专题13圆与正多边形（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题13 圆与正多边形
5 年真题1 年模拟
考点01
垂径定理、圆心角与圆周角定理
1．D
2．͸
ι/͸
 度
3．C
4．3
5．

ߨ
͸ /


͸ ߨ
6．【答案】(1)证明：∵ٖ
ܣ与ݔ轴相切于点ܤ，
∴ܣܤ٣ ݔ轴．
∵ܣܪ٣ ܥܱܪǡܦ٣ܱ
ܤ，
∴סܣܪܱ
㠮סܪܱܤ㠮סܱܤܣ㠮耀晦ι，
∴四边形ܣܪܱܤ是矩形．
（2）如图，连接ܣܥ．
׶四边形ܣܪܱܤ是矩形，
׵ ܣܪ㠮ܱ
ܤ㠮
͹．
在Rt ᇞܣܪܥ中，ܥܪʹ 㠮ܣܥʹ െܣܪʹ，
׵ ܥܪ㠮
Ͷʹ െሺ͹ሻʹ 㠮͵．
׶点ܣ为圆心，ܣܪ٣ ܥܦ，
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׵ ܥܦ㠮ʹܥܪ㠮͸．
7．B
8．B
考点02
弧长与扇形的面积
1．B
2．ͳ
晦晦π
3．Ͷπ
4．B
5．π
6．B
7．C
8．【详解】（1）略
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ܥܦ∥ܣܤ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S 阴影=S 弓形COD+S△DOC=S 弓形COD+S△DBC=S 扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S 扇形COD=݊
ߨݎʹ
͵͸晦㠮
͸晦ൈߨൈʹʹ
͵͸晦
㠮
ʹ
͵ ߨ．
∴S 阴影=
ʹ
͵ ߨ．
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考点03
圆的切线的判定与性质
1．【答案】(1)
证明：由题意得ܱܦ㠮ܱ
ܤ㠮ܱܤ，
∴סܱܤܦ㠮סܤ，
∵ܣܤ㠮ܣܥ，
∴סܥ㠮סܤ，
∴סܱܤܦ㠮סܥ，
∴ܱܦ∥ܣܥ，
∵以点O 为圆心，ܱܤ长为半径的半圆与ܣܥ相切于点E，
∴ܱܤ٣ ܣܥ，
∴סܤܱܦ㠮סܣܱܤ㠮耀晦ι，
∴ܱܦ٣ܱܤ；
（2）解：∵ܣܤ㠮ܤܥ，ܣܤ㠮ܣܥ，
∴ܣܤ㠮ܣܥ㠮ܤܥ，
∴ᇞܣܤܥ是等边三角形，
∴סܣ㠮͸晦ι，
∵ܱܤ٣ ܣܥ，ܱܦ㠮ܱ
ܤ㠮ܱܤ㠮
͵，
∴ܣܤ㠮ܱ
ܤ
tanܣ㠮
͵
͵ 㠮ͳ，ܣܱ
㠮ܱ
ܤ
sinܣ㠮
͵
͵
ʹ
㠮ʹ，
∴ܣܥ㠮ܣܤ㠮ܣܱ
൅ܱ
ܤ㠮ʹ ൅
͵，
∴ܥܤ㠮ܣܥെܣܤ㠮ʹ ൅
͵ െͳ 㠮ͳ ൅
͵，
∴四边形ܱܤܥܦ的面积为：
ͳ
ʹܱܥܤ൅ܦൈܱܤ㠮
ͳ
ʹ ͳ ൅
͵ ൅
͵ ൈ
͵ 㠮͵ ൅
͵
ʹ ．
2．Ͷ晦ι/40 度
3．ʹ ͵晦或͸
4．10
5．【答案】(1)
证明：如图，连接ܱܦ，
∵ܤܦ是ٖܱ
的切线，点D 为切点，
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∴סܱܤܦ㠮耀晦ι，
∵סܣܥܤ㠮耀晦ι，ܱܥ㠮ܱܦ，ܱܤ㠮ܱ
ܤ，
∴Rt ᇞܱܤܦ،Rt ᇞܱ
ܥܤHL ，
∴ܤܥ㠮ܤܦ；
（2）解：①∵ܱܤ㠮ܱ
ܣ，
∴סܱܤܦ㠮סܣ，
∵ܴݐᇞܱܤܦ،ܴݐᇞܱ
ܥܤ，
∴סܱܤܦ㠮סܱܤܥ，
∴סܱܤܦ㠮סܱܤܥ㠮סܣ，
又∵סܱܤ൅ܦסܱܤܥ൅סܣ㠮耀晦ι，
∴סܱܤܦ㠮סܱܤܥ㠮סܣ㠮͵晦ι，
在Rt ᇞܱܣܦ中，sinסܣ㠮ܱ
ܦܱ
ܣ，
∴ܱܦ㠮
ͳ
ʹܱ
ܣ，
∵ܱܦ㠮ܱܤ，
∴ܱܤ㠮
ͳ
ʹܱ
ܣ，
∴ܱܤ㠮ܣܤ㠮ʹ，
∴半圆O 的半径为2；
②在Rt ᇞܱܣܦ中，ܱܦ㠮ʹ，ܱܣ㠮Ͷ，
∴ܣܦ㠮ܱ
ܣʹ െܱܦʹ 㠮ʹ ͵，
∴ܵᇞܱܣܦ㠮
ͳ
ʹܱܦڄ ܣܦ㠮
ͳ
ʹ ൈʹ ൈʹ ͵ 㠮ʹ ͵，
∵סܣ㠮͵晦ι，
∴סܣܱܦ㠮͸晦ι，
∴ܵ阴影㠮ܵ
ᇞܱܣܦെܵ
扇形ܱܤܦ㠮ʹ ͵ െ
͸晦ߨൈʹʹ
͵͸晦
㠮ʹ ͵ െ
ʹߨ
͵ ．
6．【答案】(1)
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证明：如图，连结ܱܦ，
∵半圆O 与ܣܤ相切于点D，
∴ܱܦ٣ ܣܤ．
∵סܣܥܤ㠮耀晦ι，
∴סܱܤܦ㠮סܱܥܤ㠮耀晦ι.
∵ܱܦ㠮ܱ
ܥ，ܱܤ㠮ܱ
ܤ，
∴Rt ᇞܱܤܦ،Rt ᇞܱ
ܥܤHL ．
∴ܤܦ㠮ܤܥ．
（2）如图，∵סܣ㠮͵晦ι，סܣܥܤ㠮耀晦ι，
∴סܣܤܥ㠮͸晦ι.
∵Rt ᇞܱܤܦ،Rt ᇞܱ
ܥܤ，
∴סܥܤܱ
㠮סܱܤܦ㠮
ͳ
ʹ סܣܤܥ㠮͵晦ι.
∵ܱܥ㠮ͳ，
在Rt ᇞܤܥܱ
中，tan͵晦ι 㠮
ܥܱ
ܤܥ，
∴ܤܥ㠮ܱ
ܥ
tan͵晦ι 㠮
͵.
在Rt ᇞܣܤܥ中，sin͵晦ι 㠮
ܤܥ
ܣܤ，
∴ܣܤ㠮
ܤܥ
sin͵晦ι 㠮ʹ ͵．
7．
ʹ

