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专题11 三角形、全等与尺规作图
5 年真题1 年模拟
考点01
三角形的基本性质与特殊三角形
1．4
2．ͻ⩐ι/90 度
3．C
4．B
5．4
6．ܤൌܦൌǡൌܧܦ
ͳ荠
ʹ
7．8
8．
【详解】解：等边三角形ܣܧܦ与等边三角形ܥܤ䘐中，סܣൌסܤൌסܧൌܣܦסܪܥ⩐ ൌܦι，
∴ᇞܥܪܦ和ᇞܣܤ䁨为等边三角形，ܥ䘐∥ܣ䁨，ܧܦ∥ܤ䁨
∴ܣܤൌܣ䁨ൌܤ䁨ൌൌ，四边形ܧܪ䘐䁨为平行四边形，
又∵等边三角形ܣܧܦ与等边三角形ܥܤ䘐
∴䁨䘐ൌൌെܾ，ܧ䁨ൌൌെܽ，ܣܥൌൌെܾ，
∴ܥܦܣൌܦെܣܥൌܽ
ܾ
െൌ，
（1）平行四边形ܧܪ䘐䁨的周长为：ʹ 䘐䁨ܧ䁨ൌʹ ൌെܾ
ൌെܽ
ൌ⸷ൌെʹܽെʹܾ，
ᇞܥܪܦ的周长为：荠ܥൌܦ荠ܽ荠ܾെ荠ൌ
由题意可得：荠ܽ荠ܾെ荠ൌൌ⸷ൌെʹܽെʹܾ
即：ൌܽൌܾ
ൌൌ；
（2）过点䘐作䘐ܯ٣ ܧ䁨，过点ܪ作ܪܰ
٣ ܥܦ，如下图：
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在ܴ
ݐᇞ䘐ܯ䁨中，䁨䘐ൌൌെܾ，ס䁨ܯ䘐ൌͻ⩐ι，ס䁨ൌ ⩐ι，
∴ܯ䘐ൌ䁨䘐ൈsin ⩐ι ൌ
荠ൌെܾ
ʹ
则平行四边形ܧܪ䘐䁨的面积为ܧ䁨ൈܯ䘐ൌ
荠ൌെܽ
ൌെܾ
ʹ
在ܴ
ݐᇞܥܰܪ中，ܥܪൌܽ
ܾ
െൌ，סܥܰܪൌͻ⩐ι，סܪܥܰ
ൌ ⩐ι，
∴ܪܰ
ൌܥܪൈsin ⩐ι ൌ
荠ܽ
ܾെൌ
ʹ
则ᇞܥܪܦ的面积为：
ͳ
ʹ ൈܥܦൈܪܰ
ൌ
荠ܽ
ܾെൌʹ
⸷
由题意可得：
荠ܽ
ܾെൌʹ
⸷
ൌ
荠ൌെܽ
ൌെܾ
ʹ
化简可得：ܽʹ ܾ
ʹ ൌൌʹ
故答案为：ൌܽൌܾ
ൌൌ；ܽʹ ܾ
ʹ ൌൌʹ
9．B
10．סܣൌ ⩐ι（答案不唯一）
11．10°或100°
12D
13．D
14．C
15．10
16．A
17．
【答案】(1)
证明：∵∠ACB=90°，点M 为边AB 的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
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∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM=
ͳ
ʹAB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE•cos30°= 荠．
18．
【答案】(1)
证明：∵ܤܦ是ᇞܣܤܥ的角平分线，
∴סܥܤൌܦסܧܤܦ．
∵ܧܦ∥ܤܥ，
∴סܥܤൌܦסܧܤܦ，
∴סܧܤൌܦסܧܤܦ．
(2)
ܥܦܧൌܦ．理由如下：
∵ܣܤൌܣܥ，
∴סܥൌסܣܤܥ．
∵ܧܦ∥ܤܥ，
∴סܣൌܧܦסܥǡסܣܧൌܦסܣܤܥ，
∴סܣൌܧܦסܣܧܦ，
∴ܣܧܣൌܦ，
∴ܣܥെܣܤܣൌܦെܣܧ，即ܥܧܤൌܦ．
由（1）得סܧܤൌܦסܧܤܦ，
∴ܤܧൌܧܦ，
∴ܥܦܧൌܦ．
