文档内容
让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（提高）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【考纲要求】
1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的
侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能
力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多
边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的
外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于
相似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
要点诠释：
（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是 ；
所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或
半径、边心距）平方的比.
考点二、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为 的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面
积为 .
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为 ，高为 的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .
弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S =S -S ；
弓形 扇形 △OAB
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S =S +S .
弓形 扇形 △OAB
A B
O
O ·
· · O
A B A m B
m
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点
类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
【典型例题】
类型一、正多边形有关计算
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧
AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（ ）
A.4 B.9 C.11 D.5
2 2
【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长
加上半径即为AD的长．
【答案】D；
【解析】
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
解：∵AB=4，∠B=90°，
∴ 904 ，
AE 2
180
∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，
∴⊙O的周长为2π，
∴⊙O的半径为1，
∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.
故选D．
【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式.
举一反三：
【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习7】
【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边
形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
【答案】
解：连结OA、OB、OC，
设OA′交AB于K，OE′交CD于H，
∵∠AOK=∠AOC-∠KOC
=120°-∠KOC，
∠COH=120°-∠KOC，
∴∠AOK=∠COH，
又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，
∴△AOK≌△COH，
由△AOK≌△COH，
得S =S =2S ，
五边形OKBCH 四边形ABCO △OBC
∴S =S -S
阴影 正六边形ABCDEF 五边形OKBCH′
=6S -2S =4S .
△OBC △OBC △OBC
S ：S = .
五边形OKBCH 阴影
即重叠部分面积与阴影部分面积之比为： .
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习8】
【变式2】 已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为 .
【答案】
证明：作∠OAB的平分线AM交OB于M，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，
∴OM=MA=AB，则△ABM∽△OAB得：
用R，a 分别表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a 2+ Ra -R2=0,
10 10 10
解关于a 的一元二次方程得 （负值已舍去）.
10
类型二、正多边形与圆综合运用
2．如图所示，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．
【思路点拨】
图中阴影部分是一个不规则图形，可利用C、D是半圆的三等分点，得到 ，从而
有∠CDA＝∠DAB，进而CD∥AB，故有△ACD与△OCD的面积相等，将阴影部分的面积转化为
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
扇形OCD的面积．
【答案与解析】
解：连接OC、OD、CD．
∵ ，∴ ∠CDA＝∠DAB．
∴ CD∥AB，∴ ．
∴ ．
又∵ ∠COD＝ ∠AOB＝60°，
∴ ．
【总结升华】
本题容易误认为阴影部分是扇形，对扇形的定义、图形理解不准确，此阴影部分为不规则图形，应利
用等积转化法转化为规则图形——扇形．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于
F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】
连接AD，则AD⊥BC，阴影部分面积 ．故 ．
答案：B
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
3．有一个两直角边分别为15cm和20cm的直角三角形，若绕一边旋转一周，可得到几种几何体？你
能分别求出其全面积吗？
【思路点拨】可将直角三角形绕边长为15cm的直角边旋转一周，所得几何体是底面半径为20cm，锥高为
15cm的圆锥体；绕边长为20cm的直角边旋转一周，可得底面半径为15cm，锥高为20cm的圆锥体；绕斜边
旋转一周，可得两个圆锥的组合体，按这三种情况分别计算全面积即可．
【答案与解析】
解：三种．
由图①可知，以AC＝15cm为轴旋转一周，
则其全面积 ．
由图②可知，以BC＝20为轴旋转一周，
则其全面积 ．
如图③所示，以AB为轴旋转一周，得一个圆锥组合体，其全面积S是上下两个锥体的侧面积之和．
作CD⊥AB于D，则 ，
∴ ，即底面半径为12cm．
∴ S＝π×12×20+π×12×15＝240π+180π＝420π(cm2)．
【总结升华】
利用面积公式计算时，要仔细分析题意，找准已知量和未知量，特别注意全面考虑问题，分情况逐一
计算，防止漏解．
4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P
处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
路程是多少？
【思路点拨】
小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B、P之间的线段长度.
【答案与解析】
解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，展开后圆心角度数为n°，则底面圆的周长为2πr，侧面展开
图的弧长为 ，∴ ．
∵ 轴截面△ABC为等边三角形，
∴ AB＝BC，即 ．
∴ r＝3．
∴ ．
∴ n＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP为直角三角形，BP为最短路线．
在Rt△ABP中， ．
答：小猫所经过的最短路程为 ．
【总结升华】
将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧
长沟通空间元素与平面元素之间的关系．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O，⊙O．
1 2
(1)求⊙O 的半径；
1
(2)求图中阴影部分的面积．
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
【思路点拨】连接OE，求出一个小弓形的面积再乘以4即可.
1
【答案与解析】
解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，
∴ ．
∴ ⊙O 的半径为 ，
1
即⊙O 的半径为 ．
1
(2)连接OE，
1
∵ BD为正方形ABCD的对角线，∴ ∠ABO＝45°．
∵ OE＝OB，∴ ∠BEO＝∠EBO＝45°．
1 1 1 2
∴ ∠BOE＝90°．
1
∴ ．
根据图形的对称性得 S＝S＝S＝S，
1 2 3 4
∴ ．
【总结升华】
求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和.
举一反三：
【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直．在
没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求O点移动的距离．
【答案】
解：观察图形可知O点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧 的弧长．
∵ ，
∴ ．
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
答：O点移动的距离为10π cm．
6．如图，已知在⊙O中， ，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．
【思路点拨】
（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形
求出OB的长，即可利用扇形面积 求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求
出 的长l，利用 可求出半径r的长．
【答案与解析】
解：(1)过O作OE⊥AB于E，则 ．
在Rt△AEO中，∠BAC＝30°， ．
∴ ．
又∵ OA＝OB，
∴ ∠ABO＝30°．
∴ ∠BOC＝60°．
∵ AC⊥BD，
∴ ．
∴ ∠COD＝∠BOC＝60°．
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共11页让更多的孩子得到更好的教育
∴ ∠BOD＝120°．
∴ ．
(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴ ．
∴ ．
【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共11页
