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第五课时——一正多边形与圆、扇形的弧长与面积（答案卷）
知识点一：正多边形与圆：
1. 正多边形的概念：
各条边 相等 ，各个角也 相等 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形的概念：
把一个圆 平均 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 分点 所得的多边
形是这个圆的 内接正多边形 ，这个圆叫做这个正多边形的 外接圆 。
3. 正多边形的有关概念
（1）中心：正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心。
即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 外接圆 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形
的中心角。正多边形的中心角度数为 。
即∠BOC是正多边形的一个中心角。
（4）边心距： 中心 到正多边形的 边 的距离叫做正多边形的边心距。
即过O做边BC的垂线即为边心距。
【概念理解】
1．下列说法正确的是（ ）A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
【分析】根据正多边形的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，∴A、B错误；
∵各边相等的圆内接多边形的各角一定相等，∴C正确；
∵各角相等的圆内接多边形的边不一定相同，∴D错误．
故选：C．
【与角有关的计算】
2．如图，正五边形ABCDE内接于 O，则∠DAE的度数是（ ）
⊙
A．36° B．26° C．30° D．45°
【分析】求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，连接AD，
∵正五边形ABCDE
∴∠DEA＝ ＝108°，EA＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣108°）＝36°，
故选：A．
3．如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
⊙A．60° B．36° C．76° D．72°
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是 O的内接正五边形，
⊙
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故选：D．
4．如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 ．
⊙
【分析】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝ ×2＝144°，∴∠APC＝ ∠AOC＝72°，
故答案为：72°．
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则
∠FDC的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
【分析】证明四边形AEDF是菱形，推出∠EDF＝∠EAF＝72°可得结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝72°，
∴∠AED+∠EAC＝180°，
∴DE∥AF，
∵AE＝AF＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴∠EDF＝∠EAF＝72°，
∵∠EDC＝108°，
∴∠FDC＝36°，
故选：C．
【与长度有关的计算】6．如图，正方形ABCD内接于 O，若 O的半径是1，则正方形的边长是 ．
⊙ ⊙
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝ ＝ ．
∴正方形的边长是 ，
故答案为： ．
7．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸
片的半径是（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠BOC的度数，最后根据等腰三角形
及直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，连接 OB、OC，过点 O 作 OG⊥BC 于点 G，正六边形的边长为 2cm，
OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OC，OG⊥BC，
∴∠BOG＝ ∠BOC＝ ×60°＝30°，∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，
∴BG＝ BC＝ ×2＝1cm，
∴OB＝ ＝2cm，
∴OG＝ ＝ ＝ ，
∴圆形纸片的半径为 cm，
故选：A．
8．已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三
角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2 ，
∴高为3，
∴等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积是：18 ；
故选：C．
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为 ．【分析】作BG⊥AC，垂足为G．由垂径定理得出AC＝2AG，在直角三角形ABG中，求出AG的长，即
可得出结果．
【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．如图所示：
则AC＝2AG，
∵AB＝BC，
∴AG＝CG，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AG＝AB•cos30°＝2× ＝ ，
∴AC＝2× ＝2 ，
∴△ACE的周长为3×2 ＝6 ．
故答案为6 ．
10．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（
）A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
【分析】连接OF，由于正六边形的中心角是60°，则△AOF是等边三角形，OF＝4，设EF交y轴于
G，那么∠GOF＝30°，然后解Rt△GOF，求出GF与OG的值，进而得到点F的坐标．
【解答】解：连接OF．
∵∠AOF＝ ＝60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4．
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2 ．
∴F（﹣2，2 ）．
故选：C．
11．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则
线段GH的长为（ ）A． 厘米 B．5 厘米 C．3 厘米 D．10 厘米
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故选：B．