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19．
【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵P 与E 重合，AE 平分∠BAC，
∴D 在AB 边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；
（2）①如图1，当点P 在线段BE 上时，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°；
②如图2，当点P 在线段CE 上时，
延长AD 交BC 于点F，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
考点02
三角形全等的判定与性质
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1．
【答案】(1)
证明：∵四边形ܣܤܥܦ是正方形，
∴ܣܤൌܥܤ，סܣܤൌܦסܥܤܦ，
又∵ܤܧൌܤܧ，
∴ᇞܣܤܧ، ᇞܥܤܧSAS ；
（2）解：∵四边形ܣܤܥܦ是正方形，
∴סܤܣ⩐ͻൌܦι，סܣ⸷ൌܤܦൌι，
∵ܣܦൌܧܦ，
∴סൌܧܣܦסܣܧܦ，
∵סܧܣܦסܣܧܦסܣͳൌܧܦൌ⩐ι，
∴סൌܧܣܦסǤ ൌܣܧܦൌι，
∴סܤܣܧൌסܤܣܦെסǤʹʹൌܧܣܦൌι．
2．C
3．ܱܣൌܱ
ܥ或ܱ
ܤൌܱܦ或ܣܤൌܥܦ
4．D
5．A
6．ʹ ൌ
7．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)
证明：当选择的条件为①②③时，
ܤܧൌܥ䘐，
ܤܧܧܥൌܥ䘐ܧܥ，
即ܤܥൌܧ䘐，
在ᇞܣܤܥ和ᇞܧܦ䘐中，
ܣܤൌܧܦ
ܤܥൌܧ䘐
ܣܥൌܦ䘐
，
ᇞܣܤܥ، ᇞܧܦ䘐SSS ；
当选择的条件为①③④时，
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ܤܧൌܥ䘐，
ܤܧܧܥൌܥ䘐ܧܥ，
即ܤܥൌܧ䘐，
在ᇞܣܤܥ和ᇞܧܦ䘐中，
ܣܤൌܧܦ
סܣܤܥൌסܧܦ䘐
ܤܥൌܧ䘐
，
ᇞܣܤܥ، ᇞܧܦ䘐SAS ．
8．B
9．
【答案】
证明：∵ס荠ൌס⸷，סܣܥܤס荠ൌͳൌ⩐ι，סܣܥܦס⸷ൌͳൌ⩐ι，
∴סܣܥܤൌסܣܥܦ，
∵
סͳ ൌסʹ
ܣܥൌܣܥ
סܣܥܤൌסܣܥܦ
，
∴△ACB≌△ACD，
∴ܣܤൌܣܦ．
10．
【答案】(1)如图1，线段ܤܥ即为所求，满足ܤܥ٣ ܣܤ．
(2)如图2，线段ܧ䘐即为所求，满足ܧ䘐平分ܣܤ．
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11．
【答案】(1)
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE 和△CDF 中，
סܲ
ൌסܥܲ
ܦܥൌܦ
סܲൌܧܦסܥܦ䘐
,
∴ᇞܲܧܦ، ᇞܥܦ䘐（ASA）；
（2）如图，过点E 作EG⊥BC 交于点G，
