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1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题14 直线与圆的位置关系 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 题型二、与一元二次方程根的关系 题型三、圆的切线求长度 题型四、圆的切线求角度 题型五、切线长定理求长度与角度 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 题型七、平移时相切求距离与t 题型八、切线的判定 题型九、尺规作切线 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识点 具体内容 易错点概括 直线与圆的三种位置关系 设圆O 半径为r，圆心O 到直线l 的距离为d： 1. 相交：d＜r，直线与圆有2 个 公共点 2. 相切：d＝r，直线与圆有1 个 公共点，直线叫切线，公共点叫 切点 3. 相离：d＞r，直线与圆没有公 共点 混淆d 的定义，错将直线上某点 到圆心的距离当成d，导致位置关 系判断错误 切线的判定定理 经过半径外端，并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 忽略两个判定条件中的任意一 个：只满足“过半径外端”不垂直， 或只垂直半径不过外端，都错误 判定为切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 遇切线不会连接圆心和切点构造 直角，解题时找不到垂直关系 切线长定理 过圆外一点引圆的两条切线，切 线长相等，该点与圆心的连线平 混淆“切线”和“切线长”概念，错将 切线长当成切线的长度，忽略切 目 录 2 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分两条切线的夹角 线是直线、切线长是线段长度的 区别 三角形的内切圆与内心 和三角形三边都相切的圆叫三角 形的内切圆，内切圆的圆心是三 角形三个角角平分线的交点，叫 做三角形的内心 混淆内心和外心概念：错把内心 当成三边垂直平分线交点、错记 内心位置与性质 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 典例1 如果圆的半径是 ，圆心到直线的距离是 ，那么直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离 ，再比较 与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规 则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径 ，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 变式1-1 如图， ，P 为边 上的一点，且 ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与射线 只有 一个公共点，则半径r 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P 作 于点C，则 ， 3 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即当 时，此时 与射线 只有一个公共点； 如图，当 时，则 与射线 只有一个公共点，此时 ; 综上，当 或 时， 与射线 只有一个公共点． 变式1-2 如图，在 中， ， ， ， 是 的内心，以 为圆心，为半径 的圆与线段 有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的 计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出 是解决问题的关键． 作 于D， 于E， 于F，根据题意得出四边形 是正方形，得出 ， 由勾股定理得出 ，由内心的性质得出 ， ， ，由勾股 定理求出 ， ，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作 于D， 于E， 于F，连接 ， ， 4 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 ， 四边形 是长方形， 是 的内心， ， 四边形 是正方形， ． ， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 当 时， 与线段 有且只有一个公共点， 当 时， 与线段 有两个公共点， 当 时， 与线段 有且只有一个公共点， 当 时， 与线段 没有公共点， 综上可知，的取值范围是 或 ． 故答案为： 或 ． 变式1-3 如图，在 中， ， ， ， 是 上一点（点 与点 不重 5 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 合）．若在 的直角边上存在4 个不同的点分别和点 、 成为直角三角形的三个顶点，则 长的 取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含 角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容； 设 的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E 为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论， 当点D 是直角顶点时，过点D 作 的垂线；当点E 是直角顶点时，点E 是以 长为直径的圆与直角边的 交点，当此圆与直角边 相切时，为临界状态，此时这样的点有2 个，当此圆过点C 时，也为临界状态， 点D 和点B 重合，不符合题意． 【详解】解：在 中， ， ∴ ， 设 的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E 为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D 是直角顶点时，过点D 作 的垂线；②当点E 是直角顶点时，点E 是以 长为直径的圆与直角 边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3 个交点时，符合题意； 当以 为直径的圆与 相切时，如图所示， 6 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设圆的半径为r，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，解得 ； ∴ ； 综上， 的长的取值范围为： ． 故答案为： ． 类型二、与一元二次方程根的关系 典例2 已知， 的半径为一元二次方程 的根，圆心O 到直线l 的距离 ，则直线l 与 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当 ，直线与圆相交，当 ，直线与 圆相切，当 ，直线与圆相离，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故 的半径为 ， ∵ ， ∴直线与圆相离 故选：C． 