文档内容
专题06 正多边形和圆（3个考点6大类型）
【题型1 正多边形与圆求角度】
【题型2正多边形与圆求线段长度】
【题型3正多边形与圆求半径】
【题型4正多边形与圆求面积】
【题型5正多边形与圆求周长】
【题型6正多边形与直角坐标系综合】
【题型1 正多边形与圆求角度】
1．（2022秋•仙居县期末）如图，正五边形 ABCDE中，点F是CD的中点，
连接AC，AF，则∠CAF的度数为（ ）
A．15° B．18° C．22.5° D．30°
【答案】B
【解答】解：如图，连接AD，
∵正五边形ABCDE中，
∴AB＝AE＝BC＝DE，∠B＝∠E，
在△ABC与△AED中，，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，
∵F为CD边中点，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BCD＝ ＝108°，BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACF＝∠BCD﹣∠BCA＝72°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝18°，
故选：B．
2．（2023•湖里区校级模拟）如图，在正六边形 ABCDEF中，∠ACF的度数为
（ ）
A．30° B．35° C．20° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE＝ ＝120°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝ ＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，由对称轴可知，∠AFC＝∠EFC＝ ∠AFE＝60°，
∴∠ACF＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
3．（2023•泗水县三模）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，点M在 上，
则∠CME的度数为（ ） ⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴ ，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴ ，故选：C．
4．（2023•三明模拟）正八边形的中心角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解答】解：正八边形的中心角的度数＝360°÷8＝45°，
故选：B．
5．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，点M在 上，
则∠CME的度数为（ ） ⊙
A．36° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴ ，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴ ．
故选：C．
6．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形 ABCD为 O的内接正方形，点
⊙P为劣弧BC上的任意一点（不与B，C重合），则∠BPC的度数是（ ）
A．120° B．130° C．135° D．150°
【答案】C
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BAC＝ ∠BAD＝45°，
∵四边形ABPC是 O的内接四边形，
∴∠BPC+∠BAC＝180°，
⊙
∴∠BPC＝180°﹣45°＝135°，
故选：C．
7．（2023•海淀区校级四模）如图，AB是 O内接正五边形的一条边，点P在
优弧AB上，则∠APB的度数为 3 6 °．
⊙
【答案】36．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵AB是 O内接正五边形的一条边，
⊙
∴ ＝72°，∴∠APB＝ ∠AOB＝36°，
故答案为：36．
8．（2023•修文县模拟）如图，正五边形 ABCDE内接于 O，点P在AE上，
则∠CPB的度数为 36 ° ．
⊙
【答案】36°．
【解答】解：如图，连接OB，OC．
∵正五边形ABCDE内接于 O，
⊙
∴∠BOC＝ ＝72°，
∴∠CPB＝ ∠BOC＝36°．
故答案为：36°．
9．（2023•上杭县模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正△EFG，其中点A、
B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 144 ° ．
【答案】144°．【解答】解：在正五边形ABCED中，∠BAE＝∠AED＝108°，
∵EG∥BF，
∴∠AEG＝∠BAE＝108°，
∴∠DEG＝360°﹣108°﹣108°＝144°．
故答案为：144°．
10．（2023•鼓楼区校级三模）如图，将边长相等的正六边形 ABCDEF和正五
边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是 12 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在正六边形 ABCDEF 和正五边形 ABGHK 中，∠ABG＝
＝108°，∠ABC＝ ＝120°，
∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°，
故答案为：12°．
【题型2正多边形与圆求线段长度】
11．（2023春•罗定市校级期中）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，若 O
的周长是12 ，则正六边形的边长是（ ）
⊙ ⊙
π
A． B．3 C．6 D．
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，如图：∵ O的周长等于12 ，
⊙ π
∴ O的半径OB＝OC＝ ＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
⊙
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝6，
即正六边形的边长为6，
故选：C．
12．（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形
BMGH 的边 BH，GH 上．若正方形的边长为 6，则正六边形的边长为
（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故选：B．
13．（2022秋•易县期末）如图， O是正方形ABCD的外接圆，若 O的半径
为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接BD．
由题意，△BCD是等腰直角三角形，
∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∴BC＝ BD＝4 ．
故选：D．
14．（2022秋•柘城县期中）一个圆的半径为 2，则该圆的内接正方形的边长为
