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专题13 圆与正多边形
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 垂径定理、
圆心角与圆周角定
理
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取7 道真题，2024、2025
年省统考未在此单独设题。题型以选择题、填空题为主，
分值3-5 分，位于试卷前中部，属基础题。核心考查圆
周角定理及圆心角与圆周角的关系，常见载体为垂直半
径、切线、四边形内角和与等腰三角形，解题关键是把
圆周角与圆心角互相转化并结合三角形内角和、外角性
质；同时本考点也包含垂径定理的应用，以及切线性质
与圆周角定理的综合。整体难度低、考法稳定，预计仍
将以"同弧所对圆周角等于圆心角一半"及垂径定理计
算模型为基本命题形态。
考点02 弧长与扇形
的面积
2025·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江衢州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取9 道真题，2025 年省统
考以直角三角形斜边中线为背景考查弧长计算。题型以
填空题、选择题为主，辅以少量解答题，分值3-6 分。
核心考查两类公式的直接应用：一是弧长公式与扇形面
积公式，常配以圆心角、半径的定量计算，结合矩形与
直径所对圆周角求圆弧长；二是圆锥侧面积，由底面半
径与母线求侧面积。此外，还有复合图形求面积（含阴
影面积转换），体现面积整体与部分的关系。整体难度
基础偏中档，公式记忆准确是得分关键，预计未来省统
考仍将以"弧长／扇形面积公式的直接应用"为主，并可
能融入直角三角形、圆内接图形等背景。
考点03 圆的切线的
判定与性质
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江湖州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取9 道真题，是本专题题
量较大的考点，其中2024 年、2025 年省统考各设1 题，
其余集中在2022-2023 年地市卷。题型覆盖填空、选择
与解答题，分值3-12 分，难度跨度大。核心考查切线
的性质（切线垂直于过切点的半径）与判定，常用"连
半径"构造直角三角形，并借助HL 全等证明线段相等，
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2022·浙江金华·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江绍兴·中考
再结合勾股、相似、解直角三角形求线段长度；部分题
目融合切线、垂径定理、轴对称与折叠形成较高难度的
综合题。整体呈"基础性质＋勾股解三角形＋综合探究"
的层次，预计未来省统考将延续"切线性质＋解直角三
角形"的主流考法，并可能提高综合度。
考点04 圆内接图形
与正多边形
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江温州·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江金华·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取7 道真题，其中2025
年、2026 年省统考均有设题且难度明显提升，2022-2023
年地市卷主要考查正多边形的基本性质与内角。题型以
选择题、填空题为主，辅以综合探究解答题，分值3-12
分。核心考查圆与正多边形的位置关系：正多边形内角
与中心角的计算、正多边形面积与扇形面积的组合、以
及圆内接矩形等图形的线段计算。2023 温州七巧板拼
图、2022 金华正五边形作图探究为高难度综合题，融合
垂径定理、相似与圆周角。整体呈"由基础性质向综合
