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1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题13 圆的对称性与圆周角 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型三、利用垂径定理求值 题型四、利用圆周角定理求解 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 题型六、圆内接四边形的对角互补 题型七、垂径定理的应用 题型八、垂径定理的平行弦问题 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的对称性 1. 圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是圆的对称轴 2. 圆是中心对称图形，圆心是它 的对称中心，圆旋转任意角度都 能与自身重合 1. 误认为直径是圆的对称轴，混 淆“直径所在直线”与“直径”的概 念 2. 仅认为圆只有中心对称性质， 忽略圆旋转任意角度都重合的旋 转不变性 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，且平分弦所对的两条弧 2. 推论：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，且平分弦所对的 两条弧 1. 应用推论时忽略“弦不是直径” 的前提条件，错判平分直径的直 径一定垂直该直径 2. 漏算弦到圆心的距离多解情况 （平行弦分圆心同侧/异侧两种） 圆心角、弧、弦的关系 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦相等 2. 在同圆或等圆中，若两组圆心 角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，则对应的其余各组量都相 等 1. 忽略“同圆或等圆”前提，直接 由圆心角相等推弧、弦相等 2. 混淆弦相等推圆心角相等时， 未考虑弦对应优弧、劣弧两种情 况的圆心角 目 录 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 圆周角定理 1. 圆周角定义：顶点在圆上，两 边都和圆相交的角 2. 圆周角定理：圆周角的度数等 于它所对弧上的圆心角度数的一 半 3. 推论1：同弧或等弧所对的圆 周角相等 4. 推论2：直径所对的圆周角是 直角；90°的圆周角所对的弦是直 径 1. 判断圆周角时遗漏“两边都和 圆相交”的条件，错把顶点在圆上 但一边不与圆相交的角认作圆周 角 2. 混淆“同弦所对的圆周角”和 “同弧所对的圆周角”，错认为同弦 所对的圆周角一定相等，忽略弦 对应两个不同圆周角（互补） 3. 使用90°圆周角推论时，忘记结 论是“所对弦是直径”，错写为弧是 直径 圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补 1. 混淆圆内接四边形互补角，错 记为邻角互补 2. 忽略四点共圆的前提，直接应 用对角互补性质解题 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求弧的度数 典例1 如图， 中， 为直径，弦 ，若 的度数是 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为 圆心角的度数问题是解题关键． 先由 的度数得到圆心角 的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角 的度数， 从而得到 的度数． 【详解】解：如图，连接 、 ， 3 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的度数是 ， ， ， ， ， ， ， 故 的度数为 ． 故选： ． 变式1-1 如图，在 中，以 为圆心， 为半径画 分别交 ， 于点 ，，若 ， 则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接 ， 先根据等腰三角形的性质得出 ，由 可得 ，则 ，根据三角形外 角的性质得 ，然后根据三角形内角和定理计算出 的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 4 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的度数为 ． 故选：B． 变式1-2 如图，已知 ， 是 的两条直径，弦 ， 的度数为 ，则 的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等 知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接 ，由 求得 ，根据 ，得到 ，即可得到 的度数． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ ， ∴ ， 5 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的度数为 ， 故答案为： ． 变式1-3 如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，交 于点 ，则 的度数为___________． 【答案】 /52 度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接 ，如图，先根据三角形内角和计算出 ，再根据等腰三角形的性质由 得到 ，然后再利用三角形内角和计算出 ，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧 的度数求解． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 6 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 的度数为 ， 故答案为： ． 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 典例2 如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ， ，若 ，则 的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作 于 ，作 于 ，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证 明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作 于 ，作 于 ， 平分 在 与 中 7 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-1 某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形 内接于 ， ．若 ， ，则 的半径是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关 于半径的方程求解即可． 【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ． ， ， ． 