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专题15 正多边形与圆、扇形
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、正多边形与圆中的长度与角度
题型二、弧长与扇形面积
题型三、圆锥的侧面积
题型四、圆的折叠（翻折）问题
题型五、求不规则的图形面积
题型六、圆的轨迹路径问题
题型七、圆锥展开侧面最短问题
题型八、尺规作图—正多边形与圆
题型九、无刻度尺作图
题型十、新定义问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
知识模块
核心知识点
常见易错点
正多边形与圆的相关概念
1. 正多边形的中心：正多边形外
接圆的圆心；
2. 正多边形的半径：外接圆的半
径；
3. 中心角：正多边形每一条边所
对的外接圆圆心角，度数为三百
六十度除以边数；
4. 边心距：中心到正多边形一条
边的距离
混淆正多边形的外接圆半径与边
心距；计算中心角时，误将一百
八十度除以边数作为结果
正多边形的边长、周长、面积计
算
1. 边长：边长的一半等于半径乘
中心角度数一半的正弦值；
2. 周长等于边数乘边长；
3. 面积等于二分之一乘周长乘边
心距
记错面积公式，误用边长代替周
长计算；不会拆分正多边形为等
腰三角形计算，三角函数取值错
误
弧长计算
圆心角度数为n 的弧长等于圆心
角度数乘圆周率乘所在圆半径除
以一百八十
计算时混淆圆心角的度数单位；
求扇形周长时，忘记加上两条半
径的长度，只计算弧长
目 录
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扇形面积计算
1. 圆心角度数为n 的扇形面积等
于圆心角度数乘圆周率乘所在圆
半径的平方除以三百六十；
2. 扇形面积等于二分之一乘扇形
弧长乘所在圆半径
混淆弧长公式与扇形面积公式的
分母；使用第二个面积公式时，
遗漏乘以二分之一
圆锥与扇形的关联计算
圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧
长等于圆锥底面圆的周长，扇形
半径等于圆锥的母线长；圆锥侧
面积等于圆周率乘底面半径乘母
线长，全面积等于侧面积加底面
积
混淆圆锥的母线长与底面半径，
错将底面半径当作展开扇形的半
径计算；求全面积时遗漏加上底
面积
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、正多边形与圆中的长度与角度
典例1 如图五边形
是
的内接正五边形，点M、N 分别从点B、C 开始以相同的速度在
上逆
时针运动，
与
交于点P．则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．没有确定值
变式1-1 如图，正六边形
的中心为
，
为
的中点，
为
的中点，连接
，若正六边
形的边长为4，则
的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
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变式1-2 如图，
是
的内接正多边形的一条边，连接
，
，
，则这个正多边形的边
数为________．
变式1-3 如图，在正五边形
中，过点
的
分别与边
相切于点
为
上一点，则
__________ ．
类型二、弧长与扇形面积
典例2 如图，等边三角形
内接于
．若
的半径为，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1 如图，在扇形
中，
，半径
，将扇形
沿过点B 的直线折叠，点O 恰好
落在弧
上的点D 处，折痕交
于点C，则阴影部分的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式2-2 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折
扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如
图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条
，
夹角为
，
的长为
，
的长为
，则
的
长为______________
．
变式2-3 如图，在矩形
中，以B 为圆心，
为半径画弧交
于点C，连接
，
，
的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号）
题型三、圆锥的侧面积
典例3 某圆锥底面直径为
，母线长为
，则该圆锥侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1 如图，从半径为
的圆形纸片剪去
圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重
叠），则这个圆锥的高是（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式3-2 用半径为
，圆心角为
的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的
情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________．
变式3-3 用一个圆心角为
，半径为
的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______
．
题型四、圆的折叠（翻折）问题
典例4 如图，在
中，直径
是圆上一点，将弧BC 沿BC 折叠，折叠后的弧恰好经过点
，则图
中阴影部分的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1 如图，
是
的直径，将劣弧
沿弦
折叠，折叠后的弧恰好与
相切于
的中点
，
若
，则
的半径为（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式4-2 如图，在
中，直径
，C 是圆上一点，将弧
沿
折叠，折叠后的弧恰好经过点O，
则图中阴影部分的面积为_______．
变式4-3 将半径为5 的
如图折叠，折痕
长为6，C 为折叠后
的中点，则
长为______．
题型五、求不规则的图形面积
典例5 我国很多古建筑，如图1 所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆
的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式5-1 如图所示，
中，
，
，在以
的中点
为坐标原点、
所在直
线为
轴建立的平面直角坐标系中，将
绕点
顺时针旋转得