探究上升"的趋势，预计未来省统考将继续以"正多边形
与圆＋阴影面积＋线段计算"为考查重点。
考点01
垂径定理、圆心角与圆周角定理
1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在ٖܱ
中，半径ܱܤܱǡܣ互相垂直，点ܥ在劣弧ܤܣ上．若סൌܥܤܣꀀᦙι，
则סܤൌܥܣ（
）
A．ʹ͵ι
B．ʹͶι
C．ʹͷι
D．ʹι
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点ܣ是ٖܱ
外一点，ܤܣ，ܥܣ分别与ٖܱ
相切于点ܤ，ܥ，点ܦ
在ܤܦܥ
Ⴃ上，已知סͷൌܣnι，则סܦ的度数是___________．
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3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C 在ٖܱ
上，连接ܤܣ，ܥܣ，ܱܤ，ܱܥ．若סܤͷൌܥܣnι，
则סܤܱܥ的度数是（
）
A．ͺnι
B．ᦙnι
C．ꀀnnι
D．ꀀꀀnι
4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，ܱܣ是ٖܱ
的半径，弦ܤܥ٣ܱܣ于点D，连接ܱ
ܤ．若ٖܱ
的半径为
ͷcm，ܤܥ的长为ͺcm，则ܱ
ܦ的长是______cm．
5．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在ᇞܥܤܣ中，ൌܥܣൌܤܣcmǡסܤͷൌܥܣnι，以ܤܣ为直径作半圆，
交ܤܥ于点ܦ，交ܥܣ于点ܧ，则弧ܦܧ的长为__________cm．
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点ܣ在第一象限内，ٖܣ与ݔ轴相切于点ܤ，与ݕ轴相交于点ܥǡܦ．连
接ܤܣ，过点ܣ作ܪܣ٣ ܥܦ于点ܪ．
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(1)求证：四边形ܪܱܤܣ为矩形．
(2)已知ٖܣ的半径为4，ܱܤൌ
，求弦ܥܦ的长．
7．（2022·浙江温州·中考真题）如图，ܥܣǡܤܣ是ٖܱ
的两条弦，ܱܦ٣ܤܣ于点D，ܱܧ٣ܥܣ于点E，连结ܱ
ܤ，ܱܥ．若סܦܱܧൌꀀ͵nι，则סܤܱܥ的度数为（
）
A．ᦙͷι
B．ꀀnnι
C．ꀀnͷι
D．ꀀ͵nι
8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O 中，∠BOC＝130°，点A 在ܤܥܣႣ上，则∠BAC 的度数为（
）
A．55°
B．65°
C．75°
D．130°
考点02
弧长与扇形的面积
1．（2025·浙江·中考真题）如图，在Rt ᇞܥܤܣ中，סͷ͵ൌܣιǡܥܦ是斜边ܤܣ上的中线，以点C 为圆心，
ܥܦ长为半径作弧，与ܤܣ的另一个交点为点E．若ʹൌܤܣ，则ܦܧ
Ⴃ的长为（
）
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A．
ꀀ
ᦙπ
B．
ʹ
ᦙπ
C．
ꀀꀀ
͵π
D．
ꀀͺ π
2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为͵ncm，母线长为ͷncm，则烟囱帽的
侧面积为_____________cmʹ．（结果保留π）
3．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为Ͷnι，半径为ꀀͺ，则它的弧长为___________．
4．（2022·浙江宁波·中考真题）已知圆锥的底面半径为Ͷcm，母线长为cm，则圆锥的侧面积为（
）
A．͵πcmʹ
B．ʹͶπcmʹ
C．ꀀπcmʹ
D．ꀀʹπcmʹ
5．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为ꀀʹnι，半径为
͵
ʹ，则它的弧长为___________．
6．（2022·浙江台州·中考真题）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长ͺnm，宽nm 的矩形，有污水从
