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专题10 中考压轴综合探究题
1 年真题1 年模拟·答案版
考点01 二次函数几何综合：线段最值、面积、角度、特殊三角形/四边形
存在性
1．(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2)四边形ABCD面积的最大值为75
8 ；点D 的坐标为
3
15
,
2
4
−
−
(3)是定值，定值为16
3
2．(1) (
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
(2)①定点
(
)
1,0
F
；
如图，设直线l 与x 轴交于点F ，过点A 作AG
DE
⊥
，过点B 作BH
DE
⊥
，垂足分别为G 、H ．
∴
90
AGF
BHF
=
=
．
又∵A、B 两点到直线l 的距离相等，
∴AG
BH
=
．
又∵
AFG
BFH
=
，
∴
(
)
AGF
BHF AAS
≌
．
∴AF
BF
=
，
即：点F 为AB 中点．
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∵(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
∴AB 中点
(
)
1,0
F
，
即直线l 过定点
(
)
1,0
F
；
②直线l 过定点(
)
1, 3
−
3．(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
9 12
,
7
7
P
(3) 5 7
,
2 4
或(
)
4, 5
−
4．(1)
2
y
x
x
2
=
−
−
(2) ABD 是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线
2
y
x
x
2
=
−
−，对称轴为直线
1
1
2 1
2
x
−
= −
=
，
设直线
:
BC y
px
q
=
+
，代入点(
)
2,0
B
、(
)
0, 2
C
−
∴
2
0
2
p
q
q
−
+
=
=
解得
1
2
p
q
−
=
=
∴直线
:
2
BC y
x
=
−
将
1
2
x =
代入
2
y
x
=
−，得
1
3
2
2
2
y =
−
= −
∴
1
3
,
2
2
D
−
，
∴
(
)
2
1
3
AB =
−−
= ，
2
2
1
3
3
1
0
2
2
2
2
AD
=
+
+ −
−
=
，
2
2
1
3
3
2
0
2
2
2
2
BD
=
−
+
+
=
，
∴AD
BD
=
，
∵
2
2
2
2
3
3
2
2
9
2
2
AD
BD
+
=
+
=
，
2
9
AB =
∴
2
2
2
AD
BD
AB
+
=
∴
90
ADB
=
，
∴ADB 为等腰直角三角形；
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(3) 36 2
36
5
−
5．(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
；
(2)①(
)
2,4
P
；②6；
(3)存在，Q 的坐标为(
)
3
2 3,2
3
+
+
，(
)
3
2 3,2
3
−
−
6．(1)
3
m =
，
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
14
1, 5
E
(3)存在，
11
2, 3
G
−
、
(
)
2,1
G −
、
(
)
2,2
G −
、
1
2, 3
G
−
7．(1)
2
2
y
x
x
−
−
=
+
(2)1
(3)存在，
6 104
,
7
49
Q
−
8．(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
(2)3 秒
(3)当
5
2
t =
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4
9．(1)
2
1
2
4
y
x
x
=
+
+
(2)
(
)
2,5
E
(3) 1
2
10．(1)
1
k = ，点B 的坐标为(
)
2,4
(2)h 的取值范围是
1
2
h
(3)点E 的坐标为(
)
2,0 ，
2 2
k =
11．(1)
0
6
m
n
=
=
；
(2)①线段OC 长度的最小值为11 ；②
6
2
y
x
=
．
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12．(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
+
+
(2) 4 5
5
(3) 2
−或2
13．(1)
2
3
3
6 3
12
2
y
x
x
= −
−
+
(2)①(
)
6,2 3
E −
；②3 5
3
−
考点02 几何压轴：动点、旋转、折叠、圆与相似综合探究
1．C
2．3 2
3．①③
4．4 10
2
−
5．①③⑤
6．①②③④
7．1.5 或3/ 3
2 或3
8．6 5
5
9．4 5
2 2
−
10．(1)解：理由如下：
如图，在直线l 上另取一点
2P ，连结
2P A ，
2P B ，
∵三角形的两边之差小于第三边，
∴
2
2
P A
P B
AB
−
，
当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，PA
PB
AB
−
=
，
∴对于直线l 上的任意一点P ，都有PA
PB
AB
−
，
∴当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，PA
PB
−
的值最大，最大值为线段AB 的长．