（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D【解答】解：如图所示： O的半径为2，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
⊙
∴AC是 O的直径，
∴AC＝2×2＝4，
⊙
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝16，
解得：AB＝2 ，
即 O的内接正方形的边长等于2 ．
故⊙选：D．
15．（2023•尤溪县校级模拟）已知正六边形的半径是2，则这个正六边形的边
长是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，AB为 O内接正六边形的一边；
⊙
则∠AOB＝ ＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝2．
故答案为：2．
16．（2023•南京三模）如图，在正六边形 ABCDEF中， O经过点E，且与
⊙
AB，BC相切．若 O的半径为4 ，则正六边形的边长为 4+ 2 ．
⊙【答案】4+2 ，
【解答】解：连接OB、OM、ON，如图：
∵ O与AB，BC相切．
∴OM⊥AB，ON⊥BC，
⊙
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，
又∵OB＝OB，
∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），
∴OB所在直线是正六边形的一条对称轴，
在正六边形ABCDEF中，∠ABC＝120°，
∴∠MON＝60°，
∴∠MOB＝30°，
∵OM＝4 ，
∴MB＝4，OB＝8，
∵圆的对称轴是直径所在的直线，且经过点E，
∴O、B、E三点共线，
∴BE＝8+4 ，根据正六边形的性质可得BC＝ BE＝4+2 ，
故答案为：4+2 ，
17．（2023•绥化模拟）如图，在正五边形 ABCDE中，若边长AB＝2，则AC
的长为 +1 ．
【答案】 +1．
【解答】解：如图，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝ ＝108°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝ ＝36°，
∴∠ABF＝108°﹣36°＝72°，
∵∠AFB＝∠CBD+∠BCA＝36°+36°＝72°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝2，
∵∠BCF＝∠ACB，∠BAC∠CBF，
∴△BCF∽△ACB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得CF＝ ﹣1（取正值），
∴AC＝CF+AF＝ ﹣1+2＝ +1，故答案为： +1．
18．（2023•南关区一模）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线AC上一点，
阴影部分的面积和为 ，则正六边形的边长是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：如图所示，连接FD，过E作EM⊥FD于M，
设正六边形ABCDEF的边长为a，
依题意可知，AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠FED＝∠AFE＝120°，FE＝ED，
∴∠EFD＝30°，∠AFD＝90°，
∴ ，四边形ACDF是矩形，
∴ ，
∴ ，∵阴影部分的面积和为 ，
即 ，
∴ ，
解得：a＝6或a＝﹣4（舍去），
故答案为：6．
【题型3正多边形与圆求半径】
19．（2022•博白县校级一模）边长为 2的正方形内接于 M，则 M的半径是
（ ）
⊙ ⊙
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：连接 MB，MC，则 MC＝MB，BC＝2，∠BMC＝90°，
在Rt△BMC中，MC＝ ．
故选：C．
20．（2022秋•浙江月考）如图所示，正六边形 ABCDEF内接于 O，若边心
⊙
距 ，则 O的半径为（ ）
⊙
A． B．2 C．1 D．4【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝ ＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠HCO＝60°，DC＝OD＝OC，
∵OH⊥DC，
∴∠OHC＝90°，
∵边心距 ，
∴CH＝1．
∴OC＝2，
故选：B．
21．（2022秋•昌平区期末）如图，面积为 18的正方形ABCD内接于 O，则
O的半径为（ ）
⊙
⊙
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB＝ ＝3 ，
∴OA＝OB＝ AB＝3，
故选：C．
22．（2023春•宿豫区期末）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为 1cm的正方
形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为 cm．
【答案】 ．
【解答】解：设圆的半径为xcm，由题意得 x2＝12．
π
∴x＝ ，
故答案为： ．
23．（2023•湟中区校级开学）已知一个正六边形的边心距 2cm，则该正六边形的半径为 cm．
【答案】 ．
【解答】解：连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝ ＝60°，
∵OH⊥BC，
∴∠BOH＝∠COH＝30°，
∴OB＝ ＝ ＝ （cm），
故答案为： ．
24．（2022秋•城西区校级期末）已知正三角形ABC的边心距为 cm，则正三
角形的半径为 2 cm．
【答案】2 ．
【解答】解：如图所示：连接BO，
由题意可得，OD⊥BC，OD＝ cm，∠OBD＝30°，
故BO＝2DO＝2 （cm）．
故答案为：2 ．【题型4正多边形与圆求面积】
25．（2023•南岗区校级模拟）已知正六边形的半径为 ．则此正六边形的面
积为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
则△OAB是正三角形．
∵OC＝OA•sinA＝ × ＝ ，
则S ＝ AB•OC＝ × × ＝ ，
△OAB
则正六边形的面积为6× ＝3 ．
故选：C．
26．（2023•梧州二模）剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆，
正八边形等图形设计成的剪纸作品，已知圆的半径是 2，此作品的阴影部分
面积是（ ）A． B． C．2 D．4
【答案】C
π π π
【解答】解：由圆及正八边形的对称性可得：图中阴影部分的面积等于圆面
积的一半，
所以此作品的阴影部分面积是 ；
故选：C．
27．（2023•阜城县校级模拟）如图，正六边形 ABCDEF的边长为2，现将它沿
AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分
A′BCDE′F′的面积是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】B
【解答】解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，
则四边形A′E′DB是矩形，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′＝120°，