该矩形的四周边界向外渗透了͵m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（
）
A．ሺͺͶn ߨሻmʹ
B．ሺͺͶn ᦙߨሻmʹ
C．ͺͶnmʹ
D．ͺmʹ
7．（2022·浙江丽水·中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧
所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为ʹm，高为ʹ ͵m，则改建后门洞的圆弧长是（
）
A．
ͷπ
͵ m
B．
ͺπ
͵ m
C．
ꀀnπ
͵ m
D．
ͷπ
͵ ʹ m
8．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，ܥ，ܦ是以ܤܣ为直径的半圆上的两点，סܥൌܤܣסܦܤܣ，连结ܤܥ，ܥܦ．
(1)求证：ܥܦ∥ܤܣ．
(2)若Ͷൌܤܣ，ס͵ൌܦܥܣnι，求阴影部分的面积．
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考点03
圆的切线的判定与性质
1．（2025·浙江·中考真题）如图，在ᇞܥܤܣ中，ܥܣൌܤܣ，点O 在边ܤܣ上，以点O 为圆心，ܱܤ长为
半径的半圆，交ܤܥ于点D，与ܥܣ相切于点E，连接ܱ
ܦǡܱܧ
(1)求证：ܱܦ٣ܱ
ܧ．
(2)若ൌܤܱǡܥܤൌܤܣ͵，求四边形ܱ
ܦܥܧ的面积．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，ܤܣ是ٖܱ
的直径，ܥܣ与ٖܱ
相切，A 为切点，连接ܤܥ．已知סͷൌܤܥܣnι，
则סܤ的度数为__________
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在Rt ᇞܥܤܣ中，סܥൌᦙnι，E 为ܤܣ边上一点，以ܧܣ为直径的
半圆O 与ܤܥ相切于点D，连接ܦܣ，ܤܧൌ͵ǡܤܦൌ͵ ͷ．P 是ܤܣ边上的动点，当ᇞܦܣ䁨为等腰三角形时，
ܣ䁨的长为_____________．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ܦܥܤܣ是矩形．当
餐盘正立且紧靠支架于点A，D 时，恰好与ܤܥ边相切，则此餐盘的半径等于_________cm．
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5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在Rt ᇞܥܤܣ中，סൌܤܥܣᦙnι，O 为ܥܣ边上一点，连结ܱ
ܤ，以ܱ
ܥ
为半径的半圆与ܤܣ边相切于点D，交ܥܣ边于点E．
(1)求证：ܤܥൌܤܦ；
(2)若ܱ
ܤൌܱܣ，ʹൌܧܣ，①求半圆ܱ
的半径；②求图中阴影部分的面积．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在Rt ᇞܥܤܣ中，סൌܤܥܣᦙnι，点O 在边ܥܣ上，以点O 为圆心，ܱܥ
为半径的半圆与斜边ܤܣ相切于点D，交ܱܣ于点E，连结ܱ
ܤ．
(1)求证：ܤܦൌܤܥ．
(2)已知ܱ
ܥൌꀀ，ס͵ൌܣnι，求ܤܣ的长．
7．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙ܱ
于点A，长边与⊙ܱ
相切于点B，角尺的
直角顶点为C，已知ൌܥܣcmǡܥܤൌͺcm，则⊙ܱ
的半径为_____cm．
8．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在ᇞABC 中，AC=2，BC=4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与
AC 相切于点A，D 是BC 边上的动点，当ᇞACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．
