专题11三角形、全等与尺规作图（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题11 三角形、全等与尺规作图
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 三角形的基
本性质与特殊三角
形
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江温州·中考
近5 年浙江中考本考点是本专题题量最大的考点。
2025-2026 年省统考未在本考点单独设题。题型以选择
题、填空题为主，辅以少量基础解答题，分值3-8 分。
核心考查内容包括：三角形三边关系、内角和与外角性
质、高线的概念、等腰与等边三角形的判定和性质、直
角三角形斜边中线、三角形中位线定理、垂直平分线的
性质等；总体来看，本考点命题稳定、覆盖面广，预计
未来省统考仍将以中位线、等腰三角形、斜边中线等核
心定理的单一或两级应用为基本形态，需注意分类讨论
思想的应用。
考点02 三角形全等
的判定与性质
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江丽水·中考
近5 年浙江中考在本考点保持稳定覆盖，是本专题的核
心考点之一。题型覆盖选择题、填空题和解答题，解答
题多为证明题，分值3-10 分。核心考查两条主线：一
是全等三角形的判定，包括判定依据的直接识别、开放
性添加条件以及"SSA 不能判定全等"的辨析；二是全等
三角形在证明与计算中的应用，常与正方形、矩形、折
叠等背景结合，如2025 年省统考在正方形剪裁情境中
考查全等证明与角度计算，2022 年丽水卷将全等与矩形
折叠、勾股定理综合。整体来看，本考点难度以基础和
中档为主，强调推理规范和判定依据的准确表述，预计
未来仍将以“情境化背景＋全等证明＋性质应用”为基
本命题形态。
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考点03 尺规作图及
其依据
2026·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江宁波·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取6 道真题，其中2024
年、2026 年省统考均以解答题形式重点设题，2023 年
省统考将作图与菱形判定证明结合，显示省统考阶段对
尺规作图的考查明显加强。题型以解答题为主，辅以选
择题和网格作图题，分值4-10 分，难度以中档为主。
核心考查内容涉及：垂直平分线与角平分线的作法及性
质应用、作图原理的证明、作图结果的性质探究，以及
综合性作图探究。整体来看，省统考阶段的尺规作图已
从“操作技能”上升为“作图＋推理＋探究”的综合考
查，预计未来仍将保持这一趋势，复习中需重视作图依
据的说理和作图痕迹的规范保留。
考点01
三角形的基本性质与特殊三角形
1．
（2024·浙江·中考真题）如图，D，E 分别是ᇞܣ香䁨边ܣ香，ܣ䁨的中点，连接香ܧ，ܦܧ．若סܣܧܦ⸹ס香ܧ䁨ܦ⸹ܧܦܥ，
则香ܧ的长为__________
【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得ܦܧ∥香䁨ܥ香䁨⸹
⸹ܧܦܦꀀܥ得出ס䁨⸹סܣܧܦ⸹ס香ܧ䁨ܥ得出香ܧ⸹香䁨⸹ꀀ
【详解】解：∵D，E 分别是ᇞܣ香䁨边ܣ香，ܣ䁨的中点，
∴ܦܧ是ᇞܣ香䁨的中位线，
∴ܦܧ∥香䁨ܥ香䁨⸹⸹ܧܦܦꀀܥ
∴סܣܧܦ⸹ס䁨ܥ
∵סܣܧܦ⸹ס香ܧ䁨ܥ
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∴ס䁨⸹ס香ܧ䁨ܥ
∴香ܧ⸹香䁨⸹ꀀܥ
故答案为：4
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点ܦܧܥ分别在ᇞܣ香䁨的边ܣ香ܣܥ䁨上，且ܦܧ∥香䁨，点ܨ在线段香䁨
的延长线上．若סܣܦܧ⸹ܦι，סܣ䁨ܨ⸹ͳͳι，则סܣ⸹_________．
【答案】ͻͲι/90 度
【分析】首先根据平行线的性质得到ס香⸹סܣܦܧ⸹ܦι，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵ܦܧ∥香䁨，סܣܦܧ⸹ܦι，
∴ס香⸹סܣܦܧ⸹ܦι，
∵סܣ䁨ܨ⸹ͳͳι，
∴סܣ⸹סܣ䁨ܨെס香⸹ͳͳι െܦι ⸹ͻͲι．
故答案为：ͻͲι．
3．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长͸cmܥcm 的两条线段围成一个三角形的
是（
）
A．ͳcm
B．ܦcm
C．ͳ͵cm
D．ͳꀀcm
【答案】C
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
【详解】解：设第三边长度为ݔcm，
则第三边的取值范围是ͳ൏ݔ൏ܦꀀ，
只有选项C 符合，
故选：C．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角סܱ
的大小，
需将סܱ
转化为与它相等的角，则图中与סܱ
相等的角是（
）
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A．ס香ܧܣ
B．סܦܧ香
C．סܧ䁨ܣ
D．סܣܦܱ
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可知：סܱ
与סܣܦܱ
互余，סܦܧ香与סܣܦܱ
互余，根据同角的余角相等
可得结论．
【详解】由示意图可知：ᇞܦܱܣ和ᇞܦ香ܧ都是直角三角形，
׵ סܱ
൅סܣܦܱ
⸹ͻͲι，סܦܧ香൅סܣܦܱ
⸹ͻͲι，
׵ סܦܧ香⸹סܱ，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ᇞܣ香䁨中，ܣ䁨的垂直平分线交香䁨于点ܦ，交ܣ䁨于点ܧ，
ס香⸹סܣܦ香．若ܣ香⸹ꀀ，则ܦ䁨的长是__________．
【答案】4
【分析】由ס香⸹סܣܦ香可得ܣܦ⸹ܣ香⸹ꀀ，由ܦܧ是ܣ䁨的垂直平分线可得ܣܦ⸹ܦ䁨，从而可得ܦ䁨⸹
ܣ香⸹ꀀ．
【详解】解：∵ס香⸹סܣܦ香，
∴ܣܦ⸹ܣ香⸹ꀀ，
∵ܦܧ是ܣ䁨的垂直平分线，
∴ܣܦ⸹ܦ䁨，
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∴ܦ䁨⸹ܣ香⸹ꀀ．
故答案为：4．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在ᇞܣ香䁨中，ܣ香⸹ܣ䁨，ܣܦ٣ 香䁨于点D，点E 为AB 的中点，连
结DE．已知香䁨⸹ͳͲ，ܣܦ⸹ͳܦ，求BD，DE 的长．
【答案】香ܦ⸹ൌ⸹ܧܦܥ
ͳ͵
ܦ
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出香ܦ的长，再根据勾股定理求得ܣ香的长，最后根据条件
可知ܦܧ是ᇞܣ香䁨的中位线，求得ܦܧ的长．
【详解】解，∵ܣ香⸹ܣ䁨，ܣܦ٣ 香䁨于点D，
∴香ܦ⸹
ͳ
ܦ香䁨．
∵香䁨⸹ͳͲ，
∴香ܦ⸹ൌ．
∵ܣܦ٣ 香䁨于点D，
∴סܣܦ香⸹ͻͲι，
∴在Rt ᇞܣ香ܦ中，ܣ香ܦ⸹ܣܦܦ൅香ܦܦ．
∵ܣܦ⸹ͳܦ，
∴ܣ香⸹
ܣܦܦ൅香ܦܦ⸹
ͳܦܦ൅ൌൌ⸹ͳ͵，
∵E 为AB 的中点，
∴ܦܧ⸹
ͳ
ܦܣ香⸹
ͳ͵
ܦ．
7．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条ܱ
ܣ，ܱ香的一个端点连在一起，点䁨，ܦ分别是ܱ
ܣ，ܱ香
的中点．若䁨ܦ⸹ꀀcm，则该工件内槽宽ܣ香的长为__________cm．
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【答案】8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点䁨，ܦ分别是ܱ
ܣ，ܱ香的中点，
∴䁨ܦ⸹
ͳ
ܦܣ香，
∴ܣ香⸹ܦ䁨ܦ⸹cm ，
故答案为：8．
8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点䁨，ܦ在线段ܣ香上（点C 在点ܣ，ܦ之间），分别以ܣܦ，香䁨为
边向同侧作等边三角形ܣܦܧ与等边三角形䁨香ܨ，边长分别为ܽ
，ܾ．䁨ܨ与ܦܧ交于点H，延长ܣܧ，香ܨ交
于点G，ܣܩ长为c．
（1）若四边形ܧ㔠ܨܩ的周长与ᇞ䁨ܦ㔠的周长相等，则ܽ
，ܾ，ܿ之间的等量关系为________．
（2）若四边形ܧ㔠ܨܩ的面积与ᇞ䁨ܦ㔠的面积相等，则a，b，c 之间的等量关系为________．
【答案】
ൌܽ൅ൌܾ
⸹͹ܿܽܦ൅ܾܦ⸹ܿܦ
【分析】由题意可得：ᇞܣ香ܩ为等边三角形，四边形ܧ㔠ܨܩ为平行四边形，ܣ香⸹ܣܩ⸹ܿ，（1）分别
求得四边形ܧ㔠ܨܩ的周长与ᇞ䁨ܦ㔠的周长，根据题意，求解即可；
（2）分别求得四边形ܧ㔠ܨܩ的面积与ᇞ䁨ܦ㔠
的面积，根据题意，求解即可．
【详解】解：等边三角形ܣܦܧ与等边三角形䁨香ܨ中，סܣ⸹ס香⸹סܧܦܣ⸹ס㔠䁨ܦ⸹͸Ͳι，
∴ᇞ䁨ܦ㔠和ᇞܣ香ܩ为等边三角形，䁨ܨ∥ܣܩ，ܧܦ∥香ܩ
∴ܣ香⸹ܣܩ⸹香ܩ⸹ܿ，四边形ܧ㔠ܨܩ为平行四边形，
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又∵等边三角形ܣܦܧ与等边三角形䁨香ܨ
∴ܩܨ⸹ܿ
െܾ，ܧܩ⸹ܿ
െܽ，ܣ䁨⸹ܿ
െܾ，
∴䁨ܦ⸹ܣܦെܣ䁨⸹ܽ
൅ܾ
െܿ，
（1）平行四边形ܧ㔠ܨܩ的周长为：ܦܨܩ൅ܧܩ⸹ܦܿ
െܾ
൅ܿ
െܽ
⸹ꀀܿെܦܽെܦܾ，
ᇞ䁨ܦ㔠的周长为：͵䁨ܦ⸹͵ܽ൅͵ܾെ͵ܿ
由题意可得：͵ܽ൅͵ܾെ͵ܿ⸹ꀀܿെܦܽെܦܾ
即：ൌܽ൅ൌܾ
⸹͹ܿ；
（2）过点ܨ作ܨܯ٣ ܧܩ，过点㔠作㔠ܰ