7 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-1 已知 的圆心到直线的距离是一元二次方程 的一个根，若 与直线相离， 的半径可取的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出 ，再根据直线 与圆的位置关系可得出 ，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解： ， ， 或 ， ， ， 的圆心到直线的距离是一元二次方程 的一个根， ， 与直线相离， 的半径 ，即 ， 故选：A． 变式2-2 已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O 到直线l 的距离 ，则直线l 与 的位置关系是______． 【答案】相离 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、直线与圆的位置关系， 先解一元二次方程求出圆的半径r，再比较圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，从而确定直线与圆的 位置关系． 【详解】解： ， 因式分解得： ， 解得： ， ， 圆的半径是正数， ， 8 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 直线与 的位置关系是相离， 故答案为：相离． 变式2-3 一直角三角形的两直角边长是方程 的两个根，此直角三角形内切圆的半径 ___________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边长，再利用勾股定理求斜边长，然后作出图形，根据等面积法 列方程求内切圆半径即可得到答案． 【详解】解： ， 因式分解得 ， 解得 ， ， 即直角三角形的两条直角边长分别为6 和8， 在直角三角形中，由勾股定理可得，斜边长为 ， 在 中， ，点 是切点，连接 ，连接 ，如图 所示： ， ， ， 设内切圆的半径为， 则 ， 即 ， 解得 ， 则此直角三角形内切圆的半径为 ， 故答案为： ． 9 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查解一元二次方程、勾股定理、等面积法求直角三角形内切圆半径、解一元一次方程等， 熟记一元二次方程解法、勾股定理及三角形内切圆性质是解决问题的关键． 题型三、圆的切线求长度 典例3 如图，在菱形 中，E 为 上一点，以 为直径的 与 相切于点E，若 ， 则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质将 设出来，并将 表示出来，根据圆的切点性质，得出 ，利用勾 股定理求解． 【详解】解：设 ，则 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵以 为直径的 与 相切于点 ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ，解得 ． 变式3-1 如图，正方形 的边长为8，若经过C，D 两点的 与直线 相切， 与 相交于点E， 则 为（ ） 10 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接 ，由圆周角定理可知 是 的直径．设 与 边的切点为F，连接 并延长交 于G 点，由切线的性质可知 ，进而可得 ，由垂径定理可得 ．设 的半径为r，在 中，根据勾股定理列方程可求得 ，则可得 ，再根据勾股定理可求得 ，则可得 ，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形 是边长为8 的正方形， ∴ ， ， 连接 ， ∵ ， ∴ 是 的直径， ∴O 点是 的中点， ∵ 与直线 相切， 设 与 边的切点为F，连接 并延长，交 于G 点， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形，且 ， ∴ ， 设 的半径为r，则 ， ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 11 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ∴ ． 变式3-2 如图， 与 的边 相切，切点为B．将 绕点B 按顺时针方向旋转得到 ，使 点 落在圆O 上，边 交线段 于点C．若 ， 的半径长为2，则 的长为________． 【答案】 【分析】连接 ，根据旋转可得 为等边三角形，进而可求出 ，再利用 ，可证明 是等腰三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 由题意得： ， 为等边三角形， ， 与 相切于点B， ， 根据旋转可知： ， ， ， ， ， 12 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ． 变式3-3 如图，正方形 的边长为4， 经过 ， 两点，且与 相切，则 的半径为______． 【答案】 【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得 ，垂径定理求 ，勾股定理列方程求半径． 【详解】解：设 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ． 与 相切于点 ， ． 四边形 是正方形， ， ， ， ，四边形 为矩形， ， ， 为 的中点， ． 设 的半径为，则 ， ， ． 在 中，由勾股定理得 ， 即 ， 整理得 ， 解得 ， 13 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的半径为2.5． 题型四、圆的切线求角度 典例4 如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为C，点D 在 的延长线上，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 ．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到 ，再根据切 线的性质得到 ，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 变式4-1 如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度数为（ ） 14 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 ，在优弧 上取点 ，连接 ，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边 形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接 ，在优弧 上取点 ，连接 ， 、 是 切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 变式4-2 如图，在 中， ， ，圆心在 上的半圆 与斜边 相切于点 ，则 的度数是_____度． 【答案】25 15 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先求出 ，连接 ，则 ，求出 ，最后再由圆周角定理计算即可得出 结果． 