专题28与圆有关的计算（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 28 与圆有关的计算 目录 模块一：基础知识....................................................................................................................................................3 考点一：正多边形与圆....................................................................................................................................3 考点二：扇形弧长面积、圆锥的相关计算....................................................................................................4 考点三：不规则面积的有关计算....................................................................................................................4 模块二：题型分类....................................................................................................................................................8 考点一：正多边形与圆....................................................................................................................................8 题型一：正多边形中心角............................................................8 题型二：正多边的边数.............................................................11 题型三：正多边形与圆中求角度.....................................................18 题型四：正多边形与圆中求面积.....................................................23 题型五：正多边形与圆中求周长.....................................................30 题型六：正多边形与圆中求边心距、边长.............................................37 题型七：正多边形与圆中求线段长...................................................48 题型八：正多边形与圆中求最值.....................................................53 题型九：尺规作图-正多边形........................................................59 题型十：正多边形与圆的规律问题...................................................67 考点二：扇形弧长面积、圆锥的有关计算..................................................................................................76 题型一：弧长.....................................................................77 题型二：扇形面积.................................................................84 题型三：弧长及扇形面积公式求半径.................................................92 题型四：弧长扇形面积公式求圆心角.................................................98 题型五：某点的弧形运动路径长度..................................................102 题型六：图形旋转后扫过的面积....................................................110 题型七：圆锥侧面积..............................................................119 题型八：圆锥底面半径............................................................130 题型九：圆锥的高................................................................136 题型十：圆锥侧面积展开图的圆心角................................................141 题型十一：圆锥的实际问题........................................................146 题型十二：圆锥侧面上的最短路径问题..............................................152 考点三：不规则面积的有关计算................................................................................................................157 题型一：直接公式法..............................................................157 题型二：直接和差法..............................................................161 题型三：构造和差法..............................................................166 题型四：等面积法................................................................179 题型五：旋转法..................................................................188 题型六：对称法..................................................................189 题型七：全等法..................................................................194专题 28 与圆有关的计算 模块一：基础知识 考点一： 正多边形与圆 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的常用公式 边长 1800 a =2R ⋅sin （R n为正多边形外接圆的半径） n n n 周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 360° n 面积 1 对角线条数 n(n−3) Sn= an⋅rn⋅n 2 2 边心距 1800 内角和 （ n-2 ）×180°. rn=Rn⋅cos n 内角度数 （n−2）×180° n边形的边数 （内角和÷180°）＋2 n a 、Rn、rn的关系 a2 n R2=r2+ n （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个 n n 4 值可以借助勾股定理求解.） 【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成 2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正 n边形各元素间的关 系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 3. 正多边形常见边心距与边长的比值 图形 OA:AB:OB 内切圆与外接圆半径的比 等边三角形 O 1: √3 : 2 1:2 A B AOB=60°正方形 1:1: √2 1: √2 O A B AOB=45° 正六边形 O √3 : 1: 2 √3 : 2 B A AOB=30° 【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆. 考点二：扇形弧长面积、圆锥的相关计算 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 nπR l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且 n 180 表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 nπR2 1 l S扇形= 360 = 2 R 圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥侧 n° l 圆锥全面积公式 S 圆锥全 =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h r 圆锥的高h，圆 r2+ ℎ 2=l2 锥的底面半径r 考点三：不规则面积的有关计算 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化 为规则图形的面积．常用的方法有： 1）直接用公式求解． 图形 公式 S = S 阴影 扇形ABC A C B S = S 阴影 △ABC A C BS = S = ab 阴影 四边形ABCD D A b a B C 2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解． ①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S =S ±S ） 阴影 常见图形 常见图形 图形 面积计算方法 图形 面积计算方法 S =S −S S =S +S 阴影 △ACB 扇形 阴影 扇形BAB′ 半 −S CAD 圆AB′ 半圆AB S =S −S S 阴影=S +S 阴影 △AOB 扇形 半圆AC −S COD 半圆BC △ACB S =S −S S = S −S 阴影 半圆AB △AOB 阴影 扇形BAD 半圆AB S =S −S S =S = 阴影 扇形EAF △ADE A 阴影 扇形之和 nπR2 πR2 = 360 2 B C ②构造和差法 图形 公式 S =S +S 阴影 扇形AOC △BOC S =S -S 阴影 △ODC 扇形DOE S =S -S 阴影 扇形AOB △AOBS =S +S -S 阴影 扇形BOE △OCE 扇形COD 3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利 用公式法或和差法创造条件，从而求解． ①全等法 图形 公式 S = S 阴影 △AOB S = S 阴影 扇形BOC S =S 阴影 矩形ACDF S = S 阴影 正方形PCQE ②等面积法 图形 公式 S = S 阴影 扇形COD ③平移法 图形 公式 D F C D F C S =S 阴影 正方形BCFE A E B A E BS =S 阴影 矩形ABHG ④旋转法 图形 公式 S =S 阴影 扇形BOE S = S 阴影 扇形BOD S = S -S 阴影 扇形ABE 扇形MBN ⑤对称法 图形 公式 S =S 阴影 △ACD S = S 阴影 扇形CDE 1 S = S = S 阴影 △OBC 4 正方形ABCD S = S - S 阴影 扇形ACB △ACD 模块二：题型分类 考点一：正多边形与圆题型一：正多边形中心角 1.正十边形的中心角等于 度． 【答案】36 【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解． 【详解】正十边形的中心角等于360°÷10=36° 故答案为：36． 360° 【点睛】此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n边形的中心角等于 ． n 2.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（ ） A．72° B．60° C．48° D．36° 【答案】A 360° 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可． n 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 360° ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 =72°， 5 故选：A． 360° 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键． n 3.AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP 与OB交于点C，则∠OCP的度数为 ． 【答案】90°/90度1 【分析】根据题意可求得∠AOB=60°，结合圆周角定理，可求得∠P= ∠AOB=30°，结合平行线 2 的性质和三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】∵AB是⊙O的内接正六边形一边， ∴∠AOB=60°． 1 ∴∠P= ∠AOB=30°． 2 ∵BP∥OA， ∴∠OAC=∠P=30°． ∴∠OCP=∠AOB+∠OAC=60°+30°=90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、正多边形与圆、平行线的性质、三角形的外角的性质，牢记圆周角 定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键． 4.在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ） A．30°,1 B．45°,√2 C．60°,√3 D．120°,2 【答案】C 【分析】由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂径定 理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可． 【详解】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴BC＝CD＝OC＝2， ∵OG⊥BC， 1 ∴CG＝ BC＝1， 2 1 ∵∠COG＝ ∠COD＝30°， 2∴OG＝√3CG＝√3， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角 形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在D´E上，则∠CFD＝ 度． 【答案】36． 【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】如图，连接OC，OD． ∵五边形ABCDE是正五边形， 360° ∴∠COD= =72°， 5 1 ∴∠CFD= ∠COD=36°， 2 故答案为：36． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 6.如图，在正十边形A A A A A A A A A A 中，连接A A 、A A ，则∠A A A = ° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 1 7 4 1 7 【答案】54 【分析】设正十边形的圆心O，连接A O、A O，再求出∠A OA ,最后运用圆周角定理解答即可． 7 4 7 4 【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接A O、A O， 7 4∵正十边形的各边都相等 3 ∴∠A OA = ×360°=108° 7 4 10 1 ∴∠A A A = 108°× =54°． 4 1 7 2 故填54． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解 答本题的关键． 题型二：正多边的边数 1.如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是360°÷45°=8， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关 键． 2.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】5 360° 【详解】解：∵中心角的度数= ， n 360° 72°= ， n n=5， 故答案为：5． 3.一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n= ． 【答案】6 【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程 求解即可．【详解】∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°， 180°×（n−2） ∴正n边形的一个内角= ． n 360° ∵正n边形的中心角= ， n 180°×（n−2） 360°×2 ∴ = ， n n 解得：n=6． 故答案为6． 【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法． 4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=36°，弦AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】如图所示，连接OA，OB，由圆周角定理得到∠AOB=72°，则该多边形的中心角为72°，由 此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB， ∵∠C=36°， ∴∠AOB=2∠ACB=72°， 360° ∴ =5， 72° ∴该正多边形是正五边形， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大． 5.一个正多边形内接于半径为4的⊙O，AB是它的一条边，扇形OAB的面积为2π，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】8 nπ×42 【分析】设∠AOB=n°，利用扇形面积公式列方程 =2π，求出∠AOB的度数，然后用360°÷45°计算 360 即可． 【详解】解：设∠AOB=n°， ∵扇形OAB的面积为2π，半径为4， nπ×42 ∴ =2π， 360 ∴n=45°， ∴360°÷45°=8， ∴这个正多边形的边数是8， 故答案为8． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形面积，圆心角，掌握正多边形与圆的性质，扇形面积公式，圆心 角是解题关键． 6.如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解． 【详解】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如下图；有图形得：这个正多边形纸片是六边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键． 7.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形 的边数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=40°，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB=20°， ∴∠AOB=2∠ADB=40°， 360° ∴这个正多边形的边数= =9， 40° 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 8.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆 的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ．【答案】12 【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的 360° 中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算 即可得到n的值． 30° 【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形， ∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边， 360° 360° ∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°， 4 3 ∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°， 360° ∴n= =12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 30° 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得 的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念． 9.摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如 图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力 作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．(1)∠NOP=________° (2)若OA=16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长； ③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②OH=3√11；③MQ的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将360°平均分6份即可； （2）①当圆心M在AO的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设⊙H的挂点为K，过点H作HT⊥l于点T，先证四边形HTAO是矩形，再用勾股定理解Rt△OHK 即可； ③先证△NOP是等边三角形，再证MNPQ是平行四边形，可得MQ=NP=10． 360° 【详解】（1）解：∠NOP= =60°， 6 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在AO的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为AM=OM+OA=10−1+16=25， 故答案为：25； ②如图，设⊙H的挂点为K，过点H作HT⊥l于点T，∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于OA， ∴HT=OA， ∵HT⊥l，OA⊥l， ∴HT∥OA， ∴四边形HTAO是平行四边形， 又∵∠OAT=90°， ∴四边形HTAO是矩形， ∴∠OHT=90°， ∴∠OHK=90°， ∴OH=√OK2−H K2=√102−12=3√11； ③证明：如图所示，连接NP，MQ， 由（1）知∠NOP=60°， 又∵ON=OP=10， ∴△NOP是等边三角形， ∴NP=ON=OP=10， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴MN=PQ=1，MN∥PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形， ∴MQ=NP=10， ∴MQ的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和 性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 题型三：正多边形与圆中求角度1.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论． (6−2)×180∘ 【详解】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝ ＝120°，BC＝CD， 6 1 ∴∠CBD＝ （180°﹣120°）＝30°， 2 故选A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解 题的关键． 2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，则∠CME的度数为（ ） A．30° B．36° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，360 ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， 6 1 ∴∠CME= ∠COE=60°， 2 故选：D． 360 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关键． n 3.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为 ． 【答案】72° 【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得 ∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到 ∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°． 【详解】∵五边形ABCDE为正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°， ∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°， 故答案为72°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键． 4.如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的度数是（ ） A．144° B．130° C．129° D．108°【答案】A 【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即 可求解． 【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C， ∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°， (5−2)×180° ∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： =108° ， 5 ∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定 理是解题的关键． 5.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为 °． 【答案】54 【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形， 360° ∴∠COD= =72°， 5 ∵OC=OD， 1 ∴∠OCD= ×（180°-72°）=54°， 2 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形 中心角的度数． 6.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为（ ）A．54° B．60° C．71° D．72° 【答案】D 【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形 1 内角和求出∠ABE= (180°−∠A)=36°即可． 2 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 1 ∴∠A=∠ABC= (5−2)×180°=108°，AB=AE， 5 ∴∠ABE=∠AEB， 1 ∴∠ABE= (180°−∠A)=36°， 2 ∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=108°−36°=72°． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握 圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键． 7.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，∠GOK的两边OG,OK，分别与AB,CB，相交于点M，N， 当∠GOK+∠ABC=180∘时，下列说法错误的是（ ） A．∠GOK=60° B．MB+NB=DC 1 C．S = S D．∠OMA与∠ONB相等 四边形OMBN 12 正六边形ABCDEF 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可． 【详解】解：如下图所示，连接OA，OB，OC．∵点O是正六边形ABCDEF的中心， 180°×(6−2) 360∘ ∴ OA=OB=OC，∠FAB=∠ABC= =120∘，∠AOB=∠BOC= =60∘， 6 6 1 AB=DC，S = S ． △OAB 6 正六边形ABCDEF 180∘−∠AOB 180∘−∠BOC ∴ ∠OAM= =60∘，∠OBN= =60∘． 2 2 ∴ ∠OAM=∠OBN． ∵ ∠GOK+∠ABC=180∘， ∴ ∠OMB+∠ONB=360∘−(∠GOK+∠ABC)=180∘，∠GOK=180∘−∠ABC=60∘． 故A选项不符合题意． ∵ ∠OMA+∠OMB=180∘， ∴ ∠OMA=∠ONB． ∴ △OAM≌△OBN（AAS）． ∴ ∠OMA=∠ONB，MA=NB，S =S ． △OAM △OBN 故D选项不符合题意． ∴MB+NB=MB+MA=AB=DC． 故B选项不符合题意． ∴ S =S +S =S +S =S ． 四边形OMBN △OMB △OBN △OMB △OAM △OAB 1 ∴ S =S = S ． 四边形OMBN △OAB 6 正六边形ABCDEF 故C选项符合题意． 故选：C 【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题 关键． 题型四：正多边形与圆中求面积 1.边长为a的正方形的对称轴有 条，这个正方形的外接圆的面积是 ． 1 【答案】 4 πa2 2【分析】正方形的对称轴有4条，然后根据正方形的对角线长就是外接圆的直径求得外接圆的半径，从 而计算面积即可． 【详解】任何正方形的对称轴都有4条； ∵正方形的边长为a， ∴正方形的对角线长为：√2a， ∵正方形的对角线是正方形的外接圆的半径， √2 ∴正方形的外接圆的半径为 a， 2 2 ∴正方形的外接圆的面积为：πr2=π (√2 a ) = 1 πa 2 ❑． 2 2 ❑ 1 故答案为：4， πa 2 ❑． 2 ❑ 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是弄清正多边形的有关元素与圆的关系，如本题 中的外接圆的半径就是正方形对角线长的一半． 2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（ ） 23√3 7√21 21√3 27√3 A． B． C． D． 4 3 3 2 【答案】D 【分析】连接OB、OC，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答． 【详解】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于点H， ∵⊙O的周长等于6π， 6π ∴⊙O的半径为： =3， 2π ∵六边形ABCDEF是正六边形， 360° ∴∠BOC= =60°， 6 ∴△BOC是等边三角形， ∴BC=OB=OC=3， √3 3√3 ∴OH=OB·sin∠OBC=3× = ， 2 21 1 3√3 9√3 ∴S = ⋅BC⋅OH= ×3× = ， △BOC 2 2 2 4 9√3 54√3 27√3 ∴S = ×6= = ， 正六边形ABCDEF 4 4 2 故选D． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形中心角等于60°，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，正六边 形的面积，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 3.