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9．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在扇形ܤܱܣ中，点C，D 在ܤܣႣ上，将ܥܦ
Ⴃ沿弦ܥܦ折叠后恰好与ܱܣ，ܱ
ܤ相切于点E，F．已知סൌܤܱܣꀀʹnι，ܱൌܣ，则ܧܨ
Ⴃ的度数为_______；折痕ܥܦ的长为_______．
10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，ܤܣ与ٖܱ
相切于点B，ܣܱ的延长线交ٖܱ
于点C．若סͶൌܣnι，
则∠C=_____．
11．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在ᇞܥܤܣ中，ܥܣൌܤܣ，以ܤܣ为直径的⊙ܱ
与ܤܥ交于点ܦ，连
接ܦܣ．
(1)求证：ܤܦൌܥܦ；
(2)若⊙ܱ
与ܥܣ相切，求סܤ的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧ܦܣႣ的中点ܧ．（不写作法，保留作图痕迹）
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6 的⊙O 与Rt△ABC 的边AB 相切于点A，交边BC 于点C，
D，∠B=90°，连接OD，AD．
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(1)若∠ACB=20°，求ܦܣႣ的长（结果保留ߨ）．
(2)求证：AD 平分∠BDO．
考点04 圆内接图形与正多边形
1．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1 所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多
边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
Ͷ
͵ π െ
͵
B．
Ͷ
͵ π െ
͵
ʹ
C．
ʹ
͵ π െ
͵
D．
ʹ
͵ π െ
͵
ʹ
2．（2025·浙江·中考真题）如图，矩形ܦܥܤܣ内接于ٖܱ
，ܧ是ܦܣႣ上一点，连接ܧܤ，ܧܥ分别交ܦܣ于
点ܨ，ܩ．若ൌܨܣꀀ，ܧܩൌܨܩൌ͵，则ٖܱ
的直径为________．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形ܨܧܦܥܤܣ是ٖܱ
的内接正六边形，设正六边形ܨܧܦܥܤܣ
的面积为ܵꀀ，ᇞܧܥܣ的面积为ܵʹ，则ܵꀀܵ
ʹ ൌ_________．
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4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，ٖܱ
的圆心O 与正方形的中心重合，已知ٖܱ
的半径和正方形的边
长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（
）．
A．ʹ
B．2
C．Ͷ ʹ ʹ
D．Ͷ െʹ ʹ
5．（2023·浙江温州·中考真题）图1 是Ͷ ൈͶ 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为ʹ，现将它
剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形ܥܦܧܨ作为题字区
域(点ܣ，ܧ，ܦ，ܤ在圆上，点ܥ，ܨ在ܤܣ上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点ܣ，ܰ，
ܯ在同一直线上，ܤܣ∥䁨ܰ，ܦܧൌ
ܧܨ，则题字区域的面积为___________．
6．（2022·浙江舟山·中考真题）正八边形的一个内角的度数是____ 度．
7．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形ܧܦܥܤܣ内接于⊙ܱ，阅读以下作图过程，并回答下列问