【详解】解：∵在 中， ， ， ∴ ， 如图，连接 ， ∵圆心在 上的半圆 与斜边 相切于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 变式4-3 如图， 切 于点B， 交 于点C，过点B 作 交 于点D，连接 ．若 ，则 ______． 【答案】 / 度 【分析】连接 ，由切线的性质得 ，由 ，得 ， ，于是得到 问题的答案． 【详解】解：连接 ， 16 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 切 于点 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型五、切线长定理求长度与角度 典例5 如图所示，P 是 外一点， 分别和 切于 两点，C 是 上任意一点，过C 作 的 切线分别交 于 ．若 的周长为12，则 的长为（ ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到 ， ，再根据 的周长为12 得到 ，即可求出 的长． 【详解】解；∵ 分别和 切于 两点， ∴ ， ∵过C 作 的切线分别交 于 ． ∴ ， ∴ ， 17 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 的周长为12， ∴ ， ∴ 变式5-1 如图， ， 是 的切线， ，是切点，点 在 上，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，延长 ，交 于 ，连接 ，根据圆周角定理得出 ， ， 进而求出 ，根据切线的性质及切线长定理得出 ， ，进而求出 ，根 据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ，延长 ，交 于 ，连接 ，则 为 的直径， ∵ 为 的直径， ∴ ， ∵ 和 都是 所对的圆周角， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 是 的切线， ， 是切点， ∴ ， ， ∴ ， ， 18 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 变式5-2 如图， 是 的内切圆，与 ， ， 的切点分别为 ，，，若 ， 则 的度数是________ ． 【答案】 /40 【分析】根据切线长定理得到 ， ，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵ 是 的内切圆，与 ， ， 的切点分别为 ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ． 变式5-3 如图， 是 的切线，切点分别是 ．若 ，则 的长为__． 【答案】5 【分析】本题主要考查了切线长定理，由切线长定理可得 ，再求出 的长即可得到 答案． 19 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵ 是 的切线，切点分别是 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：5． 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 典例6 如图， 是 的内切圆，若 的周长为8，面积为4，则 的半径是（ ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心 与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式 （其 中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设 的半径为， 连接 ， ∵ 是 的内切圆， ∴点 到 的距离都等于， ∴ ， ∵ 的周长为8，面积为4， 20 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 解得 ． 变式6-1 如图，菱形 中 ，对角线 、 相交于点 ， 的内心 与点 的距离 为 ，则菱形 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作 于E， 作 于F，连接 ，由四边形 是菱形， 是 的内心，求得 ． ． ．可得 ．由 ， ．则可得菱形 的 面积． 【详解】解：作 于E， 作 于F，连接 ， ． 四边形 是菱形， ， ， ． 是 的内心， ， ． ． ． ． 21 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ． ． ， ， ． ． ． ． ． 变式6-2 如图， 的周长为 ，点 为 的内心，连接 、 ， 于点 ．若 ， 则 的面积是________． 【答案】 【分析】连接 ，过点 作 于点 ， 于点 ，由内心的定义和角平分线的性质可得 ，根据 ，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ， 于点 ， 点 为 内心， ， ， 分别平分 ， ， ， ， ， ， ， 22 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ． 变式6-3 如图，已知 中， ， ， ，点 在 边上运动，连接 ．当 和 的内切圆半径相等时，设 ，则 ________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为 ，过点 分别作 ， ， ，垂足分别为点 ，则 可设 ， ，根据 ，得到 ，同理可得 ，则 ，而 ，即可得到 ， 即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为 ，过点 分别作 ， ， ，垂足分别为点 ， ∵ 为 的内切圆， ∴ 设 ， ∵ ∵ ， ， ， ， 23 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ ， ∵ 和 的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得 ，即 ． 题型七、平移时相切求距离与t 典例7 如图，在平面直角坐标系中，半径为2 的 圆心坐标是 ，将 沿 轴正方向平移，使 与 轴相切，则平移的距离为（ ） A．1 B．1 或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆 的半径，注意分类讨论． 分圆心在 轴的左侧和 轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当 位于 轴的左侧且与 轴相切时，此时圆心 到 轴的距离是 ， 的坐标为 ， 所以平移的距离为 ； 当 位于 轴的右侧且与 轴相切时，此时圆心 到 轴的距离是 ， 的坐标为 ，所以平移的距离 24 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 为 ． 故选：B． 变式7-1 如图，在平面直角坐标系中，以原点 为圆心、 为半径画 ，把直线： 平移后成为 的切线，下列平移方法正确的是（ ） A．向下平移2 个单位 B．向上平移1.5 个单位 C．向左平移1 个单位 D．向右平移1.5 个单位 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移及直线与圆的位置关系：设 的半径为，圆心 到直线的距离为 ， 若直线和 相交 ；直线和 相切 ；直线和 相离 ．