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3，则阴影部分的面积是 ． 【答案】4π−6√3/−6√3+4π 【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出∠DOE=60°，进而得出△DOE是正三角形，由圆内接正 六边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出半径OD，边长DE，再根据面积公式求出正六边形 ABCDEF的面积，最后由阴影部分的面积等于圆的面积减去正六边形ABCDEF，进行计算即可 【详解】解：如图，连接OD，OE， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， 360° ∴∠DOE= =60° 6 ∵OD=OE ∴△DOE是正三角形，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3， OM ∴OD= =2，即DE=OE=2， sin60° 1 ∴S =6×S =6× ×2×√3=6√3 ABCDEF △DOE 2 ∴S =S −S =π×22−6√3=4π−6√3 阴影部分 圆 ABCDEF 故答案为4π−6√3 【点睛】本题考查正多边形面积与圆面积的计算，掌握圆内接正六边形的性质以及圆的面积的计算方法 是解决问题的关键 4.求半径为20的圆内接正三角形的边长和面积. 【答案】它的内接正三角形的边长为20√3，面积为300√3 【分析】作正三角形ABC关于⊙O的内接三角形，过点O作BC的垂线AD，垂足为D，连接OB，根据 正三角形的性质，得出∠OBD=30°，再根据锐角三角函数的定义，得出BD的长，再根据垂径定理， 得出BC=2BD，从而求正三角形的边长，再根据锐角三角函数的定义，求出AD的长，进而得出其面积． 【详解】解：如图，作正三角形ABC关于⊙O的内接三角形，过点O作BC的垂线AD，垂足为D，连接 OB， ∵半径为20的圆的内接正三角形， ∴ OB=20， ∵AD⊥BC， ∴ AD是∠BAC的角平分线， ∴ ∠BAD=30°， 又∵ BO=OA， ∴ ∠ABO=30°， ∴ ∠OBD=30°， 在Rt△OBD中， √3 ∴BD=cos30°×OB= ×20=10√3， 2 ∵BD=CD， ∴BC=2BD=20√3，√3 ∴AD=AB⋅sin60°=20√3× =30， 2 1 1 ∴S = BC⋅AD= ×20√3×30=300√3， △ABC 2 2 ∴它的内接正三角形的边长为20√3，面积为300√3． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，根据正三角形的性质得出∠OBD=30°是解题 关键． 5.如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ） A．3√3 B．6√3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由正六边形从性质可得阴影部分的面积等于正六边形面积的一半，可得△ABC为等边三角形， 再计算正六边形的面积即可得到答案. 【详解】解：如图，∵正六边形， ∴图形①，②，③，④，⑤，⑥与上半部分的阴影部分的图形分别对应相等， ∴整个阴影部分的面积为正六边形的面积的一半， ∵正六边形， ∴正六边形的面积等于6S ,△ABC为等边三角形，AD⊥BC, △ABC ∴AB=BC=AC=2,BD=DC=1， ∴AD=√3，1 ∴正六边形的面积为：6S =6× ×2×√3=6√3， △ABC 2 ∴阴影部分的面积为：3√3. 故选A 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，正六边形的性质，熟记正六边形是轴对称 图形是解本题的关键. 6.如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 24 【答案】 π 5 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷5=72°， ∴正五边形的每个内角为180°−72°=108°， ∵正五边形的边长为4， 108⋅π×42 24 ∴S = = π， 阴影 360 5 24 故答案为： π． 5 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度 数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 7.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形 逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O 的面积，则⊙O的面积约为 ．【答案】6√3 【分析】连接OA、OB，根据正多边形和圆的关系可判断出△OAB为等边三角形，过点O作OM⊥AB 于点M，再利用勾股定理即可求出OM长，进而可求出△AOB的面积，最后利用⊙O的面积约为 6S 即可计算出结果． △AOB 【详解】解：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60° ∵OA=OB=2 ∴△OAB为等边三角形， ∴AB=2 过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM=1 在Rt△AOM中，OM=√22−12=√3 1 ∴S = ×2×√3=√3 △AOB 2 ∴⊙O的面积约为6S =6√3 △AOB 故答案为：6√3． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键． 8.如图，已知正六边形ABCDEF，⊙O是此正六边形的外接圆，若AB=2，则阴影部分的面积是 ． 4 【答案】2√3+ π 3 【分析】如图，连接OA,OB,OF,OD，OA交BF于G，由正六边形的性质可得出△AOB是等边三角形，△OFB≅△ODB，进而可得阴影部分的面积=三角形OBF的面积×2+扇形OFED的面积，然后根据三 角形的面积和扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接OA,OB,OF,OD，OA交BF于G， ∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆， ∴OA=OB=OF=OD,∠BOF=∠BOD=∠DOF=120°,∠AOB=60°，OG⊥BF， ∴△AOB是等边三角形，△OFB≅△ODB， ∴OA=OB=AB=2， ∴阴影部分的面积=三角形OBF的面积×2+扇形OFED的面积， 在直角三角形OBG中，OG=OB⋅cos60°=1,BG=OB⋅sin60°=√3， 1 120π×22 4π ∴阴影部分的面积= ×1×√3×2×2+ =2√3+ ； 2 360 3 4 故答案为：2√3+ π 3 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和 圆的相关知识是解题的关键． 题型五：正多边形与圆中求周长 1.如图，已知圆内接正六边形的周长为24，则图中阴影部分图形的周长是 （结果保留π）． 4 【答案】 π+4 3 【分析】连接OA，OB，根据正六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形得出 AB=BC=CD=DE=EF=AF，求出圆心角∠AOB的度数，再求出弧AB的长度，最后求出答案即可． 【详解】解：连接OA、OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，圆内接正六边形的周长为24， ∴AB=BC=CD=DE=EF=AF， ∴正六边形ABCDEF的边长为4， ∴AB=4， 1 ∴∠AOB= ×360°=60°， 6 ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4， 60π×4 4 ∴阴影部分的周长是 +4= π+4． 180 3 4 故答案为： π+4． 3 【点睛】本题考查了正多边形的性质，扇形的面积公式等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题 的关键． 2.如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于3√3，则⊙O的周长等于 ． 【答案】12π 【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD=60°，OC=OD，根据等腰三角形的性质 1 得到CG=DG，∠COG= ∠COD=30°，利用三角函数解直角三角形得到求出半径，再根圆的周长 2 计算即可解题． 【详解】解：如图，连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD=60°，OC=OD， ∵OG⊥CD， 1 ∴CG=DG，∠COG= ∠COD=30°， 2 ∵OG=3√3， OG ∴OC= =3√3÷cos30°=6， cos∠COG ∴⊙O的周长2×6π=12π． 故答案为：12π． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆的周长计算等知识，熟 练掌握正六边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 3.如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（ ） A．5 B．6 C．30 D．36 【答案】C 【分析】连接CD、EF，交于点O，则点O是正六边形ACEBDF的中心，先根据正六边形的性质可得 1 ∠AOC=60°，OC=OA= AB=5，再根据等边三角形的判定与性质可得AC=OA=5，由此即可得． 2 【详解】解：如图，连接CD、EF，交于点O，则点O是正六边形ACEBDF的中心， ∵六边形ACEBDF是正六边形，AB=10， 360° 1 ∴∠AOC= =60°，OC=OA= AB=5， 6 2 ∴△AOC是等边三角形， ∴AC=OA=5， ∴正六边形ACEBDF的周长为5×6=30， 故选：C． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 4.如图，有公共顶点O的两个边长为5的正五边形（不重叠），以点O为圆心， 5为半径作弧，构成一 个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的周长为（ ） A．4π B．4π+20 C．10π D．10π+20 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和求出正五边形的内角和，可求得每个内角的度数，则可求得阴影部分的度 数，再利用圆弧的周长计算公式即可求得答案． 【详解】解：正五边形的内角和为：(n−2)⋅180°=(5−2)×180°=540°， ∴每个角为540°÷5=108°， 则图中阴影部分的度数为：360°−2×108°=144°， 144 144 则圆弧的长： ×2πr= ×2×5⋅π=4π， 360 360 ∴“蘑菇”形图案的周长为：4π+4×5=4π+20， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆弧的周长计算，解题的关键是熟练掌握圆弧的周长计算公式．5.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点A 、B 、 1 1 C 、D 、E 、F ，则六边形A B C D E F 的周长是 ． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【答案】12√3 【分析】连接AC，过点B作BM⊥A B 于点M，先说明六边形A B C D E F 为正六边形，然后根 1 1 1 1 1 1 1 1 据等腰三角形的性质，三角函数求出A B =2√3，即可得出周长． 1 1 【详解】解：连接AC，过点B作BM⊥A B 于点M，如图所示： 1 1 ∵六边形ABCDEF为正六边形， 360° ∴BC=CD=DE=EF=FA=AB=4，∠ABC=180°− =120°， 6 ∵A 、B 为AB、BC的中点， 1 1 1 ∴A B = AC， 1 1 2 1 1 1 1 1 同理可得：B C = BD，C D = CE，D E = DF，E F = AE，F A = FB， 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AC=BD=CE=DF=EA=FB， ∴A B =B C =C D =D E =E F =F A ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∵A B= AB=2，B B= BC=2， 1 2 1 2 ∴A B=B B， 1 1 ∵BM⊥A B ， 1 11 1 ∴∠A BM= ∠A BB =60°，A M= A B ， 1 2 1 1 1 2 1 1 √3 ∴A M=A B×sin60°=2× =√3， 1 1 2 ∴A B =2√3， 1 1 ∴六边形A B C D E F 的周长是6×2√3=12√3． 1 1 1 1 1 1 故答案为：12√3． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，三角形中位线的性质， 解题的关键是作出辅助线，求出A B =2√3． 1 1 6.某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系， 它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在 正五边形中，如图所示，连接AB，AC，∠ACB的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个 黄金分割点，且AD>BD，已知AC=10cm，那么该正五边形的周长为（ ） A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm 【答案】C 【分析】证明BC=CD=AD=6.18（cm），可得结论． 【详解】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点， AD ∴ =0.618， AB ∵AB=AC=10cm， ∴AD=6.18（cm）， ∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°， ∴BC=CD=AD=6.18（cm）， ∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm）， 故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题． 7.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与 圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得 圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长． 再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的 l 周长l =6R，则π≈ 6 =3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结 6 2R 果正确的是（ ） A．l =24Rsin15° B．l =24Rcos15° 12 12 C．l =24Rsin30° D．l =24Rcos30° 12 12 【答案】A 【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵十二边形A A ⋯A 是正十二边形， 1 2 12 ∴∠A OA =30°， 6 7 ∵OM⊥A A 于M，又OA =OA ， 1 2 6 7 ∴∠A OM=15°， 6 180° ∵正n边形的周长=n⋅2Rsin ， n ∴圆内接正十二边形的周长l =24Rsin15°， 12 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 8.如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB=8mm，两脚BC=BD=56mm，如图2所示．当∠CBD=74°时：(1)求A离纸面CD的距离． (2)用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1） 【答案】(1)52.8mm (2)403.2mm 【分析】（1）连接CD，过点B点作BE⊥CD，垂足为E，根据等边三角形的性质求得∠CBE=37°， 解直角三角形CBE，分别求得CE,BE，根据AE=AB+BE，即可求解． （2）根据正六边形的性质，正六边形的边长等于半径，等于CD的长，即可求得正六边形的周长． 【详解】（1）如图，连接CD，过点B点作BE⊥CD，垂足为E， ∵BC=BD， 1 ∴CE=DE,∠CBE=∠DBE= ∠CBD=37°， 2 ∴BE=BC⋅cos37°≈56×0.80=44.8mm， ∴AE=AB+BE=8+44.8=52.8mm， 即A离纸面CD的距离为52.8mm． （2）∵CE=BC⋅sin37°≈56×0.60=33.6， ∴CD=2CE=67.2 mm． ∵正六边形的边长等于外接圆的半径，则正六边形周长=6CD=6×67.2=403.2 mm． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关 键． 题型六：正多边形与圆中求边心距、边长 1.如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是 ．【答案】3√3 【分析】连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，证明△OBC为等边三角形，根据等边三角形的 1 性质，得出BM= BC=3，根据勾股定理得出OM=3√3即可． 2 【详解】解：连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形， 1 ∴∠BOC= ×360°=60°， 6 ∵OB=OC， ∴ΔOBC为等边三角形， ∴OB=OC=BC=6， ∵OM⊥BC， 1 ∴BM= BC=3， 2 ∴OM=√OB2−BM2=√62−32=3√3， 即弦心距是3√3． 故答案为：3√3． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌 握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 2.半径为2的圆内接正六角形的边长是（ ）A．1 B．2 C．√3 D．2√3 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质可知∠COD=60°，再根据等边三角形的判定与性质可知OC=OD=CD 进而即可解答． 【详解】解：如图，连接OC、OD， ∵正六边形ABCDEF内接于圆O， 360° ∴∠COD= =60°， 6 ∵OC=OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC=OD=CD， ∵OC=OD=2， ∴CD=2， 故选B． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题 的关键． 3.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ） 2√3 A．2√3cm B．√3cm C． cm D．1cm 3 【答案】A 1 【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1=30°，再通过解直角三角形即可得出 a的值，进而可求 2出a的值，此题得解． 【详解】∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠1=30°（如图）， 1 ∴ a=2cos∠1=√3， 2 ∴a=2√3． 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 4.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关 系式错误的是（ ） A．r=Rcos36° B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．a=rsin36° 【答案】D 1 【分析】先根据正多边形的性质求出∠BOC=72°，进而求出∠1=36°，BF= a，再解直角三角形即 2 可得到答案． 【详解】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，1 ∴∠BOC= ×360°=72°， 5 ∵OB=OC，OF⊥BC， 1 1 1 1 ∴∠1= ∠BOC= ×72°=36°，BF= BC= a， 2 2 2 2 1 ∴ a=Rsin36°，即a=2Rsin36°，故B不符合题意；D符合题意； 2 1 a=rtan36°，即a=2rtan36°，故C不符合题意； 2 r cos36°= ，即r=Rcos36°，故A不符合题意； R 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接正五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心 角的度数是解题的关键． 5.如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB=1cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和 为 cm． 【答案】3√3 【分析】根据正六边形的性质求出正六边形的“边心距OT”，再将问题转化为“边心距”的6倍即可．． 【详解】解：设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OE、OF，过点O作OT⊥EF，垂足为T，∵正六边形ABCDEF， 360° ∴∠EOF= =60°， 6 ∵OE=OF， ∴△EOF是正三角形， ∴OE=OF=EF=AB=1， √3 √3 ∴OT= OE= ， 2 2 过点P分别作正六边形ABCDEF的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H， 则点P到这个正 六边形六条边的距离之和=MN+GH+QS=6OT=3√3， 故答案为：3√3． 【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 6.如图，正六边形的半径为1，点M在边ED上运动，连接AM，则AM的长度可以是 （只写出一个 满足条件的值即可）． 【答案】1.8(答案不唯一，只要符合√3≤AM≤2即可)． 【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OF，OE，AE，AD，根据正六边形的性质得△AOF和 △OEF为等边三角形，然后可由勾股定理求出AT，进而得AE=√3，再求出AD=2，根据AM在边ED 上运动得√3≤AM≤2，最后在这个的范围内取一个值即可． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接OF，OE，AE，AD，根据正六边形的性质得：AD经过点O，∠AOF=360°÷6=60°，OA=OF=OE=OD=1， ∴△AOF为等边三角形， ∴AF=OA=OF=1，∠OFA=60° 同理：△OEF为等边三角形， ∴∠OFE=60° ∴∠OFA=∠OFE=60°， 又AF=EF， ∴AE⊥OF， 1 ∴FT=OT= OF=0.5，AT=EF， 2 在Rt△AFT中，AF=1，FT=0.5， √3 由勾股定理得：AT=√AF2−FT2= ， 2 ∴AE=2AT=√3， 又∵OA=OD=1， ∴AD=2， ∵AM在边ED上运动， ∴AE≤AM≤AD， 即：√3≤AM≤2， ∴AH=1.8． 故答案为：1.8(答案不唯一，只要符合√2≤AM≤2即可)． 【点睛】此题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答 此题的关键是熟练掌握正多边形的性质，中心角、半径等概念． 7.已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为 ． 1 【答案】 /0.5 2 【分析】根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OD⊥BC，连接OB， OC，OB=1， ∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC， ∴∠OBD=30°， 1 1 在Rt△OBD中，OD= OB= ， 2 2 1 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识 是解题的关键． 8.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3，则正六边形的边长为 ． 【答案】2 【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出∠DOE=60°，进而得出△DOE是正三角形，由圆内接正 六边形的性质以及直角三角形的边角关系可求出边长． 【详解】解：如图，连接OD、OE，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， 360° ∴∠DOE= =60°， 6 ∵OD=OE， ∴△DOE是正三角形， ∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是√3， OM ∴OD= ×2=2=DE， √3 即正六边形ABCDEF的边长为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质 是解决问题的关键． 9.已知圆的半径为R，那么它的内接正三角形的边长是 ． 【答案】√3R 【分析】根据正三角形外心的性质得AD⊥BC，OC=R，∠BCE=30°，BC=2CD，再根据含30度 直角三角形的性质及勾股定理求出边长即可． 【详解】解：如图所示，O为正三角形△ABC外接圆的圆心， 1 ∴AD⊥BC，OC=R，∠BCE= ∠BCA=30°，BC=2CD， 2 在Rt△ODC中，∵∠BCE=30°，OC=R， 1 1 √3 ∴OD= OC= R，CD=√OC2−OD2= R， 2 2 2 ∴BC=√3R 故答案为：√3R 【点睛】本题考查圆与正多边形的相关计算，解题关键掌握正三角形外心的性质． 10.如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点 P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A．2 cm B．√3cm C．1 cm D．3 cm 【答案】A 【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得 △ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可． 【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G 由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE ∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线 ∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动 ∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值3√3 设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=√3a（cm） ∴2a×√3a÷2=3√3（cm） ∴a2=3∴a=√3（cm）或a=-√3（舍） ∵正六边形的每个内角均为120° 1 ∴∠ABG= ×120°=60° 2 AG ∴在Rt△ABG中， =sin60° AB √3 √3 ∴ = AB 2 ∴AB=2（cm） ∴正六边形的边长为2cm 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长， 是解题的关键． 11.某正多边形的边心距√3，半径为2，则该正多边形的面积为 ． 【答案】6√3 【分析】根据题意画出图形，得出OE⊥AB，OE=√3，OA=2，OA=OB，求出 ∠AOB=2∠AOE=60°，得出正多边形是正六边形，然后求出结果即可． 【详解】解：如图所示：由题意可得，OE⊥AB，OE=√3，OA=2，OA=OB， √3 则cos∠AOE= ， 2 故∠AOE=30°， 1 ∴AE= OA=1， 2 ∴∠AOB=2∠AOE=60°，AB=2AE=2， 360° ∵ =6， 60° ∴正多边形是正六边形， 1 √3 则该正多边形的面积为：6× ×2× =6√3， 2 2 故答案为：6√3． 【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，正多边形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明正多边形是正六边形． 12.半径为6的圆内接正三角形的边心距为 ． 【答案】3 【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°的直角三角形的性质得出OD即可． 【详解】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D， 则∠ODC=90°， 1 ∵∠BOC= ×360°=120°，OB=OC， 3 ∴∠OBC=∠OCB=30°， 1 1 ∴OD= OB= ×6=3, 2 2 即边心距为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正 确作出辅助线，构造直角三角形来解答． 题型七：正多边形与圆中求线段长 1如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（ ） 3 √3 A．2a B．√3a C． a D． a 2 2 【答案】B 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角 形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解． 【详解】设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵AB=a，∠AOB=60°， AM ∴ cos∠BAC= ， AB √3 ∴AM= a， 2 ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， 1 ∴AM=MC= AC， 2 ∴AC=2AM= √3a． 扳手张开的开口b至少为√3a . 【点睛】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 2.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点O是其中心，点P是AB上一点，且AP:BP=1:2，连接OP， 则OP=（ ） A．2 B．2√7 C．4 D．6 【答案】B 【分析】如图，连接OA，作OG⊥AB，垂足为G，构造直角三角形； Rt△OAG中，OG=OAsin∠OAG=3√3，由勾股定理，OP=√OG2+PG2=2√7．1 【详解】如图，连接OA，作OG⊥AB，垂足为点G，则OA=6，AG= AB=3 2 1 Rt△OAG中，OG=OAsin∠OAG=6×sin60°=3√3，PG=AG−AP=3− ×6=1 3 ∴OP=√OG2+PG2=√12+(3√3) 2=2√7 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形；通过添设辅助线将正多边形问题转化为解直角三角 形问题是解题的关键． 3.如图，在边长为6√3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，相交于点O，若点M，N分别为OB， OF的中点，则MN的长为（ ） A．6 B．6√3 C．8 D．9 【答案】D 【分析】连接BF，利用BCF是含30°角的直角三角形，再利用MN是三角形BOF的中位线求MN即可. 【详解】解：连接BF， ∵在正六边形ABCDEF中，∠A=∠ABC=120°，AB=AF，∴∠ABF=30° ∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=90°， ∴在正六边形ABCDEF中，∠BOC=60°，OB=OC ∴BOC是等边三角形， ∴∠BCF=90°， ∴BCF是含30°角的直角三角形 又∵正六边形ABCDEF的边长为6√3，即BC=6√3 ∴CF=12√3， ∴BF=√CF2−BC2=√(12√3) 2 −(6√3) 2=18 ∵点M，N分别为OB，OF的中点， ∴MN是三角形BOF的中位线， 1 ∴MN= BF=9 2 故选：D. 【点睛】本题考查正多边形的内角和中心角，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形三边关系， 正确作出辅助线是解题的关键. AB 4.