٣ 䁨ܦ，如下图：
在ܴ
ݐᇞܨܯܩ中，ܩܨ⸹ܿ
െܾ，סܩܯܨ⸹ͻͲι，סܩ⸹͸Ͳι，
∴ܯܨ⸹ܩܨൈsin͸Ͳι ⸹
͵ܿ
െܾ
ܦ
则平行四边形ܧ㔠ܨܩ的面积为ܧܩൈܯܨ⸹
͵ܿ
െܽܿ
െܾ
ܦ
在ܴ
ݐᇞ䁨ܰ㔠中，䁨㔠⸹ܽ
൅ܾ
െܿ，ס䁨ܰ㔠⸹ͻͲι，ס㔠䁨ܰ
⸹͸Ͳι，
∴㔠ܰ
⸹䁨㔠ൈsin͸Ͳι ⸹
͵ܽ
൅ܾെܿ
ܦ
则ᇞ䁨ܦ㔠的面积为：
ͳ
ܦൈ䁨ܦൈ㔠ܰ
⸹
͵ܽ
൅ܾെܿܦ
ꀀ
由题意可得：
͵ܽ
൅ܾെܿܦ
ꀀ
⸹
͵ܿ
െܽܿ
െܾ
ܦ
化简可得：ܽܦ൅ܾܦ⸹ܿܦ
故答案为：ൌܽ൅ൌܾ
⸹͹ܿ；ܽܦ൅ܾܦ⸹ܿܦ
9．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB 于点D，已知∠ABC 是钝角，则（
）
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A．线段CD 是ᇞABC 的AC 边上的高线
B．线段CD 是ᇞABC 的AB 边上的高线
C．线段AD 是ᇞABC 的BC 边上的高线
D．线段AD 是ᇞABC 的AC 边上的高线
【答案】B
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
【详解】∵线段CD 是ᇞABC 的AB 边上的高线，
∴A 错误，不符合题意；
∵线段CD 是ᇞABC 的AB 边上的高线，
∴B 正确，符合题意；
∵线段AD 是ᇞACD 的CD 边上的高线，
∴C 错误，不符合题意；
∵线段AD 是ᇞACD 的CD 边上的高线，
∴D 错误，不符合题意；
故选B．
10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上
一个适当的条件．
【答案】סܣ⸹͸Ͳι（答案不唯一）
【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加סܣ⸹͸Ͳι，理由如下：
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׶ᇞܣ香䁨为等腰三角形，
׵ ס香⸹ס䁨⸹
ͳͲιെסܣ
ܦ⸹͸Ͳι，
׵ᇞܣ香䁨为等边三角形，
故答案为：סܣ⸹͸Ͳι（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．
11．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在ᇞܣ香䁨中，סܣ香䁨⸹ꀀͲι，ס香ܣ䁨⸹Ͳι，以点ܣ为圆心，ܣ䁨长
为半径作弧，交射线香ܣ于点ܦ，连接䁨ܦ，则ס香䁨ܦ的度数是______．
【答案】10°或100°
【分析】分两种情况画图，由作图可知得ܣ䁨⸹ܣܦ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答
即可．
【详解】解：如图，点ܦ即为所求；
在Δܣ香䁨中，סܣ香䁨⸹ꀀͲι，ס香ܣ䁨⸹Ͳι，
׵ סܣ䁨香⸹ͳͲι െꀀͲι െͲι ⸹͸Ͳι，
由作图可知：ܣ䁨⸹ܣܦ，
׵ סܣ䁨ܦ⸹סܣܦ䁨⸹
ͳ
ܦሺͳͲι െͲιሻ⸹ൌͲι，
׵ ס香䁨ܦ⸹סܣ䁨香െסܣ䁨ܦ⸹͸Ͳι െൌͲι ⸹ͳͲι；
由作图可知：ܣ䁨⸹ܣܦԢ，
׵ סܣ䁨ܦԢ ⸹סܣܦԢ䁨，
׶ סܣ䁨ܦԢ ൅סܣܦԢ䁨⸹ס香ܣ䁨⸹Ͳι，
׵ סܣܦԢ䁨⸹ꀀͲι，
׵ ס香䁨ܦԢ ⸹ͳͲι െסܣ香䁨െסܣܦԢ䁨⸹ͳͲι െꀀͲι െꀀͲι ⸹ͳͲͲι．
综上所述：ס香䁨ܦ的度数是ͳͲι或ͳͲͲι．
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故答案为：ͳͲι或ͳͲͲι．
12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在ܴ
ݐᇞܣ香䁨中，D 为斜边ܣ䁨的中点，E 为香ܦ上一点，F 为䁨ܧ
中点．若ܣܧ⸹ܣܦ，ܦܨ⸹ܦ，则香ܦ的长为（
）
A．ܦܦB．3
C．ܦ͵
D．4
【答案】D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE＝AD，可以得到AD 的长，然后根据直角三
角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．
【详解】解：∵D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC 中，D 为斜边AC 的中点，
∴BD＝
ͳ
ܦAC＝AD＝4，
故选：D．
13．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点ܦ在ᇞܣ香䁨的边香䁨上，点ܲ
在射线ܣܦ上（不与点ܣ，ܦ重合），
连接ܲ
香，ܲ䁨．下列命题中，假命题是（
）
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A．若ܣ香⸹ܣ䁨，ܣܦ٣ 香䁨，则ܲ
香⸹ܲ
䁨
B．若ܲ
香⸹ܲ
䁨，ܣܦ٣ 香䁨，则ܣ香⸹ܣ䁨
C．若ܣ香⸹ܣ䁨，סͳ ⸹סܦ，则ܲ
香⸹ܲ
䁨
D．若ܲ
香⸹ܲ
䁨，סͳ ⸹סܦ，则ܣ香⸹ܣ䁨
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD 是否是BC 的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC，则A 是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP 是BC 的垂直平分线，所以AB=AC，则B 是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC，则C 是真命题；
因为PB=PC，△BCP 是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP 是BC 的垂直平分线，所以AB 和AC 不
一定相等，则D 是假命题．故选：D．
14．（2022·浙江金华·中考真题）已知三角形的两边长分别为ൌcm 和cm，则第三边的长可以是（
）
A．ܦcm
B．͵cm
C．͸cm
D．ͳ͵cm
【答案】C
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【详解】设第三边的长为x，
∵角形的两边长分别为ൌcm 和cm，
∴3cm＜x＜13cm,故选C．
15．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在ᇞܣ香䁨中，סܣ䁨香⸹ͻͲι，ܦ，ܧ，ܨ分别为ܣ香，香䁨，䁨ܣ的中点．若
ܧܨ的长为10，则䁨ܦ的长为________．
【答案】10
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵E、F 分别为BC、AC 的中点，
∴AB＝2EF＝20，
∵∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点，
∴䁨ܦ⸹
ͳ
ܦܣ香⸹ͳͲ，故答案为：10．
16．（2022·浙江衢州·中考真题）线段ܽ
，ܾ，ܿ首尾顺次相接组成三角形，若ܽ
⸹ͳ，ܾ
⸹͵，则ܿ
的长度可
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以是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c
的取值范围．
【详解】解：∵ܽ
⸹ͳ，ܾ
⸹͵，
∴ܾെܽ
൏ܿ
൏ܽ
൅ܾ，
即：ܿ൏ܦ
൏ꀀ，
∴c 的长度可能为3．故选：A
17．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在RtᇞACB 中，∠ACB=90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段
AM 上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC 的长．
【答案】(1)
证明：∵∠ACB=90°，点M 为边AB 的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
(2) ͵
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【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，
∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM 先求出CE 的长，再解直角三角形即可求出FC 的长．
【详解】（1）略
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM=
ͳ
ܦAB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE•cos30°= ͵．
18．（2022·浙江温州·中考真题）如图，香ܦ是ᇞܣ香䁨的角平分线，ܦܧ∥香䁨，交ܣ香于点E．
(1)求证：סܧ香ܦ⸹סܧܦ香．
(2)当ܣ香⸹ܣ䁨时，请判断䁨ܦ与ܧܦ的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：∵香ܦ是ᇞܣ香䁨的角平分线，
∴ס䁨香ܦ⸹סܧ香ܦ．
∵ܦܧ∥香䁨，
∴ס䁨香ܦ⸹סܧܦ香，
∴סܧ香ܦ⸹סܧܦ香．
(2)
䁨ܦ⸹ܧܦ．理由如下：
∵ܣ香⸹ܣ䁨，
∴ס䁨⸹סܣ香䁨．
∵ܦܧ∥香䁨，
∴סܣܦܧ⸹ס䁨ܥסܣܧܦ⸹סܣ香䁨，
