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专题24.31 正多边形和圆（直通中考）
【要点回顾】
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边
形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
一、单选题
1．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小
不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心
对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则
（ ）A． B． C． D．
4．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率
的近似值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，
可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图， 的圆心O与正方形的中心重合，已知 的半径和正
方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A． B．2 C． D．
6．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点 在 上， 是
的中点，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
7．（2022·四川绵阳·统考中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事
展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长
为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶
点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的
边心距OG为（ ）A．3 B． C． D．3
10．（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心
与原点O重合， 轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转
结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为
．
12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3
个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．
13．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．14．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作
于点E，点P为线段 上一动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
15．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线 、 相交于点 ．则线段
的长为 ．
17．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在正六边形 中，连接 ，则
度．18．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形 和正五边形 内接于 ，且
有公共顶点A，则 的度数为 度．
三、解答题
19．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形 内接于圆， ，对角线 平分
．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，若 ，求 的面积．
20．（2020·山东威海·统考中考真题）如图， 的外角 的平分线与它的外接圆相交于点 ，
连接 ， ，过点 作 ，交 于点
求证：（1） ；（2） 为⊙O的切线．21．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并
回答下列问题，作法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；
③连接 ．
（1）求 的度数．
（2） 是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求
n的值．
22．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点 是正方形， 的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点 （异于点 ），使得 （保留作图痕迹，不写作
法）（2）连接 求证： ．
23．（2019·江苏镇江·中考真题）在三角形纸片 （如图1）中， ， ．小霞用
张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．
（1） _________°；
（2）求正五边形 的边 的长．参考值： ， ， ．
24．（2013·江苏无锡·中考真题）下面给出的正多边形的边长都是20 cm．请分别按下列要求设计一种
剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积
相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角
形的面积相等；
（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边
形的面积相等．
参考答案
1．B【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可．
解：正六边形的中心角的度数为： ，
∴正六边形绕其中心旋转 或 的整数倍时，仍与原图形重合，
∴旋转角的大小不可能是 ；
故选B．
【点拨】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的
求法，是解题的关键．
2．C
【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．
解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故
①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.
故选：C．
【点拨】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．
3．D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
4．C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得 ，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得
，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为 ，
设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形 ，过点 作 交 于点于点 ，∵ ，
∴ ，
则 ，
故正十二边形的面积为 ，
圆的面积为 ，
用圆内接正十二边形面积近似估计 的面积可得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，
圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
5．D
【分析】设正方形四个顶点分别为 ，连接 并延长，交 于点 ，由题意可得，
的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
解：设正方形四个顶点分别为 ，连接 并延长，交 于点 ，过点 作 ，如
下图：
则 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得： ，由勾股定理可得： ，
∴ ，
故选：D
【点拨】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，
确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．
6．C
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即
可．
解：如图，连接 ，
∵正六边形 ， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选Ｃ．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题
的关键．
7．A
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴ ，
∴ ，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴ ，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为 ．
故选：A
【点拨】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正
确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
8．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形 内接于 ，∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点拨】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关
键．
9．C
【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成
等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
解：∵圆O的周长为 ，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD= ，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C
【点拨】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．
10．B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合， 轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝ ＝ ，
∴A（1， ），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（ ，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1， ）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（ ，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1， ）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1， ），
故选：B
【点拨】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探
究规律的方法，属于中考常考题型．
11．18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
解：根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
12．10
【分析】先求出正五边形的外角为 ，则 ，进而得出 ，即可求解．
解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角 ，
∴ ，
∴ ，
∴共需要正五边形的个数 （个），
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
13．2
【分析】连接 ，首先证明出 是 的内接正三角形，然后证明出
，得到 ， ，进而求解即可．
解：如图所示，连接 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是 的内接正三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
同理可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆和正六边形的性质可得， ，
由圆和正三角形的性质可得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定
等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
14．6
【分析】过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，根据等边三角形的性质和圆内
接三角形的性质得到 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到 ，
进而求出 ，然后利用 代入求解即可．
解：如图所示，过点P作 ，连接 并延长交 于点F，连接
∵ 是等边三角形，
∴∵ 是等边三角形 的外接圆，其半径为4
∴ ， ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴ 的最小值为 的长度
∵ 是等边三角形， ，
∴
∴ 的最小值为6．
故答案为：6．
【点拨】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．36°
【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三
角形的性质可得∠BAC的度数．
解：正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°
∴ ，
∴ .
故答案为36°．
【点拨】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．
16．
【分析】根据正八边形的性质得出四边形 是矩形， 、 是等腰直角三角形，
，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出 ， ， 即可．
解：如图，过点 作 于 ，由题意可知，四边形 是矩形， 、 是等腰直角
三角形， ，
在 中， ， ，
，
同理 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
17．30
【分析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出 ，再根据等腰三角形等边对等
角的性质，三角形外角的性质求解即可．
解：
连接BE，交CF与点O，连接OA，在正六边形 中，
，
，
故答案为：30．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题
的关键．
18．12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
解：连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
19．（1）见分析；（2） ；
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S =S +S ，分别
四边形ABCD ABC ACD
△ △
求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求
得△BDE的面积=四边形ABCD的面积= .解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM= AD=1，AM= ，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S = CD-AM= ×3× = ，
ACD
△
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC= ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC= ，∴BN= ，
∴S = × × = ，
ABC
△
∴四边形ABCD的面积= + = ，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积= .
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝
∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得
EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．
解：证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EO⊥BC，
∵EF//BC，
∴EO⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四
边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（1） ；（2）是正三角形，理由见分析；（3）
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 ，则 （优弧所
对圆心角） ，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出 ，即可得出结论．
（1）解：∵正五边形 ．
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ （优弧所对圆心角） ，
∴ ；
（2）解： 是正三角形，理由如下：
连接 ，
由作图知： ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ 是正三角形；
（3）∵ 是正三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆
周角定理是解本题的关键．22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明 即可求解．
解： 如图所示，点 即为所求．
连接
由 得：
是正方形 中心，
在 和 中，
．
【点拨】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及
全等三角形的判定与性质．
23．（1） ；（2） .
【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；
（2）作CQ⊥AB于Q，根据正弦的定义求出QC，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算即可．解：（1）∵五边形 是正五边形，
，
，
故答案为 ；
（2）作 于 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形的应用，掌握正多边形的性质、正弦的定义是解
题的关键．
24．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析．
【分析】（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的
底面即可．
（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，
作为直三棱柱的一个底面即可．
（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，
作为直五棱柱的一个底面即可．
解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可．（2）如图2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可．
（3）如图，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．
