，
∴
，
∴顶点P 的坐标为
；
（2）解：在抛物线上取点E，连接
，
，过E 作x 轴的垂线，交
于点F，
设点
，则点
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
的面积有最大值，
此时，点E 的坐标为
；
（3）解：存在，理由如下，
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连接
，设
，
当
时，
，
解得
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
∴
，
，
同理
，
，
①当
时，
，如图，
∴
，
解得
，所以点N 的坐标为
，
②当
时，
，如图，
∴
，
解得
，所以点N 的坐标为
，
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综上所述，点N 的坐标为
或
．
【点睛】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的
性质，解题的关键是根据条件列函数或方程．
变式9-2 （24-25 九年级上·上海普陀·期中）在
中，
垂足为
．且
点
是边
上一动点(点
不与点A、点C 重合)，连接
，过点
作
交线段
于点
．
(1)如图①，求证：
．
(2)如图②，若
，求
的面积．
(3)若
交线段
于点
，连接
，且
与
相似，请直接写出
的长．
【答案】(1)
证明：
，
，
，
，
，
，
，
(2)
(3)
或
【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论思想的应用．
（1）证明
，对应边成比例即可解决问题；
（2）设
交
于
，由
；
，可得
，设
，则
，可得
，即可解得
，
，求出
，
；由三角
形面积公式即可解决问题；
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（3）
与
相似，只需
或
，分两种情况讨论：①当
时，②当
时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】（1）略
（2）解：设
交
于
，如图：
由（1）知
，
，
，
设
，则
，
在
中，
，
，
解得
，
，
，
的面积为
；
（3）解：
，
与
相似，只需
或
，
①当
时，此时如图：
，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
由（1）知：
，
解得：
负值舍去
②当
时，如图：
，
，
，
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，
，
，
，
，
是
的垂直平分线，
，
综上所述，
的长为
或．
变式9-3 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，A、B 两点的坐标分别是
，点P 由点
B 出发沿
方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3 个单位长度，点Q 由A 出发沿
（O 为坐标原点）
方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2 个单位长度，连接
，若设运动时间为
秒．解答
如下问题：
(1)当
时，求点P 的坐标；
(2)当
与点A、Q、P 三点构成的三角形相似时，求点Q 的坐标；
(3)设
的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．
【答案】(1)
(2)
或
(3)所以
，S 取得最大值5
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理等等，熟知相似三角形的性质
与判定条件是解题的关键，
（1）根据题意可得
时，P 在
中点处即可求解；
（2）分
和
两种情况进行讨论，结合相似的性质即可求解；
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（3）过
作
，利用解直角三角形，得到
，根据面积公式结合二次函数的最值即可求解．
【详解】（1）由题知
，
时，
，
所以此时P 在
中点处，
又A、B 两点的坐标分别是
，
所以点P 的坐标为
；
（2）设时间后，
与点A、Q、P 三点构成的三角形相似，
则
，
，
当
时，
，即
，
解得
，此时
，
所以点Q 的坐标为
；
当
时，
，即
，
解得
，此时
，
所以点Q 的坐标为
；
综上，当点Q 的坐标为
或
．
（3）过
作
，
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由（2）知
，
，
，
所以
，
，
即当
时，S 取的最大值5，
所以
，S 取得最大值5．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在菱形
中，
，
，E 是
延长线上一点，
交
于点F，连接
并延长交
于点G，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】延长
，
交于点M，连接
，过点D 作
于点H，过点B 作
于点N，
、
交于点O，证明
，
，得出
，
，证明
，
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得出
，证明
，说明B、C、G、D 四点共圆，求出
外接圆的直径为2，即
可得出答案．
【详解】解：延长
，
交于点M，连接
，过点D 作
于点H，过点B 作
于点N，
、
交于点O，如图所示：
∵四边形
为菱形，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
，
∴B、C、G、D 四点共圆，
∵
为等边三角形，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
外接圆的直径为2，
∴B、C、G、D 四点所在圆的直径为2，
∴
的最大值为2，
∵E 是
延长线上一点，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
．
2．（25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，有一张矩形纸片
，已知
，
，现
将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕
进行折叠，使点
落在
边上的点
处，点
在
上（如图
2）；然后将纸片沿折痕
进行第二次折叠，使点
落在第一次的折痕
上的点
处，点
在
上（如
图3），给出四个结论：
①
的长为10；②
的周长为18；③
；④
的长为5，正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
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【分析】过
点作
，交
、
于点
、
，可知四边形
为正方形，可求得
的长，
可判断①，且
和
为等腰三角形，设
，则可表示出
、
、
，利用折叠的性质可
得到
，在
中，利用勾股定理可求得，再利用
，可求得
、
和
，
则可求得
，即可判断②③④，可得出答案．
【详解】解：如图，过点
作
，分别交
、
于点
、
，
四边形
为矩形，
，
，
由折叠可得
，且
，
四边形
为正方形，
，故①正确；
，
和
为等腰直角三角形，且
，
设
，则
，
，
，
又由折叠的可知
，
在
中，由勾股定理可得
，
即
，解得
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，即
，
，
，故④正确；
，
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又
和
为等腰直角三角形，且
，
，
，
，
的周长
，
，
故②③不正确；正确；
综上可知正确的为①④，共2 个．
3．如图1，在
中，
，
．
是
上一点，
的中垂线交
的边于点
，
．记
，四边形
面积为
，利用数学软件画出
关于的函数图象如图2 所示，其中一个最高点
坐
标为
，一个最低点
坐标为
，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．点
在该函数图象上
【答案】C
【分析】由图象最低点
可知当
为
中点时面积最小，据此求出
的边长及的值；由图象最高点
为分段点，分析可知此时点
与点
重合，据此求出
和的值；当
时，
，点
在
上，
点
在
上， 作
于
， 再求出
，然后说明
，求出
，最后求出
，验证即可．
【详解】解：
当
为
中点时，
，此时
最短 ，
的中垂线
，
，
∴
且
与
互相平分，
∴四边形
为平行四边形，
∴四边形
为正方形，面积最小，
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对应图象最低点
，
解得
．
为等腰直角三角形，
为
中点，
，
，
，故B 错；
由图象可知
为分段点，此时点
从
边运动到
边，即
与
重合，
垂直平分
，
在
上，
，
，故A 错误；
此时
在
上，
与
重合，四边形
即四边形
，
，
，
，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，故C 正确；
当
时，
，点
在
上，点
在
上，
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过
作
于
，则
，
，
则
，
根据题意可知
，则
，
根据勾股定理，得
，
即
，
解得
．
∵
，
∴
，
根据勾股定理，得
，即
，
解得
．
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
解得
，
∴
，
所以点
不在该函数图象上．
则D 不正确．
4．（25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形
中（顶点A，B，C，D 按逆时针方向排
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列），
，
，
，
，P 是边
上的一动点，点C 绕点P 按逆时针方向旋转
得
点
，则
______．若点
落在射线
上时，则
______．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论
等知识，先根据勾股定理求出
，过
作
交
延长线于点
，先证
，得
，设
则
，再证
，得
，即可解决问题．
【详解】解：在平行四边形
，
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴在
中，由勾股定理得：
，
如图，过
作
交
延长线于点
，
则
，
∴
，
∵
，
∴
，
由旋转的性质得：
，
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∴
，
∴
，
设
则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
解得：
，
∴
，
即
的长为
；
故答案为：3，
．
5．如图，正方形
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线
交边
于点
，且
．在
的延长线上取点
，使
，分别以
，
为边在
的
外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为
，
，则
_____．若
，则
的
长为_____．
【答案】
【分析】设小正方形
的边长为，可证得四边形
是矩形，得
，
，证明
，可得
，可得
，
，可推出
，再利用
，可
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求得
，再运用勾股定理即可求得
．
【详解】解：如图，设小正方形
的边长为，
根据题意得，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．如图，在
中，点
在
上，点
关于直线
的对称点
落在
内，延长
交
于点
，
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交射线
于点
，延长
交
于点
．当
时，设
，
，则
_________
（用含
的代数式表示）．
【答案】
【分析】延长
交于点
，设
，
，证明
得出
，证明
得出
，证明
得出
，进而求得
．
【详解】解：如图，延长
交于点
，
设
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵折叠，
∴
∵
，即
∴
∴
即
∴
∵四边形
是平行四边形，
∴
又∵折叠，
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∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