根据直线与圆的位置 关系求解即可． 【详解】解：如图， 当直线向下平移过点C 时，可得 ， 所以此时直线是 的切线， 此时直线与 轴交于点 ， 25 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以把直线： 向下平移2 个单位后成为 的切线， 故选：A． 变式7-2 如图， 的半径 ，直线l与 相切于点C，将其沿 方向平移至直线 ，交 于点 ， 交线段 于点H，若 ，则平移的距离是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，平移的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接 ，结合切线的性质，垂径定理，得到 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据 求 解，即可解题． 【详解】解：连接 ， 直线l 与 相切于点C， ， ，即 交 于点 ， 的半径 ， ， ， ， ； 故答案为： ． 变式7-3 在矩形 中， ，点 从点 出发，沿 边向点 以每秒 的速度移动， 26 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同时点 从点 出发沿 边向点 以每秒 的速度移动 两点在分别到达 两点后就停止移动， 设两点移动的时间为秒 ，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时， 的面积等于 ？ (2)如图2，以 为圆心， 为半径作 ． ①在运动过程中，是否存在这样的，使 正好与四边形 的一边（或者边所在的直线）相切？若存 在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若 与四边形 的边有4 个公共点，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)当t 为2 秒或4 秒时， 的面积等于 ． (2)①当 或或 或 或 时， 与四边形 的一边相切．②当 时， 与四边形 有四个交点． 【分析】（1）根据题意得 ， ，由此根据三角形面积公式建立方程求解即 可； （2）①由题意可知圆Q 与 不相切．如图1 所示：当 时，点P 与点A 重合时，点B 与点Q 重合．此 时 与 相切；如图2，当 与 相切的第2 个位置时，切点为 ，连接 ，结论方程 即可，当 正好与四边形 的 边相切时，如图3 所示．建立方程 即可．如图4，当 重合， 重合，同理可得：此时 ， 与 相切， ②当 时，如图1 所示： 与四边形 有两个公共点；如图3 所示：当圆Q 与 相切时， 与 四边形 有三个公共点．由①可得，此时 ，如图，当 过 时，连接 ，可得 ， （舍去）．可得当 时， 与四边形 有四个交点． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t 秒时， ， 27 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ 的面积等于 ， ∴ ． ∴ ． 解得： ， ． 答：当t 为2 秒或4 秒时， 的面积等于 ． （2）解：①由题意可知圆Q 与 不相切． 如图1 所示：当 时，点P 与点A 重合时，点B 与点Q 重合． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 为圆Q 的切线． 此时 与 相切； 如图2，当 与 相切的第2 个位置时，切点为 ，连接 ， 28 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 此时四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去）， ， 当 正好与四边形 的 边相切时，如图3 所示． 由题意可知： ． 在 中，由勾股定理可知： ，即 ． 解得： ， （舍去）； 如图4，当 重合， 重合， 29 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同理可得：此时 ， 与 相切， 综上所述可知当 或 或 或 时， 与四边形 的一边相切． ②当 时，如图1 所示： 与四边形 有两个公共点； 如图3 所示：当圆Q 与 相切时， 与四边形 有三个公共点． 由①可得，此时 ， 如图，当 过 时，连接 ， 由题意可知： ． 由勾股定理可知： ， ． ∵ ， 30 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ，即 ． 整理得： ． 解得： ， （舍去）． ∴当 时， 与四边形 有四个交点． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解 法，根据题意画出图形是解题的关键． 题型八、切线的判定 典例8 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为 延长线上一点，延长 交 于点 ， ，连接 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的半径． 【答案】(1)证明：连接 ， 是 的直径， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， 31 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四边形 中， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； (2) 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得 ，根据四边形的内角和是 及 ， ，可得 ，进而即可证明结论； （2）根据 证明 ，得 ，根据勾股定理求出 ，进而根据勾股定理建 立方程即可求得 的半径． 【详解】（1）略 （2）解： ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中， ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， 即 的半径为 ． 32 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式8-1 如图，在 中， ，以 为直径作 交BC 于点D．过点D 作 ，垂足为E， 且交 的延长线于点F． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明：连接 ， ， ∵ 是 的直径， ∴ ． ∴ ． ∴ ∵ ， ∴ 是 的中位线， ∴ ． ∵ ， ∴ ∴ 是 的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接 ，证明 ，结合 得出 ，从而证明 是 的切线； 33 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）先判断 为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中 所对的直角边等 于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 在 中， ， ∴ 长为5． 