͵ /ͺ
ͳ
͵
8．
͵
ʹ或
͸


9．
60°/60 度
Ͷ ͸
10．ʹ
ι/25 度
11．【答案】(1)
证明：∵ܣܤ是ٖܱ
的直径，
∴סܣܤܦ㠮耀晦ι，
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∴ܣܦ٣ ܤܥ，
∵ܣܤ㠮ܣܥ，
∴ܤܦ㠮ܥܦ．
（2）∵ٖܱ
与ܣܥ相切，
∴סܤܣܥ㠮耀晦ι，
又∵ܣܤ㠮ܣܥ，
∴סܤ㠮Ͷ
ι．
（3）如下图，点ܤ就是所要作的ܣܦႣ的中点．
12．
【详解】（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴ܣܦႣ㠮݊
ߨݎ
ͳͺ晦，
㠮Ͷ晦ൈߨൈ͸
ͳͺ晦
㠮
Ͷߨ
͵ ．
（2）证明：׶ܱ
ܣ㠮ܱܦ，
׵ סܱܣܦ㠮סܱܣܦ，
׶ ܣܤ切ٖܱ
于点ܣ，
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׵ܱ
ܣ٣ ܣܤ，
׶ סܤ㠮耀晦ι，
׵ܱ
ܣ䁥䁥ܤܥ，
׵ סܱܣܦ㠮סܣܤܦ，
׵ סܣܤܦ㠮סܱܣܦ，
׵ ܣܦ平分סܤܦܱ．
考点04 圆内接图形与正多边形
1．C
2．ʹ ͳͶ
3．2
4．D
5．
5
͸Ͷ
ʹ

͸
6．135
7．【答案】(1)解：∵正五边形ܣܤܥܤܦ．
∴ܣܤ
෼
㠮ܤܥ
෼
㠮ܥܦ
෼
㠮ܤܦ
෼
㠮ܣܤ
෼
，
∴סܣܱܤ㠮סܤܱܥ㠮סܥܱܦ㠮סܤܱܦ㠮סܣܱܤ㠮
͵͸晦ι


㠮͹ʹι，
∵ܣܥܤ
෼
㠮͵ܣܤ
෼
，
∴סܣܱܥ(优弧所对圆心角)㠮͵ ൈ͹ʹι 㠮ʹͳ͸ι，
∴סܣܤܥ㠮
ͳ
ʹ סܣܱܥ㠮
ͳ
ʹ ൈʹͳ͸ι 㠮ͳ晦ͺι；
(2)是正三角形，
理由如下：
连接ܱܰ
ǡǡܰ，
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由作图知：ǡܰ
㠮ǡܱ,
∵ܱܰ
㠮ܱ
ǡ，
∴ܱܰ
㠮ܱ
ǡ 㠮ǡܰ，
∴ᇞܱ
ǡܰ
是正三角形，
∴סܱǡܰ
㠮͸晦ι，
∴סܣᦙܰ
㠮סܱǡܰ
㠮͸晦ι，
同理סܣܰᦙ㠮͸晦ι，
∴סᦙܣܰ
㠮͸晦ι，即סܣᦙܰ
㠮סܣܰᦙ㠮סᦙܣܰ，
∴ᇞܣᦙܰ
是正三角形；
（3）∵ᇞܣᦙܰ
是正三角形，
∴סܣܱܰ
㠮ʹסܣᦙܰ
㠮ͳʹ晦ι．
∵ܣܦ
෼
㠮ʹܣܤ
෼
，
∴סܣܱܦ㠮ʹ ൈ͹ʹι 㠮ͳͶͶι，
∵ܦܰ
෼
㠮ܣܦ
෼
െܣܰ
෼
，
∴סܱܰܦ㠮ͳͶͶι െͳʹ晦ι 㠮ʹͶι，
∴݊
㠮
͵͸晦
ʹͶ 㠮ͳ
．
1．C
2．A
3．A
4．A
5．C
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6．B
7．C
8．͸ߨെ
耀͵
ʹ
9．Ͷ㘱
π
10．
ʹ͵
͵ ߨ/
ʹ͵ߨ
͵
11．ͳ͸晦晦ߨ
12．
͵
ʹ π
13．
ͳ͸൅ʹ ͳ͵
͵
14．(1)解：如图所示：ٖܱ
即为所求；
(2)
解：连接ܣܱ，
∵ܣܤ㠮ܣܥ，סܤܣܥ㠮ͳʹ晦ι，
∴סܤ㠮סܥ㠮͵晦ι，
∵ܱܣ㠮ܱ
ܤ，
∴סͳ 㠮סܤ㠮͵晦ι，
∴סʹ 㠮耀晦ι，
即ܱ
ܣ٣ ܣܥ，
∵ܣܱ
为ٖܱ
半径，
∴ܣܥ是ٖܱ
的切线．
15．【答案】(1)
证明：连接ܣܲ，ܤܳ，作直线ܲܳ
，连接ܤܲ，
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由作图步骤可知，ܣܲ
㠮ܤܳ，
׵ ܣܲ
෼
㠮ܤܳ
෼
，
׵ סܣܤܲ
㠮סܳܲ
ܤ，
׵ܲܳ
∥ܣܤ；
(2)小周说得对，理由如下：
׶ ܣܲ
㠮ܤܳ，
׵ ܣܲ
෼
㠮ܤܳ
෼
，
若ܱܲ
٣݈，则סܣܱܲ
㠮סܤܱܳ
㠮耀晦ι，即点ܲ
，ܳ
重合，
׵无法作出直线使其与ܣܤ平行，即点ܳ
不是所求作的点．
16．【详解】（1）解：点ܳ
与点ܣ间的劣弧（或半圆）长分别记为ݕʹ，
根据图2 可知，当ݐ㠮ʹ㘱
 秒时，ݕʹ 㠮ʹ 厘米，
∴ݒ㠮ʹ ൊʹ㘱
 െͳ 㠮
Ͷ
͵厘米/秒；
（2）解：当ݐ㠮ʹ 秒时，ݕͳ 㠮ʹ 厘米，当ݐ㠮Ͷ 秒时，ݕͳ 㠮晦厘米，
∴设ݕͳ 㠮݇
ݐ൅്ܾ݇
晦ǡʹ ൑ݐ൑Ͷ ，
∴ʹ݇൅ܾ
㠮ʹ
Ͷ݇൅ܾ
㠮晦，
解得，݇
㠮െͳܾ
㠮Ͷ ，
∴ݕͳ 㠮െݐ൅Ͷ ʹ ൑ݐ൑Ͷ ，
当ݐ㠮