如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则 的值为（ ） AE √6 √3 √2 √6 A． B． C． D． 2 2 3 3 【答案】D 【分析】如图所示，连接AC，CE，由正方形的性质得到∠ABC=90°，∠ACB=45°，则AC是直径， √2 即可得到∠AEC=90°，解Rt△ABC得到AB= AC，再由等边三角形的性质和圆周角定理得到 2 √3 ∠ACE=∠AFE=60°，解Rt△AEC得到AE= AC，由此即可得到答案． 2 【详解】解：如图所示，连接AC，CE，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴AC是直径， ∴∠AEC=90°， √2 在Rt△ABC中，AB=AC⋅sin ACB= AC， 2 ∵△AEF是等边三角形， ∴∠ACE=∠AFE=60° √3 在Rt△AEC中，AE=AC⋅sin ACE= AC， 2 √2 AB 2 √6 ∴ = = ， AE √3 3 2 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5.如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（ ） A．2√2+2 B．4 C．2+√2 D．6 【答案】A 【分析】标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB 于H，根据正多边形和圆的性质，矩形的判定定理和性质确定∠DAB=∠ABC=90°，根据多边形的内角和定 理确定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根据角的和差关系，平行线的判定定理确定EF∥AB，根据平行线的 性质，矩形的判定定理和性质求出GH的长度，根据三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理求出GA和HB的长度，最后根据线段的和差关系即可求出AB的长度． 【详解】解：如下图所示，标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于 G，过点F作FH⊥AB于H． 根据图形可知直线AC和直线BD是正八边形的对称轴． ∴AC和BD是该正八边形外接圆的直径． ∴AC=BD，点O为该正八边形外接圆的圆心． ∴OA=OB=OC=OD． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD=∠ABC=90°． ∵正八边形的边长为2， 180°×(8−2) ∴AE=EF=FB=2，∠DAE=∠AEF=∠FBC= =135°． 8 ∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°． ∴∠AEF+∠GAE=180°． ∴EF∥AB． ∴∠EGH+∠GEF=180°． ∵EG⊥AB，FH⊥AB， ∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°． ∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°， AE2=GA2+GE2，FB2=H F2+HB2． ∴四边形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF． ∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF． ∴22=GA2+GA2，22=HB2+HB2． ∴GA=√2，HB=√2． ∴AB=GA+GH+HB=2√2+2． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆的性质，多边形的内角和定理，矩形的判定定理和性质，平行线的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 题型八：正多边形与圆中求最值 1.如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点 到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）． A．√2 B．2 C．4+2√2 D．4−2√2 【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，由题意可得，EA 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，过点O作 OF⊥AB，如下图： 则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 1 由题意可得：OE=AB=4，AF=OF= AB=2 2 由勾股定理可得：OA=√OF2+AF2=2√2， ∴AE=4−2√2， 故选：D 【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确 定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置． 2.如图，将一个正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合，则n的最小值是（ ）A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据题意得出正n边形的中心角最大为15°，然后由圆周角除以中心角即可得出结果． 【详解】解：正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合， ∵45°和60°最大公约数为15°， ∴正n边形的中心角最大为15°， ∴360°÷15°=24， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，解答此题的关键是要明确绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重 合得出正n边形的中心角最大为15°． 3.如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当∠APB=90°时，连接PD，则线段PD的最小 值是（ ） A．2√11−2 B．2√13−2 C．6 D．4√3 【答案】B 【分析】取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，先求出BD=4√3，然后根据 ∠APB=90°，得到点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，则当D、P、G三点共线时，DP有最小值， 由此求解即可． 【详解】解：取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2， ∵六边形ABCDEF是正六边形， (6−2)×180° ∴∠BCD= =120°，CD=BC=AB=4， 6 1 ∴BH=DH，∠DCH=∠BCH= ∠BCD=60°， 2 ∴DH=CD⋅sin∠DCH=2√3， ∴BD=4√3，∵∠APB=90°， ∴点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动， ∴当D、P、G三点共线时，DP有最小值， 在Rt△BDG中，DG=√BG2+BD2=2√13， ∴PD=DG−PG=2√13−2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆外一点到圆上一点的最 值问题，确定当D、P、G三点共线时，DP有最小值是解题的关键． 4.如图，在边长为2的正六边形纸片ABCDEF上剪一个正方形GHIJ，若GH∥AB，则得到的正方形边 长最大为( ) A．√6 B．2√3 C．3−√3 D．6−2√3 【答案】D 【分析】当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大，由此画出图形求解即可． 【详解】解析：当正方形顶点落在正六边形边上时，正方形面积最大． 如图，取正六边形的中心O，连接OA，OF，OG，OF交GJ于点M，此时，OF垂直平分GJ，正方形的中心也是O，△AFO是等边三角形， ∴∠GFO=60°，∠GOF=45°，OF=AF=2． 设FM=x，则MO=MG=√3FM=√3x， ∴x+√3x=2，解得x=√3−1， ∴MG=3−√3， ∴正方形的边长为：2MG= 6−2√3， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的三边关系，正六边 形的性质等知识，根据题意画出符合条件的正方形是解题的关键． 5.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=4，点E是A´D上任意一点，CF⊥BE于F．当点E从点A 出发按顺时针方向运动到点D时，则AF的最小值为 ． 【答案】2√5−2 【分析】首先证明点F的运动轨迹是BC为直径的⊙O'，连接AO'交⊙O'于点M，求出AF的最小值即 可； 【详解】如图， ∵CF⊥BE， ∴∠CFB=90°， ∴点F的运动轨迹是BC为直径的⊙O'，连接AO'交⊙O'于点M， 在Rt△ABO'中，AO'=√42+22=2√5， ∴AM=2√5−2， ∴当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，AF的最小值为2√5−2．故答案是2√5−2． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点F的运 动轨迹，属于中考常考题型． 6.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，O为AD的中点，以O为圆心，√3为半径作⊙O，M为⊙O 上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d． （1）OA= ． （2）当△BCM面积最小时，点M到BC的距离为 ，d的最大值为 ． 【答案】 4 √3 4+√3/√3+4 【分析】（1）连接OB，可得△AOB是等边三角形，即可； （2）当OM垂直平分BC时，△BCM面积最小，设OM的延长线交BC于点N，连接OB，根据勾股定理 求出ON的长，即可；根据题意得当点M在线段AD上时，d最大，即可． 【详解】解：（1）连接OB， 360° 在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，OA=OB， 6 ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=4； 故答案为：4 （2）如图1，当OM垂直平分BC时，△BCM面积最小，设OM的延长线交BC于点N，连接OB． 1 1 1 ∴∠BON= ×60°=30°，OB=OA=AB=4，BN= BC= AB=2， 2 2 2 ∴ON=√OB2−BN2=2√3， ∴MN=ON−OM=2√3−√3=√3， 即此时M到BC的距离为√3． 如图2，当点M在线段AD上时，d最大，d=OM+OD=OM+OA=4+√3．故答案为：√3；4+√3 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键． 7.如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB， 以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为 ． 【答案】32 【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形 的面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可． 【详解】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中 面积最大的； 点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点， 此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积， 圆O的直径PQ恰好经过点A，D， 连接BE ， ∵四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4， ∴BE = PQ = 2OP =8，BC = CE， ∵∠C= 90°，∴BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 8❑ 2， ∴BC2=32，即S BCEF=32， 正方形 如图，当P,A重合时，当A,B,C,D四点都在圆上时，四边形ABCD是正方形 矩形ABCD面积的最大值为32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键． 题型九：尺规作图-正多边形 1 1.如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF= BC，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要 3 的画图痕迹． (1)在图1中的边DE上求作点G，使DG=CF； (2)在图2中的边DE上求作点H，使EH=CF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作； （2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可． 【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为 所求作，如图1所示； 理由：∵⊙O为正五边形的外接圆， ∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点． ∵点M在直线AO上， ∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称， ∴CF与DG关于直线AO对称． ∴DG=CF． （2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示； 【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题 的关键． 2.(1)如图，EF是⊙O的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD，要求所作正方形的一组对边 AD、BC垂直于EF见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹)； (2)连接EA、EB，求出∠EAD、∠EBC的度数．【答案】（1） 见 解 析；（2）67.5° 【详解】试题分析：（1）作出八等分点，即可得到圆内接正方形； （2）求出相应圆心角的度数，根据圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 试题解析：（1）作①EF的中垂线， ②直角的平分线OD， ③8等分弧，完成正方形． （2）连接OD，OC， 1 1 因为E´D= 圆周，所以∠EOD=360°× =45°， 8 8 1 所以∠EAD=45°× =22.5°． 2 因为ED´C=3E´D， 所以∠EBC=3∠EAD=3×22.5°=67.5°． 3.如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析【分析】先作直径AC，再作AC的垂直平分线交O于点B，D，则四边形ABCD为⊙O的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应 几何图形的性质和基本作图的方法作出图，同时此题也考查了正多边形和圆． 4.作图与计算： (1)在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上． 画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA B ，并写出线段OB扫过的扇形的面积 ．（结果含π） 1 1 (2)利用尺规在图中作圆内接正六边形（不写作法，保留痕迹），并写出正六边形半径、边心距、边长的 比 ． 5π 【答案】(1)图见解析， 3 (2)图见解析，2:√3:2 【分析】（1）先分别确定△ABO绕点O顺时针旋转90°后的点，顺次连接即可；然后网格及勾股定理 确定O=√10，再由扇形面积计算公式求解即可； （2）作过圆心A的线段CD，以点C为圆心，AC长为半径在圆上画弧，交于点B，再以点B为圆心， AC长为半径画弧，交于点E，同理得出点F，G，然后顺次连接各点即可；根据正六边形的性质及等边√3r 三角形的判定得出BC=AB=AC=r，再由等边三角形的性质及勾股定理得出AH= ，即可确定比值． 2 【详解】（1）解：如图所示，先分别确定△ABO绕点O顺时针旋转90°后的点，顺次连接， ∴△OA B 即为所求； 1 1 由图得：OB=√32+12=√10， 2 60π×(√10) 5π S = = ， 扇形OBB 1 360 3 5π 故答案为： ； 3 （2）如图所示：正六边形CBEDFG即为所求； 设圆的半径即AC=r， ∵正六边形CBEDFG， ∴∠CAB=360°÷6=60°， ∵AC=AB=r， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC=AB=AC=r， 过点A作AH⊥BC， ∴∠CAH=∠BAH=30°， 1 1 ∴CH= BC= r， 2 2√3r ∴AH=√AC2−CH2= ， 2 √3r 半径、边心距、边长的比即为AC:AH:BC=r: :r=2:√3:2， 2 故答案为：2:√3:2． 【点睛】题目主要考查图形的旋转及扇形的面积公式，圆内接正六边形的作法及等边三角形的判定和性 质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 5.如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法如图2． 1．作直径AF． 2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N． 3．连接AM，MN，NA． (1)求∠ABC的度数． (2)△AMN是等边三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的 值． 【答案】(1)108° (2)是，理由见解析 (3)15 【分析】本题考查正多边形的内角，等边三角形的性质与判定，圆周角定理； （1）运用多边形的内角和公式求出正五边形ABCDE的内角和，根据每个内角都相等即可解答； （2）连接ON，OM，MF，NF，由题意可得：OM=ON=OF，FM=FO=FN，从而△FOM， △FON都是等边三角形，得到∠MFA=60°，∠NFA=60°，由圆周角定理可得 ∠ANM=∠AFM=60°，∠AMN=∠AFN=60°，进而∠MAN=60°，即可得证△AMN是等边 三角形； （3）连接OD，OE，由圆周角定理得到∠AON=2∠AMN=120°，又由正五边形ABCDE的中心角360° 为72°可得∠AOD=144°，从而∠NOD=∠AOD−∠AON=24°，因此n= =15． 24° 【详解】（1）∵正五边形ABCDE的内角和为：(5−2)×180°=540°， 且每个内角都相等， ∴∠ABC=540°÷5=108°． （2）△AMN是等边三角形，理由： 连接ON，OM，MF，NF， 由题意可得：OM=ON=OF，FM=FO=FN， ∴OF=ON=FN，OF=OM=MF ∴△FOM，△FON都是等边三角形， ∴∠MFA=60°， ∠NFA=60° ∵A´M=A´M，A´N=A´N， ∴∠ANM=∠AFM=60°，∠AMN=∠AFN=60°， ∴∠MAN=180°−∠AMN−∠ANM=180°−60°−60°=60°， ∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°， ∴△AMN是等边三角形； （3）连接OD，OE， ∵∠AMN=60°，A´N=A´N， ∴∠AON=2∠AMN=2×60°=120°， 360° ∵在正五边形ABCDE中，中心角为 =72°， 5 即∠AOE=∠DOE=72°， ∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=72°+72°=144°，∴∠NOD=∠AOD−∠AON=144°−120°=24°， 360° ∴该正n边形的中心角为24°，则边数n= =15， 24° ∴n的值是15． 6.已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，作一个正方形； （2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）连接BD，DF，FH，HB，由原图形为正八边形，得到各边相等，各内角相等，可得三角形 BCD，三角形DEF，三角形FGH，三角形HAB全等，进而得到四边形BDFH四边相等，利用等边对等角以 及正八边形的内角，确定出四边形BDFH四个角都为直角，可得出四边形BDFH即为所求正方形； （2）连接AE、DH，相交于点O，由正八边形的性质可得点O为正八边形的中心点，且OD=OE，再延 长CD、FE，相交于点N，由补角的定义和等角对等边可得ND=NE，连接ON，与DE相交于点M，则 ON为DE的垂直平分线，点M为DE的中点，同理可得其他各边的中点，依次连接原正八边形ABCDEFGH 的各边中点，依次得到四周小三角形全等，得到红线部分八边形各边相等，再利用等边对等角以及正八 边形的内角，确定出红线部分八边形八个角都相等，可得所求正八边形． 【详解】（1）如图1，连接BD，DF，FH，HB，四边形BDFH即为所求正方形； （2）如图2，连接AE、DH，相交于点O，由正八边形的性质可得点O为正八边形的中心点，且OD=OE， 再延长CD、FE，相交于点N，由补角的定义和等角对等边可得ND=NE，连接ON，与DE相交于点M， 则ON为DE的垂直平分线，点M为DE的中点，同理可得其他各边的中点，依次连接原正八边形 ABCDEFGH的各边中点，可得所求正八边形．【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，正方形的判定与性质，以及正多边形和圆，熟练掌握正多边形的 判定与性质是解本题的关键． 题型十：正多边形与圆的规律问题 1.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上， AB=2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，经过第2025次旋转后，顶点D的坐 标为（ ） A．(−3,−2√3) B．(−2,−2√3) C．(−3,−3) D．(−2,−3) 【答案】A 【分析】连接AD、BD，首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025÷6=337……3，推出经 过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D 的坐标相同即可解答． 3 【详解】解：如图，连接AD，BD． 在正六边形ABCDEF中，AB=2，AD=4，∠ABD=90°， ∴BD=2， 在Rt△AOF中，AF=2，∠OAF=60°，∴∠OFA=30°， 1 ∴OA= AF=1， 2 ∴OB=OA+AB=3， ∴D(3,2√3)， ∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，6次一个循环， ∵2025÷6=337⋯3， ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第3次旋转得到的D 的坐标相同， 3 ∵D与D 关于原点对称， 3 ∴D (−3,−2√3)， 3 ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标(−3,−2√3)， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化—旋转，学会探究规律方法是解题的关 键． 2.如图，正六边形A B C D E F 的边长为2，正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A B C D E F 的各边相切，正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 相切……按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为 ． 10 10 10 10 10 1081√3 【答案】 256 【分析】连接OE ，OD ，OD ，根据正六边形的性质可得∠E OD =60°，则△E OD 为等边三 1 1 2 1 1 1 1 √3 √3 角形，再根据切线的性质得OD ⊥E D ，于是可得OD = E D = ×2，利用正六边形的边长等 2 1 1 2 2 1 1 2 √3 于它的半径可得正六边形A B C D E F 的边长= ×2，同理可得正六边形A B C D E F 的边长 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 (√3) = ×2，依此规律求解即可． 2 【详解】解：连接OE ，OD ，OD ，如图所示， 1 1 2 ∵六边形A B C D E F 为正六边形， 1 1 1 1 1 1 ∴∠E OD =60°， 1 1 ∴△E OD 为等边三角形， 1 1 ∵正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴OD ⊥E D ， 2 1 1 √3 √3 ∴OD = E D = ×2， 2 2 1 1 2 √3 ∴正六边形A B C D E F 的边长= ×2， 2 2 2 2 2 2 22 (√3) 同理可得正六边形A B C D E F 的边长= ×2， 3 3 3 3 3 3 2 9 (√3) 81√3 ∴正六边形A B C D E F 的边长= ×2= ． 10 10 10 10 10 10 2 256 81√3 故答案为： ． 256 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构 成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长． 3.如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原点O 重合，顶点A，E在y轴上，顶点 G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB 的垂线，垂足为P，将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转 45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为（ ） (3 3) ( 3 3) ( 3) (3 ) A． ,− B． − , C． 0, D． ,0 2 2 2 2 2 2 【答案】A 【分析】过点P作x轴的垂线，垂足为Q，结合正八边形的性质及等腰直角三角形的性质通过探索将 △APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，进而求得点的坐标． 【详解】解：∵多边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB=360°÷8=45°， √2 3√2 在Rt△APO中，OP=OA =3cos45°=3× = ， 2 2 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，3√2 3√2 √2 3 在Rt△OPQ中，OP=OQ= cos45°= × = 2 2 2 2 ∵∠BOC=∠AOB=45° 3 ∴PQ=OQ= 2 (3 3) ∴点P的坐标为 , 2 2 将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置， (3 3) ∴第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为 , 2 2 连接OD，82次旋转结束时点P'位于OD上， ∴OP'=OP，∠P'OQ=∠POQ=45° ∴.点P'与点P关于x 轴对称， ∴P'(3 ,− 3) 2 2 (3 3) ∵第82次旋转结束时，点P的坐标为 ,− 2 2 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解直角三角形，准确识图探索规律是解题关 键． 4.如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将 一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边 形绕其中心最少旋转 °，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4， 则所得正八边形的面积为 ．180 【答案】 32√2−32 7 180∘ 【分析】根据题意，可以发现正n边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形； n 旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x， 则正八边形的边长为√2x；然后根据x+x+√2x=4求得x；最后用正方形的面积减去这八个等腰直角三角形 的面积即可． 180∘ 【详解】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则 n 180∘ 将一个正七边形绕其中心最少旋转 所得图形与原图的重叠部分是正多边形； 7 由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形， 设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为√2x ∴x+x+√2x=4，解得x=4-2√2 1 ∴减去的每个等腰直角三角形的面积为： (4−2√2)(4−2√2)=12−8√2 2 ∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积 =4×4-4（12−8√2） =32√2−32． 180 故答案为 ，32√2−32． 7 【点睛】本题考查了旋转变换、图形规律以及勾股定理等知识，根据题意找到旋转规律是解答本题的关 键． 5.如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A B C D E F ，边A B 、F E 分别在射线OM、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ON上，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，以A F 为边作正六边形A B C D E F ， 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，再以A F 为边作正六边形A B C D E F ，…，依 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3此规律，经第n次作图后，点B 到ON的距离是 ． n 【答案】3n−1 ⋅√3 【分析】寻找规律求出OBn的长，根据Bn到ON的距离为OBn•sin60°计算即可． 【详解】解：观察图象可知OB =2=2×30， 1 OB =2×31， 2 OB =2×32=18， 3 OB =2×33=54， 4 OBn=2×3n-1， ∴Bn到ON的距离为2×3n-1•sin60°=3n−1·√3， 故答案为：3n−1·√3． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、正六边形的性质等知识，解题的关键是掌握从特 殊到一般的探究方法，属于中考常考题型． 6.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于 点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A．(√3,−1) B．(−1,−√3) C．(−√3,−1) D．(1,√3) 【答案】B 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2026次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝√AO2−AP2＝√3， ∴A（1，√3）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（√3，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，−√3）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（−√3，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，√3）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2026÷4＝506……2， ∴经过第2026次旋转后，点A的坐标为（-1，−√3）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究 规律的方法，属于中考常考题型． 7.如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段 外端点，可以得到一个新的正六边形，.....