变式8-2 如图， 是以 为直径的 的内接三角形， 与 相切于点B，与 的延长线交于点 D，E 是 的中点，延长 ，交 的延长线于点F． (1) 与 有怎样的位置关系并说明理由； (2)若 ， ，求 的长和 的半径． 【答案】(1)解： 与 相切．理由如下： 如图，连接 ， ∵ 与 相切于点B，， ∴ ，即 ， ∵ 为 的直径， ∴ ， ∵E 是 的中点， 34 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的半径， ∴ 与 相切； (2) ， 的半径为 【分析】（1）连接 ，证明 ，可得证； （2）根据题意，求得 ， ，设 ，则 ，利用勾股 定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ，E 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 由（1）得 ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ 的半径为 ． 变式8-3 如图， 是 的直径，射线 交 于点D，E 是劣弧 上一点，且 ，过点E 作 35 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 于点F，延长 和 的延长线交于点G． (1)证明： 是 的切线； (2)若 ，求 的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的切线 (2)3 【分析】 （1）连接 ，因为 ，所以对应的圆周角相等，可推出 与 的平行关系；又因为 ， 所以 ，结合 是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设 半径为 ，则 ，因为 ，所以 是直角三角形，根据勾股定理 36 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 列方程即可求解 ． 【详解】（1）略． （2）解：设 的半径为r， ， ∵在 中， ， ∴ ， 解得 ， 即 的半径为3． 题型九、尺规作切线 典例9 如图， 是等边三角形， ，线段 是 的中线． (1)尺规作图：作 ，使 与 相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)如图， 为所作的图形． (2) 与 相切．理由如下： 如图，过点D 作 于点G． 37 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是等边三角形， 是 边的中线， ∴ 平分 ． ∵ 与 相切于点E， ∴ 于点E． 又∵ 于点G， ∴ ． ∴点G 在 上， ∴ 与 相切于点G 【分析】（1）过点D 作 于点E，以点D 为圆心，以 为半径作圆即可． （2）过点D 作 于点G．证明 即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式9-1 如图，已知 经过A，C，D 三点，点D 在 边上， ， ． (1)求作 ；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证： 是 的切线； (3)已知 ， ，求 的半径长． 【答案】(1)如图所示： 38 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)证明：连接 ，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为 的半径， 是 的切线； (3) 【分析】（1）作线段 的垂直平分线，交 于点O，再以点O 为圆心， 的长度为半径画圆，则 即 为所求作； （2）连接半径 ，由 得 ；结合 得 ，代入 等量代换，推出 ，即 ，即可判定； （3）设半径 ，则 ．在 中，根据勾股定理 ，代入 得 ，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 39 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得： 解得 ， ， 的半径长为 ． 变式9-2 如图，已知平行四边形 ． (1)用直尺和圆规作 ，使 过A，B 两点，且与 相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若 ， ， （ ），当 为多少度时，（1）中所作的圆 的半 径最小，并求出最小半径． 【答案】(1)如图 即为所求作的圆： (2)当 或 时，圆 的最小半径为 【分析】（1）作 的中垂线交 于点 ,连接 ，作 的中垂线交 于点 ,则 过A，B 两点，且 与 相切； （2）分类讨论，当 时取得最小值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 40 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 圆 的半径为 的长度， ①当圆 的半径最小时， ∵ ∴ 则当点 重合时， 时取得最小值， 则点 与点 重合，且在线段的中垂线上， 则 , , ∴ ∴ ; ②当圆 的半径最小时， ∵ ∴ 则当点 重合时，则 时取得最小值， 41 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则点 与点 重合，且在线段的中垂线上， 则 , , ∴ ∴ ∴ ． 变式9-3 如图，在 中， (1)尺规作图：作 的角平分线，交 于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以O 为圆心， 为半径作 ，求证： 是 的切线； 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作 ，根据角平分线的性质，得到 ，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：作 ， ∵ 平分 ， ，即 ， ∴ ， 42 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 为 的半径， ∴ 是 的切线. 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图，在边长为1 的 正方形网格中，点A、B、C 均在格点上（用无刻度的直尺作图，并保留 作图痕迹）． (1)在图①中，作 的中线 ； (2)在图②中，作 的高线 ； (3)在图③中，作以 为直径的圆O 的切线 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取格点E，F，使四边形 是矩形，根据矩形的对角线互相平分即可解答； （2）取格点T，连接 交 于点N，线段 即为所求； 43 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）将 绕点B 逆时针旋转 ，得到 ，即为所求． 【详解】（1）解：如图， 取格点E，F，则四边形 是矩形， ∴ ， ∴点M 是 的中点， ∴ 是 的中线； （2）解：如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的高． （3）解：将 绕点B 逆时针旋转 ，得到 ， 44 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ 是直径， ∴ 是 的切线． 变式10-1 如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 为 的中点．