ʹ秒时，ݕͳ 㠮െ


ʹ ൅Ͷ 㠮
͵
ʹ；
（3）解：设ݕʹ 㠮݉
ݐ൅്݊݉
晦ǡͳ ൑ݐ൑ʹ㘱
 ，
由图2 可知，当ݐ㠮ͳ 秒时，ݕʹ 㠮晦厘米，当ݐ㠮ʹ㘱
 秒时，ݕʹ 㠮ʹ 厘米，
∴݉
൅݊
㠮晦
ʹ㘱
݉
൅݊
㠮ʹ ，
解得，݉
㠮
Ͷ
͵݊
㠮െ
Ͷ
͵
，
∴ݕʹ 㠮
Ͷ
͵ ݐെ
Ͷ
͵ ͳ ൑ݐ൑ʹ㘱
 ，
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∴当ʹ ൑ݐ൑ʹ㘱
 时，联立方程组得
ݕ㠮െݐ൅Ͷ
ݕ㠮
Ͷ
͵ ݐെ
Ͷ
͵
，
解得，
ݐ㠮
ͳ͸
͹
ݕ㠮
ͳʹ
͹
，
∴ܥ
ͳ͸
͹ ǡ
ͳʹ
͹ ，
当ݐ㠮
ͳ͸
͹ 秒时，点ܲ
从点A 顺时针旋转到点B 下方，路程为
ͳ͸
͹ ൈͳ 㠮
ͳ͸
͹ （厘米），此时点P 距点A 的
距离为Ͷ െ
ͳ͸
͹ 㠮
ͳʹ
͹ （厘米），
点ܳ
从点A 顺时针旋转到直径ܣܤ上方，路程为
ͳʹ
͹ 厘米，
∴此时点ܲ
，点ܳ
间的劣弧长为
ͳ͸
͹ െ
ͳʹ
͹ 㠮
Ͷ
͹（厘米）．
17．【答案】(1)证明：∵ܤܦႣ，ܥܦႣ分别是两个等圆ٖܱ
ͳ和ٖܱ
ʹ的弧，且ܤܦႣ㠮ܥܦႣ，
∴ܤܦ㠮ܤܦ，
又∵ܣܤ㠮ܣܥ，ܣܦ㠮ܣܦ，
∴ᇞܤܣܦ، ᇞܥܣܦSSS ；
（2）解：如图，连接ܱ
ͳǡܦܱ
ͳܤ，设ܣܱ
ͳǡܤܦ交于点ܤ，
∵ܤܦႣ㠮ܥܦႣ㠮͸晦ι，
∴סܤܱ
ͳܦ㠮͸晦ι，
∵ܱ
ͳܤ㠮ܱ
ͳܦ，
∴ᇞܱ
ͳܤܦ是等边三角形，
∴ܱ
ͳܤ㠮ܱ
ͳܦ㠮ܤܦ，
又∵ܣܤ㠮ܣܥ㠮ܣܦ㠮ͳ晦，סܤܣܦ㠮͸晦ι，
∴ᇞܣܤܦ是等边三角形，
∴ܣܤ㠮ܤܦ㠮ܣܦ，
∴ܱ
ͳܤ㠮ܱ
ͳܦ㠮ܣܤ㠮ܣܦ，
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∴四边形ܣܤܱ
ͳܦ是菱形，
∴ܤܤ㠮ܦܤ㠮
，ܣܤ٣ ܤܤ，
∴ܣܤ㠮
ܣܤʹ െܤܤʹ 㠮
 ͵，
∴ܣܱ
ͳ 㠮ͳ晦͵，
∴ܵ菱形ܣܤܱ
ͳܦ㠮
ͳ
ʹ ܣܱ
ͳ ڄ ܤܦ㠮
ͳ
ʹ ൈͳ晦͵ ൈͳ晦㠮
晦͵，
∵ܵ扇形ܱ
ͳܤܦ㠮
͸晦
͵͸晦π ൈͳ晦ʹ 㠮

晦
͵ π，
∴所需风筝纸的面积为ʹ ൈ
晦͵ െ

晦π
͵
㠮ͳ晦晦͵ െ
ͳ晦晦π
͵ ．
18．
【答案】(1)证明：如图，连接ܱ
ܤ，ܱܥ，
∵ܣܤ㠮ܣܥ，ܱܤ㠮ܱ
ܥ，ܱܣ㠮ܱ
ܣ，
׵ᇞܣܤܱ
؆ᇞܣܥܱ
SSS ，
׵ סܤܣܱ
㠮סܥܣܱ，
∴ܣǡ 平分סܤܣܥ．
(2)证明：∵סܤܣܱ
㠮סܥܣܱ，סǡܣܦ㠮ʹסܤܣǡ，
∴סǡܣܦ㠮ʹסܥܣǡ，
∴סܥܣܦ㠮סǡܣܥ㠮סܤܣǡ．
׶ סܥܤܦ㠮סܥܣܦ，
׵ סܥܤܦ㠮סǡܣܥ．
∵ܣܤ㠮ܣܥ，ܣǡ 平分סܤܣܥ，
׵ ܣǡ ٣ ܤܥ，
׵ סǡܣܥ൅סܣܥǡ 㠮耀晦ι，
׵ סܥܤ൅ܦסܣܥǡ 㠮耀晦ι，
׵ סܣܤܤ㠮סܣܦܤ㠮耀晦ι，
׵ סܣܪܦ㠮耀晦ι െסǡܣܥ，סܣܪܦ㠮耀晦ι െסܥܣܦ，
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׵ סܣܪܦ㠮סܣܪܦ，
∴ܣܪ㠮ܣܦ．
（3）解：①如图，过点ܤ作ܪܤ∥ܤܥ，交ܣǡ 于点ܪ，
由（1）知：ܣǡ 平分סܤܣܥ，
׶ ܣܤ㠮ܣܥ，
׵ ܤǡ 㠮ܥǡ．
׶ܪܤ∥ܤܥ，
׵ᇞܣܪܤ׾ᇞܣܥǡ，
∴
ܪܤ
ܥǡ 㠮
ܣܤ
ܣܥ㠮
͵
͵൅Ͷ 㠮
͵
͹，
∴
ܪܤ
ܤǡ 㠮
͵
͹．
׶ܪܤ∥ܤܥ，
׵ᇞܱܪܤ׾ᇞܱ
ܤǡ，
∴ܱ
ܤܱ
ܤ㠮
ܪܤ
ܤǡ 㠮
͵
͹．
设ܱܤ㠮͵݇，则ܱ
ܤ㠮͹݇，
׵ܱܦ㠮ܱ
ܤ㠮͹݇，
׵ܤܦ㠮ܱܦെܱܤ㠮Ͷ݇，ܤܤ㠮ܱ
ܤ൅ܱܤ㠮ͳ晦݇．
׶ סܦ㠮סܥ，סܣܦܤ㠮סܤܥܤ，
׵ᇞܣܦܤ׾ᇞܤܥܤ，
∴
ܣܤ
ܤܤ㠮
ܤܦ
ܥܤ，
׵ ܣܤڄܥܤ㠮ܤܤڄܤܦ，
׵ ͵ ൈͶ 㠮ͳ晦݇ൈͶ݇，
׶݇
＞晦，
׵݇
㠮
͵晦
ͳ晦，
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׵ ܤܦ㠮
͹ ͵晦