，重复上述过程，经过2026次后，所得的正六边形的边长是原 正六边形边长的（ ） A．(√2) 2024倍 B．(√3) 2025倍 C．(√3) 2026倍 D．(√2) 2027倍 【答案】C 【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数， 求出AB的长，进而可得出，经过2026次后，即可得出所得到的正六边形的边长． 【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°， ∵AD=CD=BC， ∴△BCD为等边三角形， 1 ∴BD= AC， 2 ∴△ABC是直角三角形 1 又∵BC= AC， 2 ∴∠2=30°， ∴AB=√3BC=√3CD， 同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（√3）2倍， ∴经过2026次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（√3）2026， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是熟知正多边形内角的性质及直角三角形的判定 定理，此题有一定的难度． 8.如图，正六边形A B C D E F 的边长为2，正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A B C D E F 的各边相切，正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 相切……按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为 ． 10 10 10 10 10 10 81√3 【答案】 256 【分析】连接OE ，OD ，OD ，根据正六边形的性质可得∠E OD =60°，则△E OD 为等边三 1 1 2 1 1 1 1√3 √3 角形，再根据切线的性质得OD ⊥E D ，于是可得OD = E D = ×2，利用正六边形的边长等 2 1 1 2 2 1 1 2 √3 于它的半径可得正六边形A B C D E F 的边长= ×2，同理可得正六边形A B C D E F 的边长 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 (√3) = ×2，依此规律求解即可． 2 【详解】解：连接OE ，OD ，OD ，如图所示， 1 1 2 ∵六边形A B C D E F 为正六边形， 1 1 1 1 1 1 ∴∠E OD =60°， 1 1 ∴△E OD 为等边三角形， 1 1 ∵正六边形A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴OD ⊥E D ， 2 1 1 √3 √3 ∴OD = E D = ×2， 2 2 1 1 2 √3 ∴正六边形A B C D E F 的边长= ×2， 2 2 2 2 2 2 2 2 (√3) 同理可得正六边形A B C D E F 的边长= ×2， 3 3 3 3 3 3 2 9 (√3) 81√3 ∴正六边形A B C D E F 的边长= ×2= ． 10 10 10 10 10 10 2 256 81√3 故答案为： ． 256 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构 成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长．考点二：扇形弧长面积、圆锥的有关计算 题型一：弧长 1.一个扇形的圆心角为100°，面积为10π，则此扇形的弧长为 ．（结果保留π） 10 【答案】 π 3 【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，根据弧长的计算是即可求出扇形的弧长． 【详解】解：设扇形的半径是r， 100 由题意得10π= ×π×r2 ， 360 解得r=6， 100°×π×r 10 ∴扇形的弧长等于 = π， 180° 3 10 故答案为： π． 3 【点睛】本题考查了弧长公式的运用． 2.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（A´B），点O是这段弧所在圆的圆心， 半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（A´B）的长度为（ ） A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm 【答案】C 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（A´B）的长度． 【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°， 80π×90 ∴这段弯路（A´B）的长度为： =40π(m)， 180 故选C nπr 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式l= . 180 3.如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的长是 （结果保留π）【答案】√2π 【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：连接OA、OB． ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO， ∴A´B=B´C=C´D=A´D， 1 ∴∠AOB＝ ×360°＝90°， 4 在Rt AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16， 解得：△AO＝2√2， 90π×2√2 ∴A´B的长＝ =√2π， 180 故答案为：√2π． 【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键． 4.如图，⊙O半径为3cm，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至点E，若∠DCE=60°，则B´D的长是 cm．【答案】2π 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，理解圆的内接四边形是解题的 关键． 如图:连接OD，OB．根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB+∠DCB=180°，再根据邻补角的性质 可得∠DCB=120°，进而得到∠DAB=60°；然后根据圆周角定理可得∠DOB=120°，最后根据弧 长公式即可解答． 【详解】解：如图:连接OD，OB． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180°， ∵∠DCE=60°， ∴∠DCB=120°， ∴∠DAB=60°， ∴∠DOB=2∠DAB=120°， 120π×3 ∴B´D的长是 =2πcm． 180 故答案为：2π． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点 D，则弧AD的长为（ ） 4 5 A．π B． π C． π D．2π 3 3 【答案】B 【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得 到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．【详解】解：连接CD，如图所示： ∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8， 1 ∴∠A=90°-30°=60°，AC= AB=4， 2 由题意得：AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD=60°， 60π×4 4 ∴A´D的长为： ＝ π， 180 3 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 6.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，直线OB交⊙O于点C,D,∠B=∠C．若OD=2，则劣弧AD 的长为 ． 2π 【答案】 3 【分析】本题考查圆的切线的性质及弧长公式，求劣弧AD所对的圆心角的度数是解题关键．由 ∠B=∠C，∠C=∠OAC，得∠AOB=2∠B，由切线得∠OAB=90°，进而求出∠AOD的度数 即可求解． 【详解】解：∵ AB是⊙O的切线， ∴ ∠OAB=90°， ∵ OC=OA， ∴ ∠C=∠OAC， ∴ ∠AOB=2∠C， ∵ ∠B=∠C，∴ ∠AOB=2∠B， ∴ ∠AOD=60°， 60π×2 2π ∴劣弧AD的长为 = ． 180 3 2π 故答案为： ． 3 7.如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若∠B=30°．则A´C的长为 （结果用含有π的 式子表示） 2 2π 【答案】 π/ 3 3 【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=60°，再利用弧长公式求解即可． 【详解】∵∠AOC=2∠B，∠B=30°， ∴∠AOC=60°， ∵⊙O的半径为2， 60π×2 2 ∴l = = π， ⏜ 180 3 AC 2 故答案为： π． 3 nπr 【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即l= ，熟练掌握知识点是解题的关键． 180 8.如图，已知AB=1，BC=√3,∠B=90°，BC与A´C相切于点C，则A´C的长= ． 2 2π 【答案】 π / 3 3 【分析】根据直角三角形的边角关系可求出AC，∠ACB，再根据切线的性质可求出∠OCA=60°，进 而得到△AOC是等边三角形，得出扇形的圆心角度数和半径，利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：如图，设A´C所在的圆心为O，连接OA、OC、AC， 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=√3， ∴AC=√AB2+BC2=2， AB 1 ∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= = ， AC 2 ∴∠ACB=30°， ∵⊙O与BC相切于点C， ∴∠OCB=90°， ∴∠OCA=90°−30°=60°， 又∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60°，OA=OC=AC=2， 60π×2 2 ∴A´C的长为 = π， 180 3 2 故答案为： π． 3 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、正弦、弧长公式等知识，熟练掌握圆的切线的性质和 弧长公式是解题关键． 9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∠CAD=35°，连接BC． （1）求∠B的度数；（2）若AB=2，求E´C的长． 7π 【答案】（1）55°；（2） ． 18 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后 利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解； （2）利用（1）的结论先求得∠AEO=∠EAO=70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求 解即可． 【详解】解：（1）连接OC，如图， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC，∠CAD=35°， ∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°-∠OAC=55°； （2）连接OE，OC，如图， 由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE， ∴∠AEO=∠EAO=70°， ∵OC∥AE， ∴∠COE=∠AEO=70°， ∴AB=2，则OC=OE=1， nπr 70π 7π ∴E´C的长为 = = ． 180 180 18 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 10.如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在 △ABC内的三段弧长度之和为（ ） 1 A．3π B．2π C．π D． π 2 【答案】C 【分析】由图示可得在△ABC内的三段弧长度之和为一个半圆的弧长． 180π×1 【详解】解：根据图示可得：在△ABC内的三段弧长度之和为： =π， 180 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，解答此题的关键是明确三角形内角与扇形的圆心角的关系． 题型二：扇形面积 1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面 积为（ ） π 2π 3π 3π A． B． C． D． 3 5 10 5 【答案】C 【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式进行计算． 【详解】解：连接OA、OB、OC，∵正五边形ABCDE， ∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°， OB=OC， ∵ OF⊥BC， 1 ∴∠BOF= ∠BOC=36°， 2 ∴∠AOF=108°， 108°×π 3π ∴S= = ， 360° 10 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出A´C所对的圆心角度数是解题的关键． 2.习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心， OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积 为（ ） 9π 17π 2√5π A． m2 B．3πm2 C． m2 D． m2 4 4 3 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据S =S −S 即可求解． 阴影 大扇形 小扇形 【详解】解：根据题意可得： ∵∠O=120°，OA=3m，OB=1.5m， 120π×32 120π×1.52 3 ∴S = =3π(m2)，S = = π(m2)， 大扇形 360 小扇形 360 43 9π ∴S =S −S =3π− π= (m2)， 阴影 大扇形 小扇形 4 4 故选：A． nπr2 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式S = ． 扇形 360 3.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得E´C，连接AC，AE，则 图中阴影部分的面积为（ ） √3 2√3 A．2π B．4π C． π D． π 3 3 【答案】A 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，∠CAB=∠BCA=30°， ∴AC=2AG=2×√AB2−GH2=2×√22−12=2√3， 2 60×(2√3) ×π ∴S = =2π， 扇形 360 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．4.扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为 ． 【答案】π 【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解． 90×22×π 【详解】解：由题意得：该扇形的面积为 =π； 360 故答案为π． 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 5.数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽 略不计），则所得扇形DAB的面积是 ． 【答案】1 【分析】根据题意结合图象得出AB=AD=1，l =CD+CB=2，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即 ^BD 可． 【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1， l =CD+CB=2 ⏜ ， BD 1 1 ∴S = l ×r= ×2×1=1， 扇形ABD 2 ⏜ 2 BD 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键． 6.如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB=30°，则扇形BOC的 面积为 ． 【答案】3π 【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形面积的计算，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键． 根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，∠AOB=2∠ADB=60°，∴∠BOC=180°−60°=120°， 120π×32 ∴扇形BOC的面积为 =3π． 360 故答案为：3π． 7.学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形ABOE为菱形， C,D分别为OB，OE的中点，扇形COD的圆心角为72°,AB=10cm，求零件的截面周长和面积．（参 考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,π取3.14） 【答案】零件的截面周长约为36.28cm，面积约为79.3cm2． 【分析】本题主要考查了菱形的周长、扇形的弧长、扇形面积公式求解，熟练掌握相关公式并根据题意 用规则图形求解不规则图形的周长和面积是解题关键．仔细观察图形，零件的截面面积就是用菱形的面 积减去扇形的面积， 周长=AB+AE+BC+ED+C´D，求出C´D即可得出周长． 【详解】解：由题意得OC=OD=5, 72π×5 ∴C´D= =2π， 180 ∴零件的截面周长为10+10+5+5+2π≈36.28(cm)． 如下图，过点A作AH⊥OB，垂足为点H． ∵四边形ABOE为菱形， ∴AB=BO=10,∠ABH=∠O=72°， ∴AH=AB⋅sin72°≈10×0.95=9.5． 72π×52 ∴S =9.5×10=95，S = =5π≈15.7， 菱形ABOE 扇形COD 360 ∴S =95−15.7=79.3(cm2)． 阴影 答：零件的截面周长约为36.28cm，面积约为79.3cm2．8.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE， 则扇形BAE的面积为（ ） π 3π 2π 3π A． B． C． D． 3 5 3 4 【答案】C 【分析】解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面积公式求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠C=90°， ∵BA=BE=2，BC=√3， CB √3 ∴cos∠CBE= = ， BE 2 ∴∠CBE=30°， ∴∠ABE=90°−30°=60°， 60⋅π⋅22 2π ∴S = = ， 扇形BAE 360 3 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数． 9.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴 影部分的面积为 ．（结果保留π） π 【答案】 3 【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出∠ABE，进而求出∠EBC，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴∠A=∠ABC=90° ， ∵ 以B为圆心，BC的长为半轻画弧，交AD于点E， BC=2， ∴BE=BC=2 ， 在Rt△ABE中，AB=1， AB 1 ∴cos∠ABE= = ， BE 2 ∴∠ABE=60° ， ∴∠EBC=90°−60°=30° ， 30π×22 π S = = ． 阴影 360 3 π 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上 知识点并熟练运用是解题的关键． 10.如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为 半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4−π 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S =S ABC-2S CEF即可得答案． 阴影 扇形 【详解】∵等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4， △ √2 ∴AC=AB= BC=2√2，∠B=∠C=45°， 2 1 45π×22 ∴S =S ABC-2S CEF= AC⋅AB−2× =4−π， 阴影 扇形 2 360 △ 故答案为：4−π 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键． 11.如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD．(1)求证：CD∥AB． (2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积． 【答案】(1)答案见解析 2 (2) π 3 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝ ∠ACD，进而得到结论； （2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形COD的面积相等，继而得到结论． ⌒ ⌒ 【详解】（1）证明：∵ AD=AD ， ∴∠ACD＝∠DBA， 又∵∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD， ∴CD∥AB； （2）解：如图，连结OC，OD． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°, ∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°． ∵CD∥AB， ∴S DOC=S DBC， △ △ ∴S =S COD+S DOC=S COD+S =S COD， 阴影 弓形 弓形 DBC 扇形 △ △ ∵AB＝4， ∴OA＝2，nπr2 60×π×22 2 ∴S = = = π． 扇形COD 360 360 3 2 ∴S π． 阴影=3 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题 的关键． 题型三：弧长及扇形面积公式求半径 1.一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长12π，则扇形半径是 ． 【答案】18 nπr 【分析】利用弧长公式l= 进行计算即可． 180 nπr 120π⋅r 【详解】解：弧长= = =12π， 180 180 解得r=18． 故答案为：18 【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是利用弧长公式计算弧长． π 2.一个扇形的圆心角为36°，面积为 cm2，则该扇形的半径为 cm． 10 【答案】1 【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 36πR2 π 【详解】解：设该扇形的半径为Rcm，则 = ， 360 10 解得R=1（负值舍去）． 即该扇形的半径为1cm． 故答案是：1． nπR2 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，掌握计算公式是解题的关键．即S = （其中n是圆心 扇形 360 角的度数，R是扇形的半径）． 3.如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为45°．若A´B，A´C，C´D的长分别为π，π 和3π，则⊙O的半径是（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】延长BA，与直线CD交于E，连接BD，设弧长为π所对的圆周角为α，根据题意得出 135° ∠BDC=2α，∠ABD=4α，利用三角形内角和定理求得α= ，即可求得弧长为π所对的圆心角 6 135° 为 ×2=45°，代入弧长公式即可求得⊙O的半径． 6 【详解】解：延长BA，与直线CD交于E，连接BD，⊙O的半径为R， ∵A´B，A´C，C´D的长分别为π，π和3π， ∴B´C的长为2π，A´D的长为4π， ∴设弧长为π所对的圆周角为α，则∠BDC=2α，∠ABD=4α， ∵∠BDC+∠ABD+∠E=180°，∠E=45°， ∴2α+4α+45°=180°， 135° ∴α= ， 6 135° ∴弧长为π所对的圆心角为 ×2=45°， 6 45π×R ∴ =π， 180 ∴R=4， 故选：A．【点睛】本题考查弧长的计算，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，求得 弧长为π所对的圆心角是解题的关键． 4.一个扇形的弧长是4πcm，面积是12πcm2，则此扇形的半径是 cm． 【答案】6 1 【分析】根据扇形面积公式S= lr计算即可． 2 1 【详解】解：∵S= lr， 2 1 ∴12π= ×4πr， 2 解得r=6， 故答案为：6． 1 【点睛】本题考查的是扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式S= lr是解题的关键． 2 5.如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为2cm，则这个扇 形的半径是 cm． 24 【答案】 5 【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得． 150⋅πr 【详解】设扇形的半径为rcm，则 =2π×2， 180 24 解得：r= ． 5 24 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图问题，解答本题的关键是确定“底面周长=展开图的弧长”这个等 量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 6.已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4π，则它的半径为 ． 【答案】4 1 【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系S= lr即可求解． 21 【详解】解：由扇形的面积公式S= lr可得： 2 1 4π= ×2π×r，解得r=4， 2 故答案为4． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解此类题目的关键是注意观察已知所给的条件：如果已知扇形半 nπr2 1 径和圆心角，则利用公式S= ，如图已知扇形半径和弧长则利用公式S= lr． 360 2 2 7.如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧A´B的中点，若∠BAC＝30°，劣弧A´B的长为 π，则⊙O的半径为 3 ． 【答案】1 【分析】连接OC、OB，根据已知求出∠COB的度数，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：如图，连接OB、OC， 2 ∵点C是劣弧A´B的中点，劣弧A´B的长为 π， 3 1 ∴劣弧B´C的长为 π， 3 ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=60°， 60πr 1 根据弧长的计算公式得 = π， 180 3 ∴r=1．故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，能求出∠COB的度数和熟记弧长公式是解此题的关键． 8.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，点C为Am´ B的中点，现有以下信息： ①AB为直径；②∠ACD=60°；③∠CEB=105°． (1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题． 你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由． 4 (2)在（1）的条件下，若A´D的长为 π，求⊙O半径． 3 【答案】(1)①②；③；理由见解析（答案不唯一） (2)2 【分析】（1）任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合圆当中的基本性质和 定理进行证明即可； （2）结合条件∠ACD=60°可推出∠AOD，从而结合弧长计算公式直接求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接BC， ∵点C为Am´ B的中点， ∴A´C=B´C，AC=BC， 情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下： ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=45°， ∵∠ACD=60°， ∴∠CEB=∠ACD+∠CAB=60°+45°=105°， ∴条件是①②，结论是③，该命题为真命题； 情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下： ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=45°， ∵∠CEB=105°，∴∠ACD=∠CEB−∠CAB=105°−45°=60°， ∴条件是①③，结论是②，该命题为真命题； 情况三：选择条件是②③，结论是①，是真命题；理由如下： ∵∠ACD=60°，∠CEB=105°， ∴∠CAB=∠CEB−∠ACD=105°−60°=45°， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∴∠ACB=90°， ∵AB是圆上的弦， ∴AB为直径， ∴条件是②③，结论是①，该命题为真命题； 故答案为：①②；③（答案不唯一）； （2）解：由（1）可知，∠ACD=60°， 如图所示，连接OD， ∴∠AOD=2∠ACD=2×60°=120°， 4 ∵A´D的长为 π，设⊙O的半径为r， 3 120πr 4 ∴ = π， 180 3 解得：r=2， ∴⊙O的半径为2． 【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，弧长计算，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性 质等，理解直径所对的圆周角为直角及其推论，掌握弧长计算公式是解题关键．题型四：弧长扇形面积公式求圆心角 1.扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为 度． 【答案】90 【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设此扇形的圆心角为x°， 12πx 由题意得， =6π， 180 解得，x=90， 故答案为：90． nπr 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l= 是解题的关键． 180 2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为 ． 【答案】160°/160度 nπr 【分析】把弧长公式 进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案． 180 nπr 【详解】解：∵l= ， 180 180l 180×8π ∴n= = =160°， πr 9π 故答案为：160°． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关键． 3.一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，则最小扇形的圆心角为 ． 【答案】80°/80度 【分析】因为一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，所以其圆心角之比也为2：3：4，则 最小扇形的圆心角度数可求． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°， 又因为三个圆心角的度数比为2：3：4， 2 所以最小的圆心角度数为：360°× =80°． 9 故答案为：80°． 