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴䁨䘐ൌ
ܧ䘐ʹ െܧ䁨ʹ ൌ荠cm,
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由ᇞܲܧܦ، ᇞܥܦ䘐知，EP=CF=xcm，
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∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED 中，ܲܧʹ ܲܦʹ ൌܦܧʹ,
即ݔʹ ⸷ʹ ൌ荠ݔʹ，
解得，ݔൌ
，
∴BC=BG+GC=
荠
ൌ
ͳ
荠(cm）．
考点03 尺规作图及其依据
1．【答案】(1)证明：∵סܣܱܤൌͻ⩐ι，ܱܥ是סܣܱܤ的角平分线，
∴סൌܥܱܦסܧܱܥൌ
ͳ
ʹ סܣܱܤൌ⸷ൌι，
又∵ܧܦ٣ܱ
ܥ，
∴סܱܥ⩐ͻൌܦι，
在Rt ᇞܥܱܦ中，根据三角形内角和为ͳൌ⩐ι，
∴סܱͳൌܧܦൌ⩐ι െסܱܥܦെסͳൌܥܱܦൌ⩐ι െͻ⩐ι െ⸷ൌι ൌ⸷ൌι．
（2）解：选作图方法1：
连接ܱ
䘐ǡܤ䘐，由作图可知ܱ
ܤൌܤ䘐ൌܱ
䘐，
∴ᇞܱ
ܤ䘐是等边三角形，
∴ס䘐ܱܤൌ ⩐ι，
过点䘐作ܱ
䘐的垂线，分别交射线ܱ
ܣ、射线ܱ
ܤ于点ܯ、ܰ，连接ܯܰ，
则ᇞܯܱܰ
就是所求的含 ⩐ι角的直角三角形：此时ܱ
䘐（扇形半径）是斜边ܯܰ
上的高，且סܱܰ
ܯൌͻ⩐ι െ
⩐ι ൌ荠⩐ι、סܱܯܰ
ൌͻ⩐ι െ荠⩐ι ൌ ⩐ι，符合要求；
选作图方法2：
连接ܱ
䁨ǡܤ䁨，
根据垂直平分线的性质可得ܤ䁨ൌܱ
䁨，
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又ܱ
䁨ൌܱ
ܤ，
∴ܱܤൌܤ䁨ൌܱ
䁨，
∴ᇞܱ
ܤ䁨是等边三角形，
∴ס䁨ܱܤൌ ⩐ι；
过点䁨作ܱ
䁨的垂线，分别交射线ܱ
ܣ、射线ܱ
ܤ于点ܲ
、ܳ，连接ܲܳ
，
则ᇞܱܲܳ
就是所求的含 ⩐ι角的直角三角形：此时扇形半径ܱ
䁨是斜边ܲܳ
上的高，且סܱܳܲ
ൌ荠⩐ι、
סܱܲܳ
ൌ ⩐ι，符合要求．
2．
【答案】(1)
证明：∵
ܣܤܥܦ，
∴ܣܦ∥ܤܥ，
又根据作图可知：ܣܧൌܥ䘐，
∴四边形ܣܧܥ䘐是平行四边形，
∴ܣ䘐∥ܧܥ；
（2）原因：以点A 为圆心，ܥܧ长为半径作弧，与ܤܥ可能有两个交点，
故无法确定F 的位置，
故小丽的作法存在问题．
3．
【答案】(1)
①如图：直线ܯܰ
即为所求；
②如图，即为所求；
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；
(2)四边形ܤܧܥܦ是菱形，
理由如下：
∵ܯܰ
垂直平分ܤܥ，
∴ܱܤൌܱ
ܥǡܤܦܥൌܦ，
∵ܱܱൌܦ
ܧ，
∴四边形ܤܧܥܦ是平行四边形，
又∵ܤܦܥൌܦ，
∴四边形ܤܧܥܦ是菱形．
4．
【详解】（1）解：①四边形ܱ
ܣܤܥ是矩形，
ܤܥ∥ܱܣ．
סܱܲ
ʹܥൌסܲ
ʹܱܣൌ荠⩐ι
由作图可知，ܧ䘐是ܱܲ
ʹ的中垂线，
ܱܲ
荠ൌܲ
荠ܲ
ʹ．
סܲ
荠ܱܲ
ʹ ൌסܲ