 ．
׶ ܣܤ㠮ܣܥ㠮͹，
׵ ܣܦ㠮
ܤܦʹ െܣܤʹ 㠮
͹ 


 ．
׶ ܤܦ是ٖܱ
直径，
׵ סܤܣܦ㠮耀晦ι，
׵ סܤܣܦ㠮סܣǡܥ㠮耀晦ι，
׶ סܦ㠮סܥ，
׵ᇞܤܣܦ׾ᇞܣǡܥ，
∴
ܣܦ
ܤܦ㠮
ܥǡ
ܣܥ，
∴
͹ 



͹ ͵晦


㠮
ܥǡ
͹ ，
׵ ܥǡ 㠮
͹ ͸
͸ ，
׵ ܤܥ㠮ʹܥǡ 㠮
͹ ͸
͵ ．
②如图，过点ܤ作ܪܤ∥ܤܥ，交ܣǡ 于点ܪ，
由（1）知：ܣǡ 平分סܤܣܥ，
׶ ܣܤ㠮ܣܥ，
׵ ܤǡ 㠮ܥǡ．
׶ܪܤ∥ܤܥ，
׵ᇞܣܪܤ׾ᇞܣܥǡ，
∴
ܪܤ
ܥǡ 㠮
ܣܤ
ܣܥ．
∵
ܥܤ
ܣܤ㠮ݔ，
∴ܥܤ㠮ݔܣܤ，
׵ ܣܥ㠮ݔ൅ͳ ܣܤ，
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∴
ܪܤ
ǡܥ㠮
ͳ
ͳ൅ݔ，
∴
ܪܤ
ܤǡ 㠮
ͳ
ͳ൅ݔ．
׶ܪܤ∥ܤܥ，
׵ᇞܱܪܤ׾ᇞܱ
ܤǡ，
∴ܱ
ܤܱ
ܤ㠮
ܪܤ
ܤǡ 㠮
ͳ
ͳ൅ݔ．
设ܱܤ㠮݇
，则ܱ
ܤ㠮ͳ ൅ݔ݇
，
׵ܱܦ㠮ܱ
ܤ㠮ͳ ൅ݔ݇
，
׵ܤܦ㠮ܱܦെܱܤ㠮ݔ݇，ܤܤ㠮ܱ
ܤ൅ܱܤ㠮ݔ൅ʹ݇
．
׵ ܤܦ㠮ܤܤܦ൅ܤ㠮ʹݔ൅ʹ݇
．
׶ סܦ㠮סܥ，סܣܦܤ㠮סܤܥܤ，
׵ᇞܣܦܤ׾ᇞܤܥܤ，
∴
ܣܤ
ܤܤ㠮
ܤܦ
ܥܤ，
׵ ܣܤڄܥܤ㠮ܤܤڄܤܦ，
׵ ܣܤڄ ݔܣܤ㠮ݔ൅ʹ݇
ڄ ݔ݇，
׶݇
＞晦，ܣܤ＞晦，
׵ ܣܤ㠮
ݔ൅ʹ݇，
׵ܥܤ㠮ݔݔ൅ʹ݇，
׵ ܣܥ㠮ܣܥܤ൅ܤ㠮ݔ൅ͳ
ݔ൅ʹ݇，
׵ ܣܥ㠮ܣܤ㠮ݔ൅ͳ
ݔ൅ʹ݇．
׶ ܤܦ是ٖܱ
直径，
׵ סܤܣܦ㠮耀晦ι，
׵ sinסܦ㠮
ܣܤ
ܤܦ㠮
ݔ൅ͳ
ݔ൅ʹ݇
ʹݔ൅ʹ݇
㠮
ݔ൅ʹ
ʹ ，
׶ סܦ㠮סܥ，
׵ sinסܥ㠮ݕ㠮sinסܦ㠮
ݔ൅ͳ
ݔ൅ʹ݇
ʹݔ൅ʹ݇
㠮
ݔ൅ʹ
ʹ ，
׵ ݕ㠮
ݔ൅ʹ
ʹ ．
19．
【详解】（1）解：连接ܱ
ܣ，
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∵ܥܦ٣ ܣܤ且ܥܦ是直径，
∴ܣܤ㠮
ͳ
ʹ ܣܤ，
∵ܣܤ㠮Ͷ，
∴ܣܤ㠮ʹ，
∵ܱܤ㠮͵，
∴ܱܣ㠮
ʹʹ ൅͵ʹ 㠮
ͳ͵，
∴圆的半径是ͳ͵；
（2）解：设סܤܣܦ㠮ݔ，则סܣܦǡ 㠮Ͷݔ，
∴סܤܣǡ 㠮
ݔ，
∵ܥܦ٣ ܣܤ，
∴סܣܥܦ㠮
ݔെ耀晦，
∵סܤܣܦ㠮סܤܥܦ，
∴סܤܥܦ㠮ݔ，
∵סܣܥܤ㠮͵͸ι ，
∴
ݔെ耀晦൅ݔ㠮͵͸，
∴ݔ㠮ʹͳ，
∵ܥܦ٣ ܣܤ，
∴סܤ㠮耀晦ι െʹͳι 㠮͸耀ι；
（3）解：以ܥ为圆心，ܥᦙ的长为半径作圆，交ܤܣ的延长线于点ܤ，
׶ ܥܲ
㠮ܥᦙ㠮ܥܳ，
׵ܲ
，ܳ
两点在ٖ
ܥ上，
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׶ ܥܦ٣ ܣܤ，
׵ ܣᦙ㠮ܣܤ，
׵ܤܰ㠮ܣᦙ൅ܣܰ，ᦙܰ
㠮ܣᦙെܣܰ，
׶ܲܰ
ڄܰܳ
㠮ܣܰ
ڄܰ
ܤ，ܲܰ
ڄܰܳ
㠮ܤܰڄ ᦙܰ，
׵ܤܰڄ ᦙܰ
㠮ܣܰ
ڄܰ
ܤ，
׶ ܣܤ㠮Ͷ，
׵ ܣᦙ൅ܣܰ
ܣᦙെܣܰ
㠮ܣܰ
Ͷ െܣܰ
，
׵ ܣᦙʹ െܣܰ
ʹ 㠮Ͷܣܰ
െܣܰ
ʹ，
׵ ܣܰ