知识点一：扇形的弧长：
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 。
特别说明：在计算过程中180和n均不带度数。
【计算弧长】
12．已知扇形的圆心角为30°，半径为6cm，则扇形的弧长是 cm．
【分析】利用弧长公式解答即可．
【解答】解：∵扇形的圆心角为30°，半径为6cm，
∴扇形的弧长是： ＝ （cm）．
π
故答案为： ．
π
13．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A． cm B．2 cm C．3 cm D．6 cm
π π π π
【分析】弧长公式为 ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：弧长为： ＝2 （cm）．
π
故选：B．
14．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好
⌒ ⌒
落在AB上，则BD的长是（ ）A． B． C． D．
【分析】连接OD，根据轴对称的性质得到AD＝OA，根据等边三角形的性质求出∠AOD＝60°，结合图
形求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴ 的长＝ ＝ ，
π
故选：B．
15．如图， O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
⊙
【分析】根据圆周角定理求出∠BOD，得到∠AOD的度数，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝ ＝ ，故答案为： ．
⌒
16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和EF上，且点A是线段
⌒
OB的中点，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，求出OB长，根据勾股定理求出OC，求出∠DOA，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，
∵A为OB的中点，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝ ＝ ＝2 ，
∵A为OB的中点，AB＝AD＝2，
∴OA＝AD＝2，
∵∠DAO＝90°，
∴∠DOA＝∠ADO＝45°，
∴ 的长为 ＝ ，
π故选：D．
知识点一：扇形的面积：
1. 扇形的面积公式的计算：
（1）方法一：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为： 。
特别说明：在计算过程中n与360均不带度数单位。
（2）方法二：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
特别说明：在计算扇形的面积时，若对精确度没有要求，结果均用π表示。
【求扇形面积】
17．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 cm2．
【分析】根据扇形的面积＝ ，进行计算．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
S扇 ＝ ＝15 （cm2）．
π
故答案为：15 ．
π
18．如图，在半径为6的 O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为 ．
⊙【分析】直接根据扇形的面积计算公式计算即可．
【解答】解：阴影部分面积为 ，
故答案为：6 ．
π
19．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积是 ．
【分析】根据题意和图形，可知AC是 O的直径，然后根据勾股定理，可以得到AB的长，然后根据
扇形面积公式，即可得到扇形BAC的面积．
⊙
【解答】解：连接AC，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴AC是 O的直径，
⊙
即AC＝2，
∴AB＝BC＝ ，
∴扇形的面积为： ＝ ．
20．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作 A、 B、 C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分
⊙ ⊙ ⊙面积之和等于（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
【分析】先根据三角形的内角和为180°求出阴影部分扇形圆心角的度数之和，再根据扇形的面积公式求
解即可．
【解答】解：∵ A、 B、 C的半径都是0.5，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，
⊙ ⊙ ⊙
∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，
∴S阴影 ＝ ＝ ．
故选：B．
【扇形面积公式的应用】
21．已知一个扇形的半径为6，面积为10 ，该扇形的圆心角是 °．
π
【分析】根据一个扇形的半径为6，面积为10 ，然后根据扇形面积公式S＝ ，即可求得这个扇
形的圆心角的度数．
π
【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°，
根据题意得： ＝10 ，
π
解得，n＝100，
故答案为：100．
22．扇形的弧长为20 cm，面积为240 cm2，则扇形的半径为 cm．
π π
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形 ＝ lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【解答】解：∵S扇形 ＝ lr
∴240 ＝ •20 •r
π π
∴r＝24 （cm）
23．扇形的面积为6 ，半径为4，扇形的弧长l＝ ．
π
【分析】根据S扇形 ＝ lR，可得出此扇形的弧长．
【解答】解：由题意得：R＝4，S扇形 ＝6 ，
π
故可得：6 ＝ l×4，
π
解得：l＝3 ．
π
故答案为：3
π
24．若扇形面积为3 ，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
π
A．3 B．9 C．2 D．3
【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
【解答】解：扇形的面积＝ ＝3 ．
π
解得：r＝3 ．
故选：D．
【求阴影部分的面积】
25．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中
点，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．1
【分析】根据直角三角形的性质得到∠ECB＝30°，得到∠ECD＝60°，根据勾股定理求出BC，根据扇
形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：在Rt△CEB中，BE＝ CE＝1，
∴∠ECB＝30°，BC＝ ＝ ，
∴∠ECD＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝2× ﹣ ×1× ﹣ ＝ ﹣ ，