∴∠F′A′E′＝30°，
∴F′H＝1，A′H＝ ，
∴A′E′＝2 ，
∵将它沿AB方向平移1个单位，
∴A′B＝1，
∴阴影部分A′BCDE′F′的面积＝S +S +S ＝2× ×2
△A′F′E′ 矩形A′E′DB △BCD
×1+1×2 ＝4 ，故选：B．
28．（2023•迁安市二模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右
作等边△BDG，若四边形 BCDG（图中阴影部分）的面积为 6，则五边形
ABDEF的面积为（ ）
A．15 B．12 C．8 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，
∵ABCDEF正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，
∵△BDG是等边三角形，
∴BG＝DG＝BD
又CG＝CG，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∵∠GBC＝∠DBC＝30°，
∴△GBC≌△DBC（SAS），
∴S ＝S ＝S ＝3，
△BCG △DCG △BCD
∴S ＝3，
△AEF设CH＝x，则BC＝CG＝2x， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴五边形ABDEF的面积为：3+12＝15．
故选：A．
29．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（ ）
A．1：2：3 B．2：2：4 C．1：2：4 D．2：3：5
【答案】A
【解答】解：如图，连接AD，CF交BE于点O，CF，AE交于点P，
∵正六边形，
∴△AOF≌△EOF≌△DOE≌△DOC≌BOC≌AOB（SSS），
∵△AEF和△AEO是等腰三角形，FO分别是∠AFE和∠AOE的角分线，
∴FO⊥AE，AP＝EP（三线合一），
∴Rt△APF≌Rt△EPF≌Rt△EPO≌Rt△APO（HL），
∴S ＝S ＝ S ＝S ，
△AEF △AOE 四边形AOEF △AOF
∴S ＝S ＝S ＝S ＝S ＝S ，
△AFE △AOE △AOB △COB △COD △DOE∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为1：2：3，
故选：A．
30．（2022秋•裕华区校级期末）如图，点 O是正六边形ABCDEF的中心，边
心距OH＝ ，则正六边形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【解答】解：如图，连接OB、OA．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，OB＝OA，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，∠AOH＝ ∠AOB＝30°，
∵OH＝ ，
∴AH＝ OH＝1，
∴AB＝2，∴S ＝ AB•OH＝ ，
△AOB
∴S ＝6S ＝6 ，
正六边形ABCDEF △OAB
∴故选：C．
31．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在
一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【解答】解：∵正方形面积是2，
∴其边长为： ，
如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，
∵正八边形的每个内角为180°﹣ ＝135°，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE＝EF•sin45°＝ × ＝1，
∴AB＝ +1×2＝ +2．
∴正八边形的面积为：S ﹣4S
正方形ABCD △AEF
＝
＝ ，
∴非阴影部分面积是S ﹣S ＝ ﹣2＝2+ ．
正八边形 正方形
故选：C．
32．（2022秋•襄汾县月考）如图， O为正方形ABCD的外接圆，若BC＝2，
则 O的面积为（ ）
⊙
⊙
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】A
π π π π
【解答】解：由题意，△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝2，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，
∴AC＝ BC＝2 ，
∴OA＝ AC＝ ，∴ O的面积＝OA2 ＝2 ．
故选：A．
⊙ π π
33．（2023•榆阳区一模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算
术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算
圆的面积．如图，已知 O的半径为2，则 O的内接正六边形 ABCDEF的
⊙ ⊙
面积为 6 ．
【答案】6 ．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
由题意可得：∠AOB＝360÷6＝60°，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝2，
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝1，
在Rt△AOM中，OM＝ ＝ ，
∴S ＝ ，
△AOB
∴ O的面积约为：6S ＝6 ．
△AOB
⊙
故答案为：6 ．
【题型5正多边形与圆求周长】34．（2021秋•卫辉市期末）如图， O的外切正六边形ABCDEF的边心距的
⊙
长度为 ，那么正六边形ABCDEF的周长为（ ）
A．2 B．6 C．12 D．6
【答案】C
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与 O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
⊙
∴∠AOG＝∠BOG＝ ∠AOB＝30°，AG＝BG，
∴AO＝2AG，
在Rt△AOG中，OG＝ ，AO2＝OG2+AG2，
∴（2AG）2＝AG2+（ ）2，
∴AD＝1，
∴AB＝2，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12，
故选：C．35．（2022•定州市二模）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不
相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．9
【答案】D
【解答】解：分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
则∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，
∵AM＝BN＝ 2＝1，
∴EM＝FN＝ 1＝ ，
∴MN＝ + +2＝3，
∴△PMN的周长3×3＝9，
故选：D．
36．（2023春•青羊区校级期末）一个正多边形的边长为 2，每个内角为135°，
则这个多边形的周长是 1 6 ．
【答案】16．
【解答】解：∵正多边形的每个内角为135°，
∴每个外角是180°﹣135°＝45°，