㠮
ͳ
Ͷ ܣᦙʹ，
׵ ܣܰ
൅ܤᦙ㠮
ͳ
Ͷ ܣᦙʹ െܣᦙ൅Ͷ 㠮
ͳ
Ͷ ሺܣᦙെʹሻʹ ൅͵，
׵当ܣᦙ㠮ʹ 时，ܣܰ
൅ܤᦙ的最小值是͵．
20．
【详解】（1）解：∵四边形ܣܤܤܦ内接于圆，
∴סܣܤܥ൅סܣܦܤ㠮ͳͺ晦ι，
∵סǡ൅ܣܤסܣܦܤ㠮ͳͺ晦ι，
∴סǡܣܤ㠮סܣܤܥ㠮͹晦ι ，
∵ᇞܣܤǡ 沿ܣǡ 翻折至ᇞܩܣǡ，
∴ᇞܣܤǡ، ᇞܩܣǡ，
∴סܩ㠮סǡܣܤ㠮סܣܤܥ㠮͹晦ι ．
（2）证明：∵ᇞܣܤǡ، ᇞܩܣǡ，
∴סܩܣǡ 㠮סǡܣܤ
∴סܩܣܥ㠮ʹסǡܣܤ㠮סܣܤܥ，
∵ܣܤ㠮ܣܥ，
∴סܣܥܤ㠮סܣܤܥ，
∴סܩܣܥ㠮סܣܥܤ，
∴ܣܩ∥ܤܪ，
∴סܣܤܥ൅סܤܣܩ㠮ͳͺ晦ι；
由（1）得：סܩ㠮סܣܤܥ，
∴סܩ൅סܤܣܩ㠮ͳͺ晦ι，
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∴ܪܩ∥ܣܤ，
∴四边形ܣܤܪܩ是平行四边形．
（3）解：如图，连结ܣܦ，设ǡܪ㠮ܽ
，则ǡܩ㠮ǡܤ㠮ʹܽ，ܩܪ㠮͵ܽ，
∵四边形ܣܤܪܩ是平行四边形，
∴ܣܥ㠮ܣܤ㠮ܩܪ㠮͵ܽ
，ܤܪ㠮ܣܩ，
设ܤܦ㠮ݔ，
∵ܣܤ是直径，
∴סܣܤܦ㠮耀晦ι，即：ܣܦ٣ ܤܥ，
∵ܣܤ㠮ܣܥ，
∴ܤܦ㠮ܥܦ㠮ݔ，סܥܣܦ㠮סܤܣܦ，
׵ܤܦ
෼
㠮ܤܦ
෼
∴ܤܦ㠮ܤܦ㠮ܥܦ㠮ݔ，即ܤܥ㠮ʹݔ，
由四边形ܣܤܤܦ内接于圆，同理可得
∴סܥܦܤ㠮סܤ，
∵סܦܥܤ㠮סܤܥܣ，
∴ᇞܥܦܤ׾ᇞܥܤܣ，
∴
ܥܤ
ܥܤ㠮
ܥܦ
ܥܣ，故ܥܤڄ ܥܣ㠮ܥܦڄ ܥܤ，即：͵ܽܥܤ㠮ݔڄ ʹݔ，ܥܤ㠮
ʹ
͵ܽݔʹ，ܣܩ㠮ܣܤ㠮͵ܽ
െ
ʹ
͵ܽݔʹ，
延长ܩܪ，ܣܥ交于点ᦙ，
∵四边形ܣܤܤܦ内接于圆，
∴סܣ൅ܦܤסܤ㠮ͳͺ晦ι，
∵ܩܪ∥ܣܤ，
∴סܩܪܤ൅סܤ㠮ͳͺ晦ι ，
∴סܩܪܤ㠮סܣܦܤ㠮סǡܥܤ，
∵סܤǡᦙ㠮סܪǡܦ，
∴ᇞܤǡᦙ׾ᇞܪǡܦ，
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∴
ܤǡ
ǡܪ㠮
ǡᦙ
ǡܦ，故ǡܪڄ ǡᦙ㠮ǡܤڄ ǡܦ，即：ǡᦙ㠮ʹ ʹܽ൅ݔ㠮Ͷܽ൅ʹݔ，ᦙܪ㠮͵ܽ൅ʹݔ，
∵ܩܪ∥ܣܤ，
∴ᇞᦙܪܥ׾ᇞܣܤܥ，
∴
ܥܪ
ܥܤ㠮
ᦙܪ
ܣܤ，故ܥܪڄ ܣܤ㠮ܥܤڄ ᦙܪ，
即͵ܽܥܪ㠮ʹݔ͵ܽ൅ʹݔ，ܥܪ㠮ʹݔ൅
Ͷ
͵ܽݔʹ，
∴ܤܪ㠮Ͷݔ൅
Ͷ
͵ܽݔʹ，
由ܤܪ㠮ܣܩ得：Ͷݔ൅
Ͷ
͵ܽݔʹ 㠮͵ܽ
െ
ʹ
͵ܽݔʹ，故ʹݔʹ ൅Ͷܽݔെ͵ܽʹ 㠮晦，
由ݔ㈠晦，解得：ݔ㠮
ͳ晦െʹ
ʹܽ
，
∴
ܤܥ
ܣܤ㠮
ʹݔ
͵ܽ㠮
ͳ晦െʹ
͵
，即：
ܤܥ
ܣܤ的值为
ͳ晦െʹ
͵
．
21．【答案】(1)∵ܥܦ是ٖܱ
的切线，
∴סܱܥܦ㠮耀晦ι，即סܥ൅ܤܦסܱܤܦ㠮耀晦ι
∵ܣܤ是ٖܱ
的直径，
∴סܣܤܦ㠮耀晦ι，即סܣܱܦ
൅סܱܤܦ㠮耀晦ι
∵ܱܣ㠮ܱܦ，
∴סܣܱܦ㠮סܥܣܦ，
∴סܥܤܦ㠮סܥܣܦ；
（3）解：∵סܦܣܤ㠮סܤܣܦ，tanסܦܣܤ㠮
ͳ
ʹ，
∴tanסܤܣܦ㠮
ܤܦ
ܣܦ㠮tanסܦܣܤ㠮
ͳ
ʹ，ܦܤႣ㠮ܤܦႣ，
∴ܦܤ㠮ܤܦ
设ܤܦ㠮ݔ，则ܣܦ㠮ʹݔ，ܦܤ㠮ܤܦ㠮ݔ
∴ܣܤ㠮

