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东城区 2022-2023 学年度第一学期期末教学统一检测
初二数学 2023．1
一、选择题(本题共20分，每小题2分)第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的
图形，即可求解．
【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意；
C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是能够根据轴对称图形的定义判断轴对称图形．
2. 下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可．
【详解】A． ，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B． ，B选项错误，所以B选项不符合题意；C． ，C选项正确，所以C选项符合题意；
D． ，D选项错误，所以D选项不符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数
幂的除法．
3. 已知 ．下面是“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹．该尺规作
图的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹，结合两个三角形全等
的判定定理即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图的依据是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及两个三角形
全等的判定定理是解决问题的关键．
4. 计算 ，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】依据多项式乘以多项式的法则即可求解．
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．
5. 正六边形的外角和为（ ）
A. 180° B. 360° C. 720° D. 1080°
【答案】B
【解析】
【分析】根据凸多边形的外角和定理求解即可．
【详解】任意凸多边形的外角和为360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是熟记基本结论．
6. 长方形的面积是 ．若一边长是 ，则另一边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方形的面积公式：面积 长 宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解： 长方形的面积是 ，一边长是 ，
另一边长是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题 的关键．
7. 如图，将一张四边形纸片 沿对角线 翻折，点 恰好落在边 的中点处．设 ， 分别为和 的面积， 和 数量关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠可知 ，根据中点的性质可知 的面积和 的面积相等，进
而求出 与 数量关系．
【详解】解：∵由折叠可知
∴
∵点 恰好是 的中点
∴
∵ 的面积为 ， 的面积是
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面积关系是解题的
关键．
8. 若一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数是（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是 ，根据多边形的内角和为 ，就得到一个关于n的方程，
从而求出边数．【详解】解：根据题意得：
，
解得： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题，难度适中．
9. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那
么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A. 4米，4米 B. 4米，10米
C. 7米，7米 D. 7米，7米，或4米，10米
【答案】C
【解析】
【分析】根据 米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．
【详解】解：当 米为底时，腰长为 米，另两边为7米、7米， ，符合三角形三
边关系，能组成三角形；
当 米为腰时，底边为 ，另两边为4米、10米， ，不符合三角形三边关系，故不
能组成三角形．
∴另两边为7米、7米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关
键．
10. 在平面直角坐标系 中，长方形 的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第
一象限，则点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意判断点 在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．【详解】解： 长方形 的两条对称轴是坐标轴，点 在第一象限，
点 在第三象限，
长方形 的领边分别为
点 的坐标为 或
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
二、填空题(本题共12分，每小题2分)
11. 若分式 的值为0，则 的值为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】∵分式 的值为0，
∴x=0，x-1≠0，
故答案为：0．
【点睛】此题考查分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）
分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13. 如图，点 在同一条直线上， ．添加一个条件，使得 ．
不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由 得到 ，由 得到 ，根据两个三角形全等的判定定
理可知，要么找到另一组对应角，利用 判定 ；要么选择 ，利用
判定 ，从而得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况：
① ：取 ，
在 和 中，
，
；
② ：取 ，
在 和 中，
，
；③ ：取 ，
在 和 中，
，
；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问
题的关键．
14. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点D，点E为 的中点，
连接 ．则 的度数是___________．
【答案】54 ## 度
【解析】
【分析】先求出 ，再求出 ，接着利用等角对等边和等腰三角形的性质得到 ，利
用直角三角形两个锐角互余求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定
理等知识，解题关键是牢记以上概念并灵活应用．
15. 如图，在 是 的平分线， 于点E， ．则 的面
积大小为___________．
【答案】13.5
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可得D到 的距离为3即可求得 的面积．
【详解】∵ 是 的平分线，
∴D到 的距离等于 的长，
∴ ，
故答案为：13.5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，连接 ．在线段 上
作点 ，使得 最小，并求点 的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的的方法，作法与图示如下表：
方法① 方法② 方法③
作点 关于直线 的对称点 ， 过点 作 于点 ，过点
过点 作 于点
连接 交于点 于 ，则点 作 于点 ，取
，则点 为所求．
为所求． 中点 ，则点 为所求．
其中正确的方法是_________（填写序号），点 的坐标是_______．
.
【答案】 ① ② ②.