荠ܲ
ʹܱ
ൌ荠⩐ι．
סܲ
荠ܱܣൌסܲ
荠ܱܲ
ʹ סܲ
ʹܱܣൌ ⩐ι．
点ܲ
荠表示 ⩐ι．
②由作图可知，ܲ
ʹൌܦܲ
ʹܱ．
סܲ
ʹܱൌܦסܲ
ʹܦܱ．
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又 ܥܤ∥ܱ
ܣ，
סܲ
ʹܦܱ
ൌסܣܱܦ．
סܲ
ʹܱൌܦסൌܣܱܦ
ͳ
ʹ סܲ
ʹܱܣൌͳൌι．
∴点ܲ
⸷表示ͳൌι．
故答案为：点ܲ
荠表示 ⩐ι，点ܲ
⸷表示ͳൌι．
（2）解：如图所示，
作סܲ
荠ܱܲ
⸷的角平分线等．如图2，点ܲ
ൌ即为所求作的点．
∵点ܲ
荠表示 ⩐ι，点ܲ
⸷表示ͳൌι．
סܲ
ൌܱܣൌ
ͳ
ʹ סܲ
荠ܱܣെסܲ
⸷ܱܣסܲ
⸷ܱܣൌ
ͳ
ʹ סܲ
荠ܱܣסܲ
⸷ܱܣൌ
ͳ
ʹ ⩐ι ͳൌι ൌ荠Ǥൌι．
∴ܲ
ൌ表示荠Ǥൌι．
5．D
6．
【答案】(1)如图，答案不唯一．
(2)如图：
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1．C
2．B
3．D
4．ʹൌι/25 度
5．荠荠
6．ͳʹ ι/ͳʹ 度
7．3
8．
【答案】(1)证明：由作图步骤可知：ܣܤൌܣൌܦൌcm，ܣܧ平分סܤܣܦ，ܱܥൌܣܱ，ܤ、ܱ、ܦ在同一条
直线上，
∵ܣܧ平分סܤܣܱ，
∴סܤܣܱ
ൌסܱܣܦ，
在ᇞܣܤܱ
和ᇞܣܦܱ中，
∵
ܣܤൌܣܦ
סܤܣܱ
ൌסܱܣܦܱ
ܣൌܱ
ܣ
，
∴ᇞܣܤܱ، ᇞܣܦܱSAS ，
∴ܱܤൌܱܦ，סܣܱܤൌסܣܱܦ，
∵ܤ、ܱ、ܦ在同一条直线上，
∴סܣܱܤסܣܱͳൌܦൌ⩐ι，
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∴סܣܱܤൌסܣܱൌܦͻ⩐ι，即ܤܦ٣ ܣܥ，
∵ܱܤൌܱܦ，ܱܥൌܣܱ，
∴四边形ܣܤܥܦ是平行四边形，
∵ܤܦ٣ ܣܥ，
∴平行四边形ܣܤܥܦ是菱形，
即四边形ܣܤܥܦ是菱形
（2）∵四边形ܣܤܥܦ是菱形，ܤ⸷ൌܦcm，
∴ܱܱൌܦ
ൌܤ
ͳ
ʹ ܤൌܦ
ͳ
ʹ ൈ⸷ൌʹ cm ，ܣܥ٣ ܤܦ，ܱܣൌܱ
ܥ，
在Rt ᇞܣܱܦ中，ܣൌܦൌcm，ܱʹൌܦcm，
∴ܣܱ
ൌ
ܣܦʹ െܱܦʹ ൌ
ൌʹ െʹʹ ൌ
ʹͳ cm ，
∴ܣܥൌʹܣܱ
ൌʹ ʹͳ cm ，
∴ܵ菱形ܣܤܥܦൌ
ͳ
ʹ ܣܥڄ ܤൌܦ
ͳ
ʹ ൈʹ ʹͳ ൈ⸷ൌ⸷ʹͳ cmʹ ，
即四边形ܣܤܥܦ的面积为⸷ʹͳcmʹ．
9．
【详解】（1）解：∵סܣൌʹʹι，סܥൌͻ⩐ι
∴סܣܤܥൌͻ⩐ι െסܣൌ ൌι
由作图得，ܤܦ平分סܣܤܥ
∴סൌܧܤܦ
ͳ
ʹ סܣܤܥൌ荠⸷ι；
（2）证明：由作图得，ܦ䘐٣ ܣܤ
∴סܤ䁨⩐ͻൌܦι ൌסܥ
∵ܤܦ平分סܣܤܥ
∴סܤܦ䁨ൌסܥܤܦ
又∵ܤܦܤൌܦ
∴ᇞܤܥܦ، ᇞܧ䁨ܦAAS ．
10．
【答案】(1)
证明：在ᇞܣܤܥ和ᇞܣܥܦ中，
ܣܤൌܣܦ
ܤܥൌܥܦ
ܣܥൌܣܥ
，
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∴ᇞܣܤܥ، ᇞܣܥܦSSS ,