7．数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片
沿
折叠，点
的对称点为点
，
与
相交于点
．
(1)如图，求证：
(2)如图，连接
并延长，交
的延长线于点
．
①猜想四边形
的形状，并说明理由．
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②当
时，求
的值．
【答案】(1)证明：由折叠得
，
∵矩形
中，
，
∴
，
，
．
(2)①四边形
为平行四边形；理由如下：
根据折叠可得：
，
∵矩形
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
，
，
，
∵矩形
中，
，
∴四边形
为平行四边形．
②
【分析】（1）由折叠得
，由
得
，再根据等腰三角形的判定即可得出
答案；
（2）①先根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，证明
，从而证明
，再根据
，即可证明四边形
为平行四边形；
②过点
作
交
于点
，交
的延长线于点
，证明四边形
为矩形，得出
，
，证明
，得出
，设
，
，
则
，
．根据勾股定理得出
，求出
（负值已舍去），从而求出
，
即可得出答案．
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【详解】（1）略
（2）①略
②根据折叠可得：点
与点
关于直线
轴对称，
，
，
，
∴
，
∵在矩形
中，
，
又
，
，
∴
，
过点
作
交
于点
，交
的延长线于点
，如图所示：
∵在矩形
中，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
，
，
不妨设
，
，则
，
．
根据折叠可得，
，
在
中，根据勾股定理得：
，
，
（负值已舍去），
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
．
8．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）如图1，将矩形
绕点
顺时针旋转得到矩形
，点
、
、
的对应点分别为
、
、
，延长
交
于点
，连结
．
(1)求证：
平分
；
(2)如图2，
，
，当
在
的延长线上时，求
的值；
(3)如图3，连结
，
，当点
落在
上时，
、
、
共线，求
的值．
【答案】(1)证明：由旋转性质知
，
，
，
在
和
中，
，
，
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，
即
平分
；
(2)
(3)
【分析】（1）证明
即可解答；
（2）由旋转性质可得
，
，根据等腰三角形三线合一性质可得
，设
，则
，
，在
中，根据勾股定理可列方程
，解方程即可；
（3）先证明
为
的中位线，设
，则
，
，进而得到
，
，
，设
，
，分别在
、
、
中，
利用勾股定理得到关于、、
的方程，计算可得
，
，从而求出
的
值．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接
、
，
在矩形
中，
，
，
，
由旋转性质得
，
，
当
在
的延长线上时，
，
根据等腰三角形三线合一性质可得
，
，
由旋转性质知
，
，
，
在
和
中，
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，
，
，
设
，则
，
，
在
中，
，
即
，
解得
，
即
的值为
；
（3）连接
交
于点
，连接
交
于点
，延长
交
于点
，连接
交
于点
，连
接
，
，
，
为等腰
底边
上的高，
点
为
的中点，
，
又
在矩形
中，
，
，
，
，
，
，
，
为
的中位线，
，
设
，则
，
，
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，
由（1）知，
垂直平分
，
则
，
，
设
，
，
在
中，
，
在
中，
，
则
，
在
中，
，
联立①②可得
，
，
即
，
，
所以
．
9．如图，是
的半径
上一点，点
关于点
的对称点为
，过点
作
交
的一侧于点
，
射线
交
于另一点
，
交射线
于点
．
(1)求证：
．
(2)判断
与
的数量关系，并说明理由．
(3)若
，当
为何值时，
有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)证明：∵点
关于点
的对称点为
，
∴
，且
三点共线，即
四点共线，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
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∴
，即
；
(2)解：
，理由如下：
如图所示，连接
，
∵
，
∴
，
由（1）得
，则
，
∴
，
设
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
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∴
，
∴
；
(3)当
时，
有最大值，最大值为
【分析】
（1）由对称性可得
，证明
，即可证明
，即
；
（2）连接
，可证明
，证明
，得到
，则可证明
，据此可得
，进一步可证明
，则可证明
，得到
，即可证明
；
（3）设
，则
，由（2）可知
；延长
交
于点T，连接
，则
，
；证明
，得到
，则
，则可推出
，据此可得答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：设
，则
，
由（2）得
，
∴
；
如图所示，延长
交
于点T，连接
，则
为
的直径，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
有最大值，最大值为
，
∴当
时，
有最大值，最大值为
．
10．如图1，四边形
内接于
，
是
的直径，连接
交
于点
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)如图2，过点
作
交
于点
，若
，
，求
的长．
【答案】(1)证明：设
，则
，
是
的直径，
，
，
，
，
；
(2)证明：连接
，如图所示：
，
，
且
，
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，
，
，
，
，
，
即