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∴סܣܦܧ⸹סܣܧܦ，
∴ܣܦ⸹ܣܧ，
∴ܣ䁨െܣܦ⸹ܣ香െܣܧ，即䁨ܦ⸹香ܧ．
由（1）得סܧ香ܦ⸹סܧܦ香，
∴香ܧ⸹ܧܦ，
∴䁨ܦ⸹ܧܦ．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得סܣܦܧ⸹סܣܧܦ，则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，סܧ香ܦ⸹סܧܦ香，
可知BE = DE，等量代换即可．
【详解】（1）略
（2）略
19．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC 中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于
点E．P 是边BC 上的动点（不与B，C 重合），连结AP，将△APC 沿AP 翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P 与E 重合时，求α的度数．
(2)当P 与E 不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
【答案】(1)25°
(2)①当点P 在线段BE 上时，2α－β＝50°；②当点P 在线段CE 上时，2α＋β＝50°
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE 平分∠BAC，P 与E 重合，可得
∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD；
（2）分两种情况：①当点P 在线段BE 上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝
∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P 在线段CE 上时，延长AD 交BC 于点F，由∠ADC＝∠ACD＝
90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．
【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
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∵P 与E 重合，AE 平分∠BAC，
∴D 在AB 边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；
（2）①如图1，当点P 在线段BE 上时，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°；
②如图2，当点P 在线段CE 上时，
延长AD 交BC 于点F，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
考点02
三角形全等的判定与性质
1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ܣ香䁨ܦ上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E 在对角线香ܦ上．
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【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出ᇞܣ香ܧ، ᇞ䁨香ܧ的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足ܦܧ⸹ܦܣ，求“机翼角”ס香ܣܧ的度数．
【答案】(1)
证明：∵四边形ܣ香䁨ܦ是正方形，
∴ܣ香⸹䁨香，סܣ香ܦ⸹ס䁨香ܦ，
又∵香ܧ⸹香ܧ，
∴ᇞܣ香ܧ، ᇞ䁨香ܧSAS ；
(2))ܦܦൌι
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知
相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得ܣ香⸹䁨香，סܣ香ܦ⸹ס䁨香ܦ，据此可利用SAS 证明ᇞܣ香ܧ، ᇞ䁨香ܧ；
（2）由正方形的性质可得ס香ܣܦ⸹ͻͲι，סܣܦ香⸹ꀀൌι，再由等边对等角和三角形内角和定理求出סܦܣܧ
的度数即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形ܣ香䁨ܦ是正方形，
∴ס香ܣܦ⸹ͻͲι，סܣܦ香⸹ꀀൌι，
∵ܦܧ⸹ܦܣ，
∴סܦܣܧ⸹סܦܧܣ，
∵סܦܣܧ൅סܦܧܣ൅סܣܦܧ⸹ͳͲι，
∴סܦܣܧ⸹סܦܧܣ⸹͸͹)ൌι，
∴ס香ܣܧ⸹ס香ܣܦെסܦܣܧ⸹)ܦܦൌι．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形ܣ香䁨ܦ由四个全等的直角三角形ሺᇞܣ香ܧܥᇞ香䁨ܨܥᇞ䁨ܦܩܥᇞܦܣ㔠ሻ
和中间一个小正方形ܧܨܩ㔠组成，连接ܦܧ．若ܣܧ⸹ꀀܥ香ܧ⸹͵，则ܦܧ⸹（
）
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A．5
B．ܦ͸
C．ͳ͹
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得㔠ܧ的长度，利用勾股定理即
可解答，利用全等三角形的性质得到㔠ܧ⸹ͳ 是解题的关键．
【详解】解：׶ᇞܣ香ܧܥᇞ香䁨ܨܥᇞ䁨ܦܩܥᇞܦܣ㔠是四个全等的直角三角形，ܣܧ⸹ꀀܥ香ܧ⸹͵
׵ ܣ㔠⸹ܧ香，ܦ㔠⸹ܣܧ⸹ꀀ，
׵ 㔠ܧ⸹ܣܧെܣ㔠⸹ͳ，
׶四边形ܧܨܩ㔠为正方形，
׵ סܦ㔠ܧ⸹ͻͲι，
׵ ܦܧ⸹
ܦ㔠ܦ൅㔠ܧܦ⸹
ͳ͹，
故选：C．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ᇞܣܱ香与ᇞ䁨ܱܦ中，סܣ⸹ס䁨，请添加一个条件___________，
使得ᇞܣܱ香، ᇞ䁨ܱܦ．
【答案】ܱܣ⸹ܱ
䁨或ܱ
香⸹ܱ
ܦ或ܣ香⸹䁨ܦ
【分析】根据对顶角相等可得סܣܱ香⸹ס䁨ܱܦ，再添加边相等，可利用ASA 或AAS 判定ᇞܣܱ香، ᇞ䁨ܱܦ．
【详解】解：∵在ᇞܣܱ香与ᇞ䁨ܱܦ中，סܣ⸹ס䁨，סܣܱ香⸹ס䁨ܱܦ，
∴添加ܱ
ܣ⸹ܱ
䁨，则ᇞܣܱ香، ᇞ䁨ܱܦASA ；
或添加ܱ
香⸹ܱ
ܦ，则ᇞܣܱ香، ᇞ䁨ܱܦAAS ；
或添加ܣ香⸹䁨ܦ，则ᇞܣܱ香، ᇞ䁨ܱܦAAS ；
故答案为：ܱܣ⸹ܱ
䁨（答案不唯一）．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在ᇞܣ香䁨中，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交ܣ香，ܣ䁨
于点D，E．分别以点D，E 为圆心，大于
ͳ
ܦܦܧ长为半径画弧，交于ס香ܣ䁨内一点F.连结ܣܨ并延长，交香䁨
于点G．连结ܦܩ，ܧܩ.添加下列条件，不能使香ܩ⸹䁨ܩ成立的是（
）
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A．ܣ香⸹ܣ䁨
B．ܣܩ٣ 香䁨
C．סܦܩ香⸹סܧܩ䁨
D．ܣܩ⸹ܣ䁨
【答案】D
【分析】根据题意可知ܣܩ是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出香ܩ⸹䁨ܩ
即可．
【详解】根据题中所给的作图步骤可知，
ܣܩ是ᇞܣ香䁨的角平分线，即ס香ܣܩ⸹ס䁨ܣܩ．
当ܣ香⸹ܣ䁨时，又ס香ܣܩ⸹ס䁨ܣܩ，且ܣܩ⸹ܣܩ，
所以ᇞܣ香ܩ، ᇞܣ䁨ܩሺSASሻ，
所以香ܩ⸹䁨ܩ，
故A 选项不符合题意．
当ܣܩ٣ 香䁨时，
סܣܩ香⸹סܣܩ䁨⸹ͻͲι，
又ס香ܣܩ⸹ס䁨ܣܩ，且ܣܩ⸹ܣܩ，
所以ᇞܣ香ܩ، ᇞܣ䁨ܩሺASAሻ，
所以香ܩ⸹䁨ܩ，
故B 选项不符合题意．
当סܦܩ香⸹סܧܩ䁨时，
因为ס香ܣܩ⸹ס䁨ܣܩ，ܣܦ⸹ܣܧ，ܣܩ⸹ܣܩ，
所以ᇞܣܦܩ، ᇞܣܧܩሺSASሻ，
所以סܣܩܦ⸹סܣܩܧ，
又סܦܩ香⸹סܧܩ䁨，
所以סܣܩܦ൅סܦܩ香⸹סܣܩܧ൅סܧܩ䁨，
即סܣܩ香⸹סܣܩ䁨．
又סܣܩ香൅סܣܩ䁨⸹ͻͲι，
所以סܣܩ香⸹סܣܩ䁨⸹ͳͲι，
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则方法同（2）可得出香ܩ⸹䁨ܩ，
故C 选项不符合题意．
故选：D．
5．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形ܣ香䁨中，ܣ香⸹ܣ䁨，点D，E 分别在边ܣ香，ܣ䁨上，连
接香ܧ，䁨ܦ．下列命题中，假命题
．．．是（
）．
A．若䁨ܦ⸹香ܧ，则סܦ䁨香⸹סܧ香䁨
B．若סܦ䁨香⸹סܧ香䁨，则䁨ܦ⸹香ܧ
C．若香ܦ⸹䁨ܧ，则סܦ䁨香⸹סܧ香䁨
D．若סܦ䁨香⸹סܧ香䁨，则香ܦ⸹䁨ܧ
【答案】A
【分析】由ܣ香⸹ܣ䁨，可得סܣ香䁨⸹סܣ䁨香，再由䁨ܦ⸹香ܧ，香䁨⸹䁨香，由SSA 无法证明ᇞ香䁨ܦ与ᇞ䁨香ܧ
全等，从而无法得到סܦ䁨香⸹סܧ香䁨；证明ᇞܣ香ܧ؆ᇞܣ䁨ܦ可得䁨ܦ⸹香ܧ；证明ᇞܣ香ܧ؆ᇞܣ䁨ܦ，可得סܣ䁨ܦ⸹
סܣ香ܧ，即可证明；证明ᇞܦ香䁨؆ᇞܧ䁨香ܣtܣ，即可得出结论．
【详解】解：∵ܣ香⸹ܣ䁨，
∴סܣ香䁨⸹סܣ䁨香，
∵若䁨ܦ⸹香ܧ，
又香䁨⸹䁨香，
∴ᇞ香䁨ܦ与ᇞ䁨香ܧ满足“SSA”的关系，无法证明全等，
因此无法得出סܦ䁨香⸹סܧ香䁨，故A 是假命题，
∵若סܦ䁨香⸹סܧ香䁨，
∴סܣ䁨ܦ⸹סܣ香ܧ，
在ᇞܣ香ܧ和ᇞܣ䁨ܦ中，
סܣ䁨ܦ⸹סܣ香ܧ
ܣ香⸹ܣ䁨
סܣ⸹סܣ
，
∴ᇞܣ香ܧ؆ᇞܣ䁨ܦASA ，
∴䁨ܦ⸹香ܧ，故B 是真命题；