请仅用无刻度的直尺 按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1 中，作出 的平分线； (2)在图2 中，作出 的内心． 【答案】(1)如图， 即为所求； (2)如图，点 即为所求； 45 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】 （1）连接 并延长交 于点 ，连接 ，根据中位线定理可得 ，进而得 ， 由 得 ，代换得 ，故 即为所求； （2）连接 、 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，由 、 是 的中线可得 也是 的中线，同（1）可证 平分 ，故点 即 为所求． 【详解】（1）解：如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ， 即为所求； ∵点 是 的中点， 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ 平分 ； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接 、 交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延 长交 于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求． 46 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵点 是 的中点， 是 中点，即 、 是 的中线， ∴ 是 的中线，即点 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ 平分 ， 又∵ 平分 ， 交 于点 ， ∴点 是 的内心． 变式10-2 如图，四边形 的顶点B、C、D 在 上，请仅用无刻度的直尺 ．．．．．．．．分别按下列要求画图（保留 画图痕迹） (1)如图①，若顶点A 在 上，且 ，画出 的平分线； (2)如图②，若顶点A 在 外，且 和 是 的切线，画出 的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接 ，根据圆的性质即可判定； 47 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）连接 ，交 于点T，连接 ，求解即可． 【详解】（1）解：连接 ，则 即为所求； 理由： ， ， ， 故 平分 ， （2）解：连接 ，交 于点T，连接 ，则 即为所求． 理由：连接 ，则 ， 继而得到 ， ， ． 变式10-3 如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图． 48 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)在图1 中画出一条恰好平分 周长的直线； (2)在图2 中画出 的外接圆的一条切线 ． 【答案】(1) 如图1，直线l 即为所求； (2) 为圆的切线． 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据网格即可画出 的外接圆的一条切线 ； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，切线 即为所求，理由如下： 由题意 ，则 是直径， ， ， ， 即 ， ∴ 是直角三角形，且 ， ∴ ， 49 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 为圆的切线． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，三角形的周长等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直线 与 相切于点 ，线段 ， 是 的两条弦，且 ；若 的半径为 ， ， 则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 并延长，交 于点 ，连接 ，根据切线的性质和平行线的性质可知 ，由垂 径定理可知 ，利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理求出 的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接 并延长，交 于点 ，连接 ， 直线 与 相切于点 ， ， ， ， ， 50 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 的半径为 ， ， ， ， ． 2．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（ ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：①原命题：圆内接四边形对角互补，正确．逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形，正 确； ②原命题：三角形的内心到三边的距离相等，正确．逆命题：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心， 当该点在三角形内部时是三角形的内心，当该点在三角形的外部时不是三角形的内心，故逆命题错误； ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确．逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点 是三角形的外心，正确； ④原命题：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，正确．逆命题：到线段两端点距离相等的点在这 条线段的垂直平分线上，正确； 51 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ⑤原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，正确．逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上， 当该点在角内部时在角的平分线上，当该点在角外部时不在角的平分线上，故逆命题错误； 综上，原命题和逆命题都正确的有①③④，共3 个． 3．以坐标原点O 为圆心，作半径为4 的圆，若直线 与⊙O 相交，则b 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线 与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在 中，令 时， ，则与y 轴的交点是 ， 当 时， ，则与x 轴的交点是 ， 则 ，即 是等腰直角三角形， 在 中， ， 连接圆心O 和切点C，则 ， ， ∴ ， 则 ； 同理，当直线 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时， ； 则若直线 与⊙O 相交，则b 的取值范围是 ． 4．如图，点P，C 在弦 的两侧， ， 是 的切线，C 在 上，则 与 的关系是（ ） A． B． 