；
(3)8
【分析】
（1）设
，则
，求出
，
，
从而得出
，根据等角对等边，即可得出答案；
（2）连接
，证明
，得出
，即可得出答案；
（3）过点
作
，交
于点
，连接
，设
，则
，根据
，
得出
，从而得出
，根据平行线分线段成比例定理得出
，从而得出
，得出关于a 的方程
，解方程即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点
作
，交
于点
，连接
，如图所示：
设
，则
，
，
，
，
由（2）得，
，
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，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
得
，
化简得，
解得
，
（舍去）
即
．
11．如图，已知
内接于
，
，
，连结
并延长交
于点
．点
是线段
上异于端点的动点，过点
作
分别交
，边
，边
于点
，
，
，且点
在
左侧．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)设
，当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到
，
．根据等边对等角得到
，则
，根据等角的补角相等即可得到结论；
（2）连结
，
，
，证明
，则
，由
即可得到结论；
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（3）证明
，得到
，又由
，
，得到
，设
，根据二次函数的性质进行解
答即可．
【详解】（1）证明：
，
，
．
又
，
，
，
；
（2）证明：连结
，
，
，
∵
，
，
∵
，
．
又由（1）知
，
，
，即
，
∵
，
；
（3）解：∵在
中，
，
，
而
过点
，
，
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∵
∴
，
，
，
又
，
，
，
．
又
，
，
．
设
，
又
，
∴当
时，
．
当
时，
，
即
，
∴当
时，
．
12．如图，在菱形
中，
是锐角，
是
边上的动点，将射线
绕点
按逆时针方向旋转，
交直线
于点
．
(1)如图，当
，
时，
①求证：
；
②连接
，
，若
，求
的值．
(2)如图，当
时，延长
交射线
于点
，延长
交射线
于点
，连接
，
．若
，
且
是等腰三角形，求
的长．
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【答案】(1)①∵四边形
是菱形，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
．
②
(2)
的长度为或或
【分析】（1）①由条件证明
，即证明结论；
②设
与
，
分别交于点
和点
，证明
垂直平分
，可得
，则
，可
得
，则可得
，即可得结论；
（2）先证明
，分
时，
时，
时，三种情况即可求解．
【详解】（1）解：①证明：略．
②如图，设
与
，
分别交于点
和点
，
由①可知，
，
∴
，
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∴
，即
，
由①可知，
，
∴
垂直平分
，
∵四边形
是菱形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
∵四边形
是菱形，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
（2）解：∵四边形
是菱形，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
①如图，当
时，
，
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∴
，
∴
，
∴
，即
平分
，
过点
作
于点
，作
于点
，
∴
，
∴
，
过点
作
于点
，
∵
，
∴
，即
，
解得
，即
；
②如图，当
时，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
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，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，即
；
③如图，当
时，
，
同理可得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，
，
∵
，
∴
，即
，
解得
，即
；
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综上所述，
的长度为或或
．
13．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，
固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片
和
中，
，
，
．
(1)如图1，连接
，
，在纸片
绕点
旋转过程中，试探究
的值．
(2)如图2，在纸片
绕点
旋转过程中，当点
恰好落在
的中线
上时，求
的长．
(3)在纸片
绕点
旋转过程中，连接
，
，试探究当
与
一个内角相等时，求
的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
，
，
【分析】（1）由旋转知
，求得
，根据
，证明
，利
用相似比求解即可；
（2）借助旋转所得的全等三角形证明
，借助辅助线的垂直性质证得
，进而
借助相似比求解；
（3）将
固定
绕点
旋转问题转化为，将
固定，
绕点
旋转，分别讨论
于
的三个内角相等时的情况，借助相似三角形研究．
【详解】（1）解：在
中，
，
，
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，
由题意知，
，
，
即
，
，
又
，
，
．
（2）如图所示，连接
，过点
作
，
由题意知，
，
，
即
，
，
又
，
，
，
又
为
的中线，
，
，
，
，
即
，
又
，
四边形
为矩形，
，
，
，
由
可得，
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，
，
．
（3）在纸片
绕点
旋转过程中研究
，相当于将
固定，
绕点
旋转．
①如图所示，当
时，
过点
作
，
，
，
，
又
，
，
，
又
，
，
为矩形，
，
故