题，作法：如图2，①作直径ܨܣ；②以F 为圆心，ܨܱ
为半径作圆弧，与⊙ܱ
交于点M，N；③连接ܣܰǡܰܯǡܯܣ．
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(1)求סܥܤܣ的度数．
(2)ᇞܰܯܣ是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A 开始，以ܦܰ
长为半径，在⊙ܱ
上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．
1．（2026·浙江·模拟预测）我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术》中提到了割圆术，其本质上可以用
来估算π的近似值，如图，现在在半径为R 的圆内有一n 边正多边形，则π可以精确表示为（
）
A．݊tanꀀͺnι݊
B．݊cos
͵nι݊
C．݊sin
ꀀͺnι݊
D．ʹ݊cos
ꀀͺnι݊
2．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体
最大纵截面如图所示，其半径为ͷcm，液面宽ܤܣ的长为ͺcm，则瓶内液体最大深度为（
）
A．ʹcm
B．͵cm
C．Ͷcm
D．ͷcm
3．（2026·浙江嘉兴·二模）秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B 在同一条
直线上，点D，A，C，E 所对的刻度分别为nι，nι，ꀀͷnι，ꀀͺnι，则סܦܤܣ的度数为（
）
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A．ꀀͷι
B．ʹnι
C．ʹͷι
D．͵nι
4．（2026·浙江宁波·二模）如图，ܤܣ为ٖܱ
的直径，点ܥ在ܱܣ上，点ܧ，ܨ为圆上两点，连结ܧܥ，ܨܥ．连
接ܧܨ交ܤܣ于点ܦ，若סܨܥܧൌᦙnι，ܥܦൌ͵ܦܤ͵ൌܥܣ，则cosסܥܦܨ的值为（）
A．
ͷ
͵
B．
͵
Ͷ
C．͵ െꀀ
D．
ͷꀀ
Ͷ
5．（2026·浙江金华·二模）如图1，在ٖܱ
中，已知点ܥ是ܤܣႣ的中点，点ܦ是ܤܦܣႣ上的动点，连结ܥܦ交
ܤܣ于点ܧ．记ܥܧൌݔ，ܦܣܤܦൌݕ，且ݕ关于ݔ的函数图象为一段反比例函数，如图2 所示，则下列说
法正确的是（
）
A．ס͵ൌܥܤܣnι
B．圆的半径为4
C．当ܧܤ͵ൌܧܣ时，ݕൌͶ ꀀn
D．当ݕൌ ͷ时，ܥܦൌͺ
6．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形ܦܥܤܣ中，以ܥ为圆心，ܤܥ长为半径画弧，交ܦܣ于点ܧ，以ܣ
为圆心，ܤܣ为半径画弧交ܦܣ于点ܨ．若ൌܤܣꀀ，ൌܦܣʹ，则图中阴影部分的面积为（
）
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A．
π
ʹ െ
ʹ
B．
ꀀπ
ʹ െ
ʹ
C．ʹ
ꀀെπ
ʹ
D．ʹ െ
ꀀെπ
ʹ
7．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在Rt ᇞܥܤܣ中，סൌܤܥܣᦙnι，ס͵ൌܣnι，分别以点ܣ、ܤ为圆心，
ܥܣ、ܤܥ的长为半径作弧，与ܤܣ交于点ܦ、ܧ．若Ͷൌܤܣ，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
͵ π െʹ ͵
B．
ͷ
͵ π െͶ ͵
C．
ͷ
͵ π െʹ ͵
D．
ꀀn
͵ π െʹ ͵
8．
（2026·广东云浮·一模）如图，在扇形ܤܱܣ中，ܱൌܣ，ܤܥ垂直平分ܱܣ，则图中阴影部分的面积为________．
9．（2026·浙江温州·三模）如图，某手工工作室需要制作一个扇形的装饰挂件，从一块直径为dm 的圆形
铁皮上剪出一个圆心角为ᦙnι的扇形作为挂件，则此扇形挂件的面积是______dmʹ．