【解析】
【分析】根据题中所给三种解法，结合题意即可确定正确方法为②，再根据图形即可得到点 的坐标，从
而得到答案．
【详解】解：由题意可知，其中正确的方法是②，结合第二种方法所作的图形可知点 的坐标是 ，
故答案为：②； ．
【点睛】本题考查 “将军饮马”模型解动点最值问题，涉及轴对称性质、两点之间线段最短等问题，读
懂题意，看懂三种作法，作出正确选择是解决问题的关键．
三、(本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题5分，第26题6分，第
27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值运算、负整数指数幂运算及零指数幂分别计算，再利用有理数加减运算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值运算、负整数指数幂、零指数幂等知识，熟练掌握相关计
算法则是解决问题的关键．
18. 化简：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用积的乘方运算计算，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，约分即可得到答案；
（2）根据平方差公式以及完全平方差公式展开后，利用去括号法则及合并同类项运算即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查分式化简以及整数混合运算，涉及积的乘方运算、约分、平方差公式、完全平方差公式、
去括号法则及合并同类项运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
19. 已知：如图， ， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明 ，再根据 得出 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴
在 和 中，
，
∴
∴ ．【点睛】本题考查三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法有： ，
选用合适的判定定理是解题的关键．
20. 在化简分式 时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式=
=
（1）甲同学从第 步开始出错（填序号）；
（2）请你写出正确的解法．
【答案】（1）② （2）见解析
【解析】
【分析】（1）分式的加减运算，先将异分母分式化为同分母分式，再进行运算；
（2）利用异分母分式加减的运算法则进行求解即可．
【小问1详解】
②，分式的加减运算，将异分母分式化为同分母分式，再进行运算，而不是去分母，所以甲同学从第②步
开始出错
【小问2详解】
原式=【点睛】本题考查异分母分式加减的运算法则，解题的关键是掌握异分母分式加减的运算法则．
21. 先化简，再求值： ，其中 从 ， ， 三个数中任取一个合适的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据分式的减法计算括号内的，然后根据分式的乘法进行计算化简，最后根据分式有意义的条件，
将 代入求值即可求解．
【详解】解：原式
．
由分式有意义，得
因此， ．
所以，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算是解题的关键．
22. 如图，在 ．（1）求证： ；
（2）分别以点A，C为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点D（点D在 的左侧），连接
．求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得 ，然后利用三角形内角和定理求出
，即可解答；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点E，根据题意可得 ，从而可得 是
等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得 ，从而利用平角定义可得 ，最
后在 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得 ，从而利用三角形的面积进行计算即
可解答.
【小问1详解】
在 中，
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
∴ ；
【小问2详解】
过点D作 的延长线于点E，由作图得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ , ,
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
23. 解分式方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程解法：去分母、解整式方程、验根、下结论等步骤求解即可得到答案．
【详解】解： ，
两边同时乘 得： ，解得 ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解决问题的关键．
24. 课堂上，老师提出问题：如图1， 是两条马路， 处是两个居民小区．现要在两条马路之
间的空场处建活动中心 ，使得活动中心 到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确
定活动中心 的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的过程补充完整．
步骤1分析：若要使得点 到点 的距离相等，则只需点 在线段 的垂直平分线上；若要使得点
到 的距离相等，则只需点 在 的角平分线上．
步骤2作图：如图2，作 的平分线 ，线段 的垂直平分线 交 于点 ，则点
为所求．
步骤3证明：如图2，
∵连接 ．过点P作 于点 ， 于点 ．
∵ ，且 （填写条件），
∴ （ ） （填写理由）．
∵点 在线段 的垂直平分线 上，
∴ （ ）（填写理由）．
∴点 为所求作的点．
【答案】点 P 在 ∠MON 的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的
点与这条线段两端的距离相等【解析】
【分析】根据题意，由角平分线 的性质及垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】证明：如图2，
∵连接 ．过点P作 于点 ， 于点 ．
∵ ，且点 在 的平分线上（填写条件），
∴ （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（填写理由）．
∵点 在线段 的垂直平分线 上，
∴ （线段垂直平分线上的点与这条线段两端的距离相等）（填写理由）．
∴点 为所求作的点．
故答案为：①点P在∠MON的平分线上；②角的平分线上的点到角的两边的距离相等；③ 线段垂直平分
线上的点与这条线段两端的距离相等．
【点睛】本题考查角平分线的性质及垂直平分线的性质，读懂题意，熟记角平分线的性质及垂直平分线的