过点 作 于点 ，连接 ， ，且 ， ， 三点共线 ． 在 中， ． 8 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设 的半径为 ，则 ， ， 在 中， ， 解得 ． 变式2-2 如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点 是 的中点， ，则 的度数为________ ． 【答案】 【分析】根据题意 ，则 ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出 即可． 【详解】解：∵ 是 的直径， 又∵点 是 的中点， ∴ 是整圆的 ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 变式2-3 如图， 是 的直径，已知 ， ， ，则 的长为______． 9 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】连接 ，由圆心角的性质可得 ，进而可判断 是等边三角形，因此 ． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ． 题型三、利用垂径定理求值 典例3 如图，线段 是 的直径， 于点 ．若 ， ，则 的半径长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接 ． 是 的直径， ， ． ， ． ， ， ． 变式3-1 如下图所示， 为 上两点，且 ，弦 于D 点，则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出 ，由 ，知 是等边三角形， ，从而得出 ，再由勾股定理计算得出 即可． 【详解】解： ， ， 是等边三角形， ， ， ， 11 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 在 中，根据勾股定理得 ， ， ． 变式3-2 如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径 _______． 【答案】 【分析】设半径为r，则 ，得到 ，由垂径定理得到 ，再根据勾股定理，即可求 出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的直径，弦 于点E， ∴点E 是 的中点， ∵ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得： ． 变式3-3 如图， 的直径 弦 ，垂足为点 ， ，则 ______． 12 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】根据垂径定理得 ，继而得到 ，可得答案． 【详解】解：∵ 的直径 弦 ， ， ∴ ， ∴ ． 题型四、利用圆周角定理求解 典例4 如图，点 ， ， ， 在 上，四边形 是菱形，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，利用菱形性质得到 ，结合半径相等推导出 、 为等边三角形，求出 圆心角 ，再依据圆周角定理求出 ． 【详解】解：连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， 13 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， ∴ ． 变式4-1 如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 变式4-2 如图， 是 的内接正三角形，点O 是圆心，点D，E 分别在边 上，若 ， 则 的度数是______度． 【答案】120 14 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】连接 ，根据已知条件得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ， 证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，于是得到结论． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 是 的内接正三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 变式4-3 如图， 是 的外接圆，已知 ，则 的大小为________． 【答案】 /40 度 【分析】等边对等角求出 的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：∵ 是 的外接圆， ， 15 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 题型五、直径与所对圆周角为直角的关系 典例5 如图，四边形 中， ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点 共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ∴四点 共圆， ∵ ， ∴ ， ∵ 与 所对的弧为 ， ∴ ． 变式5-1 如图，四边形 内接于 ，已知 ， ，且 ，若点 16 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 为弧 的中点，连接 ，则 的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 ，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出 的大小． 【详解】解：连接 ，如下图所示： ∵ ， ∴ 为 的直径， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵优弧 所对圆周角为 ， ∴ ， 又∵点 为弧 的中点， ∴ ， ∴ ． 17 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-2 如图， 是 的直径，点B，C 在 上，若 ，则 的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得 ，则可求出 的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是圆内接四边形， ∴ ， ∴ ． 变式5-3 如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ，若 ， ________ ． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出 ，根据直径所对的圆周角是直角得出 ，然后 根据 计算即可. 【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形， ∴ ， 又 ， ∴ ， 18 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ . 题型六、圆内接四边形的对角互补 典例6 如图， 中，若 ，那么 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧 上取点 ，连接 、 ，根据圆周角定理可得 ，再根据圆内接四边形对角 互补可得 的度数． 