【点睛】此题考查扇形统计图及相关计算，解题的关键是掌握圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比． 4.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为（ ）A．120° B．60° C．180° D．450° 【答案】B 【分析】设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，根据弧长公式 即可求出． 【详解】解：设OA旋转的角度为n， 由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm， nπR nπ×10 由弧长公式l= ，得10= ， 180 180 ∴n≈60. 故旋转角度为60° 故选：B. 【点睛】此题考查了弧长公式，正确理解重物上升的10cm就是弧长，所求的度数就是圆心角是解题的关 键． 5.将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇 形的圆心角度数是 ． 【答案】210°/210度 【分析】用圆的周长减去已知扇形弧长，求出另一个扇形的弧长，设另一个扇形的圆心角为n°，利用弧 长公式求解． 【详解】解：∵圆的周长为2π×6=12π， ∴另一个扇形的弧长为12π−5π=7π， 设另一个扇形的圆心角为n°， 6nπ 根据弧长公式得 =7π， 180 解得n=210， 即另一个扇形的圆心角度数为210°． 故答案为：210°． nπr 【点睛】本题考查扇形的圆心角、弧长，解题的关键是掌握扇形的弧长公式l= ． 1803 6.已知扇形半径是3cm，弧长为 πcm，则扇形的圆心角为 度． 2 【答案】90 3 nπr 【分析】已知扇形半径是3cm，弧长为 πcm，直接利用弧长公式l= 即可求出n的值． 2 180 nπr nπ⋅3 3 【详解】解：l= = = π， 180 180 2 解得：n=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了弧长计算公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． 7.已知扇形面积为24π，弧长为8π，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】240 【分析】根据扇形的弧长为8π，面积为24π，可以得到该扇形所在圆的半径，然后即可计算出该扇形所 对的圆心角的度数． 【详解】解：设该扇形的半径为r，圆心角为n°， ∵扇形的弧长为8π，面积为24π， 1 ∴ ×8π⋅r=24π， 2 解得，r=6， nπ×6 ∵8π= ， 180 ∴n=240， 故答案为：240． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的弧长和面积 公式解答． 8.如图，把长为a，宽为b的矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇 a 形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 = ． b3 【答案】 2 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面的半径为rcm，AD=acm，则DE=2rcm，AE=AB=(a−2r)cm，利用圆锥的侧面展 90π(a−2r) 开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 =2πr，解方程求出r，然后计算 180 AD:AB即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE=2rcm，AE=AB=(a−2r)cm， 根据题意得 90π(a−2r) =2πr，整理，得a=6r， 180 AD 6r 3 a 3 则 = = ， 即： = AB 6r−2r 2 b 2 3 故答案为： ． 2 9.某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2．制作这种外包装需要 用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重 合． （1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小 （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】（1）∠BAC=90°；（2）S =（100-25π）cm2． 阴影 【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 E´F弧长，利用弧长公式求n=90°即可； （2）由AB=AC，∠BAC=90°，可得 ABC为等腰直角三角形，由AD⊥BC可求BD=CD=AD=10cm， △ 1 利用三角形面积公式求S BAC= BC×AD，利用扇形面积公式求S =25π，利用面积差求S 即可． 2 扇形EF 阴影 △ 【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，x nπ×2x ∴E´F弧长=2π× = ， 2 180 ∴n=90°， ∴∠BAC=90°； （2）∵ED=5cm， ∴AD=2ED=10cm， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴ ABC为等腰直角三角形， ∵△AD⊥BC， ∴BD=CD=AD=10cm， ∴BC=BD+CD=20cm， 1 1 ∴S BAC= BC×AD= ×20×10=100cm2， 2 2 △ 90×π×102 ∴S = =25π， 扇形EF 360 ∴S = S -S =（100-25π）cm2． 阴影 BAC 扇形EF △ 【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影 面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是 解题关键． 题型五：某点的弧形运动路径长度 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A(3,0)，C(0,2)，将矩形OABC绕点O逆 时针旋转90°，旋转后点B的对应点B'的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ） √13 √13 A．(−2,3)和 π B．(−3,2)和 π 2 2 √13 √13 C．(−2,3)和 π D．(−3,2)和 π 4 4 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长的计算． 利用勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长公式解决问题即可．【详解】解：如图，连接OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，BC=OA， ∵C(0,2)，A(3,0)， ∴AB=OC=2，OA=BC=3， 由旋转变换的性质可知B' (−2,3)， 由勾股定理，得OB=√OA2+AB2=√32+22=√13， 90π×√13 √13 ∴点B在旋转过程中绕过的路径长= = π， 180 2 故选：A． 2.长为30cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉的大小忽略不计），当固定点 B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的位置，则点B旋转的路径B´C 长为（ ） A．450πcm B．225πcm C．15πcm D．7.5πcm 【答案】C 【分析】根据弧长公式进行计算便可． 90 【详解】解：点B旋转的路径B´C长为 π×30=15πcm， 180 故选：C． 【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 3.如图，已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，将A´B绕点A逆时针旋转90°后得到A´B'，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ） √5 A． π B．√5π C．2√5π D．2π 2 【答案】B 【分析】根据已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，利用垂径定理可得AC＝4， PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长． 【详解】如图，设A´B的圆心为O，连接OP交AB于C，连接OA,AP, AB′, AP′, ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点， 根据垂径定理，得 1 AC＝ AB＝4，PO⊥AB， 2 OC＝√OA2−AC2＝3， ∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2， ∴AP＝√AC2+PC2＝2√5， ∵将A´B绕点A逆时针旋转90°后得到A´B'， ∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°， 90π×2√5 ∴L ＝ ＝√5π． PP′ 180 则在该旋转过程中，点P的运动路径长是√5π． 故选：B． 【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的弧长计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．4.如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它在水平直线上向右无滑动滚动到O' A'B'的位置时，则 点O到点O'所经过的路径长为 ． 7π 【答案】 6 【分析】点O到点O′所经过的路径长分三段，先以A为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移 了AB弧的长，最后以B为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1， 30×π×1 π ∴AB弧长＝ ＝ ， 180 6 90×π×1 π 7π ∴点O到点O′所经过的路径长＝ ×2+ = ， 180 6 6 7π 故答案为： . 6 【点睛】本题考查了弧长公式，旋转的性质和圆的性质，理解点O到点O′所经过的路径长分三段是解题 的关键． 5.在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将 直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋 转至B′所经过的路径长为 ．（△结果保留π） 4π 【答案】 3 【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知 AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可． 【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°， 由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，60π·4 4π ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 = ， 180 3 4π 故答案为： ． 3 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟 练地掌握相关内容是解题的关键． 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)． (1)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ； 1 1 1 (2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A B C ，求点A到A 所经过的路径长． 2 2 2 2 【答案】(1)见解析 √10 (2)见解析， π 2 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可． 1 1 1 （2）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可，再利用弧长公式求解即可． 2 2 2 【详解】（1）如图所示△A B C 即为所求； 1 1 1 （2）如图所示△A B C 即为所求， 2 2 2∵ AB=√12+32=√10， 90π⋅√10 √10 ∴点A到A 经过的路径长l= = π． 2 180 2 【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点 的位置． 7.如图，点B，A，E和点C，A，D分别在同一条直线上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， AB=AC=2AD=2AE=2，将△ADE绕着点A顺时针旋转得到△AD'E'，直线BE'，CD'交于点P， 当点D'落在AC上时，P点经过的路径长是 ． 2√2 【答案】 π 3 【分析】由边角边证明△ABE' ≌△ACD'得∠ABE'=∠ACD'，又因∠ABC+∠ACB=90°， ∠PBC+∠PCB=90°可知点P在以BC为直径的圆上；以点A为旋转中心，DA为半径，点D'旋转到 √2π ∠DAD'=120°时是点P经过的路径最长，经计算l = ，点D'落在AC上时P点经过的路径长 扇形AP 3 2√2π 是 ． 3 【详解】解：如图1所示： ∵△ADE绕着点A顺时针旋得到△AD'E'， ∴AD=AD'，AE=AE'， ∠DAE=∠D' AE'，又∵△ADE都是等腰直角三角形， ∴AD=AE，AB=AC， ∠BAC=∠DAE=90°， ∴AD'=AE'， ∠BAC=∠D' AE'=90°， 又∵∠DAD'=∠EAE'， ∠BAE'+∠EAE'=180° ∴∠BAE'=∠CAD'， 在△ABE'与△ACD'中， ¿， ∴△ABE' △≌ACD' (SAS)， ∴∠ABE'=∠ACD'， ∵∠ABC+∠ACB=90°， ∴∠PBC+∠PCB=90°， ∴点P在以BC为直径的圆上； 点P在旋转中，过点A作AK⊥BC，相交于点K，连接KP， 如图2所示， ∵AB=2，AE'=1， 1 ∴在△ABE'中有AE'= AB， 2 ∴∠AE'B=90°， ∴∠ABE'=30°， 又∵AB=AB，∠BAC=90° ∴∠ABC=45°， 又∵∠ABC=∠ABE'+∠CBE'， ∴∠CBP=15°， 又∵BK=PK， ∴∠KBP=KPB=15°，∴∠PKC=30°， 又∵∠AKC=∠AKP+∠PKC=90°， ∴∠AKP=60°， 在等腰△ABC中，由勾股定理得： BC=√AB2+AC2=√22+22=2√2， 1 1 又∵ S = AB⋅AC= BC⋅AK， ΔABC 2 2 ∴AK=√2， 60⋅π⋅√2 √2π ∴ l = = ， 扇形AP 180 3 ∵当点D'落在AC上时，点P又回到起点A， √2π 2√2π ∴P点经过的路径长=2× = ． 3 3 2√2π 故答案为： ． 3 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定与性质，三 角形的外角定理，等积变换，圆周角定理，圆的切线定义和扇形的弧长公式，重点掌握全等三角形的判 定与性质，难点是动点P实际路径是弧长的2倍． 题型六：图形旋转后扫过的面积 1.如图，在ΔAOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90∘后得到ΔBOD，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2． π 17 19 A． B．2π C． π D． π 2 8 8 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面 积公式即可求解．【详解】解：∵ΔAOC≌ΔBOD， 90⋅π×32 90⋅π×12 ∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积= − =2π 360 360 故选B． 【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形 OCD的面积是解题关键． 2.如图，已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中点，将A´B绕点A逆时针旋转90°后得到 A ´ B'，三位同学提出了相关结论： 嘉嘉：点P到AB的距离为2 淇淇：AP的长为2√3 嘉淇：线段AP扫过的面积为2√5π 下列结论正确的是( ) A．嘉嘉对，淇淇错 B．淇淇对，嘉淇错 C．嘉嘉错，嘉淇错 D．淇淇错，嘉淇对 【答案】A 1 【分析】根据垂径定理得出AM=BM= AB=4，利用勾股定理求得OM，继而即可求得点P到AB的距 2 离为2，故即可判断嘉嘉对；利用勾股定理求得AP的长为2√5，即可判断淇淇错；根据线段AP扫过的面 积=扇形APP'的面积求得即可判断嘉淇错． 【详解】解：设A´B所在圆的圆心为O，连接OP、OA，∵点P是A´B的中点， 1 ∴OP⊥AB，AM=BM= AB=4， 2 ∴OM=√OA2−AM2=3， ∴PM=5−3=2， ∴点P到AB的距离为2，故嘉嘉对， ∴PA=√AM2+PM2=√22+42=2√5，故淇淇错； 2 90π×(2√5) ∴线段AP扫过的面积=S = =5π，故嘉淇错， 扇形APP' 360 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段AP扫过的面积=扇形APP'的面积是解 题的关键． 3.如图，将△ABC绕点C旋转60∘得到△A'B'C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为 （ ） 3π 8π 10π A． B． C．6π D． 2 3 3 【答案】D 【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积= S +S −S −S ，由旋转的性质 扇形ACA' ΔABC 扇形BCB' ΔA'B'C就可以得出S ΔABC =S ΔA'B'C 就可以得出AB扫过的图形的面积= S 扇形ACA' -S 扇形BCB' 求出其值即可． 【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C， ∴△ABC≌△A′B′C， ∴S =S ， ∠BCB'=∠AC A'=60°． ΔABC ΔA'B'C ∵AB扫过的图形的面积=S +S −S −S ， 扇形ACA' ΔABC 扇形BCB' ΔA'B'C ∴AB扫过的图形的面积= S −S ， 扇形ACA' 扇形BCB' 60π×62 60π×42 10 ∴AB扫过的图形的面积= − = π． 360 360 3 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根 据旋转的性质求解是关键． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到 Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( ) A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π 【答案】A 【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10， 90⋅π⋅102 1 ∴Rt△ABC所扫过的面积为 + ×6×8=25π+24． 360 2 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答 的关键． 5.如图，在矩形ABCD中AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D'，点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为 ． π 【答案】 12 【分析】根据旋转和矩形的性质得出S +S =S ，A'B=AB=2， △BAD △BC'D' 矩形BC'D'A' ∠BCD=∠ABC=90°，根据勾股定理求出A'C和BD，根据图形得出阴影部分的面积 S=S +S +S −S −S =S −S ，分别求出即可． △ABD 扇形DBD' △BC'D' 扇形ABA' 矩形A'BC'D' 扇形DBD' 扇形ABA' 【详解】解：连接BD'、BD，如图所示： ∵将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D'， ∴S +S =S ，A'B=AB=2，∠BCD=∠ABC=90°， △BAD △BC'D' 矩形BC'D'A' 在Rt△Rt△A'BC中，由勾股定理得A'C=√22−12=√3， ∴∠A'BC=60°， ∴∠ABA'=30°， 由旋转的性质可知∠DBD'=∠ABA'=30°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=√22+12=√5， ∴阴影部分的面积S=S +S +S −S −S △ABD 扇形DBD' △BC'D' 扇形ABA' 矩形A'BC'D' =S −S 扇形DBD' 扇形ABA'30π×(√5) 2 30π×22 π = − = ， 360 360 12 π 故答案为： ． 12 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形的面积转化 成规则图形的面积是解此题的关键． 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的 点B'处，线段AB扫过的面积为 ． π 1 【答案】 / π 3 3 【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求∠DAB'=60°,从而得出∠BAB'=30°, 由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵AB=2BC=2, ∴BC=1, ∵矩形ABCD中， ∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°, 由旋转可知AB=AB'， ∵AB=2BC=2， ∴AB'=AB=2, AD 1 ∵cos∠DAB'= = , AB' 2 ∴∠DAB'=60°, ∴∠BAB'=30°, 30°×π×22 π ∴线段AB扫过的面积= = . 360° 3 π 故答案为： . 3 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键． 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分别为边AB，AC的中点，将 △ABC绕点B逆时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即 1 1 阴影部分面积）为（ ） 7 7 4 7 4 A． π− √3 B． π+ √3 C．π D． π+√3 3 8 3 8 3 【答案】C 【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，OB、BH为半径 的两个扇形组成的一个环形，分别求出OB、BH，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：连接BH，BH ， 1 ∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A BC 的位置， 1 1 ∴△OBH≌△O BH ， 1 1 ∴线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，OB、BH为半径的两个扇形组成的一个 环形， ∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2， ∴AB=2BC=4， ∴AC=√AB2−BC2=√42−22=2√3， ∵H为边AC的中点， 1 ∴CH= AC=√3， 2 ∴BH=√BC2+CH2=√22+(√3) 2=√7，120π(BH2−BC2) 120π×(7−4) ∴阴影部分面积= = =π， 360 360 故选：C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助线， 构造出全等三角形是解题的关键． 8.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA ， 1 扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记 1 1 2 1 2 2 3 为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ， 2 3 4 3 4 4 5 3 A A ⊥OA 交x轴于点A ；…；按此规律，则S 的值为 ． 5 6 5 6 2025 【答案】22022π 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分S 的值，根据数的变化找出变化规律 n S =2n−3π，依此规律即可得出结论． n 【详解】由题意△A OA 、△A OA 、△A OA 、⋯、都是等腰直角三角形， 1 2 3 4 5 6 ∴OA =√2，OA =2， OA =2√2，⋯， 2 4 6 45π×1❑2 1 45π×(√2) 2 1 45π×22 1 45π×(2√2) 2 ∴S = = π， S = = π， S = = π， S = ，⋯； 1 360 8 2 360 4 3 360 2 4 360 ∴S ＝2n−4π， n∴S ＝22022π， 2025 故答案为：22022π 【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出 规律S =2n−3π． n 9.在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90° 后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为 ． π √3 【答案】 − 2 2 【分析】利用勾股定理求出AC及AB的长，根据阴影面积等于S −S −S 求出答案． 扇形CAC' 扇形DAB' △AB'C' 【详解】解：由旋转得AB'=AB,AC'=AC，∠CAC'=90°，∠B' AC' =∠BAC＝30°， ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1， ∴AC=2BC=2，AB=√AC2−BC2=√3，∠CAB'=60°， ∴阴影部分的面积=S −S −S 扇形CAC' 扇形DAB' △AB'C' 90π×22 60π×(√3) 2 1 = − − ×1×√3 360 360 2 π √3 = − , 2 2 π √3 故答案为： − ． 2 2． 【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计 算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键． 10.在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(3,1)，C(1,3)； (1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A B C ，画图并写出C 的坐标____________； 1 1 1 1 (2)以A 点为旋转中心，将△A B C 逆时针方向旋转90°得△A B C ，画图并写出C 的坐标_____； 1 1 1 1 1 2 2 2 (3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为___________． 【答案】(1)作图见解析，(−1,3) (2)作图见解析，(−3,−1) (3)2π+4 【分析】（1）根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可； （3）根据平移的性质以及旋转的性质进而得出线段BC扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示：△A B C 即为所求，C (−1,3)， 1 1 1 1 故答案为：(−1,3)； （2）如图所示：△A B C 即为所求，C (−3,−1)， 2 2 2 2 故答案为：(−3,−1)；（3）根据题意，每个小正方形的边长为1， ∴A B =√12+12=√2， 1 1 A C =√12+32=√10， 1 1 ∵将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A B C ， 1 1 1 ∴BC∥B C ，BC=B C ， 1 1 1 1 ∴四边形BCC B 是平行四边形， 1 1 2 2 90π×(√10) 90π×(√2) ∴在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为： 2×2+ − =2π+4， 360 360 故答案为：2π+4． 【点睛】本题考查作图—平移变换、旋转变换，平行四边形和扇形面积公式等知识，根据题意得出平移 和旋转过程中线段BC扫过的面积是解题关键． 题型七：圆锥侧面积 1.圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ） A．36π B．52π C．100π D．136π 【答案】B 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，圆锥的底面积=底面半径的平方×π，把相应数值代入即 可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=π×8×9÷2=36π， (8) 2 圆锥的底面积=π× =16π， 2∴圆锥的全面积=36π+16π=52π， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求圆锥的全面积，熟知圆锥的侧面积和底面积的求法是解题的关键． 2.已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为 ． 【答案】48π 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求 得面积即可． 【详解】解：∵底面圆的半径为4， ∴底面周长为8π， ∴侧面展开扇形的弧长为8π， 设扇形的半径为r， ∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°， 120πr ∴ ＝8π， 180 解得：r＝12， ∴侧面积为π×4×12＝48π， 故答案为：48π． 【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不 大． 3.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（ ） A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2 【答案】B 【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S =πrl； 侧 【详解】S =πrl=π×4×6=24π cm2 ， 侧 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 4.在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把 ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥 的侧面△积为（ ） △ A．12π B．15π C．20π D．24π 【答案】C 【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5， 1 以直线AC为轴，把 ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= ×2π×4×5 2 △ =20π． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长． 5.如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ） A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2 【答案】B 【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面 积公式计算这个圆锥的侧面积． 【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 1 所以这个几何体的侧面积＝ ×π×6×8＝24π（cm2）． 2 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 6.