(2)
5
2
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11．(1)①证明：如图1 所示，连接
,
AD OD ，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，即AD
BC
⊥
，
∵AC
AB
=
，
∴CD
BD
=
，即点D 为BC 的中点，
又∵点O 为AB 的中点，
∴OD是ABC的中位线，
∴OD
AC ，
∵DM
AC
⊥
，
∴DM
OD
⊥
，
∵OD是
O 的半径，
∴DM 是
O 的切线；
②
9 3
3π
4
−
(2) 2
12．(1)5
(2)
6
(
0)
2
y
x x
=
(3)
5
1
2
DP
DC
−
=
13．(1)1
(2)证明：法一：
ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴
1
AD
AD
=
= ，
1
D P
DP
=
=
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∴AD
AD
D P
DP
=
=
=
∴四边形AD PD
是菱形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
D
=
，
∴四边形AD PD
是正方形；
法二：
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
D
=
．
又∵△ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴
90
ADP
D
=
=
，
DAP
D AP
=
，
∵
1
DP
AD
=
= ，
∴
45
DAP
=
，
∴
45
DAP
DAP
=
=
，
∴
2
90
DAD
DAP
=
=
，
∴四边形AD PD
是矩形，
又∵DP
AD
=
，
∴四边形AD PD
是正方形；
(3) 0
2
d
14．(1)CE
BD
=
，理由如下：
由旋转得
90 ,
DAE
AD
AE
=
=
∵
90
BAC
=
∴
DAE
BAC
=
∴
DAC
CAE
DAC
BAD
+
=
+
∴
CAE
BAD
=
∵AB
AC
=
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
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∴CE
BD
=
；
(2) 6
13
5
(3)
1
1
k −
15．(1)证明：在AB 上截取AH
EC
=
，
四边形ABCD是正方形，
AB
BC
=
，
90
B
BCD
=
=
，
AH
EC
=
，
AB
AH
BC
EC
−
=
−
，即HB
EB
=
，
BHE
是等腰直角三角形，
45
BHE
=
，
135
AHE
=
，
CF 是正方形ABCD的外角平分线，
45
DCF
=
，
135
ECF
=
°，
135
AHE
ECF
∠
∠
=
=
，
90
AEF
=
，
90
AEB
FEC
+
=
，
90
BAE
AEB
+
=
，
BAE
FEC
=
，
在AHE 和
ECF
△
中，
AHE
ECF
AH
EC
HAE
CEF
=
=
=
(
)
AHE
ECF ASA
≌
，
AE
EF
=
；
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(2)四边形DMEF 是平行四边形．
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
AD
AB
BC
=
=
，
90
DAB
B
= =
，
M ，E 分别为AB ，BC 的中点，
AM
BE
=
，
在
DAM
△
和ABE 中，
AD
AB
DAB
B
AM
BE
=
=
=
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，
ADM
BAE
=
，DM
AE
=
，
90
BAE
DAE
+
=
，
90
ADM
DAE
+
=
，
90
AGD
=
，
90
AEF
=
，
AGD
AEF
=
，
MD
EF
∥
，
由（1）得AE
EF
=
，
MD
EF
=
，
四边形DMEF 是平行四边形．
(3)当BM
BE
CD
+
=
时，四边形DMEF 是平行四边形
16．(1)相等，等底等高的三角形面积相等
(2)
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点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）．
证明：连接OD，
∵O是AB 中点，D 是AC 的中点，
∴OD是ABC的中位线
∴OD
BC ．
又∵AB 是直径
∴
90
ACB
=
，
∴
90
ADO
ACB
=
=
，
∴点D 在以OA为直径的圆上．
又∵点A 、C 不重合，故点D 不与点A 重合，
∴点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）．
(3)8
17．(1)证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
B
BCD
DCM
=
=
=
，
∴
90
AEB
EAG
+
=
，
∵AB
BC
=
，G 、E 分别是AB 、BC 的中点，
∴AG
BG
BE
EC
=
=
=
，
∴
45
BGE
=
，
∴
180
135
AGE
BGE
=
−
=
，
∵
90
AEF
=
，
∴
90
AEB
FEC
+
=
，
∴
EAG
FEC
=
，
∵CF 平分
DCM
，
∴
1
45
2
DCF
DCM
=
=
∠
∠
，