10．（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为ͺ，宽为 的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，
其长边与水平桌面成͵nι夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌
面݈
上，则木板上点ܣ滚动所经过的路径长为________．（结果保留π）
11．（2026·浙江台州·二模）如图1，公园围墙上有一扇窗，其形状是一个扇环，示意图如图2 所示．已知
扇形的圆心角为ꀀʹnι，半径ܱܣ，ܱܥ分别为80 cm，40 cm，则这扇窗的面积为_________cmʹ．
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12．（2026·浙江温州·二模）如图，将矩形纸片ܦܥܤܣ（ܤܣ൏ܦܣ）折叠，折痕为ܧܣ，使ܦܣ落在ܤܣ边上，
点ܦԢ为点ܦ的对应点，以点ܣ为圆心，ܤܣ为半径画弧，交ܧܣ于点ܨ．若ൌܤܣ，则ܤܨ
Ⴃ
的长为______．
13．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2 的正六边形ܨܧܦܥܤܣ中，点G 为ܨܣ的中点，连接ܦܩ交ܥܨ
于点H，则四边形ܧܨܪܦ的周长为_____________．
14．（2026·浙江·模拟预测）在ᇞܥܤܣ中，ܥܣൌܤܣ，סܤൌܥܣꀀʹnι．
(1)尺规作图：作ٖܱ
，使圆心O 在ܤܥ上，ٖܱ
经过A，B 两点（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：ܥܣ是（1）题所作ٖܱ
的切线．
15．（2026·浙江宁波·二模）单规作图问题：
如图1，已知直线݈
及直线݈
外一点䁨，只用一把圆规画一点ܳ
，使得䁨，ܳ
所在直线与直线ܤܣ平行．
下面是小尹设计的作图过程．
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ᬅ如图2，在直线݈
上取一点ܱ
，以点ܱ
为圆心，ܱ䁨长为半径画半圆，交直线݈
于ܣ，ܤ两点；
ᬆ以点ܣ为圆心，截取ܣ䁨长；
ᬇ以点ܤ为圆心，ܣ䁨长为半径画弧，交半圆于点ܳ
；
则点ܳ
就是所求作的点．
(1)根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明．
证明：连接ܣ䁨，ܤܳ，作直线䁨ܳ；
(2)小周认为“在直线݈
上取点ܱ
时，ܱ䁨不能垂直于݈，否则所作点ܳ
不满足题意．”你认为他说得对吗？请
谈谈你的理解．
16．（2026·浙江衢州·一模）如图，ٖܱ
的周长为4 厘米，ܤܣ为ٖܱ
的直径．动点䁨从点ܣ出发，在圆周
上按顺时针方向作匀速运动，速度为1 厘米/秒，点䁨出发1 秒后，动点ܳ
也从ܣ点出发，以ݒ厘米
．．/．秒．的
速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点䁨运动ݐ秒时，点䁨，ܳ
与点ܣ间的劣弧（或半圆）长分
别记为ݕꀀ，ݕʹ，则ݕꀀ，ݕʹ关于ݐ的函数图象如图2 所示．
(1)试确定动点ܳ
的速度ݒ．
(2)当ʹ ݐͶ 时，求ݕꀀ关于ݐ的一次函数表达式，并求出当ݐൌ
ͷ
ʹ时，ݕꀀ的值．
(3)若图2 中的点ܥ为两个函数图象的交点，求点ܥ的坐标，并求此时点䁨，点ܳ
间的劣弧长．
17．（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】
风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1 所示．某校开展“传统工艺中
的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算．
【数学理解】
如图2，在风筝骨架中，ܥܣൌܤܣ，ܤܦ
Ⴃ，ܥܦ
Ⴃ分别是两个等圆ٖܱ
ꀀ和ٖܱ
ʹ的弧，且ܤܦ
Ⴃൌܥܦ
Ⴃ．
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(1)求证：ᇞܤܦܣ، ᇞܥܦܣ．