ݔ
∵ᇞܤܥܦ׾ᇞܥܣܦ
∴
ܥܦ
ܣܥ㠮
ܤܥ
ܥܦ㠮
ܤܦ
ܣܦ㠮
ͳ
ʹ
∴ܥܦ㠮
ͳ
ʹ ܣܥ㠮
ͳ
ʹ ܣܤ൅ܤܥ㠮
ͳ
ʹ Ͷ ൅

ݔ㠮ʹ ൅


ʹ ݔ，ܥܦ㠮ʹܤܥ㠮ͺ，
∴ʹ ൅


ʹ ݔ㠮ͺ
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解得ݔ㠮
ͳʹ




∴ܤܦ㠮ܤܦ㠮
ͳʹ 


 ，ܣܦ㠮
ʹͶ




过ܦ作ܦǡ ٣ ܣܤ于点ǡ，令ܦǡ 㠮ܽ
，
∵tanסܦܣܤ㠮
ܦǡ
ܣǡ 㠮
ͳ
ʹ
∴ܣǡ 㠮ʹܽ
在Rt ᇞܣǡܦ中，ܣܦ㠮
ܣǡʹ ൅ǡܦʹ 㠮

ܽ
∴ܽ
㠮
ʹͶ


∴ܦǡ 㠮
ʹͶ

 ，ܣǡ 㠮
Ͷͺ


在Rt ᇞܤܦǡ 中，ܤǡ 㠮ܤܦʹ െܦǡʹ 㠮
ͳʹ 



ʹ
െ
ʹͶ


ʹ
㠮
ͳʹ


∴ܣܤ㠮ܣǡ െܤǡ 㠮
͵͸


22．【详解】（1）解：如图，连接ܱ
ܣ，ܱܤ，过点O 作ܱ
ܪ٣ ܣܤ于点H，
∵ܥܦ是סܣܥܤ的角平分线，סܣܥܤ㠮ͳʹ晦ι，
∴סܣܥܦ㠮סܤܥܦ㠮͸晦ι，
∴סܣܤܦ㠮סܣܥܦ㠮͸晦ι，סܤܣܦ㠮סܤܥܦ㠮͸晦ι，
∴ᇞܣܤܦ为等边三角形，
∴סܣܤܦ㠮͸晦ι，
∴סܣܱܤ㠮ʹסܣܤܦ㠮ͳʹ晦ι，
∵ܱܣ㠮ܱ
ܤ，ܱܪ٣ ܣܤ，
∴סܣܱܪ㠮
ͳ
ʹ סܣܱܤ㠮͸晦ιǡܣܪ㠮ܤܪ㠮
ͳ
ʹ ܣܤ㠮
ͳ

ʹ ．
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∵sinסܣܱܪ㠮
ܣܪܱ
ܣ，
∴ܱܣ㠮
ܣܪ
sin͸晦ι 㠮
ͳ

ʹ
͵
ʹ
㠮

．
∴ٖܱ
的半径为
；
（2）证明：如图，连接ܦܱ并延长，交ܣܤ于点G，
∵ܥܦ是סܣܥܤ的角平分线，
∴סܣܥܦ㠮סܤܥܦ，
∴ܣܦႣ㠮ܤܦႣ，
∴ܱܩ٣ ܣܤ，
∵ܤܦ∥ܣܤ，
∴ܱܦ٣ܤܦ，
∵ܱܦ为ٖܱ
的半径，
∴ܤܦ为ٖܱ
的切线；
（3）证明：∵ܥܦ是סܣܥܤ的角平分线，
∴סܣܥܦ㠮סܤܥܦ，
∵סܣܥܦ㠮סܣܤܦ，
∴סܣܤܦ㠮סܤܥܦ，
∵ܤܦ∥ܣܤ，
∴סܣܤܦ㠮סܤܦܤ，
∴סܤܦܤ㠮סܤܥܦ，
∵סܤ㠮סܤ，
∴ᇞܤܦܤ׾ᇞܦܥܤ，
∴
ܤܤ
ܤܦ㠮
ܤܦ
ܥܤ，
∴ܤܦʹ 㠮ܤܤڄܥܤ．
∵ܤܦ∥ܣܤ，
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∴סܣܤܥ㠮סܤ．
∵סܣܤܥ㠮סܣܥܦ，
∴סܣܥܦ㠮סܤ，
∵סܣܥܦ㠮סܤܥܦ，
∴ᇞܣܥܦ׾ᇞܤܥܦ，
∴
ܣܥ
ܥܦ㠮
ܥܦ
ܥܤ，
∴ܥܦʹ 㠮ܣܥڄ ܥܤ，
∴ܤܦʹ െܦܥʹ 㠮ܤܤڄܥܤെܣܥڄܥܤ㠮ܤܤܥܤെܣܥ，
∵ܥܤ㠮ܥܤ൅ܤܤ，
∴ܤܦʹ െܦܥʹ 㠮ܥܤ൅ܤܤڄܤܤെܣܥ．
23．【答案】(1)证明：׶ סܣܤܦ是ᇞܤܤܦ的外角，
׵ סܣܤܦ㠮ס൅ܤܤܦסܤ，
又׶四边形ܣܤܥܦ内接于ٖܱ
，
׵ סܥܣܦ㠮סܤܤܦ（同弧ܥܦ所对的圆周角相等），
׵ סܣܤܦ㠮סܥܣ൅ܦסܤ．
(2)①证明：由题知סܣܥܤ是ᇞܣܥܤ的外角，
׵ סܣܥܤ㠮סܥܣ൅ܤסܤ
׶ סܣܤܥ㠮ס൅ܤܤܦסܣܤܦ
׶ ܣܤ㠮ܣܥ，
׵ סܣܤܥ㠮סܣܥܤ．
׶四边形ܣܤܥܦ内接于ٖܱ
，
׵ סܥܣܤ㠮סܤܤܦ（同弧ܥܦ所对的圆周角相等）
סܣܤܦ㠮סܣܥܦ（同弧ܣܦ所对的圆周角相等），
׵ סܣܤܦ㠮סܤ㠮סܣܥܦ，
׵ ᇞܣܥܦ׾ᇞܣܥܤ，
׵ ܣܥʹ 㠮ܣܦڄ ܣܤ．
׶ ܣܤ㠮ܣܥ，
׵ ܣܤʹ 㠮ܣܦڄ ܣܤ．
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②解：如图，过点ܣ作ܣܲ
٣ ܤܥ交ܤܥ于点ܲ
，过点ܥ作ܥܳ
٣ ܣܤ交ܣܤ于点ܳ
．
׶ סܥܦܳ是ᇞܣܥܦ的外角，
׵ סܥܳܦ㠮סܣܥ൅ܦסܥܣܦ，
׶ סܣܥܦ㠮סܣܤǡܦסܥܣܦ㠮סܥܤܦ（同弧ܣܦܥǡܦ所对的圆周角相等），
׵ סܥܳܦ㠮סܣܤ൅ܦסܥܤܦ㠮סܣܤܥ．
由题知tanסܣܤܥ㠮tanסܥܦܳ㠮

