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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【考纲要求】
1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的
侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能
力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多
边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的
外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
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(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于
相似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
要点诠释：
（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是 ；
所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或
半径、边心距）平方的比.
考点二、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为 的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面
积为 .
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
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(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点
类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
【典型例题】
类型一、正多边形有关计算
1．如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A．B．C．D分别是四个角上的圆的圆
心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需
要（接缝面积不计）（ ）
A．26πrh B．24rh+πrh C．12rh+2πrh D．24rh+2πrh
【思路点拨】
截面的周长等于12个圆的直径和1个半径为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．
【答案】D；
【解析】
解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，∴其周长为4×6r=24r，∴截面的周长为：24r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故选D．
【总结升华】
本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面.
举一反三：
【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．
【答案】 .
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解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形OOO 的高OC＝ ，
1 2 3 1
所以AB＝AO+OC+BC＝ ．
1 1
【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习4】
【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.
【答案】
【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习2】
【变式3】正n边形的内切圆与外接圆的面积之比是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
类型二、正多边形与圆有关面积的计算
2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别
表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )．
A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定
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(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影
部分的面积是________．
(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB扫过
的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)
【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需
要运用变换的观点来解决问题．
【答案与解析】
解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：
；
(2)(转化法“凑整”)利用 ，则阴影部分的面积可转化为△ACD的面积，等于△ABC
面积的一半，答案为 ；
(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到A′B′M′位置，则
．
【总结升华】
求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造
方程法．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的
面积是( )
A． B． C． D．
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【答案】
解：如图，由AB，AC为直径可得AD⊥BC，则BD＝DC＝6．
在Rt△ABD中， ，
∴ ．
答案选D.
3．如图所示，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连AC，
求阴影部分的面积．
【思路点拨】
图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB、OC，由BC∥OA，根据同底等高的三角形面积
相等，于是所求阴影可化为扇形OBC去求解．
【答案与解析】
解：如图所示，连OB、OC
∵ BC∥OA．
∴ △OBC和△ABC同底等高，
∴ S△ABC＝S△OBC，
∴
∵ AB为⊙O的切线，
∴ OB⊥AB．
∵ OA＝4，OB＝2，
∴ ∠AOB＝60°．
∵ BC∥OA，
∴ ∠AOB＝∠OBC＝60°．
∵ OB＝OC，
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∴ △OBC为正三角形．
∴ ∠COB＝60°，
∴ ．
【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形
变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．
举一反三：
【变式】如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于
________．
【答案】
解：连接OC、OD、CD．
∵ C、D为半圆的三等分点，
∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝ ．
又∵ OC＝OD，
∴ ∠OCD＝∠ODC＝60°，∴ DC∥AB，
∴ ，
∴ ．
4．如图所示，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的 上，
若OA＝1，∠1＝∠2，则扇形OEF的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【思路点拨】根据弧长公式面积公式，看已知什么条件，还缺什么条件，如何求出所缺条件．
【答案与解析】
解：连接OB，由四边形OABC为菱形，可得OC＝CB＝OB，
∴ △OBC为等边三角形，
∴ ∠BOC＝60°，
同理∠AOB＝60°，又∠1＝∠2，
∴ ∠1+∠BOE＝∠2+∠BOE＝∠AOB＝60°
∴ ∠EOF＝120°，
∴ 扇形OEF中n＝120，R＝1．
∴ ．
答案：C
【总结升华】求弧长的有关计算中，常作出该弧所对的圆心角．
5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（ ）对应
的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.
【思路点拨】
看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠
合而成，这是解决这类题的关键．
【答案与解析】
阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB和一个Rt△BOC组成，
其中扇形AOB的中心角是 ，AO的长为4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，
∴ 可求得BC长和OC长，从而可求得面积，
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阴影部分面积＝扇形AOB面积+△BOC面积＝ ．
【总结升华】
本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面
积的、规则的图形”组合而成.
举一反三：
【变式】如图，矩形ABCD中，AB＝1， ．以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面
积为________．
【答案】 .
解析：连接AE，易证AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，
所以 ．
6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交
AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求线段PC的长；
（2）求阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，
同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比
值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长；
（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC
的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD
度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜
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边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形
COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，用扇
形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．
【答案与解析】
解：（1）连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∵AB=8，∴OC= AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°= ，即PC= =4 ；
（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，
∴∠COE= ∠AOC=60°，又半径OC=4，
∴S = ，
扇形OCE
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，∴OD= OC=2，
根据勾股定理得：CD= ，
∴S = DC•OD= ×2 ×2=2 ，
△OCD
则S =S -S = ．
阴影 扇形OCE △OCD
【总结升华】
此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，
以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用
直角三角形的性质来解决问题．
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