【详解】解：如图，在优弧 上取点 ，连接 、 ， ， ， ． 变式6-1 如图，四边形 内接于 ，F 是 上一点，且 ，连接 并延长交 的延长线于 点E，连接 ．若 ，则 的度数为（ ） 19 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形 内接于 ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 变式6-2 如图所示，四边形 是菱形， 经过点A，C，D，与 相交于点E，连接 ， ．若 ， 则 的度数为_____． 【答案】 /12 度 【分析】首先根据菱形的性质得到 ， ，然后求出 ，然后利用圆内接四边 形的性质求出 ，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形 是菱形 ∴ ， ∴ ∵四边形 内接于 ∴ 20 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ ． 变式6-3 如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ， ， ， ，则 的 度数为_____． 【答案】 /110 度 【分析】平行线的性质求出 的度数，圆周角定理求出 的度数，再根据圆内接四边形的性质， 求出 的度数即可. 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是 的内接四边形， ∴ ∴ . 题型七、垂径定理的应用 典例7 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点 表示筒 车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心的圆，且圆心在水面上方， 若圆被水面截得的弦 长为 ，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为 ，则筒车的直径是（ ） 21 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则有 ，然后根据勾股定理可进 行求解． 【详解】解：如图，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ， 设筒车的半径为 ，则 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在 中， ， ∴ ，解得 ， ∴筒车的直径是 ． 变式7-1 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示， 其半径为 ，液面宽 的长为 ，则瓶内液体最大深度为（ ） 22 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，利用垂径定理得出 ，然后利用勾股定 理求解． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ， ∴ ， 由勾股定理得 ， ∴ ． 变式7-2《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一 尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为E， 寸， 尺，则直径 长为______寸．（1 尺 寸） 【答案】26 【分析】连接 构成直角三角形，先根据垂径定理，可得 寸，再设出圆的半径 为x 寸，表 示出 ，最后根据勾股定理建立关于x 的方程进行求解即可． 【详解】解：连接 ，如图， 23 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，且 寸， 寸， 设圆O 的半径 的长为x 寸， 寸， 在 中， 解得 ， ， 寸． 变式7-3 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧 形拱桥建于上世纪70 年代．图2 是拱桥的示意图，它的跨度 米，拱高 米． (1)求圆弧所在的圆的半径r 的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30 米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4 米，即 米时，是否要采取 紧急措施？ 【答案】(1) 米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接 ，利用r 表示出 的长，在 中根据勾股定理求出r 的值即可； （2）连接 ，在 中，由勾股定理得出 的长，进而可得出 的长． 【详解】（1）解：连接 ， 24 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得： 米， 米， 在 中，有 ，解得 米； （2）解：连接 ． 米， ∴在 中， （米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 题型八、垂径定理的平行弦问题 典例8 已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则 和 之间的距离是（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦 、 与圆心 的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再 分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦 和 在圆心同侧时， 连接 ， ，过点 作 于点 并延长交 于点 ．则 ，如图， ， ， ， ， 25 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ； ②当弦 和 在圆心异侧时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ． 与 之间的距离为 或 ． 变式8-1 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O 半径为5cm，油面宽AB 为6cm，如果 再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB 上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3 或4 D．