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∴
90
135
ECF
DCF
AGE
=
+
=
=
，
∴
(
)
ASA
AGE
ECF
≌
．
(2)4 2
(3)
2
1
CF
m
BE
m
+
=
18．(1)30
(2) 7
(3) 4 2
2 3
−
或2 6
2
+
19．(1)证明：∵
ABC
EAD
△
△
≌
，
∴
BAC
E
=
，即
FAD
E
= ，
又∵
AFD
EFA
=
，
∴AFD
EFA
∽
，
∴AF
FD
FE
AF
=
，
∴
2
AF
FD FE
=
；
(2) 2
3
(3)
2
1
+
20．(1)证明：∵D 为BC 中点，E 在OD的延长线上，
∴OE
BC
⊥
，
∵EM
BC ，
∴OE
EM
⊥
，
∴EM 是
O 的切线；
(2) PC
PA PB
=
+
或PC
PB
PA
=
−
，理由如下：
当点P 在AB 上时，如图，在PC 上取点T 使得，PT
PA
=
∵ABC是等边三角形，
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∴
60
ABC
ACB
=
=
，AB
AC
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
60
APC
ABC
=
=
，
∴
APT
△
是等边三角形，
∴AT
AP
=
，
60
PTA
=
，
∴
120
ATC
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
APB
ATC
=
，
又∵AP
AP
=
，
∴
ABP
ACT
=
，
∴
(
)
ABP
ACT AAS
≌
，
∴PB
TC
=
，
∴PC
PT
TC
PA
PB
=
+
=
+
；即PC
PA PB
=
+
，
当点P 在AC 上时，如图所示，在CP 的延长线上取PS
PA
=
，
同理可得
60
APB
ACB
=
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
60
APS
=
，
∴
APS
△
是等边三角形，
∴
S
APB
=
，
又∵AB
AC
=
，
ABP
ACP
=
，
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∴
(
)
SAC
PAB AAS
≌
，
∴PB
SC
PC
PS
PC
PA
=
=
+
=
+
，即PC
PB
PA
=
−
；
21．(1) 25
8
(2)5，25
8 ，8．
(3)6
考点03 代数综合压轴：含参问题、函数取值范围
1．C
2．B
3．A
4．B
5．B
6．2
7．2
−
8．1
− ，1
9．(1)
2
2
1
y
x
x
=
−
+
(2) 5
8
(3)
5
1
3
m
10．(1)
1
t = −
(2) MN 的最大值为19
4
(3)
5
2
t −
或
1
t
考点04 新定义、材料阅读类压轴探究题
1．A
2．A
3．B
4． ①③
2
3
2
n
n
−
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5． 2 3
4 或4
3
6．(1)120；能
(2)平移；旋转
(3)点A 位置的密铺设计图如图：
7．(1)陌生；友好
(2)
3
x
−
或0
1
x
；
9
2
−
(3) 45
1．D
2．B
3．7
1
−/ 1
7
−+
4．5 2
4
5．8104 2
6． 2 0
2
m
7．
1
2
7
2 7
x
x
−
8．
7
4
9．(1)
2
b
a
= −
(2)
2
0
9
a
(3)见解析
10．(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
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(2) CPQ 面积的最大值为2 ，此时(
)
1,0
P −
(3)
OMN 面积最小值为2
11．(1)
2
1
2
4
4
y
x
x
= −
+
−
(2)
90
APN
BPN
+
=
(3)是，定点坐标为(
)
4, 1
−
12．(1)
2
1
4
2
2
y
x
x
=
−
+
(2)
(
)
8,2
E
；
(
)
2,0
F
(3)存在；10
−
13．(1)
2
1
3
2
2
y
x
x
=
−
−
；
1
1
2
2
y
x
=
+
(2)
ACE
△
的面积的最大值是25
16 ，此时E 点坐标为3
15
,
2
8
−
(3)
5 5
1
,0
2
−−
或
5 5
1
,0
2
−+
或17 ,0
8
或(
)
9,0
14．(1)
2
2
3
y
x
x−
=
+
(2) (
)
1, 2
P −−
(3)
5
1
n =
+ 或
5
4
n = −
+
．
15．(1)
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
(2)
(
)
10 3
N
，
(3)点P 的坐标为
1
17 , 2
2 17
2
−+
−+
或7
65 , 14
2 65
2
+
−
−
16．(1)
2
1
2
6
2
y
x
x
= −
+
+
；
(2)(
)
2,4 ；
(3)存在，(
)
2,8 或(
)
10, 24
−
或(
)
6, 24
−
−
．
17．(1)②
(2)
2
c
b
b
=
+
(3)3
15 / 15
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(4) 9
8
18．(1)
2
1
3
4
y
x
x
=
−
−
(2) 9
3 13
2
+
(3)(
)
4, 3
−
或
4
12
2
10,
5
5
+
−