，ܥܦ㠮
͸，
设：ܥܳ
㠮ݔ，则tanסܥܦܳ㠮
ܥܳ
ܦܳ㠮
ݔ
ܦܳ㠮

，
׵ܦܳ㠮
ݔ


根据勾股定理得：ܥܳ
ʹ ൅ܦܳ
ʹ 㠮
͸
ʹ，
即：ݔʹ ൅
ݔ


ʹ
㠮͸
解得ݔ㠮


׵ ܥܳ
㠮

，ܦܳ㠮ͳ．
设ܤܦ㠮݉
，则ܣܦ㠮ʹ݉
．
由（2）①知：ܣܥʹ 㠮ܣܦڄ ܣܤ，即ܣܥ㠮
͸݉
．
在Rt ᇞܣܥܳ
中，ܣܥʹ 㠮ܥܳ
ʹ ൅ܣܳ
ʹ，即ሺ͸݉
ሻʹ 㠮ሺ
ሻʹ ൅ሺʹ݉
൅ͳሻʹ，解得݉
ͳ 㠮͵，݉
ʹ 㠮െͳ（舍去），
׵ ܣܤ㠮ܣܥ㠮͵ ͸，ܣܦ㠮͸，ܤܦ㠮͵，
又׶ tanסܣܤܲ
㠮

，设ܤܲ
㠮ݕ，
׵
ܣܲ
ݕ㠮

，ܣܲ
㠮

ݕ，
根据勾股定理:ݕʹ ൅

ݕ
ʹ 㠮͵ ͸
ʹ
解得ݕ㠮͵
׵ ܤܥ㠮ʹܤܲ
㠮͸．
׵ ܣܦ㠮ܤܥ，
׵弧ܣܦ㠮ܤܥ弧，
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׵ סܣܤܦ㠮סܤܥܦ，
׵ ܥܦ∥ܣܤ，
׵ ᇞܦǡܥ׽ᇞܤǡܣ，
׵
ܥܦ
ܣܤ㠮
ͳ
͵．
׵ ܥǡ 㠮
ͳ
Ͷ ܣܥ㠮
͵
Ͷ
͸．
׶弧ܣܦ=弧ܤܥ，
׵弧ܣܥ=弧ܤܦ，
׵ ܣܥ㠮ܤܦ（在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等），
׵ܦǡ 㠮ܥǡ 㠮
͵
Ͷ
͸，
׵ ܥᇞܥܦǡ 㠮ܦǡ ൅ܥǡ ൅ܥܦ㠮
͵
Ͷ
͸ ൅
͵
Ͷ
͸ ൅
͸ 㠮


ʹ
͸．
24．【答案】(1)证明：∵ܣܦ平分סܤܣܥ，
∴סܤܣܥ㠮ʹסܤܣܦ㠮ʹܥܣܦ，
∵סܤܣܥ㠮ʹסܥ，
∴סܤܣܦ㠮סܥ，
∵סܤ是ᇞܤܣܦ和ᇞܤܥܣ的公共角，
∴ᇞܤܣܦ׾ᇞܤܥܣ；
(2)证明：连接ܱ
ܣ、ܱܦ，
∵弧ܣܦ所对的圆心角为סܣܱܦ，所对圆周角为סܥ，
∴סܣܱܦ㠮ʹסܥ．
∵ܱܣ㠮ܱܦ（都是ٖܱ
半径），
∴סܱܣܦ㠮
ͳͺ晦לെסܣܱܦ
ʹ
㠮耀晦ι െסܥ，
结合（1）知סܤܣܦ㠮סܥ，
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∴סܱܣܤ㠮סܱܣ൅ܦסܤܣܦ㠮耀晦ι െסܥ൅סܥ㠮耀晦ι，即ܱ
ܣ٣ ܤܣ，
又∵ܱܣ是ٖܱ
的半径，
∴ܤܣ是ٖܱ
的切线．
（3）解：如图，连接ܤܱ并延长交ٖܱ
于点F，
由（1）ᇞܤܣܦ׾ᇞܤܥܣ，
∴
ܤܦ
ܤܣ㠮
ܤܣ
ܤܥ，即ܤܣʹ 㠮ܤܦڄ ܤܥ．
∵ܤܦڄ ܣܥ㠮ܣܤʹ，
∴ܤܦڄ ܤܥ㠮ܤܦڄ ܣܥ，
∴ܤܥ㠮ܣܥ．
在ᇞܣܤܥ中，סܣܤܥ㠮סܤܣܥ㠮ʹסܥ，
∴ʹסܥ൅ʹסܥ൅סܥ㠮ͳͺ晦ι，
解得סܥ㠮͵͸ι，
∴סܤܣܦ㠮סܥ㠮͵͸ι，
∴סܥܣܦ㠮͵͸ι，
∴סܥܣܦ㠮סܥ，
∴ܣܦ㠮ܥܦ．
∵סܣܤܥ㠮͹ʹιǡסܣܤܦ㠮͵͸ι ൅͵͸ι 㠮͹ʹι，
∴סܣܤܥ㠮סܣܤܦ，
∴ܣܤ㠮ܣܦ，
∴ܣܤ㠮ܣܦ㠮ܥܦ．
∵ܤܣ、ܤܤ都是ٖܱ
的切线，
∴ܤܣ㠮ܤܤ，
∴ܤܤ㠮ܣܤ．
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∵ܤܤ切ٖܱ
于ܤ，
∴סܤܤǡ 㠮耀晦ι，
∴סܤ൅ܦܤסܤܦǡ 㠮耀晦ι．
∵ܤǡ 是直径，
∴סܦܤǡ 㠮耀晦ι，
∴סܦǡ൅ܤסܤܦǡ 㠮耀晦ι，
∴סܤܦܤ㠮סܦǡܤ．
∵ܤܦႣ㠮ܤܦႣ，
∴סܦǡܤ㠮סܤܥܤ，
∴סܤܦܤ㠮סܤܥܤ，
又∵סܤ公共，
∴ᇞܤܦܤ׾ᇞܤܥܤ，
∴
ܤܦ
ܥܤ㠮
ܤܤ
ܤܥ㠮
ܣܤ
ܤܥ．
设ܤܦ㠮ܽ
，ܣܤ㠮ܥܦ㠮ݔ，则ܤܥ㠮ܣܥ㠮ܽ
൅ݔ，
代入ܤܦڄ ܣܥ㠮ܣܤʹ得：ܽሺܽ൅ݔሻ㠮ݔʹ，
整理为ݔʹ െܽ
ݔെܽ
ʹ 㠮晦，
解得ݔ㠮
ͳ൅
ܽ
ʹ
（负值舍去），
∴
ܤܦ
ܥܤ㠮
ݔܽ
൅ݔ㠮
ͳ൅
ܽ
ʹܽ
൅
ͳ൅
ܽ
ʹ
㠮