∵多边形的边数为：360÷45＝8，则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长＝2×8＝16，
故答案为：16．
37．（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形 ABCDEF的边心距
OG等于 ，则 O的周长等于 1 2 ．
⊙ π
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接OC，
∵圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG，
∴∠COG＝ ＝30°，
在Rt△COG中，
∵sin∠COG＝ ，
∴OC＝
＝
＝6，
∴ O的周长为2× ×6＝12 ．
故答案为：12 ．
⊙ π π
π38．（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，连接OC、
OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 1 2 cm．
⊙
【答案】12．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于 O，
∴∠COD＝60°，
⊙
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长为12cm．
故答案为：12．
39．（2022•新城区模拟）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，
若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为 2 +6 ．
【答案】2 +6．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠B＝∠BCD＝ ＝120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，
∴∠ADC＝∠ADE＝ ∠CDE＝60°，
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，
∴AD＝2CD＝4，AC＝ CD＝2 ，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝2 +2+4＝2 +6，
故答案为：2 +6．
【题型6正多边形与直角坐标系综合】
40．（2023•二七区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2的正六边
形ABCDEF的中心与原点O重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点
O逆时针旋转，每次旋转 90°，则第 2023次旋转结束时，点 A的坐标为（
）
A．（ ，﹣1） B．（﹣1，﹣ ）C．（﹣ ，1） D．（1， ）
【答案】C
【解答】解：正六边形 ABCDEF 边长为2，中心与原点0重合，AB∥x轴，
∴AP＝1，AO＝2．∠OPA＝90°，
：OP﹣＝ ＝ ．
第1次旋转结束时，点A的坐标为（ ．﹣1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣ ）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（﹣ ，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1. ），
∵4次一个循环，
∴2023÷4＝505.....3．
第2023次旋转结束时，点A的坐标为（﹣ ，1）．
故选：C．
41．（2023•浉河区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF
的边AB在x轴上，点F在y轴上，将正六边形ABCDEF沿x轴正方向每次以
一个单位长度无滑动滚动，若AB＝1，在第2023次滚动后，点F的坐标为（
）
A． B．（ ）C． D．
【答案】A
【解答】解：2023÷6＝337……1，
∴在第2023次滚动后，点F的位置与现在的点E的位置一样，
连接AE，过点F作FH⊥AE于H，
∵EF＝AF＝1，∠AFE＝120°，
∴∠EAF＝30°，EH＝AH，
∴∠EAB＝90°，
∴FH＝ AF＝ ，AH＝ ，
∴AE＝2AH＝ ，∴E（ ， ），
第2023次滚动后，点F的坐标为：（ ， ），
故选：A．
42．（2022秋•泗洪县期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边
形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA B D E ，当n＝
n n n n n
2022时，顶点C 的坐标是（ ）
2022 ∁
A． B． C．（1，﹣2） D．
【答案】D
【解答】解：∵正六边形OABCDE，
∴每个内角的度数为 ，即∠AOE＝120°，
∴正六边形OABCDE的一个外角为60°，即AO与x轴正半轴的夹角为60°，
如图所示，未旋转时，连接 EC，正六边形 OABCDE 的边长为 1，∠D＝
120°，过点D作DG⊥CE于点G，
∴E（﹣1，0），
在Rt△CDG中，根据勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ，
连接OC，∵tan∠COE＝ ＝ ，∴∠COE＝60°，当正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转45°，
∴360°÷45°＝8，即旋转8次，线段OC回到起始位置，
∴当n＝2022时，2022÷8＝252⋯⋯6，即旋转252次后，又旋转了6个45°，
即OC回到起始位置后又旋转了45°×6＝270°，如图所示
也就是线段OC绕点O逆时针旋转了90°．如图2所示：
∴OB ＝ ，B C ＝1，
2022 2022 2022
∴ C2022 （ ﹣ ， ﹣ 1 ） 即 当 n ＝ 2022 时 ， 顶 点 C 的 坐 标 是
2022
，
故选：D．
43．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形 ABCDEF放在平面直角坐标系
中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（ ）A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）
【答案】B
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，
∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝DO，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝2，
∴DO＝2，
∴点D的坐标为：（2，0），
故选：B．
44．（2023•缙云县二模）如图，正六边形 ABCDEF放置在平面直角坐标系内，
若点A的坐标为（1，0），则点D的坐标为 ．
【答案】 ．
【解答】解：连接AD，BD，∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵ABCDEF是正六边形，
∴ ，∠DBA＝90°，∠AFO＝30°，∠AOF＝90°，
∴AF＝2OA＝2，
∴AB＝2，
∴AD＝2AB＝4，
∴ ，
∴点 ，
故答案为： ．