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段， 则钟面中阴影部分的面积为（ ）2 √3 2 4 4 A． π− B． π−√3 C． π−2√3 D． π−√3 3 2 3 3 3 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， 360° ∵∠AOB=2× =60°， 12 ∴ OAB是等边三角形， △ 1 ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD= AB=1， 2 ∴OD=√AO2−AD2=√3， 60⋅π×22 1 2 ∴阴影部分的面积为 − ×2×√3= π−√3， 360 2 3 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算 方法是正确解答的关键． 7.已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2 【答案】D 1 【分析】根据圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长计算即可求解． 2 【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π， 1 侧面面积= ×6π×8=24πcm2． 2 故选D． 1 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长． 2 8.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ） A．16π−12√3 B．16π−24√3 C．20π−12√3 D．20π−24√3 【答案】A 【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到 ∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2√3，AH=6， 根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接AD，连接OE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC=∠DFA=90°， ∴∠DAC=∠CDF=15°， ∵AB=AC，D是BC中点， ∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=120°， 过O作OH⊥AE于H， ∵AO=4√3，1 ∴OH= AO=2√3， 2 ∴AH=√3OH=6， ∴AE=2AH=12， 2 120π×(4√3) 1 ∴S =S AOE-S AOE= − ×12×2√3 阴影 扇形 360 2 △ =16π−12√3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结 合是解答此题的关键． a+b a2−b2 9.已知：M= ÷ 2a2b−2ab2 a2−2ab+b2 (1)化简M； (2)如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24π，求M的值． 1 【答案】(1) 2ab 1 (2) 48 【分析】（1）根据分式的除法法则进行化简即可得； （2）根据圆锥的侧面积公式可得ab的值，代入计算即可得． a+b a2−b2 【详解】（1）解：M= ÷ 2a2b−2ab2 a2−2ab+b2 a+b (a+b)(a−b) = ÷ 2ab(a−b) (a−b) 2 a+b (a−b) 2 = ⋅ 2ab(a−b) (a+b)(a−b)1 = ． 2ab （2）解：∵圆锥侧面积为24π， 1 ∴ ×2πab=24π， 2 解得ab=24， 1 1 则M= = ． 2×24 48 【点睛】本题考查了分式的化简求值、圆锥的侧面积，熟练掌握分式的运算法则和圆锥的侧面积公式是 解题关键． 10.圣诞节快要到了，某同学准备做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10cm，取AD 中点O．以O为圆心，以10cm长为半径作弧，分别交AB，CD于点M，N，得到扇形纸片OMN，发现 点M，N恰好分别是边AB，CD的中点，则用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的侧面积为 cm2．（结 果保留π） 100π 【答案】 3 【分析】根据圆锥形帽子的底面圆的周长就是扇形的弧长，求出圆心角，再利用圆锥侧面积公式即可求 解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，O是AD中点，M，N恰好分别是边AB，CD的中点， 1 ∴∠A=90°，AM= AB=5cm， 2 AM 5 1 ∴sin∠AOM= = = ， OM 10 2 ∴∠AOM=30°， 同理可求：∠DON=30°， ∴∠MON=180°−∠AOM−∠DON=120°， 1 120π×10 100π ∴S = × ×10= cm2 侧面积 2 180 3 100π 故答案为： ． 3【点睛】本题考查了圆锥底面圆与对应扇形弧长的关系，圆锥侧面积，掌握二者之间的关系及弧长公式 是解题的关键． 11.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】9π−18 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵OA=OB=6，∠AOB=90°， 90π×62 1 ∴S =S −S = − ×6×6=9π−18． 阴 扇形OAB △AOB 360 2 故答案为：9π−18． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 12.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD． (1)求证：直线CE是⊙O的切线； (2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 4 (2) π−√3 3 【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及BC平分∠ABD推导出∠OCB=∠DCB，即可得出 BD∥OC，从而推出OC⊥DE，即证明得出结论； （2）过点O作OF⊥CB于F，利用S =S −S 即可得出答案． 阴影 扇形OBC △OBC 【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵BC平分∠ABD， ∴∠OBC=∠DCB， ∴∠OCB=∠DCB， ∴BD∥OC， ∵BD⊥CE于点D， ∴OC⊥DE， ∴直线CE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CB于F，如图， ∵∠ABC=30°，OB=2， ∴OF=1，BF=OB⋅cos30°=√3， ∴BC=2BF=2√3， 1 1 ∴S = BC⋅OF= ×2√3×1=√3， △OBC 2 2 ∵∠BOF=90°−30°=60°， ∴∠BOC=2∠BOF=120°， 120° 4 ∴S = ×π×22= π， 扇形OBC 360° 3 4 ∴S =S −S = π−√3． 阴影 扇形OBC △OBC 3 【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质 并正确作出辅助线是本题的关键． 13.如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆， 则这个几何体的全面积是（ ）A．24π B．21π C．15π D．12π 【答案】A 【分析】这个几何体有两个视图为三角形，那么可得是锥体，第3个视图是圆，那么这个几何体是圆锥， 根据主视图和左视图面积均是12的等腰三角形，可以求出三角形的高为4，也就是锥体的高为4，再利用 勾股定理求出圆锥的母线长，最后根据全面积＝侧面积＋底面积计算即可． 【详解】解：过O作OC⊥AB于点C， ∵这个几何体有两个视图为等腰三角形，俯视图是直径为6的圆， ∴这个几何体是圆锥，底面直径是6，半径为3， ∵主视图和左视图面积均是12的等腰三角形， ∴等腰三角形的底边为AB=6， ∵OC⊥AB， 1 1 ∴BC= AB= ×6=3， 2 2 1 1 ∴ AB⋅OC=12，即 ×6×OC=12， 2 2 ∴OC=4， ∴OB=√OC2+BC2=√42+32=5， ∴圆锥的母线长为5， 1 ∴圆锥的全面积为： ×2π×3×5+π×32=24π． 2 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥表面积的计算及由三视图判断几何体；判断出几何体的形状及相关数据是解题的 关键．注意：圆锥的表面积等于圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，圆锥的侧面积等于圆锥侧面展开图即扇形的面积．也考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积． 14.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝ ∠ABC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线． 1 （2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝ ，求图中阴影部分的面积． 2 2π 【答案】（1）见解析；（2） ﹣√3． 3 【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知 条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论． 1 （2）由sin∠DAC＝ ，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则 2 ∠AOE的度数可得；利用S ＝S ﹣S ，可求得答案． 阴影 扇形 AEO △ 【详解】解：（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ， ∴直线PQ是⊙O的切线．（2）连接OE， 1 ∵sin∠DAC＝ ，AD⊥PQ， 2 ∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°， 又∵OA＝OE， ∴△AEO为等边三角形， ∴∠AOE＝60°． ∴S ＝S ﹣S 阴影 扇形 AEO △ 1 ＝S ﹣ OA•OE•sin60° 扇形 2 60π 1 √3 ＝ ×22− ×2×2× 360 2 2 2π ＝ −√3． 3 2π ∴图中阴影部分的面积为 ﹣√3． 3 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形 的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 题型八：圆锥底面半径 1.一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．3√2cm 【答案】A 【分析】设圆锥底面半径为rcm，则圆锥底面圆周长为2πrcm，再求出侧面展开图扇形的弧长，根据两 者相等，即可得到圆锥的底面圆半径． 【详解】解：设圆锥底面半径为rcm， 那么圆锥底面圆周长为2πrcm， 120π×3 所以侧面展开图的弧长为 =2π(cm)， 180 则2πr=2π， 解得：r=1(cm)， 故选：A． 【点睛】此题考查了弧长公式、圆锥的侧面展开图等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键． 2.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ． 【答案】2 【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆 的半径长． 【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角θ=120°， 120π×6 ∴圆锥的底面圆周长= =4π， 180 4π ∴圆锥的底面圆半径r= =2． 2π 故答案为：2． 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆 锥底面圆的周长是求解本题的关键． 3.如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪 下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ） A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆半径 为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r． 【详解】过O作OE⊥AB于E， ∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°， 1 ∴OE＝ OA＝45cm， 2120π×45 ∴弧CD的长= =30π， 180 设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝30π，解得r＝15． 故选A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长． 4.如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点 E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） √2 1 A．√2 B．1 C． D． 2 2 【答案】D 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的 周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形ABCD的边长为4 ∴AD=AE=4 ∵AC是正方形ABCD的对角线 ∴∠EAD=45° 45°×π×4 ∴l = =π ⌢ 180° DE 1 ∴圆锥底面周长为C=2πr=π，解得r= 2 1 ∴该圆锥的底面圆的半径是 ， 2故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练 掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 5.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一 个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m． 1 【答案】 3 【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出 BO´C的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答． 【详解】连接OA，OB， 1 1 则∠BAO= ∠BAC= ×120°=60°， 2 2 又∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=1， ∵∠BAC=120°， 120·π·AB 2π ∴BO´C的长为： = ， 180 3 设圆锥底面圆的半径为r 2π 2πr= 3 1 r= 3 1 故答案为 ． 3【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底 面圆的半径． 6.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得E´C，连接AC、AE，用图中 阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 2√3 【答案】 3 【分析】由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°， 1 ∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH= AC， 2 BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=2√3，得到AC=4√3．根据扇形的面积公式可得到阴影部 分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4， ∴AB=BC=4， (6−2)×180° ∠ABC=∠BAF= =120°， 6 ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°， 1 ∴∠BAC= (180°−∠ABC)=30°， 2 如图，过B作BH⊥AC于H， 1 ∴AH=CH= AC， 21 1 BH= AB= ×4=2， 2 2 在Rt△ABH中， AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3， ∴AC=2AH=4√3， 同理可求∠EAF=30°， ∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°， 2 60π⋅(4√3) ∴S = =8π， 扇形CAE 360 ∴S ＝S =8π， 圆锥侧 扇形CAE ∵S ＝πrl=πr⋅AC=4√3πr， 圆锥侧 ∴4√3πr=8π， 2√3 ∴r= ， 3 2√3 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面 积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=2,AB=2√2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切 于点E，交于点F，用扇形AFD围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 3 【答案】 /0.75 4【分析】由切线的性质可知△ABE为直角三角形，由AD=2，AB=2√2，可得AE=2，可知△ABE为 等腰直角三角形，得∠BAE=45°，∠DAE=∠AEB=90°，易知∠BAD=45°+90°=135°，求得 135 弧FED的长= ×2π=1.5π，易知弧长为圆锥的底面圆的周长，由半径等于周长除以2π，即即可求 180 得半径． 【详解】解：∵BC为圆A的切线， ∴AE⊥BC， ∴△ABE为直角三角形， ∵AD=2，AB=2√2， ∴AE=2， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴∠BAE=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB=90°， ∴∠BAD=45°+90°=135°， 135 ∴弧FED的长= ×2π=1.5π， 180 ∵扇形DAF为圆锥的侧面， ∴弧长为圆锥的底面圆的周长， ∴半径等于周长除以2π， 1.5π 3 即半径等于 = ， 2π 4 3 故答案为： ． 4 【点睛】此题考查了切线的性质、直角三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及弧长公式． 熟悉相关性质定理是解决问题的关键． 8.如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的 半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（ ） A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5【答案】C 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 90πR πR 【详解】解：扇形的弧长是： ＝ ， 180 2 圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2 ， π πR 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： ＝2 ， 2 π R ∴ ＝2， 2 即：R＝4， 故选C． 【点睛】本题主要考查圆锥底面周长与展开扇形弧长关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥底面周长与 展开扇形之间关系. 题型九：圆锥的高 1.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为 （ ） 3 3 4 5 A． B． C． D． 4 5 5 3 【答案】C 1 【详解】分析：先根据扇形的面积公式S= L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 2 详解：设圆锥的母线长为R，由题意得 15π=π×3×R，解得R=5， ∴圆锥的高为4， 4 ∴sin∠ABC= ． 5 故选C． 点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比． 2.已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为 cm． 【答案】6√2【分析】设圆锥底面半径为r cm，那么圆锥底面圆周长为2πr cm，所以侧面展开图的弧长为2πr cm， 然后利用扇形的面积公式即可得到关于r的方程，解方程即可求得圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理 求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥底面半径为r cm， 那么圆锥底面圆周长为2πr cm， 所以侧面展开图的弧长为2πr cm， 1 120π×92 S = ×2πr×9= ， 圆锥侧面积 2 360 解得：r=3， ∴圆锥的高为√92−32=6√2(cm)， 故答案为：6√2． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧 面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3.若圆锥侧面展开图是面积为65πcm2的扇形，扇形的弧长为10πcm，则圆锥的高为 ． 【答案】12cm/12厘米 1 【分析】根据圆锥的侧面积= ×弧长×母线长，可得圆锥的母线长，然后可以利用勾股定理求得圆锥的高， 2 即可求解． 【详解】解：设母线长为R，由题意得： 1 65π= ×10π×R， 2 解得R=13cm． 设圆锥的底面半径为r， 则10π=2πr，解得：r=5， 故圆锥的高为：√132-52=12． 故答案为：12 1 【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题的关键是牢记圆锥的侧面积= ×弧长×母线长． 2 4.如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那 么这个圆锥形容器的高为（ ）．1 3 √15 √3 A． m B． m C． m D． m 4 4 4 2 【答案】C 【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆 锥的高． nπr 90×π×1 π 【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l= = = m， 180 180 2 π 1 则圆锥的底面半径是： ÷(2π)= m， 2 4 则圆锥的高是： √ 12− (1) 2 = √15 m． 4 4 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关 键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 5.如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（ ） A．2 B．3 C．√2 D．√3 【答案】D 【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求． 【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高， 由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°， ∴AD=ABsinB=√3， 故选D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相 关知识进行求解． 6.一个扇形的半径长为5cm，面积为15πcm2，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的高ℎ = ． 【答案】4cm 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的 1 母线长，则利用扇形的面积公式即可得到 ×2π×r×5=15π，求出圆锥的底面圆半径，然后根据勾 2 股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为rcm， 1 根据题意得： ×2π×r×5=15π， 2 解得：r=3， 所以圆锥的底面圆半径r为3cm， ∴ℎ =√52−32=4cm． 故答案为：4cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=∠ACO=22.5°,BC=8，若扇形OBC（图中阴影部分） 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）A．√6 B．2√6 C．√15 D．√30 【答案】D 【分析】根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB，再根据扇形的弧长公式即可求解； 【详解】解：根据圆的性质，∠BOC=2∠A ∵∠A+∠ABO+∠OBC+∠ACO+∠OCB=180°，∠OBC+∠BOC+∠OCB=180° ∴∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC ∵∠BOC=2∠A，∠ABO=∠ACO=22.5° ∴∠BOC=90° ∵OB=OC，BC=8 √1 ∴OB=OC= BC2=4√2 2 ⏜ 1 ∴BC= ⋅2π⋅4√2=2√2π 4 2√2π ∴圆锥底面圆的半径为：r= =√2 2π ∴圆锥的高 ℎ =√OB2−r2=√(4√2) 2 −√2 2=√30 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 8.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是 （ ） A．2 B．2√10 C．4√2 D．4√3 【答案】C【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最 后用勾股定理求出CA即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ∵AC=6，∠ACB=120° 120π×6 ∴lA´B= =2πr，即：r=OA=2 180 在Rt△AOC中，OA=2，AC=6， 由勾股定理得，OC=√AC2−OA2=4√2． 故填：4√2． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是 解答本题的关键． 题型十：圆锥侧面积展开图的圆心角 1.如图，圆锥的底面圆的半径是4，其母线长是8，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ． 【答案】180°/180度 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷8π计算． 【详解】解：圆锥底面周长=2×4π=8π， ∴扇形的圆心角的度数=8π×180÷8π=180°． 故答案为：180°． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子． 2.曹老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的半 径是10cm，则这张扇形纸板的圆心角是 ． 【答案】200° 【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：设扇形纸板的圆心角是n°，18nπ 根据题意得：2π×10 = ， 180 解得：n＝200， 所以扇形的圆心角为200°． 故答案为：200° 【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 3.圆锥母线长l=8，底面圆半径r=2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是 ． 【答案】90°/90度 【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可． 【详解】∵圆锥母线长l=8，底面圆半径r=2，圆锥侧面展开图的圆心角θ， θπl ∴2πr= ， 180 360×2×π ∴θ= =90°， 8π 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键． 4.如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角 θ得大小为（ ） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， π⋅θ⋅l ∴ =4π， 180° 720° ∴l= ， θ ∵π⋅2l=8π，720°×2π ∴ =8π， θ ∴θ=180°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，熟知圆锥侧面积公式和弧长公式是解题 的关键． 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ） A．214° B．215° C．216° D．217° 【答案】C 【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数． 【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6， 可得母线长l=√42+32=5， 圆锥的底面周长为：π×6=6π， 设圆心角的度数为n， nπ×5 则 =6π， 180 解得：n=216， 故圆心角度数为：216°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题． 1 6.若一个圆锥体的底面积是其表面积的 ，则其侧面展开图圆心角的度数为 ． 4 【答案】120°/120度 1 【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的 ，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图 4 的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．由题意得S =πr2， 底面面积 l =2πr， 底面周长 1 ∵个圆锥体的底面积是其表面积的 ， 4 ∴S =3S =3πr2， 扇形 底面面积 l =l =2πr． 扇形弧长 底面周长 1 1 由S = l ×R得3πr2= ×2πr×R， 扇形 2 扇形弧长 2 故R=3r． nπr 由l = 得： 扇形弧长 180 nπ×3 2πr= ， 180 解得n=120． 故答案为：120°． 【点睛】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综 合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键． 7.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20π cm，侧面积为240π cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度． 【答案】150 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等， 利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，1 由题意得： ×20π×l=240π， 2 解得：l=24， nπ×24 则 =20π. 180 解得n=150，即扇形的圆心角为150°， 故答案为:150． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键. 8.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A．120° B．180° C．240° D．300° 【答案】B 【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， nπR 设圆心角为n，有 =2πr=πR， 180 ∴n=180°． 故选B． 9.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面周长为8πcm， 侧面积为48πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】120°/120度 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等， 利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．1 1 【详解】解：S = Cl= ×8πl=48π ， 侧面积 2 2 ∴l=12， nπl nπ×12 ∴C = = =8π ， ⊙O 180 180 解得n=120° ． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键. 10.