1 或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm 的油面 ，作 与 的交点为 ，可 知 ， ， ，在 中，由勾股定理得 ，解得 的值，在 中，由勾股定理得 ，解得 的值，计 算 即可；②如图2，宽度为8cm 的油面 ，作 与 的交点为 ，连接 ， 26 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意知 ， ， ，在 中，由勾股定理得 ，在 中，由勾股定理得 ，计算 即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm 的油面 ，作 与 的交点为 由题意知 ， ， 在 中，由勾股定理得 在 中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm 的油面 ，作 与 的交点为 ，连接 由题意知 ， ， 在 中，由勾股定理得 在 中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB 上升到CD，上升了1cm，油面AB 上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 27 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式8-2 已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则 与 之间的距离为_______ ． 【答案】 或 【分析】分圆心 在弦 与 的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦 的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解： 的直径为 ， 的半径为 ， 当圆心 在弦 和 的同侧时， 连接 ， ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ， ， ， 由垂径定理得， ， ， 在 中，由勾股定理得： ； 在 中，由勾股定理得： ； ； 当圆心 在弦 和 的异侧时， 28 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同理可得 ， ， . 综上： 与 之间的距离为 或 . 变式8-3 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 为圆心的圆的一部分，如果 是 中弦 的中点， 经过圆心 交 于点 ，并且 ， ． (1)求 的半径； (2)已知点 为线段 上一点，过点 作 并交 于点 、，若 的长为 ，求平行线 与 之间的距离． 【答案】(1) ； (2) 或 ． 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得 ，然后根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况进行讨论：①当 在点 上方时，如图 所示；②当 在点 下方时，如图 所示； 然后利用垂径定理与勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接 ，如图1 所示， 设 ， ， 则 ， 是 中弦 的中点， 经过圆心 交 于点 ， ， ， ， 在 中， ， 解得 ； 故 的半径为 ； 29 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：设 交 于 ，连接 ，则 ， ①当 在点 上方时，如图 所示， ， ， ， ， ， ， ， 平行线 与 之间的距离为 ； ②当 在点 下方时，如图 所示， 同理可得： ， 平行线 与 之间的距离为 ； 30 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，平行线 与 之间的距离为 或 ． 【点睛】此题考查了垂径定理及其推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理以及它的推论、运用勾股定 理解直角三角形是解答此题的关键． 题型九、利用弧、弦、圆心角的证明 典例9 在同圆中，圆心角 ，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据同圆中弧长与圆心角成正比的性质，弧 与弧 的关 系由圆心角大小直接决定． 【详解】解：∵在同圆中，弧长与所对圆心角成正比， 又∵ ， ∴ ， 故选：A． 变式9-1 如图，在 中， 下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得 ，即可说明A，C；再证明 解答D 即可． 【详解】解：∵ ， 31 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ，则A 正确，C 正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ，则D 正确． 不一定相等，则B 不正确 故选：B． 变式9-2 如图，在 中， ，则下列结论① ，② ，③ ，④ ， 正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解： 在 中， ， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得 ，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 变式9-3 如图，已知在 中，弦 与弦 相交于点 ，连接 ，若 ，求证： 平分 ． 32 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 连接 、 、 、 ， ， ， ， ． ， ． 在 和 中 ． ． 在 和 中 ． ． 平分 ． 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆 的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等， 可得 ，则 ，再证 ，可得 ，即 平分 33 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ． 【详解】略 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图是由正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中 ， ， 均为格点，请仅 用无刻度的直尺作图：（保留作图痕迹） (1)在图1 中，作圆心 ； (2)在图2 中，作弦 ． 【答案】(1) 如图，圆心 即为所求； (2) 如图，弦 即为所求； 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，线段垂直平分线和圆周角定理，作出正确的图形是解决本题的关 键． 34 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）作 的垂直平分线，再作圆上另一条弦 的垂直平分线，两线交点即为圆心O； （2）取格点M，作点B 关于 的对称点 ，连接 与圆O 交于点D，此时 ，根据圆周 角定理即可得． 【详解】（1）略 （2）略 变式10-1 如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点． 经过 两个格点，仅用无 刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中，画出劣弧 的中点 (2)在图2 的 上找一点 ，使 （点 与点 不重合）． 【答案】(1) 如图，点 即为所求． (2) 如图，点 即为所求． 35 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点 ，连接 交 于点 ，根据网格图可知， ，由垂径定理可知， ，点 即为所求； （2）取格点 ，连接 并延长交 于点 ，根据网格图可知， ，由垂径定理可知， ， 从而 ． 