െͳ
ʹ ．
25．【答案】(1)证明：连接ܣܥ，如图所示：
∵ܣܤ
Ⴃ㠮ܥܦႣ，
∴סܣܥܤ㠮סܥܣܦ，
∴ܣܦ∥ܤܥ．
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（2）解：①延长ܥܤ，交ٖܱ
于点ܲ
，连接ܤܲ，过点ܤ作ܤܳ٣ ܤܥ，如图所示：
∵ܥܲ
是ٖܱ
的直径，
∴סܲܤܥ㠮耀晦ιǡܥܲ
㠮ͳ晦，
∵ܤܥ㠮ͺ，
∴ܲܤ㠮
ܥܲ
ʹ െܤܥʹ 㠮͸，
∴tanסܲܥܤ㠮ܲ
ܤ
ܤܥ㠮
͵
Ͷ，
∵ܤܳ٣ ܤܥ，tanסܣܤܥ㠮͹，
∴
ܤܳ
ܤܳ㠮͹ǡ
ܤܳܳ
ܥ㠮
͵
Ͷ，
设ܤܳ
㠮ݔ，则有ܤܳ㠮͹ݔ，ܳܥ㠮
ʹͺݔ
͵ ，
∴ܤܥ㠮ܤܳ
൅ܳ
ܥ㠮ݔ൅
ʹͺ
͵ ݔ㠮ͺ，
解得：ݔ㠮
ʹͶ
͵ͳ，
∴ܤܳ㠮
ͳ͸ͺ
͵ͳ ，
∴ܵᇞܤܥܤ㠮
ͳ
ʹ ܤܥڄܤܳ㠮
͸͹ʹ
͵ͳ ；
②分别过点ܣǡǡǡܪǡܥ作ܣᦙ٣ ܤܥǡǡܭ٣ ܤܥǡܪܰ
٣ ܤܥ，ܥܴ
٣ ܣܤ，连接ܤǡǡܣܥ，交ܥܤ于点ܬ，如图所示：
∴סܣᦙܤ㠮סܣᦙܭ㠮סǡܭᦙ㠮סǡܭܥ㠮סܪܰܥ㠮耀晦ι，
∵ܣܦ∥ܤܥ，
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∴סܣܦᦙ㠮סܣᦙܤ㠮耀晦ι，
∴四边形ܣᦙܭܪ是矩形，
∴ܣܪ㠮ᦙܰǡܣᦙ㠮ܪܰ，
由①可知：tanסܤܲܥ㠮
ܤܥܲ
ܤ㠮
Ͷ
͵，sinסܲܥܤ㠮ܲ
ܤܲ
ܥ㠮
͵

 ǡcosסܲܥܤ㠮
ܤܥܲ
ܥ㠮
Ͷ

，
∵סܤܣܥ㠮סܤܲܥ，
∴tanסܤܣܥ㠮tanסܤܲܥ㠮
Ͷ
͵ 㠮
ܥܴ
ܣܴ，
由tanסܣܤܥ㠮
ܥܴ
ܤܴ㠮͹ 可设ܤܴ
㠮ݐǡܥܴ
㠮͹ݐ，
∴在Rt ᇞܤܥܴ
中，由勾股定理可得ݔʹ ൅Ͷ耀ݔʹ 㠮͸Ͷ，解得：ݔ㠮
Ͷ ʹ

 （负根舍去），
∴ܤܴ
㠮
Ͷ ʹ

 ǡܥܴ
㠮
ʹͺ ʹ

 ，
∴ܣܴ
㠮
͵
Ͷ ܥܴ
㠮
ʹͳ ʹ

 ，sinסܣܤܥ㠮
ܥܴ
ܤܥ㠮
͹ ʹ
ͳ晦
∴ܣܤ㠮ܤܴ
൅ܣܴ
㠮
 ʹ，
∴ܣᦙ㠮ܣܤڄ sinסܣܤܥ㠮͹ 㠮ܪܰ，ܤᦙ㠮
ܣᦙ
tanסܣܤܥ㠮ͳ，
由轴对称的性质可知：ܤܥ㠮ǡܥ㠮ͺǡסܤܥܲ
㠮סǡܥܤ，ܥܤ垂直平分ܤǡ，
∴ܤܬ㠮ǡܬ㠮
ͳ
ʹ ܤǡǡܥܬ٣ ܤǡ，
∴ܤܬ㠮ܤܥڄ sinסܲܥܤ㠮
ʹͶ

 ǡܥܬ㠮ܤܥڄ cosסܲܥܤ㠮
͵ʹ

 ，
∴ܤǡ 㠮ʹܤܬ㠮
Ͷͺ

 ，
∵ܵᇞܤܥǡ 㠮
ͳ
ʹ ܤǡ ڄ ܥܬ㠮
ͳ
ʹ ܤܥڄ ǡܭ，
∴ǡܭ㠮
ܤǡڄܥܬ
ܤܥ㠮
ͳ耀ʹ
ʹ
 ，
∴Rt ᇞǡܥܭ中，由勾股定理得：ܥܭ㠮
ܥǡʹ െǡܭʹ 㠮

͸
ʹ
，
∴tanסǡܥܭ㠮
ǡܭ
ܥܭ㠮
ʹͶ
͹ ，
∵ܪܰ
٣ ܤܥ，
∴ܥܰ
㠮
ܪܰ
tanסǡܥܭ㠮
Ͷ耀
ʹͶ，
∴ܣܪ㠮ᦙܰ
㠮ܤܥെܤᦙെܥܰ
㠮
ͳͳ耀
ʹͶ ．