一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】120 【分析】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．根据面积关系可得. 【详解】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S =πr2， 底面面积 l =2πr， 底面周长 S =3S =3πr2， 扇形 底面面积 l =l =2πr． 扇形弧长 底面周长 1 1 由S = l ×R=3πr2= ×2πr×R， 扇形 2 扇形弧长 2 故R=3r． nπR 由l = 得： 扇形弧长 180 nπ×3r 2πr= 180 解得n=120°． 故答案为：120°． 【点睛】考核知识点：圆锥侧面积问题.熟记弧长和扇形面积公式是关键. 题型十一：圆锥的实际问题 1.某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为24cm，底面半径为10cm，若小李用漂亮的彩纸做一顶这 样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ．【答案】260πcm2． 【分析】纸帽的外部面积就是圆锥侧面展开图的面积，所以计算侧面展开图的面积，问题即可求解． 【详解】解：纸帽底面圆的周长为：2π•10=20π(cm) ∴侧面展开图的扇形的弧长为20π(cm) ∵圆锥的母线长为：√102+242=26（cm） 1 ∴圆锥侧面展开图的面积为： ×20π×26=260πcm2 2 故答案为：260πcm2． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长． 2.如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为r的圆，使之恰好围成如图 所示的圆锥，则R与r的关系为（ ） A．R=2r B．R=4r C．R=2√2r D．R=6r 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案． 90⋅πR πR 【详解】扇形的弧长是： = ， 180 2 圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr， ∵恰好围成如图所示的圆锥，πR ∴ =2πr， 2 ∴R=4r， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关 系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 3.如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米， 圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ） A．(30+5√29)π米2 B．40π米2 C．(30+5√21)π米2 D．55π米2 【答案】A 【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的 面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和． 【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米， ∴圆锥的母线长=√52+22=√29米， ∴圆锥的侧面积=π×5×√29=5√29π， 圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高， 即2π×5×3=30π， 故需要的毛毡：(30+5√29)π米❑ 2， 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面 积是解题关键． 4.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆 柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的 体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm， 根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=DE， 圆柱体内液体的体积为：π×32×7=63πcm3 1 圆锥的体积为 π×62×6=72πcm3 ， 3 设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm， 1 ∴ π⋅(6−x) 2 ⋅(6−x)=72π−63π， 3 ∴(6−x) 3=27， 解得：x=3， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm．故选：B． 【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解 决问题． 5.云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化 的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算 出该草帽的侧面积为（ ） A．240πcm2 B．576πcm2 C．624πcm2 D．120πcm2 【答案】C 1 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积= 底面周长×母线长． 2 48 【详解】解：∵圆锥的底面直径为48cm,则半径为 =24，又∵圆锥的高为10cm,∴圆锥的母线长为： 2 √102+242=√676=26 ，圆锥的底面周长(扇形的弧长)为:2πr=48π, 1 ∴该圆锥的侧面积= ×48π×26=624πcm2， 2 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 6.中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺， 米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3， 估算出堆放的米约有 斛．【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米 堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 1 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，由题意，得： ×2πr=8， 4 16 ∴r= ， π 1 1 320 ∴米堆的体积为： ⋅ πr2×5= ≈35.56， 4 3 3π 35.56 ∴米堆的斛数为： ≈22； 1.62 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不 大． 7.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别 裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ） A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2 D．8πcm2 【答案】B 【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长 90π×(6−2r) 等于圆锥底面的周长得到 = 2 r，解方程求出r，然后求得直径即可． 180 π 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 90π×(6−2r) 根据题意得 = 2 r， 180 π解得r＝1， 1 侧面积= ·2πr·4=4π ， 2 底面积=πr2=π 所以圆锥的表面积=5πcm2， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的 两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 题型十二：圆锥侧面上的最短路径问题 1.如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为 ． 【答案】3√3． 【分析】将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长. 【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′， 则线段BF为所求的最短路线． 设∠BAB′＝n°． nπ⋅6 ∵ =4π， 180 ∴n＝120，即∠BAB′＝120°． ∵E为弧BB′中点， ∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6 ∴AF＝3，BF＝√62−32＝3√3， ∴最短路线长为3√3． 故答案为：3√3． 【点睛】本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题. 2.如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出 发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 9√3 9 【答案】 / √3 2 2 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角∠APA'的度数，然后利用等 9√3 边三角形的判定与性质、勾股定理可得AC= ，最后根据两点之间线段最短即可得． 2 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接AB、AC， 设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA'的度数为n°， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， nπ×9 所以 =2π×3， 180 解得n=120， 1 则∠APB= APA'=60°， 2又∵AP=BP=9， ∴△ABP是等边三角形， ∵点C为PB的中点， 1 9 ∴AC⊥BP，CP= BP= ， 2 2 9√3 在Rt△ACP中，AC=√AP2−CP2= ， 2 9√3 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC= ， 2 9√3 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧 面展开图是解题关键． 3.已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=20√15cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行 一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】80√2cm 【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用 弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的 在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=20√15cm， ∴由勾股定理可得母线l=√r2+ ℎ 2=80cm， nπ×80 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π= . 180 ∴n=90° 即△SAA′是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：AA'=√802+802=80√2cm．∴蚂蚁爬行的最短距离为80√2cm． 【点睛】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解． 4.如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或 ∠A的对边(底边) BC AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)= = ，当 ∠A的邻边(腰) AC ∠A=60°时，如T(60°)=1． (1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁 爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66） √2 √3 1 【答案】(1) ; ;T(A)> 2 3 2 (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据T(A)的定义 即可解答． 【详解】（1）解：如图1， BC ∠A=90°，AB=AC，则 =√2， AB AB √2 ∴F(90° )= = ， BC 2 如图2，∠A=120°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°， √3 ∴BD= AB， 2 ∴BC=√3AB， AB √3 ∴T(120° )= = ； BC 3 ∵2AB＞BC， AB 1 ∴ > ， BC 2 1 ∴T（A）＞ ． 2 √2 √3 1 故答案为： ; ;T(A)> ． 2 3 2 （2）解：∵圆锥的底面直径PQ=14， ∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π， 设扇形的圆心角为n°， n⋅π×18 则 =14π，解得n＝140， 180 ∵T(70°)≈0.87， 18 ∴蚂蚁爬行的最短路径长为 ≈20.7． 0.87 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等 知识点，掌握相关性质定理和T(A)的定义是解本题的关键． 5.如图，已知圆锥的底面半径是2√3，母线长是6√3．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆 锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．【答案】18 【分析】连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角∠ABC为n．利用弧长公式 可求出n的值，根据两点间线段最短可得AC为这根绳子的最短长度，根据等腰三角形的性质，利用 ∠CBD的正弦值求出AC的长即可得答案． 【详解】如图，连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． ∵两点间线段最短， ∴AC为这根绳子的最短长度， ∵圆锥的底面半径是2√3， ∴A´C=2π×2√3=4√3π， nπ×6√3 ∴ =4√3π， 180 解得：n=120°， ∵BD⊥AC，BC=AB， 1 1 ∴∠CBD= ∠ABC=60°，CD= AC， 2 2 √3 ∴CD=BC·sin60°=6√3× =9， 2 ∴AC=2CD=18， 故答案为：18【点睛】此题考查了圆锥的计算、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆锥的底面圆的 周长和扇形弧长相等并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 考点三：不规则面积的有关计算 题型一：直接公式法 1.如图，在半径为√2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 ． 1 【答案】 π 2 【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面 半径即可． 【详解】解：连接BC， 由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径， ∴BC＝2√2， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2， 90π×4 ∴S ABC＝ ＝π； 扇形 360 90π×2 ∴扇形的弧长为： ＝π， 180 设底面半径为r，则2πr＝π， 1 解得：r＝ ， 2 1 故答案为：π， ． 2【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长． 2.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90° AC=4,BC=2两分圆别以AC,BC为半径画圆，则阴影部分的面 积为（ ） 5π 5π A． −4 B．10π−4 C．10π−8 D． −8 2 2 【答案】A 【详解】设各个部分的面积为：S 、S 、S 、S 、S ，如图所示， 1 2 3 4 5 ∵两个半圆的面积和是：S +S +S +S +S +S ，△ABC的面积是S +S +S ，阴影部分面积是： 1 5 4 2 3 4 3 4 5 S +S +S ， 1 2 4 ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 1 1 5 即阴影部分的面积= π×4+ π×1-4×2÷2= π-4． 2 2 2 故选：A. 3.如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S ）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形 1 （面积记为S ），则S 与S 的关系为（ ） 2 1 2π A．S >S B．S =S C．S S 1 2 故选：A 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出 弧长是解决问题的关键． 4.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若 ∠BAC=60°，∠ABC=100°，BC=4，则扇形BEF的面积为 ． 4π 【答案】 9 【分析】根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出∠BEF，然后根据扇形面积公式计 算． 【详解】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=100°， ∴∠ACB=20°， ∵E为BC的中点，EB、EF为半径， ∴∠EFC=∠ECF=20°， ∴∠BEF=40°，∵BC=4， ∴BE=2， 40π×22 4π ∴扇形BEF的面积= = ． 360 9 【点睛】本题主要考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公 式是解题的关键． 5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格 点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到△AB'C'． （1）求∠BAC的正切值． （2）求扇形CAC'的面积． 1 【答案】（1）tan∠BAC= ；（2）S =10π． 3 扇 形CCA' 【分析】(1)过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，如图,根据正切的定义求解； (2)连接CC´，如图，先利用勾股定理的逆定理证明 ACC为直角三角形，则∠CAC=90°，然后根据扇形的面 积公式计算． △ 【详解】解：（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D， 则CD=2，AD=6， CD 2 1 ∴在Rt△ACD中，tan∠BAC= = = ． AD 6 3（2）连接CC'， C'C2=42+82=80，C' A2=C A2=22+62=40， ∵C' A2+C A2=C'C2=80， ∴△ACC'为直角三角形，∠CAC'=90°， 90π⋅AC2 90π×40 ∴S = = =10π． 扇 形CCA' 360 360 【点睛】本题考查了作图一旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也 相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转 后的图形． 题型二：直接和差法 1.如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴 影部分的面积是（ ） 5 13 13 A． πcm2 B． πcm2 C． πcm2 D．2πcm2 2 2 4 【答案】C 1 1 【分析】先求解∠DOE=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°− (180°−∠A)=130°，再利用扇形 2 2 的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆， ∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， 1 1 ∴∠DOE=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°− (180°−∠A)=130°， 2 2 130π×32 13 ∴S = = π(cm2)， 扇形DOE 360 4 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，求解扇形的面积，熟记三角形的内切圆的性质是解本题 的关键． 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D， 交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．π 【答案】1− 4 【分析】连接CD，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积 =S −S 即可解答． △ABC 扇形CEF 【详解】解：连接CD，如图， ∵以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D， ∴CD⊥AB， ∵△ACB为等腰直角三角形， 1 ∴CD=AD=BD= AB． 2 ∵AB=√2AC=√2⋅√2=2， ∴CD=1， ∴阴影部分的面积=S −S △ABC 扇形CEF 1 90π×12 = BC⋅AC− 2 360 1 π = ×√2×√2− 2 4 π =1− ． 4 π 故答案为：1− ． 4 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点， 连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．3.如图，有一个半径为5cm的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，其中A、B、C都在 圆O上，则被剪掉阴影部分的面积是 ． 25π 【答案】 cm2 2 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径得出BC为⊙O的直径，则△ABC是等腰直角三角形，即可 求出半径AB的长，利用扇形面积公式即可求出扇形BAC的面积，最后求出圆O的面积与扇形BAC的面 积之差即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接BC， ∵∠BAC=90°， ∴BC为⊙O的直径， ∵⊙O的半径为5cm， ∴BC=10cm， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， 由勾股定理得AB2+AC2=BC2， 即2AB2=102， 解得AB=5√2， 2 90π×(5√2) 25π ∴S = = cm2， 扇形BAC 360 2 又∵S =π×52=25π， 圆O ∴S =S −S 阴影 圆O 扇形BAC25π =25π− 2 25π = cm2 ， 2 25π 故答案为： cm2 ． 2 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，以AC为直径的半圆交AB于点D，则 图中阴影部分的面积是 ． 4 【答案】7√3− π 3 【分析】连接OD，过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据S =S −(S +S )求解． 阴影 △ACB △AOD 扇形DOC 【详解】解：连接OD，过点O作OF⊥AD，垂足为F， ∵∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°， ∴∠A=60°，BC=4√3， ∴OA=2， ∴OF=√3， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠A=60°， ∴∠COD=120°， ∴S =S −(S +S ) 阴影 △ACB △AOD 扇形DOC 1 1 120π×22 = ×4×4√3− ×2×√3− 2 2 3604π =7√3− ． 3 4 故答案为：7√3− π． 3 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形，直角三角形的性质，掌握扇形的面积公式是解题 的关键． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于 点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ） π A．4−2π B．8−2π C．8− D．8−4π 2 【答案】B 1 【分析】根据题意，阴影部分的面积是长方形的面积减去两个 圆的面积，由此即可求解． 4 【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2， ∴AB=CD=4,AD=BC=2，S =AB·AD=4×2=8， 矩形ABCD 以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧， 1 1 1 1 ∴S = π·AD2= π×22=π，S = π·BC2= π×22=π， 扇形ADE 4 4 扇形BCF 4 4 ∴阴影部分的面积为8−π−π=8−2π， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，求不规则图形的面积，掌握矩形的性质，圆面积的计算方法， 图形结合求不规则图形的面积的方法是解题的关键． 6.如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A．6π B．5π C．4π D．3π 【答案】A 【分析】求出五个扇形的圆心角之和，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】∵(5−2)×180°=540° 540 ∴ S= π×22=6π 360 故选A． 【点睛】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解题意是解题的关键． 题型三：构造和差法 1.如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧 面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A．5 B．3√3 C．3√2 D．6√3 【答案】B 【分析】连接AB，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展 开后的圆心角，可得△SAB是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接AB，如图所示，∵AB为底面圆的直径，AB=4， 设半径为r, ∴底面周长=2πr=4π， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为n， ∵圆锥母线SB=6， nπ×6 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：4π= ， 180° 解得：n=120°， ∴∠ASC=60°， ∵半径SA=SB， ∴△SAB是等边三角形， √3 在Rt△ACS中，AC=SA⋅sin60°=6× =3√3， 2 ∴蚂蚁爬行的最短路程为3√3， 故选：B． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面 周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数 求解． 2.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm． 在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为 cm． 【答案】2√13 【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题． 需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．【详解】如图，过点A作AH⊥OB于H． ∵OE=OF=9cm，FA=3cm，EB=1cm， ∴OA=6cm，OB=8cm． nπ×9 圆锥的底面周长是π×6=6π，则6π= ， 180 ∴n=120°， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120°． ∴∠EOF=60°， √3 1 ∴AH=OA•sin60°=6× =3√3（cm），OH=OA•cos60°=6× =3（cm）， 2 2 ∴BH=OB-OH=5cm， ∴在直角△ABH中，由勾股定理得到：AB=√AH2+BH2=2√13（cm）． 3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得 Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画 弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ） 5 π 7 π A．π B．π+5 C． − D． − 2 4 2 4 【答案】C nπr2 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，扇形的面积公式为S= ． 360 作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形 AOF的面积−扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=2，OB=1， ∴AB=√OA2+OB2=√5， 由旋转，得△EOF≌△BOA， ∴∠OAB=∠EFO， ∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°， ∴∠EFO=∠HED， ∴∠HED=∠OAB， ∵∠DHE=∠AOB=90°，DE=AB， ∴△DHE≌△BOA(AAS)， ∴DH=OB=1， 阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积 1 1 90π×22 90π×5 = ×3×1+ ×1×2+ − 2 2 360 360 5 1 = − π 2 4 故选：C． 1 4.如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作 2 弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ） A．π B．2π C．2π−4 D．2√3−π 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积公式、圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判 定，解题的关键是解得S =S ，属于中考常考题型．连接OC，作EF⊥AB于F，根据圆周角定 △ABE △OBC理得到∠COB=90°，∠ABC=45°，从而得到△≝¿是等腰直角三角形，判断OD是BC的垂直平分线， 1 1 1 进一步即可求得EF= OC=1，求得S = AB⋅EF= ×4×1=2， 2 △ABE 2 2 1 1 1 S = OB⋅OC= ×2×2=2，得到S =S ，即可得到S = S ． △OBC 2 2 △ABE △OBC 阴影 2 半圆AB 【详解】解：连接OC，作EF⊥AB于F， ∵点C是直径AB为4的半圆的中点， ∴∠COB=90°，∠ABC=45°， ∴△≝¿是等腰直角三角形， 1 ∵分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，且OB=OC， 2 ∴OD垂直平分BC， ∴CE=BE， ∵∠COB=90°，EF⊥AB， ∴EF∥OC， BF BE ∴ = =1， OF CE ∴EF是ΔBOC的中位线， 1 ∴EF= OC=1， 2 1 1 ∴S = AB⋅EF= ×4×1=2， △ABE 2 2 1 1 ∵S = OB⋅OC= ×2×2=2， △OBC 2 2 ∴S =S ， △ABE ΔOBC 1 1 1 ∴S =S −S −S =S −S = S = × π×22=π． 阴影 半圆AB ΔABE 弓形BC 半圆AB 扇形OBC 2 半圆AB 2 2 故选：A． 