，点
旋转至
轴正半轴上的
处，则图中阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2 如图，在平行四边形
中，
，
，
，以点A 为圆心，
的长为半径画
弧交
于点E，连接
，则阴影部分的面积是______．
变式5-3 如图，在
中，
，
，
，D 为
的中点，连接
．以点D 为圆心，
长为半径作弧
，若
于点E，
于点F，则图中阴影部分的面积为________．
题型六、圆的轨迹路径问题
典例6 如图，已知
的对角线
，将
绕其对称中心O 旋转
，则点D 所转过的路径
长为（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式6-1 如图，在
中，
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，则点
转过的路径
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2 如图，
中，
，将
绕点O 顺时针旋转
，得到
，若点A 的坐
标为
，则点A 经过的路径长为_________．
变式6-3 如图，
是半径为1 的
的一条弦，
．将
绕点A 逆时针旋转，当点O 的对应
点
第一次落在
上时，点B 运动的路径长是______．（结果保留
）
题型七、圆锥展开侧面最短问题
典例7 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A 是底面圆周上一点，从点A 拉一根绳子绕圆
锥侧面一圈再回到A 点，则这根绳子的最短长度是（ ）
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A．
B．
C．
D．
变式7-1 如图所示，已知圆锥的母线长
，底面圆的半径为
，一只小虫从圆锥底面的点A 处绕
圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2 如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为
、面积为
的扇形，一只蚂蚁从圆锥的
底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________．
变式7-3 已知：某中学将举办一次活动，需要若干生日帽：
(1)已知每个生日帽，底面半径为
，母线长为
，求生日帽侧面展开图的圆心角；
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(2)在（1）的条件下，现从生日帽底面圆周上一点B 出发，沿生日帽侧面拉一圈装饰彩带再回到点B，直接
猜测彩带的最短长度是多少？
(3)本次活动还需要一些
板，某广告公司利用长为
、宽为
的
板裁切甲、乙两种广告牌，
已知甲广告牌尺寸为
，乙广告牌尺寸为
．
①求1 块
板的所有无浪费裁切方案；
②需要甲、乙两种广告牌各500 块，该公司仓库已有300 块甲广告牌和420 块乙广告牌，为了不造成材料
的浪费，利用（1）中方案进行裁切，问：还需要购买多少块
板（购买的板恰好全部用完）？
题型八、尺规作图—正多边形与圆
典例8 作图与证明：如图，已知
和
上的一点A，请完成下列任务：
(1)作
的内接正六边形
；
(2)连接
，
．判断四边形
的形状并加以证明．
变式8-1 阅读与思考
尺规作图
一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千
图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图
案．
正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套
了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个
正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形吗？
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初步分析：从整体特征与元素特征两个角
度回顾正八边形的性质．
（1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性．
（2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于
．
深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接
，
，
，
，发现
的结论如下：
（1）
，
，
，
分别是正方形
各边的中点；
（2）
是顶角为
，底角为
的等腰三角形；
（3）
中，
；
（4）___________________________．
动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图
（1）如图4，作边
，
的垂直平分线，分别交
，
，
，
于点
，
，
，
；
（2）分别作
和
的角平分线，交于点
；利用旋转
对称性作出点
，
，
；
（3）顺次连接这八个点．
∴八边形
为正方形
的内嵌正八边形．
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任务：
(1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________．
(2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接
，
，交于点
．线段
是否与线段
相等，请说明理由．
(3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形
中作出其内嵌正八边形（不写作图步
骤，保留作图痕迹）．
变式8-2 下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
正多边形的嵌套
我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1 所示的建筑图案就是一个正
方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每
条边上有两个正八边形的顶点．
已知：如图2，正方形
．
求作：正八边形
，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点．
【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下：
①正八边形的每个内角为 °；
②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点