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若香ܦ⸹䁨ܧ，则ܣܦ⸹ܣܧ，
在ᇞܣ香ܧ和ᇞܣ䁨ܦ中，
ܣ香⸹ܣ䁨
סܣ⸹סܣ
ܣܧ⸹ܣܦ
，
∴ᇞܣ香ܧ؆ᇞܣ䁨ܦSAS ，
∴סܣ䁨ܦ⸹סܣ香ܧ，
∵סܣ香䁨⸹סܣ䁨香，
∴סܦ䁨香⸹סܧ香䁨，故C 是真命题；
若סܦ䁨香⸹סܧ香䁨，则在ᇞܦ香䁨和ᇞܧ䁨香中，
סܣ香䁨⸹סܣ䁨香
香䁨⸹香䁨
סܦ䁨香⸹סܧ香䁨
，
∴ᇞܦ香䁨؆ᇞܧ䁨香ASA ，
∴香ܦ⸹䁨ܧ，故D 是真命题；
故选：A．
6．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形ܣ香䁨ܦ中，ܣ香⸹ꀀ，ܣܦ⸹͸．在边ܣܦ上取一点E，使香ܧ⸹香䁨，
过点C 作䁨ܨ٣ 香ܧ，垂足为点F，则香ܨ的长为________．
【答案】ܦൌ
【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出ܣܧ，利用AAS 证明ᇞܣ香ܧ، ᇞܨ䁨香，根据全等三角形的性质
求解即可．
【详解】解：∵矩形ܣ香䁨ܦ中，ܣ香⸹ꀀ，ܣܦ⸹͸，
∴香䁨⸹ܣܦ⸹͸，סܣ⸹סܣ香䁨⸹ͻͲι，
又香ܧ⸹香䁨，
∴香ܧ⸹͸，
∴ܣܧ⸹
香ܧܦെܣ香ܦ⸹ܦൌ，
∵䁨ܨ٣ 香ܧ，סܣ香䁨⸹ͻͲι，
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∴ס香ܨ䁨⸹ͻͲι，סܣ香ܧ⸹ͻͲι െסܧ香䁨⸹ס香䁨ܨ，
∴סܣ⸹ס香ܨ䁨，
在ᇞܣ香ܧ和ᇞܨ䁨香中
סܣ⸹ס香ܨ䁨
סܣ香ܧ⸹סܨ䁨香
香ܧ⸹香䁨
，
∴ᇞܣ香ܧ، ᇞܨ䁨香AAS ，
∴香ܨ⸹ܣܧ⸹ܦൌ．
故答案为：ܦൌ．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在ᇞܣ香䁨和ᇞܦܧܨ中，香，ܧ，䁨，ܨ在同一条直线上．下面
四个条件：①ܣ香⸹ܦܧ；②ܣ䁨⸹ܦܨ；③香ܧ⸹䁨ܨ；④סܣ香䁨⸹סܦܧܨ．
(1)请选择其中的三个条件，使得ᇞܣ香䁨، ᇞܦܧܨ（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：ᇞܣ香䁨، ᇞܦܧܨ．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)
证明：当选择的条件为①②③时，
׶ 香ܧ⸹䁨ܨ，
׵ 香ܧ൅ܧ䁨⸹䁨ܨ൅ܧ䁨，
即香䁨⸹ܧܨ，
在ᇞܣ香䁨和ᇞܦܧܨ中，
ܣ香⸹ܦܧ
香䁨⸹ܧܨ
ܣ䁨⸹ܦܨ
，
׵ᇞܣ香䁨، ᇞܦܧܨSSS ；
当选择的条件为①③④时，
׶ 香ܧ⸹䁨ܨ，
׵ 香ܧ൅ܧ䁨⸹䁨ܨ൅ܧ䁨，
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即香䁨⸹ܧܨ，
在ᇞܣ香䁨和ᇞܦܧܨ中，
ܣ香⸹ܦܧ
סܣ香䁨⸹סܦܧܨ
香䁨⸹ܧܨ
，
׵ᇞܣ香䁨، ᇞܦܧܨSAS ．
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）略
8．（2022·浙江金华·中考真题）如图，ܣ䁨与香ܦ相交于点O，ܱܣ⸹ܱ
ܦܥܱ香⸹ܱ
䁨，不添加辅助线，判定
ᇞܣ香ܱ، ᇞܦ䁨ܱ
的依据是（
）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
【答案】B
【分析】根据ܱ
ܣ⸹ܱ
ܦ，ܱ香⸹ܱ
䁨，סܣܱ香⸹ס䁨ܱܦ正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO 和△DCO 中，ܱ
ܣ⸹ܱ
ܦ
סܣܱ香⸹ס䁨ܱܦܱ
香⸹ܱ
䁨
，
∴ᇞܣ香ܱ، ᇞܦ䁨ܱ
SAS ，故B 正确．
9．（2022·浙江衢州·中考真题）已知：如图，סͳ ⸹סܦ，ס͵ ⸹סꀀ．求证：ܣ香⸹ܣܦ．
【答案】
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证明：∵ס͵ ⸹סꀀ，סܣ䁨香൅ס͵ ⸹ͳͲι，סܣ䁨ܦ൅סꀀ⸹ͳͲι，
∴סܣ䁨香⸹סܣ䁨ܦ，
∵
סͳ ⸹סܦ
ܣ䁨⸹ܣ䁨
סܣ䁨香⸹סܣ䁨ܦ
，
∴△ACB≌△ACD，
∴ܣ香⸹ܣܦ．
【分析】由∠3=∠4 可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA 证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形
的性质即得结论．
【详解】略
10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在4×4 的方格纸中，点A，B 在格点上．请按要求画出格点线段
．．．．（线
段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1 中画一条线段垂直ܣ香．
(2)在图2 中画一条线段平分ܣ香．
【答案】(1)如图1，线段香䁨即为所求，满足香䁨٣ ܣ香．
(2)如图2，线段ܧܨ即为所求，满足ܧܨ平分ܣ香．
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【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得；
（2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得．
【详解】（1）略
（2）略
11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片ܣ香䁨ܦ折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，
折痕为ܧܨ．
(1)求证：ᇞܲ
ܦܧ، ᇞ䁨ܦܨ；
(2)若䁨ܦ⸹ꀀcm⸹ܨܧܥൌcm，求香䁨的长．
【答案】(1)
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE 和△CDF 中，
סܲ
⸹ס䁨ܲ
ܦ⸹䁨ܦ
סܲܦܧ⸹ס䁨ܦܨ
,
∴ᇞܲ
ܦܧ، ᇞ䁨ܦܨ（ASA）；
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(2)
ͳ͸
͵ cm
【分析】（1）利用ASA 证明即可；
（2）过点E 作EG⊥BC 交于点G，求出FG 的长，设AE=xcm，用x 表示出DE 的长，在Rt△PED 中，
由勾股定理求得答案．
【详解】（1）略
（2）如图，过点E 作EG⊥BC 交于点G，
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴ܩܨ⸹
ܧܨܦെܧܩܦ⸹͵cm,
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由ᇞܲ
ܦܧ، ᇞ䁨ܦܨ知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED 中，ܲܧܦ൅ܲ
ܦܦ⸹ܦܧܦ,
即ݔܦ൅ꀀܦ⸹͵ ൅ݔܦ，
解得，ݔ⸹
͹
͸，
∴BC=BG+GC=
͹
͸ ൅͵ ൅
͹
͸ ⸹
ͳ͸
͵ (cm）．
考点03 尺规作图及其依据
1．（2026·浙江·中考真题）【问题背景】
锦凌和同学们想利用图1 中圆心角为ͻͲι的扇形ܣܱ香，尺规作图分别画出含有ꀀൌι角和͵Ͳι角的直角三角形，
且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径．
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【尺规作图】
如图2 是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含ꀀൌι角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下：
①作סܣܱ香的角平分线，交弧ܣ香于点䁨．
②过点䁨作ܱ
䁨的垂线，分别交射线ܱ
ܣ，ܱ香于点ܦ，ܧ，连接ܦܧ．
则ᇞܦܱܧ为直角三角形．
(1)任务一：证明：סܱܦܧ⸹ꀀൌι．
【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形ܣܱ香，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含͸Ͳι
角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4 是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤．
作图方法1：
以
点香为圆心，ܱ香长为半径
画弧，交弧ܣ香于点ܨ…
作图方法2：
作ܱ
香
的垂直平分线，交弧ܣ香于点
ܩ…
(2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不
要求写出作图方法）
【答案】(1)证明：∵סܣܱ香⸹ͻͲι，ܱ䁨是סܣܱ香的角平分线，
∴סܦܱ䁨⸹סܧܱ䁨⸹
ͳ
ܦסܣܱ香⸹ꀀൌι，
又∵ܦܧ٣ܱ
䁨，
∴סܱ䁨ܦ⸹ͻͲι，
在Rt ᇞܦܱ䁨中，根据三角形内角和为ͳͲι，
∴סܱܦܧ⸹ͳͲι െסܱ䁨ܦെסܦܱ䁨⸹ͳͲι െͻͲι െꀀൌι ⸹ꀀൌι．
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(2)选作图方法1：
（选作图方法2：
）
【分析】（1）根据סܣܱ香⸹ͻͲι，ܱ䁨是סܣܱ香的角平分线，得出סܦܱ䁨⸹ꀀൌι，结合ܦܧ٣ܱ
䁨，即סܱ䁨ܦ⸹
ͻͲι，在Rt ᇞܦܱ䁨中，根据三角形内角和为ͳͲι，即可解答．
（2）根据方法1 和方法2 中的方法分别画图即可；