【详解】（1）略 （2）略 变式10-2 数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点 、 、 在 上， ①在图①中，画一个与 互补的圆周角； ②在图②中，画一个与 互余的圆周角． (2)在图③中， 是 的内接三角形， ， 是 上一点，请你只用无刻度的直尺画出图②中 的平分线：并说明理由． 【答案】(1) ① 即为所求． 36 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ② 即为所求． (2) 即为所求． 【分析】本题考查了作图、圆内接四边形、圆周角定理以及垂径定理： （1）①如图所示，在 上找一点 ，连接 ，根据圆内接四边形的性质即可；②如图所示，连接 ， 并延长 交 于点 ，根据圆周角定理得到 ，结合 是等腰三角形可以得到． （2）连接 并延长交 于点 ，交 于点 ，连接 ，根据垂径定理得到点 是弧 的中点，再 利用圆周角定理即可． 【详解】（1）①如图所示，在 上找一点 ，连接 ， 四边形 是圆内接四边形， ； ②如图所示，连接 ，并延长 交 于点 ， 是 的内接三角形， ， 37 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 所对的弧都是弧 ， ， ， 即 ， ， 则 即为所求． （2）如图所示，连接 并延长交 于点 ，交 于点 ，连接 ， 是 的内接三角形， ， ， 是弦，且 ， 点 是弧 的中点， ， 是 的平分线． 变式10-3 如图， 是 的直径，平行四边形 的一边在直径 上，点 在 上． (1)如图1，当点 在 上时，请你仅用无刻度的直尺作 于 ； (2)如图2，当点 在 内时，请你仅用无刻度的直尺作 于 ． 【答案】(1) 点 即为所求； 38 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) 点 即为所求． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，平行线的性质，解题的关键是熟 练掌握相关的性质． （1）连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求； （2）延长 交 于 ，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求； ∵ 为直径， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，延长 交 于 ，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所 求． ∵ 为直径， ∴ ， 39 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在 中，圆心角 ，则弦 与弦 的关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作 的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作 的平分线 ，交 于点 ，连接 、 、 、 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴ ， 在 中， ， ∴ ，即 ． 2．如图， 是 的弦，半径 于点D．若 ， ．则 的长是（ ） 40 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到 ，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接 ， ∵ ，且 ， ∴ ， 设圆的半径为R， ∵ ， 则在 中，有 即 ， 解得 ，即 ， 故选项D 符合题意． 3．已知 内接于 ， 于点D，如果 ，那么 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角 的度数，再分点 在优弧、劣弧 两种情况，利用圆周角定理和 圆内接四边形的性质计算 的度数. 【详解】解：连接 ， ∵ ， ， 41 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 当点 在优弧 上时， . 当点 在劣弧 上，如图点 的位置时， . 4．如图， 是 的直径， 是 上一点，若 ， ，则 的长为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定 为直角三角形，再结合 角的性质与勾股定理计算 的长度． 【详解】解：∵ 是 的直径，点C 在 上， ∴ ，即 是直角三角形． 在 中， ， ∴ ， ∴ ． 5．如图，在 中， ， ， ， 是以斜边 为直径的半圆上一动点， 为 的中点，连接 ，则 的最小值为（ ） 42 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 的中点为O，连接 ， ，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到 ， ，进而推导出 ，根据三线合一得到 ，则点M 在以 为直径的圆上 运动，设圆心为 ，连接 ，当M 在线段 上即点 处时， 最小，过 作 于H，证明 是等边三角形得 ，然后利用含30 度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 ， 进而可得答案． 【详解】解：如图，设 的中点为O，连接 ， ， ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是以斜边 为直径的半圆上一动点， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ， 则点M 在以 为直径的圆上运动，设圆心为 ，连接 ，当M 在线段 上（即点 处）时， 最 小， 过 作 于H，则 ， 43 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的最小值为 ． 6．如图， 是 的一条弦， 的延长线交 于点D．若 ， ，则 的长 是______． 【答案】 / 【分析】根据 ，得出 ，设 ，则 ，然后根据勾股定理列 出关于r 的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ ， 44 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 即 ． 7．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下 方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D 四点，利用刻度尺 量得该纸条宽为 ， ， ，则该水杯杯口的直径为________ ． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半 径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为 ，半径为 过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ， ， 纸条上下边沿平行，且 ， ， 由垂径定理可知， 为 中点， 为 中点， ， ， 由题意及图形可知，圆心 在弦 ， 之间，且 为纸条宽度， ，即 ， 设 ，则 ， 45 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 中， ，即 ， 在 中， ，即 ， ， 解得 ， ， 水杯杯口的直径为 ． 