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
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②当
时，
过点
作
于
，过点
作
于
，过点
作
于
，
，
，
，
，
，
由于
，
，
，
四边形
为矩形，
设
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
解得
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
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由于
，
，
．
③当
时，
过点
作
于
，过点
作
于
，过点
作
于
，
，
，
，
，
，
由于
，
，
，
四边形
为矩形，
设
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
解得
，
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在
中，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．如图（1），已知正方形
，矩形
，其中，B 在边
上，D 在边
上，正方形
的边
长为2．设矩形
的边
，
（a，b 均为小于等于2 的正数）．将矩形的两个角翻折，
使G 落在边
上点N 处，E 落在边
上点M 处，
为折痕，连接
．
(1)若M，N 分别为
的中点，求
的长．
(2)若
，求矩形
的面积．
(3)如图（2），连接
，若
恰好经过点C，求证：
．
【答案】(1)
(2)8
(3)见解析
【分析】（1）由中点的定义可得
，再利用勾股定理求解即可；
（2）由翻折的性质可得
是正方形，即
、
，进而得到
，
利用勾股定理可得
，再结合
可得
，进而得到
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，整理得
，再根据矩形的面积公式求解即可；
（3）由（2）求解过程可知：
，
，
，
，
是正方形，易证
可得
，即
，整理得：
；再证明
，
易证四边形
是平行四边形可得
；再证明
可得
，进而
证明结论．
【详解】（1）解：∵M，N 分别为
的中点，
∴
，
∴
．
（2）解：∵将矩形的两个角翻折，使G 落在边
上点N 处，E 落在边
上点M 处，
∴
是正方形，
∴
，
，
∵矩形
的边
，
（a，b 均为小于等于2 的正数）．
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，整理得：
，
∴矩形
的面积
．
（3）解：由（2）求解过程可知：
，
，
，
，
是正方形，
∴
，
，
，
∵矩形
，
∴
，
∴
，
∴
，同理可得：
，
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∴
，
同理可得：
，
∴
，
∴
，即
，整理得：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
．
15．如图，在矩形
中，
，
，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度，沿射线
方向运动，动点Q 从点C 出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿线段
方向运动．点P 和点Q 同时出发，
当点Q 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒（
）．
(1)用含t 的代数式表示线段
的长；
(2)当
与矩形的对角线平行时，求t 的值；
(3)若点M 为
的中点，求以M、P、C 为顶点的三角形与
相似时t 的值；
(4)直接写出点B 关于直线
的对称点
落在
边上时t 的值．
【答案】(1)当
时，
，当
时，
；
(2) 的值为
或
；
小学
初中
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(3) 的值为
或
或
；
(4)点
关于直线
的对称点
落在
边上时的值为
或
．
【分析】（1）由题意得
，
，则当
时，
，当
时，
；
（2）分两种情况讨论，一是当
时，
，则
，所以
，求得
，
二是当
时，
，则
，可证明
，则
，求得
；
（3）由点
为
的中点，求得
，再分四种情况讨论，一是当
，
且
时，则
，二是当
，
且
时，则
，三是当
，
且
时，则
，四是当
，
且
时，则解方程求出相应的符合题意
的值即可；
（4）当点
落在
上时，由勾股定理求得
，则
，于是得
(
，求得
．
【详解】（1）解：由题意得
，
，
，
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
当点
与点
重合时，则
，
解得：
，
当点
与点
重合时，则
，
∵当点
到达点
时，两点同时停止运动，
当
时，
，
当
时，
；
（2）解：当
时，如图1，
，则
，
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，
，
解得：
，
当
时，如图2，
则
，
，
，
，
解得：
，
综上所述，的值为
或
．
（3）解：∵点
为
的中点，
，
，
，
当
，
且
时，如图3，
125 / 127
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则
，
解得：
，
当
，
，且
时，如图4，
则
，
，
解得：
，
当
，
，且
时，如图5，
则
解得：
，
当
，
且
时，如图6，
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，
，
解得：
不符合题意，舍去，
综上所述，的值为
或
或
．
（4）解：当点
落在
上时，如图7，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
当点
落在
上时，如图8，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
综上，点
关于直线
的对称点
落在
边上时的值为
或
．
【点睛】此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解
答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想．