【详解】（1）略
（2）解：选作图方法1：
连接ܱ
ܨܥ香ܨ，由作图可知ܱ
香⸹香ܨ⸹ܱ
ܨ，
∴ᇞܱ
香ܨ是等边三角形，
∴סܨܱ香⸹͸Ͳι，
过点ܨ作ܱ
ܨ的垂线，分别交射线ܱ
ܣ、射线ܱ
香于点ܯ、ܰ，连接ܯܰ，
则ᇞܯܱܰ
就是所求的含͸Ͳι角的直角三角形：此时ܱ
ܨ（扇形半径）是斜边ܯܰ
上的高，且סܱܰ
ܯ⸹ͻͲι െ
͸Ͳι ⸹͵Ͳι、סܱܯܰ
⸹ͻͲι െ͵Ͳι ⸹͸Ͳι，符合要求；
选作图方法2：
连接ܱ
ܩܥ香ܩ，
根据垂直平分线的性质可得香ܩ⸹ܱ
ܩ，
又ܱ
ܩ⸹ܱ
香，
∴ܱ香⸹香ܩ⸹ܱ
ܩ，
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∴ᇞܱ
香ܩ是等边三角形，
∴סܩܱ香⸹͸Ͳι；
过点ܩ作ܱ
ܩ的垂线，分别交射线ܱ
ܣ、射线ܱ
香于点ܲ
、ܳ，连接ܲܳ
，
则ᇞܱܲܳ
就是所求的含͸Ͳι角的直角三角形：此时扇形半径ܱ
ܩ是斜边ܲܳ
上的高，且סܱܳܲ
⸹͵Ͳι、
סܱܲܳ
⸹͸Ͳι，符合要求．
2．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E 是
ܣ香䁨ܦ边ܣܦ上一点（不包含A，D），连接䁨ܧ．用尺规作ܣܨ∥䁨ܧ，F 是边香䁨上一点．
小明：如图2．以C 为圆心，ܣܧ长为半径作弧，交香䁨于点F，连接ܣܨ，则ܣܨ∥䁨ܧ．
小丽：以点A 为圆心，䁨ܧ长为半径作弧，交香䁨于点F，连接ܣܨ，则ܣܨ∥䁨ܧ．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明ܣܨ∥䁨ܧ；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)
证明：∵
ܣ香䁨ܦ，
∴ܣܦ∥香䁨，
又根据作图可知：ܣܧ⸹䁨ܨ，
∴四边形ܣܧ䁨ܨ是平行四边形，
∴ܣܨ∥ܧ䁨；
(2)以点A 为圆心，䁨ܧ长为半径作弧，与香䁨可能有两个交点，故存在问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，
（1）根据小明的作图方法证明即可；
（2）以点A 为圆心，䁨ܧ长为半径作弧，与香䁨可能有两个交点，据此作答即可．
【详解】（1）略
（2）原因：以点A 为圆心，䁨ܧ长为半径作弧，与香䁨可能有两个交点，
故无法确定F 的位置，
故小丽的作法存在问题．
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3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在Rt ᇞܣ香䁨中，סܣ䁨香⸹ͻͲι．
(1)尺规作图：
①作线段香䁨的垂直平分线ܯܰ，交ܣ香于点D，交香䁨于点O；
②在直线ܯܰ
上截取ܱ
ܧ，使ܱ
ܧ⸹ܱ
ܦ，连接䁨ܦ，香ܧ，䁨ܧ．（保留作图痕迹）
(2)猜想证明：作图所得的四边形香ܧ䁨ܦ是否为菱形？并说明理由．
【答案】(1)
①如图：直线ܯܰ
即为所求；
②如图，即为所求；
；
(2)四边形香ܧ䁨ܦ是菱形，
理由如下：
∵ܯܰ
垂直平分香䁨，
∴ܱ香⸹ܱ
䁨ܥ香ܦ⸹䁨ܦ，
∵ܱܦ⸹ܱ
ܧ，
∴四边形香ܧ䁨ܦ是平行四边形，
又∵香ܦ⸹䁨ܦ，
∴四边形香ܧ䁨ܦ是菱形．
【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O 为圆心，ܱܦ为半径作圆，交ܱܰ
于点E，连
线即可；
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（2）根据菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4 的矩形ܱ
ܣ香䁨分割成ꀀൈͳͲ 的小
正方形网格．在该矩形边上取点ܲ
，来表示סܱܲ
ܣ的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（答题卷用）
作法（如图）
结论
①在䁨香上取点ܲ
ͳ，使䁨ܲ
ͳ ⸹ꀀ．
סܲ
ͳܱܣ⸹ꀀൌι，点ܲ
ͳ表示ꀀൌι．
②以ܱ
为圆心，8 为半径作弧，与香䁨交
于点ܲܦ．
סܲܦܱܣ⸹͵Ͳι，点ܲ
ܦ表示͵Ͳι．
③分别以ܱܥܲܦ为圆心，大于ܱܲܦ长度一半
的长为半径作弧，相交于点ܧܨܥ，连结ܧܨ
与香䁨相交于点ܲ
͵．
…
④以ܲܦ为圆心，ܱܲܦ的长为半径作弧，与
射线䁨香交于点ܦ，连结ܱ
ܦ交ܣ香于点ܲ
ꀀ．
…
(1)分别求点ܲ
͵ܥܲ
ꀀ表示的度数．
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点ܲ
ൌ，使该点表示͵͹)ൌι（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)点ܲ
͵表示͸Ͳι；点ܲ
ꀀ表示ͳൌι
(2)
如图2，点ܲ
ൌ即为所求作的点．
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【分析】（1）根据矩形的性质可求出סܱܲܦ䁨度数，根据线段垂直平分线的性质סܲܦܱܲ
͵度数，即可求
出סܲ
͵ܱܣ的度数，从而知道ܲ
͵点表示度数；利用半径相等即可求出סܲܦܱܦ⸹סܲܦܦܱ，再根据平行线的性质
即可求出סܲܦܱܦ⸹סܦܱܣ以及对应的度数，从而知道ܲ
͵点表示度数．
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【详解】（1）解：①׶四边形ܱ
ܣ香䁨是矩形，
׵ 香䁨∥ܱܣ．
׵ סܱܲܦ䁨⸹סܲܦܱܣ⸹͵Ͳι
由作图可知，ܧܨ是ܱܲܦ的中垂线，
׵ܱܲ
͵ ⸹ܲ
͵ܲܦ．
׵ סܲ
͵ܱܲܦ⸹סܲ
͵ܲܦܱ
⸹͵Ͳι．
׵ סܲ
͵ܱܣ⸹סܲ
͵ܱܲܦ൅סܲܦܱܣ⸹͸Ͳι．
׵点ܲ
͵表示͸Ͳι．
②由作图可知，ܲܦܦ⸹ܲܦܱ．
׵ סܲܦܱܦ⸹סܲܦܦܱ．
又׶ 䁨香∥ܱ
ܣ，
׵ סܲܦܦܱ
⸹סܦܱܣ．
׵ סܲܦܱܦ⸹סܦܱܣ⸹
ͳ
ܦסܲܦܱܣ⸹ͳൌι．
∴点ܲ
ꀀ表示ͳൌι．
故答案为：点ܲ
͵表示͸Ͳι，点ܲ
ꀀ表示ͳൌι．
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（2）解：如图所示，
作סܲ
͵ܱܲ
ꀀ的角平分线等．如图2，点ܲ
ൌ即为所求作的点．
∵点ܲ
͵表示͸Ͳι，点ܲ
ꀀ表示ͳൌι．
סܲ
ൌܱܣ⸹
ͳ
ܦסܲ
͵ܱܣെסܲ
ꀀܱܣ൅סܲ
ꀀܱܣ⸹
ͳ
ܦסܲ
͵ܱܣ൅סܲ
ꀀܱܣ⸹
ͳ
ܦ͸Ͳι ൅ͳൌι ⸹͵͹)ൌι．
∴ܲ
ൌ表示͵͹)ൌι．
5．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：ܱܣ⸹ܱ
䁨ܣܥ香⸹香䁨，
又∵ܱ香⸹ܱ
香，
∴ᇞܱ
ܣ香؆ᇞܱ
䁨香，
∴סܣܱ香⸹ס䁨ܱ香，
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∴ܱ香平分סܣܱ䁨．
故A 选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：ܱܣ⸹ܱ
香ܥܱ䁨⸹ܱ
ܦ，
又∵ס䁨ܱ香⸹סܣܱܦ，
∴ᇞܱ
香䁨؆ᇞܱ
ܣܦ，
∴ܱܣ⸹ܱ
香，סܱܣܦ⸹סܱ香䁨，סܱ䁨香⸹סܱܦܣ，
∴ܣ䁨⸹香ܦ，
∵ס䁨ܧܣ⸹ס香ܧܦ,סܧ䁨ܣ⸹סܧܦ香，
∴ᇞܣܧ䁨؆ᇞ香ܧܦ，
∴ܣܧ⸹香ܧ，
∵סܧܣܱ
⸹סܧ香ܱܱ⸹ܣܱܥ香，
∴ᇞܱ
ܣܧ؆ᇞܱ
香ܧ，
∴סܣܱܧ⸹ס香ܱܧ，
∴ܱܧ平分סܣܱ香．
故B 选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：סܣܱ香⸹סܯ䁨ܰܥܱ䁨⸹䁨ܦ，
∴䁨ܦ∥ܱ
香,ס䁨ܱܦ⸹ס䁨ܦܱ，
∴סܦܱ香⸹ס䁨ܦܱ，
∴ס䁨ܱܦ⸹סܦܱ香，
∴ܱܦ平分סܣܱ香．
故C 选项是在作角平分线，不符合题意；
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D、如图，
由作图可知：ܱܣ⸹香䁨ܥܱ䁨⸹ܣ香，
又∵ܱ香⸹ܱ
香，
∴ᇞܣܱ香؆ᇞ䁨香ܱ，
∴סܣܱ香⸹סܱ香䁨ܥס䁨ܱ香⸹סܣ香ܱܥ
故D 选项不是在作角平分线，符合题意；故选：D
6．（2022·浙江宁波·中考真题）图1，图2 都是由边长为1 的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角
形的顶点称为格点，线段ܣ香的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
(1)在图1 中画出等腰三角形ܣ香䁨，且点C 在格点上．（画出一个即可）
(2)在图2 中画出以ܣ香为边的菱形ܣ香ܦܧ，且点D，E 均在格点上．
【答案】(1)如图，答案不唯一．
(2)如图：
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【分析】利用轴对称图形、中心对称图形的特点画出符合条件的图形即可；
【详解】（1）略
（2）略
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知סܣܱ香，按以下步骤作图：①以点ܱ
为圆心，适当长为半径画弧，
分别交边ܱ
ܣܱܥ香于点䁨ܦܥ；②以点ܱ
为圆心，大于ܱ
䁨长为半径画弧，分别交边ܱ
ܣܱܥ香于点ܧܨܥ；③连接䁨ܨܧܦܥ，
交点为ܩ，作射线ܱ
ܩ.则下列结论一定正确的是（
）
A．ܱܦ⸹ܦܧ
B．䁨ܨ٣ܱ
ܣ
C．סܣܱܩ⸹ס香ܱܩ
D．ܧ䁨⸹ܧܩ
【答案】C
【分析】根据作图步骤可得ܱ
䁨⸹ܱ
ܦܱ⸹ܧܱܥ
ܨ，利用SAS 证明ᇞܱ
䁨ܨ، ᇞܱ
ܦܧ，进而利用AAS 证明
ᇞ䁨ܧܩ، ᇞܦܨܩ，得到䁨ܩ⸹ܦܩ，最后利用SSS 证明ᇞܱ
䁨ܩ، ᇞܱ
ܦܩ，即可得出סܣܱܩ⸹ס香ܱܩ.