性质是解决问题的关键．
25. 在 中， ．点 在 的延长线上， 的平分线交 于点 ．
的平分线与射线 交于点 ．
（1）依题意补全图形：用尺规作图法作 的平分线；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；
（2）由等腰三角形性质得到 ，再根据角平分线的性质得到 ，， 从 而 ， 在 中 ， 由 三 角 形 内 角 和 定 理 即 可 得 到
即可确定答案．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
在 中，
．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、等腰三角形性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟
练掌握尺规作图作角平分线是解决问题的关键．26. 列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的 倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄
金矩形更具美感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为 厘米，宽为 厘米的矩形．现要在
作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等
于 ．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注： ）
【答案】 厘米
【解析】
【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于 列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设边衬的宽度为 厘米，则装裱后作品的长为 厘米，宽为 厘米
根据题意列方程，得
解得：
经检验， 是原分式方程的解,且符合实际意义．
答：边衬宽度应设置为 厘米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，解题关键是找相等关系，学
会分析题意，提高理解能力．
27. 已知：在 中， ．点 与点 关于直线 对称，连接 交直线
于点 ．（1）当 时，如图1．用等式表示， 与 的数量关系是： ， 与 的数量关
系是： ；
（2）当 是锐角( )时，如图2；当 是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一
种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）① ；见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质，得出 ， ，根据含30
度角的直角三角形的性质，得出 ， ，进而得出 ；
（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解： ，点 与点 关于直线 对称，
， ， ，
则
， ，， ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【小问2详解】
选择图2时．
①补全图形如图2，
图2
②数量关系： ．
证明：在 上取点 ，使 ，连接 ．
点 与点 关于直线 对称，
， ．
， ．．
， ．
，
．，
．
．
．
，
．
选择图3时．
①补全图形如图3，
图3-
②数量关系： ．
证明：在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ．
点 与点 关于直线 对称，
， ．， ．
， ．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的
关键．
28. 在平面直角坐标系中， 对于点 和正方形 ，给出如下定义：若点 关于 轴的对称点
到正方形 的边所在直线的最大距离是最小距离的 倍，则称点 是正方形 的“ 倍距离
点”．已知：点 ．（1）当 时，
①点 坐标是 ；
②在 三个点中， 是正方形 的“ 倍距离点”；
（2）当 ，点 (其中 )是正方形 的“ 倍距离点”，求 的取值范围；
（3）点 ．当 时，线段 上存在正方形 的“ 倍距离点”，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；② ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）①当 时，可得点 ， ．根据四边形 是正方形，可得
，所以点 的坐标是 ；
②根据点 关于y轴的对称点坐标为 ，而点 到正方形 的边所在直线 的最大距
离是 ，到 的最小距离为 ，可得点 是正方形 的“ 倍距离点”，同理即可解决问题；（2）当 时，点 ， ． ，结合 即可解决问题；
（3）根据点 ， 关于 轴的对称点坐标为 ，得直线 的解析式
为 ，设线段 上一点 ，则 ，分两种情况讨论：当 在正方形内时，当 在
正方形外时，进而可以解决问题．
【小问1详解】
解：(1)①当 时，如图 ，点 ， ．
四边形 是正方形，
，
点 的坐标是 ，
故答案为： ；
② 点 关于 轴的对称点坐标为 ，
而点 到正方形 的边所在直线 的最大距离是 ，到 的最小距离为 ，
∴点 是正方形 的“ 倍距离点”；
同理可得点 是正方形 的“ 倍距离点”；同理可得点 是正方形 的“ 倍距离点”；
∴ ， 是正方形 的“ 倍距离点”，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由题意可知点 在直线 上，且位于 轴上方，
则点 在直线 上，且位于 轴上方．
当 时， ， ， ，点 到直线 的距离是 ，到直线 的距离是 ．
记点 到直线 的距离为 ，到直线 的距离为 ．
i．当 时，点 在线段 上 不含端点 ，
点 到正方形 的边所在直线的最大距离是 ，最小距离是 ．
，不符合题意；
．当 时，点 在线段 上，
点 到正方形 的边所在直线的最大距离是 ，最小距离是 ．，符合题意；
．当 时，点 在线段 不包含端点 上，
点 到正方形 的边所在直线的最大距离是 ，最小距离是 ．
，不符合题意；
．当 时，即点 在射线 上，
点 到正方形 的边所在直线的最大距离是 ，最小距离是 ．
，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是： ．
【小问3详解】
点 ， 关于 轴的对称点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得，
直线 的解析式为 ，
设线段 上一点 ，则 ，
当 在正方形内时，
① ，
，
舍去 ；
② ，
，
，
当 在正方形外时，
，
，
此时不存在 ，
综上所述，线段 上存在正方形 的“ 倍距离点”时， 或 ．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系， “ 倍距离点”的定义
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．
