文档文本内容
1 / 21
学科网（北京）股份有限公司
专题10 相似三角形综合
5 年真题1 年模拟·答案版
考点01 相似三角形综合
1. 【答案】(1)60
(2)证明：
60
ACD
ABD
，
ACD
E
．
AC
EF
∥
．
∵四边形AFBD 是
O 的内接四边形，
180
AFB
ADB
．
ABD是等边三角形，
60
ADB
，
120
AFB
．
180
AFB
E
．
AF
CE
∥
．
∴四边形AFEC 是平行四边形．
(3)
7
3
2. 【答案】(1)
证明：
AB
AC
∵
，
ABC
ACB
．
AB
AB
，
ACB
ADB
，
ABC
ADB ．
ADB
DBE
E
，
ABC
DBE
E
．
2 / 21
学科网（北京）股份有限公司
(2)
证明：
AD
AD
，
ABD
ACD
．
BG
DG
，
BDG
ABD
ACD
，
又
DHF
CHD
，
HDF
HCD
∽
，
HF
HD
HD
HC
，
2
HD
HF HC
．
由（1）知，
ABC
DBE
E
，
又
ABC
DBE
ABD
，
ABD
E
，
BDG
E
．
ADB
ADG
BDG
DBC
E
，
ADG
DBC
．
∵CD
CD
，
DAC
DBC
，
ADG
DAC
，
AH
DH
，
2
AH
HF HC
．
(3)3 6
3. 【答案】(1)
1
2
(2)
过点B 作BM
AE ，交EO 延长线于点M ．
3 / 21
学科网（北京）股份有限公司
,
90
BAE
ABM
AEO
BMO
．
AO
BO
，
AOE
BOM
△
≌△
，
,
AE
BM OE
OM
．
1
2
OE
AE
，
2
BM
OE
EM
，
45
MEB
MBE
，
135
AEB
AEO
MEB
，
180
135
BEC
MEB
，
AEB
BEC
．
,
90
AB
AC
BAC
，
45
ABC
，
ABM
CBE
，
BAE
CBE
，
AEB
BEC
∽
．
(3)
如图，连接
,
DE DF ．
AB 是
O 的直径，
90 ,
2
ADB
AFB
AB
AO
．
,
90
AB
AC
BAC
，
2
,
45
BC
BD
DAB
．
4 / 21
学科网（北京）股份有限公司
由（2）知，AEB
BEC
∽
，
2
,
2
AE
AB
AO
AO
EAO
EBD
BE
BC
BD
BD
，
AOE
BDE
△
∽△
，
90
BED
AEO
．
90
DEF
．
AFB
DEF
，
AF
DE
．
由（2）知，
135
AEB
，
180
45
AEF
AEB
．
45
DFB
DAB
，
DFB
AEF
，
AE
FD
∥
，
四边形AEDF 是平行四边形，
AD
与EF 互相平分．
4. 【答案】(1)
证明：
DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90得到的，
45
DFC
，
,
AB
AC AO
BC
，
1
2
BAO
BAC
．
90
BAC
，
45
BAO
ABC
．
BAO
DFC
．
90 ,
90
EDA
ADM
M
ADM
，
EDA
M
．
ADE
FMC
△
∽△
．
(2)
135
ABF
(3)
证明：如图2：延长ON 交BF 于点T ，连接
,
DT DO ，
5 / 21
学科网（北京）股份有限公司
90
FBI
BOA
，
BF
AO
∥
，
FTN
AON
．
N 是AF 的中点，
AN
NF
．
又
TNF
ONA
，
TNF
ONA
△
≌△
，
,
NT
NO FT
AO
．
90 ,
,
BAC
AB
AC AO
BC
，
AO
CO
，
FT
CO
．
由（2）知，
BIF
DIC
△
∽△
，
DFT
DCO
．
DF
DC
=
，
DFT
DCO
△
≌△
，
,
DT
DO
FDT
CDO
，
FDT
FDO
CDO
FDO
，即
ODT
CDF
．
90
CDF
Q
，
90
ODT
CDF
，
1
2
ND
TO
NO
．
5. 【答案】(1)①
C
C
；②3c
(2)相似三角形的判定与性质
(3)最大宽度为
sin
cos
m
tan
a
a
6 / 21
学科网（北京）股份有限公司
1．
【答案】(1)证明：∵AE
DC ，
∴
ACD
CAE
，
由旋转可得，
90
FAE
∠
，
∵
90
BAC
，
∴
FAE
BAC
，
∴
BAF
CAE
，
∴
BAF
ACD
；
(2)
2
1
2．
【答案】(1)解：ADE 是等边三角形，理由如下：
过点A 作AF
BC
于点F，
1
2
ADE
S
DE AF
，
2
3
4
ADE
S
DE
，
2
1
3
2
4
DE AF
DE
，
3
2
AF
DE
，
AD
AE
∵
，
DF
EF