【详解】解：由作图步骤可知：ܱ䁨⸹ܱ
ܦܱ⸹ܧܱܥ
ܨ，
׶在ᇞܱ
䁨ܨ和ᇞܱ
ܦܧ中，
ሼܱ
䁨⸹ܱ
ܦ
ס䁨ܱܨ⸹סܦܱܧܱ
ܨ⸹ܱ
ܧ
，
׵ᇞܱ
䁨ܨ، ᇞܱ
ܦܧሺSASሻ；
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׵ סܱ䁨ܨ⸹סܱܦܧ；
׶ סܧ䁨ܩ⸹ͳͲι െסܱ䁨ܨܥסܨܦܩ⸹ͳͲι െסܱܦܧ，
׵ סܧ䁨ܩ⸹סܨܦܩ，
׶ܱ
ܧ⸹ܱ
ܨܥܱ䁨⸹ܱ
ܦ，
׵ܱ
ܧെܱ
䁨⸹ܱ
ܨെܱ
ܦ，
即䁨ܧ⸹ܦܨ；
׶在ᇞ䁨ܧܩ和ᇞܦܨܩ中，
ሼ
ס䁨ܩܧ⸹סܦܩܨ
סܧ䁨ܩ⸹סܨܦܩ
䁨ܧ⸹ܦܨ
，
׵ᇞ䁨ܧܩ، ᇞܦܨܩሺAASሻ；
׵ 䁨ܩ⸹ܦܩ；
׶在ᇞܱ
䁨ܩ和ᇞܱ
ܦܩ中，
ሼܱ
䁨⸹ܱ
ܦ
䁨ܩ⸹ܦܩܱ
ܩ⸹ܱ
ܩ
，
׵ᇞܱ
䁨ܩ، ᇞܱ
ܦܩሺSSSሻ；
׵ ס䁨ܱܩ⸹סܦܱܩ，
即סܣܱܩ⸹ס香ܱܩ.
其它选项均无法得到.
2．（2026·浙江台州·三模）如图，点P 是线段ܣ香上一点，分别以P 和A 为圆心，以香ܲܲܣܥ为半径，作圆
弧相交于点C，连结ܣ䁨，若ܣ䁨٣ ܣ香，则
ܣܲ
香ܲ的值为（
）
A．
ͳ
ܦB．
ܦ
ܦC．
͵
͵
D．
ൌെͳ
ܦ
【答案】B
【分析】连结䁨ܲ，由作图知香ܲ
⸹ܲ
䁨ܲܣܥ
ܣ⸹䁨，勾股定理求出ܲ
䁨，得到ܲ
香，即可解答．
【详解】解：连结䁨ܲ，
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由作图知香ܲ
⸹ܲ
䁨ܲܣܥ
ܣ⸹䁨，
∵ܣ䁨٣ ܣ香即סܣ⸹ͻͲι，
∴ܲ䁨⸹
ܣ䁨ܦ൅ܣܲܦ⸹ܦܣܲ，
∴香ܲ
⸹ܲ
䁨⸹ܦܣܲ，
∴
ܣܲ
香ܲ⸹
ܣܲ
ܦܣܲ⸹
ܦ
ܦ．
3．（2026·浙江杭州·二模）如图，ᇞܣ香䁨中，סܣ香䁨⸹͸Ͳι，ܣ䁨൐ܣ香．利用直尺和圆规作图：
①以点香为圆心，适当长为半径作弧，交香ܣ于ܯ，交香䁨于ܰ
；②分别以点ܯ、ܰ
为圆心，大于
ͳ
ܦܯܰ
长
为半径作弧，两弧相交于点ܨ，作射线香ܨ交ܣ䁨于点ܩ；③分别以点ܣ、䁨为圆心，大于
ͳ
ܦܣ䁨长为半径作
弧，两弧相交于点ܦ，ܧ两点，连接ܦܧ，交香ܨ于点ܲ
，交香䁨于点㔠，连接ܣܲ，䁨ܲ．下列判断错误的是
（
）
A．סܣ香ܲ
⸹͵Ͳι
B．ܲܣ⸹ܲ
䁨
C．若ܣܲ
∥香䁨，则四边形ܣ香㔠ܲ
是菱形
D．ס香ܣܲ
⸹ͻͲι ൅סܲ䁨ܣ
【答案】D
【分析】根据尺规作图可知，香ܲ
是סܣ香䁨的平分线，ܦܧ是ܣ䁨的垂直平分线，根据角平分线的性质和
线段垂直平分线的性质逐项判断即可．
【详解】解：由①、②可知，香ܲ
是סܣ香䁨的平分线，
׵ סܣ香ܲ
⸹ס䁨香ܲ
⸹
ͳ
ܦסܣ香䁨，
׶ סܣ香䁨⸹͸Ͳι，
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׵ סܣ香ܲ
⸹ס䁨香ܲ
⸹͵Ͳι，
故A 选项正确；
由③可知，ܦܧ是ܣ䁨的垂直平分线，
׵ܲ
ܣ⸹ܲ
䁨，
故B 选项正确；
如下图所示，连接ܣ㔠，
׶ ܣܲ
∥香䁨，
׵ סܲܣ䁨⸹ס㔠䁨ܣ，
׶ ܦܧ是ܣ䁨的垂直平分线，
׵ܲ
ܣ⸹ܲ
䁨，㔠ܣ⸹㔠䁨，
׵ סܲܣ䁨⸹סܲ䁨ܣ，ס㔠ܣ䁨⸹ס㔠䁨ܣ，
׵ ס㔠ܣ䁨⸹סܲ䁨ܣ，
׵ ܣ㔠∥ܲ
䁨，
׵四边形ܣ㔠䁨ܲ
是平行四边形，
又׶ܲ
ܣ⸹ܲ
䁨，
׵四边形ܣ㔠䁨ܲ
是菱形，
∴ܣܲ
⸹ܣ㔠，∵ܣܲ
∥香䁨，
∴סܣܲ香⸹ס䁨香ܲ
⸹͵Ͳι，
∴סܣܲ香⸹סܣ香ܲ
⸹͵Ͳι，
∴ܣܲ
⸹ܣ香，
∴ܣ㔠⸹ܣ香，
∵סܣ香䁨⸹͸Ͳι，
∴ᇞܣ香㔠是等边三角形，
∴ܣ香⸹香㔠，
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∵ܣܲ
∥香㔠，
∴四边形ܣ香㔠ܲ
是平行四边形，
∵ܣ香⸹香㔠，
∴四边形ܣ香㔠ܲ
是菱形，
故C 选项正确；
׶ סܲܣ䁨⸹סܲ䁨ܣ，
׵ ס香ܣܲ
⸹ס香ܣ䁨൅סܲܣ䁨⸹ס香ܣ䁨൅סܲ䁨ܣ，
不能说明ס香ܣ䁨⸹ͻͲι，
׵ ס香ܣܲ
⸹ͻͲι ൅סܲ䁨ܣ不成立，
故D 选项错误．
4．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知ס䁨ܣ香⸹ൌͲι，可以求出סܦܣ香⸹______．
【答案】ܦൌι/25 度
【详解】解：由尺规作图可知ܣܦ是ס香ܣ䁨的角平分线，
׵ סܦܣ香⸹
ͳ
ܦס䁨ܣ香⸹
ͳ
ܦൈൌͲι ⸹ܦൌι．
5．（2026·浙江宁波·二模）如图，סܣ䁨香⸹ͻͲι，在射线䁨ܣ上取一点ܦ，以点䁨为圆心，䁨ܦ长为半径画弧；
再以点ܦ为圆心，䁨ܦ长为半径画弧，两弧在סܣ䁨香的内部相交于点ܧ，连接ܦܧ并延长交射线䁨香于点ܨ，
设䁨ܦ⸹͵，则䁨ܨ的长是________．
【答案】͵ ͵
【分析】连接䁨ܧ，由作图可知䁨ܦ⸹ܦܧ⸹䁨ܧ，ᇞ䁨ܦܧ是等边三角形，根据含͵Ͳι角的直角三角形的
性质可知ܦܨ⸹䁨ܦ⸹͸，利用勾股定理求出䁨ܨ的长度．
【详解】解：如下图所示，连接䁨ܧ，
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由作图可知䁨ܦ⸹ܦܧ⸹䁨ܧ，
׵ᇞ䁨ܦܧ是等边三角形，
׵ ס䁨ܦܧ⸹͸Ͳι，
׶ סܣ䁨香⸹ͻͲι，
׵ סܦܨ䁨⸹͵Ͳι，
׶ 䁨ܦ⸹͵，
׵ ܦܨ⸹ܦ䁨ܦ⸹͸，
׵ 䁨ܨ⸹
ܦܨܦെ䁨ܦܦ⸹
͸ܦെ͵ܦ⸹͵ ͵.