．连接
，
，
，
，可得
°，
°．
【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案：
①连接
，
相交于点
；
②作
的角平分线交
于点
；
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【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，
设正八边形的边长为
，则正方形的边长为 ，
，
，于是得到了新的作图方
案．
任务：
(1)补全材料：
①正八边形的每个内角为 °；
②
= °，
= °；
③设正八边形的边长为
，则正方形的边长为 ，
，
；（用含
的代数式表示）
(2)在图2 正方形的
边上作出正八边形的边
．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
变式8-3 作图并填空：
(1)在下图中，利用尺规作图，作出已知
的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必
须用黑色字迹的签字笔描黑）
(2)若已知
的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______．
题型九、无刻度尺作图
典例9 仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无
刻度的直尺作图的题目：
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(1)如图①，在
内，作任意两条直径
、
，顺次连接
、
、
、
，则画出了
的一个内接矩
形，请说明理由；
(2)如图②，
是
的直径，
是弦，且
，画出
的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作
法）
变式9-1 如图，已知
是正八边形
的一条对角线，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．．．完成以下作图．
(1)如图1，在正八边形
内部以
为斜边作等腰直角三角形．
(2)如图2，在正八边形
内部以
为边作正方形
．
变式9-2 如图，在网格纸中，点O，A 都是格点，以点O 为圆心，
为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完
成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．
(1)在图1 中画一个
的内接正方形
；
(2)在图2 中画一个
的内接正八边形
．
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变式9-3 如图所示，已知点
为正六边形
的边
的中点，连接
，仅用无刻度的直尺画图，保
留画图痕迹．
(1)在图1 中画出边
的中点
；
(2)在图2 中将
绕点
顺时针旋转
．
题型十、新定义问题
典例10 阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研
究．
研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相
邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正
方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形
是等边半正六边形，那么
，
，
，且
．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
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任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____．
(2)如图3，六边形
是等边半正六边形．连接对角线
，猜想
与
的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知
是正三角形，
是它的外接圆．请在图4 中作一个等边半正六边形
（要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
变式10-1 如图1，在
中，
，锐角
所对的直角边
与
相邻的直角边
的比值称
为
的坡度，记为“
”，即
，同样地，
．对于锐角
的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与它对应．
请回答以下问题：
(1)
______
的函数（填“是”或“不是”）
(2)在
中，
，
，则
______；
(3)在
中，
，
，则
______；
(4)在
中，
，
，则
______；
(5)如图2，在
中，
，
是
的中点，过
点作
的垂线交
于点
，
，
，则
______；
(6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为
，点
，
，
在同一直线上，点
，
分别为两个
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正六边形的中心，则
______；
变式10-2 在平面直角坐标
中，对于点
和
，给出如下定义：若存在
与
的各边都有两个
公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为
，则称点
是
的“
相关点”．
(1)如图，
是以
为中心，边长为3 的等边三角形，点
在
轴上，在点
，
，
中，
点______是
的“
相关点”，其中
的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）；
(2)已知点
，
，若点
是
的“
相关点”，则
的半径的取值范围是______；
(3)已知
中，点
，
，
，
，边长为8 的菱形
的对角线交点为
，
点
在
轴正半轴上，
．是菱形
上一点，且存在
使得点
是
的“
相关点”，
，直接写出的取值范围．
变式10-3 设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，平面内任意一点P 到等边三角形中心的距离
为d，若满足
，则称点P 叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系
中，等边
的
三个顶点的坐标分别为
．
(1)①等边
中心的坐标为_____________；
②已知点
．在D，E，F 中，是等边
的中心关联点的是_____________；
(2)如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M，使