8．如图，线段 是 的直径，弦 ，如果 ，那么 ________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知 ，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解： 是 的直径，弦 ， ， ． 9．如图， 内接于 ， ， 是 的直径．设 ， ，则 与 的关系 是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到 ，则可求出 ，由等边对等角得到 ，则可求出 ，再由 可得 ． 【详解】解：∵ 是 的直径， 46 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 10．边长为4 的正方形 中，点E，F 分别是 ， 边上的动点，且 ， 与 相交于点 G，当 长最小时， 的长是______ 【答案】 【分析】根据题意可证得 ，则 ，从而可以确定 在以 的直径的圆上运动，取 的中点 ，连接 ，则当 共线时， 的值最小，据此可求得 ，进一步即可求 解． 【详解】解：∵四边形 为正方形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 47 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 在以 的直径的圆上运动， 如图，以 的直径画 ，连接 ，与圆交于点 ，延长 交 于 ，连接 并延长，交 于 点 ， 当 共线时， 长度最小，此时 即为所求， ， ， ∴ ， 又∵ 的半径为2， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今 有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，求直径 的长． 48 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 寸 【分析】如图，连接 ，设 寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接 ，设 寸． ， 是直径， 寸． 在 中，则有 ， 解得 寸． 12．如图， 是 的直径， ， 是 的两条弦，点 与点 在 的两侧，是 上一点（ ）， 连接 ， ，且 ． (1)如图1，若 ， ，求 的半径； (2)如图2，若 ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：过 作 于 ， 49 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 【分析】（1）根据 ，结合同圆半径相等 ，推导 与 的位置关系，确定 为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过 作 于 ，利用垂径定理求出 长，进而得到 ，证明 ， 则 ，从而得出结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ，即 ， ， ， ， 解得： ， 即 的半径为 ； （2）略． 13．如图， 内接于 ， 、 是 的高，H 是 的交点， 的延长线交 于G． 50 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)试说明： ． (2)若 ， ，求 的面积． 【答案】(1)解：连接 ． 是 的高， ． ． ， ， ， 在 与 中， ， ． (2) 【分析】（1）连接 ，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出 ，再证明 ，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接 ．先利用圆周角定理可得 ，进而可证明 为等边三角形得到 51 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，结合全等三角形的性质可得 ，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接 ． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 14．如图，四边形 是 的内接四边形，且对角线 经过 的圆心 ，过点 作 ，与 的延长线交于点 ，且 平分 ． (1)求证： ； (2)过点 作 于点 ，连接 ，若 的半径为，求 的长． 【答案】(1)证明： 是 的直径， ， ， 平分 ， 52 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得 ，则 ，根据角平分线的定义可得 ，由 ，推出 ，即可得证； （2）由题意可得， ，则 ，根据 得到 ，推出 ，证明四边形 是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， 四边形 是矩形， ． 15．四边形 是正方形， 是过点A 的直线．作 ，垂足为E，将射线 绕点D 逆时针旋转 ，得到的射线与直线 交于点F，连接 ． 53 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，当 时，点F 与点A 恰好重合，则 的值为________； (2)如图2，在 时． ①依题意补全图形； ②探究线段 ， 与 之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若 ，当 的面积最大时，求 的面积． 【答案】(1) (2)解：①补全图形如下： ② ； 证明：延长 到点 ，使得 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴点 在正方形 的外接圆上． ∵ 是直径， 小学 初中 54 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． (3) 【分析】（1）由题意可得 ，根据正方形的性质得到 ，进而得到 ，即可解 答； （2）①依题意作图即可；②延长 到点 ，使得 ，证明点 在正方形 的外接圆上，进而 证明 ，即可得出结论； （3）设 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，根据点 在正方形 的外接圆上，且点 为 正方形 的外接圆的圆心，得到当 面积最大时， ，利用垂径定理求出 ，从而求出 ， ， ， ，由（2） 知 ， ，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ． ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 55 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：①略； ②略 （3）解：设 交于点 ，连接 并延长交 于点 ， ∵点 在正方形 的外接圆上，且点 为正方形 的外接圆的圆心， ∴当 面积最大时， ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由（2）知 ， ， ∴ ．