，
2
DE
DF
3
2
2
AF
DF
，
3
AF
DF
，
tan
3
ADF
，
60
ADF
，
7 / 21
学科网（北京）股份有限公司
AD
AE
∵
，
ADE
是等边三角形．
(2)120
3．
【答案】(1)
3
4
EF
BG
(2) AE 的长为2
4．
【答案】(1)证明：假设a 、b 、c 均为奇数，
则
2
a 、
2
b 、
2c 均为奇数
∴
2
2
a
b
为偶数，
由勾股定理得
2
2
2
c
a
b
，∴
2c 为偶数，
与
2c 为奇数相矛盾，假设不成立
∴a 、b 、c 不可能都是奇数．
(2) 4
3
5．
【答案】(1) 2
(2)
1
2
PH
EF
，
6．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
，
1,4
(2)
3
57 3
57
,
4
8
P
7．
【答案】(1)证明：∵AD 平分
BAC
，
∴
1
2
BAD
DAC
BAC
，
∵AF
AG
，
∴
AGF
AFG
，
∵
BAC
AGF
AFG
，
8 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
2
AGF
AFG
BAC
，
∴
BAD
AGF
，
∴AD GE ．
(2)2
8．
【答案】(1)
证明：
OC
OB
，
OCB
B
，
AB 是
O 的直径，
90
ACB
，
90
CAB
B
，
AM
∵
是
O 的切线，
90
DAB
，
90
DAC
CAB
，
B
DAC
，
DAC
OCB
；
(2)
30
B
(3)
1
tan
2
ADO
9．
【答案】(1)
证明：解法一：连接OD 交AC 于点G，连接OC ，
∵D 是AC 的中点，
∴
1
2
AG
CG
AC
，OD
AC
，
∴
90
DGC
，
9 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∵AB 为直径，
∴
90
ACB
，
∴
90
ACE
，
∵DE
BC
，
∴
90
E
，
∴四边形DGCE 为矩形，
∴
1
2
DE
CG
AC
，
∴
2
AC
DE
；
解法二：延长AD ，CE 相交于点N．
∵AB 为直径，
∴
90
ACB
ADB
BDN
．
∵D 是AC 的中点，
∴AD
CD
，
∴
ABD
CBD
．
又∵BD
BD
，
∴ABD
NBD
≌
，
∴AD
ND
．
∵DE
BC
，
∴
90
DEB
ACB
，
∴DE
AC
∥
，
∴
1
2
DE
ND
AC
NA
，
∴
2
AC
DE
；
(2)
2
EF
OF
10 / 21
学科网（北京）股份有限公司
10．
【答案】(1)
证明：由旋转的性质，得
ABC
DBE
，
ACB
DEB
，BA
BD
，BC
BE
，
∴
180
2
ABD
BAD
BDA
，
180
2
DBE
BCE
BEC
，
∴
BAD
BDA
BCE
BEC
，
∵
ACB
CAD
BDA
，
DEB
BEC
DEA
，
∴
CAD
DEA
，
∴DA
DE
，
∴DAE 是等腰三角形；
(2)4
11．
【答案】(1)①
CFE
CBA
∽
△
△
；②相似三角形对应边成比例；③
1
EF
B
E
F
CD
C
C
B
F
CF
AB
B
(2)解：如图，作BE
BC
交AD 于点E，BE 的长度作为R总值．
证明：
EB
BC
，
90
C
，
90
EBD
C
，
EB
AC
∥
，
CAD
BED
，
DBE
DCA
∽
，
AC
CD
BE
BD
，
AC
BC
，
1
BC
BD
BC
BC
BE
BD
BD
，
1
1
1
BE
BC
BD
，
BE 的长度可以作为R总值．
11 / 21
学科网（北京）股份有限公司
12．
【答案】(1)
证明：如图，连接OB ，
BC 是
O 的切线，
OB
BC
，
AD
CB
，
OB
AD
∥
，
BAD
ABO
，
OA
OB
，
ABO
BAO
，
BAD
BAO
，
AB
平分
CAD
；
(2) 1
3
13．
【答案】(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB
CD
∴AB
CD
∴
APB
CBD
∵
BFE
PFB
∴
BEF
PBF
△
∽△
；
(2) 2
3
(3)
2
BP
DP
AP
，理由如下：
延长PB 到点H，使得BH
DP
，连接AH ，
12 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∵
180
180
ADP
ABP
ABH
ABP
,
，
∴
ADP
ABH
，
∵正方形ABCD中，AB
AD
，
又∵BH
DP