52 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得到 ，再根据四边形的内角和为 得到 ， 然后利用圆周角定理得到 ，进而可得答案． 【详解】解：连接 ， ． ∵ 、 是 的切线，切点分别为A，B， ∴ （切线的性质）． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故选项C 符合题意． 5．如图，点 是边长为 的等边 的内心，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ， 交 于点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过 作 于点 ，则 ，由旋转性质可得 ，又点 是边长为 的 等边 的内心，则 ， ，然后通过勾股定理得 ，再证明四边形 是菱形，所以 ，则 ，再由直角三角形性质可得 ，则有 53 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ． 【详解】解：如图，过 作 于点 ，则 ， ∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ， ∴ ， ∵点 是边长为 的等边 的内心， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 54 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6．如图，已知 ， 为 边上一点，以 为圆心、 为半径作 ．点 在射线 上运 动，当 时， 与直线 的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作 ，再根据直角三角形的性质得出 ，然后根据 的半径是 可得答案． 【详解】解：过点 作 ，交 于点 ， 在 中， ， ， ∴ ． ∵ 的半径是 ，点 到直线 的距离是 ， ∴ 与直线 的位置关系是相切． 7． 是 的弦， 与 相切于点B，圆心O 在 上，若 ，则 _______ ． 【答案】25 【分析】连接 ，根据切线的定义得到 ，进而可求出 ，再根据圆周角定理得到 ，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 55 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 与 相切于点B， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 8．如图，在 中， ， ， ，则 的内切圆半径 ___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得 ，如图：连接 ，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， 如图：连接 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： ． 9．如图所示， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F，若 ，则 的度 数是________． 56 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】连接 ，先根据圆周角定理得到 ，再根据切线的性质得 ， ，则 ，然后根据四边形内角和计算 的度数． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 10．如图， 中， ， ， ，点P 在线段 上，以 为圆心， 长为半径的圆与 边 相交于另一点 ，点 在直线 上，且 是 的切线，则 的最小值为________． 【答案】5 【分析】可证明 得到 ，再证明 ，得到 ；过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，据此可求出 ；过点 作 ， 57 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 交直线 于点 ，则四边形 是矩形，可得 ，根据 ，可得答案． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； ∵ 是 的切线， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 如图所示，过点 作 ，交直线 于点 ，则四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴当点 于点 重合时， 有最小值，最小值为5． 11．作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在 中， ， 58 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)按要求完成作图： ①用尺规作 的角平分线 ，交 于O， ②以O 为圆心， 为半径作 ； (2)判断（1）中 与 的位置关系，直接写出结果． 【答案】(1)①如图，射线 、点O 即为所求；②如图， 即为所求： (2) 与 相切 【分析】（1）①②根据题干要求以及角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）过O 作 于点D，先利用角平分线的性质得到 ，再根据切线的判定可得结论． 【详解】（1）略 （2）解： 与 相切．理由如下： 过O 作 于点D， ∵ 平分 ， ， （即 ）， ∴ ， ∴ 为 的半径， ∴ 与 相切． 12．如图，已知 是 的直径，点 为 上一点，过点 的切线交 延长线于点 ，且 ． (1)求证： ； 59 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)过点 作 交 于点 ，若 ，求 的长． 【答案】(1)证明：连接 ， ∵点 为 上一点，过点 的切线交 延长线于点 ， ∴ ，即 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 【分析】（1）连接 ，证明 ， ， ，进一步可得 ，可 得 ，可证明 ； （2）连接 ，证明 与 是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ， ∵ ， 60 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ． 13．如图， 是 的直径， 是 的半径， ，点 为 上方圆周上一点，连接 ， ， 交 于点 ． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线 上取点 ，使得 （保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证： 是 的切线． (3)在（1）的条件下，若 ， ，求 的长． 【答案】(1) (2)证明：∵ ， ∴ ． 61 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在 中， ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∵ 为 的半径， ∴ 是 的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作 的垂直平分线交 于点 ； （2）根据 得出 ，根据对顶角相等可得 ，则 ，根据 ，得出 ，由 可得 即 ，即可得证； （3）设 ，则 ，由（2）可知 ，且 ，在 中，根 据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 由（2）可知 ，且 ， ∴在 中，由勾股定理，得 ， ∴ ，解得 ， ∴ 的长为 ． 