．
①若线段
上存在等边
的中心关联点
，求m 的取值范围；
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②将直线
向下平移得到直线
，当b 满足什么条件时，直线
上总存在等边
的中
心关联点；
(3)如图2，点Q 为直线
上一动点，
的半径为
，当Q 从点
出发，以每秒1 个单位的速度
向右移动，运动时间为t 秒．是否存在某一时刻t，使得
上所有点都是等边
的中心关联点？如果
存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，一个正多边形中心点
为正多边形的中心，
，若
，则这个正多边形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ）
A．
B．
C．
D．
3．定义：如图，在平面直角坐标系
中，原点
是正方形
的中心，且
轴，正八边形
的顶点均在正方形
的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点
的坐标为
，将点
绕
点
顺时针旋转，每次转
，则旋转2027 次后，点
的坐标为（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．如图，点A，B，C，D 顺次分布在半径为2 的
上，其中
是
的直径，点C 是弧
的中点，顺
次连接
，
，
，若
，则弧
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，圆锥的母线长
，
为母线
的中点，
为圆锥底面圆的直径，两条母线
、
形成的平面夹角
．在圆锥的曲面上，从点
到点
的最短路径长是（ ）
．
A．
B．
C．
D．
6．若圆锥底面圆的直径和母线长均为
，则它的侧面展开图的面积等于______
．
7．如图，将半径为
的圆形纸板，沿着边长分别为
和
的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位
置，圆心所经过的路线长度是______
（
）．
8．如图，
和
是两个不完全重合的直角三角板，
，斜边长为
，三角板
绕
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直角顶点
顺时针旋转，当点
落在
边上时，
旋转所构成的扇形的弧长为_____
．
9．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正
上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中
是由
绕着点
按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转
角的度数为________ ．
10．如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形
的顶点恰好是正八边形的四个顶
点，它们依次落在正方形
的对角线上，对角线
与
相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，
J，K 分别是正方形
各边的中点，连接
分别交
和
于点E，F，则
的值为______．
11．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而
不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转
弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路
口都设置右转“危险区”标线．图2 是货车在路口右转“危险区”的示意图，后内轮转弯半径
米，前内轮转弯半径
米，
．
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(1)图2 中
、
，弧
围成的扇形面积为_______平方米；（结果保留
）
(2)用a 的代数式表示“危险区”的面积，并求出当
时，“危险区”的面积（结果保留
）；
(3)小明站在线段
的延长线上，且与
的距离为
米的地方，若
、
之间的距离为3 米，请判断小
明是否有危险，并说明理由．（
取
）
12．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径
、
分别为
、
，
．
(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留
）
13．综合与实践
【项目主题】制作圆锥．
【项目准备】直径为
的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶．
【项目实施】
步骤1：确定圆形卡纸的圆心
；
步骤2：如图2，把直径为
的圆形卡纸剪出一个扇形
（图3），
；
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步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处．
【项目探索】
(1)用无刻度的直尺和圆规在图1 中找出圆心
的位置（不写作法，保留痕迹）．
(2)求剪下的扇形
的面积．
(3)求圆锥的高
．
14．【项目主题】估计
的值
【项目实施】
步骤一：画一个边长为2 的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距
离，正六边形对边距离为
，即内切圆半径为
）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p 的值．
步骤二：随机撒1000 粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率
（记为q）．
落在正六边形内的芝
麻粒数/粒
落在内切圆内的芝麻
粒数/粒
频率q
1000
900
步骤三：利用p 与q 的关系，估计
的值．
（1）①
_____；
_____；
②当
取1.7 时，
_____（结果保留整数）；
【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议．
（2）建议：_____．
15．如图，由小正方形构成的
网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网
格中按要求作图（保留作图痕迹）．
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(1)在图1 中过
点作
的切线
；
(2)在图1 中画出一个圆内接正方形
；
(3)在图2 中的圆上画出线段
的中点
；
(4)在图3 中作一个
的圆周角．
