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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的
圆心角是（ ）度．
A.60 B.90 C.120 D.150
2．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为 ，
，则圆锥的底面积是（ ）平方米．
A.9π B.16π C. 25π D.36π
3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径
的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ）
A．6πm2 B．5πm2 C．4πm2 D．3πcm2
4．如图所示，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点 ，则图中阴影部分的面积
是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
5．如图所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下的扇形围成一个
圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （ ）
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A． B． C． D．
6．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是( )
A．0，1，2，3 B．0，1，2，4 C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，3，4，5
二、填空题
7．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．
8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．
9．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深
为__________米．
10．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余
弦值是________．
11．如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．在母线OF上的点A处
有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短
距离为________cm．
12．如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的
面积与⊙P的面积比是________．
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三、解答题
13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、
EO，若DE＝ ，∠DPA＝45°．
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
14. 如图AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
15．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 的中点，连结BD并延长交EC的延
长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．
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(1)求证：P是△ACQ的外心；
(2)若 ，CF＝8，求CQ的长；
(3)求证：(FP+PQ)2＝FP·FG．
16. 如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足
为F，CG⊥AD，垂足为G．
(1)求证：△ACF≌△ACG；
(2)若AF＝ ，求图中阴影部分的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
【解析】圆锥的底面周长为 ，所以它的侧面展开图的圆心角
是 ．
2.【答案】D；
【解析】因为 ，AO＝8，所以BO＝6，所以圆锥的底面积是 ．
3.【答案】A；
【解析】五个扇形的半径都为2cm，设其圆心角分别为 ， ， ， ， ，
则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑， 边形形
内角和＝(5-2)×180°＝540°，
∴ ．
4.【答案】A；
【解析】如果分别求S 和S 得阴影面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得S ＝S ，
Ⅰ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
∴ ．
5.【答案】B；
【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形ABC中BC的弧长，该弧长即为围成的圆锥的底面
圆的周长，再根据周长即可以求出半径．
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∵ 直径为2，∠BAC＝60°
∴ AC＝ ，
∴ BC的弧长为 ，设底面圆的半径为r，则由 解得 ．
6.【答案】C；
【解析】∵ 32+42＝52，∴ 这个三角形是直角三角形，且其内切圆半径 ．
则这个三角形的边与半径为1的圆的公共点个数有如下情况：
共有0，1，2，3，4五种情况．
二、填空题
7．【答案】3；
【解析】设圆锥的母线长为R，侧面展开图半圆弧长为l，圆锥底面积半径为r，
则有： ．
∴ R2＝36，R＝6．又 ．
∴ ，∴ 2πr＝6π，r＝3．
8．【答案】 ；
【解析】设⊙O与BC切于D点，连接OD，OC．
在Rt△ODC中， ．∠OCD＝30°．
∴ ．
∴ ，则 ．
9．【答案】0.4；
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【解析】如图，过O作OC⊥AB于C，并延长并 于D．
在Rt△OBC中， ， ．
∴ ．
∴ CD＝OD-OC＝1-0.6＝0.4(米)．
10．【答案】 ；
【解析】如图，因为2πR＝12π，所以R＝6．
由勾股定理，得 ．
所以 ．
11．【答案】 ；
【解析】底圆周长为2πr＝10π，
设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为n°，
有 ，即 ，
∴ n＝180°，如图所示，FA＝2，OA＝8，
在Rt△OEA中由勾股定理可得EA即为所求最短距离．
∴ ．
12．【答案】 ；
【解析】连接OC，PE，PF，则四边形OEPF是正方形．
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设PE＝r，则OP＝ ，OC＝ ．
∴ ．
∴ : : ．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）∵ 直径AB⊥DE，
∴ ．
∵ DE平分半径OA，
∴ ．
在Rt△OCE中，
∵ ∠CEO＝30°．
∴ OE＝2．
即⊙O的半径为2．
（2）连OF，在Rt△DCP中，
∵ ∠DPC＝45°．∠D＝90°-45°＝45°
∴ ∠EOF＝2∠D＝90°．
∵ ．
∴ ．
14.【答案与解析】
解：(1)直线CD与⊙O相切．
如图，连接OD．
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∵ OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴ ∠ODA＝45°．∴ ∠AOD＝90°．
∵ CD∥AB，∴ ∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD．
又∵ 点D在⊙O上，∴ 直线CD与⊙O相切．
(2)∵ BC∥AD，CD∥AB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ CD＝AB＝2．
∴ ．
∴ 图中阴影部分的面积等于
．
15.【答案与解析】
(1)证明：∵ C是 的中点，
∴ ．
∴ ∠CAD＝∠ABC．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB＝90°．
∴ ∠CAD+∠AQC＝90°．
又 CE⊥AB，
∴ ∠ABC+∠PCQ＝90°．
∴ ∠AQC＝∠PCQ．
∴ 在△PCQ中，有PC＝PQ．
∵ CE⊥直径AB，
∴ ．
∴ ．
∴ ∠CAD＝∠ACE．
∴ 在△APC中，有PA＝PC．
∴ PA＝PC＝PQ．
∴ P是△ACQ的外心．
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(2)解：∵ CE⊥直径AB于F，
∴ 在Rt△BCF中，
由 ，CF＝8，
得 ．
∴ 由勾股定理，得 ．
∵ AB是⊙O直径，
∴ 在Rt△ACB中，由 ， ，
得 ．
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ AC2＝CQ·BC．
∴ ．
(3)证明：∵ AB是⊙O直径，∴ ∠ACB＝90°．
∴ ∠DAB+∠ABD＝90°．
又CF⊥AB，∴ ∠ABG+∠G＝90°．
∴ ∠DAB＝∠G．
∴ Rt△AFP∽Rt△GFB．
∴ ，即AF·BF＝FP·FG．
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴ FC2＝AF·BF(或由射影定理得)
∴ FC2＝FP·FG．
由(1)，知PC＝PQ，∴ FP+PQ＝FP+PC＝FC．
∴ (FP+PQ)2＝FP·FG．
16.【答案与解析】
(1)证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC＝∠B＝60°．
∵ AC⊥CD，CG⊥AD，
∴ ∠ACG＝∠ADC＝60°．
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由于∠ODC＝60°，OC＝OD，
∴ △OCD为正三角形，得∠DCO＝60°．
由 ，得∠ECD＝30°，
∴ ∠ECG＝30°+30°＝60°．
进而∠ACF＝180°-2×60°＝60°，
∴ △ACF≌△ACG．
(2)解：在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，AF＝ ，得CF＝4．
在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，得 ．
在Rt△CEO中， ．
于是 ．
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