故选：B．
26．如图，在边长为 的正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长为半径画弧，分别与正方形
的边和对角线相交，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
π
【分析】根据S阴 ＝4×（S△ABC ﹣S扇形 ）计算即可．
【解答】解：S阴 ＝4×（S△ABC ﹣S扇形 ）＝4×（ × × ﹣ ）＝4﹣ ，
π
故答案为4﹣ ．
π
27．如图，以A为圆心、AB为半径作扇形ABC，线段AC恰好与以AB为直径的半圆弧相交于弧的中点
D，若AB＝2，则阴影部分图形的面积是 （结果保留 ）．
π【分析】连接DO，根据题意，可知∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，再根据图形可知阴影部分的面积是扇
形CAB的面积减去空白部分BAD的面积再加扇形AOD的面积减△AOD的面积，然后代入数据计算即
可．
【解答】解：连接DO，
∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝2，
∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝1，
∴阴影部分的面积是：（ ﹣ ﹣ ×1×1）+（ ＝ ×1×1）＝ ﹣1，
π
故答案为： ﹣1．
π
⌒
28．如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是 ，则CD的长为
．
【分析】连接OC、OD、BD．根据图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积求出半径R，再根据弧长公式
的长度．
【解答】解：如图，连接OC、OD、BD．∵C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠BOD，
∴CD∥OB，
∴S△OCD ＝S△BCD ，
∴图中阴影部分面积＝扇形OCD的面积，
∴ ，
∴R＝3，
∴ 的长为 ＝ ．
π
故答案为 ．
π
29．在平行四边形ABCD中，P为AD上一点，AP＝4，AB＝4，∠D＝60°，以A为圆心，AP为半径画弧，
与BC交于点E，并刚好经过B点，则阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
π
【分析】作AH⊥BC于H，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝60°，根据等边三角形的性质得到BE＝
AB＝4，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，
在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，
∴∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝60°，
∵AE＝AB＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝AE＝4，
∴AH＝AB•sin∠ABE＝4× ＝2 ，
∴图中阴影部分的面积＝ ﹣ ×4×2 ＝ ﹣4 ，
π
故答案为： ﹣4 ．
π
30．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，以A为圆心，AB为半径的圆交对角线AC于E，交AD于F，以
C为圆心，CB为半径的圆分别交AC、AD于G、H．则图中阴影部分面积之和为 ．
【分析】根据矩形、三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接AE，
∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，
∴∠B＝90°，∴tan∠ACB＝ ＝ ＝ ，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝2×2 ﹣ ﹣ ＝4 ﹣ ，
故答案为：4 ﹣ ．
一．选择题（共10小题）
1．在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为（ ）
A．36° B．72° C．144° D．36°或144°
【分析】画出图形，连接OA、OB、BD、AD，在 上取点F，连接AF、BF，由正五边形的性质得出
AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠AOB＝72°，由圆周角定理得出∠ADB＝ ∠AOB＝36°，由圆内接四边形的
性质得出∠AFB＝180°﹣∠ADB＝144°，即可得出结论．
【解答】解：连接OA、OB、BD、AD，在 上取点F，连接AF、BF，如图所示：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠AOB＝ ＝72°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝36°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ADB＝144°，
即在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为36°或144°；
故选：D．2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A． B． C． D．3
π π π π
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：弧长l＝ ＝ ，
π
故选：B．
3．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（ ）
A．48 B．24 C．4 D．2
π π π π
【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
S＝ ＝24 （cm2）．
π
故选：B．
⌒
4．如图，正五边形ABCDE内接于 O，点P是劣弧BC上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（
）
⊙
A．45° B．36° C．35° D．30°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝ ＝72°，
∴∠CPD＝ ∠COD＝36°，
故选：B．
5．如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
⊙ π
A． B．3 C．6 D．12
【分析】根据 O的周长等于4 cm，可得 O的半径为2，可以求出三角形AOB的面积，进而根据圆
内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答．
⊙ π ⊙
【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵ O的周长等于4 cm，
⊙ π
∴ O的半径为： ＝2，
⊙∵ABCDEF是 O的内接正六边形，
⊙
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1，
∴OG＝ ，
∴S△AOB ＝ AB•OG