∴
SAS
ADP
ABH
≌
∴
,
AH
AP
BAH
DAP
∵正方形ABCD中，
90
BAD
，
∴
90
HAP
BAH
BAP
DAP
BAP
BAD
∴
2
2
2
PH
AP
AH
AP
∴
2
BP
BH
AP
∴
2
BP
DP
AP
．
14．
【答案】(1)
证明：
AB
AC
∵
，
ADB
ABC
，
ADB
ABC
ACB
，
ACE
BDE
，
E
E
，
ACE
BDE
∽
；
(2)
证明：如图，作AH
AD
于点A ，交BD 于点H ,
13 / 21
学科网（北京）股份有限公司
90
DAH
，
BD
CD
，
90
BDC
，
由（1）得：
ACE
BDE
∽
△
△
，
CAE
DBE
，
AGD
BGC
，
AGD
BGC
∽
，
AG
DG
BG
CG
，
AGB
DGC
，
AGB
DGC
∽
，
90
BAG
BDC
，
BAH
CAD
，
AB
AC
∵
，
45
ADB
ABC
ACB
，
AH
AD
，
2
HD
AD
，
在
ABH
△
和ACD 中，
AB
AC
BAH
CAD
AH
AD
ABH
ACD SAS
≌
，
BH
CD
，
2AD
CD
HD
BH
BD
；
(3) 7
2
15．
【答案】(1)
证明：由旋转的性质，得AF
AD
，
60
DAC
．
14 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∵ABC是等边三角形，
∴
60
BAC
，AB
AC
．
∴
FAB
DAC
∵AF
AD
，
DAC
FAB
，AC
AB
，
∴
SAS
DAC
FAB
≌
，
∴
ADC
AFB
；
(2)①证明：由平移的性质，得EF
AB，
∴
60
AFE
FAB
，
连接DF ，
由（1）得AF
AD
，
60
DAC
，
∴DAF 是等边三角形，
60
AFD
AFE
，
∴D
E
F
，，
三点在同一条直线上；
②2
3
16．
【答案】(1) 10
(2)
解：BE
DF
EF
，
理由：延长CB 至M，使BM
DF
，连接AM ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB
AD
，
90
ABM
ADF
，
在ABM 和ADF 中，
15 / 21
学科网（北京）股份有限公司
AB
AD
ABM
ADF
BM
DF
，
∴
ABM
ADF SAS
≌
，
∴AM
AF
，
BAM
DAF
，
∵
45
EAF
,
90
BAD
，
∴
45
BAE
DAF
，
又∵
BAM
DAF
，
∴
45
BAE
BAM
，即
45
MAE
，
在
MAE
△
和FAE 中，
AM
AF
MAE
FAE
AE
AE
，
∴
MAE
FAE SAS
≌
，
∴ME
EF
，
∵ME
BE
BM
，BM
DF
，
∴BE
DF
EF
．
(3)
2
1
2
17．
【答案】(1)证明：如图，连接OD ，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴
90
BAC
，
∵AD 平分
BAC
，
∴
2
BAC
BAD
，
∵BD
BD
，
16 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
BOD
BAD
，
∴
90
BOD
BAC
，
∵DP
BC
∥
，
∴
90
ODP
BOD
，
∴PD
OD
，
∵OD 是
O 半径，
∴PD 是
O 的切线；
(2)证明：∵DP
BC
∥
，
∴
ACB
P
，
∵AB
AB
，
∴
ACB
ADB
，
∴
ADB
P
，
∵四边形ABDC 是圆内接四边形，
∴
180
ABD
ACD
，
∵
180
ACD
DCP
，
∴
ABD
DCP
，
∴
ABD
DCP
△
∽△
∴AB
BD
DC
CP
．
(3)10 13
3
18．
【答案】(1)①证明：由折叠的性质得：
,
B
AFE BE
FE
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD ，
∴
B
PCG
，
∴
AFE
PCG
，
∵
AFE
QFG
，
∴
PCG
QFG
，
∵
FGQ
CGP
，
∴由三角形内角和定理得，
CQE
P
，
17 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∵CE
BE
，BE
EF
∴EF
EC
，
又∵
CEQ
FEP
，
∴
AAS
EFP
ECQ
≌
；
②4
(2)
4
15
19．
【答案】(1)证明：由对称的性质可得
,
BF
BC EF
CE
，
∵BE
BE
，
∴
, ,
BCE