6．（2026·浙江温州·三模）如图，ܣ香是ٖܱ
的直径，点䁨在ܣ香的延长线上，分别以ܱ
，䁨为圆心，适当
长为半径画弧交于点ܯ，ܰ，作直线ܯܰ
交ܱ
䁨于点ܲ
，再以ܲ
为圆心，ܲ䁨为半径画弧交ٖܱ
于点ܦ，连
接ܣܦ，䁨ܦ．若סܣ⸹ܦס䁨，则סܦ的度数为______．
【答案】ͳ͸ܦι/ͳ͸ܦ度
【分析】连接ܱ
ܦ，ܲܦ，根据作图可得ܱܲ
⸹ܲ
䁨⸹ܲ
ܦ，进而得出סܱܦ䁨⸹ͻͲι，设ס䁨⸹ߙ，根据已知
条件结合三角形内角和定理求得ߙ⸹ͳι，则סܱܦܣ⸹ܦߙ⸹͵͸ι，进而根据סܣܦ䁨⸹סܱܦܣ൅סܱܦ䁨，即可求
解．
【详解】解：连接ܱ
ܦ，ܲܦ
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根据作图可得ܱܲ
⸹ܲ
䁨⸹ܲ
ܦ
∴ܦ在以ܲ
为圆心，ܱ䁨为直径的圆上，
∴סܱܦ䁨⸹ͻͲι
设ס䁨⸹ߙ，
∴סܣ⸹ܦס䁨⸹ܦߙ
∵ܱܦ⸹ܱ
ܣ
∴סܱܦܣ⸹סܣ⸹ܦߙ
∴סܦܱ䁨⸹סܣ൅סܱܦܣ⸹ꀀߙ
∵在Rt ᇞܱ
ܦ䁨中，ס䁨൅סܦܱ䁨⸹ͻͲι
∴ߙ൅ꀀߙ⸹ͻͲι
解得：ߙ⸹ͳι
∴סܱܦܣ⸹ܦߙ⸹͵͸ι
∴סܣܦ䁨⸹סܱܦܣ൅סܱܦ䁨⸹͵͸ι ൅ͻͲι ⸹ͳ͸ܦι
7．
（2026·浙江湖州·二模）如图，在ᇞܣ香䁨中，香ܦ٣ ܣ䁨于点ܦ，点ܧ在边香䁨上，且ܣܧ⸹ܣ香，ס䁨ܣܧ⸹סܣ香ܦ，
过点ܧ作ܧܨ٣ ܣ䁨于点ܨ．已知䁨ܨ⸹͵，则ܣܦ⸹_____．
【答案】3
【分析】首先证明ᇞ香ܦܣ، ᇞܣܨܧ，由全等三角形的性质可得ܣܦ⸹ܧܨܥסͳ ⸹סܦ，进而可得ס൅ܦס͵ ⸹
ͻͲι；根据等腰三角形的性质可得סܣ香ܧ⸹סܣܧ香，即ס൅ܦסꀀ⸹סൌ；再证明香ܦ∥ܧܨ，易得סꀀ⸹ס͸；结合
ס͵ ൅סൌ൅ס͸ ⸹ͳͲι解得ס͸ ⸹ꀀൌι，即ᇞ䁨ܧܨ为等腰直角三角形，进一步可得ܣܦ⸹ܧܨ⸹䁨ܨ⸹͵．
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【详解】解：如下图，
∵香ܦ٣ ܣ䁨，ܧܨ٣ ܣ䁨，
∴ס香ܦܣ⸹סܣܨܧ⸹ͻͲι，
在ᇞ香ܦܣ和ᇞܣܨܧ中，
ס香ܦܣ⸹סܣܨܧ
סܣ香ܦ⸹ס䁨ܣܧ
ܣ香⸹ܣܧ
，
∴ᇞ香ܦܣ، ᇞܣܨܧAAS ，
∴ܣܦ⸹ܧܨܥסͳ ⸹סܦ，
∵ܧܨ٣ ܣ䁨，
∴סͳ ൅ס͵ ⸹ס൅ܦס͵ ⸹ͻͲι，
∵ܣ香⸹ܣܧ，
∴סܣ香ܧ⸹סܣܧ香，即ס൅ܦסꀀ⸹סൌ，
∵香ܦ٣ ܣ䁨，ܧܨ٣ ܣ䁨，
∴香ܦ∥ܧܨ，
∵סꀀ⸹ס͸，
∵ס͵ ൅סൌ൅ס͸ ⸹ͳͲι，
∴ס͵ ൅ס൅ܦסꀀ൅ס͸ ⸹ͻͲι ൅ܦס͸ ⸹ͳͲι，
∴ס͸ ⸹ꀀൌι，
∴ס䁨⸹ͻͲι െס͸ ⸹ꀀൌι ⸹ס͸，
∴ܧܨ⸹䁨ܨ⸹͵，
∴ܣܦ⸹ܧܨ⸹͵．
8．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形ܣ香䁨ܦ：①画סܯܣܰ；②以点ܣ为圆心，ൌcm 长
为半径画弧，分别交ܣܯ，ܣܰ
于点香，ܦ，连结香ܦ；③分别以点香，ܦ为圆心，大于
ͳ
ܦ香ܦ的长为半径画弧，
两弧在סܯܣܰ
内交于点ܧ；④作射线ܣܧ交香ܦ于点ܱ
，在射线ܣܧ上截取ܱ
䁨⸹ܣܱ；⑤连结香䁨、ܦ䁨．
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(1)求证：四边形ܣ香䁨ܦ是菱形；
(2)若香ܦ⸹ꀀcm，求四边形ܣ香䁨ܦ的面积．
【答案】(1)证明：由作图步骤可知：ܣ香⸹ܣܦ⸹ൌcm，ܣܧ平分ס香ܣܦ，ܱ䁨⸹ܣܱ，香、ܱ、ܦ在同一条
直线上，
∵ܣܧ平分ס香ܣܱ，
∴ס香ܣܱ
⸹סܦܣܱ，
在ᇞܣ香ܱ
和ᇞܣܦܱ
中，
∵
ܣ香⸹ܣܦ
ס香ܣܱ
⸹סܦܣܱܱ
ܣ⸹ܱ
ܣ
，
∴ᇞܣ香ܱ، ᇞܣܦܱ
SAS ，
∴ܱ香⸹ܱ
ܦ，סܣܱ香⸹סܣܱܦ，
∵香、ܱ、ܦ在同一条直线上，
∴סܣܱ香൅סܣܱܦ⸹ͳͲι，
∴סܣܱ香⸹סܣܱܦ⸹ͻͲι，即香ܦ٣ ܣ䁨，
∵ܱ香⸹ܱ
ܦ，ܱ䁨⸹ܣܱ，
∴四边形ܣ香䁨ܦ是平行四边形，
∵香ܦ٣ ܣ䁨，
∴平行四边形ܣ香䁨ܦ是菱形，
即四边形ܣ香䁨ܦ是菱形
(2)ꀀͳܦcmܦ
【分析】（1）先由作图条件得ܣ香⸹ܣܦ、ܣܧ平分ס香ܣܦ，证ᇞܣ香ܱ، ᇞܣܦܱ，推出对角线互相平分且
垂直，从而判定ܣ香䁨ܦ为菱形；
（2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线ܣ䁨的长度，再用菱形面积公式t ⸹
ͳ
ܦܣ䁨ڄ 香ܦ计算面积．
【详解】（1）略；
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（2）∵四边形ܣ香䁨ܦ是菱形，香ܦ⸹ꀀcm，
∴ܱܦ⸹ܱ
香⸹
ͳ
ܦ香ܦ⸹
ͳ
ܦൈꀀ⸹ܦcm ，ܣ䁨٣ 香ܦ，ܱܣ⸹ܱ
䁨，
在Rt ᇞܣܱܦ中，ܣܦ⸹ൌcm，ܱܦ⸹ܦcm，
∴ܣܱ
⸹
ܣܦܦെܱ
ܦܦ⸹
ൌܦെܦܦ⸹ͳܦcm ，
∴ܣ䁨⸹ܱܣܦ
ͳܦܦ⸹cm ，
∴t菱形ܣ香䁨ܦ⸹
ͳ
ܦܣ䁨ڄ 香ܦ⸹
ͳ
ܦൈͳܦܦൈꀀ⸹ꀀͳܦcmܦ，
即四边形ܣ香䁨ܦ的面积为ꀀͳܦcmܦ．
9．（2026·浙江丽水·模拟预测）ᇞܣ香䁨中，ס䁨⸹ͻͲι．尺规作图痕迹如图所示，其中点ܦ在ܣ䁨上，点ܧ
在ܣ香上，ܦܨ交ܧ香于点ܩ．
(1)若סܣ⸹ܦܦι，求סܦ香ܧ的度数．
(2)求证：ᇞ香䁨ܦ، ᇞܧܩܦ．
【答案】(1)͵ꀀι
(2)
【分析】（1）首先利用直角三角形两锐角互余求出סܣ香䁨⸹ͻͲι െסܣ⸹͸ι，然后由角平分线的定义
求解；
（2）首先得到ס香ܩܦ⸹ͻͲι ⸹ס䁨，然后由角平分线得到香ܦ平分סܣ香䁨，即可证明ᇞ香䁨ܦ، ᇞܧܩܦAAS ．
【详解】（1）解：∵סܣ⸹ܦܦι，ס䁨⸹ͻͲι
∴סܣ香䁨⸹ͻͲι െסܣ⸹͸ι
由作图得，香ܦ平分סܣ香䁨
∴סܦ香ܧ⸹
ͳ
ܦסܣ香䁨⸹͵ꀀι；
（2）证明：由作图得，ܦܨ٣ ܣ香
∴ס香ܩܦ⸹ͻͲι ⸹ס䁨
∵香ܦ平分סܣ香䁨
∴סܦ香ܩ⸹סܦ香䁨
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又∵香ܦ⸹香ܦ
∴ᇞ香䁨ܦ، ᇞܧܩܦAAS ．
10．（2026·浙江衢州·一模）【实验与验证】
如图1，做一个角平分仪ܣ香䁨ܦ，其中ܣ香⸹ܣܦ，香䁨⸹ܦ䁨，将角平分仪上的顶点A 与סܴܲܳ
的顶点R 重合，
调整ܣ香和ܣܦ，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线ܣܧ，ܣܧ就是סܴܲܳ
的平分线．
(1)请说明ܣܧ平分סܴܲܳ
的理由．
【迁移与作图】
(2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2 中作出סܴܲܳ
的平分线．
【答案】(1)
证明：在ᇞܣ香䁨和ᇞܣܦ䁨中，
ܣ香⸹ܣܦ
香䁨⸹ܦ䁨
ܣ䁨⸹ܣ䁨
，
∴ᇞܣ香䁨، ᇞܣܦ䁨SSS ,
∴ס香ܣ䁨⸹סܦܣ䁨,
即ܣܧ平分סܴܲܳ
；
(2)
如图，ܴ㔠是סܴܲܳ
的平分线．
【分析】（1）根据SSS 证明ᇞܣ香䁨، ᇞܣܦ䁨可得סܦܣ䁨⸹ס香ܣ䁨，从而可得ܣܧ平分סܴܲܳ
;;
（2）以点ܴ
为圆心，任意长为半径画弧，交ܴܲܥܴܳ于点ܯܥܰ，分别以点ܯܥܰ为圆心，大于
ͳ
ܦܯܰ
的长
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为半径画弧，两弧交于点㔠，连接㔠ܯܥ㔠ܰ，作射线ܴ