(2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1 所示的风筝纸，其中ൌܦܣൌܥܣൌܤܣꀀn，ܤܦ
Ⴃൌܥܦ
Ⴃൌnι，
סܤൌܦܣnι，求所需风筝纸的面积（点ܤ，ܦ，ܥ三处的装饰物不计）．
18．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在ᇞܥܤܣ中，ܥܣൌܤܣ，ٖܱ
是ᇞܥܤܣ的外接圆，点ܦ是弧ܥܣ上一
点，弦ܤܦ交边ܥܣ于点ܧ，连接ܱܣ并延长交ܤܥ于点ܨ，交ܤܦ于点ܪ．
(1)求证：ܨܣ平分סܤܥܣ
(2)当סܨʹൌܦܣסܤܨܣ，求证：ܦܣൌܪܣ
(3)如图2，当ܤܦ是ٖܱ
直径时，
①若͵ൌܧܣ，ܥܧൌͶ，求边ܤܥ的长．
②设
ܥܧ
ܧܣൌݔ，sinסܥൌݕ，求ݕ关于ݔ的函数关系式．
19．（2026·浙江嘉兴·二模）已知ܤܣ，ܥܦ是圆的两条弦，ܥܦ٣ܤܣ，垂足为ܧ（点ܥ在优弧上，点ܦ在劣
弧上），且Ͷൌܤܣ．
(1)如图ꀀ，ܥܦ是直径，ܱ
是圆心，且ܱ
ܧൌ͵，求ٖܱ
的半径；
(2)如图ʹ，连结ܥܣ并延长至点ܨ，再连结ܦܣ，ܤܥ．若סܦͶൌܨܣסܦܤܣ且ס͵ൌܤܥܣι，求סܤ的度数；
(3)如图͵，若ܥܦ经过端点ܣ，点ܯ是弦ܤܣ上一点，点䁨，ܳ在圆上．连结ܥܯ，ܥ䁨，ܥܳ，满足ܥ䁨ൌܥܯൌܥܳ．连
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结䁨ܳ
交ܤܣ于点ܰ
，求ܣܰܤܯ的最小值．
20．（2026·浙江湖州·二模）如图，在锐角ᇞܥܤܣ中，ܥܣൌܤܣ，以ܤܣ为直径作半圆交ܤܥ，ܥܣ于点ܦ，ܧ，
在弦ܦܧ的延长线上取点ܨ，使סܨൌܧܣ
ꀀ
ʹ סܥܤܣ，将ᇞܧܨܣ沿ܨܣ翻折至ᇞܩܨܣ，延长ܩܨ交射线ܤܥ于点
ܪ．
(1)若סൌܥܤܣnι，求סܩ的度数．
(2)求证：四边形ܩܪܤܣ是平行四边形．
(3)若ܨܩൌʹܨܪ，求
ܤܥ
ܤܣ的值．
21．（2026·浙江杭州·二模）如图，ܤܣ是ٖܱ
的直径，延长ܤܣ至点ܥ，ܥܦ切ٖܱ
于点ܦ，点ܧ在劣弧ܦܣ
上，且סܧൌܦܣסܦܤܣ，连接ܦܧ，ܱܦ，ܦܤ．
(1)求证：סܥܦܤൌסܦܥܣ．
(2)求证：
ܤܦ
ܦܣൌ
ܥܦ
ܥܣ．
(3)已知ܤܥൌͶ，tanסܧൌܦܣ
ꀀ
ʹ，求线段ܧܣ的长．
22．（2026·浙江杭州·二模）如图，ᇞܥܤܣ是ٖܱ
内接三角形，סܤܥܣ的角平分线ܥܦ交ܤܣ于点ܨ，交ٖܱ
于点ܦ，连接ܦܣ、ܤܦ，过点ܦ作ܦܧ∥ܤܣ交ܥܤ的延长线于点ܧ．
(1)若סൌܤܥܣꀀʹnι，ൌܤܣꀀͷ，求ٖܱ
的半径．
(2)求证：ܦܧ为ٖܱ
的切线．
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(3)求证：ܦܧʹ െܦܥʹ ൌܧܤܤܥڄ ܧܤെܥܣ．
23．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形ܦܥܤܣ内接于ٖܱ
，ܦܣ，ܤܥ的延长线相交于点ܧ，ܥܣ，ܤܦ相
交于点ܨ．
(1)求证：סൌܤܦܣסܥܦܣסܧ．
(2)已知tanסൌܥܤܣͷ，ܧܦʹൌܦܣ，且ܥܣൌܤܣ．
①求证：ܣܤʹ ൌܦܣڄܧܣ；
②当ܥܦൌ
时，求ᇞܥܦܨ的周长．
24．（2026·浙江杭州·二模）如图①，在ᇞܥܤܣ中，סܤʹൌܥܣסܥ（ʹnι ൏סܥ൏Ͷͷι），点D 在ܤܥ上，ܦܣ
平分סܤܥܣ，ٖܱ
为ᇞܦܥܣ的外接圆．
(1)求证：ᇞܤܦܣᇞܤܥܣ．
(2)求证：ܤܣ为ٖܱ
的切线．
(3)过点B 作ٖܱ
的切线ܤܧ，切点为E，如图②，连接ܧܦ，ܧܣ，ܧܥ，若ܤܦڄܣൌܥܣܤʹ，求
ܦܧ
ܧܥ的值．
25．（2026·浙江金华·二模）如图1，ٖܱ
是四边形ܦܥܤܣ的外接圆，ܤܣႣൌܥܦ
Ⴃ．
(1)求证：ܦܣ∥ܤܥ．
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(2)如图2，连接ܥܱ
并延长，交ܤܣ于点ܧ，点ܤ关于ܥܧ的对称点ܨ落在ܦܣႣ上，连接ܧܨ、ܥܨ分别交ܦܣ
于点ܩ、ܪ，已知ٖܱ
的半径为5，tanܤൌ，ܤܥൌͺ．
①求ᇞܧܤܥ的面积．
②求ܪܣ的长．