BFE S S S
≌
，
∴
BFE
C
，
∵矩形ABCD 中，
90
A
D
C
，
∴
90
BFE
C
，
∴
90
AFB
DFE
，
∵
90
AFB
ABF
，
∴
ABF
DFE
，
∵
90
A
D
，
∴
ABF
DFE
∽
△
△
；
(2)①证明：∵矩形ABCD 中，AB
AD
，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴AB
BC
，
由对称的性质得
,
BC
BF BP
CF
，
∴
90 ,
,
FNP
BF
AB
PBF
PBC
，
∴
BAF
BFA
，
设
BAF
BFA
，
ABF
，
∴
1 90
45
2
2
PBF
PBC
ABF
，
∵
180
BAF
BFA
ABF
，即2
180
，
∴
90
2
，
18 / 21
学科网（北京）股份有限公司
∵
BFA
P
PBF
，即
45
2
P
，
∴
45
45
2
P
，
∴
90
45
PFN
P
，
∴
45
PFN
P
，
∴FN
PN
；
②10
20．
【答案】(1)证明：
AEB
BEC
∽
，
ABE
BCE
．
BCD
BCE
，
ABE
BCD
．
ABC
ABE
CBE
BCD
D
Q
，
CBE
D
，
BEC
DBC
△
∽△
．
(2)证明：
BE 平分
ABC
，
ABE
EBC
．
AEB
BEC
∽
，
ABE
BCE
，
EAB
EBC
，
ABE
BCE
EAB
EBC
，
BE
BE
，
AAS
AEB
BEC
△
≌△
，
AB
CB
，
45 ,
90
ACB
CAB
ABC
，
45
ABE
CBE
，
45
BCE
EAB
，
90
AEB
CEB
，
180
AEB
CEB
，
A 、E 、C 三点共线．
19 / 21
学科网（北京）股份有限公司
(3)解：存在；
2
2
BE
AB
最大
．
21．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
ABC
ADC
，
∵
180
HDC
ADC
，
∴
HDC
ABC
，
∵CE
AB
，
∴
90
BFC
，
∴
90
FCB
FBC
，
∴
90
HDC
FCB
；
(2)①证明：∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ACB
ADB
，
∴
180
90
GDH
ADB
，
∵CE
AB
，
∴
90
BFG
AFH
，
∵
90
H
HGD
，
90
GBF
BGF
，
BGF
HGD
，
∴
H
GBF
，
∴BGF
HFA
∽
，
∴FG
BF
AF
FH
，
∴FG FH
BF AF
，
∵
90
ACF
BCF
BCF
CBF
，
∴
ACF
CBF
，
∵
90
AFC
BFC
，
∴BFC
CFA
∽
，
∴BF
CF
CF
AF
，
∴
2
BF AF
CF
，
∴
2
FC
FG FH
；
20 / 21
学科网（北京）股份有限公司
②
2
2
1 t
t
22．
【答案】(1)证明：∵OA
OC
，
∴
15
ACO
CAB
．
由翻折得，
15
DCO
ACO
，
∴
30
ACD
．
∴
2
60
AOD
ACD
，
∵OA
OD
，
∴OAD 是等边三角形，
∴AD
OA
．
(2)证明：设
CAB
，
由（1）得
2
ACD
，
由翻折得AC
DC
，
∴
180
90
2
ACD
CAD
CDA
．
∴
90
2
BAD
CAD
CAB
．
∵点E 是BD的中点，
∴
1
45
2
BAE
BAD
．
∴
45
CAE
CAB
BAE
．
(3)
O 的直径为68
15
23．
【答案】(1)60°
(2)①
3 5
5
DN
；②当0
45
AOC
时，
1
2
2
DG
DP
；当45
60
AOC
时，
1
2
2
DG
DP
21 / 21
学科网（北京）股份有限公司
24．
【答案】(1) 40
(2)①证明：设
ABO
，
∵BO 平分
ABC
∴
ABO
OBC
，
∴
2
EBC
α
，
∵OB
OA
，
∴
BAO
ABO
，
∵CE
AB
，
∴
90
AFE
DFC
，
90
2
BCE
，
∵
.
BCD
BAD
，
∴
90
2
90
DCF
BCD
BCE
，
∴
DCF
DFC
∠
；
②
2
DG 的最小值为1
25．
【答案】(1) 45
(2)证明：①∵
2
EF
OE CE
，
∴EF
CE
OE
EF
，
∵
OEF
CEF
，
∴EOF
EFC
∽
，
∴
EOF
EFC
，
∴
COF
EFD
，
∵
BAC
ACD
CEF
，
EFD
ACD
CEF
，
∴
BAC
EFD
，
∴
COF
BAC
.
②
O 的半径为9
5 .