∴סܤܣܥൌסܥܣܦ,
即ܣܧ平分סܴܲܳ
；
(2)
如图，ܴܪ是סܴܲܳ
的平分线．
11．
【答案】(1)证明：由尺规作图可知，ܣܧ平分סܤܣܥ，ܳܪ垂直平分ܣܧ．
ס䘐ܣܧൌסܤܣܧ．
ܳ
ܪ垂直平分ܣܧ．
ܣ䘐ൌܧ䘐．
ס䘐ܣܧൌס䘐ܧܣ．
ס䘐ܧܣൌסܤܣܧ．
ܧ䘐∥ܣܤ．
（2）解：ܳ
ܪ垂直平分ܣܧ．
ܣܧܦൌܦ，ܣ䘐ൌܧ䘐．
ס䘐ܧܣൌס䘐ܣܧ，
ܣܧ平分סܤܣܥ．
סൌܧܣܦס䘐ܣܧൌס䘐ܧܣ，
ܧ䘐∥ܣܤ．
同理：ܧܦ∥ܣܥ，
四边形ܣܧܦ䘐是平行四边形．
ܣ䘐ൌܧ䘐．
四边形ܣܧܦ䘐是菱形．
ܣ䘐ൌܧ䘐ൌܣܧܦൌܦ．
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设ܣݔൌܦ，则ܧ䘐ൌݔ，ܥ䘐ൌܣܥെܣ䘐ൌʹ െݔ．
ܧ䘐∥ܣܤ．
ᇞܥܧ䘐ᇞܥܤܣ．
ܧ䘐
ܣܤൌ
ܥ䘐
ܣܥ．
ݔ
荠ൌ
ʹെݔ
ʹ ．
解得ݔൌ
ൌ．
ܣൌܦ
ൌ．
ܤܣൌܤܦെܣൌܦ荠െ
ൌൌ
ͻ
ൌ．
12．
【详解】（1）解：由题意得：直线ܯܰ
是线段ܤܧ的垂直平分线；
（2）证明：如图2，在正方形ܣܤܥܦ中，
ܣܥ平分סܤܥܦ，
סܤܥ䘐ൌסܥܦ䘐，
ܤܥൌܥܦ，ܥ䘐ൌܥ䘐．
ᇞܤܥ䘐، ᇞܥܦ䘐SAS ，
∴ܤ䘐ൌܦ䘐，
又∵直线ܯܰ
是线段ܤܧ的垂直平分线，
ܤ䘐ൌ䘐ܧ．
ܦ䘐ൌܧ䘐．
（3）解：ᇞܤܥ䘐، ᇞܥܦ䘐，
סܥܤ䘐ൌסܥܦ䘐．
ܦ䘐ൌܧ䘐，
סܥܦ䘐ൌס䘐ܧൌܦסܥܤ䘐．
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ס䘐ܧܦס䘐ܧܥൌͳൌ⩐ι，
ס䘐ܧܥס䘐ܤܥൌͳൌ⩐ι，
סܤܥܧסܤ䘐ܧൌͳൌ⩐ι，
∴סܤ䘐ܧൌͳൌ⩐ι െͻ⩐ι ൌͻ⩐ι，
ס䘐ܤܧס䘐ܧܤൌͻ⩐ι，
ס䘐ܤܧൌ⸷ൌι，
סܥܤܧൌʹ⩐ι，
סܣܤ䘐ൌͻ⩐ι െס䘐ܤܧെסܥܤܧൌʹൌι．
13．
【答案】(1)①小聪的作法正确；②小明的作法不正确
(2)证明：由作图过程可知，ܤܥܣൌܦ，ܥܤܣൌܦ，
在ᇞܣܤܥ和ᇞܤܥܦ中，
ܣܤൌܥܦ
ܣܥൌܤܦ
ܤܥൌܥܤ
ᇞܣܤܥ، ᇞܤܥܦ．
סܤൌܥܦסܣ
（3）解：סܤൌܥܦסܣ或סܤܥܦסܣൌͳൌ⩐ι，理由：
如图1，当点D 和点A 位于ܤܥ同侧的弧上，根据同弧所对的圆周角相等，则有סܤൌܥܦסܣ；
如图2，当点D 和点A 位于ܤܥ异侧的弧上，此时四边形ܣܤܥܦ为圆的内接四边形，根据圆内接四边
形对角互补，则有סܤܥܦסܣൌͳൌ⩐ι．
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【答案】(1)
证明：由作图可知ܣܥൌܣܧ，
∵ܣܦ平分סܥܣܤ，
סܥܣൌܦסܧܣܦ，
在ᇞܣܥܦ和ᇞܣܧܦ中，
ܣܥൌܣܧ
סܥܣൌܦסܧܣܦ
ܣܦܣൌܦ
，
ᇞܣܥܦ، ᇞܣܧܦSAS ；
（2）解：ᇞܣܥܦ، ᇞܣܧܦ，
ܥൌܦܧൌܦ荠，סܣܥൌܦסܣܧ⩐ͻൌܦι，
∴ܧܦ٣ ܣܤ，
ܵ
ᇞܣܤܦൌ
ͳ
ʹ ܣܤൈൌܧܦ
ͳ
ʹ ൈͳ⩐ൈ荠ൌͳൌ．