62 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14．如图， 中， ， ，动点P 从A 点出发，以每秒 个单位的速度沿 向 B 点匀速运动，同时Q 点从B 点出发，以每秒1 个单位的速度沿 向C 点匀速运动，设运动时间为t 秒， ． (1)将线段 绕P 点逆时针旋转 至 ，作 交 于G． ①如图1，当 时，求证： ； ②如图2，当 时，则线段： 、 、 之间有怎样的数量关系，证明你的结论； (2)若以 为直径的圆与 相切，直接写出t 的值为______． 【答案】(1)①证明：如图1，连接 ，过点P 作 交 于点H， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， 当 时， ， ， 则 ， ， ， ， ∴四边形 为平行四边形， ， 63 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 又 ， 四边形 也是平行四边形， ， ， ， ， ， 又由旋转可知 ， ， ，即 ， ， 在 和 中， ， ， ， ； ②当 时， ，证明如下： 如图2，连接 ，过点P 作 交 于点H， 同①可证明四边形 和四边形 都是平行四边形， 同理可证 ， 64 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ； (2) 【分析】（1）①连接 ，过点 作 交 于 ．当 时，由边长关系得 ，四边 形 和 均为平行四边形．证明 ，得 ，故 ． ②同理构造辅助线，证得四边形均为平行四边形，全等后得 ，再由 ． （2）设圆心为 ，与 相切于 ，交 于另一点 ．由切线长与半径关系得 ， ， ，由勾股定理 ，解得 或 ，结合 取 ． 【详解】（1）略 （2）如图3，设圆心为M，与 相切于点I，交 于另一点为J， 连接 ， 由（1）可得，四边形 为平行四边形， 为等腰直角三角形， 为直径， ， ， 又 ， 四边形 为矩形， ， ， 为圆 切线， ， ， 65 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 四边形 是矩形， 同理可得四边形 也是矩形， ， ∴ ， 为 中点， 又 为 中点， ， ， 由（1）可得， ， 在 中， ， ， 则 ， 即 ， 解得 或 ， 又 ， ． 15．在平面直角坐标系 中， 的半径为2．对于直线l： 和线段 ，给出如下定义：若将线 段 沿直线l 翻折可以得到 的弦 （ ， 分别是B，C 的对应点），则称线段 是以直线l 为轴 的 的“关联线段”．例如：在图1 中，线段 是以直线l 为轴的 的“关联线段”． 66 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图2，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中，不是以直 线l 为轴的 的“关联线段”是________； (2) 是边长为 的等边三角形，点 ，若 是以直线l 为轴的 的“关联线段”，求a 的值； (3)如果经过点 的直线上存在以直线l 为轴的 的“关联线段”，求这条直线与y 轴交点的纵坐标m 的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）以直线为对称轴，作线段 ， ， 的对称线段 ， ， ，再根据“关 联线段”的定义即可判断； （2）过点 作弦 ， ，连接 ， ，当 是以直线l 为轴的 的“关联线段”时，点 与 的 两点组成的三角形也是等边三角形，当 ， 都是等边三角形时，过点 作 于点 ，连 接 ，得出 轴是 ， 的对称轴，求出等边三角形 的边长即可； （3）作点 关于直线 的对称点 ，由“关联线段”的定义可得：经过点 的直线 上存在以直线l 为轴的 的“关联线段”，就是要使关于直线l 的对称直线与 由两个交点，我们来寻找 对称直线的临界位置，即为对称直线与 相切的位置，从而来确定过点 的直线，过点 作 的两条切线 、 ,切点分别为点 ，点 ，设 交直线于点 ，连接 ，延长作 交直线于 点 ，连接 ， 交 轴于点 ，求出临界位置的 值即可求出m 的取值范围． 【详解】（1）解：以直线为对称轴，作线段 ， ， 的对称线段 ， ， ，如图所 示： 67 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵线段 ， 在 上，线段 在 外， ∴由“关联线段”的定义可得：线段 不是以直线l 为轴的 的“关联线段”． （2）解：过点 作弦 ， ，连接 ， ， ∵ ， ∴点 在 上， ∵ 是等边三角形， ∴当 是以直线l 为轴的 的“关联线段”时，点 与 的两点组成的三角形也是等边三角形， ∴当 ， 都是等边三角形时，过点 作 于点 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ 轴是 ， 的对称轴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 68 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴当 是以直线l 为轴的 的“关联线段”，等边三角形 的边长为 或 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． （3）解：如图所示，作点 关于直线 的对称点 ， 由“关联线段”的定义可得：经过点 的直线上存在以直线l 为轴的 的“关联线段”，就是要使关于 直线l 的对称直线与 有两个交点， 我们来寻找对称直线的临界位置，即为对称直线与 相切的位置，从而来确定过点 的直线， 过点 作 的两条切线 、 ,切点分别为点 ，点 ，设 交直线于点 ，连接 ，延长 交直线于点 ，连接 ， 交 轴于点 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 69 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ，即点 到 轴的距离为， ∴点 在 轴上，即点 ， ∴ 轴， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ 平分 ， ∴ ， ∴ ∴ ， 设 ，则 ， ∴在 中， ， ∴ ，解得： ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 将 与 联立得： ，解得： ， ∴点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： ，解得： ， 70 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴直线 的解析式为 ， ∵令 ，得 ， ∴此时直线 与y 轴交点的纵坐标 ， ∵ ， ， ∴点 的纵坐标为 ， 在 中，令 ，得 ，解得： ， ∴ ， ∴ 轴， ∴当对称直线为 时，过点 的直线为 ，而此时 与 轴没有交点，即当过点 的直线与 轴有交 点时，其对称直线不会出现 的临界位置， ∴只需 ，经过点 的直线上存在以直线l 为轴的 的“关联线段”．