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，以BC的长为半径的⊙O经过A，B两点，点D，E 分别在AC，BC上， DE∥AB，且与过A，B两点的⊙O相切，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】32√2−32−4π 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，切线 的性质，扇形面积公式；由正方形的判定方法可得四边形ACBO是正方形，由等腰直角三角形的性质及 勾股定理可求OC=AB=√2AC =4√2，由切线的性质ON=OA=4，从而表示出 S =S −S −S ，即可求解；掌握判定方法及性质，能将阴影部分面积表示为 阴影 正方形ACBO △CDE 扇形AOB S =S −S −S 是解题的关键． 阴影 正方形ACBO △CDE 扇形AOB 【详解】解：已知以BC的长为半径且经过A，B两点的圆的圆心为点O，连接OC，交AB于点M，交 DE于点N， ∴OA=OB=BC=AC=4， ∴四边形ACBO是菱形， ∵ ∠C=90°， ∴四边形ACBO是正方形， ∠CAB=CBA=45°， ∵ DE∥AB， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴ △CDE是等腰直角三角形， ∴AB=√2AC =4√2， ∴OC=4√2， ∵ DE与⊙O相切， ∴ON=OA=4， ∴CN=OC−ON =4√2−4，∴DN=NE=CN =4√2−4， 1 ∴S = ×(4√2−4)(8√2−8) △CDE 2 =48−32√2， ∴S =S −S −S 阴影 正方形ACBO △CDE 扇形AOB 90π×42 =16−(48−32√2)− 360 =32√2−32−4π． 故答案：32√2−32−4π． 6.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线 上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°． (1)求证：EM是⊙O的切线； (2)若∠A=∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 3√3−π (2) 6 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算． （1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A， 根据等腰三角形的性质得到∠OCM=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论； （2）根据已知推出∠E=30°，得到OE，利用勾股定理求出CE，根据扇形和三角形的面积公式即可得 到结论． 【详解】（1）解：证明：连接OC，∵OF⊥AB， ∴∠AOF=90°， ∴∠A+∠AFO=90°， ∵∠ACE+∠AFO=180°,∠ACE+∠ACM=180°， ∴∠AFO=∠ACM， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∴∠ACO+∠ACM=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥ME， ∴EM是⊙O的切线； （2）解：∵∠EOC=2∠A=2∠E，∠EOC+∠E=∠OCM=90°， ∴2∠E+∠E=90°， ∴∠E=30°， ∴ ∠COE=90°−∠E=60°， ∵∠OCE=90°,OC=1， 在Rt△OCE中， ∴OE=2OC=2 ∴CE=√OE2−OC2=√3， 1 60π×12 3√3−π ∴S =S −S = ×√3×1− = ． 阴影部分 △OCE 扇形BOC 2 360 6 7.如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点 E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是（ ）√3 π √3 π √3 π √3 π A． + B． + C． + D． + 2 3 3 2 2 2 3 3 【答案】A 【分析】连接OE、OF，如图，根据切线的性质得到OE⊥AF，再利用勾股定理计算出EF=√3，计算 出∠FOE=60°，∠BOF=60°，则∠DOE=120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的 面积=S +S −S 进行计算． 扇形BOF △OEF 扇形DOE 【详解】连接OE、OF，如图， ∵弦AF切小半圆于点E， ∴OE⊥AF， ∵AB=4，∠BAF=30°， ∴OA=OB=OF=2，OE=1， 在Rt△OEF中，EF=√22−12=√3， ∵∠BAF=30°， ∴∠OFE=30°， ∴∠FOE=60°，∠OAF=30°， ∴∠BOF=60°， ∴∠DOE=120°， 图中阴影部分的面积=S +S −S 扇形BOF △OEF 扇形DOE 60×π×22 1 120×π×12 = + ×1×√3− 360 2 360 π √3 = + ． 3 2 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8.如图，在矩形ABCD中，AB=√3，AD=1，点P为DC边上的一个动点，将△ADP沿AP折叠得到 △AEP，D´E为点D关于AP对称时对称点E的轨迹， 当线段EC的长度最短时，则图中阴影部分的面积 是 ． √3 π 【答案】 − 3 6 【分析】先确定点E的运动轨迹，可知当点A，E，C三点共线时，EC的长最短，再求出AC，进而求出 ∠DCA，∠DAC，然后根据矩形的性质和折叠的性质可求PD，最后根据S =2S −S 得 阴影 △ADP 扇形ADE 出答案． 【详解】由折叠的性质知，点P从点D对称到点E的过程中，AE=AD， ∴点E的运动轨迹是以点A为圆心，AD为半径的圆弧， ∴当点A，E，C三点共线时，EC的长最短， 如图，在矩形ABCD中，AB=√3，AD=1，可知BC=AD=1，AB=√3=CD， ∴AC=√AB2+BC2=2， 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴∠DCA=30°， ∴∠DAC=60°． 由矩形的性质和折叠的性质可知PE=PD，∠PEC=90°， ∴PC=2PE， ∴CD=3PD， √3 ∴PD= ． 3 1 √3 60π×12 √3 π 则S =2S −S =2× ×1× − = − ． 阴影 △ADP 扇形ADE 2 3 360 3 6√3 π 故答案为： − ． 3 6 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求阴影部分的面积，求扇形面积，勾股定理等，将不规则图 形的面积转化为规则图形的面积的和（差）是解题的关键． 9.如图，矩形ABCD内接于圆中．若AB=√3cm,BC=1cm，则阴影部分图形的面积是 cm2（结 果保留π）． 2 √3 【答案】 π− 3 2 【分析】如图，连接AC，BD，交点为O，过O作OE⊥AB，由题意知O为圆的圆心，则 1 BC 1 √3 AE=BE= AB，则tan∠CAB= = = ，∠CAB=30°，AC=2BC=2， 2 AB √3 3 1 1 OE=AE⋅tan∠CAB= ，∠AOB=120°，AO=CO= AC=1，根据S =2(S −S )， 2 2 阴影 扇形AOB △AOB 计算求解即可． 【详解】解：如图，连接AC，BD，交点为O，过O作OE⊥AB，由题意知O为圆的圆心，则 1 AE=BE= AB， 2 ∵AB=√3cm,BC=1cm， BC 1 √3 ∴tan∠CAB= = = ， AB √3 3 ∴∠CAB=30°， 1 ∴AC=2BC=2，OE=AE⋅tan∠CAB= ，∠AOB=120°， 21 ∴AO=CO= AC=1， 2 (120π×12 1 1) 2π √3 由题意知S =2(S −S ) =2 − ×√3× = − ， 阴影 扇形AOB △AOB 360 2 2 3 2 2 √3 故答案为： π− ． 3 2 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，正切，含30°的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟 练掌握与灵活运用． 10.如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC． 若OA=2，则图中阴影部分的面积是 （结果保留根号和π）． 2 【答案】 π−√3 3 【分析】连接OC，由翻折的性质及圆的性质可得△OCA是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的 面积即为所求的阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接OC，设l交OA于点D， 1 由翻折的性质得：AC=OC，AD=OD= OA=1，CD⊥OA， 2 ∵OC=OA=2， ∴OA=OC=AC=2， 即△OCA是等边三角形， ∴∠AOC=60°，由勾股定理得CD=√OC2−OD2=√3， ∴S =S −S 阴影 扇形AOC △AOB60π×22 1 = − ×2×√3 360 2 2 = π−√3， 3 2 故答案为： π−√3． 3 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边 三角形是解题的关键． 11.如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的延长线上，且∠EAC=∠CAB． (1)求证：直线AE是⊙O的切线； 1 (2)若OE=6,sin∠E= ，求图中阴影部分的面积． 2 【答案】(1)见解析 3π (2)S = 阴影 2 【分析】（1）连接OA．根据半径相等可得∠OAC=∠OCA，根据∠OCA+∠CAB=90°， ∠EAC=∠CAB，等量代换可得∠OAC+∠EAC=90°，即可得证； 1 （2）连接OB，根据特殊角的三角函数值得出∠E=30°,OA= OE=3，进而可得△OAC是等边三角 2 形．再结合垂径定理，根据S =S ，即可求解． 阴影 扇形BOC 【详解】（1）解：如图，连接OA． ∵OA=OC． ∴∠OAC=∠OCA ∵OC⊥AB， ∴∠ADC=90° ∴∠OCA+∠CAB=90°． 又∵∠EAC=∠CAB,∠OAC=∠OCA． ∴∠OAC+∠EAC=90°， ∴∠OAE=90°．∴AE⊥OA 又∵OA是⊙O的半径， ∴直线AE是⊙O的切线． （2）如图，连接OB． OA 1 ∵在Rt△OAE中，sin∠E= = ，OE=6． OE 2 1 ∴∠E=30°,OA= OE=3 2 ∴∠AOC=60°． 又∵OA=OC ∴△OAC是等边三角形． 又∵弦AB垂直于半径OC． ∴OD=DC,AD=BD,A´C=B´C ∴S =S ,∠BOC=∠AOC=60°． △OBD △CAD 60π×32 3π ∴S =S = = ． 阴影 扇形BOC 360 2 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，求扇形面积，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等 知识，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理是解题的关键． 题型四：等面积法 1.如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在的 直线l与A´B交于点C.若OA=4，则图中阴影部分的面积是（ ）8π 8π A． B． −4√3 C．2√3 D．4√3 3 3 【答案】D 【分析】由翻折的性质得到CA=CO，而OA=OC，得到△OAC是等边三角形，根据S =S ， 扇形AOC 扇形BOC 弓形CO的面积为=弓形CA的面积，所以S =S ． △AOC 阴影 【详解】解：连接CA，CO，直线l与AO交于点D，如图所示， ∵扇形AOB中，OA=4， ∴OC=OA=4， ∵点A与圆心O重合， ∴AD=OD=2，CD⊥AO， ∴OC=AC， ∴OA=OC=AC=4， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠COD=∠CAO=60°， ∵CD⊥OA， ∴CD=√OC2−OD2=2√3， ∵∠AOB=120°，∠AOC=60°， ∴∠BOC=60°， ∴S =S ， 扇形AOC 扇形BOC ∵弓形CO的面积=弓形CA的面积， 1 ∴S =S = ×4×2√3=4√3． △AOC 阴影 2 故选：D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接 AD，且AD平分∠BAC (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 2 (2) π 3 【分析】（1）连接OD，利用角平分线和半径之间关系推出AC∥OD，结合∠ACD=90°得 OD⊥BC，根据切线的判定推出即可； （2）连接DE、OE，由题干得△OAE为等边三角形，利用半径相等得四边形AEDO是菱形，得出阴影 部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】（1）证明：连接OD，如图 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠DAC=∠ODA， ∴AC∥OD， ∵∠ACD=90°，即OD⊥BC ∴∠ODB=90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：如图，连接ED，OE，OE交AD于点M，∵∠BAC=60°，OE=OA， ∴△OAE为等边三角形， ∴AE=OA，∠AOE=60°， ∴AE=AO=OD， 又由（1）知，AC∥OD，即AE∥OD， ∴四边形AEDO为平行四边形， ∵OA=OD， ∴四边形AEDO是菱形， ∠EOD=∠EOD=60°， ∴S =S ， △AEM △DOM 60×π×4 2 ∴S =S = = π ❑阴影 扇 形DOE 360 3 【点睛】本题考查圆与三角形的结合，利用等角对等边、角平分线、圆的切线、等边三角形的判定和性 质、平行四边形以及菱形的判定和性质，并熟练掌握扇形面积公式． 3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于 点E． (1)求证：AC平分∠DAB； (2)若⊙O的半径4，DE=2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 8π (2) 3 【分析】（1）连接OC，切线的性质，推出OC∥AD，得到∠DAC=∠OCA，等边对等角得到∠OAC=∠OCA，进而得到∠DAC=∠OAC，即可； （2）连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）证明：连接OC，则：OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠DAB； （2）连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G， ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠DEB=90°， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴四边形CDEF为矩形， ∴OC⊥BE，CF=DE=2， ∴BF=EF， ∵⊙O的半径为4， ∴OA=OE=OC=OB=4，∴OF=OC−CF=2， OF 1 ∴AE=2OF=4，sinB= = ， OB 2 ∴∠B=30°， ∴∠DAB=60°，∠COB=60° ∴△AOE为等边三角形， ∴∠EOA=60°， ∴∠EOC=60°， ∴OE⊥AC， 1 ∴OG= OA=2，AG=√OA2−OG2=2√3， 2 ∴AC=2AG=4√3； 60π 1 1 8π ∴S =S +S −S = ×42+ ×4×2√3− ×4√3×2= ． 阴影 扇形COE △AOE △AOC 360 2 2 3 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 勾股定理，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，添加常见的辅助线，构造特殊图形，是解题的关 键． 4.如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点D,点E为劣弧BD的中点，过点E作EF⊥AC,垂足为F, 连接AE． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若AF=3,EF=√3，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 2 π (2) 3 【分析】（1）连接OE，BD交于点G，根据圆周角定理及垂径定理可得∠GDF=90°，然后根据矩形 的判定与性质可得∠GEF=90°，最后由切线的判定方法可得结论； （2）连接OD、DE，根据解直角三角形及圆周角定理可得∠BOE=∠DOE=60°，由等边三角形的判定与性质可得S =S ，最后由扇形面积公式可得答案． △ADE △ODE 【详解】（1）证明：连接OE，BD交于点G，如图所示： ∵E为劣弧B´D的中点， ∴OE⊥BD， ∴∠DGE=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠GDF=90°， ∵EF⊥AD， ∴∠DFE=90°， ∴四边形DGEF是矩形， ∴∠GEF=90°， ∴OE⊥EF， ∵OE为圆的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接OD、DE，如图所示： 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AF=3，EF=√3， EF √3 ∴tan∠EAF= = ， AF 3 ∴∠EAF=30°，∴∠DOE=60°， ∵点E为劣弧B´D的中点， ∴ E´D=B´E， ∴∠BOE=∠DOE=60°， ∵OD=OE， ∴△ODE是等边三角形， ∴∠DEO=60°， ∴DE∥AB， ∴S =S ， △ADE △ODE ∵DG=EF=√3， ∴OD=2， 60π×22 2π ∴S = = ， 阴影ODE 360 3 2π ∴阴影部分的面积为 ． 3 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算等知识，正确作出辅助线是解决 此题的关键． 5.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于 点E． (1)求证：AC平分∠DAB； (2)若⊙O的半径4，DE=2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 8π (2) 3 【分析】（1）连接OC，切线的性质，推出OC∥AD，得到∠DAC=∠OCA，等边对等角得到 ∠OAC=∠OCA，进而得到∠DAC=∠OAC，即可； （2）连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）证明：连接OC，则：OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠DAB； （2）连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G， ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠DEB=90°， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴四边形CDEF为矩形， ∴OC⊥BE，CF=DE=2， ∴BF=EF， ∵⊙O的半径为4， ∴OA=OE=OC=OB=4， ∴OF=OC−CF=2， OF 1 ∴AE=2OF=4，sinB= = ， OB 2 ∴∠B=30°，∴∠DAB=60°，∠COB=60° ∴△AOE为等边三角形， ∴∠EOA=60°， ∴∠EOC=60°， ∴OE⊥AC， 1 ∴OG= OA=2，AG=√OA2−OG2=2√3， 2 ∴AC=2AG=4√3； 60π 1 1 8π ∴S =S +S −S = ×42+ ×4×2√3− ×4√3×2= ． 阴影 扇形COE △AOE △AOC 360 2 2 3 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 勾股定理，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，添加常见的辅助线，构造特殊图形，是解题的关 键． 题型五：旋转法 1.如图，已知A(2√3，2)，B(2√3，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2√3)的位 置，则图中阴影部分的面积为 ． 3 【答案】 π 4 【详解】试题分析：∵A（2√3，2）、B（2√3，1），∴OA=4，OB=√13，∵由A（2√3，2）使点A旋 转到点A′（﹣2，2√3），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，S =S ，∴阴影部分的 ΔOB'C' ΔOBC 1 1 3 3 面积等于S ﹣S = π×42− π×(√13) 2 = π，故答案为 π． 扇形A'OA 扇形C'OC 4 4 4 4 考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转． 2.如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB'C'D'的位置，若AB=4cm，则图中阴影 部分的面积为 cm2．【答案】2π 【分析】由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积=四边形 ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD， 则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积 =扇形ABB'的面积 45π×42 = 360 =2π； 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积=扇形 ABB'的面积是解题的关键． 题型六：对称法 1.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= √2，则图中阴影部分的面积是 π 【答案】 4 【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到 ∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形， 于是得到S =S ，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积． △AOC △BOC 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=BC=√2， ∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB， ∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形， √2 ∴S =S ，OA= AC=1， △AOC △BOC 2 90·π·12 π ∴S =S = = ． 阴影部分 扇形AOC 360 4 π 故答案为 ． 4 2.如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O 的直径，半圆O 过C点且与半 1 2 圆O 相切，则图中阴影部分的面积( ) 1 7−π 5−π 7 5 A． B． C． D． 9 9 9 9 【答案】D 【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小 圆的半径，从而求阴影部分的面积． 【详解】解：连接O O ，设O 的半径为x． 1 2 2 ∵O O 2−AO 2=AO 2 ， 1 2 1 2 ∴(2+x) 2−22=(2−x) 2， 2 解得：x= 3 设⊙O 交BC于D，⊙O 交BC于E． 1 2 2√2 √2 ∴CE=PE=√2x= ，BC=√2AB，CD= AB=√2 3 21 1 1 1 2√2 2√2 5 ∴S =S −S = CD⋅AD− CE⋅PE= ×√2⋅√2− × ⋅ = 阴影 △ADC △CEP 2 2 2 2 3 3 9 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及三角形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于梯形PEDA的 面积是关键． 3.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为 O' ，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是 ． 2π 【答案】2√3− 3 【分析】连接OO'，BO'，根据旋转的性质得到∠OAO'=60°，推出△OAO'是等边三角形，得到 ∠AOO'=60°，推出△OO'B是等边三角形，得到∠AO'B=120°，得到∠O'B'B=∠O'BB'=30°， 根据图形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：连接OO'，BO'， ∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°， ∴∠OAO'=60°， ∴△OAO'是等边三角形， ∴∠AOO'=60°，OO'=OA， ∴当O'中⊙O上， ∵∠AOB=120°， ∴∠O'OB=60°， ∴△OO'B是等边三角形，∴∠AO'B=120°， ∵∠AO'B'=120°， ∴∠B'O'B=120°， ∴∠O'B'B=∠O'BB'=30°， ∴图中阴影部分的面积 =S −（S −S ） △B'O'B 扇形O'OB △OO'B 1 60⋅π×22 1 = ×1×2√3−（ − ×2×√3） 2 360 2 2π =2√3− ， 3 2π 故答案为：2√3− ． 3 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解 题的关键． 4.如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分 的面积等于（ ） 4π 2π 16π 8π A． B． C． D． 3 3 3 3 【答案】B 【分析】连接OC,OE，根据线段垂直平分线的性质可得AC=OC,BE=OE，继而证明 △OAC,△OBE是等边三角形，进而得出 S −S =S −S ,S −S =S −S ，最后利用扇形的面积公式求 扇形CAO △OAC 扇形COA △OAC 扇形EBO △OBE 扇形EOB △OBE 解即可． 【详解】解：连接OC,OE， ∵CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB， ∴AC=OC,BE=OE， ∴∠CAO=∠COA,∠EBO=∠EOB，∵OC=OA,OE=OB，S =S ,S =S ， 扇形CAO 扇形COA 扇形EBO 扇形EOB ∴OC=OA=AC,OE=OB=BE， ∴△OAC,△OBE是等边三角形， ∴S −S =S −S ,S −S =S −S ， 扇形CAO △OAC 扇形COA △OAC 扇形EBO △OBE 扇形EOB △OBE ∵∠AOC=∠BOE=60°， ∴∠COE=60°， ∵AB=4， ∴OC=2， 60 2 ∴图中阴影部分的面积=S = π×22= π， 扇形COE 360 3 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式，熟练掌握知 识点，准确添加辅助线是解题的关键． 5.如图，AB是半圆O的直径，且AB=12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆 弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 【答案】6π 【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交B´C于点E，则可判断点O是B´C的中点，由折叠的性质可得 1 1 OD= OE= R=3，在RtΔOBD中求出∠OBD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即 2 2 可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交B´C于点E，连接OC， 则点E是BE´C的中点，由折叠的性质可得点O为BO´C的中点， ∴S =S ， 弓形BO 弓形CO 1 在RtΔBOD中，OD=DE= R=3，OB=R=6， 2 ∴∠OBD=30°， ∴∠AOC=60°， 60π×62 ∴S =S = =6π． 阴影 扇形AOC 360故答案为6π． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是BO´C的中点，将阴影 部分的面积转化为扇形的面积． 6.如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影 部分的面积之和为 ． 【答案】4 【详解】解∶∵∠AOB=∠COD， ∴S =S AOB． 阴影 △ ∵四边形ABCD是平行四边形， 1 1 ∴OA= AC= ×4=2． 2 2 ∵AB⊥AC， 1 1 ∴S =S AOB= OA•AB= ×2×4=4． 阴影 2 2 △ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算等知识，解题的关键是判断出阴影部分的面积 等于△AOB的面积． 题型七：全等法 1.如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、A´B、OB上， AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ． 【答案】√2−1【分析】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．通过观察可知阴影部分的面 积正好等于长方形ACDF的面积，直接根据相关条件求长方形ACDF的面积即可． 【详解】解：连接OD， ∵正方形的边长为1，即OC=DE=CD=OE=1， ∴OD=√OC2+CD2=√2，∠DOE=∠DOC=45°， ⏜ ⏜ ∴AC=BE=OA−OC=√2−1， BD=AD ， ∴图形ACD是面积等于图形BED的面积， ∴S =长方形ACDF的面积=AC⋅CD=√2−1． 阴 故答案为：√2−1 2.如图，扇形POQ可以绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，若∠POQ=120°，OP等于正六边形 ABCDEF的边心距的2倍，AB=2，则阴影部分的面积为（ ） 4 16 A． π−2√3 B．4π−2√3 C．4π−√3 D． π−4√3 3 3 【答案】B 【分析】由正六边形的性质得∠CDE=120°，连接OE，OC，可得OC=OE=DE=CD，得∠COE=120°， 从而得∠MOE=∠NOC，根据ASA证明ΔMOE≅ΔNOC得S =S ，结合 五 边 形MON菱DE 形OCDE S =S −S 即可求解． 阴影 扇 形OQP菱 形OCDE 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴∠CDE=120° 连接OE，OC，则∠OCN=∠OEM=60°∴OC=OE=CD=DE ∴四边形OCDE是菱形， ∴∠COE=∠CDE=120° ∵∠POQ=120° ∴∠MOE=∠CON 在ΔMOE和ΔNOC中 ¿ ∴ΔMOE≅ΔCON ∴S =S 五 边 形MON菱DE 形OCDE ∵AB=2 ∴CD=DE=2 过点C作CD⊥ED的延长线于点H ∴∠CDH=60° ∴∠DCH=30° ∴DH=1 ∴CH=√3 ∴扇形半径长为2√3 ∴S =S =DE·CH=2√3 五 边 形MON菱DE 形OCDE 120 ∴S = ×π×(2√3) 2=4π 扇 形OQ3P60 ∴S =S −S =4π−2√3 阴影 扇 形OQP菱 形OCDE 故选：B 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质，根据正六边形的性质得出对应 角相等是解题关键． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）． 1 4 2 9 A． π B． π C． π D． √3−3 3 3 3 2 【答案】C 【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S 阴 ＝S 扇形OFA ，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：连接OD，OF． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴S ＝S ， AFD OFA △ △ ∴S ＝S ， 阴 扇形OFA ∵OD＝OA＝2，AB＝6， ∴OB＝4， ∴OB＝2OD， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵OF＝OA， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠AOF＝60°， 60π·22 2π ∴S阴＝S扇形OFA＝ = . 360 3 故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常 用辅助线，用转化的思想思考问题．