＝ 2×
＝ ．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB ＝6 （cm2）．
故选：C．
6．如图， O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的
大小为（ ）
⊙
A．108° B．118° C．144° D．120°
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可
求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣ ＝108°．
∵AB、DE与 O相切，
⊙
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
7．如图，AB是 O的直径，CD为 O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6 ，AE＝9，则阴影部分的面
积为（ ）
⊙ ⊙
A．6 ﹣ B．12 ﹣9 C．3 ﹣ D．9
π π π
【分析】根据垂径定理得出CE＝DE＝ ，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系
得出∠EOD＝60°，进而结合扇形面积求出答案．
【解答】 解：∵AB是 O的直径，CD为 O的弦，AB⊥CD于点E，
⊙ ⊙
∴CE＝DE＝ ．
设 O的半径为r，
⊙
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即 ，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝ ＝ ＝ ，
∴∠EOD＝60°，
∴ ， ，
∴ ，故选：A．
⌒ ⌒
8．如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，已知圆O的半径为4，且BC＝2AB．若在没有
滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了66 ，则此时与地面相切的弧为（ ）
π
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A．AB B．BC C．CD D．DA
【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长以及圆转动的周数，根据题意分别求出 和 + 的长，比
较即可得到答案．
【解答】解：∵圆O半径为4，
∴圆的周长为：2 ×r＝8 ，
π π
∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了66 ，
π
∴66 ÷8 ＝8…2 ，
π π π
即圆滚动8周后，又向右滚动了2 ，
π
∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点， ＝2 ，
∴ ＝ ×8 ＝ ＜2 ， + ＝ 8 ＝4 ＞2 ，
π π π π π
∴此时与地面相切的弧为 ，故选：B．
9．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕
点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4 ）则在这次旋转过程中线段OC扫
过部分（阴影部分）的面积为（ ）A．8 B． C．2 D．48
π π π π
【分析】过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积 S
＝S扇形OAO′+S△O′AC′ ﹣S△OAC ﹣S扇形CAC′ ＝S扇形OAO′ ﹣S扇形CAC′ ，分别求出即可．
【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，
∵点O′的坐标是（4，4 ），
∴O′M＝4 ，OM＝4，
∵AO＝8，
∴AM＝8﹣4＝4，
∴tan∠O′AM＝ ＝ ，
∴∠O′AM＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC ＝S△O′AC′ ，
∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′ ﹣S△OAC ﹣S扇形CAC′ ＝S扇形OAO′ ﹣S扇形CAC′ ＝ ﹣
＝8 ，
π
故选：A．10．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上
点A位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A
1 2
翻滚到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2
A．10cm B．4 cm C． cm D． cm
π
【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A ；A 是由
1 1 2
A 以C为旋转中心，以∠A CA 为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA ＝90°，∠A CA ＝60°，AB＝
1 1 2 1 1 2
＝5cm，CA ＝3cm，然后根据弧长公式计算即可．
1
【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A ；A 是由A 以C为旋转中
1 1 2 1
心，以∠A CA 为旋转角，顺时针旋转得到，
1 2
∵∠ABA ＝90°，∠A CA ＝60°，AB＝ ＝5cm，CA ＝3cm，
1 1 2 1
∴点A翻滚到A 位置时共走过的路径长＝ + ＝ （cm）．
2
π
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是 ．
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和
定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝ ＝36°，最后利用三角形的外角的性质得到
∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°．【解答】解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝ ＝36°，
∴∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°，
故答案为：72°．
12．已知 O的内接正六边形的边心距为 ，则 O的周长为 ．
⊙ ⊙
【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得
周长即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA•sin∠OAM，
∴OA＝ ＝ ＝2，
∴ O的周长为4 ，
⊙ π
故答案为：4 ．
π13．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝ ，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足
分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝
OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝ ，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝ ﹣1×1＝ ﹣1，故答案为 ﹣1．
⌒ ⌒
14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若CD与AB所在圆的圆心都为点O，则
⌒ ⌒
CD与AB的长度之比为 ．
【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计
算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝ ＝2 ，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴ 与 的长度之比＝ ： ＝ ：1，
故答案为： ：1．
15．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，
交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为 （结果保留 ）．
π【分析】由矩形和含30°直角三角形的性质求出∠EDF的度数和AD的长度，由勾股定理求出DF，再求
出矩形ABCD的面积，扇形DEF的面积，三角形DCF的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分
面积．
【解答】解：连接DF，
∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2AB＝8，
∴AD＝ AB＝4 ，
在Rt△CDF中，CF＝CD＝4，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，DF2＝CD2+CF2＝32，
∴∠EDF＝90°﹣45°＝45°，
∴S阴影 ＝S矩形ABCD ﹣S扇形DEF ﹣S△DCF ＝AD•CD﹣ ﹣ CD•CF＝4×4 ﹣ ﹣
×4×4＝16 ﹣4 ﹣8，
π
故答案为：16 ﹣4 ﹣8．
π
16．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的
路径长度为 ．
【分析】B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长，一段是以点 C为圆心，BC为半径，圆心角
为120°，第二段是以A为圆心，AB为半径，圆心角为120°的两段弧长，依弧长公式计算即可．【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长
即第一段＝ ，第二段＝ ．
故B点从开始至结束所走过的路径长度＝ + ＝ ．
三．解答题（共4小题）
17．如图，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
⊙
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若 O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
⊙
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而
∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在 O中，
⊙
∵∠BAC与∠CPB是 对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．
⌒ ⌒
18．如图，BC是 O的直径，点A在 O上，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AE，BE分别交AD、AC于点
F、G．
⊙ ⊙
（1）证明：FA＝FB；
⌒
（2）若BD＝DO＝2，求EC的长度．
【分析】（1）根据BC是 O的直径，AD⊥BC， ＝ ，推出∠AGB＝∠CAD，即可推得FA＝FB．
⊙
（2）根据BD＝DO＝2，AD⊥BC，求出∠AOB＝60°，再根据 ＝ ，求出∠EOC＝60°，即可求出弧
EC的长度是多少．
【解答】（1）证明：∵BC 是 O 的直径，
⊙
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵ ＝ ，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵ ＝ ，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴ 的长度＝ ＝ ．
π
19．如图，已知AB是 O的直径，C，D是 O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
⊙ ⊙
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到
∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；
（2）连接CD，OD，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB
＝∠OBC＝30°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3 ，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴ ，
∴S阴影 ＝S扇形AOD ﹣S△AOD ＝ ﹣ ＝3 ﹣ ．
π
⌒
20．如图，已知AB，CD为 O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DE的中点，连
接BC，BE．
⊙
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2 ，求 O的半径；
⊙
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得出∠CBD＝∠AEB＝90°，∠A＝∠C，进而求得∠ABE＝
∠CDB，得出 ＝ ，即可证得结论；
（2）根据垂径定理和圆周角定理易求得∠A＝ ∠ABE，得出∠A＝30°，解直角三角形求得AB，即可
求得 O的半径；
⊙
（3）根据S阴 ＝S扇形 ﹣S△EOB 求得即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB，CD为 O的直径，
⊙
∴∠CBD＝∠AEB＝90°，
∵点B恰好为 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴ ＝ ，
∴AE＝BC；
（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠A＝ ∠ABE，
∴∠A＝30°，∵AE＝2
∴AB＝4，
∴ O的半径为2．
⊙
（3）连接OE，
∵∠A＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∵OB＝OE＝2，
∴S△EOB ＝ ×2× ＝ ，
∴S阴 ＝S扇形 ﹣S△EOB ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