㔠，则ܴ
㔠平分סܴܲܳ
．
【详解】（1）略
（2）略
11．（2026·浙江丽水·二模）如图，在ᇞܣ香䁨中，按以下步骤尺规作图：①以点ܣ为圆心，适当长为半径作
弧，分别交ܣ香，ܣ䁨于点ܯ，ܰ；②再分别以点ܯ，ܰ
为圆心，适当长度为半径作弧，两弧交于点ܲ
，连接
ܣܲ
并延长交香䁨于点ܧ；③分别以点ܣ，ܧ为圆心，适当长度为半径画弧，两弧分别交于ܳ
，㔠两点，作直
线ܳ
㔠，分别交ܣ香，ܣ䁨于点ܦ，ܨ．
(1)求证：ܧܨ∥ܣ香；
(2)若ܣ香⸹͵，ܣ䁨⸹ܦ，求ܦ香的长．
【答案】(1)证明：由尺规作图可知，ܣܧ平分ס香ܣ䁨，ܳ㔠垂直平分ܣܧ．
׵ סܨܣܧ⸹ס香ܣܧ．
׶ܳ
㔠垂直平分ܣܧ．
׵ ܣܨ⸹ܧܨ．
׵ סܨܣܧ⸹סܨܧܣ．
׵ סܨܧܣ⸹ס香ܣܧ．
׵ ܧܨ∥ܣ香．
(2)
ͻ
ൌ．
【分析】（1）由尺规作图得出ܣܧ平分ס香ܣ䁨，ܳ㔠垂直平分ܣܧ，利用等腰三角形等边对等角的性质
进行角的等量代换，通过内错角相等证明ܧܨ∥ܣ香．
（2）先证明四边形ܣܦܧܨ是菱形．得ܣܨ⸹ܧܨ⸹ܣܦ⸹ܦܧ．由ܧܨ∥ܣ香推出ᇞ䁨ܧܨ׾ᇞ䁨香ܣ，设未知
数利用相似三角形对应边成比例列方程求解ܣܦ，再通过线段和差求出ܦ香的长．
【详解】（1）解：略；
（2）解：׶ܳ
㔠垂直平分ܣܧ．
׵ ܣܦ⸹ܦܧ，ܣܨ⸹ܧܨ．
小学
初中
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׵ סܨܧܣ⸹סܨܣܧ，
׶ ܣܧ平分ס香ܣ䁨．
׵ סܦܣܧ⸹סܨܣܧ⸹סܨܧܣ，
׵ ܧܨ∥ܣ香．
同理：ܦܧ∥ܣ䁨，
׵四边形ܣܦܧܨ是平行四边形．
׶ ܣܨ⸹ܧܨ．
׵四边形ܣܦܧܨ是菱形．
׵ ܣܨ⸹ܧܨ⸹ܣܦ⸹ܦܧ．
设ܣܦ⸹ݔ，则ܧܨ⸹ݔ，䁨ܨ⸹ܣ䁨െܣܨ⸹ܦെݔ．
׶ ܧܨ∥ܣ香．
׵ᇞ䁨ܧܨ׾ᇞ䁨香ܣ．
׵
ܧܨ
ܣ香⸹
䁨ܨ
ܣ䁨．
׵
ݔ
͵ ⸹
ܦെݔ
ܦ．
解得ݔ⸹
͸
ൌ．
׵ ܣܦ⸹
͸
ൌ．
׵ ܦ香⸹ܣ香െܣܦ⸹͵ െ
͸
ൌ⸹
ͻ
ൌ．
12．（2026·浙江宁波·二模）如图，ܧ是正方形ܣ香䁨ܦ的边䁨ܦ上一点（不与䁨，ܦ重合），分别以香，ܧ
为圆心，大于
ͳ
ܦ香ܧ长为半径画弧，两弧相交于点ܯ，ܰ，直线ܯܰ
交ܣ䁨于点ܨ，连结香ܨ，ܦܨ，ܧܨ．
(1)根据题中的尺规作图法可知：直线ܯܰ
是线段香ܧ的．
(2)求证：ܨܦ⸹ܨܧ．
(3)当סܧ香䁨⸹Ͳܦι时，求סܣ香ܨ的度数．
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【答案】(1)垂直平分线或中垂线
(2)见解析
(3)סܣ香ܨ⸹ܦൌι
【分析】（1）根据尺规作图可直接进行求解；
（2）由题意易得ס香䁨ܨ⸹סܦ䁨ܨ，则有ᇞ香䁨ܨ، ᇞܦ䁨ܨSAS ，然后可得香ܨ⸹ܦܨ，进而问题可求解；
（3）由题意易得ס䁨ܦܨ⸹סܨܧܦ⸹ס䁨香ܨ，然后可得סܨ香ܧ൅סܨܧ香⸹ͻͲι，则有סܨ香ܧ⸹ꀀൌι，进而问
题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：直线ܯܰ
是线段香ܧ的垂直平分线；
（2）证明：如图2，在正方形ܣ香䁨ܦ中，
׵ ܣ䁨平分ס香䁨ܦ，
׵ ס香䁨ܨ⸹סܦ䁨ܨ，
׶ 香䁨⸹䁨ܦ，䁨ܨ⸹䁨ܨ．
׵ᇞ香䁨ܨ، ᇞܦ䁨ܨSAS ，
∴香ܨ⸹ܦܨ，
又∵直线ܯܰ
是线段香ܧ的垂直平分线，
׵ 香ܨ⸹ܨܧ．
׵ ܦܨ⸹ܧܨ．
（3）解：׶ᇞ香䁨ܨ، ᇞܦ䁨ܨ，
׵ ס䁨香ܨ⸹ס䁨ܦܨ．
׶ ܦܨ⸹ܧܨ，
׵ ס䁨ܦܨ⸹סܨܧܦ⸹ס䁨香ܨ．
׶ סܨܧܦ൅סܨܧ䁨⸹ͳͲι，
׵ סܨܧ䁨൅סܨ香䁨⸹ͳͲι，
׵ ס香䁨ܧ൅ס香ܨܧ⸹ͳͲι，
∴ס香ܨܧ⸹ͳͲι െͻͲι ⸹ͻͲι，
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׵ סܨ香ܧ൅סܨܧ香⸹ͻͲι，
׵ סܨ香ܧ⸹ꀀൌι，
׶ ס䁨香ܧ⸹Ͳܦι，
׵ סܣ香ܨ⸹ͻͲι െסܨ香ܧെס䁨香ܧ⸹ܦൌι．
13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在锐角ᇞܣ香䁨中，ܣ香൏ܣ䁨൏香䁨，现要找一点ܦ，使得ס香ܦ䁨与סܣ相
等，小聪与小明的作法分别如下：
小聪：分别以点香，䁨为圆心，ܣ䁨，ܣ香长为半径画弧，两弧交于点ܦ（香䁨的下侧），则点ܦ即为所求．
小明：分别作ܣ香，ܣ䁨的垂直平分线，两线交于点ܱ
，以ܱ
为圆心，ܱܣ长为半径画弧，在弧上任意取一点
ܦ（异于点ܣ，香，䁨），则点ܦ即为所求．
(1)填空（填“小聪”、“小明”）：
①______________的作法正确；
②______________的作法不正确．
(2)证明①正确，写出证明过程；
(3)说明②中ס香ܦ䁨与סܣ的大小关系．
【答案】(1)①小聪的作法正确；②小明的作法不正确
(2)证明：由作图过程可知，香ܦ⸹ܣ䁨，䁨ܦ⸹ܣ香，
在ᇞܣ香䁨和ᇞܦ䁨香中，
ܣ香⸹ܦ䁨
ܣ䁨⸹ܦ香
香䁨⸹䁨香
׵ᇞܣ香䁨، ᇞܦ䁨香．
׵ ס香ܦ䁨⸹סܣ
(3)ס香ܦ䁨⸹סܣ或ס香ܦ䁨൅סܣ⸹ͳͲι
【分析】（1）由作图过程可知ᇞܣ香䁨، ᇞܦ䁨香，故小聪的作法正确；由作图过程可知，当点D 和点A
位于香䁨异侧的弧上时，ס香ܦ䁨与סܣ不一定相等，故小明的作法不正确；
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（2）根据全等的判定方法证明ᇞܣ香䁨، ᇞܦ䁨香即可；
（3）根据点D 的位置分情况讨论即可．
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：ס香ܦ䁨⸹סܣ或ס香ܦ䁨൅סܣ⸹ͳͲι，理由：
如图1，当点D 和点A 位于香䁨同侧的弧上，根据同弧所对的圆周角相等，则有ס香ܦ䁨⸹סܣ；
如图2，当点D 和点A 位于香䁨异侧的弧上，此时四边形ܣ香ܦ䁨为圆的内接四边形，根据圆内接四边
形对角互补，则有ס香ܦ䁨൅סܣ⸹ͳͲι．
【点睛】熟悉尺规作图的过程及几何原理是解决本题的关键．
14．（2026·浙江舟山·二模）如图，在Rt ᇞܣ香䁨中，ס䁨⸹ͻͲι，ܣܦ平分ס䁨ܣ香．
(1)请仅用无刻度直尺和圆规在ܣ香上找一点ܧ，使得ᇞܣ䁨ܦ، ᇞܣܧܦ，保留作图痕迹，并给出全等的证明过
程．
(2)若䁨ܦ⸹͵，ܣ香⸹ͳͲ，求ᇞܣ香ܦ的面积．
【答案】(1)
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证明：由作图可知ܣ䁨⸹ܣܧ，
∵ܣܦ平分ס䁨ܣ香，
׵ ס䁨ܣܦ⸹סܦܣܧ，
在ᇞܣ䁨ܦ和ᇞܣܧܦ中，
ܣ䁨⸹ܣܧ
ס䁨ܣܦ⸹סܦܣܧ
ܣܦ⸹ܣܦ
，
׵ᇞܣ䁨ܦ، ᇞܣܧܦSAS ；
(2)ͳൌ
【分析】ͳ 以点ܣ为圆心、ܣ䁨的长为半径画弧，交ܣ香于点ܧ，点ܧ即为所求，再利用SAS 证明
ᇞܣ䁨ܦ، ᇞܣܧܦ即可；
ܦ由全等三角形的性质可得䁨ܦ⸹ܧܦ⸹͵，סܣ䁨ܦ⸹סܣܧܦ⸹ͻͲι，即得ܦܧ٣ ܣ香，再利用三角形的面
积公式计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：׶ᇞܣ䁨ܦ، ᇞܣܧܦ，
׵ 䁨ܦ⸹ܧܦ⸹͵，סܣ䁨ܦ⸹סܣܧܦ⸹ͻͲι，
∴ܦܧ٣ ܣ香，
׵ tᇞܣ香ܦ⸹
ͳ
ܦܣ香ൈܦܧ⸹
ͳ
ܦൈͳͲ ൈ͵ ⸹ͳൌ．